最长公共子序列lcs算法
数据结构中的最长公共子序列算法与字符串匹配
数据结构中的最长公共子序列算法与字符串匹配在计算机科学中，最长公共子序列算法和字符串匹配是数据结构中非常重要的概念和技术。
最长公共子序列算法用于在两个字符串中找到最长的相同子序列，而字符串匹配则是确定一个字符串是否包含另一个字符串。
1. 最长公共子序列算法最长公共子序列（LCS）算法是一种用于比较两个序列的动态规划算法。
它的目标是找到两个序列中的最长子序列，该子序列在两个原始序列中的相对顺序保持不变。
例如，对于字符串"ABCD"和"ACDF"，它们的最长公共子序列为"ACD"。
LCS算法的基本思想是通过构建一个二维表格来解决问题。
表格的行表示第一个序列，列表示第二个序列。
表格中的每个元素存储了截至当前位置的最长公共子序列的长度。
通过填充表格，可以逐步计算出最长公共子序列的长度，最终可以从表格的右下角找到最长公共子序列的内容。
2. 字符串匹配字符串匹配是判断一个字符串是否包含另一个字符串的过程。
常见的字符串匹配算法有暴力匹配、KMP算法和Boyer-Moore算法等。
- 暴力匹配是最简单的字符串匹配算法，它从字符串的第一个字符开始逐个比较，直到找到匹配的子串或无法匹配为止。
暴力匹配的时间复杂度为O(n*m)，其中n和m分别是两个字符串的长度。
- KMP算法是一种优化的字符串匹配算法。
它利用已经匹配过的部分信息来避免不必要的比较，从而提高匹配的效率。
KMP算法的时间复杂度为O(n+m)，其中n和m分别是两个字符串的长度。
- Boyer-Moore算法是一种更高效的字符串匹配算法。
它利用了两个字符串中不匹配字符的信息，以确定可能的跳过位置，从而进一步提高匹配的效率。
Boyer-Moore算法的时间复杂度为O(n+m)，其中n和m分别是两个字符串的长度。
3. 应用最长公共子序列算法和字符串匹配被广泛用于计算机科学和相关领域。
在自然语言处理中，最长公共子序列算法可以用于比较文本之间的相似性，例如比较两个文章的相似度或者查找相同的句子。
算法,最长公共子序列
最长公共子序列（LCS）问题（非连续子序列）的两种解法最长公共子序列也称作最长公共子串，英文缩写是LCS（Longest Common Subsequence）。
其定义是：一个序列S，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是符合此条件的子序列中最长的，则称S为已知序列的最长公共子序列。
关于子序列的定义通常有两种方式，一种是对子序列没有连续的要求，其子序列的定义就是原序列中删除若干元素后得到的序列。
另一种是对子序列有连续的要求，其子序列的定义是原序列中连续出现的若干个元素组成的序列。
求解子序列是非连续的最长公共子序列问题是一个十分实用的问题，它可以描述两段文字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从而能够用来辨别抄袭。
本文将介绍对子序列没有连续性要求的情况下如何用计算机解决最长公共子序列问题，对子序列有连续性要求的情况下如何用计算机解决最长公共子序列问题将在后续的文章中介绍。
一、动态规划法（Dynamic Programming）最长公共子序列问题应该是属于多阶段决策问题中求最优解一类的问题，凡此类问题在编制计算机程序时应优先考虑动态规划法，如果不能用动态规划法，而且也找不到其它解决方法，还可以考虑穷举法。
对于这个问题，只要能找到描述最长公共子序列的最优子结构和最优解的堆叠方式，并且保证最优子结构中的每一次最优决策都满足“无后效性”，就可以考虑用动态规划法。
使用动态规划法的关键是对问题进行分解，按照一定的规律分解成子问题（分解后的子问题还可以再分解，这是个递归的过程），通过对子问题的定义找出最优子结构中最优决策序列（对于子问题就是最有决策序列的子序列）以及最优决策序列子序列的递推关系（当然还包括递推关系的边界值）。
如果一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列，也就意味着子序列在原序列中的位置索引（下标）保持严格递增的顺序。
例如,序列S = <B,C,D,B>是序列K = <A，B，C，B，D，A，B>的一个子序列（非连续），序列S的元素在在K中的位置索引I = [2,3,5,7]，I是一个严格递增序列。
最长公共子序列(LCS)算法实验
试验四.最长公共子序列(LCS)算法一．实验原理对于给定的两个序列A和B，如果序列C既是A的子序列，又是B的子序列，则称C是A和B的公共子序列，A和B的公共子序列可能不止一个，其中最长的那个序列称为公共子序列。
公共子序列在很多实际应用中起关键作用。
序列A={abdledefiess},B={abwdifgdefiesa}，最长公共子序列为C={defies}二．实验目的本次实验就是要找出两个序列XY的最长公共子序列LCS三．实验步骤1.查找公共子序列2.输出公共子序列核心算法代码如下：int **lcs_length(char p[],char q[],int **c,int **k,int m,int n){int i,j;for(i=1;i<=m;i++){for(j=1;j<=n;j++){if(p[i-1]==q[j-1])//如果两个字母相等的情况{c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;k[i][j]=1;}else{if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])//两字母不等情况1{c[i][j]=c[i-1][j];k[i][j]=2;}else//两字母不等情况2{c[i][j]=c[i][j-1];k[i][j]=3;}}}}return c,k;}输出代码void print_lcs(int **k,char p[],int i,int j){if(i==0||j==0)return ;if(k[i][j]==1){print_lcs(k,p,i-1,j-1);//通过递归的方法按照输入的从头到尾的顺序输出LCScout<<p[i-1];}else if(k[i][j]==2)print_lcs(k,p,i-1,j);elseprint_lcs(k,p,i,j-1);}四.实验结果根据实验算法运行结果如下:以上算法表明可以正确的找出两个序列的最长公共子序列,达到了本次实验的目的.。
最长公共子序列算法
最长公共子序列算法最长公共子序列算法概述最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）是一种常见的字符串匹配问题。
给定两个字符串S和T，求它们的最长公共子序列，即在S和T中都出现的最长的子序列。
该问题可以用动态规划算法解决。
算法原理动态规划算法是一种将复杂问题分解成更小的子问题来解决的方法。
在LCS算法中，我们将两个字符串S和T分别看作X和Y，并定义一个二维数组c[i][j]表示X[1..i]和Y[1..j]的LCS长度。
则有以下递推公式：c[i][j] = 0, if i=0 or j=0c[i][j] = c[i-1][j-1]+1, if X[i]=Y[j]c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1]), if X[i]!=Y[j]其中第一行和第一列均初始化为0，因为空字符串与任何字符串的LCS长度均为0。
当X[i]=Y[j]时，说明当前字符相同，那么当前字符可以加入到LCS中，所以LCS长度加1；否则当前字符不能加入到LCS中，则需要从上一个状态继承得到当前状态。
最终结果即为c[m][n]，其中m和n分别表示X和Y的长度。
算法实现以下是LCS算法的Python实现：def lcs(X, Y):m = len(X)n = len(Y)c = [[0] * (n+1) for i in range(m+1)]for i in range(1, m+1):for j in range(1, n+1):if X[i-1] == Y[j-1]:c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1else:c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1])return c[m][n]其中X和Y分别为两个字符串。
算法优化以上算法的时间复杂度为O(mn)，其中m和n分别表示X和Y的长度。
如果X和Y较长，算法会很慢。
但是我们可以通过一些优化来降低时间复杂度。
最长公共子序列问题LCS-Read
最长公共子序列问题LCS问题描述一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。
确切地说，若给定序列X=<x1, x2,…, x m>，则另一序列Z=<z1, z2,…, z k>是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列<i1, i2,…, i k>，使得对于所有j=1,2,…,k有例如，序列Z=<B,C,D,B>是序列X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列，相应的递增下标序列为<2,3,5,7>。
给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
例如，若X=<A, B, C, B, D, A, B>和Y=<B, D, C, A, B, A>，则序列<B, C, A>是X和Y的一个公共子序列，序列<B, C, B, A>也是X和Y的一个公共子序列。
而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。
最长公共子序列(LCS)问题：给定两个序列X=<x1, x2, …, x m>和Y=<y1, y2, … , y n>，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。
参考解答动态规划算法可有效地解此问题。
下面我们按照动态规划算法设计的各个步骤来设计一个解此问题的有效算法。
1.最长公共子序列的结构解最长公共子序列问题时最容易想到的算法是穷举搜索法，即对X的每一个子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列，并且在检查过程中选出最长的公共子序列。
X的所有子序列都检查过后即可求出X和Y的最长公共子序列。
X 的一个子序列相应于下标序列{1, 2, …, m}的一个子序列，因此，X共有2m个不同子序列，从而穷举搜索法需要指数时间。
事实上，最长公共子序列问题也有最优子结构性质，因为我们有如下定理：定理: LCS的最优子结构性质设序列X=<x1, x2, …, x m>和Y=<y1, y2, …, y n>的一个最长公共子序列Z=<z1, z2, …,z k>，则：1.若x m=y n，则z k=x m=y n且Z k-1是X m-1和Y n-1的最长公共子序列；2.若x m≠y n且z k≠x m ，则Z是X m-1和Y的最长公共子序列；3.若x m≠y n且z k≠y n，则Z是X和Y n-1的最长公共子序列。
最长公共子序列 空间复杂度优化
最长公共子序列（LCS）是一种经典的字符串算法，用于找到两个字符串中最长的共同子序列。
在实际应用中，LCS算法被广泛用于文本相似度比较、版本控制系统、生物信息学等领域。
在本文中，我们将探讨LCS算法的空间复杂度优化，通过深入分析和讨论，帮助你更好地理解这一优化策略。
1. LCS算法概述LCS算法是一种动态规划算法，通过填表格的方式，将两个字符串的比对过程可视化，最终找到它们的最长公共子序列。
在最简单的情况下，LCS算法的时间复杂度为O(n*m)，其中n和m分别为两个字符串的长度。
但是，在实际应用中，我们通常不仅关注算法的时间复杂度，还需要考虑空间复杂度的优化。
2. 实现原理在传统的LCS算法中，我们通常使用一个二维数组来保存中间状态，以便回溯最长公共子序列。
然而，这种做法在空间上会占用较多的内存，尤其是当输入字符串较长时。
为了优化空间复杂度，我们可以采用一维数组来存储中间状态，从而减少内存的占用。
3. 空间复杂度优化具体来说，我们可以利用滚动数组的思想，只使用两个一维数组来交替保存当前行和上一行的状态。
这样做的好处是，我们可以不断地更新这两个数组，而不需要保存整个二维表格，从而减少了空间的占用。
通过这种优化策略，我们可以将空间复杂度降低到O(min(n, m))，显著减少了内存的使用。
4. 示例分析让我们通过一个简单的示例来说明空间复杂度优化的过程。
假设有两个字符串"ABCD"和"BACDB"，我们希望找到它们的最长公共子序列。
在传统的LCS算法中，我们需要使用一个二维数组来保存中间状态，而在空间复杂度优化后，我们只需要使用两个一维数组来交替保存状态。
通过这种优化，我们可以用较少的内存来解决相同的问题。
5. 个人观点空间复杂度优化是算法设计中非常重要的一环，尤其在处理大规模数据时尤为重要。
通过优化空间复杂度，我们可以节省内存的使用，提高算法的效率，同时也更好地适应了现代计算机的内存限制。
0011算法笔记——【动态规划】最长公共子序列问题(LCS)
问题描述：一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。
确切地说，若给定序列X= { x1, x2,…, x m}，则另一序列Z= {z1, z2,…, z k}是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列{i1, i2,…, i k}，使得对于所有j=1,2,…,k有X ij=Z j。
例如，序列Z={B,C,D,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}的子序列，相应的递增下标序列为{2,3,5,7}。
给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
例如，若X= { A, B, C, B, D, A, B}和Y= {B, D, C, A, B, A}，则序列{B,C,A}是X和Y的一个公共子序列，序列{B,C,B,A}也是X和Y的一个公共子序列。
而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。
给定两个序列X= {x1, x2, …, x m}和Y= {y1, y2, … , y n}，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。
问题解析：设X= { A, B, C, B, D, A, B},Y= {B, D, C, A, B, A}。
求X，Y的最长公共子序列最容易想到的方法是穷举法。
对X的多有子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列。
由集合的性质知，元素为m的集合共有2^m个不同子序列，因此，穷举法需要指数级别的运算时间。
进一步分解问题特性，最长公共子序列问题实际上具有最优子结构性质。
设序列X={x1,x2,……x m}和Y={y1,y2,……y n}的最长公共子序列为Z={z1,z2,……z k}。
则有：(1)若x m=y n,则z k=x m=y n,且z k-1是X m-1和Y n-1的最长公共子序列。
(2)若x m!=y n且z k!=x m，则Z是X m-1和Y的最长公共子序列。
LCS（最长公共子序列）动规算法正确性证明
LCS（最长公共⼦序列）动规算法正确性证明今天在看代码源⽂件求diff的原理的时候看到了LCS算法。
这个算法应该不陌⽣，动规的经典算法。
具体算法做啥了我就不说了，不知道的可以直接看《算法导论》动态规划那⼀章。
既然看到了就想回忆下，当想到算法正确性的时候，发现这个算法的正确性证明并不好做。
于是想了⼀段时间，⾥⾯有⼏个细节很trick，容易陷进去。
想了⼏轮，现在把证明贴出来，有异议的可以留⾔⼀起交流。
先把⼀些符号和约定说明下：假设有两个数组，A和B。
A[i]为A的第i个元素，A(i)为由A的第⼀个元素到第i个元素所组成的前缀。
m(i, j)为A(i)和B(j)的最长公共⼦序列长度。
由于算法本⾝的递推性质，其实只要证明，对于某个i和j：m(i, j) = m(i-1, j-1) + 1 （当A[i] = B[j]时）m(i, j) = max( m(i-1, j), m(i, j-1) ) （当A[i] != B[j]时）第⼀个式⼦很好证明，即当A[i] = B[j]时。
可以⽤反证，假设m(i, j) > m(i-1, j-1) + 1 （m(i, j)不可能⼩于m(i-1, j-1) + 1，原因很明显），那么可以推出m(i-1, j-1)不是最长的这⼀⽭盾结果。
第⼆个有些trick。
当A[i] != B[j]时，还是反证，假设m(i, j) > max( m(i-1, j), m(i, j-1) )。
由反证假设，可得m(i, j) > m(i-1, j)。
这个可以推出A[i]⼀定在m(i, j)对应的LCS序列中（反证可得）。
⽽由于A[i] != B[j]，故B[j]⼀定不在m(i, j)对应的LCS序列中。
所以可推出m(i, j) = m(i, j-1)。
这就推出了与反正假设⽭盾的结果。
得证。
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最长公共子序列lcs算法
最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）算法是一种常用的字符串匹配算法，用于在两个字符串中找到最长的公共子序列。
在计算机科学领域，字符串匹配是一项基础性的任务，常用于文本比较、版本控制、DNA序列比对等领域。
LCS算法的基本思想是通过动态规划的方式，从头开始比较两个字符串的每个字符，逐步构建一个二维数组来保存公共子序列的长度。
具体步骤如下：
1. 创建一个二维数组dp，大小为两个字符串长度加1。
dp[i][j]表示字符串1的前i个字符和字符串2的前j个字符的最长公共子序列的长度。
2. 初始化dp数组的第一行和第一列，即dp[0][j]和dp[i][0]都为0，表示一个空字符串与任何字符串的最长公共子序列长度都为0。
3. 从字符串的第一个字符开始，逐行逐列地比较两个字符串的字符。
如果两个字符相等，则说明这个字符属于最长公共子序列，将dp[i][j]的值设置为dp[i-1][j-1]+1。
如果两个字符不相等，则说明这个字符不属于最长公共子序列，取dp[i-1][j]和dp[i][j-1]中的较大值来更新dp[i][j]的值。
4. 最后，dp[m][n]即为两个字符串的最长公共子序列的长度，其中
m和n分别为两个字符串的长度。
接下来，我们通过一个例子来演示LCS算法的具体过程。
假设有两个字符串str1="ABCDAB"和str2="BDCABA"，我们要找出这两个字符串的最长公共子序列。
创建一个二维数组dp，大小为(str1.length()+1)×(str2.length()+1)。
初始化dp数组的第一行和第一列为0。
```
B D
C A B A
A 0 0 0 0 0 0
B 0
C 0
D 0
A 0
B 0
```
从第一个字符开始比较，我们发现str1[1]和str2[1]都是B，因此dp[1][1]=dp[0][0]+1=1。
```
B D
C A B A
A 0 0 0 0 0 0
B 0 1
C 0
D 0
A 0
B 0
```
继续比较，str1[2]和str2[2]都是D，因此dp[2][2]=dp[1][1]+1=2。
```
B D
C A B A
A 0 0 0 0 0 0
B 0 1 1
C 0
D 0
A 0
B 0
```
继续比较，str1[3]是C，str2[3]是B，因此dp[3][3]=max(dp[2][3], dp[3][2])=1。
```
B D
C A B A
A 0 0 0 0 0 0
B 0 1 1 1
C 0
D 0
A 0
B 0
```
以此类推，我们可以得到完整的dp数组如下：
```
B D
C A B A
A 0 0 0 0 0 0
B 0 1 1 1 1 1
C 0 1 2 2 2 2
D 0 1 2 2 2 2
A 0 1 2 3 3 3
B 0 1 2 3 3 4
```
dp[6][6]=4，因此最长公共子序列的长度为4。
我们可以通过回溯
dp数组来找到最长公共子序列，具体步骤如下：
1. 从dp[m][n]开始，如果str1[m-1]等于str2[n-1]，则说明这个字符属于最长公共子序列，将它加入结果序列中，并将m和n都减1。
2. 否则，如果dp[m-1][n]大于dp[m][n-1]，则说明最长公共子序列中不包含str1[m-1]，将m减1。
3. 否则，如果dp[m-1][n]小于等于dp[m][n-1]，则说明最长公共子序列中不包含str2[n-1]，将n减1。
4. 重复上述步骤，直到m或n等于0。
通过回溯dp数组，我们可以得到最长公共子序列为"BDAB"。
LCS算法的时间复杂度为O(mn)，其中m和n分别为两个字符串的长度。
由于要构建一个二维数组，因此空间复杂度也为O(mn)。
在实际应用中，LCS算法常用于文本比较、字符串相似度计算、版本控制等领域。
总结而言，LCS算法是一种常用的字符串匹配算法，通过动态规划的方式找到两个字符串的最长公共子序列。
通过构建一个二维数组，我们可以计算出最长公共子序列的长度，并通过回溯数组得到最长公共子序列。
LCS算法的时间复杂度为O(mn)，空间复杂度为O(mn)。
在实际应用中，LCS算法有着广泛的应用，为我们解决字
符串匹配问题提供了有效的解决方案。