浙教版八年级数学上册期末复习专题2等腰三角形(含答案)

浙教版八年级数学上册期末复习专题2 等腰三角形一、选择题1.等腰中，，若，则的度数是（）A. B. C. D.2.若与关于直线对称，且垂直平分，则一定有（）A. B. C. D.3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4.如图，在△ABC中，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作EG∥BC分别交于点AB、AC于点E、G．若AB=9，BC=10，AC=11，则△AEG的周长为（）A. 15B. 20C. 21D. 195.等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为( )A. B. C. D. 或6.如图，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBD 是等腰三角形，EB=ED；②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；③△EBA和△EDC一定是全等三角形.其中正确的有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7.如图，ABC和关于直线L对称，下列结论：① ABC≌；②∠BAC＝；③直线L垂直平分；④直线L平分.正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（）A. ①②③④B. ①②④C. ①②③D. ②③④9.如图，在△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，与AC相交于点F，CD⊥BD，垂足为D，交BA的延长线于点E，AH⊥BC交BD于点M，交BC于点H，下列选项不正确的是（）A. ∠E＝67.5B. ∠AMF＝∠AFMC. BF＝2CDD. BD＝AB+AF10.如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD 于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN ＝35°；④AM＝AN.其中不正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题11.已知等腰三角形，，D为边上一点，且和都是等腰三角形，则________．12.如图所示，在中，，，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC 于点E，连接BE，则的度数为（________）13.如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=45°，当∠A=________时，△AOP为等腰三角形.14.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题.（1）线段AB的长为__，BC的长为__，CD的长为__，AD的长为__；（2）连接AC，通过计算△ACD的形状是________；△ABC的形状是________.15.如图，在正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再涂黑一个图中其余的小正方形，使得整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有________种.16.阅读后填空：已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O.求证：OA＝OD.分析：要证OA＝OD，可证ABO≌DCO；要证ABO≌DCO，可先证ABC≌DCB得出AB＝DC这个结论；而用________可证ABC≌DCB（填SAS或AAS或HL）.17.如图，ABC中，∠C＝90°，点A关于BC边的对称点为，点B关于AC边的对称点为，点C关于AB边的对称点为，ABC与的面积之比为________.18.如图，∠AOB是一角度为15°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为________.19.如图，在中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD⊥BC.若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是________.20.已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________．三、解答题21.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C均在正方形网格的格点上.（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）直接写出△A1B1C1各个顶点的坐标.22.如图．平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．求证：（1）点D为的中点；（2）．23.如图，已知AD=BC，AC=BD，求证：OD=OC.24.已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点.求证：MN⊥BD.25.如图，在中，点分别在边上，连接，且．（1）证明：；（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．26.在ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O. ADE的周长为8cm.（1）求BC的长；（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度数是多少？（3）分别连结OA、OB、OC，若OBC的周长为18cm，求OA的长.27.如图1，△ABC 中，AB＝AC，点D 在AB 边上，点E 在AC 的延长线上，且CE＝BD，连接DE 交BC 于点F．（1）求证：EF＝DF；（2）如图2，过点D 作DG⊥BC，垂足为G，求证：BC＝2FG.28.在中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE（1）如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°.①说明：；②线段CE、CD、BC的数量关系为_▲_.（2）如图2，当点D在直线BC上，设∠BAC=α，∠BCE=β.则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.29.如图（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC=BC，∠1=∠2.求证：.（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD=BC，∠3=∠4.探究AE与BE的数量关系，并说明理由.30.问题提出（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，则AC＝________；问题探究（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，点D是AC边上一点，且满足DA＝DB，则CD ＝________；问题解决（3）如图③，在Rt△ABC中，过点B作射线BP，将∠C折叠，折痕为EF，其中E为BC中点，点F 在AC边上，点C的对应点落在BP上的点D处，连接ED、FD，若BC＝8，求△BCD面积的最大值，及面积最大时∠BCD的度数.31.已知点A(8，0)及在第一象限的动点B(x，y)，且x+y＝10，设OBA的面积为S．（1）求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求S＝12时B点坐标；（3）在（2）的基础上，设点Q为y轴上一动点，当BQ+AQ的值最小时，求Q点坐标．32.如图，ABC和DEF是两个等腰直角三角形，∠BAC=∠DFE=90°，AB=AC，FD=FE，DEF 的顶点E在边BC上移动，在移动过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与线段CA相交于点Q．（1）如图1，当E为BC中点，且BP=CQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图2，当ED经过点A，且BE=CQ时，求∠EAQ的度数；（3）如图3，当E为BC中点，连接AE、PQ，若AP=3，AQ=4，PQ=5，求AC的长．33.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D为△ABC内一点，∠ABD＝∠ACD＝20°，E为BD 延长线上的一点，且AB＝AE.（1）求∠BAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）请判断AD，BD，DE之间的数量关系，并说明理由.34.如图1，已知直线l的同侧有两个点A，B，在直线l上找一点P，使P点到A，B两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题（1）如图2，在平面直角坐标系内，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(5，4)，动点P在x轴上，求PA+PB的最小值；（2）如图3，在锐角三角形ABC中，AB=8，∠BAC=45°，∠BAC的角平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为________（3）如图4，∠AOB=30°，OC=4，OD=10，点E，F分别是射线OA，OB上的动点，则CF+EF+DE的最小值为________。

35.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上.（1）如图1，当点E在边BC上时，求证DE＝EB；（2）如图2，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；（3）如图3，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG＝5CG，BH＝3.求CG的长.答案一、单选题1.【答案】A解：∵AB=AC，∠B=70°，∴∠A=180°-2∠B=180°-2×70°=40°．故答案为：A．2.【答案】C解：∵与关于直线l对称，且l垂直平分，∴A和N、B和M、C和P互相对应，∴，，，故答案为：C．3.【答案】C解：如图，，当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣，0），P3（，0），当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），故符合条件的点有4个．故答案为：C．4.【答案】B解：∵EG∥BC，∴∠EFB＝∠FBC，∠GFC＝∠FCB，∵BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠EBF＝∠FBC，∠GCF＝∠FCB，∴∠EBF＝∠EFB，∠GFC＝∠GCF，∴EF＝EB，FG＝GC，∴△AEG的周长＝AE+EF+FG+AG＝AE+EB+AG+GC＝AB+AC＝9+11=20故答案为：B．5.【答案】B解：当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；当长是3cm的边是腰时，底边长是：13-3-3=7cm，而3+3＜7，不满足三角形的三边关系．故底边长是：3cm．故答案为：B．6.【答案】C解：∵四边形ABCD为矩形，根据折叠的性质，∴∠BAE=∠DCE=90 ，AB=CD，在△EBA和△EDC中，，∴△EBA≌△EDC（AAS），故③正确；∴BE=DE，∴△EBD为等腰三角形，故①正确；无法判断∠ABE和∠CBD是否相等，故②错误.故答案为：C.7.【答案】A解：∵ABC和关于直线L对称，∴① ABC≌，故该结论正确；②∠BAC＝∠，故该结论正确；∵点C和点关于直线L对称，∴③直线L一定垂直平分线段，故该结论正确；∵点A在对称轴直线L上，∴④直线L平分，故该结论正确；综上所述，正确的结论有4个.故答案为：A.8.【答案】A解：∵BF∥AC，∴∠C＝∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠CBF，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③符合题意，在△CDE与△DBF中，∴△CDE≌△DBF，∴DE＝DF，CE＝BF，故①符合题意；∵AE＝2BF，∴AC＝3BF，故④符合题意；故答案为①②③④.9.【答案】D解：A、∵ AC=AB，∠BAC=90°，∴∠B=45°，∴∠DBE=22.5°，∴∠E=90°-∠DBE=90°-22.5°=67.5°，正确，不符合题意；B、∵∠B=45°，∴∠BAH=∠ACB=90°-∠B=45°，∴∠AMF=∠ABM+∠BAM=22.5°+45°=67.5°，∠AFM=∠ACB+∠CBF=45°+22.5°=67.5°，正确，符合题意；CD、∵AB=AC，∠BAC=∠EAC=90°，∠AFB=∠CFD，∴∠ABF=∠FCD，∴△ABF≌△ACE（ASA），∴AF=AE，∴AB+AF=AB+AE=BE>BD，D错误，符合题意；∵BD平分∠ABC，BD⊥EC，∴△ABC是等腰三角形，∴ED=CD，∴EC=2CD，∵△ABF≌△ACE，∴BF=EC，∴BF=2CD，∴C正确，不符合题意.故答案为：D.10.【答案】D解：①∵CE平分∠ACE，∴∠ACP=∠MCP，∵AM⊥CE，∴∠APC=∠MPC=90°，∴∠CAM=∠CMA，∴AC=CM，∴AP=PM，①正确；②同理得：BN=AB=6，∵CM=AC=5，∴BC=BN+CM-MN=6+5-2=9，②正确；③∵∠BAC=∠MAC+∠BAN-∠MAN=110°，由①知：∠CMA=∠CAM，∠BNA=∠BAN，△AMN中，∠CMA+∠BNA=180°-∠MAN=∠BAN+∠MAC，∴180°-∠MAN-∠MAN=110°，∴∠MAN=35°，③正确；④当∠AMN=∠ANM时，AM=AN，∵AB=6≠AC=5∴∠ABC≠∠ACB，∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，④不正确；所以本题不正确的有④，故答案为：D.二、填空题11.【答案】45°或36°解：分两种情况：①如图，当AD＝BD，DC＝AD时，则BD＝CD．在△ADB与△ADC中，∵BD=CD，AD=AD，AB=AC，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝90°，∴∠B＝45°；②如图，当AB＝BD，CD＝AD时，则∠BAD＝∠BDA，∠C＝∠DAC．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝∠DAC，∠BAD＝∠BDA＝2∠C＝2∠B，∵∠B+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．故答案为：45°或36°．12.【答案】30解：DE垂直平分AB故答案为：30 ．13.【答案】45°或67.5°或90°解：若△AOP为等腰三角形则有AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况，①当AO=AP时，则有∠O=∠APO=45°，∴∠A=90°；②当AO=OP时，则∠A=∠APO= =67.5°；③当OP=AP时，则∠A=∠AON=45°，综上可知∠A为45°或67.5°或90°，故答案为：45°或67.5°或90°.14.【答案】（1）|5| |（2）等腰三角形；直角三角形解：（1）解：如图，由题意AB＝BCCDAD故答案为：，5，2 ，2（2）∵AC∴AC＝AD，∴△ACD是等腰三角形，∵AB＝，AC＝，BC＝5，∴AB2+AC2＝25＝BC2，∴∠BAC＝90°∴△ABC是直角三角形，故答案为：等腰三角形，直角三角形.15.【答案】5解：如图所示：所标数字处都可以使得整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，共5种涂法.故答案为：5.16.【答案】HL解：∵∠A＝∠D＝90°，∴在Rt ABC和Rt DCB中，∴Rt ABC≌Rt DCB（HL），∴∠ACB＝∠DBC，∴OB＝OC，故答案为：HL.17.【答案】解：如图，连接CC'并延长交于D，连接，，∵点A关于BC边的对称点为，点B关于AC边的对称点为，点C关于AB边的对称点为，∴AC＝，BC＝，∠ACB＝∠，AB垂直平分，∴△ABC≌△（SAS），∴S △ABC＝S△A'B'C，∠A＝∠，AB＝，∴AB∥，∴CD⊥，∴根据全等三角形对应边上的高相等，可得CD＝CE，∴CD＝CE＝，∴＝，∴S △ABC＝，∴ABC 与的面积之比为，故答案为：.18.【答案】5解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB=15°，∴∠GEF=∠FGE=30°，从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是15°，第二个是30°，第三个是45°，四个是60°，五个是75°，六个是90°就不存在了.所以最多能添加这样的钢管的根数为5根.故答案为519.【答案】解：如图，连接BP.∵△ABC中，AB=AC=10，AD是BC边上的高且AD=8，∴BD=DC，∴BP=PC，∴PC+PQ=BP+PQ=BQ.∴当B、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，∵Q是AC边上的动点，∴当BQ⊥AC，BQ值最小，令AQ=a，则CQ=10−a，∵BQ⊥AC，∴，即，解得a= ，∴BQ= ，∴PC+PQ的最小值为，故答案为.20.【答案】（3，4）或（2，4）或（8，4）解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP=PD≠5；（2）OD是等腰三角形的一条腰时：①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，在直角△OPC中，CP= = =3，则P的坐标是（3，4）．②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，过D作DM⊥BC于点M，在直角△PDM中，PM= =3，当P在M的左边时，CP=5﹣3=2，则P的坐标是（2，4）；当P在M的右侧时，CP=5+3=8，则P的坐标是（8，4）．故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．三、计算题21.【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；（2）解：A1（0，1）、B1（−3，3）、C1（−1，4）．22.【答案】（1）解：如图，过点D作DH⊥AB于H，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB，∴DE=DH，∵BF∥AC，DE⊥AC，∴BF⊥DF，∵BC平分∠ABF，DH⊥AB，DF⊥BF，∴DF=DH，∴DE=DF，∴点D为EF的中点；（2）解：∵BF∥AC，∴∠C=∠DBF，∵∠C=∠DBF，∠CDE=∠BDF，DE=DF，∴△DCE≌△DBF，∴CD=BD，∵BC平分∠ABF，∴∠ABD=∠DBF，∴∠C=∠ABD，∴AC=AB，且CD=BD，∴AD⊥BC；四、解答题23.【答案】证明：连接CD.在△ADC和△BCD中，，∴△ADC≌△BCD，∴∠ACD=∠BDC，∴OD=OC.24.【答案】证明：如图，连接BM、DM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝DM＝AC，∵点N是BD的中点，∴MN⊥BD.五、综合题25.【答案】（1）证明：如图可知：在中，又．（2）解：，是等腰直角三角形BC=2，AB=AC= BC=①当AD=AE时，，点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上此情况不符合题意．②当AD=DE时，由（1）结论可知：AB=DC=．③当AE=DE时，是等腰直角三角形，，即．综上所诉：或．26.【答案】（1）解：∵DO、EO分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AD＝BD，AE＝CE，∴AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋CE＝BC，∵ADE的周长为8cm，即AD＋DE＋AE＝8cm，∴BC＝8cm；（2）解：∵∠BAC＝128°，∴∠ABC＋∠ACB＝52°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC－(∠BAD＋∠EAC)＝76°.（3）解：∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，∴OA＝OC＝OB，∵OBC的周长为18cm，即OC＋OB＋BC＝18cm，∴OC＋OB＝18－8＝10cm，∴OC＝5cm，∴OA＝OC＝OB＝5cm.27.【答案】（1）证明：过点D作DM∥AC，如图1，图1则∠ACB=∠DMB，∠DMF=∠ECF，∵AB＝AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DMB，∴BD=MD，∵CE＝BD，∴CE=MD，在∆DMF和∆ECF中，∵∴∆DMF≅ ∆ECF（AAS）,（2）解：过点D作DM∥AC，如图2，图2由第（1）小题，可知：BD=MD，∆DMF≅ ∆ECF，∴MF=CF，∵DG⊥BC，∴BG=MG（等腰三角形三线合一），∴BC=BM+CM=2(GM+FM)=2FG，28.【答案】（1）解：①∵∠BAC=∠DAE∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC∴∠BAD=∠EAC∵AB=AC，AD=AE∴②CE+CD=BC（2）解：∵AB=AC，∠BAC=α∴∵∴∴∵∵∠BCE=β∴即.29.【答案】（1）证明：在△ACE和△BCE中，∵，（2）解：AE=BE.理由如下：在CE上截取CF=DE，在△ADE和△BCF中，∵，∴，∴AE=BF，∠AED=∠CFB，∵∠AED+∠BEF=180°，∠CFB+∠EFB=180°，∴∠BEF=∠EFB，∴BE=BF，∴AE=BE.30.【答案】（1）20（2）5（3）解：∵E为BC中点，BC＝8，∴BE＝EC＝4，∵将∠C折叠，折痕为EF，∴DE＝EC＝4，当DE⊥BC时，S△BCD有最大值，S△BCD最大值＝×BC×DE＝×8×4＝16，此时∵DE⊥BC，DE＝EC，∴∠BCD＝45°.解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，∴AC＝＝＝20，故答案为：20；（2）∵DA＝DB，∴∠A＝∠DBA，∵∠ABC＝90°∴∠A+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠C，∴DB＝DC，∴DB＝DC＝AD＝AC＝5，故答案为：5；31.【答案】（1）∵x+y＝10∴y＝10﹣x，∴S＝8（10﹣x）÷2＝40﹣4x，∵40﹣4x＞0，∴x＜10，∴0＜x＜10；（2）∵s＝12，∴12＝40﹣4x，x＝7∴y＝10﹣7＝3，∴S＝12时，B点坐标（7，3）；（3）画出函数S的图形如图所示．作出A的对称点A′，连接BA′，此时BA′与y轴交于点Q，此时BQ+AQ的值最小，∵A点坐标为（8，0），∴A′（﹣8，0），∴将（﹣8，0），（7，3）代入y＝kx+b，∴，解得：，∴y＝x+ ，∴x＝0时，y＝，当BQ+AQ的值最小时，Q点坐标为：（0，）．32.【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：∵∠AEQ=45°，∠B=45°，∴∠AEB+∠QEC=135°，∠AEB+∠BAE=135°，∴∠QEC=∠BAE，在△ABE和△ECQ中，∵，∴△ABE≌△ECQ（AAS），∴AE=EQ，∴∠EAQ=∠EQA= ；（3）解：在CQ上截取CH，使得CH=AP，连接EH，由（1）知AE=CE，∠C=∠EAP=45°，∵在△CHE与△APE中：，∴△CHE≌△APE（SAS），∴HE=PE，∠CEH=∠AEP，∴∠HEQ=∠AEC﹣∠CEH﹣∠AEQ=∠AEC﹣∠AEP﹣∠AEQ=∠AEC﹣∠PEF=90°﹣45°=45°，∴∠HEQ=∠PEQ=45°，∵在△HEQ与△PEQ中：，∴△HEQ≌△PEQ（SAS），∴HQ=PQ，∴AC=AQ+QH+CH=AQ+PQ+AP=4+5+3=12．33.【答案】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，∴∠ABC=∠ACB= （180°－∠BAC）=50°，点A在线段BC的中垂线上∵∠ABD＝∠ACD＝20°，∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=∠ACB－∠ACD=∠DCB∴DB=DC∴点D在线段BC的中垂线上∴AD垂直平分BC∵AB=AC∴AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC＝40°；（2）证明：∵∠BAD=∠CAD=40°，∠ABD＝∠ACD＝20°∴∠ADC=180°－∠CAD－∠ACD=120°，∠ADE=∠BAD＋∠ABD=60°∴∠ADC=2∠ADE∴DE平分∠ADC；（3）解：DE＝AD＋BD，理由如下：在DE上截取点F，使DF=AD∵∠ADE=60°∴△ADF为等边三角形∴∠AFD=60°，AD=AF∴∠ADB=180°－∠ADE=120°，∠AFE=180°－∠AFD=120°∴∠ADB=∠AFE∵AB＝AE∴∠ABE=∠E∴△ABD≌△AEF∴BD=EF∴DE=DF＋EF=AD＋BD34.【答案】（1）解：如图2：作点A关于x轴的对称点，连交x轴于点P，∴PA+PB的最小值就是的长，∵点B的坐标为，∴，∴PA+PB的最小值为；（2）（3）解：（2）∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∴直线AB与直线AC关于直线AD对称，如图3，作点N关于直线AD的对称点，连接，∴，∴∴当点B，点M，点三点共线，且BM垂直AC时，BM+MN的值最小，∴此时，∴，由（负根舍去）所以此时：∴BM+MN的最小值为，故答案为；（ 3 ）如图4，过作点C关于OB的对称点，作点D关于OA的对称点，连接交OA于点E，交OB于点F，∴由两点之间，线段最短，可得CF+EF+DE的最小值为，连接交OB于点G，连接交OA于点N，过点作于P，作于点H，∵∠AOB=30°，OC=4，OD=10，∴，∠ODN=60°，∴∴所以CF+EF+DE的最小值为故答案为：35.【答案】（1）解：∵△CDE是等边三角形，∴∠CED=60°，∴∠EDB=60°﹣∠B=30°，∴∠EDB=∠B，∴DE=EB；（2）解：ED=EB，理由如下：取AB的中点O，连接CO、EO，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=60°，OC=OA，∴△ACO为等边三角形，∴CA=CO，∵△CDE是等边三角形，∴∠ACD=∠OCE，∴△ACD≌△OCE，∴∠COE=∠A=60°，∴∠BOE=60°，∴△COE≌△BOE，∴EC=EB，∴ED=EB；（3）解：取AB的中点O，连接CO、EO、EB，由（2）得△ACD≌△OCE，∴∠COE=∠A=60°，∴∠BOE=60°，△COE≌△BOE，∴EC=EB，∴ED=EB，∵EH⊥AB，∴DH=BH=3，∵GE∥AB，∴∠G=180°﹣∠A=120°，∴△CEG≌△DCO，∴CG=OD，设CG=a，则AG=5a，OD=a，∴AC=OC=4a，∵OC=OB，∴4a=a+3+3，解得，a=2，即CG=2.。