2016年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试卷(定稿)
x2 y 2 1 ( x 2) . 4
………… 4 分
1 x m ，M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 ) ，线段 MN 的中点为 2
将y
x2 1 y 2 1 ，化简得 x 2 2 mx 2 m 2 2 0 . x m 代入 4 2
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
18．准线方程是 x 2 的抛物线的标准方程为
2 A． y 8x
B． y 2 8 x
C． x 2 8 y
D． x 2 8 y
19．函数 f ( x) 3 sin x cos x ， x R 的最大值为 A． 1 B． 3 C． 2 D． 3 1
B1 E
C1
A o B (第 32 题图) C
D
33．(本题 8 分)设点 A, B 的坐标分别为 (2, 0), (2, 0) ，直线 AP, BP 相交于点 P ，且它们的 1 斜率之积是 ． 4 (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程； 1 (Ⅱ)若斜率为 的直线与(Ⅰ)中的轨迹 C 交于不同的两点 M , N ， 点 Q 的坐标为 (0,1) ， 2 求证： QMN 的重心在一条定直线上．
形成的几何体的体积为 A．
1 8
B．
1 4
C．
1 2
D． 1
非选择题部分
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分。 ）
26．半径为 1 的球的表面积为 27． log 2 3 log 2
1 3ห้องสมุดไป่ตู้
． ． ． ．
28．过点 A(1,0) ，且与直线 l ： x y 0 平行的直线的方程为
由 0 ，及直线 MN 不经过 A, B, Q ，得 2 m 2 ，且 m 1 . 由韦达定理知， x1 x2 2 m ，从而 y1 y2 故 x3 m ， y3
AE 1 ，故 EOA ， 4 AO
4
所以直线 EO 与平面 ABCD 所成的角的大小为
.
………… 7 分
1 y y 1 33．(Ⅰ)解：设 P( x, y ) ，则 k AP k BP ，即 ， 4 x2 x2 4
化简得到点 P 的轨迹 C 的方程为 (Ⅱ)证明：设直线 MN 的方程为 y
34．(本题 8 分)已知函数 f ( x) x x a m x 1 ， 0 x 2 ，其中 a, m R ． (Ⅰ)若 a 0 ， m 1 ，求 f ( x) 的单调区间； (Ⅱ)对于给定的实数 a ， 若函数 f ( x) 存在最大值 1 a ， 求实数 m 的取值范围(用 a 表示)．
三、解答题(本大题共 4 小题，共 30 分。 ） 31．解：由 sin 2 cos 2 1 ，及 cos
4 ； 5 3 ， (0, ) ，得 5 2
sin 1 cos 2
………… 4 分
sin(
4
) sin cos
4
cos sin
A． 1 B． 0 C． 1
22．在空间中， m, n 是不同的直线， 是平面， m, n 均与直线 l 异面．下列四个命题： ①若直线 m, n 与直线 l 所成的角大小相等，则 m ‖n ； ②若直线 m, n 与平面 所成的角大小相等，则 m ‖n ； ③若 m ‖n ，则直线 m, n 与直线 l 所成的角大小相等； ④若 m ‖n ，则直线 m, n 与平面 所成的角大小相等. 其中，真命题是 A．①② B．③④ C．①③ D．②④
29．在 Rt ABC 中， C 90 ， BC 2 ， M 是 AB 的中点，则 CM CB
30．设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ， n N* ，且 S 2015 0 ， S 2016 0 ．若对于任意 n
{i |1 i 2015, i N*} ，均有
3
个单位，再向上平移 2 个单位，得
3
)2 )2
B． y cos( x D． y cos( x
3
)2 )2
3
3
14．已知 f ( x ) log 3 | x 1| ，则 f (4) ， f (0) ， f (4) 的大小关系为 A． f (4) f (0) f (4) C． f (4) f (4) f (0) 15．双曲线 x 2 A． 3 B． f (0) f (4) f (4) D． f (0) f (4) f (4)
机密★考试结束前
秘密★考试结束后
2016 年 1 月浙江省普通高中学业水平考试
数学试题答案及评分参考
一、选择题(本大题共 25 小题，1-15 每小題 2 分，16-25 每小题 3 分，共 60 分。每小题给 出的选项中只有一个是符合題目要求的，不选、多选、错选均不得分。) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 C D B D C C B A A B A D D 题号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 答案 D B C B A C C B B A D C 二、填空题(本大题共 5 小題，每小题 2 分，共 10 分。答案形式不同的按实际情况给分。 ） 26． 4 27． 0 28． x y 1 0 29． 2 30． 1008
选择题部分
一、选择题(本大题共 25 小题，1—15 每小题 2 分，16—25 每小题 3 分，共 60 分。每小题 给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。 ） 1．已知集合 A {a, b} ， B {a, b, c} ，则 A B A． {a} B． {b} C． {a, b} D． {a, b, c}
Sn Sk ，则正整数 k 的值为 an ak
．
三、解答题(本大题共 4 小題，共 30 分。 ）
31．(本题 7 分)已知 cos
3 ， (0, ) ，求 sin 及 sin( ) 的值． 5 2 4
32．(本题 7 分)如图，在长方体 AC1 中， AB AD 2 ， AA1 2 ， AC 与 BD 交于点 O ， E 为 AA1 的中点，连接 BE , DE ． (Ⅰ)求证： A1C ‖平面 EBD ； (Ⅱ)求直线 EO 与平面 ABCD 所成的角的大小． A1 D1
7．不等式 x 2 2 x 0 的解集为 A． (,0) B． (0, 2) C． (2, ) D． (,0) (2, )
3 8．函数 f ( x) x ， x R
A．是奇函数，但不是偶函数 C．既是奇函数，也是偶函数
B．是偶函数,但不是奇函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数
5．设 R ，则 sin( ) A． cos B． cos C． sin D． sin
6．在数列 {an } 中， an 4 an ， n N* ，且前 4 项满足以下关系：
n
an
1 4
2 3
3 2
4 1
则 a6 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
如 [3.5] 4 ， [2] 2 ， [2.1] 2 ， 则函数 f ( x ) x [ x] ， 23． 令 [ x] 表示不超过 x 的最大整数， x (2,1.5] 的图象大致是
24．某商品销量 q 与售价 p 满足 q 10 p ，总成本 c 与销量满足 c 4 q ，销售收入 r 与 售价及销量之间满足 r pq ，其中 , 均为正常数．设利润 销售收入 总成本，则利 润最大时的售价为 A．
y2 1 的离心率为 4
B． 5 C． 15 D． 17
16．在 ABC 中，三内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，且 A 30 ， B 60 ， a 1 ，则 b A． 1 B． 2 C． 3 D． 2 2
x 17．函数 f ( x) 2 3 的零点的个数为
2．函数 f ( x) x 2 的定义域为 A． {x | x 0} B． {x | x 0} C． {x | x 2} D． {x | x 2}
3．在等比数列 {an } 中， a2 2 ， a3 4 ，则 a5 A． 8 B． 16 C． 32 D． 64
4．直线 y 2 x 1 的斜率为 A． 2 B． 1 C． 1 D． 2
2 2 12．直线 x y 1 与圆 x y 1 的位置关系是
A．相离 C．相交且直线经过圆心
B．相切 D．相交但直线不经过圆心
俯视图 (第 10 题图)
13．将函数 y cos x ， x R 图象上的每个点向右平移 到的图象对应的函数解析式为 A． y cos( x C． y cos( x
S
20．如图，在三棱锥 S ABC 中， SA AB ， SA AC ， 则直线 SA 与直线 BC 的位置关系是 A．相交 C．异面且垂直 B．平行 D．异面但不垂直 B （第 20 题图） D． 2 A C
x 1, 则 x y 的最小值为 21．若实数 x, y 满足 y 0, x y 0,
10
B．
10
C．
10 2
D．
10 2
25．已知正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为 2 ， E , F 分别是 CC1 , DD1 的中点，点 P 在矩形
C1 D1 FE 的内部及其边界上运动，点 Q 在线段 AD 上运动，则线段 PQ 中点 M 的轨迹所
2016年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试卷(定稿)
机密★考试结束前2016年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分100分，考试时间110分钟。
2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
5．参考公式球的表面积公式：24S R π=球的体积公式：343V R π=(R 为球的半径)选择题部分一、选择题(本大题共25小题，1—15每小题2分，16—25每小题3分，共60分。
每小题 给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。
） 1．已知集合{,}A a b =，{,,}B a b c =，则A B = A ．{}a B ．{}b C ．{,}a b D ．{,,}a b c2．函数()f x =A ．{|0}x x ≤B ．{|0}x x ≥C ．{|2}x x ≤D ．{|2}x x ≥ 3．在等比数列{}n a 中，22a =，34a =，则5a = A ．8B ．16C ．32D ．64 4．直线21y x =+的斜率为 A ．2-B ．1-C ．1D ．2 5．设α∈R ，则sin()πα-=A ．cos αB ．cos α-C ．sin αD ．sin α-6．在数列{}n a 中，4n n a a +=，*n ∈N ，且前4项满足以下关系：6 A ．1B ．2C ．3D ．4 7．不等式220x x -<的解集为A ．(,0)-∞B ．(0,2)C ．(2,)+∞D ．(,0)(2,)-∞+∞8．函数3()f x x =，x ∈R A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数,但不是奇函数 C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数9．已知向量(,1)n =a 与(2,4)=b 垂直，则实数n 的值为 A ．2-B ．12-C ．12D ．210．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是 A ．四棱柱 B ．三棱柱 C ．四棱锥D ．三棱锥11．若x ∈R ，则“1x =”是“(1)0x x -=”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 12．直线1x y +=与圆221x y +=的位置关系是 A ．相离B ．相切C ．相交且直线经过圆心D ．相交但直线不经过圆心 13．将函数cos y x =，x ∈R 图象上的每个点向右平移3π个单位，再向上平移2个单位，得 到的图象对应的函数解析式为A ．cos()23y x π=+-B ．cos()23y x π=++ C ．cos()23y x π=--D ．cos()23y x π=-+ 14．已知3()log |1|f x x =+，则(4)f -，(0)f ，(4)f 的大小关系为 A ．(4)(0)(4)f f f -<<B ．(0)(4)(4)f f f <<- C ．(4)(4)(0)f f f <-<D ．(0)(4)(4)f f f <-<15．双曲线2214y x -=的离心率为AC16．在ABC ∆中，三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且30A = ，60B = ，1a =，则b = A ．1BC．17．函数()23xf x =-的零点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．318．准线方程是2x =-的抛物线的标准方程为 A ．28y x =B ．28y x =-C ．28x y =D ．28x y =-侧视图俯视图(第10题图)19．函数()cos f x x x +，x ∈R 的最大值为 A ．1B．2D120．如图，在三棱锥S ABC -中，SA AB ⊥，SA AC ⊥，则直线SA 与直线BC 的位置关系是 A ．相交 B ．平行 C ．异面且垂直 D ．异面但不垂直 21．若实数,x y 满足1,0,0,x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩则x y +的最小值为A ．1-B ．0C ．1D ．222．在空间中，,m n 是不同的直线，α是平面，,m n 均与直线l 异面．下列四个命题： ①若直线,m n 与直线l 所成的角大小相等，则m n ‖；②若直线,m n 与平面α所成的角大小相等，则m n ‖； ③若m n ‖，则直线,m n 与直线l 所成的角大小相等； ④若m n ‖，则直线,m n 与平面α所成的角大小相等. 其中，真命题是A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④23．令[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 3.5]4-=-，[2]2-=-，[2.1]2=，则函数()[]f x x x =-，(2,1.5]x ∈-的图象大致是SABC（第20题图）24．某商品销量q 与售价p 满足10q p λ=-，总成本c 与销量满足4c q μ=+，销售收入r 与售价及销量之间满足r pq =，其中,λμ均为正常数．设利润=销售收入-总成本，则利 润最大时的售价为 A ．10λμλ-B ．10λμλ+C ．102λμλ-D ．102λμλ+ 25．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 分别是11,CC DD 的中点，点P 在矩形11C D FE 的内部及其边界上运动，点Q 在线段AD 上运动，则线段PQ 中点M 的轨迹所形成的几何体的体积为 A ．18B ．14C ．12D ．1非选择题部分二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分。
学业水平考试2016-2017学年高一数学人教版必修1(浙江专用)课时作业：2.2.2.1 对数函数的图象及性质
基 础 过 关1.函数y ＝2－xlg x 的定义域为( ) A.{x |x ≤2} B.{x |0<x ≤2}C.{x |1<x ≤2}D.{x |0<x <1或1<x ≤2}解析由题意知⎩⎨⎧2－x ≥0，lg x ≠0，x >0，∴0<x <1或1<x ≤2.答案 D2.如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.c ＞b ＞a C.c ＞a ＞bD.a ＞c ＞b解析 y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝logb x ，y ＝logc x 的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b ，c ∈(0，1)，又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b . 答案 D3.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x（x ≤0），log 2x （x ＞0），那么f⎝ ⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫18的值为( )A.27B.127C.－27D.－127解析 f⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 218＝log 22－3＝－3，f⎝ ⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝f (－3)＝3－3＝127.答案 B4.若a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点________. 解析 函数图象过定点，则与a 无关，故log a (x －1)＝0， ∴x －1＝1，x ＝2，y ＝1，所以y ＝log a (x －1)＋1过定点(2，1). 答案 (2，1)5.已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. 解析 设f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，则－3＝log a 8， ∴a ＝12.∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.答案 －326.求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x ).解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧x －2＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3.∴函数定义域为(2，3)∪(3，＋∞).(2)要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. ∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4).7.已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，求b 的值.解 当x ＋3＝1，即x ＝－2时，对任意的a >0且a ≠1都有y ＝log a 1－89＝0－89＝－89，所以函数y ＝log a (x ＋3)－89的图象恒过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－89，若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则－89＝3－2＋b ，所以b ＝－1. 8.已知函数f (x )＝lg(x －1). (1)求函数f (x )的定义域和值域； (2)证明f (x )在定义域上是增函数.(1)解 要使函数有意义，则x －1>0，解得x >1.由于函数f (x )的定义域是(1，＋∞)，则有u ＝x －1的值域是(0，＋∞)，那么函数f (x )的值域是R .(2)证明 设x 1，x 2为(1，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则有f (x 1)－f (x 2)＝lg(x 1－1)－lg(x 2－1)＝lg x 1－1x 2－1.∵1<x 1<x 2，∴0<x 1－1<x 2－1.∴0<x 1－1x 2－1<1.∴lg x 1－1x 2－1<0.∴f (x 1)<f (x 2).∴f (x )在定义域上是增函数.能 力 提 升9.函数f (x )＝11－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 解析 由⎩⎨⎧1－x >0，3x ＋1>0，可得－13<x <1.答案 D10.函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )解析 函数y ＝－log a x 恒过定点(1，0)，排除B 项；当a >1时，y ＝a x 是增函数，y ＝－log a x 是减函数，当0<a <1时，y ＝a x 是减函数，y ＝－log a x 是增函数，排除C 项和D 项，故选A. 答案 A11.(2016·烟台高一检测)若函数y ＝log a 2x ＋1x －1＋3的图象恒过定点P ，则P 点坐标为________. 解析 依题意，令2x ＋1x －1＝1，得x ＝－2，当x ＝－2时，y ＝log a 1＋3＝3.∴点P的坐标为(－2，3). 答案 (－2，3)12.已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 12x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，m ，值域为[0，1]，则m 的取值范围为________.解析 作出y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 12x 的图象(如图)可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (2)＝1.由题意结合图象知：1≤m ≤2. 答案 [1，2]13.若函数y ＝log a (x ＋a )(a >0且a ≠1)的图象过点(－1，0). (1)求a 的值.(2)求函数f (x )＝log a (x ＋a )＋x 在x ∈[0，2]上的值域. 解 (1)将(－1，0)代入y ＝log a (x ＋a )(a >0，a ≠1)中， 有0＝log a (－1＋a )，则－1＋a ＝1.因此a ＝2. (2)由(1)知，f (x )＝log 2(x ＋2)＋x ，x ∈[0，2] ∵y ＝log 2(x ＋2)与y ＝x 在[0，2]上都是增函数.∴f (x )在[0，2]上是增函数.∴f (x )min ＝f (0)＝log 22＋0＝1，f (x )max ＝f (2)＝log 24＋2＝4，故函数f (x )的值域为[1，4].探 究 创 新14.已知f (x )＝|log 3x |. (1)画出函数f (x )的图象；(2)讨论关于x 的方程|log 3x |＝a (a ∈R )的解的个数.解 (1)函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，x ≥1，－log 3x ，0＜x ＜1，对应的函数f (x )的图象为：(2)设函数y ＝|log 3x |和y ＝a .当a ＜0时，两图象无交点，原方程解的个数为0个. 当a ＝0时，两图象只有1个交点，原方程只有1解. 当a ＞0时，两图象有2个交点，原方程有2解.。
数学-2016年高考真题——浙江卷(理)(精校解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷)理科数学第Ⅰ卷一、选择题1．(2016·浙江，1)已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( ) A ．[2,3] B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)2．(2016·浙江，2)已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥lD ．m ⊥n3．(2016·浙江，3)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0 中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．64．(2016·浙江，4)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 25．(2016·浙江，5)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关6．(2016·浙江，6)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列7．(2016·浙江，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( ) A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜18．(2016·浙江，8)已知实数a ，b ，c ，( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100第Ⅱ卷二、填空题9．(2016·浙江，9)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________． 10．(2016·浙江，10)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.11．(2016·浙江，11)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______cm 2，体积是________cm 3.12．(2016·浙江，12)已知a ＞b ＞1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.13．(2016·浙江，13)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝______，S 5＝______.14．(2016·浙江，14)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是________．15．(2016·浙江，15)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________． 三、解答题16．(2016·浙江，16)(本题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．17．(2016·浙江，17)(本题满分15分)如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求二面角B-AD-F 的平面角的余弦值．18．(2016·浙江，18)(本题满分15分)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p ＞q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a )．19．(2016·浙江，19)(本题满分15分)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 20．(2016·浙江，20)(本题满分15分)设数列{a n }满足|a n －a n ＋12|≤1，n ∈N *. (1)证明：|a n |≥2n －1(|a 1|－2)，n ∈N *；(2)若|a n |≤⎝⎛⎭⎫32n ，n ∈N *，证明：|a n|≤2，n ∈N *.答案解析1.解析 由已知得Q ＝{x |x ≥2或x ≤－2}．∴∁R Q ＝(－2,2)．又P ＝[1,3]，∴P ∪∁R Q ＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]． 答案 B2.解析 由已知，α∩β＝l ，∴l ⊂β，又∵n ⊥β，∴n ⊥l ，C 正确．故选C. 答案 C3.解析 已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示．因为l 与直线x ＋y ＝0平行．所以区域内的点在直线x ＋y －2上的投影构成线段AB ，则|AB |＝|PQ |.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0，解得P (－1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0 解得Q (2，－2)．所以|AB |＝|PQ |＝(－1－2)2＋(1＋2)2＝3 2. 答案 C4.解析 原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∃n ∈N *，使得n ≥x 2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合． 答案 D5.解析 因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B. 答案 B6.解析 作A 1C 1，A 2C 2，A 3C 3，…，A n C n 垂直于直线B 1B n ，垂足分别为C 1，C 2，C 3，…，C n ，则A 1C 1∥A 2C 2∥…∥A n C n .∵|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，∴|C n C n ＋1|＝|C n ＋1C n ＋2|. 设|A 1C 1|＝a ，|A 2C 2|＝b ，|B 1B 2|＝c ，则|A 3C 3|＝2b －a ，…，|A n C n |＝(n －1)b －(n －2)a (n ≥3)，∴S n ＝12c [(n －1)b －(n －2)a ]＝12c [(b －a )n ＋(2a －b )]，∴S n ＋1－S n ＝12c [(b －a )(n ＋1)＋(2a －b )－(b －a )n －(2a －b )]＝12c (b －a )，∴数列{S n }是等差数列． 答案 A7.解析 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1. 答案 A8.解析 由于此题为选择题，可用特值排除法找正确选项． 对选项A ，当a ＝b ＝10，c ＝－110时，可排除此选项； 对选项B ，当a ＝10，b ＝－100，c ＝0时，可排除此选项； 对选项C ，当a ＝10，b ＝－10，c ＝0时，可排除此选项． 故选D. 答案 D9.解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)．准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9. 答案 910.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1 ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，∴A ＝2，b ＝1. 答案2 111.解析 由三视图可知，该几何体为两个相同长方体的组合，长方体的长、宽、高分别为4 cm 、2 cm 、2 cm ，其直观图如下：其体积V ＝2×2×2×4＝32(cm 3)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S ＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm 2)． 答案 72 3212.解析 设log b a ＝t ，则t ＞1，因为t ＋1t ＝52，解得t ＝2，所以a ＝b 2，①因此a b ＝b a ⇒b 2b＝2b b ，②解得b ＝2，a ＝4. 答案 4 213.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 1＋1，a 2＋a 1＝4，解得a 1＝1，a 2＝3，当n ≥2时，由已知可得： a n ＋1＝2S n ＋1，① a n ＝2S n －1＋1，②①－②得a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，又a 2＝3a 1， ∴{a n }是以a 1＝1为首项，公比q ＝3的等比数列． ∴S 5＝1－1×351－3＝121.答案 1 12114.解析 设PD ＝DA ＝x ，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， ∴AC ＝AB 2＋BC 2－2·AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋4－2×2×2×cos 120°＝23，∴CD ＝23－x ，且∠ACB ＝12(180°－120°)＝30°，∴S △BCD ＝12BC ·DC ×sin ∠ACB ＝12×2×(23－x )×12＝12(23－x )．要使四面体体积最大，当且仅当点P 到平面BCD 的距离最大，而P 到平面BCD 的最大距离为x .则V 四面体PBCD ＝13×12(23－x )x ＝16[－(x －3)2＋3]，由于0＜x ＜23，故当x ＝3时，V 四面体PBCD 的最大值为16×3＝12.答案 1215.解析 由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |， 由于上式对任意单位向量e 都成立． ∴6≥|a ＋b |成立．∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b . 即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.答案 1216.(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.17.(1)证明 延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以，AC ⊥平面BCFE ，因此BF ⊥AC . 又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK ， 且CK ∩AC ＝C ， 所以BF ⊥平面ACFD .(2)解 方法一 过点F 作FQ ⊥AK 于Q ，连接BQ . 因为BF ⊥平面ACFD ，所以BF ⊥AK ， 则AK ⊥平面BQF ，所以BQ ⊥AK . 所以∠BQF 是二面角B-AD-F 的平面角． 在Rt △ACK 中，AC ＝3，CK ＝2，得FQ ＝31313.在Rt △BQF 中，FQ ＝31313，BF ＝3，得cos ∠BQF ＝34. 所以，二面角B-AD-F 的平面角的余弦值为34. 方法二 如图，延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，则△BCK 为等边三角形．取BC 的中点O ，连接KO ，则KO ⊥BC ，又平面BCFE ⊥平面ABC ，所以KO ⊥平面ABC . 以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz .由题意得B (1,0,0)，C (－1,0,0)，K (0,0，3)，A (－1，－3，0)，E ⎝⎛⎫12，0，32，F ⎝⎛⎭⎫－12，0，32.因此，AC →＝(0,3,0)，AK →＝(1,3，3)，AB →＝(2,3,0)．设平面ACK 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABK 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·m ＝0，AK →·m ＝0，得⎩⎨⎧3y 1＝0，x 1＋3y 1＋3z 1＝0，取m ＝(3，0，－1)；由⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AK →·n ＝0，得⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝0，x 2＋3y 2＋3z 2＝0，取n ＝(3，－2，3)．于是，cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝34.所以，二面角B-AD-F 的平面角的余弦值为34. 18.解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )＞0， 当x ＞1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围是[2,2a ]．(2)①设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2，则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，所以，由F (x )的定义知m (a )＝min {}f (1)，g (a )，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a ＞2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max {}f (0)，f (2)＝2＝F (2)． 当2<x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max {}g (2)，g (6) ＝max {}2，34－8a ＝max {}F (2)，F (6). 当a ≥4时，34－8a ≤2； 当3≤a <4时，34－8a >2，所以M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a ＜4，2，a ≥4.19.解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0， 故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2，因此|AM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2. 由(1)知|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由于k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝⎛⎭⎫1k 21＋1⎝⎛⎭⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，① 因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. 因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2， 由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22.所以离心率的取值范围是(0，22)． 20.证明 (1)由⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1得|a n |－12|a n ＋1|≤1，故|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1≤12n ，n ∈N *， 所以|a 1|21－|a n |2n ＝⎝⎛⎭⎫|a 1|21－|a 2|22＋⎝⎛⎭⎫|a 2|22－|a 3|23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n －1|2n －1－|a n |2n ≤121＋122＋…＋12n －1＜1， 因此|a n |≥2n －1(|a 1|－2)．(2)任取n ∈N *，由(1)知，对于任意m ＞n ，|a n |2n －|a m |2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n ＋1|2n ＋1－|a n ＋2|2n ＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a m －1|2m －1－|a m |2m ≤12n ＋12n ＋1＋…＋12m －1＜12n －1， 故|a n |＜⎝⎛⎭⎫12n －1＋|a m |2m ·2n ≤⎣⎡⎦⎤12n －1＋12m ·⎝⎛⎭⎫32m ·2n ＝2＋⎝⎛⎭⎫34m ·2n .从而对于任意m ＞n ，均有|a n |＜2＋⎝⎛⎭⎫34m ·2n . 由m 的任意性得|a n |≤2.① 否则，存在n 0∈N *，有|0n a |＞2，取正整数m 0＞0034||2log 2n n a -且m 0＞n 0，则02n ·⎝⎛⎭⎫340m ＜02n ·034||2log 23()4n a -＝|0n a |－2，与①式矛盾．综上，对于任意n ∈N *，均有|a n |≤2.。
016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学理科.docx
2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合P=，Q=，则P=（）A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.2.已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m,n满足，，则（）A. B. C. D.3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（）A. B.4 C. D.64.命题“，，使得”的否定形式是（）A.，，使得B.，，使得C.，，使得D.，，使得5.设函数，则的最小正周期（）A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列、分别在某锐角的两边上，且，，，，，.（表示点P与Q不重合）学.科.网若，为的面积，则（）A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列7.已知椭圆；与双曲线：的焦点重合，，分别为，的离心率，则（）A.且B.且C.且D.且8.已知实数，，. （）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
9.若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是 .10.已知，则A= ，b= .11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是cm3.12.已知 ，若， ，则a= ，b= .13.设数列 的前n 项和为 ，若 ， ， ，则 = ， = .14.如图，在 中，AB=BC=2， .若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .15.已知向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，学.科.网若对任意单位向量e ，均有|a ·e |+|b ·e | ，则a ·b 的最大值是 .三、解答题：本大题共5小题，共74分。
2016年4月浙江省学考选考浙江省普通高中学业水平考试数学试卷(定稿)试题及参考答案解析
2016年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题姓名： 准考证号：本试题卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分100分,考试时间80分钟。
考生注意：1. 答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试 题卷和答题纸规定的位置上。
2. 答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答, 在本试题卷上的作答一律无效。
3. 非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内,作图 时可先使用2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑,答案写在本试题卷上无效。
选择题部分一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分。
每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分。
)1.已知集合A ={}1,2,B =()(){}10,R x x x a a --=∈.若A =B ,则a 的值为 ( )A.2B.1C.－1D.－22.已知角α的终边经过点P (3,4),则sin α= ( )A.35B.34C.45D.433.函数()()2log 1f x x =-的定义域为 ( )A.(),1-∞-B.(),1-∞C.()0,1D.()1,+∞4.下列图像中,不可能．．．成为函数()y f x =图像的是 ( ) HJH749HJH750A BHJH751HJH752C D5.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的方程为y =x ＋2,则原点O 到直线l 的距离是 ( )A.12 B. 2D.26.o oo otan 20tan 25=1tan 20tan 25+-⋅ ( )C.－1D.17.如图,某简单组合体由半个球和一个圆台组成,则该几何体的侧视图为 ( )HJH753第7题图HJH754 HJH755ABHJH756HJH757CD8.已知圆1C ：221x y +=,圆()()222349C x y -+-=：,则圆1C 与圆2C 的位置关系是( )A.内含B.外离C.相交D.相切9.对任意的正实数a 及m ,n ∈Q,下列运算正确的是 ( )A.()nm m n a a += B.()nnm m a a =C.()nm m na a-= D.()nm mn aa =10.已知空间向量a=(2,－1,5),b =(－4,2,x )(x ∈R).若a b ⊥,则x = ( )A.－10B.－2C.2D.1011.在平面直角坐标系xOy 中,设R a ∈.若不等式组,10,10y a x y x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤所表示平面区域的边界为三角形,则a 的取值范围为 ( )A.()1,+∞B.()0,1C.(),0-∞D.()(),11,-∞+∞12.已知数列{}()*N n a n ∈满足1n a +=2,1,n n a n a n ⎧⎨+⎩奇，偶为数为数.设n S 是数列{}n a 的前n 项和.若5=20S －,则1a 的值为 ( )A.239-B.2031-C.－6D.－213.在空间中,设a ,b ,c 为三条不同的直线,α为一平面.现有： 命题p ：若,,a b αα⊄⊂且a ∥b ,则a ∥α； 命题q ：若,,a b αα⊂⊂且,c a c b ⊥⊥,则c α⊥. 则下列判断正确的是( )A.p ,q 都是真命题B.p ,q 都是假命题C.p 是真命题,q 是假命题D.p 是假命题,q 是真命题14.设*N n ∈,则“数列{}n a 为等比数列”是“数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件15.在ABC ∆中,已知o 30,3,2A AB BC ∠===,则ABC ∆的形状是 ( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不能确定16.如图所示,在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC —111A B C 中,P 是棱BC 上的动点,记直线1A P 与平面ABC 所成的角为1θ,与直线BC 所成的角为2θ,则1θ,2θ的大小关系是( )A.1θ=2θB.1θ>2θC.1θ<2θD.不能确定HJH758第16题图17.已知平面向量a ,b 满足()12R a b e e λλ==+∈,其中12,e e 为不共线的单位向量.若对符合上述条件的任意向量a ,b 恒有a b -则12,e e 夹角的最小值为( ) A.6π B.3π C.32π D.65π18.设函数()()2,R f x ax b a b x=--∈.若对任意的正实数a 和实数b ,总存在[]01,2x ∈,使得()0f x m ≥,则实数m 的取值范围是 ( ) A.(],0-∞ B.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.(],1-∞D.(],2-∞非选择题部分二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分。
2015-2016学年浙江省普通高中高二(上)学业水平测试数学试卷及答案
2015-2016学年浙江省普通高中高二（上）学业水平测试数学试卷一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．（3分）函数f（x）=3的定义域为（）A．（﹣∞，0）B．[0，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，2）2．（3分）下列数列中，构成等比数列的是（）A．2，3，4，5 B．1，﹣2，﹣4，8 C．0，1，2，4 D．16，﹣8，4，﹣2 3．（3分）任给△ABC，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式成立的是（）A．c2=a2+b2+2abcosC B．c2=a2+b2﹣2abcosCC．c2=a2+b2+2absinC D．c2=a2+b2﹣2absinC4．（3分）如图，某简单组合体由一个圆锥和一个圆柱组成，则该组合体三视图的俯视图为（）A． B．C．D．5．（3分）要得到余弦曲线y=cosx，只需将正弦曲线y=sinx向左平移（）A．个单位B．个单位C．个单位D．个单位6．（3分）在平面直角坐标系中，过点（0，1）且倾斜角为45°的直线不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（3分）已知平面向量=（1，x），=（y，1）．若∥，则实数x，y一定满足（）A．xy﹣1=0 B．xy+1=0 C．x﹣y=0 D．x+y=08．（3分）已知{a n}（n∈N*）是以1为首项，2为公差的等差数列．设S n是{a n}的前n项和，且S n=25，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．69．（3分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F．若F到直线y=x的距离为，则p=（）A．2 B．4 C．2 D．410．（3分）在空间直角坐标系Oxyz中，若y轴上点M到两点P（1，0，2），Q （1，﹣3，1）的距离相等，则点M的坐标为（）A．（0，1，0）B．（0，﹣1，0）C．（0，0，3）D．（0，0，﹣3）11．（3分）若实数x，y满足，则y的最大值为（）A．B．1 C．D．12．（3分）设a＞0，且a≠1，则“a＞1”是“log a＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点．设AM与平面BB1D1D的交点为O，则（）A．三点D1，O，B共线，且OB=2OD1B．三点D1，O，B不共线，且OB=2OD1C．三点D1，O，B共线，且OB=OD1D．三点D1，O，B不共线，且OB=OD114．（3分）设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）．若ab的最大值为3，则λ=（）A．3 B．C．D．15．（3分）在空间中，设l，m为两条不同直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊂α，m不平行于l，则m不平行于αB．若l⊂α，m⊂β，且α，β不平行，则l，m不平行C．若l⊂α，m不垂直于l，则m不垂直于αD．若l⊂α，m⊂β，l不垂直于m，则α，β不垂直16．（3分）设a，b，c∈R，下列命题正确的是（）A．若|a|＜|b|，则|a+c|＜|b+c|B．若|a|＜|b|，则|a﹣c|＜|b﹣c|C．若|a|＜|b﹣c|，则|a|＜|b|﹣|c|D．若|a|＜|b﹣c|，则|a|﹣|c|＜|b| 17．（3分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，l1，l2为双曲线的两条渐近线．设过点M（b，0）且平行于l1的直线交l2于点P．若PF1⊥PF2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．18．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，线段AD，BD的中点分别为E，F．现将△ABD沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是（）A．（，） B．（，]C．（，]D．（，）二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．（6分）设，为平面向量．若=（1，0），=（3，4），则||=，•=．20．（3分）设全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，则A的补集∁U A=．21．（3分）在数列{a n}（n∈N*）中，设a1=a2=1，a3=2．若数列{}是等差数列，则a6=．22．（3分）已知函数f（x）=，g（x）=ax+1，其中a＞0．若f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（10分）已知函数f（x）=2sinxcosx，x∈R．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）求函数g（x）=f（x）+f（x+）的最大值．24．（10分）设F1，F2分别是椭圆C：+y2=1的左、右焦点，过F1且斜率不为零的动直线l与椭圆C交于A，B两点．（Ⅰ）求△AF1F2的周长；（Ⅱ）若存在直线l，使得直线F2A，AB，F2B与直线x=﹣分别交于P，Q，R 三个不同的点，且满足P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，求该直线l的方程．25．（11分）已知函数f（x）=ax++，a∈R．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）当a＜2时，证明：函数f（x）在（0，1）上单调递减；（Ⅲ）若对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），不等式（x﹣1）[f（x）﹣]≥0恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年浙江省普通高中高二（上）学业水平测试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．（3分）函数f（x）=3的定义域为（）A．（﹣∞，0）B．[0，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，2）【解答】解：要使函数f（x）=3有意义，可得x﹣2≥0，解得x≥2．函数的定义域为：[2，+∞）．故选：C．2．（3分）下列数列中，构成等比数列的是（）A．2，3，4，5 B．1，﹣2，﹣4，8 C．0，1，2，4 D．16，﹣8，4，﹣2【解答】解：由等比数列的定义以及性质可知，A，B，C都不是等比数列．故选：D．3．（3分）任给△ABC，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式成立的是（）A．c2=a2+b2+2abcosC B．c2=a2+b2﹣2abcosCC．c2=a2+b2+2absinC D．c2=a2+b2﹣2absinC【解答】解：式子c2=a2+b2﹣2abcosC符合余弦定理，正确；故选：B．4．（3分）如图，某简单组合体由一个圆锥和一个圆柱组成，则该组合体三视图的俯视图为（）A． B．C．D．【解答】解：简单组合体由一个圆锥和一个圆柱组成，左侧是圆锥，右侧是圆柱，俯视图为：三角形与矩形组成，故选：D．5．（3分）要得到余弦曲线y=cosx，只需将正弦曲线y=sinx向左平移（）A．个单位B．个单位C．个单位D．个单位【解答】解：∵cosx=sin（x﹣）∴余弦函数y=cosx的图象可看作正弦y=sinx图象向左平移个单位得到．故选：A6．（3分）在平面直角坐标系中，过点（0，1）且倾斜角为45°的直线不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：过点（0，1）且倾斜角为45°的直线为y﹣1=x，即x﹣y+1=0，当x=0时，y=1，当y=0时，x=﹣1，所以直线x﹣y+1=0过第一，二，三象限，不过第四象限，故选：D．7．（3分）已知平面向量=（1，x），=（y，1）．若∥，则实数x，y一定满足（）A．xy﹣1=0 B．xy+1=0 C．x﹣y=0 D．x+y=0【解答】解：平面向量=（1，x），=（y，1）．若∥，则xy=1．即xy﹣1=0．故选：A．8．（3分）已知{a n}（n∈N*）是以1为首项，2为公差的等差数列．设S n是{a n}的前n项和，且S n=25，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：S n=25=n+，化为n2=25，解得n=5．故选：C．9．（3分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F．若F到直线y=x的距离为，则p=（）A．2 B．4 C．2 D．4【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0）．F到直线y=x的距离为，可得：=，解得p=4．故选：B．10．（3分）在空间直角坐标系Oxyz中，若y轴上点M到两点P（1，0，2），Q （1，﹣3，1）的距离相等，则点M的坐标为（）A．（0，1，0）B．（0，﹣1，0）C．（0，0，3）D．（0，0，﹣3）【解答】解：根据题意，设点M（0，y，0），∵|MP|=|MQ|，∴=，即y2+5=y2+6y+11，∴y=﹣1，∴点M（0，﹣1，0）．故选：B．11．（3分）若实数x，y满足，则y的最大值为（）A．B．1 C．D．【解答】解：做出直线y=x，y=x与圆（x﹣1）2+y2=1的图象，得出不等式组对应的可行域，如图阴影部分所示，根据题意得：y的最大值为1，故选：B．12．（3分）设a＞0，且a≠1，则“a＞1”是“log a＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵log a＜1=log a a，当a＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0＜a＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a＜，综上可知a的取值是（0，）∪（1，+∞），故“a＞1”是“log a＜1”的充分不必要条件，故选：A．13．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点．设AM与平面BB1D1D的交点为O，则（）A．三点D1，O，B共线，且OB=2OD1B．三点D1，O，B不共线，且OB=2OD1C．三点D1，O，B共线，且OB=OD1D．三点D1，O，B不共线，且OB=OD1【解答】解：【解法一】如图1，连接AD1，BC1，利用公理2可直接证得，并且由D1M∥AB且D1M=AB，∴OD1=BO，∴D1，O，B三点共线，且OB=2OD1．【解法二】以正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，DA所在的直线为x 轴，DC所在的直线为y轴，DD1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），M（0，，1）；设点O（x，x，z），∴=（x﹣1，x，z），=（﹣1，，1）；又与共线，∴=λ，∴（x﹣1，x，z）=（﹣λ，λ，λ），即，解得，∴点O（，，）；∴=（﹣，﹣，），又=（﹣1，﹣1，1），∴=，∴D1，O，B三点共线，且OB=2OD1．故选：A．14．（3分）设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）．若ab的最大值为3，则λ=（）A．3 B．C．D．【解答】解：设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）若ab的最大值为3，则2≤2，当ab=3时：=1，解得：λ=，故选：D．15．（3分）在空间中，设l，m为两条不同直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊂α，m不平行于l，则m不平行于αB．若l⊂α，m⊂β，且α，β不平行，则l，m不平行C．若l⊂α，m不垂直于l，则m不垂直于αD．若l⊂α，m⊂β，l不垂直于m，则α，β不垂直【解答】解：若l⊂α，m不平行于l，则m⊂α，m平行于α，m与α相交都有可能，故不正确；若l⊂α，m⊂β，且α，β不平行，则l，m可以与交线平行，故不正确；若l⊂α，m不垂直于l，则m不垂直于α，利用反证法可得正确；若l⊂α，m⊂β，l不垂直于m，α，β垂直时也成立，故不正确．故选：C．16．（3分）设a，b，c∈R，下列命题正确的是（）A．若|a|＜|b|，则|a+c|＜|b+c|B．若|a|＜|b|，则|a﹣c|＜|b﹣c|C．若|a|＜|b﹣c|，则|a|＜|b|﹣|c|D．若|a|＜|b﹣c|，则|a|﹣|c|＜|b|【解答】解：根据不等式的基本性质，对各选项考察如下：对于A选项：若|a|＜|b|，不一定有|a+c|＜|b+c|成立，如a=﹣2，b=3，c=﹣1，此时|a+c|＞|b+c|，故A不正确；对于B选项：若|a|＜|b|，不一定有|a﹣c|＜|b﹣c|成立，如a=﹣2，b=3，c=1，此时|a﹣c|＞|b﹣c|，故B不正确；对于C选项：若|a|＜|b﹣c|，不一定有|a|＜|b|﹣|c|，如a=2，b=2，c=﹣3，此时|a|＞|b|﹣|c|，故C不正确；对于D选项：若|a|＜|b﹣c|，则必有|a|﹣|c|＜|b|成立，因为，|a|＜|b﹣c|≤|b|+|c|，所以，|a|﹣|c|＜|b|，故D正确．故答案为：D．17．（3分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，l1，l2为双曲线的两条渐近线．设过点M（b，0）且平行于l1的直线交l2于点P．若PF1⊥PF2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可得F1（﹣c，0）、F2（c，0），双曲线的渐近线为：y=x，直线PM的方程为：y=﹣（x﹣b），联立，可得x=，∴P（，）∴=（+c，），=（﹣c，）∵PF1⊥PF2，∴•=0，∴（+c，）•（﹣c，）=0∴=0∴b2=4a2，∴c2=5a2，∴e==，故选：B．18．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，线段AD，BD的中点分别为E，F．现将△ABD沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是（）A．（，） B．（，]C．（，]D．（，）【解答】解：可设菱形的边长为1，则BE=CF=，BD=1；线段AD，BD的中点分别为E，F；∴，=；∴===；∴=；由图看出；∴；∴；即异面直线BE与CF所成角的取值范围是．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．（6分）设，为平面向量．若=（1，0），=（3，4），则||=1，•= 3．【解答】解：||==1，•=1×3+0×4=3．故答案1，3．20．（3分）设全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，则A的补集∁U A={4} ．【解答】解：∵全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，∴∁U A={4}，故答案为：{4}21．（3分）在数列{a n}（n∈N*）中，设a1=a2=1，a3=2．若数列{}是等差数列，则a6=120．【解答】解：∵数列{}是等差数列，∴公差d=．则．则，…．累积得：，∴a6=120．故答案为：120．22．（3分）已知函数f（x）=，g（x）=ax+1，其中a＞0．若f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是（0，1）．【解答】解：f（x）=，（1）若a＜0，作出f（x）和g（x）的图象如图，显然f（x）与g（x）只有一个交点．（2）若a=0，作出f（x）和g（x）的图象如图，显然f（x）与g（x）只有一个交点．（3）若a＞1，作出f（x）和g（x）的图象如图，显然f（x）与g（x）只有一个交点．（4）若0＜a＜1，作出f（x）和g（x）的图象如图，显然f（x）与g（x）有两个交点．（5）若a=1，作出f（x）和g（x）的图象如图，显然f（x）与g（x）只有一个交点．综上，a的取值范围是（0，1）．故答案为（0，1）．三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（10分）已知函数f（x）=2sinxcosx，x∈R．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）求函数g（x）=f（x）+f（x+）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f（）=2sin cos=1，（Ⅱ）∵f（x）=sin2x，∴函数f（x）的最小正周期为T==π，（Ⅲ）∵g（x）=sin2x+sin（2x+）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴当x=k，k∈Z时，函数g（x）的最大值为．24．（10分）设F1，F2分别是椭圆C：+y2=1的左、右焦点，过F1且斜率不为零的动直线l与椭圆C交于A，B两点．（Ⅰ）求△AF1F2的周长；（Ⅱ）若存在直线l，使得直线F2A，AB，F2B与直线x=﹣分别交于P，Q，R 三个不同的点，且满足P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，求该直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的长轴长2a=2，焦距2c=2．又由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a所以△AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|=2+2（Ⅱ）由题意得l不垂直两坐标轴，故设l的方程为y=k（x+1）（k≠0）于是直线l与直线x=﹣交点Q的纵坐标为y Q=设A（x1，y1），B（x2，y2），显然x1，x2≠1，所以直线F2A的方程为y=（x﹣1）故直线F2A与直线x=﹣交点P的纵坐标为y P=同理，点R的纵坐标为y R=因为P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，所以|y P|•|y R|=|y Q|2即|×|=整理得9|x1x2+（x1+x2）+1|=|x1x2﹣（x1+x2）+1|．（*）联立y=k（x+1）与椭圆方程，消去y得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0所以x1+x2=，x1x2=代入（*）化简得|8k2﹣1|=9解得k=±经检验，直线l的方程为y═±（x+1）．25．（11分）已知函数f（x）=ax++，a∈R．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）当a＜2时，证明：函数f（x）在（0，1）上单调递减；（Ⅲ）若对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），不等式（x﹣1）[f（x）﹣]≥0恒成立，求a的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：∵f（﹣x）=﹣ax=﹣（ax++）=﹣f（x），又∵f（x）的定义域为{x∈R|x≠﹣1且x≠1}，∴函数f（x）为奇函数；（Ⅱ）证明：任取x1，x2∈（0，1），设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（x1﹣x2）+==．∵0＜x1＜x2＜1，∴2（x1x2+1）＞2，0＜（x12﹣1）（x22﹣1）＜1，∴＞2＞a，∴a﹣＜0．又∵x1﹣x2＜0，∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）在（0，1）上单调递减；（Ⅲ）解：∵（x﹣1）[f（x）﹣]=（x﹣1）[ax]==．∴不等式（x﹣1）[f（x）﹣]≥0恒成立化为不等式ax2（x2﹣1）+2≥0对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立．令函数g（t）=at2﹣at+2，其中t=x2，t＞0且t≠1．①当a＜0时，抛物线y=g（t）开口向下，不合题意；②当a=0时，g（t）=2＞0恒成立，∴a=0符合题意；③当a＞0时，∵g（t）=a（t﹣）2﹣+2．∴只需﹣+2≥0，即0＜a≤8．综上，a的取值范围是0≤a≤8．。
学业水平考试2016-2017学年高一数学人教版必修1(浙江专用)课时作业：第三章 函数的应用 章末检测卷
(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题1.函数y ＝x 2－2x －3的零点是( ) A.1，－3B.3，－1C.1，2D.不存在解析 令x 2－2x －3＝0得x ＝－1或x ＝3，故选B. 答案 B2.函数y ＝1＋1x 的零点是( ) A.(－1，0)B.－1C.1D.0解析 令1＋1x ＝0，得x ＝－1，即为函数的零点. 答案 B3.若函数f (x )＝2mx ＋4在区间[－2，1]上存在x 0使得f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，4 B.[－2，1]C.[－1，2]D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析 因为函数f (x )＝2mx ＋4在区间[－2，1]上存在x 0使得f (x 0)＝0，所以 f (－2)·f (1)≤0，解得m ≤－2或m ≥1. 答案 D4.函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间为( ) A.(1，2)B.(2，3)C.(3，4)与(1，e)D.(e ，＋∞)解析 易知函数f (x )在(2，3)上是连续的，且f (2)＝ln 2－1＝ln 2－ln e ＝ln 2e <0，f (3)＝ln 3－1＝ln 3－ln e ＝ln 3e >0，所以函数f (x )的零点所在的大致区间(2，3).答案 B5.方程log 12x ＝2x －1的实根个数是( ) A.0B.1C.2D.无穷多个解析 画出y ＝log 12x 与y ＝2x －1的图象可知，两曲线仅有一个交点，故实根个数为1.答案 B6.若函数y＝f(x)在区间[0，4]上的图象是一条连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0，4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值()A.大于0B.小于0C.等于0D.与0的大小关系无法确定解析∵f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，∴f(－3)·f(－1)<0，f(2)·f(4)<0，故方程的两个根所在的区间是(－3，－1)和(2，4)，选A. 答案 A7.甲用1 000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙.在上述股票交易中()A.甲刚好盈亏平衡B.甲盈利9元C.甲盈利1元D.甲亏本1.1元解析甲两次付出为1 000元和1 000×1110×910元，两次收入为1 000×1110元和1 000×1110×910×910元，而1 000×1110＋1 000×1110×910×910－1 000－1 000×1110×910＝1，故甲盈利1元.答案 C8.函数y＝f(x)是定义在R上的连续不断的一条曲线，满足f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，其中a<b<c，则y＝f(x)在(a，c)上零点个数为()A.2B.至少2个C.奇数D.偶数解析因为函数y＝f(x)是定义在R上的连续不断的一条曲线，由f(a)·f(b)<0，知y＝f(x)在(a，b)上至少有1个零点，由f(b)·f(c)<0知y＝f(x)在(b，c)上至少有1个零点，所以y＝f(x)在(a，c)上至少有2个零点.答案 B二、填空题9.若f(x)是定义域为R的奇函数，且在区间(0，＋∞)上有一个零点，则f(x)的零点个数为________.解析由题意知f(0)＝0，f(x)在区间(0，＋∞)上有一个零点，在区间(－∞，0)上也必有一个零点，所以f(x)在定义域R上有三个零点.答案 310.已知函数f(x)＝x2＋ax－1的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数a 的取值范围是________.解析根据该二次函数的图象可知，实数a的取值满足f(1)<0，即12＋a－1<0，得a<0.答案(－∞，0)11.一种产品的产量原来为a，在今后m年内，计划使产量每年比上一年增加p%，则产量y随年数x变化的函数解析式为________；定义域为________.解析该函数是指数函数，解析式为y＝a(1＋p%)x，定义域为{x|0≤x≤m，x∈N}.答案a(1＋p%)x{x|0≤x≤m，x∈N}12.四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于变量x最有可能呈指数型函数变化的变量是________(仅有一个变量).解析以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的，从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从1开始变化，其中变量y4的增长速度最快，则y4关于x呈指数型函数变化.答案y413.函数f(x)＝x2＋mx－6的一个零点是－6，则m＝________，另一个零点是________.解析因为函数f(x)＝x2＋mx－6的一个零点是－6，所以(－6)2＋(－6)m－6＝0，解得m＝5，所以f(x)＝x2＋5x－6，由x2＋5x－6＝0得x＝－6或x＝1，所以另一个零点是1.答案5 114.已知函数f (x )＝3x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是________.解析 画出函数y ＝3x ，y ＝log 3x ，y ＝－x ，y ＝－2的图象，如图所示，观察图象可知函数f (x )＝3x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次是点A ，B ，C 的横坐标，由图象可知a ＜b ＜c.答案 a ＜b ＜c15.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比，药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室.解析 (1)由题图可设y ＝kt (0≤t ≤0.1)，把点(0.1，1)分别代入y ＝kt 和y ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a ，解得k ＝10，a ＝0.1. (2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1＜0.25，解得t ＞0.6.答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤110，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1，t ＞110(2)0.6三、解答题16.讨论方程4x 3＋x －15＝0在[1，2]内实数解的存在性，并说明理由. 解 令f (x )＝4x 3＋x －15，∵y ＝4x 3和y ＝x 在[1，2]上都为增函数. ∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1，2]上为增函数， ∵f (1)＝4＋1－15＝－10＜0， f (2)＝4×8＋2－15＝19＞0，∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1，2]上存在一个零点， ∴方程4x 3＋x －15＝0在[1，2]内有一个实数解.17.已知函数f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m 有两个零点，且都大于2，求实数m 的取值范围.解 函数f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m 有两个大于2的零点，即方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0有两个不相等的实数解，且都大于2.结合图象可知⎩⎪⎨⎪⎧（m －2）2－4（5－m ）>02－m 2>24＋2（m －2）＋5－m >0，解得－5<m <－4.故实数m 的取值范围是(－5，－4).18.某同学在用120分钟做150分的数学试卷(分为卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分)时，卷Ⅰ和卷Ⅱ所得分数分别为P (单位：分)和Q (单位：分)，在每部分做了20分钟的条件下发现它们与投入时间m (单位：分钟)的关系有经验公式P ＝15m ＋36，Q ＝65＋23m .(1)试建立数学总成绩y (单位：分)与对卷Ⅱ投入时间x (单位：分钟)的函数关系式，并指明函数定义域；(2)如何计划使用时间，才能使所得分数最高.解 (1)设对卷Ⅱ用x 分钟，则对卷Ⅰ用120－x 分钟，所以y ＝P ＋Q ＝65＋23x ＋15(120－x )＋36＝－15x ＋23x ＋125，其定义域为[20，100].(2)令t ＝x ∈[25，10]，则函数为关于t 的二次函数：y ＝－15t 2＋23t ＋125－15(t －53)2＋140. 所以当t ＝53， 即x ＝75时，y max ＝140.答：当卷Ⅰ用45分钟，卷Ⅱ用75分钟时，所得分数最高. 19.已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t . (1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个实数根. (1)证明 由f (x )＝1得x 2＋(2t －1)x ＋1－2t ＝1， 即x 2＋(2t －1)x －2t ＝0.因为Δ＝(2t －1)2＋8t ＝4t 2＋4t ＋1＝(2t ＋1)2≥0， 所以对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根.(2)解 当12<t <34时，f (－1)＝3－4t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫34－t >0，f (0)＝1－2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t <0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14＋12(2t －1)＋1－2t ＝34－t >0，故方程f (x )＝0在区间(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个实数根.20.根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f (t )与时间t 满足关系f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧12t ＋11，0≤t ＜20，－t ＋41，20≤t ≤40(t ∈N )，销售量g (t )与时间t 满足关系g (t )＝－13t ＋433(0≤t ≤40，t ∈N ).求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值. 解 据题意，商品的价格随时间t 变化，且在不同的区间0≤t ＜20与20≤t ≤40上，价格随时间t 的变化的关系式也不同，故应分类讨论.设日销售额为F (t ). ①当0≤t ＜20，t ∈N 时，F (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋11⎝ ⎛⎭⎪⎫－13t ＋433＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫t －2122＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫4414＋946，故当t ＝10或11时，F (t )max ＝176.②当20≤t ≤40，t ∈N 时，F (t )＝(－t ＋41)(－13t ＋433)＝13(t －42)2－13，故当t＝20时，F(t)max＝161.综合①②知当t＝10或11时，日销售额最大，最大值为176.。
2016年浙江省高考数学试题及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U PQ （）ð= A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}2.已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n3.函数y =sin x 2的图象是4.若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 A.355 B.2 C.322 D.55.已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若4log >1b ，则A.(1)(1)0a b --<B. (1)()0a a b -->C. (1)()0b b a --<D. (1)()0b b a -->6.已知函数f （x ）=x 2+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,xf x x ≥∈R .A.若()f a b ≤，则a b ≤B.若()2b f a ≤，则a b ≤C.若()f a b ≥，则a b ≥D.若()2b f a ≥，则a b ≥8.如图，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且 *1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N .(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则A.{}n S 是等差数列B.{}2n S 是等差数列C.{}n d 是等差数列D.{}2n d 是等差数列二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2,体积是______cm 3.10.已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是cm 2，体积是cm 3.12．设函数f (x )=x 3+3x 2+1．已知a ≠0，且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2，x ∈R ，则实数a =_____，b =______． 13．设双曲线x 2–23y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．14．如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD =5，∠ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD'，直线AC 与BD'所成角的余弦的最大值是______．15．已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c =2a cos B ． （Ⅰ）证明：A =2B ；（Ⅱ）若cos B =23，求cos C 的值．17.（本题满分15分）设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈.（I ）求通项公式n a ；（II ）求数列{2n a n --}的前n 项和.18.（本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BE=EF=FC =1，BC =2，AC =3.（I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.19.（本题满分15分）如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1. （I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.20.（本题满分15分）设函数()f x =311x x ++，[0,1]x ∈.证明：（I ）()f x 21x x ≥-+；（II ）34<()f x 32≤.2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题1.【答案】C2. 【答案】C3. 【答案】D4.【答案】B5. 【答案】D6. 【答案】A7. 【答案】B8. 【答案】A二、填空题9. 【答案】80 ；40．10.【答案】(2,4)--；5．11. 【答案】2；1．12．【答案】－2；1．13．【答案】(27,8)． 14．【答案】6915．【答案】7 三、解答题16．【答案】（1）证明详见解析；（2）22cos 27C =. 【解析】试题分析：本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力． 试题解析：（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，于是，sin sin()B A B =-，又,(0,)A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-，因此，A π=（舍去）或2A B =，所以，2A B =.（2）由2cos 3B =，得5sin 3B =，21cos 22cos 19B B =-=-， 故1cos 9A =-，45sin 9A =， 22cos cos()cos cos sin sin 27C A B A B A B =-+=-+=. 考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.【结束】17. 【答案】（1）1*3,n n a n N -=∈；（2）2*2,13511,2,2n n n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩. 【解析】试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力．试题解析：（1）由题意得：1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，则1213a a =⎧⎨=⎩， 又当2n ≥时，由11(21)(21)2n n n n n a a S S a +--=+-+=，得13n n a a +=，所以，数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈.（2）设1|32|n n b n -=--，*n N ∈，122,1b b ==.当3n ≥时，由于132n n ->+，故132,3n n b n n -=--≥.设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则122,3T T ==.当3n ≥时，229(13)(7)(2)351131322n n n n n n n T --+---+=+-=-， 所以，2*2,13511,2,2n n n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩.考点：等差、等比数列的基础知识.【结束】18.【答案】（1）证明详见解析；（2）217. 【解析】试题分析：本题主要考查空间点、线、面位置关系、线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．试题解析：（1）延长,,AD BE CF 相交于一点K ，如图所示，因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，所以AC ⊥平面BCK ，因此BF AC ⊥，又因为//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =，所以BCK ∆为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF CK ⊥，所以BF ⊥平面ACFD .（2）因为BF ⊥平面ACK ，所以BDF ∠是直线BD 与平面ACFD 所成的角，在Rt BFD ∆中，33,2BF DF ==，得21cos 7BDF ∠=， 所以直线BD 与平面ACFD 所成的角的余弦值为217.考点：空间点、线、面位置关系、线面角.【结束】19.【答案】（1）p=2；（2）()(),02,-∞+∞ .【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题方法.试题解析：(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=-1的距离. 由抛物线的第一得12p =，即p=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为()24,F 1,0y x =，可设()2,2,0,1A t t t t ≠≠±. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF:x=sy+1,()0s ≠,由241y x x sy ⎧=⎨=+⎩消去x 得2440y sy --=，故124y y =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 又直线AB 的斜率为212tt -，故直线FN 的斜率为212t t --， 从而的直线FN:()2112t y x t-=--，直线BN:2y t =-， 所以2232,1t N t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，设M(m,0),由A,M,N 三点共线得：222222231t t t t t m t t +=+---， 于是2221t m t =-，经检验，m<0或m>2满足题意. 综上，点M 的横坐标的取值范围是()(),02,-∞+∞ .考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.【结束】20.【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到41111x x x-≤++，从而得到结论；第二问，由01x ≤≤得3x x ≤，进行放缩，得到()32f x ≤，再结合第一问的结论，得到()34f x >，从而得到结论. 试题解析：(Ⅰ)因为()()4423111,11x x x x x x x----+-==--+ 由于[]0,1x ∈，有411,11x x x-≤++即23111x x x x -≤-++， 所以()21.f x x x ≥-+ (Ⅱ)由01x ≤≤得3x x ≤，故()()()()312111333311222122x x f x x x x x x -+=+≤+-+=+≤+++， 所以()32f x ≤. 由(Ⅰ)得()221331244f x x x x ⎛⎫≥-+=-+≥ ⎪⎝⎭， 又因为11932244f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()34f x >， 综上，()33.42f x <≤ 考点：函数的单调性与最值、分段函数.【结束】。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学试题 (理科)解析版
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R ð（ ） A ．[2,3] B ．( -2,3 ] C ．[1,2) D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞ 【答案】B考点：1、一元二次不等式；2、集合的并集、补集．【易错点睛】解一元二次不等式时，2x 的系数一定要保证为正数，若2x 的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．2. 已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 则（ ）A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．考点：空间点、线、面的位置关系．【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．3. 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=（ ） A ．B ．4C ．D ．6 【答案】C 【解析】考点：线性规划．【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定AB 的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．4. 命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x < 【答案】D 【解析】试题分析：∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 考点：全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．5. 设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期．【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()f x ，再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的最小正周期．6. 如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则（ ）A ．{}n S 是等差数列B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列【答案】A 【解析】试题分析：n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么11tan n n n h h A A θ+=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(tan )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，111111(tan )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅，作差后：1111(tan )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A ．考点：等差数列的定义．【思路点睛】先求出1n n n +∆A B B 的高，再求出1n n n +∆A B B 和112n n n +++∆A B B 的面积n S 和1n S +，进而根据等差数列的定义可得1n n S S +-为定值，即可得{}n S 是等差数列．7. 已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A考点：1、椭圆的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质．【易错点睛】计算椭圆1C 的焦点时，要注意222c a b =-；计算双曲线2C 的焦点时，要注意222c a b =+．否则很容易出现错误．8. 已知实数a ，b ，c （ ）A ．若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100B ．若|a 2+b +c |+|a 2+b –c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100C ．若|a +b +c 2|+|a +b –c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100D ．若|a 2+b +c |+|a +b 2–c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100 【答案】D 【解析】试题分析：举反例排除法：A.令10,110===-a b c ，排除此选项，B.令10,100,0==-=a b c ，排除此选项，C.令100,100,0==-=a b c ，排除此选项，故选D ． 考点：不等式的性质．【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9.若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】9 【解析】试题分析：1109M M x x +=⇒= 考点：抛物线的定义．【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y 轴的距离．10. 已知2cos 2x +sin 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0)，则A =______，b =________．1考点：1、降幂公式；2、辅助角公式．【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos 2sin 21x x ++，进而对照()sin x b ωϕA ++可得A 和b ．11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3.【答案】72 32 【解析】试题分析：几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为2(224)32⨯⨯⨯=，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72⨯⨯+⨯⨯-⨯=考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积与体积．【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．12. 已知a >b >1.若log a b +log b a =52，a b =b a ，则a = ，b = . 【答案】4 2考点：1、指数运算；2、对数运算． 【易错点睛】在解方程5log log 2a b b a +=时，要注意log 1b a >，若没注意到log 1b a >，方程5log log 2a b b a +=的根有两个，由于增根导致错误．13.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 【解析】试题分析：1221124,211,3a a a a a a +==+⇒==，再由111121,21(2)23(2)n n n n n n n n n a S a S n a a a a a n +-++=+=+≥⇒-=⇒=≥，又213a a =，所以515133(1),S 121.13n n a a n +-=≥==- 考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前n 项和．【易错点睛】由121n n a S +=+转化为13n n a a +=的过程中，一定要检验当1n =时是否满足13n n a a +=，否则很容易出现错误．14. 如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .【答案】12由余弦定理可得222cos 2PD PB BD BPD PD PB +-∠===⋅， 所以30BPD ∠=.EDCBAP过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠，12sin 302d x =⋅，解得d .而BCD ∆的面积111sin )2sin 30)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=.（2x ≤|x x ==故x =此时，16V t=21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 考点：1、空间几何体的体积；2、用导数研究函数的最值．【思路点睛】先根据已知条件求出四面体的体积，再对x 的取值范围讨论，用导数研究函数的单调性，进而可得四面体的体积的最大值．15. 已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】12考点：平面向量的数量积．【易错点睛】在6a b +≤两边同时平方，转化为2226a b a b ++⋅≤的过程中，很容易三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B.（I ）证明：A =2B ；（II ）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.【答案】（I ）证明见解析；（II ）2π或4π． 试题分析：（I ）先由正弦定理可得sin sin C 2sin cos B +=A B ，进而由两角和的正弦公式可得()sin sin B =A-B ，再判断A -B 的取值范围，进而可证2A =B ；（II ）先由三角形的面积公式可得21sin C 24a ab =，进而由二倍角公式可得sin C cos =B ，再利用三角形的内角和可得角A 的大小．试题解析：（I ）由正弦定理得sin sin C 2sin cos B +=A B ，故()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B =B+A+B =B+A B+A B ， 于是()sin sin B =A-B ．又A ，()0,πB∈，故0π<A -B <，所以()πB =-A-B 或B =A -B ，因此πA =（舍去）或2A =B ，所以，2A =B ．考点：1、正弦定理；2、两角和的正弦公式；3、三角形的面积公式；4、二倍角的正弦公式． 【思路点睛】（I ）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有A ，B 的式子，根据角的范围可证2A =B ；（II ）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得含有B ，C 的式子，再利用三角形的内角和可得角A 的大小．17. (本题满分15分)如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面ABC ,=90ACB ∠,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.(I)求证：EF ⊥平面ACFD ；(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.【答案】（I ）证明见解析；（II 【解析】试题分析：（I ）先证F C B ⊥A ，再证F C B ⊥K ，进而可证F B ⊥平面CFD A ；（II ）方法一：先找二面角D F B -A -的平面角，再在Rt QF ∆B 中计算，即可得二面角D F B -A -的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面C A K 和平面ABK 的法向量，进而可得二面角D F B -A -的平面角的余弦值．（II ）方法一：过点F 作FQ ⊥AK ，连结Q B ．因为F B ⊥平面C A K ，所以F B ⊥AK ，则AK ⊥平面QF B ，所以Q B ⊥AK ． 所以，QF ∠B 是二面角D F B -A -的平面角．在Rt C ∆A K 中，C 3A =，C 2K =，得FQ 13=．在Rt QF ∆B 中，FQ =，F B =cos QF ∠B =．所以，二面角D F B -A - 方法二：如图，延长D A ，BE ，CF 相交于一点K ，则C ∆B K 为等边三角形．取C B 的中点O ，则C KO ⊥B ，又平面CF B E ⊥平面C AB ，所以，KO ⊥平面C AB ． 以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x ，z 的正方向，建立空间直角坐标系xyz O ．由题意得()1,0,0B ，()C 1,0,0-，(K ，()1,3,0A --，12⎛E ⎝⎭，1F 2⎛- ⎝⎭． 因此， ()C 0,3,0A =，(AK =，()2,3,0AB =．考点：1、线面垂直；2、二面角．【方法点睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．18. （本小题15分）已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x −1|，x 2−2ax +4a −2}，其中min{p ，q }=,>p p q q p q.≤⎧⎨⎩，， （I ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax +4a −2成立的x 的取值范围；（II ）（i ）求F （x ）的最小值m （a ）；（ii ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.【答案】（I ）[]2,2a ；（II ）（i ）()20,3242,2a m a a a a ⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩（ii ）()348,342,4a a a a -≤<⎧M =⎨≥⎩．（II ）（i ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则 ()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即 ()20,3242,2a m a a a a ⎧≤≤⎪=⎨-+->+⎪⎩ （ii ）当02x ≤≤时，()()()(){}()F max 0,22F 2x f x f f ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}F max 2,6max 2,348max F 2,F 6x g x g g a ≤≤=-=．所以，()348,342,4a a a a -≤<⎧M =⎨≥⎩．考点：1、函数的单调性与最值；2、分段函数；3、不等式．【思路点睛】（I ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式()2F 242x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（II ）（i ）先求函数()f x 和()g x 的最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（ii ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()a M ．19. （本题满分15分）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）. （I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（I ）22221a k a k +（II ）02e <≤．（II ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足Q AP =A ．记直线AP ，Q A 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（I ）知，1AP =，2Q A =， 故12=， 所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦． 由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此()222212111112a a k k ⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ①因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是()22121a a +->，所以a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为12a <≤，由c e a a==得，所求离心率的取值范围为02e <≤． 考点：1、弦长；2、圆与椭圆的位置关系；3、椭圆的离心率．【思路点睛】（I ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（II ）利用对称性及已知条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．20.（本题满分15分）设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ； （II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ． 【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析．（II ）任取n *∈N ，由（I ）知，对于任意m n >， 1121112122222222nm n n n n m m nm n n n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111222n n m +-≤++⋅⋅⋅+ 112n -<， 故11222m n n n m a a -⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭ 11132222m n n m -⎡⎤⎛⎫≤+⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 3224m n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭． 从而对于任意m n >，均有3224mn n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭．考点：1、数列；2、累加法；3、证明不等式．【思路点睛】（I ）先利用三角形不等式及变形得111222n n n n n a a ++-≤，再用累加法可得1122n n a a -<，进而可证()1122n n a a -≥-；（II ）由（I ）的结论及已知条件可得3224mn n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭，再利用m 的任意性可证2n a ≤．。
学业水平考试2016-2017学年高一数学人教版必修1(浙江专用)课时作业：2.1.2.1 指数函数的图象及性质
基 础 过 关1.函数y ＝2x ＋1的图象是( )解析 当x ＝0时，y ＝2，且函数单调递增，故选A.答案 A2.若函数f (x )＝(a －1)x 在R 上是指数函数，那么实数a 的取值范围是( )A.(0，1)∪(1，＋∞)B.(1，2)C.(1，2)∪(2，＋∞)D.(0，＋∞)解析 由题意得a －1>0且a －1≠1，所以a >1且a ≠2.答案 C3.(2016·浙江求实高中期中)函数y ＝a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( )A.(0，1)B.(1，0)C.(2，1)D.(0，2)解析 因为y ＝a x 的图象一定经过点(0，1)，将y ＝a x 的图象向上平移1个单位得到函数y ＝a x ＋1的图象，所以，函数y ＝a x ＋1的图象经过点(0，2). 答案 D4.函数y ＝4x ＋2的值域是________.解析 因为对于任意x ∈R ，都有4x >0，所以4x ＋2>2，即函数y ＝4x ＋2的值域是(2，＋∞).答案 (2，＋∞)5.已知函数y ＝(a －2)x 是指数函数，且当x <0时，y >1，则实数a 的取值范围是________.解析 由题知函数y ＝(a －2)x 是减函数，所以0<a －2<1，即2<a <3. 答案 (2，3)6.求函数y ＝32x －1－19的定义域.解 要使函数有意义，则32x －1－19≥0，即32x －1≥3－2.∵函数y ＝3x 是增函数，∴2x －1≥－2，即x ≥－12.故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. 7.已知函数f (x )＝ax －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a ＞0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域.解 (1)∵f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12， ∴a 2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≥0. 由x ≥0，得x －1≥－1，于是0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0，2].8.若y ＝(a －3)(a －2)x 是指数函数，求函数f (x )＝a1x ＋2的定义域与值域. 解 因为y ＝(a －3)(a －2)x 是指数函数，所以⎩⎨⎧a －3＝1，a －2>0且a －2≠1，解得a ＝4. 所以f (x )＝41x ＋2由x ＋2≠0，知f (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠－2}.令t ＝1x ＋2，则t ≠0，所以4t >0且4t ≠1，故f (x )的值域为{y |y >0且y ≠1}. 能 力 提 升9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x －12，x ＞0，2x ，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( ) A.4 B.14 C.－4 D.－14解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫19－12＝－2，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝2－2＝14. 答案 B10.函数y ＝－e x 的图象( )A.与y ＝e x 的图象关于y 轴对称B.与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称C.与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称D.与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称解析 y ＝e x 的图象与y ＝－e x 的图象关于x 轴对称，y ＝－e x 的图象与y ＝e －x 的图象关于原点对称.答案 D11.(2016·浙江杭州西湖高中月考)已知集合A ＝{x |1≤2x <16}，B ＝{x |0≤x <3，x ∈N }，则A ∩B ＝________.解析 由1≤2x <16得0≤x <4，即A ＝{x |0≤x <4}，又B ＝{x |0≤x <3，x ∈N }，所以A ∩B ＝{0，1，2}.答案 {0，1，2}12.方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是______.解析 作出y ＝|2x －1|的图象(如图)，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0.答案 {a |a ≥1或a ＝0}13.设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x . (1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象.(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？解 (1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3. f (π)＝3π，g (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π. f (m )＝3m，g (－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的指数互为相反数时，它们的图象关于y 轴对称.探 究 创 新14.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |－1. (1)作出f (x )的简图.(2)若关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解，求实数m 的取值范围.解(1)f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，x ≥0，3x －1，x <0，如图所示. (2)由(1)知，y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且－1<f (x )≤0.作出直线y ＝3m ，当－1<3m <0，即－13<m <0时，函数y ＝f (x )与y ＝3m 有两个交点.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.。