保守力及其性质
2、狭义相对论中万有引力也是保守力
2、狭义相对论中万有引力也是保守力自然界中的许多力，例如重力﹑弹性力﹑静电力等都是保守力，摩擦力﹑流体的粘性力等都是非保守力。
引力是保守力，这是引力最重要的一个物理性质，这个性质在牛顿力学里已被证明了。
现在有一个问题，引力是保守力这一性质，在相对论的情况下，还能够成立吗？对于这个问题，我们可以证明一个定理。
定理1：任意一个静态球对称星球的引力场是一个保守力场，这一结论，无论是对牛顿力学还是对相对论，都是正确的。
证明：首先证明在牛顿力学的情况下定理1成立。
给定一个质量为M ，半径为R 的星球，并假设星球的质量是均匀分布的，再给定一个静止质量为0m 的质点，0m <<M ，下面研究质点0m 在星球引力作用下的运动规律，由于我们讨论的引力场是球对称的情况，因此可进一步假设质点0m 只在星球的径向做直线运动。
首先将球坐标系固定在星球M 上，并令坐标原点与星球球心相重合。
在牛顿力学中，质点质量是一个常量，根据牛顿第二定律和万有引力定律，质点运动方程为：200d d r GMm t u m -= (1) 牛顿引力场的能量守恒方程02020=+ϕm u m (2),从能量守恒方程（2）可以得出，质点运动时其动能与势能之和等于常数，质点运动只同质点的起始和终了位置有关，而同质点运动的路径无关。
这表明在牛顿力学情况下，引力场是一个保守力场。
下面讨论相对论的情况。
我们知道，牛顿理论只能用于质点运动速度远小于光速的情况。
当引力场很强时，在引力作用下的质点运动速度与光速相比不再是一个可忽略的小量，此时质点的质量也不再是一个常量，而是一个随速度变化的变量。
在这种情况下，需要对牛顿力学的质点运动方程（1）进行修正，我们需要把狭义相对论中质量随速度变化的规律考虑进去，我们可以得出如下形式的质点运动方程：2d )(d r GMm t mu -= （3），根据狭义相对论的质量公式：2201c um m -=(4),将公式（4）代入公式（3），整理后可得：)1(d d 22200cu r GMm t u m --= (5),公式（5）是考虑了相对论效应后，质点在星球引力作用下的运动方程，我们可将公式（3-5）的右端理解为万有引力在相对论中的推广，即： )1(2220cu r GMm F --= (6),公式（6）中的F ，实际上并不全是引力，其中也包括由质量变化引起的惯性附加力，不过根据相对论中的等效原理，惯性力可以等效于引力，因此，今后我们将F 称为等效引力。
保守力的性质
保守力的性质假设作用力F为保守力，则它满足以下三个等价的充分必要条件：1、F的旋度是零：∇×F=02、对于任意简单闭合路径C，所做的机械功W是零：W=F∙d rc=03、作用力F是某位势Φ的梯度：F=−∇Φ数学证明1⇒2：设定C为任意简单闭合路径。
思考边界为C的任意曲面S。
斯托克斯定理阐明∇×F S ∙d a=F∙d rc假设F的旋度等于零，方程左边为零，则机械功W是零。
所以，第二个条件是正确的。
2⇒3：假设，对于任意简单闭合路径C，所做的机械功W是零，则保守力所做于粒子的机械功，独立于路径的选择。
设定函数Φx=−F∙d rxo其中，o和x分别是特定的原点和空间内任意一点。
根据微积分基本定理，F x=−∇Φx所以，第三个条件是正确的。
3⇒1：假设第三个条件是正确的。
思考下述方程：∇×F=−∇×∇Φ=−ð2Φðyðz−ð2Φðzðyx−ð2Φðzðx−ð2Φðxðzy−ð2Φðxðy−ð2Φðyðxz=0所以，第一个条件是正确的。
总结，这三个条件是等价的。
由于符合第二个条件就等于通过保守力的闭合路径考试。
所以，只要满足上述三个条件的任何一条件，施加于粒子的作用力就是保守力。
第2章-3能量守恒定律j(2024版)
xb
x2
由胡克定律： F kxi
W
F dx
x2
kxi
dxi
x2 kxdx
x1
x1
W
1 2
kx12
1 2
kx22
弹性力做功只与弹簧的起始和末了位置有关，
而与弹性变形的过程无关。
保守力：
做功与路径无关，只与始末位置有关的力。
非保守力：
做功不仅与始末位置有关，而且与路径 有关力。
保守力的特点：
dx vdt 3 t 2dt 2
W
Fdx
2
6t
3
t 2dt
9
t
4
2
36 J
0
2
40
2-4-2 动能和动能定理
一、质点动能定理
动能： 质点因有速度而具有对外做功的本领。
Ek
1 2
mv2
单位：J
设质点m在力的作用下 沿曲线从a点移动到b点
元功：
dW
F
dr
F
cos
ds
dr
b
θ
F
a
F cos
Ep
1 2
kx2
引力势能：
（弹簧自由端(坐标原点）为 势能零点）
Ep
G
m0m r
（无限远处为势能零点）
势能是瞬时量，是位置的函数。
保守力功与势能的积分关系：
W Ep
保守力功与势能的微分关系： dW dEp
因为： dW F dr Fxdx Fydy Fzdz
dEp
Ep x
dx
Ep y
质点i的动能定理：
Fi
Wi外i
n
n
n
浅议物理学中的保守力和势能
浅议物理学中的保守力和势能【摘要】保守力和势能在物理学中扮演着重要的角色。
保守力是指不依赖路径的力，其所做的功与路径无关。
势能则是对保守力的一种描述，是可用于确定力学系统状态的函数。
保守力和势能之间存在着密切的关系，一般通过势能函数来确定。
根据保守力和势能的关系，我们可以推导出机械能守恒定律，即在只受保守力的情况下，力学系统的机械能保持不变。
保守力和非保守力的区别在于是否可以用势能来描述。
保守力和势能的重要性体现在它们对力学系统的描述和分析中起到了关键作用，而在物理学中也有着广泛的应用。
为了更深入地理解和探索保守力和势能，未来的研究方向可能会集中在更复杂系统下的运用和拓展。
【关键词】保守力、势能、物理学、性质、关系、确定、守恒定律、区别、重要性、应用、未来研究方向。
1. 引言1.1 保守力的基本概念保守力是物理学中一个非常重要的概念，它在描述物体运动和相互作用过程中起着至关重要的作用。
保守力是一种在物体运动中所做的功与路径无关的力，即对于沿着任意闭合路径作功的保守力，总是零。
这意味着保守力对物体的位移所做的功只依赖于起点和终点，而与具体路径无关。
保守力的基本概念包括以下几个要点：1. 保守力与势能的关系：保守力可以用势能来描述和计算。
势能是对物体在某个力场中位置所储存的能量，而保守力则是通过势能的梯度来定义和推导的。
具体来说，对于一个保守力F，其对应的势能函数为U，满足F = -∇U。
这里的负号表示力是势能的负梯度方向，即力的方向指向势能减小的方向。
2. 势能的引入：为了便于描述和计算保守力对物体的作用，我们引入了势能这一概念。
势能可以是位置的函数，也可以是速度和其他物理量的函数。
通过引入势能，我们可以将关于保守力的问题转化为寻找势能函数和利用势能函数进行计算的问题。
保守力的基本概念包括了与势能的关系和势能的引入。
这些概念在物理学中有着广泛的应用和重要性，对于解决各种运动和相互作用问题都起着至关重要的作用。
理论力学复习题
理论力学复习题一、 填空1、质点沿空间曲线232()(32)(24)r t t i t j t t K =++−+− 运动在2t S =时，质点的速度V =__________________；加速度a = __________________，速度大小为V =__________________；加速度大小为a =__________________。
2、质量为m 的质点运动规律为j t i t a r ωωsin cos +=，式中a 、b ，ω均为常数，则质点的轨道道方程为 ，质点从（a ，0）运动到（b ，0），在这一过程中动量的增量=ΔP，动能的增量Δ=K E 。
3、已知点的运动方程为t R y t R x ωωcos ,sin ==，其中R ，W 为常量，点的运动轨迹为__________________，速度为v =__________________，加速度a =__________________。
4、在极坐标中，其径向和横向单位矢量j ，i 的时间导数分别为=dti d =dtj d 。
5、质点的运动速度为(1)kt V A e −=−，其中A ，K 均为常数。
当0t =时质点位于坐标的原点，则质点的运动方程为__________________；加速度为__________________。
6、某质点运动方程为r=e at，θ=bt；该质点径向速率V r =_____________，横向速率V=________________；径向加速度的值αr =________________，横向加速度的值αθ=_______________，加速度的值α=________________。
7、在自然坐标系中，切向加速度ιa 和法向加速度n a 的计算公式为ιa ＝___________，n a ＝________________；8、在极坐标中加速度的两个分量为（1）__________________，（2）__________________。
大学物理-保守力和势能
e rdr dr co srdr
Wa bG r2M d rm GM (r1 a m r1 b)
But if M~m, what is the work?
Example: 质量为M、m的两球原来相距为a，在万有引力作
用下逐渐靠近至相距为b，求在此过程中引力所作的功。
When only gravitation does work:
(1) Near the earth’s surface 质点高度变化不大:
12m2vmgz常数
(2) High above the earth’s surface 质点高度变化很大:
1 2m2vmg2/R r常数
When only elastic force does work: 弹性力场:
m
m
体作质功心G 占系主里m mm要，M M 内 地(力位1a的。b1)功与质量成r1反0比Mm 。m 对a,小r1' 质M 量m 物mb
引力的功只m与M物1体1系统的初始和最终相对位置 有W 关2，G 与路M m 径无M关(a。b)
W 1W 2Gm(a 1M b 1)W W1/W2m/M
Case study 2: Work done by elastic forces
Work done by a conservative force 保守力的功：
(1) Reversible, “work” can be stored in a “BANK”;
(2) Independent of the path of the body;
(3) Zero work for closed path.
ba acbW0 elastriccefo dko wo
保守力和势能
一对力所作的总功的只取决于两质点的相对运动；
一对力做功的代数和与参考系的选择无关；
5
什么条件下, 一对内力做功为零?
v
m
M
f
s s
C
f
v
N
C
N
Af Af 0
作用点无相对位移
AN AN 0
相互作用力与相对位移垂直
6
功的大小与参照系有关
功的单位为焦耳 功率(power) 功率：单位时间内力对物体所作的功 平均功率
yb ya
W mgdy mg( yb ya ) mg( ya yb )
重力是保守力。重力的功等于重力势能增量 的负值。重力势能以地面为零势能点。
y dy a p o
12
dr dx
W mg( yb ya ) ＝－EP 为势能增量
dr
b
EP mgdy mg(0 y) mgy
P
C
y
R
.
o
m
F
解：
F F0 xi F0 yj
r
x
0
dr dxi dyj
2R
r xi yj
2 A F d r F0 x d x F0 y d y 2F0 R
0 0
8
练习2 如图 M =2kg , k =200N m , s = 0.2m , g ≈ 10ms
功(work)
力对空间累积
中学知识恒力作功
F
a
F
A F s cos F s
s
s
ds
dr
结构动力学
第一章概述1．动力荷载类型：根据何在是否随时间变化，或随时间变化速率的不同，荷载分为静荷载和动荷载根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性（非随机）荷载和非确定性（随机）荷载。
确定性荷载是荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时间过程；非确定性荷载是荷载随时间变化的规律预先不可以确定，是一种随机过程。
根据荷载随时间的变化规律，动荷载可以分为两类：周期荷载和非周期荷载。
根据结构对不同荷载的反应特点或采用的动力分析方法不同，周期荷载分为简谐荷载（机器转动引起的不平衡力）和非简谐周期荷载（螺旋桨产生的推力）；非周期荷载分为冲击荷载（爆炸引起的冲击波）和一般任意荷载（地震引起的地震动）。
2．结构动力学与静力学的主要区别：惯性力的出现或者说考虑惯性力的影响3．结构动力学计算的特点：①动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间②于静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响4．结构离散化方法：将无限自由度问题转化为有限自由度问题集中质量法：是结构分析中最常用的处理方法，把连续分布的质量集中到质点，采用真实的物理量，具有直接直观的优点。
广义坐标法：广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，但是比较方便快捷。
有限元法：综合了集中质量法与广义坐标法的特点，是广义坐标的一种特殊应用，形函数是针对整个结构定义的；有限元采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，形函数是定义在分片区域的。
①与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是采用了分片的插值(即定义分片形函数)，因此形函数的公式(形状)可以相对简单。
②与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接直观的优点。
5．结构的动力特性：自振频率、振型、阻尼第二章分析动力学基础及运动方程的建立1．广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量；必须是相互独立的参数2．约束：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或运动学的限制；(从几何或运动学方面限制质点运动的设施)3．结构动力自由度，与静力自由度的区别：结构中质量位置、运动的描述动力自由度：结构体系在任意瞬间的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需要的独立参数的数目静力自由度：是指确定体系在空间中的位置所需要的独立参数的数目为了数学处理上的简单，人为在建立体系的简化模型时忽略了一些对惯性影响不大的因素确定结构动力自由度的方法：外加约束固定各质点，使体系所有质点均被固定所必需的最少外加约束的数目就等于其自由度4．有势力的概念与性质：有势力（保守力）：每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置，体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置，而与各质点的运动路径无关。
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保守力及其性质
曹瑞廷
随着“应试教育”向素质教育模式的转轨，高考也由知识立意向能力立意转化，中学物理教学的要求已经变得越来越高了。
中学物理的教学过程中，让学生掌握获取知识的方法、拓宽思维的深度和广度，是教学中的一个重要任务。
特别是高三复习中，教师应对每个知识点的来龙去脉，对每个知识点的发生、发展过程，预以足够的重视，做到以新型的行为交往模式，使学生摆脱机械的知识接受器的学习模式，开启思维的通道，把前后知识联系起来，找到某些知识点的共同点，达到复习、巩固、提高能力的目的。
在中学物理中，力可以按效果或性质来分类，在高三复习中，我们可以引导学生研究重力、电场力、万有引力、分子力、弹簧的弹力、核力等，从中可以发现这些力有一个共同的特点，即力所做的功仅仅依赖于受力质点的始末位置，与质点经过的路径无关。
我们把具有这种性质的力称为保守力。
而像摩擦力等则不具有上述特点，称为非保守力。
一、保守力做功与路径无关，只跟起点和终点的位置有关的证明
1、重力的功
h1的A点自由下落到高度为h2的B点，
再水平移到C点。
物体在水平移动过程中，
重力对物体并不做功，所以在整个过程
中，重力对物体所做的功，就等于物体由A点自由下落到B点的过程中重力所做的功。
W G=mgh1-mgh2
如果让这个物体沿着斜面AC滑下，从原来高度为h1的A点滑到高度为h2的C点，物体沿斜面滑下的距离是S，重力所做的功是：
W G=mgsinθS=mg△h=mgh1-mgh2
我们看到，物体由起点A到终点C，不论沿折线ABC，还是沿着斜面
AC，重力所做的功仍然是：
W G=mgh1-mgh2
这就是说，重力对物体所做的功只跟起点和终点的位置有关，而跟物体
运动的路径无关。
2、静电场力的功
B、C三点，其中A的电势为U A，B、
C两点的电势分别为U B、U C且U B=U C。
设将电量为q的正电荷从A点移
到B点，再移到C点，在整个过程中
电场力做功为：
W=W AB+W BC=qEd+0=q(U A-U B)=qU A-qU B=qU A-qU C
如果让这个电荷沿斜线AC移动，电场力做功为
W=qEScosθ=qEd=qU A-qU C
可以证明，不论电荷q是正是负，不论沿斜线AC移动，还是沿着折线
ABC移动，电场力做的功总是相等的。
可以证明，这个电荷沿任一路径从A移到C，电场力做的功总为：
W=qEScosθ=qEd=qU A-qU C
同样可以证明，在非匀强电场中上述关系也是成立的。
这就是说，电场力对移动电荷所做的功只跟起点和终点的位置有关，与
移动的路径无关。
3、可以证明万有引力、分子力、弹簧的弹力与重力、电场力一样，
都具有共同的特点，即：保守力所做的功仅仅依赖于受力质点的始末位置，
与质点经过的路径无关。
二、保守力总是与一定形式的势能相对应
对保守力来说，若受力质点始末位置一定，则力所做的功便唯一确定，与路径无关。
这样就存在一个由相对位置决定的势能。
当质点由初始位置移到末位置时，势能的增量等于力所做功的负值。
即：力做的功等于势能的减少量。
公式表达为：
W=-△E p =－( Ep 2 –Ep 1) 或W = Ep 1 –Ep 2 三、 应用
例1：小球质量m=0.5kg ，由高度为H=20m 的高台上以初速度V 0=20m/s 与方向成θ=60°角斜向上抛出，若空气阻力不计，小球落地时速度多大？（g=10m/s 2）
解：小球运动中只受重力作用，根据动能定理：
2
02
12
2
1
νν
m m W G -
=
由于重力做的功等于重力势能增量的负值。
W G = mgH-0=mgH 所以
s m s m gH /3.28/2010220
22
2
0=⨯⨯+=
+=νν
例2：如图所示，一质量为m ，带电量为-q 的小物体,可在水平轨道OX 上运动,O 端有一与轨道垂直的固定墙。
轨道处于匀强电场中，场强大小为E ，方向沿OX 轴正
方向。
小物体以初速度
V 0从X 0点沿OX 轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力f 的作用，且f 〈qE ，设小物体与墙碰撞时不损失机械能，且电量保持不变，试求它在停止运动前所通过的总路程S 多大？
解：小物体在水平方向受到电场力和摩擦力的作用。
当它向左运动时，电场力向左而摩擦力向右，且电场力大于摩擦力，它做匀加速直线运动；当它向右运动时，电场力和摩擦力均向左，它做匀减速直线运动。
由上述分析可知，当它向左加速运动，遇到墙时发生碰撞，改变为向右做减速运动，直到速度减为零。
然后又向左加速运动，遇墙又碰撞，变为向右做减速运动，这样反复不止，但因存在摩擦力，向右运动的最大距离一次比一次小，直到为零。
由于电场力做功与路径无关，所以电场力做功为qEX 0 。
摩擦力做功与路径有关，因而摩擦力做功为μmgS 。
根据动能定理有：
2
2
10νμm mgS qEx
-
=-
整理得：
例3、两个分子甲和乙相距较远（此时它们之间的分子力可忽略），设甲固定不动，乙逐渐向甲靠近直到不能靠近的整个过程中，分子力对乙分子的做功情况是 。
两分子的势能变化情况是 。
解：根据分子力做功的特点，可知：先做正功，后做负功。
热能先减小后增大。
例4、水平放置的平行金属板A 、B 间形成匀强电场。
一带电油滴以初速度V 0从某一角度射入电场区，如图所示，已
知油滴的质量为m ，电量为+q 。
试求：（1）油滴进入电场区后做速度为V 0
f
m qEx
S 222
ν
+
=
的匀速直线运动且油滴始终未与A 板相碰，求该电场区场强大小和方向？（2）当油滴运动到距B 板h 处时，突然场强减为原来的三分之一，油滴打在B 板上的末速度为多大？
解：（1）因为匀速直线运动，所以油滴所受合力为零，即：
F 电= mg ∴场强方向向上 F 电 = qE ∴q
mg q F E ==
电
（2）当E ′= E/3 时，合力方向竖直向下，油滴做类平抛运动。
根据动能定理，得：
2
2
2
12131mV mV
qEh mgh -
=
-
整理以上两式，得：
gh
V V 3
42
0+
=
通过以上例题可以看出，在曲线运动中，这类力做功是无法用功的定义直接求出，而利用这类力做功等于势能的减少量可以很方便求出。
这样，不仅增加学生对这些知识点融会贯通，达到复习目的。
也使学生掌握了一种学习的方法，提高了学习的能力。
山西平阳机械厂中学。