专题导数法-高中物理八大解题方法含解析
高中数学导数相关知识点总结+解题技巧
高中数学：导数相关知识点总结+解题技巧一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义瞬时速率。
一般的，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是2. 导数的几何意义曲线的切线，当点趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。
容易知道，割线的斜率是当点趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线PT的斜率k，即3. 导函数当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作，即二. 导数的计算1.基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则3.复合函数求导y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。
三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2. 函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；3. 函数的最大(小)值与导数求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
四. 推理与证明1.合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
2.类比推理的一般步骤(1) 找出两类事物的相似性或一致性；(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3) 一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4) 一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
高中数学函数导数题解题方法
高中数学函数导数题解题方法在高中数学中，函数导数是一个重要的概念和工具，它在解决各种数学问题中起着关键作用。
本文将介绍一些常见的函数导数题解题方法，并通过具体题目的分析和说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这些方法。
一、导数的定义和基本性质在开始讨论具体的解题方法之前，我们先来回顾一下导数的定义和基本性质。
函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗其中，Δx表示x的增量。
导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，具有以下基本性质：1. 导数存在的充分必要条件是函数在该点连续；2. 导数可以表示函数的斜率，即切线的斜率；3. 导数可以用来判断函数在某一点的增减性和极值。
了解了导数的定义和基本性质，我们就可以通过一些具体的题目来进一步说明解题方法。
二、求函数的导数1. 求多项式函数的导数考虑函数f(x) = 3x^2 + 2x + 1，我们要求该函数在任意点x处的导数。
根据导数的定义，我们可以将函数f(x)在点x处的导数表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗将函数f(x)代入上式，展开并化简，我们可以得到：f'(x) = 6x + 2这样，我们就求得了函数f(x)的导数为6x + 2。
通过这个例子，我们可以发现，对于多项式函数，求导的过程就是将指数降一，并将系数乘以原指数。
2. 求三角函数的导数考虑函数f(x) = sin(x)，我们要求该函数在任意点x处的导数。
根据导数的定义，我们可以得到：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(sin(x+Δx)-sin(x))/Δx〗利用三角函数的和差公式，我们可以展开上式，并化简为：f'(x) = cos(x)这样，我们就求得了函数f(x)的导数为cos(x)。
通过这个例子，我们可以发现，对于三角函数，求导的过程就是将函数的类型保持不变，并将幅度函数作为导数。
专题04导数法-高中物理八大解题方法含解析
高中物理解题方法之导数法江苏省特级教师戴儒京在物理解题中用导数法，首先要把物理问题化归为数学问题。
在分析物理状态和物理过程的基础上，找到合适的物理规律，即函数，再求函数的导数，从而求解极值问题或其他问题，然后再把数学问题回归到物理问题，明确其物理意义。
例1、两等量同种电荷在两点电荷连线的中垂线上电场的分布以两点电荷的连线的中点为原点，以两点电荷的连线的中垂线为y轴，则各点的电场强度可表示为：Q Q yE =2k（二2） cos"2k（c 2） 2 2l y l y l2y2因为原点的电场强度E0 =0，往上或往下的无穷远处的电场强度也为0，所以, 从O 点向上或向下都是先增大后减小，这是定性的分析。
那么，在哪儿达到最大呢，需要定量的计算。
方法1■用三角函数法求导数E创几）如中把“冷代入得一爷罰2"冷令z = sin2二COST，求导数z‘ = 2sin 二cos2：「sin‘ =sin (2cos2- sin 2二)，欲使z‘ = 0，需sn - - 0 (舍去)或2cos2 v - sin2 - 0 即tan 71 - 2，此处,V2iy坐标轴上的点的合成方法2.用代数法求导数E = 2k (丁汇)一2‘一2-，令 z 二 y (I 2 y 2 )弋，对 z 求导数得 I +y Jl 2+y 2上J；9Iz- (12 y 2) 2 -3y 2(|2y 2) 2 ,令其分子为0，得y 彳，代入得23■图象用ExceI 作图，得到关于等量同种电荷的电场在其中垂线上的分布的图象，图象 的横轴y 表示各点到原点的距离(以两点电荷的连线的中点为原点)，纵轴表示 中垂线上各点的电场强度。
将其代入得E max4,3 kQE m4 3 kQo图2.两等量正点电荷的电场强度在y 坐标轴上的分布此图象也验证了以上所得的结果：图象中令1=5，则当y ? 口 =3.5处2 2电场强度最大。
例2、电源输出功率最大问题的研究例题•如图所示，R 为电阻箱，(\V 为理想电压表.当电阻箱读数为R i =2Q 时，电压表读数为U i =4V ; 当电阻箱读数为R 2=5 Q 时，电压表读数为 U 2=5V.求：(1) 电源的电动势E 和内阻r 。
导数大题题型归纳解题方法
导数大题题型归纳解题方法
导数大题题型主要包括求函数的导数、求函数的极值、求曲线的切线方程和法线方程等。
下面给出这些题型的解题方法：
1. 求函数的导数：
- 根据导数的定义，逐项求导；
- 利用乘法法则、复合函数法则、除法法则等求导法则简化计算；
- 对于含有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的复合函数，可以根据相应的求导法则和运算规律进行求导。
2. 求函数的极值：
- 首先求函数的导数，得到导函数；
- 解导函数的方程，求得导函数的零点，即函数的驻点；
- 利用二阶导数判别法来判断驻点的类型（极大值点、极小值点或拐点）；
- 如果导函数的零点为函数的一个极值点，则该极值点对应的函数值为极值。
3. 求曲线的切线方程：
- 首先求曲线上一点的切线斜率，可以通过求导得到；
- 然后利用一般点斜式的切线方程公式，以该点和斜率为参数，得到切线方程。
4. 求曲线的法线方程：
- 首先求曲线上一点的切线斜率，可以通过求导得到；
- 利用切线斜率与法线斜率的关系（切线斜率与法线斜率的乘积等于-1），由此得到法线的斜率；
- 然后以该点和法线斜率为参数，利用一般点斜式的法线方程公式得到法线方程。
以上是导数大题题型的一般解题方法，根据具体题目特点和要求，可能需要结合其他数学知识和技巧进行推导和计算。
高中数学解题技巧导数小技巧
高中数学经典的解题技巧和方法导数小技巧首先,解答导数及其应用这两个方面的问题时,先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题,同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1.导数概念及其几何意义 1了解导数概念的实际背景; 2理解导数的几何意义; 2．导数的运算1能根据导数定义求函数231(),,,,,y C C y x y x y x y y x======为常数的导数;2能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数;3能求简单的复合函数仅限于形如()f ax b +的复合函数的导数; 3．导数在研究函数中的应用1了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间其中多项式函数一般不超过三次;2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值其中多项式函数一般不超过三次；会求闭区间了函数的最大值、最小值其中多项式函数一般不超过三次;4．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题 5．定积分与微积分基本定理1了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念; 2了解微积分基本定理的含义;好了,搞清楚了导数及其应用的基本内容之后,下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧; 一、利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线()y f x =的切线是导数的重要应用,为近几年各省市高考命题的热点;2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题,多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现,属容易题;解题技巧：1．导数的几何意义函数()y f x =在0x 处的导数()f x '的几何意义是：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率瞬时速度就是位移函数()s t 对时间t 的导数;2．求曲线切线方程的步骤：1求出函数()y f x =在点0x x =的导数,即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率；2在已知切点坐标00(,())P x f x 和切线斜率的条件下,求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-;注：①当曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴此时导数不存在时,由切线定义可知,切线方程为0x x =；②当切点坐标未知时,应首先设出切点坐标,再求解; 例1：2010 ·海南高考·理科T3曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程为 A 21y x =+ B 21y x =- C 23y x =-- D 22y x =--命题立意本题主要考查导数的几何意义,以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 思路点拨先求出导函数,解出斜率,然后根据点斜式求出切线方程. 规范解答选 A.因为 22(2)y x '=+,所以,在点()1,1--处的切线斜率1222(12)x k y =-'===-+,所以,切线方程为12(1)y x +=+,即21y x =+,故选A.二、利用导数研究导数的单调性考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具,近几年各省市高考中的单调性问题,几乎均用它解决;2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构,多以解答题形式考查,属中高档题目;解题技巧：利用导数研究函数单调性的一般步骤; 1确定函数的定义域； 2求导数()f x '；3①若求单调区间或证明单调性,只需在函数()f x 的定义域内解或证明不等式()f x '＞0或()f x '＜0;②若已知()f x 的单调性,则转化为不等式()f x '≥0或()f x '≤0在单调区间上恒成立问题求解;例2：2010·山东高考文科·Ｔ21已知函数1()ln 1()af x x ax a R x-=-+-∈ 1当1a =-时,求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； 2当12a ≤时,讨论()f x 的单调性.命题立意本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.思路点拨1根据导数的几何意义求出曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线的斜率；2直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择.规范解答1 当 1 ()a f x =-=时，),,0(,12ln +∞∈-++x xx x 所以 ()222x x f x x +-'=因此, ()21f '=,即曲线()2(2)) 1.y f x f =在点（，处的切线斜率为，又,22ln )2(+=f 所以曲线()2(2)) (ln 22)2, y f x f y x =-+=-在点（，处的切线方程为2因为11ln )(--+-=x a ax x x f ,所以211)('xa a x x f -+-=221x a x ax -+--= ),0(+∞∈x ,令,1)(2a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x（1） 当0a =时,()()1,0,,g x x x =-+∈+∞所以当()0,1x ∈时,()g x >0,此时()0f x '<,函数()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时,()g x <0,此时()0f x '>,函数()f x 单调递增.（2） 当0a ≠时,由()0f x '=,即 210ax x a -+-=,解得1211,1x x a==-.① 当12a =时, 12x x = , ()0g x ≥恒成立,此时()0f x '≤,函数()f x 在0,+∞上单调递减;② 当102a <<时, 1110a->>,()0,1x ∈时,()0g x >,此时()0f x '<,函数()f x 单调递减11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()g x <0,此时()0f x '>,函数()f x 单调递增 11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()0g x >,此时()0f x '<,函数()f x 单调递减 ③ 当0a <时,由于110a-<,()0,1x ∈时,()0g x >,此时()0f x '<,函数()f x 单调递减： ()1,x ∈+∞时,()g x <0,此时()0f x '>,函数()f x 单调递增.综上所述：当0a ≤时,函数()f x 在()0,1上单调递减;函数()f x 在()1,+∞上单调递增 当12a =时,函数()f x 在()0,+∞上单调递减当102a <<时,函数()f x 在()0,1上单调递减；函数()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；函数()f x 在11,a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 方法技巧1、分类讨论的原因1某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；2数的运算：如除法运算中除式不为零,在实数集内偶次方根的被开方数为非负数,对数中真数与底数的要求,不等式两边同乘以一个正数还是负数等；3含参数的函数、方程、不等式等问题,由参数值的不同而导致结果发生改变； 4在研究几何问题时,由于图形的变化图形位置不确定或形状不确定,引起问题的结果有多种可能. 2、分类讨论的原则 1要有明确的分类标准；2对讨论对象分类时要不重复、不遗漏； 3当讨论的对象不止一种时,应分层次进行. 3、分类讨论的一般步骤1明确讨论对象,确定对象的范围；2确定统一的分类标准,进行合理分类,做到不重不漏； 3逐段逐类讨论,获得阶段性结果；4归纳总结,得出结论.三、利用导数研究函数的极值与最值考情聚焦：1．导数是研究函数极值与最值问题的重要工具,几乎是近几年各省市高考中极值与最值问题求解的必用方法;2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,且函数一般为含参数的高次、分式、或指、对数式结构,多以解答题形式出现,属中高档题;解题技巧：1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：1确定定义域;2求导数()f x ';3①或求极值,则先求方程()f x '=0的根,再检验()f x '在方程根左右值的符号,求出极值;当根中有参数时要注意分类讨论②若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程()f x '=0的根的大小或存在情况,从而求解;2．求函数()y f x =的极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值;例3：2010·天津高考理科·Ｔ2１已知函数()()x f x xe x R -=∈ Ⅰ求函数()f x 的单调区间和极值；Ⅱ已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称,证明当1x >时,()()f x g x >III 如果12x x ≠,且12()()f x f x =,证明122x x +>命题立意本小题主要考查导数的应用,利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力;思路点拨利用导数及函数的性质解题; 规范解答Ⅰ解：f ’()(1)x x x e -=-,令f ’x=0,解得x=1, 当x 变化时,f ’x,fx 的变化情况如下表所以fx 在,1-∞内是增函数,在1,+∞内是减函数; 函数fx 在x=1处取得极大值f1且f1=1eⅡ证明：由题意可知gx=f2-x,得gx=2-x 2x e -令Fx=fx-gx,即2()(2)x x F x xe x e --=+- 于是22'()(1)(1)x x F x x e e --=--当x>1时,2x-2>0,从而2x-2e 10,0,F x e -->>又所以’x>0,从而函数Fx 在1,+∞是增函数;又F1=-1-1e e 0-=，所以x>1时，有Fx>F1=0,即fx>gx. Ⅲ证明：1若121212(1)(1)0,)), 1.x x x x x x --=I ===≠12由（）及f(x f(x 则与矛盾。
专题04导数法-高中物理八大解题方法
专题04导数法-高中物理八大解题方法高中物理中，导数法是一种重要的解题方法。
导数法利用导数的性质和计算方法，可以帮助学生解决一些与物体运动相关的问题。
下面将介绍导数法的基本概念和应用。
一、导数的定义与计算方法在介绍导数法之前，我们首先要了解导数的基本概念。
在物理中，导数表示函数在其中一点上的变化率。
对于函数 f(x)，它的导数可以表示为 f'(x) 或者 dy/dx，表示函数 f(x) 在点 x 处的变化率。
导数的计算方法有很多种，常用的有以下几种：1. 使用导数的定义进行计算，即根据导数的定义公式 f'(x) =lim_(△x->0) (f(x+△x) - f(x))/△x 进行计算。
2.使用相关函数的导数公式进行计算，例如常见的函数导数公式有幂函数导数、指数函数导数、三角函数导数等。
3.利用导数的性质进行计算，例如导数的和、差、积、商的计算法则，可以简化导数的计算过程。
二、导数法的应用导数法在高中物理中的应用非常广泛，可以帮助解决一些与物体运动相关的问题。
下面将介绍导数法的具体应用。
1.速度与加速度在物体运动学中，速度和加速度是两个重要的概念。
速度表示物体在单位时间内的位移变化，加速度表示物体在单位时间内速度的变化。
利用导数法，我们可以通过速度函数来求解加速度函数，或者通过位移函数来求解速度函数。
例如，对于一个匀速运动的物体，位移函数可以表示为 s(t) = vt，其中 v 是速度。
通过求解这个位移函数的导函数，我们可以得到速度函数 v(t) = s'(t) = d(vt)/dt = v。
也就是说，匀速运动的物体的速度恒定不变，其速度函数的导数为常数。
同样地，对于匀加速运动的物体，速度函数可以表示为 v(t) = at，其中 a 是加速度。
通过求解速度函数的导函数，我们可以求得加速度函数 a(t) = v'(t) = d(at)/dt = a。
2.位置、速度和加速度之间的关系利用导数法，我们还可以求解位置、速度和加速度之间的关系。
高中数学导数题解题技巧
高中数学导数题解题技巧导数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
在解题过程中，熟练掌握导数的相关技巧是非常重要的。
本文将从常见的导数题型入手，介绍一些解题技巧，帮助高中学生更好地应对导数题。
1. 导数的定义首先，我们需要了解导数的定义。
导数表示函数在某一点处的变化率，可以用极限的概念表示。
对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以表示为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h这个定义可以帮助我们计算函数在某一点处的导数。
2. 导数的基本性质在解题过程中，我们需要掌握导数的一些基本性质。
首先是导数的线性性质，即对于函数f(x)和g(x)，以及常数a和b，有：[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)[a*f(x)]' = a*f'(x)[f(x)*g(x)]' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)这些性质可以帮助我们简化导数的计算过程。
3. 常见的导数题型接下来，我们将介绍一些常见的导数题型，并给出相应的解题技巧。
3.1 多项式函数的导数对于多项式函数f(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_1*x + a_0，其中a_i为常数，n为正整数，导数可以通过对每一项求导得到。
例如，对于函数f(x) = 3x^2 + 2x + 1，求导后得到：f'(x) = 6x + 2在求导过程中，注意常数项的导数为0。
3.2 指数函数的导数指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，导数可以通过对指数部分求导得到。
例如，对于函数f(x) = 2^x，求导后得到：f'(x) = ln(2) * 2^x其中ln表示自然对数。
3.3 对数函数的导数对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，导数可以通过对函数取导数得到。
高中导数题所有题型及解题方法
高中导数题所有题型及解题方法一、导数的概念1.1 导数的定义•导数的定义公式：f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ•导数表示函数在某一点的变化率1.2 导数的几何意义•函数图象在某一点的切线斜率•函数图象在某一点的局部线性近似二、导数的基本运算法则2.1 基本导数公式•常数函数：d dx (C)=0•幂函数：d dx (x n)=nx n−1•指数函数：ddx(a x)=a x ln(a)2.2 函数和、差、积、商的导数•和的导数：(u+v)′=u′+v′•差的导数：(u−v)′=u′−v′•积的导数：(uv)′=u′v+uv′•商的导数：(uv)′=u′v−uv′v2,其中v≠02.3 复合函数的导数•复合函数的求导公式：如果y=f(u)及u=g(x), 则dy dx =dy dududx三、导数的应用3.1 函数的单调性•若f′(x)>0，则函数f(x)在该区间上单调递增•若f′(x)<0，则函数f(x)在该区间上单调递减3.2 函数的极值与最值•极大值：若f′(x0)=0，且f″(x0)<0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极大值•极小值：若f′(x0)=0，且f″(x0)>0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极小值3.3 函数的拐点•拐点：若f″(x0)=0，则f(x)在x0处的图像有拐点3.4 函数的图像•函数图象的基本性质–若f′(x)>0，则函数的图像上的点随x的增大而上升–若f′(x)<0，则函数的图像上的点随x的增大而下降–若f″(x)>0，则函数的图像在该区间上凹–若f″(x)<0，则函数的图像在该区间上凸四、基础导数题型4.1 求导数•题型1：求函数的导数y=f(x)•题型2：求函数的高阶导数y(n)=f(x)4.2 高阶导数应用•题型1：求函数的极值和拐点•题型2：求函数在某点的切线方程•题型3：求函数的图像4.3 求解极值问题•题型1：求一定范围内函数的极大值和极小值•题型2：求满足一定条件的函数极值4.4 函数的单调性•题型1：判断函数的单调区间•题型2：填空题，填写使函数单调递增或递减的区间五、综合题型5.1 数学建模•题型1：利用导数求解实际生活中的问题5.2 物理应用•题型1：利用导数求解物理问题，如速度、加速度等5.3 函数的变化率•题型1：求函数在某点的变化率•题型2：求函数在某段区间的平均变化率六、总结本篇文章主要介绍了高中阶段导数相关的内容，包括导数的基本定义、几何意义、基本运算法则，以及导数在函数的单调性、极值与最值、图像以及物理应用中的运用。
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高中物理解题方法之导数法在物理解题中用导数法，首先要把物理问题化归为数学问题。
在分析物理状态和物理过程的基础上，找到合适的物理规律，即函数，再求函数的导数，从而求解极值问题或其他问题，然后再把数学问题回归到物理问题，明确其物理意义。
例1、两等量同种电荷在两点电荷连线的中垂线上电场的分布图1.两等量正点电荷的电场强度在y 坐标轴上的点的合成以两点电荷的连线的中点为原点，以两点电荷的连线的中垂线为y 轴，则各点的电场强度可表示为：θcos )(222⋅+=y l Q k E =2222)(2yl yy l Q k +⋅+ 因为原点的电场强度00=E ，往上或往下的无穷远处的电场强度也为0，所以，从O 点向上或向下都是先增大后减小，这是定性的分析。
那么，在哪儿达到最大呢，需要定量的计算。
方法1.用三角函数法求导数θcos )(222⋅+=y l Q k E 中把θtan l y =代入得θθcos sin 222⋅=lkQ E 。
令=z θθcos sin 2，求导数θθθ32sin cos sin 2'-=z =)sin cos 2sin 22θθθ-（，欲使0'=z ，需0sin =θ（舍去）或0sin cos 222=-θθ即2tan =θ，此处，22ly =，将其代入得2max 934lkQE ⋅=。
方法2. 用代数法求导数E =2222)(2y l y y l Q k +⋅+，令2322)(-+⋅=y l y z ,对z 求导数得252222322)(3)('--+-+=y l y y l z ,令其分子为0，得22ly =，代入得2max 934lkQE ⋅=。
3.图象用Excel 作图，得到关于等量同种电荷的电场在其中垂线上的分布的图象，图象的横轴y 表示各点到原点的距离（以两点电荷的连线的中点为原点），纵轴表示中垂线上各点的电场强度。
图2.两等量正点电荷的电场强度在y 坐标轴上的分布此图象也验证了以上所得的结果：图象中令5=l ，则当5.325222=⨯==ly 处电场强度最大。
例2、电源输出功率最大问题的研究例题．如图所示，R 为电阻箱，○V 为理想电压表．当电阻箱读数为R 1=2Ω时，电压表读数为U 1=4V ；当电阻箱读数为R 2=5Ω时，电压表读数为U 2=5V ．求：(1)电源的电动势E 和内阻r 。
(2)当电阻箱R 读数为多少时，电源的输出功率最大?最大值P m 为多少? 图3 电路图【解析】由闭合电路欧姆定律： 111U E U r R =+222UE U r R =+ 联立上两式并代入数据解得：6E V =，1r =Ω（2）解法 1.代数法，电功率表达式：22()E P R R r =+ 将上式变形为：22()4E P R r r R=-+，由上式可知1R r ==Ω时P 有最大值294m E P W r == 解法2.导数法，电功率表达式：22()E P R R r =+，根据求导公式2'')'(vuv v u v u -=，得导数：=)('R P 4222)()(2)(r R r R R E r R E ++⋅-+⋅=42)()()(r R R r r R E +-⋅+⋅，当r R =时，导数的分子为零，即此时有极大值，将1R r ==Ω代入P 式得最大值294m E P W r==本题的物理意义可用图4图象说明：图4电源输出功率与外电路电阻的关系图象的最高点为电源的输出功率最大，其余的，对同一个输出功率，可以有两个电阻值。
例3.证明：在碰撞中，完全非弹性碰撞动能损失最大大家知道，碰撞分弹性碰撞和非弹性碰撞两类。
弹性碰撞，动能和动量都守恒，非弹性碰撞，动能不守恒了,但动量还是守恒的。
在非弹性碰撞中，有一种叫完全非弹性碰撞，两个物体相碰后不分开，连在一起了，动能损失最大，动能不守恒,但动量还是都守恒的。
为什么在完全非弹性碰撞中，动能损失最大呢？很多同学知其然不知其所以然，本文解决知其所以然的问题。
弹性形变是指撤去外力后能够恢复原状的形变，能够发生弹性形变的物体我们说它具有弹性。
碰撞是在极短的时间内发生的，满足相互作用的内力大于大于外力的条件，因此不管系统是否受到外力，一般都满足动量守恒。
因此弹性碰撞是同时满足动量守恒和动能守恒的碰撞。
一般意义上的碰撞，仅满足动量守恒，碰撞过程中物体往往会发生形变，还会发热、发声，系统有动能损失，由于一般只研究碰撞发生在同一水平直线上的情况，系统在碰撞前后的重力势能不变，因此动能损失也对应着机械能的损失，通常情况下是机械能转化为内能。
非弹性碰撞即物体发生碰撞后不反弹，区别于大多数的弹性碰撞，碰撞过程中会有动能损失。
如图1所示，设质量为m 1的小球，速度为v 1，与质量为m 2的小球，速度为v 2，发生碰撞，图5 碰撞碰撞后两球的速度分别为v1’、v2’，取向右为矢量的正方向。
由系统的动量守恒定律得 m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1’+m 2v 2’……① 则碰撞中动能损失为=∆k E 122221122221'21'212121v m v m v m mv --+ ② 由①得21122112''m v m v m v m v -+=③③代入②得=∆k E 221122112112222112)'('212121m v m v m v m v m v m v m -+--+，求k E ∆对'1v 的导数，得=∆)'(1'v E k 2111221111)'('m m v m v m v m v m ⋅-++-令=∆)'(1'v E k 0，解得2122111'm m v m v m v ++=，④ 即当2122111'm m v m v m v ++=时，k E ∆有最大值。
将④代入③解得2122112'm m v m v m v ++=，即''21v v =，两小球粘合在一起时，也就是完全非弹性碰撞情况下，动能损失最大。
将④代入②解得动能损失最大为)(2)(2122121max m m v v m m E k +-=∆。
例题.某同学利用如图6所示的装置研究碰撞问题。
图中两摆摆长相同m l 1=，悬挂于同一高度，A 、B 两摆球均很小，质量相等皆为m 。
当两摆均处于自由静止状态时，其侧面刚好接触。
向右上方拉动B 球使其摆线伸直并与竖直方向成450角，然后将其由静止释放。
求A 球上升最大高度的最大值和最小值各是多少？上摆的最大角度的最大值和最小各值各是多少？解： B 球的初始高度为1h ，碰撞前B 球的速度为B v .在不考虑摆线质量的情况下，根据题意及机械能守恒定律得：1(1cos45)h l =-︒ ①1221mgh mv B = ② 弹性碰撞时，动量守恒有''B A B mv mv mv += ③动能守恒有222'21'2121B A Bmv mv mv += ④ 解得B A v v ='，0'=B v ， 根据22'21A mv mgh =，得12h h =，为A 球上升的最高高度。
根据)cos 1(22θ-=l h ，得01245==θθ，为A 球上摆的最大角度。
完全非弹性碰撞，即A 、B 两球粘合在一起时，动量守恒有'2mv mv B =，解得图 62'Bv v =， 根据22341'21mgh mv mgh ==，得1341h h =，为A 球上升的最大高度的最小值。
根据)cos 1(33θ-=l h ，得0322=θ，为A 球上摆的最大角度的最小值。
例4.电磁感应问题如图，质量为M 的足够长金属导轨abcd 放在光滑的绝缘水平面上。
一电阻不计，质量为m 的导体棒PQ 放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc 构成矩形。
棒与导轨间动摩擦因数为μ，棒左侧有两个固定于水平面的立柱。
导轨bc 段长为L ，开始时PQ 左侧导轨的总电阻为R ，右侧导轨单位长度的电阻为R 0。
以ef 为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为B 。
在t =0时，一水平向左的拉力F 垂直作用在导轨的bc 边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度为a 。
（1）求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式； （2）经过多长时间拉力F 达到最大值，拉力F 的最大值为多少？（3）某过程中回路产生的焦耳热为Q ，导轨克服摩擦力做功为W ，求导轨动能的增加量。
【答案】（1） 感应电动势BLv =ε导轨做初速为零的匀加速运动，at v =，221at s =BLat =ε回路中感应电流随时间变化的表达式2020)21(2at R R BLatat R R BLat R BLv I +=+==总（2） 导轨受外力F ，安培力A F ，摩擦力f F 。
其中2022at R R atL B BIL F A +== )()(2022at R R atL B mg BIL mg F F N f ++=+==μμμ 由牛顿定律Ma F F F f A =--2022)1(at R R atL B mg Ma F F Ma F f A ++++=++=μμ 上式中，当at R tR0=，即0aR Rt =时外力F 取极大值。
022max2)1(RR a L B mg Ma F μμ+++=∴ (3)设在此过程中导轨运动距离s ，由动能定理E W ∆=合Mas W =合由于摩擦力)(A f F mg F +=μ，所以摩擦力做功Q mgs W mgs W A μμμμ+=+=mgQW s μμ-=∴ )(Q W mgMaMas E K μμ-==∆。
【点评】本题考查电磁感应，匀变速运动，牛顿定律等知识点以及分析判断能力及极值的计算等数学方法。
难度：难。
在式子2022at R R atL B y +=的极值的计算中，答案用了变形atR tR a L B y 022+=，然后根据两式之积一定时，两式相等时其和最小的数学方法，因分母最小，分式取最大值。
也可以用导数法求极值。
设上式的分母为at R tRx 0+=，取导数：a R tRt x 02)('+-=，令其等于0，解得极值条件为0aR Rt =。
代入得02aRR x =，此时，0222RR aL B y =， 022max2)1(RR aL B mg Ma F μμ+++=∴。
例5.交流电如图（a ），在同一平面内固定有一长直导线PQ 和一导线框R ，R 在PQ 的右侧。