最长公共子序列问题
算法,最长公共子序列
最长公共子序列（LCS）问题（非连续子序列）的两种解法最长公共子序列也称作最长公共子串，英文缩写是LCS（Longest Common Subsequence）。
其定义是：一个序列S，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是符合此条件的子序列中最长的，则称S为已知序列的最长公共子序列。
关于子序列的定义通常有两种方式，一种是对子序列没有连续的要求，其子序列的定义就是原序列中删除若干元素后得到的序列。
另一种是对子序列有连续的要求，其子序列的定义是原序列中连续出现的若干个元素组成的序列。
求解子序列是非连续的最长公共子序列问题是一个十分实用的问题，它可以描述两段文字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从而能够用来辨别抄袭。
本文将介绍对子序列没有连续性要求的情况下如何用计算机解决最长公共子序列问题，对子序列有连续性要求的情况下如何用计算机解决最长公共子序列问题将在后续的文章中介绍。
一、动态规划法（Dynamic Programming）最长公共子序列问题应该是属于多阶段决策问题中求最优解一类的问题，凡此类问题在编制计算机程序时应优先考虑动态规划法，如果不能用动态规划法，而且也找不到其它解决方法，还可以考虑穷举法。
对于这个问题，只要能找到描述最长公共子序列的最优子结构和最优解的堆叠方式，并且保证最优子结构中的每一次最优决策都满足“无后效性”，就可以考虑用动态规划法。
使用动态规划法的关键是对问题进行分解，按照一定的规律分解成子问题（分解后的子问题还可以再分解，这是个递归的过程），通过对子问题的定义找出最优子结构中最优决策序列（对于子问题就是最有决策序列的子序列）以及最优决策序列子序列的递推关系（当然还包括递推关系的边界值）。
如果一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列，也就意味着子序列在原序列中的位置索引（下标）保持严格递增的顺序。
例如,序列S = <B,C,D,B>是序列K = <A，B，C，B，D，A，B>的一个子序列（非连续），序列S的元素在在K中的位置索引I = [2,3,5,7]，I是一个严格递增序列。
[DataStructure]LCSs——最长公共子序列和最长公共子串
![[DataStructure]LCSs——最长公共子序列和最长公共子串](https://img.taocdn.com/s3/m/dadfc86826d3240c844769eae009581b6bd9bde9.png)
[DataStructure]LCSs——最长公共⼦序列和最长公共⼦串1. 什么是 LCSs？ 什么是 LCSs? 好多博友看到这⼏个字母可能⽐较困惑，因为这是我⾃⼰对两个常见问题的统称，它们分别为最长公共⼦序列问题（Longest-Common-Subsequence）和最长公共⼦串（Longest-Common-Substring）问题。
这两个问题⾮常的相似，所以对不熟悉的同学来说，有时候很容易被混淆。
下⾯让我们去好好地理解⼀下两者的区别吧。
1.1 ⼦序列 vs ⼦串 ⼦序列是有序的，但不⼀定是连续，作⽤对象是序列。
例如：序列 X = <B, C, D, B> 是序列 Y = <A, B, C, B, D, A, B> 的⼦序列，对应的下标序列为 <2, 3, 5, 7>。
⼦串是有序且连续的，左右对象是字符串。
例如 a = abcd 是 c = aaabcdddd 的⼀个⼦串；但是 b = acdddd 就不是 c 的⼦串。
1.2 最长公共⼦序列 vs 最长公共⼦串 最长公共⼦序列和最长公共⼦串是常见的两种问题，虽然两者问题很相似，也均可以根据动态规划进⾏求解，但是两者的本质是不同的。
最长公共⼦序列问题是针对给出的两个序列，求两个序列最长的公共⼦序列。
最长公共⼦串问题是针对给出的两个字符串，求两个字符串最长的公共⼦串（有关字符串匹配相关算法可以转⾄博客《》）。
2. 动态规划⽅法求解LCSs 前⾯提到，动态规划⽅法均可以⽤到最长公共⼦序列和最长公共⼦串问题当中，在这⾥我们就不⼀⼀进⾏求解了。
我们以最长公共⼦序列为例，介绍⼀下如何利⽤动态规划的思想来解决 LCSs。
给定两个序列，找出在两个序列中同时出现的最长⼦序列的长度。
对于每⼀个序列⽽⾔，其均具有a m中⼦序列，因此采⽤暴⼒算法的时间复杂度是指数级的，这显然不是⼀种好的解决⽅案。
下⾯我们看⼀下，如何使⽤动态规划的思想来解决最⼤公共⼦序列问题。
最长公共子序列问题
2.3最长公共子序列问题和前面讲的有所区别，这个问题的不涉及走向。
很经典的动态规划问题。
例题16最长公共子序列(lcs.pas/c/cpp)【问题描述】一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。
确切地说，若给定序列X= < x1, x2,…, xm>，则另一序列Z= < z1, z2,…, zk>是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列< i1, i2,…, ik>，使得对于所有j=1,2,…,k有Xij=Zj例如，序列Z=是序列X=的子序列，相应的递增下标序列为<2,3,5,7>。
给定两个序列X 和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
例如，若X= < A, B, C, B, D, A, B>和Y= < B, D, C, A, B, A>，则序列是X和Y的一个公共子序列，序列也是X和Y的一个公共子序列。
而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。
给定两个序列X= < x1, x2, …, xm>和Y= < y1, y2, … , yn>，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。
【输入文件】输入文件共有两行，每行为一个由大写字母构成的长度不超过200的字符串，表示序列X和Y。
【输出文件】输出文件第一行为一个非负整数，表示所求得的最长公共子序列的长度，若不存在公共子序列，则输出文件仅有一行输出一个整数0，否则在输出文件的第二行输出所求得的最长公共子序列(也用一个大写字母组成的字符串表示。
【输入样例】ABCBDABBDCBA【输出样例】4BCBA【问题分析】这个问题也是相当经典的。
这个题目的阶段很不明显，所以初看这个题目没什么头绪，不像前面讲的有很明显的上一步，上一层之类的东西，只是两个字符串而且互相没什么关联。
但仔细分析发现还是有入手点的：既然说是动态规划，那我们首先要考虑的就是怎么划分子问题，一般对于前面讲到的街道问题和数塔问题涉及走向的，考虑子问题时当然是想上一步是什么？但这个问题没有涉及走向，也没有所谓的上一步，该怎么办呢？既然是求公共子序列，也就有第一个序列的第i个字符和第二个序列的第j个字符相等的情况。
最长公共子序列测试用例
最长公共子序列测试用例最长公共子序列（Longest Common Subsequence）是一种经典的问题，涉及到字符串处理和动态规划，具有广泛的应用场景。
在本文中，我们将详细探讨最长公共子序列问题，并给出一些有指导意义的测试用例。
首先，让我们先明确一下最长公共子序列的定义。
给定两个序列，我们需要找到它们最长的公共子序列，即能够从两个序列中分别取出若干元素，但相对顺序保持不变的最长子序列。
例如，对于序列"ABCD"和"ACDF"，它们的最长公共子序列是"ACD"。
接下来，我们来考虑一些测试用例。
首先，我们可以选择两个完全相同的序列，这样最长公共子序列就是它们本身。
例如，对于序列"ABCD"和"ABCD"，它们的最长公共子序列就是它们本身。
其次，我们可以选择两个没有公共子序列的序列。
例如，对于序列"ABCD"和"EFGH"，它们之间没有任何相同的元素，因此最长公共子序列为空。
另外，我们还可以选择两个长度相同但内容不同的序列，这将涉及到如何处理不同元素的情况。
例如，对于序列"ABCD"和"DCBA"，它们的最长公共子序列是"AD"。
我们需要验证算法是否能够正确处理元素的顺序。
此外，我们还需要考虑一个序列是另一个序列的子序列的情况。
例如，对于序列"ABC"和"ABCD"，它们的最长公共子序列是"ABC"，其中一个序列是另一个序列的子序列。
我们需要验证算法是否能够正确处理这种情况。
最后，我们可以选择两个长度不同但内容相同的序列，这将测试算法在处理不同长度序列时的表现。
例如，对于序列"ABCDE"和"BCD"，它们的最长公共子序列是"BCD"。
最长公共子序列问题;
最长公共子序列问题；最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）问题是指找到多个字符串中最长的公共子序列。
公共子序列是指这些字符串在所有字符串中都以相同的顺序出现，但不要求连续。
例如，对于字符串"ABCD"和"ACDF"，其最长公共子序列为"ACD"。
最长公共子序列问题可以通过动态规划来解决。
基本思路是使用一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示字符串A的前i个字符和字符串B的前j个字符的最长公共子序列的长度。
首先，初始化dp[0][j]和dp[i][0]为0，表示空字符串与任何字符串的最长公共子序列长度为0。
然后，对于每个字符A[i]和B[j]，如果A[i]等于B[j]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1，表示在之前的最长公共子序列长度的基础上加1。
否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])，表示要么在字符串A的前i-1个字符和字符串B的前j个字符的最长公共子序列的基础上取得，要么在字符串A的前i个字符和字符串B的前j-1个字符的最长公共子序列的基础上取得。
最终，dp[m][n]即为所求，其中m和n分别为字符串A和字符串B的长度。
可以通过追踪dp数组来还原出最长公共子序列，具体方法是从dp[m][n]开始，如果A[i]等于B[j]，则该字符是公共字符，将其加入结果序列，然后向左上方移动，即dp[i-1][j-1]。
如果dp[i][j]等于dp[i-1][j]，则说明最长公共子序列在A中取得，向上移动，即dp[i-1][j]；如果dp[i][j]等于dp[i][j-1]，则说明最长公共子序列在B中取得，向左移动，即dp[i][j-1]。
重复上述过程，直到dp[i][j]为0。
动态规划经典——最长公共子序列问题（LCS）和最长公共子串问题
动态规划经典——最长公共⼦序列问题（LCS）和最长公共⼦串问题⼀.最长公共⼦序列问题(LCS问题)给定两个字符串A和B，长度分别为m和n，要求找出它们最长的公共⼦序列，并返回其长度。
例如： A = "Hel lo W o rld" B = "loo p"则A与B的最长公共⼦序列为 "loo",返回的长度为3。
此处只给出动态规划的解法：定义⼦问题dp[i][j]为字符串A的第⼀个字符到第 i 个字符串和字符串B 的第⼀个字符到第 j 个字符的最长公共⼦序列，如A为“app”,B为“apple”，dp[2][3]表⽰ “ap” 和 “app” 的最长公共字串。
注意到代码中 dp 的⼤⼩为 (n + 1) x (m + 1) ，这多出来的⼀⾏和⼀列是第 0 ⾏和第 0 列，初始化为 0，表⽰空字符串和另⼀字符串的⼦串的最长公共⼦序列，例如dp[0][3]表⽰ "" 和“app” 的最长公共⼦串。
当我们要求dp[i][j]，我们要先判断A的第i个元素B的第j个元素是否相同即判断A[i - 1]和 B[j -1]是否相同，如果相同它就是dp[i-1][j-1]+ 1，相当于在两个字符串都去掉⼀个字符时的最长公共⼦序列再加 1；否则最长公共⼦序列取dp[i][j - 1] 和dp[i - 1][j]中⼤者。
所以整个问题的初始状态为：dp[i][0]=0,dp[0][j]=0相应的状态转移⽅程为：dp[i][j]=max{dp[i−1][j],dp[i][j−1]},A[i−1]!=B[j−1] dp[i−1][j−1]+1,A[i−1]==B[j−1]代码的实现如下：class LCS{public:int findLCS(string A, int n, string B, int m){if(n == 0 || m == 0)//特殊输⼊return 0;int dp[n + 1][m + 1];//定义状态数组for(int i = 0 ; i <= n; i++)//初始状态dp[i][0] = 0;for(int i = 0; i <= m; i++)dp[0][i] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j<= m; j++){if(A[i - 1] == B[j - 1])//判断A的第i个字符和B的第j个字符是否相同dp[i][j] = dp[i -1][j - 1] + 1;elsedp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);}return dp[n][m];//最终的返回结果就是dp[n][m]}};该算法的时间复杂度为O(n*m)，空间复杂度为O(n*m)。
动态规划问题常见解法
动态规划问题常见解法
动态规划是一种高效解决优化问题的方法。
它通常用于涉及最
优化问题和最短路径的计算中。
下面是一些常见的动态规划问题解法：
1. 背包问题
背包问题是动态规划中的经典问题之一。
其目标是在给定的背
包容量下，选择一些物品放入背包中，使得物品总价值最大。
解决
这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组来
记录每个物品放入背包时的最大价值，然后逐步计算出最终的结果。
2. 最长公共子序列问题
最长公共子序列问题是寻找两个字符串中最长的公共子序列的
问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个
二维数组来记录两个字符串中每个位置的最长公共子序列的长度。
然后通过递推关系来计算出最终的结果。
3. 矩阵链乘法问题
矩阵链乘法问题是计算一系列矩阵相乘的最佳顺序的问题。
解
决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组
来记录每个矩阵相乘时的最小乘法次数，然后逐步计算出最终的结果。
4. 最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是寻找一个序列中最长的递增子序列的问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个一
维数组来记录每个位置处的最长递增子序列的长度，然后通过递推
关系来计算出最终的结果。
以上是一些常见的动态规划问题解法。
通过灵活运用这些方法，我们可以更高效地解决优化问题和最短路径计算等相关任务。
最长公共子序列问题
目录1 前言02 需求分析12.1 任务和要求12.2 运行环境12.3 开发工具13 分析和设计13.1 系统分析及设计思路13.2 主要数据结构及算法23.3 函数流程图24 具体代码实现35 课程设计总结135.1 程序运行结果或预期运行结果135.2 设计结论13参考文献14致谢141 前言若给定序列X={x1,x2,…,x m}，则另一序列Z={z1,z2,…,z k}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。
例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。
给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y 的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
请使用C语言编程，设计一个有效的算法解决下述问题：给定2个序列X={x1,x2,…,x m}和Y={y1,y2,…,y n}，找出X和Y 的最长公共子序列。
2 需求分析2.1任务和要求使用C语言编程，设计一个有效的算法解决下述问题：给定2个序列X={x1,x2,…,x m}和Y={y1,y2,…,y n}，找出X和Y的最长公共子序列。
2.2运行环境（1）WINDOWS2000/XP系统（2）Visual C++ 6.0编译环境或TC编译环境2.3开发工具C语言3 分析和设计3.1 系统分析及设计思路设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,…,zk} ，则(1)若xm =yn，则zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列。
(2)若xm ≠yn且zk≠xm，则Z是xm-1和Y的最长公共子序列。
(3)若xm ≠yn且zk≠yn，则Z是X和yn-1的最长公共子序列。
由此可见，2个序列的最长公共子序列包含了这2个序列的前缀的最长公共子序列。
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实验三最长公共子序列问题1.实验环境本实验采用 java 语言编写实现，环境：，编译器： eclipse2.实验目的通过最长公共子序列问题，巩固并详细分析动态规划思想和解题步骤。
3.设计思路最长公共子序列的定义为：设有两个序列S[1..m]和9[仁n],需要寻找它们之间的一个最长公共子序列。
例如,假定有两个序列：S1： I N T H E B E G I N N I N GS2： A L L T H I N G S A R E L O S T则S i和S的一个最长公共子序列为 THING又比如：S1： A B C B D A BS2： B D C A B A则它们的一个最长公共子序列为 BCBA。
这里需要注意的是,一个子序列不一定必须是连续的,即中间可被其他字符分开,单它们的顺序必须是正确的。
另外,最长公共子序列不一定只有一个,而我们需要寻找的是其中一个。
当然，如果要求子序列里面的元素必须连成一片也是可以的。
实际上，连成一片的版本比这里实现的更容易。
4.过程我们可以通过蛮力策略解决这个问题，步骤如下：1.检查S1[1..m]里面每一个子序列。
2.看看其是否也是S2[1..n]里的子序列。
3.在每一步记录当前找到的子序列里面最长的子序列。
这种方法的效率十分低下。
因此本实验采用动态规划的方法实现该算法。
利用动态规划寻找最长公共子序列步骤如下：1.寻找最长公共子序列的长度。
2.扩展寻找长度的算法来获取最长公共子序列。
策略：考虑序列S1和S2的前缀序列。
设 c[i，j] = |LCS (S1[1..i],S2[1..j])，则有 c[m, n] = |LCS(S1 S2)| 所以有c[ i -1 , j -1 ] + 1, 如要 S1[i] = S2[j]c[i, j]=max{ c [ i - 1, j ], c[ i , j -1 ] }, 如果 S1[i]工S2[j] 然后回溯输出最长公共子序列过程:5. 实现源代码package Icsimple; public classLCSImplem {断点调试及代码分析首先在main 方法里定义两个字符串，如：String strl = "ABUEDAB"；Strin(j str2 = ''BDCABA 11;对这两个字符串，使它们的第一个字符为空，即初始化之后的C[][] 的第一行第一列，之所以要空出，是因为c[][]代表的是两个字符串数 组多少个，0的意思就是某个字符串的长度为 0。
然后将这两个字符 串分割为char 型数组：U 123 45 6 76>y B I) C A B A5trl = H"十stilrstr2 = r，+ stx2char [] £triiigAr rl 二str 1 _ toCharAr r ay ();char [] striiigArr2 = str2 ・七€?匸^1日17\1：工3.¥ () F接下来就调用getLength方法计算出决定搜索方向的数组，传到该方法的两个数组参数stringArrl和stringArr2的值可以看到Name7 裔^tringAnrl Value (id=16)■ ni A■罔BA [3] cA (4]•鬥oA 16]A■ Flv G stringArrlS(id=17)A [0]丄H]E* R] oA [U 匚■ MJ ABA [6]A然后定义两个二维数组b[][]，c[][]，大小为*，用于接受结果矩阵int[][] b = new int[stringArrl.length)[stringArr12.length]; int [ ] [ ] c = new int [stringArrl, length J [stringAjrr 12 ¥length^ ;接着遍历每一个stringArrl的值，与stringArr2的每一个值做比较: for(int 1=1; i<stringArxl.lengXh; i++}{for(Int j =1; j<stringArr12.length;j++){循环内的第一层判断，就是当当前字符匹配的时候，c[i][j]最为前缀序列为后面的匹配计算使用，将当前值赋值为1，b[i][j]用于保存匹配结果记为1：if( stiingA匚匸N[i] stringArrl2[j]){匚[i] [jl = c[i-l] [j-1] + 1;b[i：[j] = 1;把下面的两个判断作为第二层判断，即当当前字符不匹配的时候对c[i][j]做计算，c[i][j]就是该值在矩阵中上面一个数和左边一个数中较大的值：else if(c[i-1: [j] >= c[il [j-1]}{ g] [j] = c[i-l] [j];b fi] [i 1 = Of}//Sl[il#S2H]的IS 况else {c[i] [j] = c[i] [j-1];b[ii( n = -1；这些判断就是对该矩阵值的计算，c矩阵:/ 0 ] 2 3 4 5 6yj B D C A B A但是这个方法返回的是b矩阵，b矩阵在当前位置在字符匹配时的值为1,不匹配时，就对c矩阵做出比较，该值在矩阵中左边的数值大于上边的数值时，b矩阵在当前位置在字符匹配时的值为 0,反之记为-1。
因此，计算返回b 矩阵，输出b 矩阵for (int i = 0 ; i < b * length ; i++) {for (int j = 0 ; j < 匕[i]・l ength ; j++) { System, out.print ( (b [i] [ j ] } + H"'J ; }System.out .println(); 1得到：Display (to, stringArrl , stringArr 1. length-l f s t ringArr2 - length.-1) jp r1vate static void Dlsplsy (int [] '] b f char [] strinqArr l f int L t Int j i f i£(l = Cl | | j = 0)re ttirnrif (11 = 1) {Display(y.t st. r ' r jp. - r " r- "L );Sygtem ・丄ngAri:丄[=] +r, ,r];}e I ?ift if (b [ i J L j ] == ) {Display (i ： t st rir;qZlr r 1 ( i )；else if (-[i ： I j ： == -1>{Display Cb t1,;当当前值为1时，说明字符匹配成功，再对左上方的值进行比较； 当当前值为0时，说明左边的值大于上边的值，采用递归法，再对上 边的值进行比较；当当前值为-1时，对左边的值进行比较。
下面是对 b 的迭代:0 0 0 0 Q 0 0 0 0 0 0 1 -1 1 0 1 -1 _d 0 1 —丄0 0 0 丄-1 0 0 0 1 0 0 Q 1 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0最后就是对结果的输出，对b 矩阵调用Display 方法:0 0 0 0 0訂L0 0 1 -1 12-1 ■= < 0 10 0 0 1 -1 0 0 0 10 0 01 -1 0 0 1 0 00 0 : L 0 0 1 0 -■丄1 01最后输出判断中匹配上的结果二叭汕平 ~' Prop?ni« Smw? ；T 仃眄 Source Exptortr E^nipp*t<； 曰 Ccnsd*term if fa ted弊 LCSImplem (Jan Applkalwnil ID 前(2014^12月弓E工巳七urn;System . out,prlntln (£ + 1*==>"+j )貞 (b[i ； :j]— 1){nd.splavtb f st r LnqAxr 1, 1—1 r i —1);这个方法，就是对下面矩阵方向的计算:/ (J I 23456訂12 3 4 5 6 7 0 0 0Q I Q .G., Q 0T o T oT 0 、 1 J] \I0 \ 1 I —L t 1 \ 2 —20 T 1 T ] \ 2 -<c —T 2 0 、 1 T i T 2 \ 3 —q 0 T 1 \ 2t 2 t 3 T 3 0 T 1 T 2 t 2 \ 3\ 4 0 、 i TT 3 \ 4E 二二〉3==>43=>3|y i B D CB A7. 算法分析由于每次调用至少向上或向左(或向上向左同时)移动一步，故最多调用(m * n)次就会遇到i 二0或j = 0的情况，此时开始返回。
返 回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为㊀ (mn)。
8. 实验结果在main 方法中输入的字符串为: 丄丄甘 j 儿7 moi j-£i \ oString etrl = T,7^ECBDAB''; String str2 = "EDCABJV; 所以得到结果：^terminate 口；B C B A改变输入的字符串测试:结果准确，实验结束9. 实验总结对最长公共子序列的求解，实际上是对动态规划思想的学习，这 个实验实现的算法比前两个实验实现的算法难度又有所提升， 对字符 串进行反复递归时容易出错， 所以只能先对简单的字符串计算进行测 试。
个人认为，动态规划思想中难的部分就是突出在反复的循环 / 递 归，对循环参数的取值往往让人伤神，需要十分谨慎小心，并反复的 测验才能确保算1* Markers n Properties 報 Servers }g Data Source Explorer ,L Snippe■=；terminated^- LCSlmple-m (Jav^ Application] D^dk^.S\|dk_l.8\bin\javaw.exe亠 J ■亠 J V UJe.U 口亠 4斗 l 7 ―亠 甘 IL J 口 ■旨 4£ 七ring strl = T ，ABCBDAB£FEV ,f ; String str2 =HBDCABAEFT G |* :法的正确性。