2014年新课标II高考文科数学试题及答案(Word版)
2014年全国新课标卷Ⅱ(纯word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷Ⅱ)文 科 数 学第Ⅰ卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =( ) A ．∅ B. {}2 C. {0} D. {2}- 【答案】：B ． 【解析】：∵2{2,0,2},{|20}{1,2}A B x x x =-=--==-，∴{2}A B =．2．131ii+=-（ ） A ．12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i -- 【答案】：B ． 【解析】：化简可得====﹣1+2i3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则( ) A ．p 是q 的充分必要条件B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D. p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】：C ． 【解析】：函数3()f x x =的导数为2()3f x x '=，由2()30f x x '==，得00x =，但此时函数()f x 单调递增，无极值,充分性不成立．根据极值的定义和性质，若0x x =是()f x 的极值点，则0()0f x '=成立，即必要性成立，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件， 4．设向量a ,b 满足10+=a b ，6-=a b ，则⋅a b =( )A. 1B. 2C. 3D. 5 【答案】：A ． 【解析】：∵10+=a b ，6-=a b ，∴分别平方两式相减得44⋅=a b ，即1⋅=a b . 5．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =( )A. (1)n n +B. (1)n n -C. (1)2n n +D. (1)2n n -【答案】：A ．【解析】：由题意可得2428a a a =，即2448(4)(4)a a a =-+，解得48a =，∴14322a a =-⨯=,∴1(1)(1)22(1)22n n n d n n S na n n n --⨯=+=+=+． 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，学科网则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) A.2717 B.95 C.2710 D.31【答案】：C ． 【解析】：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3，高为2；一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：22322434πππ⨯+⨯=．底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯的体积为：23654ππ⨯=．切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：5434105427πππ-=．7．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为( ) A ．3 B ．32 C ．1 D ．32【答案】：C ．【解析】：∵正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC 中点，∴底面11B DC B 1DC 1的面积：12332⨯⨯=，A 到底面的距离就是底面正三角形的高：3．三棱锥11A B DC -的体积为：13313⨯⨯=．8．执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】：D ．【解析】：若2x t ==，则第一次循环，12≤成立，则1221M =⨯=，235S =+=，2k =，第二次循环，22≤成立，则2222M =⨯=，257S =+=，3k =，此时32≤不成立，输出7S =，9．设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．1 【答案】：B ．【解析】：作出不等式对应的平面区域，由2z x y =+，得122z y x =-+，平移直线122z y x =-+，由图象可知当直线122z y x =-+经过点A 时，直线122zy x =-+的截距最大，此时z 最大．由10,330,x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得3,2,x y =⎧⎨=⎩，即(3,2)A ，此时z 的最大值为3227z =+⨯=．10．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则AB =( )A ．303 B ．6 C ．12 D ．73 【答案】：C ．【解析】：由2=3y x 得其焦点3(,0)4F ，准线方程为34x =-．则过抛物线2=3y x 的焦点F 且倾斜角为30︒的直线方程为333tan 30()()434y x x =︒-=-．代入抛物线方程，消去y ，得 21616890x x -+=．设11(,)A x y ，22(,)B x y 则1216821162x x +==，所以1233||1244AB x x =+++=．11．若函数()f x kx lnx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(],2-∞- B ．(],1-∞- C ．[)2,+∞ D ．[)1,+∞ 【答案】：D ．【解析】：函数()f x kx lnx =-在区间()1,+∞单调递增，∴当1x >时，1()0f x k x'=-≥，10k ∴-≥，1k ∴≥，故选：D12．设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是( )A ．[1,1]--B ．11[,]22-C ．[2,2]-D ．22[,]22-【答案】：A ．【解析】：由题意画出图形如图：∵点()0,1M x ，∴若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，∴圆上的点到MN 的距离的最大值为1，要使1MN =，才能使得45OMN ∠=︒，图中M '显然不满足题意，当MN 垂直x 轴时，满足题意，∴0x 的取值范围是[1,1]--．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．甲，乙两名运动员各自等可能地从红、网白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______. 【答案】：．【解析】：所有的选法共有339⨯=种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为3193=.14．函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.【答案】：1． 【解析】：∵x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=sin cos cos sin 2sin cos sin cos sin cos sin()x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ=+-=-=-． ()f x ∴的最大值为1．15．偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________.【答案】：3． 【解析】：因为偶函数)(x f y =的图象关于直线2=x 对称，所以(2)(2)(2)f x f x f x +=-=-，即(4)()f x f x +=，则(1)(14)(3)3f f f -=-+==.16． 数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a n n ，则=1a ________.【答案】：．【解析】：由题意得，111n na a +=-，82a =， 令7n =代入上式得，8711a a =-，解得712a =；令6n =代入上式得，7611a a =-，解得61a =-；令5n =代入上式得，6511a a =-，解得52a =；根据以上结果发现，求得结果按2,12,1-循环,832÷=……2，故112a =.三、解答题：17．（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . (Ⅰ)求C 和BD ；(Ⅱ)求四边形ABCD 的面积.【解析】：(Ⅰ)由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ① 2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD =．(Ⅱ)四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯23=18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的重点. (Ⅰ)证明：PB //平面AEC ；(Ⅱ)设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.【解析】：(Ⅰ)设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又 E 为PD 的中点，所以EO//PB. EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC, 所以PB//平面AEC.(Ⅱ)V 1366PA AB AD AB =⋅⋅=.由34V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H ．由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC AH ⊥，故AH ⊥平面PBC ． 又PA AB AH PB ⋅=31313=. 所以A 到平面PBC 的距离为31313. 19．（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：(Ⅰ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(Ⅱ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； (Ⅲ)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙学科网两部门的评价. 【解析】：(Ⅰ)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75 ．50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66,68，故样本中位数为6668672+=，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67. (Ⅱ)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为50.150=，80.1650=，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16. （Ⅲ）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差较大．（注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分．） 20．（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .(Ⅰ)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(Ⅱ)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .【解析】：(Ⅰ)根据22c a b =-及题设知22(,),23b M c b ac a=将222b a c =-代入223b ac =，解得1,22c ca a==-（舍去）故C 的离心率为12.(Ⅱ)由题意，原点O 为12F F 的中点，2MF //y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a = ①由15MN F N =得112DF F N =．设11(,)N x y ，由题意知10y <，则112()22c x c y --=⎧⎨-=⎩，即113,21x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 代入C 的方程，得2229114c a b+=．将①及22c a b =-代入②得229(4)1144a a a a-+= 解得27,428a b a ===，故7,27a b ==.21．（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. (Ⅰ)求a ；(Ⅱ)证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点. 【解析】：（I ）'()f x =236x x a -+，'(0)f a =.曲线()y f x =在点（0,2）处的切线方程为2y ax =+．由题设得22a-=-，所以1a =.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，32()32f x x x x =-++，设()g x ()2f x kx =-+323(1)4x x k x =-+-+，由题设知10k ->.当x ≤0时，'()g x 23610x x k =-+->，()g x 单调递增，(1)10g k -=-<，(0)4g =， 所以()g x =0在(],0-∞有唯一实根．当0x >时，令32()34h x x x =-+，则()g x ()(1)()h x k x h x =+->．2'()363(2)h x x x x x =-=-，()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增， 所以()()(2)0g x h x h >≥=，所以()0g x =在(0,)+∞没有实根.综上，()g x =0在R 有唯一实根，即曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点． 请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 学科网于点E .证明： (Ⅰ)BE EC =；(Ⅱ)22AD DE PB ⋅= ．【解析】：(Ⅰ)连结AB,AC.由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA∠PAD=∠BAD+∠PAB ∠DCA=∠PAB,所以∠DAC=∠BAD ，从而BE EC =． 因此BE=EC.(Ⅱ)由切割线定理得2PA PB PC =⋅．因为PA=PD=DC ，所以DC=2PB,BD=PB ． 由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅， 所以22AD DE PB ⋅=.23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.(Ⅰ)求C 得参数方程；(Ⅱ)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定D 的坐标. 【解析】：(Ⅰ)C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤. 可得C 的参数方程为： 1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t x ≤≤） (Ⅱ)设(1cos ,sin )D t t +.由(Ⅰ)知C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，tan 3,3t t π==.故D 的直角坐标为(1cos ,sin )33ππ+，即33(,)22．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数1()||||(0)f x x x a a a=++->(Ⅰ)证明：()2f x ≥；(Ⅱ)若(3)5f <，求a 的取值范围.【解析】：（I ）由0a >，有()f x 111|||||()|2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥.所以()2f x ≥.(Ⅱ)1(3)|3||3|f a a=++-.当时3a >时，(3)f =1a a +，由(3)5f <得52132a +<<．当03a <≤时，(3)f =16a a -+，由(3)5f <得1532a +<≤. 综上，a 的取值范围是15521(,)22++.。
2014年高考新课标全国2卷数学(文)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）数学试题卷（文史类）注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的、号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合A={2-，0，2}，B={x |022=--x x }，则A B= （A ）∅ （B ）{}2 （C ）{}0 （D ）{}2-（2）131ii+=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）12i - （D ）12i --（3）函数()f x 在0x x =处导数存在．若p ：0'()0f x =；q ：0x x =是()f x 的极值点，则 （A ）p 是q 的充分必要条件（B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （C ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件（4）设向量a ，b 满足||a b +=，||a b -=，则a b =（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）5（5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（A ）()1n n + （B ）()1n n -（C ）()12n n + （D ）()12n n -（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个 底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱体毛坯切削得 到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 （A ）1727 （B ）59 （C ）1027 （D ）13（7）正三棱柱的底面边长为2，D 为BC 中点，则三棱锥11DC B A -的体积为（A ）3 （B ）32（C ）1 （D）2（8）执行右面的程序框图，如果如果输入的x ，t 均为2，则输出的S = （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（9）设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）1（10）设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB =（A（B ）6 （C ）12 （D）（11）若函数()ln f x kx x =-在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值围是（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞（12）设点0(,1)M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值围是（A ）[]1,1- （B ）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （C）⎡⎣ （D）⎡⎢⎣⎦ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个考试考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分．（13）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________.（14）函数()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+-的最大值为________.（15）偶函数)(x f y =的图像关于直线x =2对称，3)3(=f ，则(1)f -=________. （16）数列{}n a 满足111n na a +=-，82a =，则1a =________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）四边形ABCD 的角A 与C 互补，AB =1，BC =3，CD =DA =2． （Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积．（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA 平面ABCD ，E 为PD 的点． （Ⅰ）证明：PB //平面AEC ；（Ⅱ）设AP=1，AD =3，三棱锥P-ABD 的体积V =43，求A 到平面PBC 的距离．（19）（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率； （Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．（20）（本小题满分12分）设F 1，F 2分别是椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ． （Ⅰ）若直线MN 的斜率为43，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN |=5|F 1N |，求a ，b ．（21）（本小题满分12分）已知函数()f x =3232x x ax -++，曲线()y f x =在点（0，2）处的切线与x 轴交点的横坐标为2-．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．4 97 97665332110 98877766555554443332100 6655200 632220 甲部门 乙部门 59 0448 122456677789 011234688 00113449 123345 011456 000 3 4 56 7 8910请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC =2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ．证明： （Ⅰ）BE =EC ； （Ⅱ）AD ·DE =2PB 2．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，2π]．（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l：2y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =|x +a1|+|x a -|(a >0)． （Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若(3)5f <，求a 的取值围．2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷Ⅱ卷）数学（文科）参考答案一、选择题 1．B解析：把2-，0，2代入202x x --=验证，只有2满足不等式．故选B ． 考点：考查集合的知识．简单题． 2．B 解析：13(13)(1)121(1)(12)42i i i i i i i i+++===-+---++．故选B ． 考点：考查复数的基本知识．简单题．3．C解析：函数()f x 在0x=x 处导数存在，则极值点必为导函数的根，而导函数的根不一定是极值点，即,q p p q ⇒⇒/，从而p 是q 的必要但不充分的条件．故选C ．考点：考查充要条件与极值的基础知识．简单题． 4．A解析：222210,226,a a b b a a b b ⋅-+++=⋅=44a b ∴⋅=，1a b ∴⋅=．故选A ． 考点：考查平面向量的数量积．中等题． 5．A解析：∵数列{}n a 是等差数列，公差等于2，∴2141812,6,14a a a a a a =+=+=+.∵248,,a a a 成等比数列，∴22428111()6)214()(a a a a a a ⋅⇒=++=+，解得122(221)n a a n n ==+-⇒⋅=，∴(1)(222)=n n nS n n ⋅=++．故选A ． 考点：考查等差数列的通项公式与求和公式．中等题． 6．C解析：毛胚的体积23654V ππ⋅⋅==，制成品的体积221322434V πππ⋅⋅+⋅⋅==，∴切削掉的体积与毛胚体积之比为134********V V ππ-=-=．故选C ． 考点：考查三视图于空间几何体的体积．中等题． 7．C解析：∵正三棱柱的底面边长为2，D 为BC 中点，∴AD ==∵1112,BC CC ==1111111222B DC B C S C C ⋅=⋅⋅==，∴111111133AB C B DC V S AD ⋅⋅===．故选C ． 考点：考查空间点，线，面关系和棱锥体积公式．中等题． 8．D解析：第1次循环M=2，S=5，k=1． 第2次循环，M=2，S=7，k=2．第3次循环k=3>2，故输出S=7．故选D ． 考点：考查算法的基本知识．简单题． 9．B解析：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用．中等题． 10．C解析：∵23y x =，∴抛物线C 的焦点的坐标为()3,04F ，所以直线AB 的方程为330an )t (4y x ︒-=，故23),343,y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩从而2122161689012x x x x -+=+=⇒， ∴弦长12||=3122x x AB ++=．故选C ． 考点：考查抛物线的几何性质，弦长计算以及分析直线和圆锥曲线位置关系的能力．中等题． 11．D 解析：()ln f x kx x =-，1()(0)f x k x x∴'=->．()f x 在区间(1,)+∞上递增，()f x ∴在区间(1,)+∞上恒大于等于0，11()0((1,))x k k x x f x∴'=-≥⇒≥∀∈+∞，1k ∴≥．故选D ． 考点：考查导数与函数单调性的关系．中等题． 12．A解析：过点M 作圆O 的切线，切点为N .设θ=∠OMN ，则︒≥45θ，22sin ≥θ，即22≥OM ON ，2120≤+x ，011x -≤≤．故选A ． 考点：三角不等式，两点间距离公式．难题． 二、填空题 13．13解析：1.3333P =⋅=考点：考查古典概型的概念．简单题． 14．1解析：因为()f x si s n in cos s n c (o i )s x x x ϕϕϕ==--，所以最大值为1． 考点：考查和差角公式．简单题． 15．3解析：因()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -=．因()f x 图像关于2x =，所以(1)(2)(332)1f f f ⋅-===． 考点：考查偶函数的概念，轴对称的概念．简单题． 16．12解析：∵111n na a +=-，122111111(1)111n n n n n a a a a a +----∴==-=--=--， 822a a ∴==，12111112112a a a a =⇒-==⇒-． 考点：考查递推数列的概念．简单题． 三、解答题17．解析：（Ⅰ）由题设及余弦定理得222cos 1312c s 2o BD C BC CD BC D C C =+⋅=--， ① 2222cos 54cos AD AB BD AB AD A C =⋅=++-． ② 由①，②得1cos 2C =，故60C =︒，BD =（Ⅱ）四边形ABCD 的面积S =11sin sin 22AB DA A BC CD C ⋅+⋅111232)sin 6022(⨯⨯+⨯︒==⨯ 考点：考查余弦定理的应用．中等题．18．解析：（Ⅰ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ．EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥AEC ．（Ⅱ）616PA AB A V AD B ⋅⋅⋅==．由V =，可得32AB =．作AH ⊥PB 交PB 于H ． 由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC AH ⊥，故AH ⊥平面PBC ．又PA AB AH PB ⋅==A 到面PBC考点：考查空间点线面的位置关系与空间距离．中等题．19．解析：（Ⅰ）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的数是75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计数是75．50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的数是66，68，故样本中位数为6668627+=，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计数是67． （Ⅱ）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙两部门的评分高于90的比率分别为50.150=，850=0.16，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16．（Ⅲ）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异大.（注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分）考点：考查使用茎叶图及样本的数字特征估计总体的能力．中等题．20．解析：（Ⅰ）根据c =2(,)b M c a，223b ac =．将222b a c =-代入223b ac =，解得12c a =，2c a =-（舍去）．故C 的离心率为12．（Ⅱ）由题意，原点O 为12F F 的中点，2MF ∥y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a =． ① 由1||5||MN NF =得11||2||DF F N =．设11(,)N x y ，由题意知10y <，则112(),22,c x c y --=⎧⎨-=⎩即113,21.x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩代入C 的方程，得222911c a b+=. ②将①及c =229(4)1144a a a a-+=． 解得7a =，2428b a ==．故7a =，b =考点：考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系．难题． 21．解析：（Ⅰ）26()3f x x x a =-'+，'(0)f a =． 曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为2y ax =+． 由题设得22a-=-，∴1a =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，32()32f x x x x =-++． 设32()()(2)3(1)4g x f x kx x x k x =--=-+-+． 由题设知10k ->．当0x ≤时，2()36(1)x g x x k -+-'=0>，()g x 单调递增，(1)10g k -=-<，(0)4g =，所以()g x =0在(,0]-∞有唯一实根．当0x >时，令32()34h x x x =-+，则()()(1)()g x h x k x h x =+->.2'()363(2)h x x x x x =-=-，()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增，所以()()(2)0g x h x h >≥=，所以()g x =0在(0,)+∞没有实根．综上，()0g x =在R 上有唯一实根，即曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点． 考点：考查利用导数综合研究函数性质的能力．难题． 22．解析：（Ⅰ）连结AB ，AC . 由题设知PA PD =，故PAD PDA ∠=∠. 因为PDA DAC DCA ∠=∠+∠，.. .... .. .. PAD BAD PAB ∠=∠+∠，DCA PAB ∠=∠，所以DAC BAD ∠=∠，从而BE EC =，因此BE EC =.（Ⅱ）由切割线定理得2PA PB PC =⋅.因为PA PD DC ==，所以2DC PB =，BD PB =.由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，所以22AD DE PB ⋅=．考点：考查与圆有关的角的知识和圆幂定理的应用．中等题．23．解析：（Ⅰ）C 的普通方程为2201)1(1()x y y -+=≤≤. 可得C 的参数方程为,n 1i cos s y x tt =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t π≤≤）．（Ⅱ）设D (1cos n ),si t t +．由（Ⅰ）知C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆． 因为C 在D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l的斜率相同，tan t =3t π=，故D 的直角坐标为(1cos ,sin )33ππ+，即3(2． 考点：本题考查园的极坐标方程参数方程以及参数方程的简单应用．中等题．24．解析：（Ⅰ）由0a >，有111()|||||()|2f x x x a x x a a a a a =++-≥+--=+≥， ∴()2f x ≥． （Ⅱ）1(3)|3||3|f a a=++-． 当3a >时，1(3)f a a=+，由(3)5f <得523a <<+． 当03a <≤时，(3)61a f a =-+，由(3)5f <3a <≤． 综上，a的取值围是15(22++． 考点：考查带有绝对值的不等式的应用能力，考查函数与不等式的关系．中等题．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅱ卷)数学试题(文科)解析版
2014年新课标II 卷数学试卷（文科）第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.设集合A ={-2,0,2}，20{|2=}B x x x =--，则A B ⋂=( )A ． ∅B ． {2}C ． {0}D ． {-2}【答案解析】B. 解析：把-2，0，2代人202x x --=验证，只有2满足不等式，故选B.考点：考查集合的知识，简单题.2. 113ii +-= （ ） A ． 1+2iB ．-1+2iC ．1-2iD ．-1-i 【答案解析】B. 解析：13(13)(1)121(124)2(1)i i i i i i i i +++===-++-+-- 故选B.考点：考查复数的基本知识，简单题.3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若00:()0,:p f x q x x ==是()f x 的极值点，则（）A ． p 是q 的充分必要条件B ． p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ． p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D. p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案解析】C.解析：极值点必为导函数的根，而导函数的根不一定是极值点，即,q p p q ⇒⇒/ 从而p 是q 的必要但不充分的条件故选C.考点：考查充要条件与极值的基础知识，简单题. 4. 设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b •=（ ） A ． 1 B ．2C ． 3D ．5【答案解析】A ．解析：||10,|10,6|64=41=+=-=∴+⋅+⋅+∴⋅∴⋅=-=2222a b a b a 2a b b a 2a b b a b a b故选A ．考点：考查平面向量的数量积，中等题.5.等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = （ ）A ． (n 1)n + )B ． (n 1)n -C ． (n )21n +D ．(n 1)2n - 【答案解析】A ．解析：∵数列{}n a 是等差数列，公差等于2∴2141812,6,14a a a a a a =+=+=+∵248,,a a a 成等比数列∴22428111()6)214()(a a a a a a ⋅⇒=++=+ 解得122(221)n a a n n ==+-⇒⋅=∴(1)(222)=n n n S n n ⋅=++ 故选A ．考点：考查等差数列的通项公式与求和公式，中等题.6.如图，网格纸上正方形小格子的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛胚切削而得到，则切削掉部分的体积与原来毛胚体积的比值为（ ）A ．1727 B ． 59C ． 1027D ．13 【答案解析】C.解析：毛胚的体积23654V ππ⋅⋅==制成品的体积 221322434V πππ⋅⋅+⋅⋅== ∴切削掉的体积与毛胚体积之比为：134********V V ππ-=-= ，故选C. 考点：考查三视图于空间几何体的体积，中等题.7.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为3 ，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC - 的体积为( )A ．3B ．32C ．1D ．32【答案解析】C.解析： ∵正三棱柱的底面边长为2，D 为BC 中点∴22213AD +==∵1112,3BC CC ==∴111111123322B DC B C S C C ⋅=⋅⋅⋅==∴11111133133AB C B DC V S AD ⋅⋅=⋅⋅== .故选C. 考点：考查空间点，线，面关系和棱锥体积公式，中等题.8.执行右图的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案解析】D.解析：第1次循环M=2,S=5,k=1第2次循环，M=2,S=7,k=2第3次循环k=3>2,故输出S=7，故选D.考点：考查算法的基本知识，简单题.9.设x ，y 满足约束条件0103310x y x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥-⎩+，则z =2x +y 的最大值为( )A ． 8B ． 7C ．2D ．1【答案解析】A ．解析：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题.10.设F 为抛物线23C y x =：的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB | =（ ）A ． 303B ．6C ．12D ．73【答案解析】C.解析：∵23y x =∴抛物线C 的焦点的坐标为：()3,04F所以直线AB 的方程为：330an )t (4y x ︒-= 故233()343x y y x ⎧==-⎪⎨⎪⎩从而2122161689012x x x x -+=+=⇒ ∴弦长12||=3122x x AB ++= 故选C.考点：考查抛物线的几何性质，弦长计算以及分析直线和圆锥曲线位置关系的能力，难度为中等题.11.若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(],2-∞-B ． (],1-∞-C ． [2)∞，+D ． [1)∞，+【答案解析】D.解析：()ln f x kx x =- 1()(0)f x k x x ∴'=-> ()f x 在区间(1,)+∞上递增()f x ∴在区间(1,)+∞上恒大于等于0，11()0((1,))x k k x x f x∴'=-≥⇒≥∀∈+∞ 1k ∴≥故选D.考点：考查导数与函数单调性的关系.中等题.12.设点0(,1)M x ，若在园22:1O x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45°，则0x 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．[]11,22-C ． []2,2-D ． []22,22- 【答案解析】A ．解析：设N 点的坐标为,s (cos )in θθ（1）当00,1x ≠± 时∵0(,1)M x 点的坐标为∴OM ,MN 的斜率分别为：001s n c s ,i o 1OM MN k x k x θθ-==- ∵45OMN ∠=︒∴1tan 45()1MN OM MN OM MN OM MN OMk k k k k k k k -︒=±⇒=-++± 即000011sin 1()11sin cos cos ()x x x x θθθθ--±-=--+⋅* 取正号时，化简（*）式得：2000(1)sin 11()cos x x x θθ+-=++取负号化简（*）式得：2000(1)sin 1(1)cos x x x θθ++=+-∴2220000(1)(1)sin()1x x x θϕ++-+=+∴222400000(1)(1)11||1x x x x x +-≥+⇒≤⇒≤+故0||<1x 且00x ≠（2）当00x =时，取(1,0)N ,此时满足题设.（3）当01x =±时，取(0,1)N ，此时也满足题设.综上所述，011x -≤≤ ，故选A ．从上面解法可以看到选择N 的几个特殊位置观察，即可以猜出答案，这样就可以简化解法. 考点：考查应用斜率与倾斜角的概念，直线方程，园的方程,分析问题的能力.困难题.第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.甲乙两名运动员各自从红，白，蓝3种颜色的运动服从选择1种，则他们选择相同颜色的运动服的概率为 . 【答案解析】1.3解析：1.3333P =⋅= 考点：考查古典概型的概念.简单题.14.函数()sin(2si c s )n o f x x x ϕϕ=+-的最大值为 .【答案解析】1解析：因为cos sin 2sin c ()sin s o co s x x f x x ϕϕϕ-=+si s n in cos s n c (o i )s x x x ϕϕϕ==--所以最大值为1.考点：考查和差角公式，简单题.15.偶函数y =f (x )的图像关于直线x =2对称，f (3)=3，则f (-1)= .【答案解析】3解析：因()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -= ，因()f x 关于2x =，所以(1)(2)(332)1f f f ⋅-=== .考点：考查偶函数的概念，轴对称的概念.简单题.16.数列{}n a 满足111n na a +=-，22a =，则1a = . 【答案解析】12解析：∵111n n a a +=- ，22a =∴12111112112a a a a =⇒-==⇒- 考点：考查递推数列的概念，简单题. 三、解答题（本大题共8小题）17.（12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB =1，BC =3，CD =DA =2.(I) 求C 和BD ；(II)求四边形ABCD 的面积.【答案解析】解析：（I ）1,3,2,180AB BC CD DA A C ====+=︒2222cos BD BC CD B C C CD ∴⋅=+-222cos(180-)2AD AB BD AB AD C +-=⋅︒22222332cos 112co 222s C C ∴+⋅⋅=⋅⋅-++1cos 602C C ∴=⇒=︒ 22222332cos 6077BD BD ∴+⋅⋅︒=⇒-==(II)由（I ） 得，四边形ABCD 的面积S =11sin sin 22AB AD A BC DC C ⋅+⋅⋅ 1112sin(18060)23sin 602223⋅⋅︒-︒+⋅⋅︒== 考点：考查余弦定理的应用，中等题.18.（12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，D A BC P A ⊥平面，E 为PD 中点. (I)证明:PB ||平面AEC ;(II)设AP =1，3AD =，三棱锥P-ABD 的体积3V =，求A 到平面PBC 的距离. 【答案解析】解析：(I)连接EF ,因为四边形ABCD 是矩形，故F 为AC 中点，又因为E 为PD 中点，故EF 是△PBD 的中位线，从而||EF PB ,故||.PB AEC 面(II)设AB=a ，因3,1AD PA ==则11113()(3)132324P ABD V AB AD PA a -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==所以32a =过A 作AG 垂直PB 于G.因为,,ABCD BC ABCD PA A C P B ⊥⊂⇒⊥面面又因为AB BC ⊥所以BC PAB ⊥面 ,又BC PBC ⊂面故 PAB A PBC G PBC ⊥⇒⊥面面面所以AG 为点A 到面PBC 的距离. 因22223131()22PB PA AB ++=== 所以113221313PA AB PB AG PA AB AG PB ⋅⋅=⋅⇒== 故点A 到面PBC 的距离为31313. 考点：考查空间点线面的位置关系与空间距离.中等题.19.（12分）某市为了考核甲乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50为市民对这两部门的平分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(I)分别估计该市的市民对甲，乙两部门评分的中位数；(II)分别估计该市的市民对对甲，乙两部门的评分高于90的概率；(III)根据茎叶图分析该市的市民对甲，乙两部门的评价.【答案解析】解析：(I)甲部门的得分共50个，50个数字从小到大排列起来位于中间位置的数为第25，第26个数，它们分别是：75，75，故甲部门得分的中位数是75.乙部门的得分也是50个数，它们从小到大排列起来的第25，26个数字分别是：66，68，故乙部门的中为数为6668627+=. (II)市民对甲，乙两部门的评分各有n =50个，对甲部门评分高于90分的分数有m =5个，对乙部门的评分高于90分的s =8个，故对甲部门评分高于90分的概率为5500.1m n ==，对乙部门的评分高于90的概率为8500.16n s ==.（III ）观察茎叶图的形状，甲的分数在茎6，7处形成单峰，出现在这里面的数据频率为3450，其中位数为75，乙的分数在茎5，6，7处形成单峰，出现在这个单峰里面的数据频率为2950，中位数为67.因为3450>2950,75>67,这说明市民对甲部门的评价基本在75分附近，对乙部门的评价基本在67分左右.整体看市民对甲部门的评价更好.考点：考查使用茎叶图及样本的数字特征估计总体的能力，中等题.20. （12分）设12,F F 分别是椭圆22221(0):x y C a a b b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点是N .(I)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率; (II)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1|MN |5||F N =，求a ，b .【答案解析】解析：解析：（I ）∵2MF x ⊥轴（不妨设M 在x 轴的上方）∴M 的坐标满足方程组222221(,)x b M c a a y b x c ⎧⎪⇒⎨⎪⎩=+= ∵MN 的斜率为34∴2234322b a ac cb =⇒= ∵222222()3a c a a c c b =-⇒-= 又∵222(1)32320c e e e e e a⇒+-⇒-=== ∴椭圆离心率为12e = . (II)∵MN 在y 轴上的截距为2，O 为12,F F 的中点∴M 的坐标为(c ,4)(不妨设M 在x 轴的上方)由（I ）得24b a= (*) ∵1||5||MN NF =∴11||4||MF NF =作1NF x ⊥轴于T ,由于△1NTF ∽ △12MF F ,故有24,4M N N y c y c x =--=- ∴321,14N M N y y c x =-=-=- ，即,3()12c N -- 把N 点的坐标代人椭圆方程得：2221419c a b+= ∴2222222)111(9(9544**)4a b b a b a b +=⇒-=- 把（*）与（**）联立得：7a b ==⎧⎪⎨⎪⎩考点：考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，难题.21. （12分）已知函数32()32f x x x ax =-++.曲线y =f(x)在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为-2.(I) a ;(II)证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.【答案解析】解析：（I ）32232))36((f x x f x ax x a x x =⇒'=-++-+∵切点为(0,2),切线过点（-2，0） ∴切线的斜率为22100---= ∴(0)1a f '==(II)由（I ）知，1a =，故32()32f x x x x =-++记32()()(2)3(1)4g x f x kx x x k x =--=-+-+ ，∴2()36(1)x g x x k -+-'=∴3612(1)2412k k ∆=+-=+（1）当210k ∆≥≤-<即时由1()0g x x ='=⇒，2x =21k -≤<∴1201,12x x ≤≤<<∴1()0x x g x '≥⇔< 或2x x >12()0x x g x x '≤⇔<<∴()g x 在区间12(),,,()x x -+∞∞ 上递增，在区间12(,)x x 上递减∴()g x 的极小值为322222()3(1)4g x x x k x =-+-+ ∵222222261()31230g x k k x x x x -+--⇒==-'= ∴22222222()(2)(1)4g x x x x x k x =--+-+ 222222221(1)42(1)34(123)x k x x k x k x x -=+-+=-+-≤-<⋅- 记222(1)4(12)()2((1)33)k x x x h x h k x x -+≤=---<⇒'=-- 由2210(1)23k k -≤<⇒<--≤，由41222x x ≤⇒-<-≤-< ∴2(1)0()0342k x x h -≤⇒'-<-≤- ∴()h x 在区间[1,2)递减2()(2)(1)03h x h k ⇒≥=--> ∴2212()g()()(00)g x h x x x g ⇒≥>>= （∵12(,)x x 是减区间）∴当21k -≤<时，方程()0g x =只有一根.(2) 当20k ∆<<-即时，有26(0))3(1g x k x x -+-=>'，从而()g x 在R 上递增∴当2k <-时，方程()0g x =只有一根.综上所述，方程()0g x =在R 上只有一根，即曲线()f x 直线2y kx =-只有唯一交点. 考点：考查利用导数综合研究函数性质的能力，难度压轴题.22.（10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC =2PA ，D 为PC 中点，AD 的延长线交O 于点E ，证明：(I) BE =EC(II) 22DE B AD P ⋅=【答案解析】解析：(I)连接OA ,OD 交BC 于F ,设PAD α∠=，因PA 是O 的切线，则90-EAO OEA α∠=∠=︒∵2,2PC PA PC PD ==∴P A D P PD A ⇒=是等腰三角形∴ PDA EDF α∠=∠=∵(90)90EDF OEA αα∠+∠=+︒-=︒∴OE BC ⊥故OE 平分弧BC ,从而BE = EC.(II)∵2,2PC PC PA D PB P ⋅==∴22PA PB PD ⋅=由（I ）知PD PA =∴222PA PA PB PB PA ⋅⇒==∴()()DE BD DC BD PA PD PB PA A PA D PA PB ⋅=⋅=⋅=-⋅=-⋅ 2()PA PB PC PA PB PC PA PA PB PB ⋅=⋅-⋅=⋅-=-()PC PD PB DC PB PA PB ⋅-=⋅=⋅=把2PA PB =代人上式，得222PA PB B P PB P B ⋅=⋅=∴22DE B AD P ⋅=考点：考查与园有关的角的知识和圆幂定理的应用.难度中等.23. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为 2cos ,[0,]2πρθθ=∈.(I)求C 的参数方程(II)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线2:3l y x =+垂直，根据(I)中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【答案解析】解析：（I ）∵极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈∴22cos ρρθ=∴对应的普通方程为：220()02x y x y =≥+- ，即22(01)1()x y y -+=≥∴对应的参数方程为[0,]sin 1cos ,x y ϕϕπϕ⎧∈=+⎨=⎩(II)设半圆的圆心为A ，则A (1,0),又由（I ）知，可以设D 点坐标为(1cos n ),si ϕϕ+ ∴直线DA 的斜率tan k ϕ= ∵切线与直线32y x =+垂直 ∴tan 3=3([0,])πϕϕϕπ⇒=∈∴3,sin 231cos 2ϕϕ==+ 即D 点坐标为3(3,22) 考点：本题考查园的极坐标方程参数方程以及参数方程的简单应用，难度中等题.24. （10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||||()10af x x x a a =++->. (I)证明：()2;f x ≥(II)若(3)5f <，求a 的取值范围.【答案解析】解析：（I ）∵()||||()10af x x x a a =++-> ∴1111,2x ,(12),a a a a x f x a a a x a x x a a ⎧⎪⎪⎪+-≤≤⎨-+-<-=⎪⎪-+>⎪⎩∴()f x 在递增(,)a +∞，在递减(-1)a ∞，-，在[]1,aa -上为常数 ∴()f x 的最小值为()(1112)2f a f a a a a a ≥⋅-=+== ∴()2f x ≥（II ）（1）当3a ≥时，1(3)5f a a+<= ∴252215122510a a a -⇒<<+-+<∴523a ≤< （2）当03a <<时，2(3)61510f a a a a <⇒-+-->=∴a < 或a >故132a <<综上所述15()22a ∈ 考点：考查带有绝对值的不等式的应用能力，考查函数与不等式的关系，中等题.。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2014•新课标Ⅱ）已知集合A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则A∩B＝（）A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}2．（5分）（2014•新课标Ⅱ）＝（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3．（5分）（2014•新课标Ⅱ）函数f（x）在x＝x0处导数存在，若p：f′（x0）＝0：q：x＝x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设向量，满足|+|＝，|﹣|＝，则•＝（）A．1B．2C．3D．55．（5分）（2014•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n＝（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．6．（5分）（2014•新课标Ⅱ）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）（2014•新课标Ⅱ）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．8．（5分）（2014•新课标Ⅱ）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S ＝（）A．4B．5C．6D．79．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．110．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|＝（）A．B．6C．12D．711．（5分）（2014•新课标Ⅱ）若函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）12．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2014•新课标Ⅱ）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．14．（5分）（2014•新课标Ⅱ）函数f（x）＝sin（x+φ）﹣2sinφcos x的最大值为．15．（5分）（2014•新课标Ⅱ）偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，f（3）＝3，则f（﹣1）＝．16．（5分）（2014•新课标Ⅱ）数列{a n}满足a n+1＝，a8＝2，则a1＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2014•新课标Ⅱ）四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．18．（12分）（2014•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP＝1，AD＝，三棱锥P﹣ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．19．（12分）（2014•新课标Ⅱ）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．20．（12分）（2014•新课标Ⅱ）设F1，F2分别是C：+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b．21．（12分）（2014•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+ax+2，曲线y＝f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y＝f（x）与直线y＝kx﹣2只有一个交点．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2014•新课标Ⅱ）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC 与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE＝EC；（Ⅱ）AD•DE＝2PB2．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．（2014•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y＝x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．五、选修4-5：不等式选讲24．（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2014•新课标Ⅱ）已知集合A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则A∩B＝（）A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．【解答】解：∵A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}＝{﹣1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：B．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）（2014•新课标Ⅱ）＝（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．【解答】解：化简可得＝＝＝＝﹣1+2i故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）（2014•新课标Ⅱ）函数f（x）在x＝x0处导数存在，若p：f′（x0）＝0：q：x＝x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：函数f（x）＝x3的导数为f'（x）＝3x2，由f′（x0）＝0，得x0＝0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x＝x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设向量，满足|+|＝，|﹣|＝，则•＝（）A．1B．2C．3D．5【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|＝，|﹣|＝，∴分别平方得+2•+＝10，﹣2•+＝6，两式相减得4•＝10﹣6＝4，即•＝1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）（2014•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n＝（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．【分析】由题意可得a42＝（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a42＝a2•a8，即a42＝（a4﹣4）（a4+8），解得a4＝8，∴a1＝a4﹣3×2＝2，∴S n＝na1+d，＝2n+×2＝n（n+1），故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．6．（5分）（2014•新课标Ⅱ）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4＝34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6＝54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：＝．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2014•新课标Ⅱ）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．【分析】由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：＝，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：＝1．故选：C．【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．8．（5分）（2014•新课标Ⅱ）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S ＝（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x＝t＝2，则第一次循环，1≤2成立，则M＝，S＝2+3＝5，k＝2，第二次循环，2≤2成立，则M＝，S＝2+5＝7，k＝3，此时3≤2不成立，输出S＝7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．9．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．1【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣，平移直线y＝﹣，由图象可知当直线y＝﹣经过点A时，直线y＝﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z＝3+2×2＝7，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|＝（）A．B．6C．12D．7【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由y2＝3x得其焦点F（，0），准线方程为x＝﹣．则过抛物线y2＝3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝tan30°（x﹣）＝（x ﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2＝，所以|AB|＝x1++x2+＝++＝12故选：C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．11．（5分）（2014•新课标Ⅱ）若函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．【解答】解：f′（x）＝k﹣，∵函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴k≥，而y＝在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是：[1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．12．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN＝45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN＝1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN＝1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2014•新课标Ⅱ）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．【分析】所有的选法共有3×3＝9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．【解答】解：所有的选法共有3×3＝9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为＝，故答案为：．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．14．（5分）（2014•新课标Ⅱ）函数f（x）＝sin（x+φ）﹣2sinφcos x的最大值为1．【分析】直接利用两角和与差三角函数化简，然后求解函数的最大值．【解答】解：函数f（x）＝sin（x+φ）﹣2sinφcos x＝sin x cosφ+sinφcos x﹣2sinφcos x＝sin x cosφ﹣sinφcos x＝sin（x﹣φ）≤1．所以函数的最大值为1．故答案为：1．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数最值的求解，考查计算能力．15．（5分）（2014•新课标Ⅱ）偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，f（3）＝3，则f（﹣1）＝3．【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）＝f（x），即可得到结论．【解答】解：法1：因为偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，所以f（2+x）＝f（2﹣x）＝f（x﹣2），即f（x+4）＝f（x），则f（﹣1）＝f（﹣1+4）＝f（3）＝3，法2：因为函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，所以f（1）＝f（3）＝3，因为f（x）是偶函数，所以f（﹣1）＝f（1）＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）＝f（x）是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2014•新课标Ⅱ）数列{a n}满足a n+1＝，a8＝2，则a1＝．【分析】根据a8＝2，令n＝7代入递推公式a n+1＝，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．【解答】解：由题意得，a n+1＝，a8＝2，令n＝7代入上式得，a8＝，解得a7＝；令n＝6代入得，a7＝，解得a6＝﹣1；令n＝5代入得，a6＝，解得a5＝2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3＝2…2，故a1＝故答案为：．【点评】本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2014•新课标Ⅱ）四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cos C的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cos A 的值代入表示出BD2，两者相等求出cos C的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积．【解答】解：（1）在△BCD中，BC＝3，CD＝2，由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD cos C＝13﹣12cos C①，在△ABD中，AB＝1，DA＝2，A+C＝π，由余弦定理得：BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD cos A＝5﹣4cos A＝5+4cos C②，由①②得：cos C＝，则C＝60°，BD＝；（2）∵cos C＝，cos A＝﹣，∴sin C＝sin A＝，则S＝AB•DA sin A+BC•CD sin C＝×1×2×+×3×2×＝2．【点评】此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）（2014•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP＝1，AD＝，三棱锥P﹣ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．【分析】（Ⅰ）设BD与AC的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP＝1，AD＝，三棱锥P﹣ABD的体积V＝，求出AB，作AH⊥PB 角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP＝1，AD＝，三棱锥P﹣ABD的体积V＝，∴V＝＝，∴AB＝，PB＝＝．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）（2014•新课标Ⅱ）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是＝67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．20．（12分）（2014•新课标Ⅱ）设F1，F2分别是C：+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|＝5|F1N|，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x＝c时，y＝，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2＝，即b2＝＝a2﹣c2，即c2+﹣a2＝0，则，即2e2+3e﹣2＝0解得e＝或e＝﹣2（舍去），即e＝．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y＝，∵OD是△MF1F2的中位线，∴＝4，即b2＝4a，由|MN|＝5|F1N|，则|MF1|＝4|F1N|，解得|DF1|＝2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）＝2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2＝4a代入得，解得a＝7，b＝．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）（2014•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+ax+2，曲线y＝f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y＝f（x）与直线y＝kx﹣2只有一个交点．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；（Ⅱ）构造函数g（x）＝f（x）﹣kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）＝3x2﹣6x+a；f′（0）＝a；则y＝f（x）在点（0，2）处的切线方程为y＝ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为﹣2，∴f（﹣2）＝﹣2a+2＝0，解得a＝1．（Ⅱ）当a＝1时，f（x）＝x3﹣3x2+x+2，设g（x）＝f（x）﹣kx+2＝x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，由题设知1﹣k＞0，当x≤0时，g′（x）＝3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）单调递增，g（﹣1）＝k﹣1，g（0）＝4，当x＞0时，令h（x）＝x3﹣3x2+4，则g（x）＝h（x）+（1﹣k）x＞h（x）．则h′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在x＝2时，h（x）取得极小值h（2）＝0，g（﹣1）＝k﹣1，g（0）＝4，则g（x）＝0在（﹣∞，0]有唯一实根．∵g（x）＞h（x）≥h（2）＝0，∴g（x）＝0在（0，+∞）上没有实根．综上当k＜1时，曲线y＝f（x）与直线y＝kx﹣2只有一个交点．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点个数的判断，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2014•新课标Ⅱ）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC 与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE＝EC；（Ⅱ）AD•DE＝2PB2．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE＝EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD＝2PB，PB＝BD，结合相交弦定理可得AD•DE＝2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE＝∠OEA，∠OAP＝90°，∵PC＝2PA，D为PC的中点，∴PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA，∵∠PDA＝∠CDE，∴∠OEA+∠CDE＝∠OAE+∠PAD＝90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE＝EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2＝PB•PC，∵PC＝2PA，∴PA＝2PB，∴PD＝2PB，∴PB＝BD，∴BD•DC＝PB•2PB，∵AD•DE＝BD•DC，∴AD•DE＝2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．（2014•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y＝x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t＝1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y＝x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l 的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2＝2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tan t＝，t＝．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．五、选修4-5：不等式选讲24．（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）＝|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）＝|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）＝|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|＝|a+|＝a+≥2＝2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）＝|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2014年全国高考新课标Ⅱ数学(文)试卷及答案【精校版】
2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标II 卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则AB =（ ）A. ∅B. {}2C. {0}D. {2}- （2）131i i+=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i -- （3）函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则A ．p 是q 的充分必要条件B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件（4）设向量,a b 满足a b +=a b -=a b ⋅=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 5（5）等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A. (1)n n +B. (1)n n -C. (1)2n n +D. (1)2n n - （6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，学科 网高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到， 则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.2717 B.95 C.2710 D.31（7）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，D 为BC 中点，则三棱锥 11A B DC -的体积为（A ）3 （B ）32（C ）1 （D（8）执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（9）设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）1（10）设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB = （A（B ）6 （C ）12 （D）（11）若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞（12）设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取 值范围是（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C）⎡⎣ （D）,22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）甲，乙两名运动员各自等可能地从红、学科 网白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.（14） 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.（15） 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________.（16） 数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a n n ，则=1a ________. 三、解答题：（17）（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB .（1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的重点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,AP AD ==P ABD 的体积4V =，求A 到平面PBC 的距离.（19）（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机 访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙 两部门的评价.（20）（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MNF N =，求,a b .（21）（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-.（1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如多做，则按所做的第一题记分。
2014年(全国卷II)(含答案)高考文科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A ∩B=（ ） A. ∅ B. {}2 C. {0} D. {2}-2.131ii+=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件4.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 55.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A. (1)n n + B. (1)n n - C.(1)2n n + D. (1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.2717 B.95 C.2710 D.317.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.28.执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ） A.4 B.5 C.6 D.79.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A.8B.7C.2D.110.设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则AB =（ ）A.3B.6C.12D.11.若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞12.设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A.[－1,1]B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎣D.22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________. 16.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________. 三、解答题：17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两—部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（1）BE EC =； （2）22AD DE PB ⋅=23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.（1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数1()||||(0)f x x x a a a=++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题参考答案：参考答案1．B 【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =，选B ． 考点：集合的运算． 2．B 【解析】试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i ii ++-+===-+-+，选B ． 考点：复数的运算．3．C 【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ．考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件． 4．A 【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．考点：向量的数量积运算． 5．A 【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+．【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和． 6．C 【解析】 试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 考点：三视图． 7．C 【解析】 试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以111111133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积． 8．D 【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =． 考点：程序框图． 9．B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122zy x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值． 10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=．考点：线性规划． 10．C 【解析】试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++= 168312162+=，选C ． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义． 11．D 【解析】试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞． 【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故0sin 45OA OM ==1≤，所以OM ≤≤011x -≤≤．考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13 【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==． 考点：古典概型的概率计算公式．14．1【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．15．3【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．16．12． 【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=．三、解答题（17）解：（I ）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD = （Ⅱ）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅ 011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯ 23=（18）解：（I ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.（Ⅱ）V 166PA AB AD AB =⋅⋅=.由4V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H 。
2014年高考真题(课标全国Ⅱ)数学(文科) 附答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国Ⅱ)数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014课标全国Ⅱ,文1)已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=().A.⌀B.{2}C.{0}D.{-2}答案:B解析:易得B={-1,2},则A∩B={2},故选B.=().2.(2014课标全国Ⅱ,文2)-A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i答案:B-=-1+2i,故选B.解析:--3.(2014课标全国Ⅱ,文3)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f'(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则().A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件答案:C解析:由于q⇒p,则p是q的必要条件;而p q,如f(x)=x3在x=0处f'(0)=0,而x=0不是极值点,故选C.4.(2014课标全国Ⅱ,文4)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=().A.1B.2C.3D.5答案:A解析:∵|a+b|=,∴(a+b)2=10.∴|a|2+|b|2+2a·b=10,①∵|a-b|=,∴(a-b)2=6,∴|a|2+|b|2-2a·b=6,②由①-②得a·b=1,故选A.5.(2014课标全国Ⅱ,文5)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=().A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.-答案:A解析:∵a2,a4,a8成等比数列,∴=a2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.∴S n=na1+-d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.6.(2014课标全国Ⅱ,文6)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为().A. B. C. D.答案:C解析:由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示.切削掉部分的体积V1=π×32×6-π×22×4-π×32×2=20π(cm3),原来毛坯体积V2=π×32×6=54π(cm3).故所求比值为.7.(2014课标全国Ⅱ,文7)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为().A.3B.C.1D.答案:C解析:∵D是等边△ABC的边BC的中点,∴AD⊥BC.又ABC-A1B1C1为正三棱柱,∴AD⊥平面BB1C1C.又四边形BB1C1C为矩形,∴△×2×.四边形又AD=2×,∴-△·AD==1.故选C.8.(2014课标全国Ⅱ,文8)执行下面的程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S=().A.4B.5C.6D.7答案:D解析:第一次:1≤2成立,M=2,S=5,k=2;第二次:2≤2成立,M=2,S=7,k=3;第三次:3≤2不成立,输出S=7.故输出的S=7.9.(2014课标全国Ⅱ,文9)设x,y满足约束条件----则z=x+2y的最大值为().A.8B.7C.2D.1答案:B解析:画出可行域如图所示,作直线l0:y=-x,平移直线l0,当直线过点A(3,2)时,使得z最大,此时,z max=3+2×2=7.故选B.10.(2014课标全国Ⅱ,文10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=().A. B.6 C.12 D.7答案:C解析:由已知得焦点F为,则过F且倾斜角为30°的直线方程为y=-.联立方程-消去y得x2-x+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.又直线AB过焦点F,∴|AB|=x1+x2+=12.故选C.11.(2014课标全国Ⅱ,文11)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是().A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)答案:D解析:由f'(x)=k-,又f(x)在(1,+∞)上单调递增,则f'(x)≥0在x∈(1,+∞)上恒成立,即k≥在x∈(1,+∞)上恒成立.又当x∈(1,+∞)时,0<<1,故k≥1.故选D.12.(2014课标全国Ⅱ,文12)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是().A.[-1,1]B.-C.[-]D.-答案:A解析:如图所示,设点A(0,1)关于直线OM的对称点为P,则点P在圆O上,且MP与圆O相切,而点M在直线y=1上运动,由圆上存在点N使∠OMN=45°,则∠OMN≤∠OMP=∠OMA,∴∠OMA≥45°,∴∠AOM≤45°.当∠AOM=45°时,x0=±1.∴结合图象知,当∠AOM≤45°时,-1≤x0≤1,∴x0的范围为[-1,1].第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014课标全国Ⅱ,文13)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为.答案:解析:基本事件有(红,白),(红,蓝),(红,红),(白,蓝),(白,白),(白,红),(蓝,白),(蓝,红),(蓝,蓝)共9种,而选择同一种颜色有3种情况,即(红,红),(白,白),(蓝,蓝),故P=.14.(2014课标全国Ⅱ,文14)函数f(x)=sin(x+φ)-2sinφcos x的最大值为.答案:1解析:∵f(x)=sin(x+φ)-2sinφcos x=sin x cosφ+cos x sinφ-2sinφcos x=sin x cosφ-cos x sinφ=sin(x-φ),∴f(x)max=1.15.(2014课标全国Ⅱ,文15)偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=.答案:3解析:∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(x)的图像关于直线x=2对称,∴f(1)=f(3).∴f(-1)=3.,a11=2,则a1=.16.(2014课标全国Ⅱ,文16)数列{a n}满足a n+1=-答案:,得a10=.解析:由a11=2及a n+1=-同理a9=-1,a8=2,a7=,…所以数列{a n}是周期为3的数列.所以a1=a10=.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅱ,文17)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.分析:在第(1)问中,由于四边形ABCD各边已知,且角A与角C互补,由此条件入手,利用余弦定理,建立关于C与BD的等量关系解方程组可得.在第(2)问中,由第(1)问已求得角C,结合三角形面积公式分别求出△ABD与△BCD的面积,求和可得四边形ABCD的面积.解:(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD cos C=13-12cos C,①BD2=AB2+DA2-2AB·DA cos A=5+4cos C.②由①,②得cos C=,故C=60°,BD=.(2)四边形ABCD的面积S=AB·DA sin A+BC·CD sin C=sin 60°=218.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅱ,文18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E 为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.分析:在第(1)问中,欲证PB∥平面AEC,可根据线面平行的判定定理,只需在平面AEC中找一条直线与PB平行即可.又E是PD的中点,联想到三角形中位线定理,可找BD的中点,又ABCD为矩形,利用对角线互相平分从而可证.对于第(2)问,由已知棱锥P-ABD的体积V及AP,AD的长,可得底面矩形ABCD的另一边AB的长,欲求A 到平面PBC的距离,可由A向平面PBC引垂线,关键是垂足的几何位置,再由条件知BC⊥平面PAB,故过A作垂直于平面PBC的垂线的垂足应在PB上,而△PAB为直角三角形,可利用等面积法求得斜边PB上的高,从而求得答案.解:(1)设BD与AC的交点为O,连结EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)V=PA·AB·AD=AB,由V=,可得AB=.作AH⊥PB交PB于H,由题设知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH.故AH⊥平面PBC.又AH=·.所以A到平面PBC的距离为.19.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅱ,文19)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高),绘制茎叶图如下:(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数;(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率;(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.分析:第(1)问是求中位数问题,应根据中位数的定义及茎叶图提供的数据分别对甲、乙两部门的评分由小到大排序,由于有50个数据,中间是第25与第26两个数,中位数应取它们的平均值.第(2)问是用频率值来估计概率问题,应根据茎叶图提供的数据,分别找出甲、乙两部门评分高于90分的个数,分别求出频率即得.对于第(3)问,可根据得到的中位数及数据的集中程度作出评价.解:(1)由所给茎叶图知,50位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的是75,75,故样本中位数为75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的是66,68,故样本中位数为=67,所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.(2)由所给茎叶图知,50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为=0.1,=0.16,故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.(3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低,评价差异较大.(注:利用其他统计量进行分析,结论合理的也可).20.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅱ,文20)设F1,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.分析:(1)是求椭圆离心率,关键是找到a与c之间的关系,已知MF2⊥x轴,可用a,b,c表示出M点的坐标,由于直线MN的斜率已知,斜率是倾斜角的正切值,从而利用直角三角形中正切函数的定义找到a,b,c之间的一个关系,利用椭圆中a2=b2+c2这一关系,消去b,找到a,c之间的关系.对于(2),由于MF2∥y轴,O是F1F2的中点,联想到中位线定理,找到a,b的一个关系式,再由条件|MN|=5|F1N|出发,可把N点坐标用a,b,c表示出来,利用N点在椭圆上再找到a,b,c之间的另一关系式,解方程组可求得a,b.解:(1)根据c=-及题设知M,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1<0,则---即--代入C的方程,得=1.②将①及c=-代入②得-=1.解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.21.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅱ,文21)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a;(2)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.分析:(1)由条件曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2,这就说明要表示出切线方程,需要求函数f(x)的导数,求出f'(0),从而得到切线斜率,表示出切线方程,把点(-2,0)代入可得关于a的方程,求得a的值.对于(2),欲证曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点,可构造函数g(x)=f(x)-kx+2,只需证明函数g(x)与x轴有唯一的交点,这就需要利用函数的单调性研究g(x)的图象来解决.解:(1)f'(x)=3x2-6x+a,f'(0)=a,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2,由题设得-=-2,所以a=1.(2)由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2,设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4,由题设知1-k>0.当x≤0时,g'(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0]有唯一实根.当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).h'(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增,所以g(x)>h(x)≥h(2)=0,所以g(x)=0在(0,+∞)没有实根.综上,g(x)=0在R有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.22.(本小题满分10分)(2014课标全国Ⅱ,文22)选修4—1:几何证明选讲如图,P是☉O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与☉O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交☉O于点E.证明:(1)BE=EC;(2)AD·DE=2PB2.分析:(1)欲证BE=EC,由于在圆O中,可证,利用相等的圆周角所对的弧相等,则可证∠DAC=∠BAD,故应由条件转化为角的关系上去寻找,我们可以利用弦切角定理、对顶角相等、等腰三角形两底角相等等来处理.对于(2),由结论中出现AD·DE,而D是AE与BC两弦之交点,联想到相交弦定理可得AD·DE=BD·DC.从而使问题转化为证明2PB2=BD·DC,而P,B,D,C在一条直线上,且D又是PC的中点,而PA=PD,PA是切线,又联想到切割线定理得PA2=PB·PC,充分利用关系转化可得答案.解:(1)连结AB,AC,由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB,所以∠DAC=∠BAD,从而.因此BE=EC.(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,所以AD·DE=2PB2.23.(本小题满分10分)(2014课标全国Ⅱ,文23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈.(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.分析:本题主要考查了直角坐标系中曲线的普通方程与极坐标方程、普通方程与参数方程之间的互化.第(1)问利用代换可得C的普通方程,进而根据方程特点选择合理的参数得其参数方程.对于(2),由条件曲线C在点D处的切线与l垂直,得D点与圆心的连线与l平行,从而与l的斜率相同,求得参数t的值,进而求得D点坐标.解:(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线CD与l的斜率相同,tan t=,t=.故D的直角坐标为,即.24.(本小题满分10分)(2014课标全国Ⅱ,文24)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.分析:对于第(1)问,根据函数f(x)中绝对值里面式子的特点x+与x-a的关系,联想到|a|+|b|≥|a-b|这一性质,把x消去再利用基本不等式可证.(2)显然是解关于a的绝对值不等式的解集问题,可利用零点分段来进行讨论,由于a>0,且x=3把a>0分为两段a>3和0<a≤3,因此可利用分类讨论思想分别求当a>3与0<a≤3时的绝对值不等式的解集,最后取并集.解:(1)由a>0,有f(x)=+|x-a|≥--+a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)=+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5得3<a<.当0<a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)<5得<a≤3.综上,a的取值范围是.。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2} C．{0} D．{﹣2}2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3．（5分）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．55．（5分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．79．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．110．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6C．12 D．711．（5分）若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）12．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_________．14．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为_________．15．（5分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）=_________．16．（5分）数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=_________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC 的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．五、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．解答：解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故选B点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．解答：解：化简可得====﹣1+2i故选：B点评：本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将等式进行平方，相加即可得到结论．解答：解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．点评：本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．解答：解：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴S n=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．6．（5分）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．解答：解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．点评：本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．8．（5分）考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论．解答：解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．9．（5分）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．（5分）考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．解答：解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故答案为：12．点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．11．（5分）考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，当x＞1时，f′（x）=k﹣≥0，故k﹣1＞0，由此求得k的范围．解答：解：函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴当x＞1时，f′（x）=k﹣≥0，∴k﹣1≥0，∴k≥1，故选：D．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于基础题．12．（5分）考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：∵点M（x0，1），∴若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，∴圆上的点到MN的距离的最大值为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45°，图中M′显然不满足题意，当MN垂直x轴时，满足题意，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．解答：解：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为=，故答案为：．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．14．（5分）考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求．解答：解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）．∴f（x）的最大值为1．故答案为：1．点评：本题考查两角和与差的正弦，考查了正弦函数的值域，是基础题．15．（5分）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．解答：解：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x），则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，故答案为：3点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）考点：数列递推式．专题：计算题．分析：根据a8=2，令n=7代入递推公式a n+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．解答：解：由题意得，a n+1=，a8=2，令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．点评：本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出BD2，两者相等求出cosC 的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积．解答：解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）考点：点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．解答：解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，作AH⊥PB角PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又A到平面PBC的距离．点评：本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．解答：解：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．点评：本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．20．（12分）考点：椭圆的应用．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．解答：解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．点评：本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）﹣kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2﹣6x+a；f′（0）=a；则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为﹣2，∴f（﹣2）=﹣2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x3﹣3x2+x+2，设g（x）=f（x）﹣kx+2=x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，由题设知1﹣k＞0，当x≤0时，g′（x）=3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）单调递增，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，则g（x）=0在（﹣∞，0]有唯一实根．当x＞0时，令h（x）=x3﹣3x2+4，则g（x）=h（x）+（1﹣k）x＞h（x）．则h′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在x=2时，h′（x）取得极小值h′（2）=0，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，则g（x）=0在（﹣∞，0]有唯一实根．∴g（x）＞h（x）≥h（2）=0，∴g（x）=0在（0，+∞）上没有实根．综上当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．点评：本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点个数的判断，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：选作题；几何证明．分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．解答：证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．考点：参数方程化成普通方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，可得半圆C的参数方程．（Ⅱ）由题意可得直线CD和直线l平行．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），根据直线CD和直线l的斜率相等求得cotα的值，可得α的值，从而得到点D的坐标．解答：解：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．故半圆C的参数方程为，α∈[0，π]．（Ⅱ）由于点D在C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，∴直线CD和直线l平行，故直线CD和直线l斜率相等．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴=，解得tanα=，即α=，故点D的坐标为（，）．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把直角坐标方程化为参数方程，注意参数的范围，属于基础题．五、选修4-5：不等式选讲24．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．解答：解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．点评：本题主要考查绝对值三角不等时，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
（1）已知集合A=﹛-2,0,2﹜,B=﹛x |2
x -x -20=﹜，则A I B=
(A) ∅ （B ）{}2 （C ）{}0 (D) {}2- (2)
131i i
+=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）1-2i (D) 1-2i -
（3）函数()f x 在0x=x 处导数存在，若p ：f ‘（x 0）=0；q ：x=x 0是()f x 的极值点，则
（A ）p 是q 的充分必要条件
（B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
（C ）p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件
(D) p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
（4）设向量a ,b 满足106a·b=
（A ）1 （B ） 2 （C ）3 (D) 5
（5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项
n S =
（A ） ()1n n + （B ）()1n n -
（C ）()12n n + (D) ()
12n n -
（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），
图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件
由一个底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱
体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与
原来毛坯体积的比值为
（A ）1727 （B ） 59 （C ）1027 (D) 13
（7）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23D 为BC 中点，则 三棱锥11DC B A -的体积为
（A ）3 （B ）32 （C ）1 （D ）3（8）执行右面的程序框图，如果如果输入的x ，t 均为2，则输出的S=
（A ）4 （B ） 5 （C ）6
（D ）7
（9）设x ，y 满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩
，则
2z x y =+的最大值为
（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）1
（10）设F 为抛物线2
:y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB =
（A ）
303
（B ）6 （C ）12 （D ）73 （11）若函数()ln f x kx x =-在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是 （A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞
（12）设点0(x ,1)M ，若在圆22
:x y =1O +上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是
（A ）[]1,1- （B ）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （C ）2,2⎡⎤-⎣⎦ （D ） 2222⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦，
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题，每个考试考生都必须做答。
第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分。
（13）甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.
（14）函数
)sin()(ϕ+=x x f —2ϕsin x cos 的最大值为_________.
（15）已知函数
()f x 的图像关于直线x =2对称，)0(f =3，则=-)1(f _______.
（16）数列{}n a 满足1+n a =n a -11，2a =2，则1a =_________.
三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB=1，BC=3, CD=DA=2.
(I )求C 和BD;
(II )求四边形ABCD 的面积。
（18）（本小题满分12分）
如图，四凌锥p —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA
上面ABCD ，E 为PD 的点。
（I ）证明：PP//平面AEC;
(II )设置AP=1，AD=3,三凌
P-ABD 的体积V=4
3，求A 到平面PBD 的距离。
（19）（本小题满分12分）
某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了
50位市民。
根据这50位市民
（I ）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；
（II ）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于90的概率；
（III ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。
（20）（本小题满分12分）
设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：122
22=+b
y a x （a>b>0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N 。
（I ）若直线MN 的斜率为4
3，求C 的离心率； （II ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|，求a ，b 。
（21）（本小题满分12分）
已知函数f （x ）=32
32x x ax -++，曲线()y f x =在点（0,2）处的切线与x 轴交点的横坐标为-2.
（I ） 求a ；
（II ）证明：当时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点。
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做
的第一题计分，做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相
交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，
证明:
（I ）BE=EC ；
（II ）AD·DE=2PB 2。
（23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为p=2cosθ，θ∈[0，
2π]。
（I ）求C 的参数方程；
（II ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y=3x+2垂直，根据（I ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标。
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数f （x ）=|x+a
1|+|x-a|(a>0)。
（I ）证明：f （x ）≥2；
（II ）若f （3）<5，求a 的取值范围。