专题12向量与圆锥曲线教师版
高三公开课向量与圆锥曲线课件
高考中向量与圆锥曲线考题解题技巧
总结词
总结解决高考中向量与圆锥曲线考题的常用 方法和技巧，提高解题效率和准确性。
详细描述
在解决高考中向量与圆锥曲线的考题时，学 生需要掌握一些常用的解题方法和技巧。例 如，利用向量的几何意义和代数运算简化问 题；利用圆锥曲线的标准方程和性质进行求 解；利用数形结合的方法直观理解问题等。 此外，还需要注意一些解题细节，如计算准
数学建模中的向量与圆锥曲线
总结词
数学建模中的向量与圆锥曲线
详细描述
在数学建模中，向量和圆锥曲线是重要的数学工具。通 过建立数学模型，我们可以利用向量的性质和运算规则 来描述和分析各种实际问题。同时，利用圆锥曲线的性 质和几何特征，我们可以更好地理解和解决一些复杂的 数学问题。例如，在解决物理问题时，我们可以利用向 量的数量积、向量的模等概念来描述物体的运动状态和 受力情况；在解决几何问题时，我们可以利用圆锥曲线 的性质和几何特征来描述和分析物体的运动轨迹和几何 特征。
一个乘以一个向量。
向量的减法
同向或反向的向量相减。
向量的数量积与向量积
向量的数量积
两个向量的点乘，结果是一个标 量。
向量的向量积
两个向量的叉乘，结果是一个向 量。
02
圆锥曲线基础
圆锥曲线的定义与分类
理解基础
介绍圆锥曲线的定义，包括椭圆、双曲线和抛物线的定义和分类，以及它们在平 面几何中的位置和作用。
，进行有针对性的复习和练习。
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高三公开课向量与圆锥曲线课件
目 录
• 向量基础 • 圆锥曲线基础 • 向量与圆锥曲线的结合 • 向量与圆锥曲线的实际应用 • 高考真题解析
01
高三数学教案： 圆锥曲线与平面向量
课时考点12 圆锥曲线与平面向量考纲透析考试大纲：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的概念，向量的坐标运算.圆锥曲线与平面向量的综合.新题型分类例析热点题型1：直线与圆锥曲线的位置关系 （05重庆•文21）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅（其 中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a 由已知得.1,2,2,32222==+==b b a c a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k 即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA k x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ②由①、②得 .1312<<k 故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- [变式新题型1]：解：（I ）由已知，………………4分 ………………5分即所求曲线的方程为………………7分（II ）由消去y 得： 解得：（分别为点M ，N 的横坐标）…………10分由解得：………………12分 所以直线的方程为或………………14分（05湖南理19）已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线 l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. ()()()m x y y x =+=+0222222，，，()()()n x x =-=--，，，02222()()()Θm n y x x ∥，∴--+-=222202x y 2221+=x y y kx 22211+==+⎧⎨⎪⎩⎪()124022++=k x kx x x kk 1220412==-+，x x 12，MN k x x k k k =+-=++=1141242321222k =±1l x y -+=10x y +-=10所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a ea ab e ac λλ=+-=得 即221e a a b e a c e a -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a e a -设M 的坐标是00(,),x y 00(,)(,),a a AM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以 ,1220220=+by a x 即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-ee b a a e a λλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ， 由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-== 得.1122e e e =+- 所以.321,3122=-==e e λ于是 即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x c e y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得 由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2[变式新题型2]设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足=，其中M （0，3），求线段AB 的长.[启思]热点题型2：向量的坐标运算与韦达定理（05全国Ⅰ•理21）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+by a x ，化简得 02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由y y x x +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222c ba c a =+，所以36.32222ab ac b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+ 设),(y x OM =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ①由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ .[启思]。
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专题12向量与圆锥曲线★★★高考在考什么【考题回放】2222(A ) y =8x (B ) y 8x (C ) y = 4x (D ) y 4x5 .若曲线y 2 = |x|+ 1与直线y = kx + b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 —.k= 0,破(-1,1)6 .已知两定点 R “2,0 ,F 2 .2,0 ，满足条件 PF ? - PF 1是曲线E ,直线y=kx-1与曲线E 交于A,B 两点。
如果 AB2 21.点P(-3,1)在椭圆与•占=1(a b 0)的左准线上•过点P 且方向为a =(2,-5)的 a b 光线经直线y =-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为(A )(C) 3占2--1的焦点为22.已知双曲线x 2F 2,点M 在双曲线上且1(D )-—* —>n .占 八(A ) 433.设过点P(x,y)的直线分别与 P 关于y 轴对称，(D )23 2A . 3x y22/3(C )-3【勺正半轴和」y 轴的正半轴'5 3x 轴的正半轴丄 y 轴的正半轴交于O 为坐标原点，若(B )(D ) .3A,B 两点，点Q 与 则点P 的轨迹方程=1(x 0, y 0) = 1(x 0, y 0)4 .已知两点 M (— 2 , 0)、N(2,2 3 23x y 23 22x 3y 20)，点 P=1(x 0, y 0) =1(x 0, y 0)为坐标平面内的动点，满足MN MP +MN NP =0，则动点P (x , y )的轨迹方程为(B )=2的点P 的轨迹，且曲线E上存在点C,使OA OB二mOC，求m的值和ABC的面积S。
【专家解答】由双曲线的定义可知，曲线E是以F^ .2,0 ,F2 . 2,0为焦点的双曲线的左支,且c —、2, a =1，易知b =1,故曲线E的方程为x2- y2= 1 x 0、H y=kx_1设A X1,y1 ,B X2,y2，由方程组 2 2‘x - y =12消去 y ，得 1 -k 2 x 2 2kx -2 =0A,B ，有又已知直线与双曲线左支交于两点 ”1_k 2 式0 2 A=(2k ) x<Hx 2 81-k 2 0-2k 门2 <0 1 -k 2 -2 x 1x 2 2 01 -k 又••• AB = J 1 +k2 X 1 —X 2 + x 2 , -4x 1x 22 ---------------------_4 汉—=21 -k 22 21 k 2-k依题意得2 1『2尹.6.3 V (1 —k 2 24 2整理后得 28k -55k *25=0 •- k 2 = 5 或 k 2 ='但 f -；2 ::: k -1 • k 57 4 2、 75故直线AB 的方程为-—x yJ T T 设C x c ，y c ,由已知OA OB^mOC ，得为，力]亠尢山l=I mx c ,my c & +X 2 % +y 2 ] .m ， p 2k 乂 x 1 x 2 — k -1 •••点c 包5Q X c ,y c =--4、5 , % y 2 二 k 捲 X 2 -2 半 k 将点C 的坐标代入曲线 E 的方程，得 I m m 7 得m = 4，但当m 2 8 -1 k 2 -1 80 64 2 2 二1m m =-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 逅疋(-75 )+2 +1••• m=4 , C 点的坐标为 「5,2 , C 到AB 的距离为• .\ABC 的面积 S =丄 6、、3 1 =、、3 2 3 ★★★高考要考什么【考点透视】近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为 _1_3（1） 考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标运算、数量积及学生对平面向 量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。
高三公开课向量与圆锥曲线课件
• 向量基础 • 圆锥曲线基础 • 向量与圆锥曲线的结合 • 向量与圆锥曲向量的定义与表示
01
基本概念
02
03
04
向量是有大小和方向的量，通 常用有向线段表示。
向量可以用大写字母表示，如 A、B、C等。
向量的长度或模用|a|表示， 其中a是向量。
解析
根据双曲线的渐近线方程，得到$a$和$b$ 的关系，再利用离心率公式求离心率。
向量与圆锥曲线的结合习题及解析
题目3
已知椭圆C的中心在原点，焦点在$x$轴上，离心率为$frac{sqrt{3}}{2}$，且经过点 $(1,frac{sqrt{3}}{2})$，点$P$为椭圆C上任意一点，点$Q(1,0)$，求$overset{longrightarrow}{OP} cdot overset{longrightarrow}{OQ}$的最大值。
04
数量积和向量积是向量 的基本运算，用于描述 向量的关系和几何意义 。
02
圆锥曲线基础
圆锥曲线的定义与分类
圆锥曲线的定义
圆锥曲线是平面与一个固定圆锥相交形成的平面曲线的总称。
圆锥曲线的分类
椭圆、双曲线、抛物线等。
圆锥曲线在平面上的投影
通过改变平面与圆锥的相对位置，可以得到不同类型的圆锥曲线。
圆锥曲线的标准方程
圆锥曲线标准方程的求解方法
利用圆锥曲线的定义和几何性质，通过代 数方法求解标准方程。
圆锥曲线的几何性质
圆锥曲线的焦点和准线
根据不同类型的圆锥曲线，焦点和准线的位 置和数量也不同。
圆锥曲线的对称性
不同类型的圆锥曲线具有不同的对称性，如 中心对称、轴对称等。
圆锥曲线的离心率
向量与圆锥曲线的综合应用
￣Ｐ ｌｌ ｊ・ Ｏ —
由
【 析】 ’ １ ） 解 ． ，， ‘ Ｏ
由 吖 十 Ｄ 得 ＋ Ｆ 产３ ．
由抛物线焦半径公式可得：Ｉ Ｉ Ｂ Ｉ ＋ｌ ＋ Ｆ
ｌ Ｃ Ｉ ｌ １ ： Ｆ №
答案 Ｂ
４￣孕所 ． ｘ 一 柳 ① ｏ ｃ ＝ Ｌ 二一 ｌ Ｊ 一 — 坪 ｔ ＇ ， ＝ 又为 Ｐ｜ 线 一一 ，以 因点在 曲吾善ｌ所 双 上
平面 内的 动 点，满 足 Ｉ ＋ Ｉ・ｌ Ｉ ＭＮ ＭＰ
Ｎ ＝， Ｐ Ｏ 则动 Ａｐｘ ） （， 的轨 迹 方 程 为 （ ） ｙ －
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Ａ． ￣Ｓ Ｂ． 一８ Ｃ． ４ Ｄ． 一 ｘ ｙ＝ ｘ ｙ ｘ ／＝ ｘ １ ４ ，
【 解析 】
， 由题意知 Ｍ （ ，、 ２ ） ＿０ Ｎ（ｏ， ２） ， ２ ，Ｐ （ Ｚ ． Ｎ ＝ — ｘ
［ ￣ ｌ （）ｆＰ — Ｎ ／ ｉ １ Ｊ— Ｉ Ｆ ＪＦ ・Ｐ ２
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Ｉ Ｎ Ｉ４ ， Ｍ ＝ 则 Ｖ ４ ）ｆ ，， ０
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ＥＩ・ｆ Ａ・Ｅ Ｂ Ｂ ＞ ０‘ Ｅ ．０ ． ．
＜ｅ ＜ 即ｅ 为锐 角． 【 析 】 （） 解 １设 Ｄ ｌ ） ， ， ， Ａ ＝ａ ， ￣ Ｄ ｔＢ －
【 ６ 设抛物线Ｃ ｉ 例 】 的焦点为 Ｆ 动 点Ｐ ， 在 直线ｈ — 一 ＝ 上运动 ， Ｐ作抛物线 ｃ的两条切 Ｙ ２０ 过 线 Ｐ Ｐ 且与抛 物线 ｃ分别相切于 Ａ、 Ａ、 Ｂ， Ｂ两点．
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)
题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。
高三数学一轮复习 第5讲 向量与圆锥曲线教案
第五讲 向量与圆锥曲线一、考情分析向量的引入，给高中数学教学带来了生机，也为今后学习高等数学奠定了必要的基础．向量作为沟通“数”和“形”的重要工具，是现代数学中的基本概念之一.．向量具有“几何形式”与“代数形式”的双重身份，既有明确的几何意义，又有像数那样的运算，是代数与几何的一个交汇点，是联系中学数学多项内容的媒介．向量方法具有像几何、代数学中所具有的综合法特点，又具有解析法特点，为学生提供一种重要的、有价值的数学工具，同时又创设了能促使学生从一种新角度来进行数学思维的情境，把几何从“思辩数学”化成“算法数学”，将“技巧性解题”化成“算法解题”，从而能更完整、更合理地构建学生数学基本知识、基本技能，是一种具有广阔应用性的通法．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平．二、精典例析例1：过抛物线24x y =的对称轴上的任意一点()()00P m m >，作直线与抛物线交于A B 、两点（点A 在右半平面），点Q 是点P 关于原点的对称点．（1）设点P 分向量AB 所成的比为λ，证明：()QP QA QB λ⊥-；（2）设直线AB 的方程是2120x y -+=，过A B 、两点的圆与抛物线在A 点处有公共的切线，求圆C 的方程；解析：（1）由条件设直线AB 的方程为()()1122y kx m A x y B x y =+，，，，，则：224404y kx mx kx m x y=+⎧⇒--=⎨=⎩， ∴124x x m =-，∵点P 分向量AB 所成的比为λ，∴21201x xx λλλ+=⇔=-+1x ，∵点Q 是点P 关于原点的对称点，∴()()002Q m QP m -=，，，， ∴()()1122QA QB x y m x y m λλ-=+-+，，，()()2211211222212144x x x x QP QA QB m y y m m m x x λλλ⎡⎤⎛⎫⋅-=-+-=+⋅++⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦()()12121222444220x x m m mm x x m x x x x +-+=+⋅=+⋅= 故()QP QA QB λ⊥-．（2）()()2212069444x y A B x y-+=⎧⇒-⎨=⎩，，，， ∵221442x x y y y x '=⇒==， ∴抛物线24x y =在A 点处的切线斜率为：63x y ='=，设圆系方程为()()222x a y b r -+-=，则：()()()()22229132363226944b a a b a b a b -⎧=-⎪-⇒==⎨⎪-+-=++-⎩，，()()222125442r a b =++-=， 故圆C 的方程是22323720x y x y ++-+=．例2：（05年福建卷）已知方向向量为()13v =，的直线l过点(0-，和椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上．（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点()20E -，的直线m 交椭圆C 于点M N 、，满足40OM ON MON ⋅=∠≠（O 为原点）？若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由． 解析：（1）法一：直线l y =-：，过原点垂直l 的直线方程为x y 33-=，322x y y x y ⎧⎧==-⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=-⎩⎪⎩， ∵椭圆中心()0O 0，关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，∴23232a c =⨯=；∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为()0F 2，，∴22262c a b ===，，．故椭圆C 的方程为22162x y += ． 法二：直线323l y x =-：，设原点关于直线l 对称点为()p q ，，则： 32322331q p p q p ⎧=⋅-⎪⎪⇒=⎨⎪⋅=-⎪⎩∵椭圆中心()0O 0，关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，∴23a c=；∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为()0F 2，，∴22262c a b ===，，．故椭圆C 的方程为22162x y += ． （2）法一：设()()1122M x y N x y ，，，，则： ①当直线m 不垂直x 轴时，直线(2)m y k x =+：，则：222222(2)(31)121260162y k x k x k x k x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， ∴0∆>恒成立，且22121222121263131k k x x x x k k -+=-⋅=++，， ∴222222212122221212626(1)||1()41()4313131k k k MN k x x x x kk k k -+=++-=+--⋅=+++， ∵44cos 6cot ||||cos 6033sin MONOM ON MON OM ON MON MON∠⋅=∠⇔⋅∠=≠∠，∴4||||sin 63OM ON MON ⋅∠=，∵点O 到直线MN 的距离21|2|kk d +=，∴246||633OMN S MN d ∆=⇔⋅=，即：2224146||16(31)33k k k k +=+⇒=，∴33k =±．②当直线m 垂直x 轴时，也满足632=∆OMN S ．经检验上述直线均满足0≠⋅ON OM ，故直线m 的方程为32333y x =+或32333y x =--或2x =-． 法二：设()()1122M x y N x y ，，，，则：①当直线m 不垂直x 轴时，直线(2)m y k x =+：，则：222222(2)(31)121260162y k x k x k x k x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， ∴0∆>恒成立，且22121222121263131k k x x x x k k -+=-⋅=++，，∵()20E -，恰是椭圆C 的左焦点，∴()()2212122221226(1)()2()2631316k k MN ME NE a ex a ex e x x a k k +=+=+++=++=⋅-+=++， （以下与解法一相同）．法三：设直线2m x ty =-：，()()1122M x y N x y ，，，，则：22222(3)420162x ty t y ty x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩， ∴0∆>恒成立，且1212224233t y y y y t t -+==++，，.)3(242438)34(4)(||222222212121++=+++=-+=-t t t t t y y y y y y∵44cos 6cot ||||cos 6033sin MON OM ON MON OM ON MON MON∠⋅=∠⇔⋅∠=≠∠，∴4||||sin 63OM ON MON ⋅∠=，∴632=∆OMN S∵2122212424||||2(3)OMN OEM OENt S S S OE y y t ∆∆∆+=+=⋅-=+，2422224242633(3)3t t t t t +==⇒=±+0t =． 经检验上述直线均满足0≠⋅ON OM ，故直线m 的方程为32333y x =+或3333y x =--或2x =-． 例3：（05年湖南卷）已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的左、右焦点为12F F 、，离心率为e ，直线l y ex a =+：与x 轴、y 轴分别交于点A B M 、，是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点1F 关于直线l 的对称点，设AM AB λ=． （Ⅰ）证明：21e λ=-； （Ⅱ）若43=λ，12MF F ∆的周长为6，写出椭圆C 的方程； （Ⅲ）确定λ的值，使得12PF F ∆是等腰三角形．解析：（Ⅰ）法一：()(0)0aA B a e-，，，，2222221y ex a x c b M c x y b a y a b a =+=-⎧⎧⎛⎫⎪⎪⇒⇒-⎨⎨ ⎪+==⎝⎭⎪⎪⎩⎩，，∵AM AB λ=，∴2221aa c ab a e ec a e e a e b aaλλλλ⎧-=⋅⎪⎛⎫⎪⎛⎫-+=⇒⇒=-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩，，．法二：()(0)0aA B a e -，，，，设()00M x y ，，则：∵AM AB λ=，∴ ()0000(1)1a x a a a x y a M a ee e e y a λλλλλ⎧=-⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⇒⇒-⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪=⎩，，，， ∵()1a M a C e λλ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，∴()222222221()(1)111a a e a b e e λλλλ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦+=⇒+=- ∴422222(1)(1)011e e e e λλλλ--+-=⇒=-⇔=-． （Ⅱ）当43=λ时，21=c ， 2a c =，则：∵12MF F ∆的周长为6，∴226a c +=，222213a c b a c ===-=，，． 故椭圆方程为22143x y +=． （Ⅲ）法一：∵1PF l ⊥，∴1212PF F BAF π∠=+∠为钝角，要使12PF F ∆为等腰三角形，必有112112PF F F PF c =⇒=； 设点1F 到l 的距离为d ，则：1221||211d PF e e===++，∵112PF c =， 22221311c e e e e =⇔=⇒=++， 故当2213e λ=-=时，12PF F ∆是等腰三角形． 法二：∵1PF l ⊥，∴1212PF F BAF π∠=+∠为钝角，要使12PF F ∆为等腰三角形，必有112PF F F =； 设点()00P x y ，，则：200202000201312(1)0122y e x c x c e e e a y x c y e a e -⎧⎧-=-=⎪⎪+⎪⎪+⇒⎨⎨-+-⎪⎪==+⎪⎪+⎩⎩， ∵112PF F F =，∴222222222222(3)2(1)(1)141113e c e a e c c e e e e e ⎡⎤⎡⎤---++=⇒=⇒=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦， 故当2213e λ=-=时，12PF F ∆是等腰三角形． 例4：（05年辽宁卷）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是()()1200F c F c -，、，，Q 是椭圆外的动点，满足12FQ a =，点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足2200PT TF TF ⋅=≠， ．（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明：1cF P a x a=+； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使12F MF ∆的面积2S b =？若存在，求12F MF ∠的正切值；若不存在，请说明理由．解析：（Ⅰ）法一：设点P 的坐标为()P x y ，，则：222222212()()()b cF P x c y x c b x a x a a=++++-+∵()0c x a a x a c a ≥-⇒+≥+->，∴ 1cF P a x a=+；法二：设点P 的坐标为()P x y ，，记1122F P r F P r ==，，则： 222212()()r x c y r x c y =++=-+，，∵22121224r r a r r cx +=-=，，∴11cF P r a x a==+． 法三：设点P 的坐标为()P x y ，，椭圆的左准线方程为：2a x c=-，由椭圆第二定义，则：2112F Pc c a cF P x a x a a c a a x c⎛⎫=⇒=--=+ ⎪⎝⎭+． （Ⅱ）法一：设点T 的坐标为()T x y ，，则：当0PT =时，点()0a ，和点()0a -，在轨迹上； 当|200PT TF ≠≠且时，∵2200PT TF TF ⋅=≠， ，∴2TF PT ⊥ 又∵2PQ PF =，∴T 为线段2F Q 的中点． 在12QF F ∆中，∵112OT FQ a ==，∴222x y a +=． 综上，点T 的轨迹C 的方程是222x y a +=． 法二：设点T 的坐标为()T x y ，，则：当0PT =时，点()0a ，和点()0a -，在轨迹上； 当|200PT TF ≠≠且时，∵2200PT TF TF ⋅=≠， ，∴2TF PT ⊥ 又∵2PQ PF =，∴T 为线段2F Q 的中点．设点Q 的坐标为()Q x y ''，，则：2222x c x x x c y y y y '+⎧=⎪'=-⎧⎪⇒⎨⎨''=⎩⎪=⎪⎩； ∵22212()4FQ a x c y a ''=⇒++=，∴ 222x y a +=．综上，点T 的轨迹C 的方程是222x y a +=．（Ⅲ）法一：若轨迹C 上存在点()cos sin M a a θθ，，则：22222112sin sin 2a c e S b c a b ac eθθ--=⇔⋅=⇔==，令215112e e e -≤⇔≥， 故当5102e <<时，这样的点M 不存在；当5112e ≤<时，这样的点M 存在．（下同法2）．法二：轨迹C 上存在点()00M x y ，，使2S b =成立的充要条件是：222200002012||2x y a b y a y c c y b⎧+=⎪⇒≤=⎨⋅=⎪⎩， ， ∴当cb a 2<时，不存在满足条件的点()00M x y ，；当cb a 2≥时，存在点()00M x y ，，使2S b =，此时，()()100200MF c x y MF c x y =---=--，， ，，2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，∵212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=， ∴12tan 2F MF ∠=．法三：轨迹C 上存在点()00M x y ，，使2S b =成立的充要条件是：222200002012||2x y a b y a y c c y b⎧+=⎪⇒≤=⎨⋅=⎪⎩， ， ∴422222()()0b b b x a a a c c c=-=-+≥，∴当cb a 2<时，不存在满足条件的点()00M x y ，；当c b a 2≥时，存在点()00M x y ，，使2S b =，此时，记12001200F M F M y y k k k k x c x c====+-，， ∵1212||22F F a F MF π<⇒∠<，∴12tan 2F MF ∠=．例5：(05年全国卷II) P Q M N 、、、四点都在椭圆2212y x +=上， F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=，求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．解析：如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点()10F ，，且PQ MN ⊥，直线MN 和PQ 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为k ，()()1122P x y Q x y ，，，，PQ 的方程为：1y kx =+，则：()22221221012y kx k x kx y x =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， ∴1212222122k x xx x k k -+==++，， ∴12PQ x =-=；（1）当0k ≠时，MN 的斜率为1k-，同理，得： 2211||12k MN k ⎤⎛⎫+-⎥⎪⎝⎭⎥⎣⎦=⎛⎫+- ⎪⎝⎭； 故四边形面积()()22222222114114(2)12125222k k k k S PQ MN k k k k ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭===⎛⎫++++ ⎪⎝⎭． 令221u k k =+，则：()421215252u S u u +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，∵2212u k k=+≥， ∴当1k =±时，1629u S ==，， ∵S 是以u 为自变量的增函数， ∴1629S ≤<． （2）当0k =时，MN 为椭圆长轴，MN PQ == 122S MN PQ ==． 综上，四边形PMQN 的面积的最小值169，最大值为2． 例6：(05年全国卷Ⅰ)已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A B 、两点，OA OB +与(31)a =-，共线． （1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且()OM OA OB R λμλμ=+∈，，证明22λμ+为定值．解析：设椭圆方程为22221(0)(0)x y a b F c a b+=>>，，，1122()()A x y B x y ，，，，则： 222222222222()201y x c a b x a cx a c a b x y ab =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩， ∴22222121222222a c a c a b x x x x a b a b -+==++，，∵()1212OA OB x x y y +=++，与(31)a =-，共线，∴()()121230y y x x +++=， 又∵1122y x c y x c =-=-，，∴22212121222233(2)()032a c c x x c x x x x a ba b +-++=⇒+==⇒=+，∴3c ==， 故离心率为c e a ==． （II ）证明：∵223b a =，∴椭圆2222222133x y x y b a b+=⇔+=，设()OM x y =，，∵1122()()()OM OA OB x y x y x y λμλμ=+⇔=+，，，，∴1212x x x y y y λμλμ=+=+，， ∵()M x y ，在椭圆上，∴()()222121233x x y y b λμλμ+++=222222211221212(3)(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ⇔+++++=，∵22223122a cbc ==，，∴22222122238a c a b x x c a b -==+， ∵22221212121212123933()()43()33022x x y y x x x c x c x x x x c c c c c +=++--=-++=-+=， 22222211223333x y b x y b +=+=，，故 221λμ+=，即22μλ+为定值，且定值为1．例7：（05年天津卷）抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点()()0000P x y x ≠，作斜率为12k k 、的两条直线分别交抛物线C 于()()1122A x y B x y ，，，两点(P A B 、、三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k ．（Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB 上一点M ，满足MA BM λ=，证明：线段PM 的中点在y 轴上； （Ⅲ）当1λ=时，若点()11P -，，求PAB ∠为钝角时，点A 的纵坐标1y 的取值范围． 解析：（Ⅰ）由抛物线C 的方程()2210y ax a x y a=<⇔=得：12p a =-，焦点坐标为1(0)4a ，，准线方程为ay 41-=． （Ⅱ）证明：设直线PA 的方程为)(010x x k y y -=-，直线PB 的方程为)(020x x k y y -=-．∵点),(00y x P 和点),(11y x A 的坐标是方程组010211002()0y y k x x ax k x k x y y ax-=-⎧⇒-+-=⎨=⎩ 的解， ∴111010k kx x x x a a+=⇔=-； ∵点),(00y x P 和点),(22y x B 的坐标是方程组020222002()0y y k x x ax k x k x y y ax -=-⎧⇒-+-=⎨=⎩ 的解， ∴222020k kx x x x a a+=⇔=-； ∵12k k λ-=，∴012x k ax --=λ；设点M 的坐标为()M M x y ，，则：∵BM MA λ=， ∴λλ++=112x x x M ，∴0001x x x x M -=+--=λλ，即00=+x x M ．∴线段PM 的中点在y 轴上．（Ⅲ）∵点()11P -，在抛物线2ax y =上，∴1-=a ，抛物线方程为2x y -=，此时，211111(1)x k y k =--=-+，； 221221(1)x k y k =-=-+，，∴直线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为()2111121A k k k -----，，()2111121B k k k --+-，，∴()()2111112224AP k k k AB k k =++=，， ，，2111111112(2)4(2)2(2)(21)AP AB k k k k k k k k ⋅=+++=++；∵PAB ∠为钝角且P A B 、、三点互不相同，∴11102(2)(21)0AP AB k k k ⋅<⇔++<，解之，得：()11202k ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭，，，则： 点A 的纵坐标1y 满足2111(1)(1)(1)4y k =-+∈-∞---，，．三、课后反思．。
圆锥曲线分类讲义之——向量问题
圆锥曲线的向量问题【例1】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为,21以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线06=+-y x 相切。
（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P （4，0），A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴交于定点Q ；（III ）在（II ）条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求ON OM ⋅的取值范围。
【例2】在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2.其中F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且25||3MF =.（1）求C 1的方程；（2）平面上的点N 满足12MN MF MF =+，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若OA ·OB =0，求直线l 的方程.【例3】已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为.36 （I ）若原点到直线0=-+b y x 的距离为,2求椭圆的方程；（II ）设过椭圆的右焦点且倾斜角为︒45的直线l 和椭圆交于A ，B 两点. （i ）当3||=AB ，求b 的值；（ii ）对于椭圆上任一点M ，若OB OA OM μλ+=，求实数μλ,满足的关系式.练习：已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的长轴长为4，且点3(1,)2在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于,A B两点，若以AB为直径的圆过原点，求直线l方程．【例4】已知椭圆22221x y a b +=（a>b>0）的离心率32e =，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，点A 的坐标为（a -，0）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若42||5AB =，求直线l 的倾斜角； (Ⅲ)若点Q 0(0,)y 在线段AB 的垂直平分线上，且4=∙QB QA ，求0y 的值．【例5】已知点(4, 0)M ，(1, 0)N ，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若181275NA NB -⋅-≤≤，求直线l 的斜率的取值范围.练习：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为21，且经过点)23,1(M ，过点P （2，1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存直线l ，满足2PM PB PA =⋅？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【与平行四边形有关的向量问题】1、已知点M （-1，0），N （1，0），动点P （x ，y ）满足：|PM|•|PN|=（1）求P 的轨迹C 的方程； （2）是否存在过点N （1，0）的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，并且曲线C 存在点Q ，使四边形OAQB 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。
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专题12 向量与圆锥曲线★★★高考在考什么【考题回放】1．点P(-3,1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线,经直线y =-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(A )( A )33 ( B ) 31 ( C ) 22 ( D ) 21 2．已知双曲线2212y x -=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（C ）（A ）43 （B ）53（C 23 （D 33．设过点P (x ,y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A,B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB =，则点P 的轨迹方程是（ D ）A ．22331(0,0)2x y x y +=>> B ．22331(0,0)2x y x y -=>> C ．22331(0,0)2x y x y -=>> D ．22331(0,0)2x y x y +=>>4．已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足0=⋅+⋅MP MN ，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（ B ）（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= 5．若曲线y 2＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是．0,(1,1)k b =∈- 6．已知两定点()()122,0,2,0F F -，满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线E ，直线y=kx-1与曲线E 交于A,B 两点。
如果63AB =，且曲线E 上存在点C ，使OA OB mOC +=，求m 的值和∆ABC 的面积S 。
【专家解答】由双曲线的定义可知，曲线E 是以 ())122,0,2,0F F -为焦点的双曲线的左支，且2,1c a ==，易知1b =，故曲线E 的方程为()2210x y x -=< 设()()1122,,,A x y B x y ，由方程组2211y kx x y =-⎧⎨-=⎩消去y ，得()221220k x kx -+-= 又已知直线与双曲线左支交于两点,A B ，有()()222122122102810201201k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=+->⎪⎪⎪-⎨+=<⎪-⎪-⎪=>⎪-⎩解得1k <<- 又∵12AB x x =-===依题意得= 整理后得 422855250k k -+=∴257k =或254k = 但1k <<- ∴k=故直线AB 的方程为102x y ++= 设(),c c C x y ，由已知OA OB mOC +=，得()()()1122,,,c c x y x y mx my +=∴()1212,,c c x x y y x y m m ++⎛⎫=⎪⎝⎭，()0m ≠ 又12221k x x k +==--()21212222222811k y y k x x k k +=+-=-==--∴点8C m ⎫⎪⎪⎝⎭，将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得2280641m m -=得4m =±，但当4m =-时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意∴4m =，C 点的坐标为()2，C 到AB13∴ABC ∆的面积1123S =⨯=★★★高考要考什么【考点透视】近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为（1）考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标运算、数量积及学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。
（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。
【热点透析】向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是今后高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。
要注意以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题。
★★★突破重难点【范例1】设双曲线12y x 22=-上两点A 、B ，AB 中点M （1，2）（1）求直线AB 方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 是否共圆，为什么？解析：（1）法一：显然AB 斜率存在。
设AB ：y-2=k(x-1)由⎪⎩⎪⎨⎧=--+=12y x k 2kx y 22得(2-k 2)x 2-2k(2-k)x-k 2+4k-6=0当△>0时，设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），则221k 2)k 2(k 2x x --=+= ∴ k=1，满足△>0 ∴ 直线AB ：y=x+1法二：设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-12y x 12y x 22222121两式相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)=21(y 1-y 2)(y 1+y 2)∵ x 1≠x 2 ∴ 21212121y y )x x (2x x y y ++=-- ∴ 1212k AB =⨯=∴ AB ：y=x+1 代入12y x 22=-得△>0.（2）设A 、B 、C 、D 共圆于⊙M '，因AB 为弦，故M '在AB 垂直平分线即CD 上；又CD 为弦，故圆心M '为CD 中点。
因此只需证CD 中点M 满足|M 'A|=|M 'B|=|M 'C|=|M 'D|由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=12y x 1x y 22得A （-1，0），B （3，4）. 又CD 方程：y=-x+3由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=12y x 3x y 22得x 2+6x-11=0. 设C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)，CD 中点M '( x 0,y 0)则63x y ,32x x x 00430=+-=-=+=∴ M '（-3，6） ∴ |M 'C|=|M 'D|=21|CD|=102又|M 'A|=|M 'B|=102 ∴ |M 'A|=|M 'B|=|M 'C|=|M 'D| ∴ A 、B 、C 、D 在以CD 中点，M '（-3，6）为圆心，102为半径的圆上【点晴】第（1）小题中法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。
在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立；第（2）小题此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件，本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心。
充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。
【文】在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点．（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2). 当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于 点A(3,6)、B(3,－6). ∴⋅=3；当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y x y k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=- 又 ∵ 22112211,22x y x y ==，∴2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+=，综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么OB OA ⋅=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果OB OA ⋅=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(21,1)，此时OA OB =3,直线AB 的方程为：2(1)3y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上；说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足⋅=3，可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).【范例2】已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a=j y i x +-)3(, b =j y i x++)3(,且满足b •i =|a |.求点P (x ,y )的轨迹.解：法一：2(3b i x i yi j x ⋅=++⋅=+∴x +=2y =，故点P 的轨迹是以(3,0)为焦点以x =法二：||cos ,b i b b i ⋅=<> 则b ⋅i表示b 在x 轴上的投影， 即点P到x =设F 1 (-3,0)，F 2(3,0)，所以点P 到定点F 2的距离与到定直线x =故点P 的轨迹是以(3,0)为焦点以x =【点晴】将向量问题坐标化进而数量化（法一）和将向量问题几何化（法二）是两种常用转化方法，应熟练掌握。
【文】已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a=j y i x +-)3(, b =j y i x ++)3(,且满足|a |+|b |=4.(1) 求点P(x,y)的轨迹C 的方程.(2) 如果过点Q(0，m)且方向向量为c=(1,1) 的直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，当∆AOB 的面积取到最大值时，求m 的值。
解：(1) a =j y i x +-)3(,b =j y i x ++)3(,且|a |+|b|=4.∴点P(x,y)到点(3,0)，(-3,0)的距离这和为4，故点P 的轨迹方程为1422=+y x(2)设A(x 1，y 1),B(x 2，y 2)依题意直线AB 的方程为y=x+m .代入椭圆方程，得0448522=-++m mx x ，则1x +2x =-58m, 1x •2x =)1(254-m 因此，225221)5(m m d AB S AOB -==∆当225m m =-时，即m=210±时，1max =S【范例3】已知点A(22-，0)，B(2-，0)动点P 满足||||2⋅=⋅(1)若动点P 的轨迹记作曲线C 1，求曲线C 1的方程. (2)已知曲线C 1交y 轴正半轴于点Q ，过点D （0，32-）作斜率为k 的直线交曲线C 1于M 、N 点，求证：无论k 如何变化，以MN 为直径的圆过点Q.解：（1）设P(x ，y)，则有),22(y x += )0,2(= ),2(y x += ∵||||2⋅⋅=⋅ ∴22)2(2242y x x ++⋅⋅=+得4222=+y x（2）由12422=+y x 得Q (0，2) 设直线C 的方程为y=kx -32代入x 2+2y 2=4得 (1+2k 2) x 20932324=--kx 设M(x 1，y 1) N(x 2，y 2) )2,(),2,(2211-=-=y x QN y x QM∵221)1(324kkx x +=+ )21(932221k x x +-=⋅ 又∵)324(121-+=⋅kx x x QN QM )324(2-kx =212(1)x x k + 212232(1)42324242329()09129k k x x k +++=-=+ ∴⊥ ∴点Q 在以MN 为直径的圆上.【点晴】直接法求轨迹是最常见的方法，要注意运用；向量是将几何问题代数化的有力工具。