1.1.1正弦定理导学案(必修五)
高中数学《1.1.1 正弦定理》复习导学案2 新人教A版必修5
作业 布置 学习 小结 / 教 学 反思
课本 49 页练习 2 的 2，3，4 题
2
2 ,b 3 ,
A 450 ,求角 B .
小结:在 ABC 中,已知 a, b 和 A 时求角 B 的各种情况: （1）.角 A 为锐角: ①若 a b sin A ,则一解. ②若 b sin A a b ,则两解. ③若 a b ,则一解 (2).角 A 为直角 a b ,则一解. (3).角 A 为钝角 a b ,则一解. 例 2 在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 A 300 , c 2 3, b 2 ,求
1
ABC 的面积.
达标训练： 1.判断下列各题角 B 的解的个数: 1. a 7, b 14, A 300 .
2. a 30, b 25, A 1500 . 3. a 72, b 50, A 1350 .
4. a 30, b 40, A 260 .
§1.1.2 正弦定理
授课 时间 学习 目标 重点 难理及其拓展. 2.已知两边和其中一边的对角,判断三角形时解的个数. 3.三角形面积公式. 重点:正弦定理的应用. 难点:正弦定理的应用. 自主学习： 正弦定理:_________________________. 正弦定理的变形公式：_________________________. 问题 1.在 ABC 中,已知 a 20, b 28, A 400 ,求 B (精确到 1 )和 c (保留两个有效数
0 问题 3.在 RtABC 中, C 90 ,则 ABC 的面积 S
学习 过程 与方 法
1 ab .对于任意 ABC ,已知 a, b 及 2
1.1.1正弦定理教案
1.1.1正弦定理一、教学目标： 1、能力要求：①掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解一些斜三角形； ②能够运用正弦定理解决某些与测量和几何有关的实际问题。
2、过程与方法：①使学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系——正弦定理。
②在探究学习中认识到正弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。
二、教学重点、难点：重点： 理解和掌握正弦定理的证明方法。
难点： 理解和掌握正弦定理的证明方法；三角形解的个数的探究。
三、预习问题处理：1、在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。
那么斜三角形怎么办？确定一个直角三角形或斜三角形需要几个条件？2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 。
3、一般地，把三角形的三个角C B A ,,和它们所对的边c b a ,,叫做三角形的 ，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 。
4、用正弦定理可解决下列那种问题① 已知三角形三边；②已知三角形两边与其中一边的对角；③已知三角形两边与第三边的对角；④已知三角形三个内角；⑤已知三角形两角与任一边；⑥已知三角形一个内角与它所对边之外的两边。
5、上题中运用正弦定理可求解的问题的解题思路是怎样的？四、新课讲解：在ABC Rt ∆中，设90=C ，则1sin ,sin ,sin ===C c b B c a A ，即：C cc B b c A a c sin ,sin ,sin ===, CcB b A a sin sin sin ==。
问题一：对于一般的三角形，上述关系式是否依然成立呢？ 设ABC ∆为锐角三角形，其中C 为最大角。
如图（１）过点A 作BC AD ⊥于D ，此时有bADC c AD B ==sin ,sin ，所以C b B c sin sin =，即C c B b sin sin =．同理可得CcA a sin sin =， 所以CcB b A a sin sin sin ==。
高中数学必修5《1.1.1正弦定理》教学设计
高中数学必修5《1.1.1 正弦定理》教学设计1000字【教学设计】【教学目标】1. 理解正弦定理的概念，掌握求解三角形边长的方法。
2. 学会运用正弦定理求解实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
【教学内容】《数学必修5》第1章第1节，“正弦定理”（1.1.1）。
【教学过程】一、导入1. 引导学生思考：“三角形的边有什么特点？”2. 让学生回忆一下高中数学所学的定理，比如勾股定理和角平分线定理。
3. 引入正弦定理的概念，让学生对正弦定理有个初步的了解。
二、知识讲授1. 讲解正弦定理的概念及其公式。
2. 分别对三角形中的三角函数进行讲解，让学生对它们的定义有一个清晰的认识。
3. 通过图示让学生知道在不同情况下如何使用正弦定理解决问题。
4. 给学生提供几个具体例子，让他们练习运用正弦定理解决实际问题。
三、练习1. 让学生自主完成课本上的练习题，巩固所学知识。
2. 可以组织学生进行小组竞赛，比赛项目为用正弦定理解决实际问题，以此提高学生的兴趣和参与度。
四、复习与总结1. 以课堂小测验的形式检查学生对所学知识的掌握情况。
2. 对所学知识进行概括性总结，让学生对正弦定理的应用有更全面的了解。
【教学重点】1. 正确掌握正弦定理的概念和公式。
2. 熟练掌握正弦定理的运用方法。
【教学难点】1. 正弦定理的应用在实际问题中的具体运用。
2. 正确判断在不同情况下使用正弦定理的方法。
【教学方法】1. 讲解法：通过讲解，让学生明白正弦定理的概念和公式。
2. 案例法：通过实例让学生知道如何使用正弦定理解决问题。
3. 组织竞赛法：通过小组竞赛，让学生更加积极主动地参与课堂活动。
【学情分析】学生学习高中数学是从基础数学知识逐步深入的，正弦定理是高中数学重点内容之一，更为复杂的三角函数内容的基础。
学习正弦定理需要有良好的基础数学知识，同时也需要良好的逻辑思维能力，因此需要从基础知识入手，渐进进行教学。
【教学建议】1. 为了保证课堂效果，教师应该采用多样化的教学法，如讲解法、案例法、练习法等。
必修五导学案1(正弦定理)
2、一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作（solving triangles)。
【预习自测】
1、已知ΔABC中已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）。
A、3 B、2 C、 D、
2、在 中，一定成立的是
A、 B、
C、 D、
3、在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则 .
课堂探究案
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【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示
1、正弦定理（law of sines）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使 ， ， ；
（2） 等价于 ， ，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ；
4、在 中， 所对的边分别是 ,若 解三角形。
【课后反思】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来！
【自我评价】你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
【基础检测】当堂达标练习，（时量：5分钟满分：10分）计分：
1、已知ΔABC已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）。
A 8 B 4 C 4 -3 D 8 -8
2、在 中，三个内角之比 ，那么 等于
人教A版必修5数学 精品导学案：1.1.1 正弦定理
§1.1.1 正弦定理 班级 姓名 学号学习目标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C==．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =，同理可得sin sin c b C B=， 从而sin sin a b A B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a b A B =sin c C=．试试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）．A ．sin sin a A bB = B .cos cos a A b B =C . sin sin a B b A =D .cos cos a B b A =（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．[理解定理]（1）化边为角；（2）化角为边．（3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=；sin C = ．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※ 典型例题例1. 在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆==中，求和．变式：在60,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和．三、总结提升※ 学习小结1. 正弦定理：sin sin a b A B =sin c C= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※ 知识拓展 a b =2c R ==，其中2R 为外接圆直径.1. 在ABC ∆中，若cos cos A b B a=，则ABC ∆是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，asin sin sin a b c A B C++++= ．1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
数学必修五复习导学案一对一使用资料
§1.1 正弦定理和余弦定理 第一课时 正弦定理一、1．基础知识 设∆ABC 的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，R 是∆ABC 的外接圆半径。
（1）正弦定理： = = =R 2。
（2）正弦定理的三种变形形式： ①==b A R a ,sin 2 ，=c 。
②==B RaA sin ,2sin ，=C sin 。
③=c b a :: 。
（3）三角形中常见结论：①=++C B A 。
②a <⇔b 。
③任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边。
④2sinBA += ，=+)sin(B A ，)(2sin B A += 。
2．课堂小练（1）在ABC ∆中，若A sin >B sin ，则有（ ） A ．a <b B ．a ≥b C ．a >bD ．a ，b 的大小无法确定（2）在ABC ∆中，8,105,300===b C A ，则a 等于（ ）A ．4B ．24C ．34D ．54 （3）已知ABC ∆的三边分别为c b a ,,，且a b B A :cos :cos =，则ABC ∆是 三角形。
二、例题例1 根据下列条件，解ABC ∆：（1）已知30,7,5.3===B c b ，求a A C 、、；（2）已知B =30°，2=b ，2=c ，求a A C 、、；（3）已知045,9,6===B c b ，求a A C 、、。
例2 在ABC ∆中，CB CB A cos cos sin sin sin ++=，试判断ABC ∆的形状。
三、练习1．在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，求证：ABC ∆是等腰三角形或直角三角形。
2．在ABC ∆中，5:3:1::=c b a ，求CBA sin sin sin 2-的值。
四、课后练习1．在ABC ∆中，下列等式总能成立的是（ ）A ．A c C a cos cos =B ．A cC b sin sin = C ．B bc C ab sin sin =D ．A c C a sin sin =2．在ABC ∆中，120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ）A ．35 B ．53 C ．73 D ．75 3．在ABC ∆中，已知60,8==B a ，C=75°，则b 等于（ ）A ．24B ．34C ．64D ．3324．在ABC ∆中，060=A ，24,34==b a ，则角B 等于（ ）A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 5．根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A ．30,16,8===A b a ，有两解 B ．60,20,18===B c b ，有一解 C ．90,2,5===A b a ，无解D ．150,25,30===A b a ，有一解6．已知ABC ∆中，45,60,10===C B a ，则c 等于（ ）A ．310+B ．)13(10-C ．)13(10+D ．3107．在ABC ∆中，已知A b B a tan tan 22=，则此三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角或等腰三角形8．在ABC ∆中，B C 2=，则BBsin 3sin 等于（ ） A ．a b B ．b a C ．c a D ．ac9．在ABC ∆中，已知45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理，三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A ．2<x <22 B ．x >22 C ．2<x <2 D ．0<x <210．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为53。
数学(必修5)-正弦定理
定理结构特征: 含三角形的三边及三内角,由己知二角一边 或二边一对角可表示其它的边和角
解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程
1.1.1 正弦定理
3.定理的应用举例 例1 在ABC 已知 A 45, B 60, a 4 , 解三角形. 通过例题你发现了什么一般性结论吗? 小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正弦定理可容就是解决这些 问题的有力工具.
1.1.1 正弦定理
2.定理的推导
回忆一下直角三角形的边角关系?
a si nA , c
b sinB c
c b C
A
两等式间有联系吗？
B a
a b c sin A sin B
sin C 1
a b c sin A sin B sin C
得到 sin A sin B
b c 同理, AE BC .有 作 sin B sin C a b c sin A sin B sin C
1.1.1 正弦定理
(2)当 ABC 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
C
b
a
D A
B
c
A
． O
C B
E
1.1.1 正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即
练习：
作业：
必修五导学案第一课时
1.1.1 正弦定理
5.探究课题引入时问题(2)的解决方法
B
c
A
b
C
bsinβ AB = sin(α + β)
探究: （1）你还可以用其它方法证明 正弦定理吗？ a b c k （2） sin A sin B sin C 那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有 关的量来表示吗? (3)课本例2中,对于任意给定a,b,A的值,是否 必能确定一个三角形?a和b的值对解有什么影响?
(完整版)1.1.1 正弦定理
第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理
学习目标
• 1. 掌握正弦定理的内容； • 2. 掌握正弦定理的证明方法； • 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题。
学习重点：
正弦定理的内容； 正弦定理的基本应用。
学习难点：
正弦定理的证明。
在初中阶段我们学过：在同一个三角形中，大 边对大角，小边对小角。
C 180°（A B）=105°
得 sin A a sin B 1 b2
由b c sin B sin C
∵ 在 ABC 中 a b
∴ A 为锐角
得c bsin C 4 sin B
2 sin105 sin 45
2
62
2
A 30
【探究二】正弦定理的在解三角形中的应用
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C）
A. asin A bsinB
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）在△ABC中，R为△ABC外接圆半径，sina
A
b sin B
c sin C
k
则k为( A )
A.2R B.R C.4R D.R
【探究二】正弦定理的在解三角形中的应用
我们利用正弦定理可以解 决一些怎样的解三角形问 题呢？
例1 在 ABC 中，已知 c 10, A 45,C 30 ，求a和b。
（保留两个有效数字）.
解 ： 根据正弦定理
ac sin A sin C
a
c sin A sin C
10sin 45 sin 30
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§1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．
学习过程
一、课前准备
试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．（简：大角对大边）能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？
二、新课导学
※ 学习探究
探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c
==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C
==．
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，
有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B
=， 同理可得sin sin c b C B =，从而sin sin a b A B =sin c C
=．
类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试推导.
新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即
sin sin a b A B =sin c C
=． 试试：
（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）．
A ．sin sin a A b
B = B .cos cos a A b B =
C . sin sin a B b A =
D .cos cos a B b A =
（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；
（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C
． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B
=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b
=；sin C = ． （4）一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边,,a b c 叫做 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 ．
※ 典型例题
例1. 在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．
变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．
例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．
变式：在60,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正弦定理：
sin sin a b A B =sin c C
= 2．应用正弦定理解三角形：
①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．
※ 知识拓展
sin sin a b A B =2sin c R C ==，其中2R 为外接圆直径.
※ 当堂检测
1．根据下列条件，解△ABC.
(1)已知b=4，c=8， B=30o ； (2)已知B=30o ，
c=2 ； (3)已知b=6，c=9，B=45o .
2. 在△ABC 中，解三角形
(1)a=3，b=2，A=30 o ； (2)a=2，
，A=45 o ；
(3)a=5，b=2，B=120 o ；
B=45 o .
3.在△ABC 中，a:b:c=1:3:3，求2sin sin sin A B C -的值.
4. 在ABC ∆中，若
cos cos A b B a
=，则ABC ∆是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形
5. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）.
A ．1∶1∶4
B ．1∶1∶2
C ．1∶1
D ．2∶26. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.
A. A B >
B. A B <
C. A ≥B
D. A 、B 的大小关系不能确定
7. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．
8. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a sin sin sin a b c A B C
++++= ．(合比性质)
9. 在△ABC 中,a=5,b=3,C=120o ,则sinA:sinB 的值是（ ）
5335. B. C. D. 3577
A
10.已知△ABC 外接圆半径是2cm ，A=60o ,求BC 边长.
11.在△ABC 中，22tan tan a B b A =，试判断△ABC 的形状.
12.已知cos cos a A b B =，试判定△ABC 形状.
1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．
2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．。