LCS(最长公共子序列)、LIS(最长上升子序列)、LCIS(最长公共上升子序列)
数据结构中的最长公共子序列算法与字符串匹配
数据结构中的最长公共子序列算法与字符串匹配在计算机科学中，最长公共子序列算法和字符串匹配是数据结构中非常重要的概念和技术。
最长公共子序列算法用于在两个字符串中找到最长的相同子序列，而字符串匹配则是确定一个字符串是否包含另一个字符串。
1. 最长公共子序列算法最长公共子序列（LCS）算法是一种用于比较两个序列的动态规划算法。
它的目标是找到两个序列中的最长子序列，该子序列在两个原始序列中的相对顺序保持不变。
例如，对于字符串"ABCD"和"ACDF"，它们的最长公共子序列为"ACD"。
LCS算法的基本思想是通过构建一个二维表格来解决问题。
表格的行表示第一个序列，列表示第二个序列。
表格中的每个元素存储了截至当前位置的最长公共子序列的长度。
通过填充表格，可以逐步计算出最长公共子序列的长度，最终可以从表格的右下角找到最长公共子序列的内容。
2. 字符串匹配字符串匹配是判断一个字符串是否包含另一个字符串的过程。
常见的字符串匹配算法有暴力匹配、KMP算法和Boyer-Moore算法等。
- 暴力匹配是最简单的字符串匹配算法，它从字符串的第一个字符开始逐个比较，直到找到匹配的子串或无法匹配为止。
暴力匹配的时间复杂度为O(n*m)，其中n和m分别是两个字符串的长度。
- KMP算法是一种优化的字符串匹配算法。
它利用已经匹配过的部分信息来避免不必要的比较，从而提高匹配的效率。
KMP算法的时间复杂度为O(n+m)，其中n和m分别是两个字符串的长度。
- Boyer-Moore算法是一种更高效的字符串匹配算法。
它利用了两个字符串中不匹配字符的信息，以确定可能的跳过位置，从而进一步提高匹配的效率。
Boyer-Moore算法的时间复杂度为O(n+m)，其中n和m分别是两个字符串的长度。
3. 应用最长公共子序列算法和字符串匹配被广泛用于计算机科学和相关领域。
在自然语言处理中，最长公共子序列算法可以用于比较文本之间的相似性，例如比较两个文章的相似度或者查找相同的句子。
算法,最长公共子序列
最长公共子序列（LCS）问题（非连续子序列）的两种解法最长公共子序列也称作最长公共子串，英文缩写是LCS（Longest Common Subsequence）。
其定义是：一个序列S，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是符合此条件的子序列中最长的，则称S为已知序列的最长公共子序列。
关于子序列的定义通常有两种方式，一种是对子序列没有连续的要求，其子序列的定义就是原序列中删除若干元素后得到的序列。
另一种是对子序列有连续的要求，其子序列的定义是原序列中连续出现的若干个元素组成的序列。
求解子序列是非连续的最长公共子序列问题是一个十分实用的问题，它可以描述两段文字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从而能够用来辨别抄袭。
本文将介绍对子序列没有连续性要求的情况下如何用计算机解决最长公共子序列问题，对子序列有连续性要求的情况下如何用计算机解决最长公共子序列问题将在后续的文章中介绍。
一、动态规划法（Dynamic Programming）最长公共子序列问题应该是属于多阶段决策问题中求最优解一类的问题，凡此类问题在编制计算机程序时应优先考虑动态规划法，如果不能用动态规划法，而且也找不到其它解决方法，还可以考虑穷举法。
对于这个问题，只要能找到描述最长公共子序列的最优子结构和最优解的堆叠方式，并且保证最优子结构中的每一次最优决策都满足“无后效性”，就可以考虑用动态规划法。
使用动态规划法的关键是对问题进行分解，按照一定的规律分解成子问题（分解后的子问题还可以再分解，这是个递归的过程），通过对子问题的定义找出最优子结构中最优决策序列（对于子问题就是最有决策序列的子序列）以及最优决策序列子序列的递推关系（当然还包括递推关系的边界值）。
如果一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列，也就意味着子序列在原序列中的位置索引（下标）保持严格递增的顺序。
例如,序列S = <B,C,D,B>是序列K = <A，B，C，B，D，A，B>的一个子序列（非连续），序列S的元素在在K中的位置索引I = [2,3,5,7]，I是一个严格递增序列。
关于输出多个LCS（最长公共子序列）的简单技巧
关于输出多个LCS（最长公共⼦序列）的简单技巧百度百科： ⼀个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的⼦序列， 且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共⼦序列。
注意：S在已知序列中可以不连续；⽐如ABCBDAB和BDCABA的LCS为BCBA，BCBA不连续出现。
LCS通常利⽤动态规划算法求解，最简单的求解⽅式如《算法导论》所述： 1.设输⼊为X1X2…X m，Y1Y2…Y n，构造⼆维数组B、C； 其中B[i][j]存储C[i][j]的最优解指向，C[i][j]存储X[1…i]和Y[1…j]的LCS长度； 2.B、C数组同时更新： 2.1.令B[0][k]、C[0][k]（k=0…n）和B[k][0]、C[k][0]（k=0…m）为0； 2.2.按下标从⼩到⼤的顺序依次计算每⾏的B[i][j]和C[i][j]，规则如下： ①.若X[i]=Y[j]，则C[i][j]=C[i-1][j-1]+1，B[i][j]=0； ②.若X[i]！=Y[j]，则C[i][j]=Max(C[i][j-1],C[i-1][j])，B[i][j]=1或2； 3.更新完B、C后，从C[m][n]开始递归输出，根据B[i][j]的指向打印LCS；相信⼤家都明⽩这个原理，简单的⽤⼀张图来说明⼀下： 1.箭头代表B[i][j]的值，其中⽤指向左上⽅的箭头代表0，←和↑代表1和2(或2和1)； 2.箭头下⽅的数字为C[i][j]的值，即⼦问题X[1…i]和Y[1…j]的LCS长度；可是这样的构造只能输出⼀个LCS，但是我们发现BCBA、BCAB、BDAB都是该序列集的LCS。
为什么呢？因为该算法在C[i-1][j]=C[i][j-1]时，只记录了⼀种情况！即没有保存分⽀！如何简单的修改算法，以求得多个LCS呢？下⾯介绍⼀种改进的⽅法。
还是利⽤数组B、C，并且C的计算规则不变，下⾯修改B的计算规则： 1.若X[i]=Y[j]，B[i][j]=0； 2.若X[i]!=Y[j]，有以下判断： ①.若C[i-1][j]>C[i][j-1]，则C[i][j]=C[i-1][j]，B[i][j]=1； ②.若C[i-1][j]<C[i][j-1]，则C[i][j]=C[i][j-1]，B[i][j]=2； ③.若C[i-1][j]=C[i][j-1]，则C[i][j]的长度任取，B[i][j]=3；此时⽤另⼀张图表⽰该算法： 1.⽤四种箭头表⽰B[i][j]的值，其中←和↑都存在时，表⽰C[i-1][j]=C[i][j-1]； 2.输出的时候采⽤正则表达式的思想：遇到B[i][j]=3时，同时对两种情况进⾏递归； 形式为“（←+↑）”，其中←和↑分别表⽰两个⼦问题的LCS；补充：（A+B），在正则表达式中意义为A或B，即“+”表⽰⼆选⼀的关系。
最长公共子序列矩阵
最长公共子序列矩阵1.引言概述部分的内容如下：1.1 概述最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种常见的字符串处理问题。
它是指在两个或多个序列中找出最长的子序列，要求这个子序列在所有序列中保持相对顺序一致，但不要求连续。
最长公共子序列问题在生物信息学、文本相似度匹配、版本控制等领域得到广泛应用。
本文将探讨一种新颖的解决方案，即最长公共子序列矩阵。
最长公共子序列矩阵是一种将最长公共子序列问题转化为矩阵形式的解决方法。
通过构建一个二维矩阵，我们可以将两个序列的比较转化为矩阵元素的计算和更新。
这种方法不仅能够有效地解决最长公共子序列问题，还能够为其他相关问题提供便利的解决思路。
本文的结构如下：首先，我们将在第2节介绍最长公共子序列的定义和意义。
我们将详细解释什么是最长公共子序列，以及它在实际应用中的重要性和应用场景。
接着，在第3节中，我们将介绍最长公共子序列问题的几种解法。
我们将分析每种解法的优缺点，并比较它们的时间复杂度和空间复杂度。
最后，在第4节中，我们将总结最长公共子序列矩阵的应用。
我们将回顾文章中的主要内容，讨论最长公共子序列矩阵在实际问题中的应用情况，并展望它在未来研究中的潜在发展方向。
通过本文的阅读，读者将对最长公共子序列问题有更深入的理解，并对最长公共子序列矩阵有一定的认识。
希望本文能够为读者在相关领域的研究和实践中提供有价值的参考和启发。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以写成以下形式:1.2 文章结构本文将按照如下结构进行阐述最长公共子序列矩阵的定义、意义和问题的解法：第二章将详细介绍最长公共子序列的定义和意义。
首先，我们将解释什么是最长公共子序列以及它在实际问题中的应用。
其次，我们将探讨最长公共子序列问题的背后原理，以及它解决的具体问题和挑战。
第三章将介绍最长公共子序列问题的解法。
我们将介绍几种常用的算法和技巧，包括动态规划、回溯法和优化算法等。
python序列比对算法 -回复
python序列比对算法-回复题目：Python序列比对算法：理解和应用引言在Python编程中，序列比对算法是一项重要任务，用于比较两个或多个序列类型的数据，并找到它们之间的相似性和差异。
这种算法可以应用于各种情况，例如字符串匹配、DNA序列比对、图像处理等领域。
本文将一步步解释Python序列比对算法的原理和应用，并提供一些实际示例。
1. 了解序列比对算法的基础知识在开始之前，我们需要了解一些基础知识。
在Python中，序列是一组有序的元素的集合，例如字符串、列表和元组。
序列比对算法旨在找到两个序列之间的相似性和差异。
常见的序列比对算法包括最长公共子序列（LCS）算法和编辑距离算法。
2. 最长公共子序列（LCS）算法最长公共子序列（LCS）算法是一种常用的序列比对算法，用于找到两个序列中最长的公共子序列。
公共子序列是指在两个序列中都出现的元素的集合，不要求这些元素在原序列中是连续的。
LCS算法的基本步骤如下：- 定义两个序列，称为X和Y，并给定它们的长度m和n。
- 创建一个大小为(m+1) * (n+1)的二维数组，用于存储LCS的长度。
- 通过比较序列X和Y的元素，逐步填充二维数组。
如果X[i] == Y[j]，则LCS的长度为LCS[i-1][j-1] + 1；否则，LCS的长度为max(LCS[i-1][j], LCS[i][j-1])。
- 根据填充的二维数组，找到LCS的具体元素。
这是一个简单的LCS算法的示例代码：pythondef lcs(X, Y, m, n):L = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]for i in range(m+1):for j in range(n+1):if i == 0 or j == 0:L[i][j] = 0elif X[i-1] == Y[j-1]:L[i][j] = L[i-1][j-1] + 1else:L[i][j] = max(L[i-1][j], L[i][j-1])return L[m][n]X = "ABCDGH"Y = "AEDFHR"print("The length of LCS is", lcs(X, Y, len(X), len(Y)))输出结果为：The length of LCS is 3，表示两个序列中最长的公共子序列的长度为3。
最长公共上升子序列(LCIS)的平方算法
最长公共上升子序列（LCIS）的O(n^2)算法预备知识：动态规划的基本思想，LCS，LIS。
问题：字符串a，字符串b，求a和b的LCIS（最长公共上升子序列）。
首先我们可以看到，这个问题具有相当多的重叠子问题。
于是我们想到用DP搞。
DP的首要任务是什么？定义状态。
1定义状态F[i][j]表示以a串的前i个字符b串的前j个字符且以b[j]为结尾构成的LCIS的长度。
为什么是这个而不是其他的状态定义？最重要的原因是我只会这个，还有一个原因是我知道这个定义能搞到平方的算法。
而我这只会这个的原因是，这个状态定义实在是太好用了。
这一点我后面再说。
我们来考察一下这个这个状态。
思考这个状态能转移到哪些状态似乎有些棘手，如果把思路逆转一下，考察这个状态的最优值依赖于哪些状态，就容易许多了。
这个状态依赖于哪些状态呢？首先，在a[i]!=b[j]的时候有F[i][j]=F[i-1][j]。
为什么呢？因为F[i][j]是以b[j]为结尾的LCIS，如果F[i][j]>0那么就说明a[1]..a[i]中必然有一个字符a[k]等于b[j]（如果F[i][j]等于0呢？那赋值与否都没有什么影响了）。
因为a[k]!=a[i]，那么a[i]对F[i][j]没有贡献，于是我们不考虑它照样能得出F[i][j]的最优值。
所以在a[i]!=b[j]的情况下必然有F[i][j]=F[i-1][j]。
这一点参考LCS的处理方法。
那如果a[i]==b[j]呢？首先，这个等于起码保证了长度为1的LCIS。
然后我们还需要去找一个最长的且能让b[j]接在其末尾的LCIS。
之前最长的LCIS在哪呢？首先我们要去找的F数组的第一维必然是i-1。
因为i已经拿去和b[j]配对去了，不能用了。
并且也不能是i-2，因为i-1必然比i-2更优。
第二维呢？那就需要枚举b[1]..b[j-1]了，因为你不知道这里面哪个最长且哪个小于b[j]。
这里还有一个问题，可不可能不配对呢？也就是在a[i]==b[j]的情况下，需不需要考虑F[i][j]=F[i-1][j]的决策呢？答案是不需要。
LCS（最长公共子序列）动规算法正确性证明
LCS（最长公共⼦序列）动规算法正确性证明今天在看代码源⽂件求diff的原理的时候看到了LCS算法。
这个算法应该不陌⽣，动规的经典算法。
具体算法做啥了我就不说了，不知道的可以直接看《算法导论》动态规划那⼀章。
既然看到了就想回忆下，当想到算法正确性的时候，发现这个算法的正确性证明并不好做。
于是想了⼀段时间，⾥⾯有⼏个细节很trick，容易陷进去。
想了⼏轮，现在把证明贴出来，有异议的可以留⾔⼀起交流。
先把⼀些符号和约定说明下：假设有两个数组，A和B。
A[i]为A的第i个元素，A(i)为由A的第⼀个元素到第i个元素所组成的前缀。
m(i, j)为A(i)和B(j)的最长公共⼦序列长度。
由于算法本⾝的递推性质，其实只要证明，对于某个i和j：m(i, j) = m(i-1, j-1) + 1 （当A[i] = B[j]时）m(i, j) = max( m(i-1, j), m(i, j-1) ) （当A[i] != B[j]时）第⼀个式⼦很好证明，即当A[i] = B[j]时。
可以⽤反证，假设m(i, j) > m(i-1, j-1) + 1 （m(i, j)不可能⼩于m(i-1, j-1) + 1，原因很明显），那么可以推出m(i-1, j-1)不是最长的这⼀⽭盾结果。
第⼆个有些trick。
当A[i] != B[j]时，还是反证，假设m(i, j) > max( m(i-1, j), m(i, j-1) )。
由反证假设，可得m(i, j) > m(i-1, j)。
这个可以推出A[i]⼀定在m(i, j)对应的LCS序列中（反证可得）。
⽽由于A[i] != B[j]，故B[j]⼀定不在m(i, j)对应的LCS序列中。
所以可推出m(i, j) = m(i, j-1)。
这就推出了与反正假设⽭盾的结果。
得证。
最长公共子序列、最长递增子序列、最长递增公共子序列、最长子序列（leetcode524）
https:///someone_and_anyone/article/details/81044153
最长子序列（leetcode 524）
用每个字符串同当前字符串进行匹配，看当前字符串是否是要匹配字符串的子串。
if(s_len < i_len && i_len < len_now) {
continue; } if(isValid(s, (*it)) && i_len > len_now) {
tmp = (*it); len_now = i_len; } } return tmp; }
bool isValid(string& s1, string& s2) {
int len1 = s1.length(), len2 = s2.length(); int i=0,j=0; for(; i<len1 && j < len2;) {
if(s1.at(i) == s2.at(j)) {
j++; } i++; }
return j == len2; } };
int main() {
您使用的浏览器不受支持建议使用新版浏览器
最长公共子序列、最长递增子序列、最长递增公共子序列、最长 子序列（ leetcode524）
参考：https:///sasuke-/p/5396843.html
https:///someone_and_anyone/article/details/81044153
对所有字符串先排字典序，然后依次同要匹配的字符串匹配。
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LCS(Longest Common Subsequence)
LCS(Longest Common Subsequence)
LCS(Longest Common Subsequence)
LCIS(Longest Common Increasing Subsequence) O(nm) 123645 123457 定义状态F[ i ][ j ]表示以a串的前i个字符b串的 前j个字符且以b[ j ]为结尾构成的LCIS的长度 当a[ i ] != b[ j ] F[ i ][ j ] = F[ i - 1][ j ] 当a[ i ] == b[ j ] F[ i ][ j ]=max(F[ i-1 ][ k ])+1 1<=k<=j-1&&b[ j ]>b[ k ]
LCIS(Longest Common Increasing Subsequence) O(nm)
LCIS(Longest Common Increasing Subsequence)
LIS(O(nlogn))
递归输出
LCS(Longest Common Subsequence) O(n^2) BDCABA ABCBDAB
DP[ i ][ j ] 代表以A串第i个字符结尾以第j个字符 结尾的最长子串
当a[ i ] = b[ j ]时
DP[ i ][ j ] = DP[i - 1][j - 1] + 1 当a[ i ] != b[ j ]时
LIS（Longest Increasing Subsequence）
16326548965362136546963 DP[ i ] 代表以第 i 个数字结尾的最长子序列的长度 DP[ i ] = Max ( DP[ j ] + 1) { 1 <= j <= i - 1}
长沙理工大学
LIS(O(n^2))
LIS（Longest Increasing Subsequence）
16346248965362136546963 len[ i ] 代表长度为i的子串的最小结尾的数 len[ 1 ] = 1 len[ 1 ] = 1 len[2] = 6 len[ 1 ] = 1 len[2] = 3 len[ 1 ] = 1 len[2] = 3 len[3] = 4 len[ 1 ] = 1 len[2] = 3 len[3] = 4 len[4] = 6 len[ 1 ] = 1 len[2] = 2 len[3] = 4 len[4] = 6 len[ 1 ] = 1 len[2] = 2 len[3] = 4 len[4] = 6 len[ 1 ] = 1 len[2] = 2 len[3] = 4 len[4] = 6 len[5] = 8