2015届高考数学一轮总复习 阶段性测试题5(平面向量)
2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算
2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算基础巩固强化一、选择题1．(文)(2014·南通中学月考)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0[答案] B[解析] 如图，根据向量加法的几何意义，BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故P A →＋PC →＝0.(理)已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( )A.23B.43 C ．－3 D ．0[答案] D[解析] CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →.∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →.∴32CD →＝AB →－AC →，∴CD →＝23AB →－23AC →.又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0.2．(2012·四川理，7)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |[答案] C[解析] 本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念．因a |a |表示与a 同向的单位向量，b |b |表示与b 同向的单位向量，要使a |a |＝b|b |成立，则必须a 与b 同向共线，所以由a ＝2b 可得出a |a |＝b |b |.[点评] a ＝－b 时，a 与b 方向相反；a ∥b 时，a 与b 方向相同或相反．因此A 、B 、D 都不能推出a |a |＝b |b |.3．(2013·长春调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(3，－1) D ．(－3,1)[答案] A[解析] 由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)，故选A.4．(2013·辽宁五校联考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8 [答案] A[解析] 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|两边平方得AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即AB →·AC→＝0，所以AB →⊥AC →，∴AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，又由BC →2＝16得|BC →|＝4，所以|AM →|＝2. 5．设OA →＝e 1，OB →＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|APPB |＝4，如图所示，则OP →＝( )A.15e 1－25e 2B.25e 1＋15e 2C.15e 1＋45e 2D.25e 1－15e 2 [答案] C[解析] AP →＝4PB →，∴AB →＝AP →＋PB →＝5PB →， OP →＝OB →＋BP →＝OB →－15AB →＝OB →－15(OB →－OA →)＝45OB →＋15OA →＝15e 1＋45e 2.6．(2013·湖南衡阳八中月考)向量a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则λ满足( ) A ．λ<－53B ．λ>－53C ．λ>－53且λ≠0D ．λ<－53且λ≠－5[答案] C[解析] 当λ＝0时，a 与a ＋λb 平行，其夹角为0°，∴λ≠0，由a 与a ＋λb 的夹角为锐角，可得a ·(a ＋λb )＝(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＝3λ＋5>0，解得λ>－53，综上可得λ的取值范围为λ>－53且λ≠0，故应选C.二、填空题7．(文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. [答案] 1[解析] a －2b ＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3) ，因为a －2b 与c 平行，所以3×3－3k ＝0， 所以k ＝1.(理)已知点A (2,3)，C (0,1)，且AB →＝－2BC →，则点B 的坐标为________．[答案] (－2，－1)[解析] 设点B 的坐标为(x ，y )，则有AB →＝(x －2，y －3)，BC →＝(－x,1－y )，因为AB →＝－2BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2x ，y －3＝－2(1－y )，解得x ＝－2，y ＝－1.8．(2013·新课标Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. [答案] 2[解析] ∵正方形ABCD 中，AB ⊥AD ，∴AB →·AD →＝0， ∵E 为CD 的中点，∴AE →＝12AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，∴AE →·BD →＝(12AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝－12|AB →|2＋|AD →|2＝－12×22＋22＝2.9．(文)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，AB →·AC →＝－1，若AO →＝x 1AB →＋x 2AC →(O 是△ABC 的外心)，则x 1＋x 2的值为________．[答案]136[解析] O 为△ABC 的外心，AO →＝x 1AB →＋x 2AC →，AO →·AB →＝x 1AB →·AB →＋x 2AC →·AB →，由向量数量积的几何意义，AO →·AB →＝12|AB →|2＝2，∴4x 1－x 2＝2，①又AO →·AC →＝x 1AB →·AC →＋x 2AC →·AC →，∴－x 1＋x 2＝12，②联立①②，解得x 1＝56，x 2＝43，∴x 1＋x 2＝136.(理)(2013·保定调研)已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ的值为________．[答案] 12[解析] 由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消掉a 得λ＝12.10．(2013·广东中山一模)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.[答案] 43[解析]如图，设AB →＝a ，AD →＝b ， 则AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， AF →＝AB →＋BF →＝a ＋12b ，AE →＝AD →＋DE →＝12a ＋b ，∴AE →＋AF →＝32(a ＋b )＝32AC →，即AC →＝23AE →＋23AF →.∴λ＝μ＝23，λ＋μ＝43.能力拓展提升一、选择题11．(2013·哈尔滨四校统考)在△ABC 中，N 是AC 边一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )A.19B.13 C ．1 D ．3 [答案] B [解析]如图，因为AN →＝12NC →，所以AN →＝13AC →，AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →，因为B 、P 、N 三点共线，所以m ＋23＝1，所以m ＝13，选B.12．(文)(2013·山西大学附中)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－32，则λ＝( )A.1±102B.34 C.1±22D.12[答案] D[解析] BQ →·CP →＝(BA →＋AQ →)(CA →＋AP →)＝BA →·CA →＋BA →·AP →＋AQ →·CA →＋AQ →·AP →＝BA →·CA →－λBA →·BA →－(1－λ)CA →·CA →＋λ(1－λ)BA →·CA →＝2(－λ2＋λ＋1)－4λ－4(1－λ) ＝－2λ2＋2λ－2＝－32，∴λ＝12.(理)(2012·宁夏银川一中二模)已知向量AB →＝(2，x －1)，CD →＝(1，－y )(xy >0)，且AB →∥CD →，则2x ＋1y的最小值等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 [答案] C[解析] 因为AB →∥CD →，所以2(－y )－(x －1)＝0，即x ＋2y ＝1，所以(2x ＋1y )＝(2x ＋1y )(x ＋2y )＝4＋4y x ＋xy≥4＋24y x ·x y ＝8(当且仅当x ＝12，y ＝14时等号成立)．故选C.13．(文)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23B.13 C ．－13D ．－23[答案] A[解析] 由于AD →＝2DB →，得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23. (理)(2013·保定模拟)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则x ·y x ＋y的值为( )A ．3 B.13 C ．2 D.12[分析] 由M 、N 、G 三点共线知，存在实数λ、μ使AG →＝λAM →＋μAN →，结合条件AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，可将AG →用AB →，AC →表示，又G 为△ABC 的重心，AG →用AB →，AC →表示的表示式唯一，可求得x ，y 的关系式．[答案] B[解析] 法1：由点G 是△ABC 的重心，知GA →＋GB →＋GC →＝0，得－AG →＋(AB →－AG →)＋(AC →－AG →)＝0，则AG →＝13(AB →＋AC →)．又M 、N 、G 三点共线(A 不在直线MN 上)，于是存在λ，μ∈R ，使得AG →＝λAM →＋μAN →(且λ＋μ＝1)，则AG →＝λx AB →＋μy AC →＝13(AB →＋AC →)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝1，λx ＝μy ＝13，于是得1x ＋1y ＝3，所以x ·y x ＋y ＝11x ＋1y＝13.法2：特殊化法，利用等边三角形，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ·y x ＋y ＝13.二、填空题14．(2012·吉林省延吉市质检)已知：|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ＋)，则m n＝________.[答案] 3[解析] 如图，设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →，∵∠AOC ＝30°，∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →|＝m ， |OC →|·sin30°＝|OE →|＝n |OB →|＝3n ，两式相除得：m 3n ＝|OC →|cos30°|OC →|sin30°＝1tan30°＝3，∴m n ＝3.15．(2013·浙江余姚中学)在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC与△ABC 的面积之比是________．[答案] 23[解析] P A →＋PB →＋PC →＝AB →⇒P A →＋PC →＋PB →－AB →＝0⇒P A →＋PC →＋P A →＝0⇒2P A →＝CP →，所以P 是AC 的三等分点，所以△PBC 与△ABC 的面积之比是23.三、解答题16．(文)已知a ＝(2x －y ＋1，x ＋y －2)，b ＝(2，－2)， (1)当x 、y 为何值时，a 与b 共线？(2)是否存在实数x 、y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |？若存在，求出xy 的值；若不存在，说明理由． [解析] (1)∵a 与b 共线， ∴存在非零实数λ使得a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝2λ，x ＋y －2＝－2λ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ∈R .(2)由a ⊥b ⇒(2x －y ＋1)×2＋(x ＋y －2)×(－2)＝0⇒x －2y ＋3＝0.① 由|a |＝|b |⇒(2x －y ＋1)2＋(x ＋y －2)2＝8.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝53，y ＝73.∴xy ＝－1或xy ＝359.(理)已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)，向量OP →＝OA →＋tAB →.(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？ (2)t 为何值时，点P 在第二象限？(3)四边形ABPO 能否为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，说明理由． (4)求点P 的轨迹方程．[解析] ∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )，∴P (1＋3t,2＋3t )． (1)∵P 在x 轴上，∴2＋3t ＝0即t ＝－23.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0.∴－23<t <－13.(3)∵AB →＝(3,3)，OP →＝(1＋3t,2＋3t )． 若四边形ABPO 为平行四边形，则AB →＝OP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3.而上述方程组无解， ∴四边形ABPO 不可能为平行四边形．(4)∵OP →＝(1＋3t,2＋3t )，设OP →＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t .∴x －y ＋1＝0为所求点P 的轨迹方程．考纲要求1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 5．掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义． 6．了解向量线性运算的性质及其几何意义． 补充说明1．向量共线的应用中注意事项(1)向量共线的充要条件中，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)设OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1. 2．“数形结合”思想数形结合是求解向量问题的基本方法．向量加法、减法的几何意义，充分体现了数形结合思想． 3．方程思想在向量中的应用在向量的平行与垂直、向量的共线、向量的长度与夹角等问题中，常常要依据条件列方程求解．利用共线条件和平面向量基本定理，是应用的难点．备选习题1．设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形11 C ．矩形D ．平行四边形 [答案] D[解析] 解法一：设AC 的中点为G ，则OB →＋OD →＝b ＋d ＝a ＋c ＝OA →＋OC →＝2OG →，∴G 为BD 的中点，∴四边形ABCD 的两对角线互相平分，∴四边形ABCD 为平行四边形．解法二：AB →＝OB →－OA →＝b －a ，CD →＝OD →－OC →＝d －c ＝－(b －a )＝－AB →，∴AB 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．2．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形 [答案] A[解析] 由已知得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ，故AD →＝2BC →，由共线向量知识知AD ∥BC ，且|AD |＝2|BC |，故四边形ABCD 为梯形，所以选A.3．已知向量a 、b 不共线，若向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，则λ＝________.[答案] －1[解析] 由条件知存在负数μ，a ＋λb ＝μ(b ＋λa )，∴(1－λμ)a ＋(λ－μ)b ＝0，∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λμ＝0，λ－μ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2＝1，λ＝μ. ∵μ<0，∴λ＝－1.。
2015届高考数学一轮总复习 5-2平面向量基本定理及向量的坐标表示
2015届高考数学一轮总复习 5-2平面向量基本定理及向量的坐标表示基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·哈尔滨质检)已知平面向量a ＝(2m ＋1,3)，b ＝(2，m )，且a 与b 反向，则|b |等于( ) A.1027B ．2 2 C.52 D.52或2 2 [答案] B[解析] 据题意a ∥b 则m (2m ＋1)－3×2＝0，解得m ＝－2或m ＝32，当m ＝32时a ＝(4,3)，b ＝(2，32)，则a ＝2b ，此时两向量同向，与已知不符，故m ＝－2，此时b ＝(2，－2)，故|b |＝2 2. (理)(2013·广州综合测试二)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(m ，m ＋1)，若AB →∥OC →，则实数m 的值为( )A ．－32B ．－14C.12D.32[答案] A[解析] 依题意得，AB →＝(3,1)，由AB →∥OC →得3(m ＋1)－m ＝0，m ＝－32，选A.2．(文)已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋λb 与b 垂直，则λ的值为( ) A.52 B ．－52C.25 D ．－25[答案] D[解析] ∵a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，∴a ＋λb ＝(3＋2λ，4－λ)，故2(3＋2λ)－(4－λ)＝0，∴λ＝－25，故选D.(理)(2014·金陵中学检测)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)[答案] D[解析] 不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，因为(c ＋a )∥b ，则有－3×(1＋m )＝2×(2＋n )．又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.3．(2013·安庆二模)已知a ，b 是不共线的两个向量，AB →＝x a ＋b ，AC →＝a ＋y b (x ，y ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则点P (x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．双曲线C ．圆D ．椭圆[答案] B[解析] ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λAC →.则x a ＋b ＝λ(a ＋y b )⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，1＝λy ⇒xy ＝1，故选B.4．(文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b[答案] B[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(4,2)＝(λ－μ，λ＋μ)，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ－μ＝4，λ＋μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝－1，∴c ＝3a －b .(理)已知平面向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，c ＝(1,1)，则用a 、b 表示向量c 为( ) A ．2a －b B ．－a ＋2b C ．a －2b D ．3a ＋2b[答案] D[解析] 设c ＝x a ＋y b ，∴(1,1)＝(x －y ，－x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝1，－x ＋2y ＝1.解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴c ＝3a ＋2b ，故选D.5．(文)(2013·福州质检)如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，则向量a －b 可表示为( )A ．3e 2－e 1B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2[答案] C[解析] 如图所示，a －b ＝AB →＝e 1－3e 2，故应选C.(理)(2013·江南十校联考)已知e 1，e 2是两个单位向量，其夹角为θ，若m ＝2e 1＋3e 2，则|m |＝1的充要条件是( )A ．θ＝πB ．θ＝π2C ．θ＝π3D ．θ＝2π3[答案] A[解析] 由|m |＝1，得m 2＝1，即(2e 1＋3e 2)2＝1.展开得，4e 21＋9e 22＋12e 1·e 2＝1，即4＋9＋12cos θ＝1，所以cos θ＝－1.又θ∈[0，π]，所以θ＝π.6．(2013·荆州质检)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝( )A ．－2B ．2C ．－12D.12[答案] C[解析] 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.二、填空题7．(文)(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．[答案] 5[解析] 易知AB →⊥OB →，而AB →＝OB →－OA →＝(3,2－t )，OB →＝(2,2)，∴AB →·OB →＝0， 即3×2＋2(2－t )＝0，∴t ＝5.(理)(2013·安徽省级示范高中联考)设向量a ＝(x,3)，b ＝(2,1)，若对任意的正数m ，n ，向量m a ＋n b 始终具有固定的方向，则x ＝________.[答案] 6[解析] 当a 与b 共线时，向量m a ＋n b 始终具有固定的方向，则1×x ＝2×3，所以x ＝6.8．(2013·烟台调研)在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果AB 的长为2，则(AB →＋AC →)·AD →的值为________．[答案] 4[解析] 由题意可知，AD ＝12BC ＝222＝2，(AB →＋AC →)·AD →＝2AD →·AD →＝2|AD →|2＝4.9.(2012·江西八校联考)如图所示，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且AP →＝25AB →＋15AC →，AQ →＝23AB →＋14AC →，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为________．[答案] 45[分析] 因三角形的面积与底和高有关，所以可利用“同底三角形面积比等于高之比”的结论计算待求三角形的面积比．题设条件中用AB →和AC →给出了点P 和点Q ，故可利用AP →和AQ →构造平行四边形将面积比转化为向量长度的比解决．[解析]根据题意，设AM →＝25AB →，AN →＝15AC →，则由平行四边形法则，得AP →＝AM →＋AN →，且四边形AMPN为平行四边形，于是NP ∥AB ，所以S △ABP S △ABC ＝|AN →||AC →|＝15，同理，可得S △ABQ S △ABC ＝14.故S △ABP S △ABQ ＝45.三、解答题10.(2014·宁阳一中检测)如图所示，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP PM 的值．[解析] 设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝2e 1＋e 2， ∵A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，∴存在λ、μ∈R ，使AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2.故BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2， 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，∴由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，∴⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.∴AP →＝45AM →，即AP :PM ＝4:1.能力拓展提升一、选择题 11．(文)(2013·济宁模拟)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2[答案] B[解析] 方法一：以O 为原点，向量OA →，OB →所在直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，设〈OA →，OC →〉＝θ，θ∈[0，π2]，则OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(cos θ，sin θ)．∵OC →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ.∴x ＋y ＝cos θ＋sin θ＝2sin(θ＋π4)，又θ＋π4∈[π4，3π4]，∴x ＋y 的最大值为 2.方法二：因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2＝1≥(x ＋y )22.所以x ＋y ≤2，当且仅当x＝y ＝22时等号成立． (理)(2013·皖南八校联考)已知正方形ABCD (字母顺序是A →B →C →D )的边长为1，点E 是AB 上的动点(可以与A 或B 重合)，如图所示，则DE →·CD →的最大值是( )A ．1 B.12 C ．0 D ．－1[答案] C[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ， 则AE →＝λAB →＝λa (0≤λ≤1)． DE →＝AE →－AD →＝λa －b ， ∴DE →·CD →＝DE →·(－AB →) ＝(λa －b )·(－a ) ＝－λa 2＋a ·b ＝－λ. 又0≤λ≤1， ∴DE →·CD →的最大值为0，故选C.12．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6[答案] C[解析] 以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ，则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得，平行四边形OACB 为矩形，OA →⊥OB →.由图形易知直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2，所以选C.13．(文)在平行四边形ABCD 中，AE →＝13AB →，AF →＝14AD →，CE 与BF 相交于G 点．若AB →＝a ，AD→＝b ，则AG →＝( )A.27a ＋17b B.27a ＋37b C.37a ＋17b D.47a ＋27b [答案] C[解析] ∵B 、G 、F 三点共线， ∴AG →＝λAF →＋(1－λ)AB →＝14λb ＋(1－λ)a .∵E 、G 、C 三点共线，∴AG →＝μAE →＋(1－μ)AC →＝13μa ＋(1－μ)(a ＋b )．由平面向量基本定理得，⎩⎨⎧λ4＝1－μ，1－λ＝1－23μ.∴⎩⎨⎧λ＝47，μ＝67.∴AG →＝37a ＋17b .(理)(2012·沈阳质检)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14 D ．1 [答案] A[解析] 本题考查向量的线性运算．据已知N 为AM 的中点，可得AN →＝12AM →＝λAB →＋μAC →，整理得AM →＝2λAB →＋2μAC →，由于点M 在直线BC 上，故有2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝12.二、填空题14．(2013·开封第一次模拟)已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，且λb －a 与a 垂直，则实数λ＝________.[答案]2[解析] 依题意得(λb －a )·a ＝λa ·b －a 2＝22λ－4＝0，λ＝ 2.15．(文)(2014·广雅中学月考)梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M 、N 分别是CD 、AB 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b .若MN →＝m a ＋n b ，则nm＝________.[答案] －4[解析] MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b ，∴m ＝14，n ＝－1，∴nm ＝－4.(理)(2014·南安一中质检)如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用基底a 、b 表示向量AE →＝________.[答案] 25a ＋15b[分析] 先利用三点共线进行转化，再通过用基底表示向量的唯一性进行求解．[解析] 易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N 、E 、B 三点共线知存在实数m ，满足AE →＝mAN→＋(1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a .由C 、E 、M 三点共线知存在实数n ，满足AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b .所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b .由于a 、b 为基底，所以⎩⎨⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45.所以AE →＝25a ＋15b .三、解答题16．(文)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题： (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(3)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . [解析] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.得⎩⎨⎧ m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，∴k ＝－1613. (3)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3)． (理)设a 、b 是两个不共线的非零向量(t ∈R )．(1)记OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？ (2)若|a |＝|b |＝1且a 与b 夹角为120°，那么实数x 为何值时，|a －x b |的值最小？[解析] (1)∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线， 又∵AB →＝OB →－OA →＝t b －a ，AC →＝OC →－OA →＝13b －23a ， ∴存在实数λ，使AB →＝λAC →，即t b －a ＝λ3b －2λ3a ，∴t ＝12. (2)∵|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝120°，∴a ·b ＝－12， ∴|a －x b |2＝|a |2＋x 2|b |2－2x ·a ·b ＝1＋x 2＋x＝(x ＋12)2＋34≥34， ∴|a －x b |的最小值为32，此时x ＝－12.考纲要求了解平面向量的基本定理及其意义．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．补充说明1．证明共线(或平行)问题的主要依据：(1)对于向量a ，b ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则向量a 与b 共线(平行)．(2)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ∥b .(3)对于向量a ，b ，若|a ·b |＝|a |·|b |，则a 与b 共线．要注意向量平行与直线平行是有区别的．2．用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功．在进行向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解．充分利用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来．3．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．备选习题1．(2012·郑州质检)设A ，B ，C 是圆x 2＋y 2＝1上不同的三个点，且OA →·OB →＝0，若存在实数λ，μ使得OC →＝λOA →＋μOB →，则实数λ，μ的关系为( ) A ．λ2＋μ2＝1 B.1λ＋1μ＝1 C ．λ·μ＝1D ．λ＋μ＝1 [答案] A[解析] 由OC →＝λOA →＋μOB →得|OC →|2＝(λOA →＋μOB →)2＝λ2|OA →|2＋μ2|OB →|2＋2λμOA →·OB →.因为OA →·OB →＝0，所以λ2＋μ2＝1，所以选A.2．已知两个非零向量a ＝(m －1，n －1)，b ＝(m －3，n －3)，且a 与b 的夹角是钝角或直角，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[2，32]B ．[2,6]C ．(2，32)D ．(2,6)[答案] D[解析] 根据a 与b 的夹角是钝角或直角得a ·b ≤0，即(m －1)(m －3)＋(n －1)(n －3)≤0.整理得：(m －2)2＋(n －2)2≤2.所以点(m ，n )在以(2,2)为圆心，2为半径的圆上或圆内．令m ＋n ＝z ，则n ＝－m ＋z 表示斜率为－1，在纵坐标轴上的截距为z 的直线，显然直线与圆相切时，z 取最大(小)值，∴2≤z ≤6，即2≤m ＋n ≤6.当取等号时有m ＝n ＝1或m ＝n ＝3，均不合题意，故选D.3．已知A (－2,3)，B (3，－1)，点P 在线段AB 上，且|AP |:|PB |＝1:2，则P 点坐标为________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－13，53 [解析] 设P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －3)，PB →＝(3－x ，－1－y )， ∵P 在线段AB 上，且|APPB |＝， ∴AP →＝12PB →，∴(x ＋2，y －3)＝⎝⎛⎭⎫3－x 2，－1－y 2，∴⎩⎨⎧ x ＋2＝3－x 2，y －3＝－1－y 2.∴⎩⎨⎧ x ＝－13，y ＝53.即P ⎝⎛⎭⎫－13，53. 4．(2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1) 的距离之和最小的点的坐标是________．[答案] (2,4)[解析] 取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下： 假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC >AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD >BD ， 而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD . 如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点．易求得P (2,4)．。
2015年高考数学(理)试题分类汇编：专题05 平面向量-推荐下载
（A）
（C）
【答案】A
【解析】由题知
AD
AD
4
1
AB
33
AB
33
AD
【考点定位】平面向量的线性运算
AC
4a
b
C ，故选 D.
【考点定位】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积.
【名师指点】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点.当出现线性运算问题时，注意两个向
量的差 OA OB BA ，这是一个易错点，两个向量的和 OA OB 2OD （ D 点是 AB 的中点）.另
a
，
b
D、
满足
A
a
2a
b cos
，
a,b
，
AC
2a
（A） b 1
【答案】D 【解析】如图，
b
，则下列结论正确的是（
（B）
a
b
）
（C）
a
b
由题意， BC AC AB (2a b) 2a b ，则| b | 2 ，故 A 错误；| 2a | 2 | a | 2 ，所以| a | 1，
（A） 3 a2 2
【答案】D
【解析】因为 BD CD BD BA
故选 D.
【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.
（B） 3 a2 4
山东省2015年高考数学一轮复习专题特训 平面向量 理
山东省2015年高考数学一轮专题复习特训平面向量1、（2013山东理）15．已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且3AB =，2AC =，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为__________.答案：15．7122、（2011山东理数12）12．设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= （λ∈R ），1412A A A A μ=（μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是A ．C 可能是线段AB 的中点B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上答案：D3．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）已知i 与j 为互相垂直的单位向量,2a i j =-,b i j λ=+且a 与b 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是 （ ） A ．1(,2)(2,)2-∞-- B ．1(,)2+∞ C ．22(2,)(,)33-+∞ D ．1(,)2-∞ 【答案】A4．（山东省淄博一中2014届高三上学期10月阶段检测理科数学）若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且满足5AP =3AB +2AC ,则△ABP 与△ABC 的面积比为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45 【答案】 B ． 5．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）下列各式正确的是（ ）A ．a b =a b ⋅B ．()222a b =a b ⋅⋅C ．若()a b-c ,⊥则a b=a c ⋅⋅D ． 若a b=a c ⋅⋅则b=c【答案】C6错误！未指定书签。
．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）在ABC ∆中,已知a .b .c 成等比数列,且33,cos 4a c B +==,则AB BC ⋅= （ ） A ．32 B ．32- C ．3 D ．-3【答案】B7错误！未指定书签。
2015届高考数学(文科)一轮总复习平面向量
2015 届高考数学（文科）一轮总复习平面向量第五篇平面向量第 1 讲平面向量的观点及其线性运算基础稳固题组( 建议用时： 40 分钟 )一、填空题1．若 o，E， F 是不共线的随意三点，则 EF→可用 oF→与 oE→表示为 ________．分析由图可知 EF→＝ oF→－ oE→ .答案EF→＝ oF→－ oE→2．(2014 ?汕头二模 ) 如图，在正六边形 ABcDEF中， BA →＋ cD→＋ EF→等于 ________．分析由于 ABcDEF是正六边形，故BA→＋ cD→＋ EF→＝DE→＋ cD→＋ EF→＝ cE→＋ EF→＝ cF→ .答案 cF→3．关于非零向量 a，b，“ a＋b＝ 0”是“ a∥ b”的 ________ 条件．分析若 a＋ b＝ 0，则 a＝－ b，因此 a∥ b. 若 a∥b，则a＝λ b，a＋ b＝ 0 不必定建立，故前者是后者的充足不用要条件．答案充足不用要4．(2013 ?大连联考 ) 已知 oA→＝ a，oB→＝ b，oc→＝ c，oD→＝ d，且四边形 ABcD为平行四边形，则 a、 b、 c、 d 四个向量知足的关系为 ________．分析依题意得， AB→＝ Dc→，故 AB→＋ cD→＝ 0，即oB→－ oA→＋ oD→－ oc→＝ 0，即有 oA→－ oB→＋ oc→－ oD→＝ 0，则 a－b＋ c－ d＝ 0.答案a－ b＋ c－ d＝ 05．(2014 ?宿迁质检 ) 若点是△ ABc 所在平面内的一点，且知足 5A→＝ AB→＋ 3Ac→，则△ AB 与△ ABc 的面积比为________．分析设 AB的中点为D，由 5A→＝ AB→＋ 3Ac→，得 3A →－ 3Ac→＝ 2AD→－ 2A→，即 3c→＝ 2D→ . 如下图，故 c，，D 三点共线，且D→＝35cD→，也就是△AB 与△ ABc 关于边AB的两高之比为3∶ 5，则△AB与△ABc 的面积比为35.答案356．(2014 ?湖州月考 ) 给出以下命题：①向量 AB→的长度与向量 BA→的长度相等；②向量a 与b 平行，则 a 与 b 的方向同样或相反；③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必同样；2 / 7④两个有公共终点的向量，必定是共线向量；⑤向量 AB→与向量 cD→是共线向量，则点 A，B， c， D 必在同一条直线上．此中不正确命题的序号是________．分析①中，∵向量AB→与 BA→为相反向量，∴它们的长度相等，此命题正确．②中若 a 或 b 为零向量，则知足 a 与 b 平行，但 a 与 b 的方向不必定同样或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点同样，则其终点也必然同样，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有同样的终点，则不必定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向同样或相反的向量，∴若 AB→与cD→是共线向量，则 A，B，c， D 四点不必定在一条直线上，∴该命题错误．答案②④⑤7 ．在 ?ABcD中， AB→＝ a， AD→＝ b， AN→＝ 3Nc→，为 Bc 的中点，则 N→＝ ________.( 用 a， b 表示 )分析由 AN→＝ 3Nc→，得 4AN→＝ 3Ac→＝ 3(a ＋b) ，A →＝ a＋12b，因此 N→＝ AN→－ A→＝ 34(a ＋b) － a＋12b＝－14a＋ 14b.答案－ 14a＋ 14b8．(2014 ?泰安模拟 ) 设 a， b 是两个不共线向量， AB→＝2a＋ pb， Bc→＝ a＋ b， cD→＝ a－ 2b，若 A， B， D 三点共线，则实数 p 的值为 ________．分析∵ BD→＝ Bc→＋ cD→＝ 2a－ b，又 A， B， D 三点共线，∴存在实数λ，使AB→＝λ BD→ . 即 2＝2λ， p＝－λ，∴p＝－ 1.答案－1二、解答题9 ．若 a，b 是两个不共线的非零向量， a 与 b 起点同样，则当 t 为什么值时， a， tb ， 13(a ＋b) 三向量的终点在同一条直线上？解设 oA→＝ a，oB→＝ tb ， oc→＝ 13(a ＋ b) ，∴Ac→＝ oc→－ oA→＝－ 23a＋13b，AB→＝ oB→－ oA→＝tb － a.要使 A，B， c 三点共线，只要Ac→＝λ AB→ .即－ 23a＋ 13b＝λ (tb － a) ＝λ tb －λ a.又∵ a 与 b 为不共线的非零向量，∴有－ 23＝－λ， 13＝λ t ? λ＝ 23， t ＝ 12.∴当 t ＝12 时，三向量终点在同向来线上．10．如图，在平行四边形 oADB中，设 oA→＝ a，oB→＝b， B→＝ 13Bc→， cN→＝ 13cD→ . 试用 a，b 表示 o→， oN→及 N→.解由题意知，在平行四边形oADB中， B→＝ 13Bc→＝16BA→＝ 16(oA →－ oB→ ) ＝ 16(a － b) ＝16a－16b，则 o→＝ oB→＋ B→＝ b＋ 16a－ 16b＝16a＋ 56b.oN →＝ 23oD→＝ 23(oA →＋ oB→ ) ＝ 23(a ＋ b) ＝ 23a ＋23b，N→＝oN→－o→＝23a＋23b－16a－56b＝12a－16b.能力提高题组( 建议用时： 25 分钟 )一、填空题1．如下图，在△ ABc 中，已知点 D 在 AB边上，且 AD→＝ 2DB→， cD→＝ 13cA→＋λ cB，则λ＝ ________.分析由于 cD→＝ cA→＋ AD→＝cA→＋ 23AB→＝ cA→＋ 23(cB →－ cA→ )＝13cA→＋ 23cB→，因此λ＝ 23.答案232 ．在△ ABc 中，点 o 在线段 Bc 的延伸线上，且与点 c 不重合，若Ao→＝xAB→＋(1 －x)Ac →，则实数x 的取值范围是________．分析设 Bo→＝λ Bc→ ( λ＞ 1) ，则 Ao→＝ AB→＋ Bo→＝ AB→＋λ Bc→＝ (1 －λ )AB→＋λ Ac→，又 Ao→＝ xAB→＋(1 － x)Ac →，因此 xAB→＋ (1 － x)Ac →＝ (1 －λ )AB→＋λ Ac→ . 因此λ＝ 1－ x＞ 1，得 x＜ 0.答案( －∞， 0)3．若点 o 是△ ABc 所在平面内的一点，且知足 |oB →－oc→ | ＝|oB →＋ oc→－ 2oA→ | ，则△ ABc 的形状为 ________．分析oB→＋ oc→－ 2oA→＝ oB→－ oA→＋ oc →－ oA→＝AB→＋ Ac→，oB →－ oc →＝ cB→＝ AB→－ Ac→，∴ |AB →＋ Ac→ | ＝|AB →－ Ac→ |.故 A， B，c 为矩形的三个极点，△ ABc 为直角三角形．答案直角三角形二、解答题4．在△ ABc 中， E，F 分别为 Ac， AB 的中点， BE 与 cF 订交于 G点，设 AB→＝ a， Ac→＝ b，试用 a，b 表示 AG→ .解 AG→＝ AB→＋ BG→＝ AB→＋λ BE→＝ AB→＋λ 2(BA→＋ Bc→ )＝1－λ 2AB→＋λ 2(Ac →－ AB→ )＝(1 －λ )AB→＋λ 2Ac→＝ (1 －λ )a ＋λ 2b.又 AG→＝ Ac→＋ cG→＝ Ac→＋ cF→＝ Ac→＋ 2(cA →＋cB→ )＝(1 － )Ac →＋ 2AB→＝ 2a＋ (1 －)b ，∴1－λ＝ 2， 1－＝λ 2，解得λ＝＝ 23，∴ AG→＝ 13a ＋13b.。
2015年高考数学理一轮复习精品资料 专题5.4 平面向量的应用含解析
2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷第五章 平面向量 第四节 平面向量的应用一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
）1.【2013-2014学年广东省云浮市云浮中学高一5月】如图所示，向量OA a OB b OC c === ，A 、B 、C 在一条直线上，且 3 AC BC =，则（ ）.A 、1322c a b =-+ B 、31 22c a b =-C 、 2 b a c +-=D 、 2 b a c +=2. 【2013-2014学年广东省云浮市云浮中学高一5月】如图所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，记BC a =，BA c =，则向量CD =（ ）．A ．12a c --B ．12a c -+ C ．12a c - D ．12a c +【答案】B【解析】1111()()2222CD CA CB BA BC BC BA BC a b =+=--=-=-+． 3.【2014届四川绵阳高中高三第二次诊断性考试】已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若345OA OB OC ++=0，则△AOC 的面积为( )A ．25 B ．12 C ．310 D ．654.【2014年高考数学人教版评估检测】如图所示,非零向量=a,=b,且BC ⊥OA,C 为垂足,若=λa(λ≠0),则λ=( )5. 【2013-2014学年辽宁省抚顺市六校联合体高一下学期期末】已知)0,3(-A ，)2,0(B ，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且45=∠AOC ，设(1),()OC OA OB R λλλ=+-∈，则λ的值为（ ）A.51 B.31C.52D.32【答案】C.6. 【2014届浙江省绍兴市第一中学高三上学期期中考试】已知1e 和2e 是平面上的两个单位向量，且121e e +≤，12,OP me OQ ne ==，若O 为坐标原点，,m n 均为正常数，则()2OP OQ +的最大值为( )A ．22m n mn +-B ．22m n mn ++C ．2()m n + D ．2()m n -7.【2014年高考数学（理）二轮复习】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆上或圆内移动，设AP ＝λAD ＋μAB (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是 ( )．A ．(1,2)B ． (0,3)C ．[1,2]D ．[1,2)【答案】C【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，D(0,1)，8.【2014届四川绵阳高中高三第二次诊断性考试】已知O是锐角△ABC的外心，若OC=xOA yOB+(x，y ∈R)，则（）A．x+y≤-2 B．-2≤x+y<-1 C．x+y<-1 D．-1<x+y<09.【2014届山西省太原市太原五中高三12月月考】△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且OA AB AC++=，则向量CA在CB方向上的投影为( )A．3 C．．-310.【2014届浙江省建人高复高三上学期第二次月考】在ABC ∆中，2,2AB BC A π==∠=，如果不等式BA tBC AC -≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A.[)1,+∞ B.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦D.(][),01,-∞+∞11.【2014届天津市蓟县高三上学期期中考试】如图A 是单位圆与x 轴的交点，点P 在单位圆上，(0)AOP θθπ∠=<<,OQ OA OP =+,四边形OAQP 的面积为S ,当OA OP S ⋅+取得最大值时θ的值和最大值分别为( )A.6π3π，1 C.4π2π12.【改编自2013年辽宁五校联考】设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x D ∈，都有x k D ∈＋，且()()f x k f x >＋恒成立，则称函数()f x 为D 上的“k 型增函数”．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||2f x x a a ＝－－，若()f x 为R 上的“2 013型增函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A. 671,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. (),300-∞ C. (300,)+∞ D. 671,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2015年_2018年高考真题第五章平面向量
第五章 平面向量考点1 平面向量的概念及坐标运算1.(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC →1.A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →， ∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2.(2015·湖南，8)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.92.B [由A ,B ,C 在圆x 2＋y 2＝1上,且AB ⊥BC ,∴AC 为圆直径,故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4，0),设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[-1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以PA →＋PB →＋PC →＝(x -6，y ).故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.]3.(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A.e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B.e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C.e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)3.B [法一 若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a ＝(3，2)表示出来，故选B.法二 因为a ＝(3，2)，若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1.所以a ＝2e 1＋e 2，故选B.]4.(2014·安徽，10)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b ).曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b cos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A.1<r <R <3B.1<r <3≤RC.r ≤1<R <3D.1<r <3<R4.A [由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P (x ，y )，则OQ →＝(2，2)，曲线C ＝{P |OP →＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：x 2＋y 2＝1，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }表示圆P 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 2与圆P 2：(x －2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示，要使C ∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r <R <3.]5.（2017•浙江,15）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是________，最大值是________． 5. 4；记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：| + |=，| ﹣ |=，则x 2+y 2=10（x 、y≥1），其图象为一段圆弧MN ，如图，令z=x+y ，则y=﹣x+z ，则直线y=﹣x+z 过M 、N 时z 最小为z min =1+3=3+1=4，当直线y=﹣x+z 与圆弧MN 相切时z 最大，由平面几何知识易知z max 即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN 所在圆的半径的倍，所以z max =×=．综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是4，最大值是 ．故答案为：4、．6.（2017•江苏,12）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，， 与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m ，n ∈R ），则m+n=________．6. 3 如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα= ，sinα= ．∴C ．cos （α+45°）=（cosα﹣sinα）= ．sin （α+45°）= （sinα+cosα）= ．∴B．∵ =m +n （m ，n ∈R ），∴=m ﹣n ，=0+n ，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．7.(2016·全国Ⅰ，13)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 7.－2[由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2.]8.(2015·新课标全国Ⅱ，13)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.8.12[∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.]9.(2015·北京，13)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.9.12 －16 [MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.]10.(2015·江苏，6)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.10.－3 [∵a ＝(2,1),b ＝(1,-2),∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ,m －2n )＝(9,-8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.]11.(2014·新课标全国Ⅰ，15)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC→的夹角为________.11.90°[由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以AB →与AC →的夹角为90.]12.(2014·湖南，16)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________.12.1＋7 [设D (x ，y )，由|CD →|＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，向量OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，故|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1上的动点到点(1，－3)距离的最大值，其最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3，0)到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7.]考点2 平面向量的数量积及其应用1.（2017•北京,6）设 ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 • ＜0”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件1. A ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 • ＜0．反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 • ＜0，而 =λ 不成立．∴ ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 • ＜0”的充分不必要条件．故选A ．2.（2017•新课标Ⅲ,12）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（ ）A.3B.2C.D.22. A 如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD= = ,∴BC•CD= BD•r，∴r= ，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2= ，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ +μ ，∴（cosθ+1，sinθ﹣2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ= cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选A.3.（2017•浙江,10）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD 交于点O，记I1= •，I2= •，I3= •，则（）A.I1＜I2＜I3B.I1＜I3＜I2C.I3＜I1＜I2D.I2＜I1＜I33. C ∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2 ，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I3＜I1＜I2，故选C．4.（2017•新课标Ⅱ,12）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+ ）的最小值是（）A.﹣2B.﹣C.﹣D.﹣14. B 建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A （0， ），B （﹣1，0），C（1，0），设P （x ，y ），则=（﹣x ，﹣y ），=（﹣1﹣x ，﹣y ），=（1﹣x ，﹣y ），则 •（ + ）=2x 2﹣2y+2y 2=2[x 2+（y ﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣ ）=﹣ ，故选B.5.(2016·四川，10)在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( ) A.434 B.494 C.37＋634 D.37＋23345.B[由题意,|DA →|＝|DB →|＝|DC →|,所以D 到A ,B ,C 三点的距离相等,D 是△ABC 的外心； DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝-2⇒DA →·DB →－DB →·DC →＝DB →·(DA →－DC →)＝DB →·CA →＝0,所以DB ⊥AC ， 同理可得，DA ⊥BC ，DC ⊥AB ，从而D 是△ABC 的垂心，∴△ABC 的外心与垂心重合，因此△ABC 是正三角形，且D 是△ABC 的中心. DA →·DB →＝|DA →||DB →|cos ∠ADB ＝|DA →||DB →|×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2⇒|DA →|＝2，所以正三角形ABC 的边长为23；我们以A 为原点建立直角坐标系,B ,C ,D 三点坐标分别为B (3,－3)，C (3,3)，D (2,0)，由|AP →|＝1,设P 点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π)，而PM →＝MC →，即M 是PC 的中点，可以写出M 的坐标为M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋cos θ2，3＋sin θ2 则|BM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋sin θ22＝37＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π64≤37＋124＝494，当θ＝23π时，||2取得最大值494.故选B.6.(2016·山东，8)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A.4B.－4C.94D.－946.B[∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.]7.(2016·全国Ⅲ，3)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°7.A [|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.]8.(2016·全国Ⅱ，3)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8 B.－6 C.6 D.88.D[由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0， 即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.]9.(2015·山东，4)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →＝( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a29.D [如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →|·|CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.]10.(2015·安徽，8)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A.|b |＝1B.a ⊥bC.a ·b ＝1D.(4a ＋b )⊥BC →10.D [由于△ABC 是边长为2的等边三角形；∴(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，即(AB →＋AC →)·CB →＝0，∴(4a ＋b )⊥CB →，即(4a ＋b )⊥BC →，故选D.]11.(2015·四川，7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( ) A.20 B. 15 C.9 D.611.C[AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.]12.(2015·福建，9)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A.13B.15C.19D.2112.A [建立如图所示坐标系，则B⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB →·PC→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t－1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋4t ≤17－21t·4t ＝13，故选A.]13.(2015·重庆，6)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D.π 13.A [由题意(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－a·b －2b 2＝0，即3|a |2－|a |·|b |cos θ－2|b |2＝0，所以3×⎝ ⎛⎭⎪⎫2232－223cos θ－2＝0，cos θ＝22，θ＝π4，选A.]14.(2015·陕西，7)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A.|a ·b |≤|a ||b |B.|a －b |≤||a |－|b ||C.(a ＋b )2＝|a ＋b |2D.(a ＋b )(a －b )＝a 2－b214.B [对于A ，由|a ·b |＝||a ||b |cos<a ,b >|≤|a ||b |恒成立；对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于C 、D 容易判断恒成立.故选B.]15.(2014·新课标全国Ⅱ，3)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.515.A [由向量的数量积运算可知,∵|a ＋b |＝10,∴(a ＋b )2＝10,∴a 2+b 2+2a ·b ＝10,① 同理a 2＋b 2－2a ·b ＝6，② ① －②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.]16.(2014·大纲全国，4)若向量a 、b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A.2 B. 2 C.1 D.2216.B [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）·a ＝a 2＋a ·b ＝0，（2a ＋b ）·b ＝2a ·b ＋b 2＝0⇒-2a 2+b 2＝0,即－2|a |2＋|b |2＝0,又|a |＝1，∴|b |＝ 2.故选B.]17.(2014·天津，8)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.71217.C [如图所示,以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系xOy ,不妨设A (0，－1),B (－3，0),C (0，1),D (3，0),由题意得CE →＝(1－λ)·CB →＝(3λ－3，λ－1)，CF →＝(1－μ)CD →＝(3－3μ，μ－1).因为CE →·CF →＝-23，所以3(λ-1)·(1-μ)＋(λ-1)(μ-1)＝－23，即(λ-1)(μ-1)＝13.因为AE →＝AC →＋CE →＝(3λ－3，λ＋1).AF →＝AC →＋CF →＝(3－3μ，μ＋1)，又AE →·AF →＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧（λ－1）（μ－1）＝13.（λ＋1）（μ＋1）＝2，整理得λ＋μ＝56.选C.]18.（2017•新课标Ⅰ,13）已知向量 ， 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=________． 18. ∵向量 ， 的夹角为60°，且| |=2，| |=1，∴=+4 • +4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴| +2 |=2 ．故答案为：2．19.（2017•山东,12）已知 ，是互相垂直的单位向量，若﹣与 +λ的夹角为60°，则实数λ的值是________．19. ， 是互相垂直的单位向量，∴| |=||=1，且 • =0； 又 ﹣ 与 +λ 的夹角为60°，∴（﹣）•（ +λ）=| ﹣|×|+λ|×cos60°，即 +（ ﹣1） •﹣λ= ××，化简得﹣λ=×× ，即 ﹣λ= ，解得λ= ．故答案为：． 20.（2017·天津,13）在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2，=λ﹣ （λ∈R ），且 =﹣4，则λ的值为________．20.如图所示，△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2 ， ∴ = += += + （ ﹣ ）= + ， 又 =λ﹣ （λ∈R ）， ∴ =（ + ）•（λ ﹣ ） =（ λ﹣ ）•﹣+λ=（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ= ．故答案为：．21.(2016·浙江，15)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.21.12 [由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e | 由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.]22.(2015·天津，14)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则|AE →|·|AF →|的最小值为________.22.2918 [在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.]23.(2015·浙江，15)已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋ye 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.23.1 2 2 2 [∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝(1，0，0)，b ＝(m ，n ，t ). 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值.此时t 2＝1，故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2.] 24.（2017•江苏,16）已知向量 =（cosx ，sinx ）， =（3，﹣ ），x ∈[0，π]．（Ⅰ）若 ∥ ，求x 的值； （Ⅱ）记f （x ）=，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值．24.（Ⅰ）∵ =（cosx ，sinx ）， =（3，﹣）， ∥ ，∴﹣ cosx+3sinx=0， ∴tanx=，∵x ∈[0，π]， ∴x=，（Ⅱ）f （x ）= =3cosx ﹣ sinx=2 （ cosx ﹣ sinx ）=2 cos （x+ ），∵x ∈[0，π]，∴x+ ∈[ ， ]，∴﹣1≤cos（x+ ）≤ ，当x=0时，f （x ）有最大值，最大值3，当x= 时，f （x ）有最小值，最大值﹣225.(2015·广东，16)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22,n ＝(sin x ，cosx )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值. (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.25.解 (1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1,所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.26.(2014·北京，10)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.26. 5 [∵|a |＝1，∴可令a ＝(cos θ，sin θ)，∵λa ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λcos θ＋2＝0，λsin θ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－2λ，sin θ＝－1λ，由sin 2θ＋cos 2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝5.]27.(2014·江西，14)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________. 27.223[因为a 2＝(3e 1-2e 2)2＝9-2×3×2×cos α＋4＝9,所以|a |＝3,b 2＝(3e 1-e 2)2＝9-2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223.]28.(2014·湖北，11)设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1).若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.28.±3 [(a ＋λb )⊥(a －λb )⇒(a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3.]29.(2014·江苏，12)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.29.22 [因为AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·(AD→－34AB →)＝|AD →|2－316|AB →|2－12AD →·AB →＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB →·AD →＝22.]。
高考数学一轮复习数学平面向量多选题试题含答案
高考数学一轮复习数学平面向量多选题试题含答案一、平面向量多选题1．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD 【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；对y =所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；在xy e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．2．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则（ ）A ．72EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= B ．56EA EC EB ED ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅=【答案】BC【分析】以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，再利用向量坐标的线性运算以及向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】作出图形如图所示，以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ； 观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -， 设(),E x y ，则2236x y +=，故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--， 故ED =()2,2x y ---，故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅()()24144EA EC EB ED EO =+⋅+==，56EA EC EB ED ⋅+⋅=.故选：BC3．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，则（ ） A ．()a b a +⊥B ．|2|5a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影是22D ．向量a 的单位向量是255⎝⎭【答案】ABD 【分析】多项选择题需要要对选项一一验证: 对于A:利用向量垂直的条件判断；对于B:利用模的计算公式； 对于C:利用投影的计算公式； 对于D:直接求单位向量即可． 【详解】(2,1),(3,1)a b ==-对于A: (1,2),()(1)2210,a b a b a +=-+⋅=-⨯+⨯=∴()a b a +⊥，故A 正确；对于B:222(2,1)2(3,1)(4,3),|2|(4)35a b a b +=+-=-∴+=-+=，故B 正确；对于C: 向量a 在向量b 上的投影是||(3)a b b ⋅==-，故C 错误；对于D: 向量a 的单位向量是⎝⎭，故D 正确．故选：ABD ． 【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．4．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是,AC AB 上的点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则（ ）A ．0OC EO +=B ．0AB CE ⋅=C ．3OA OB OC OD +++=D ．ED 在BC 方向上的投影为76【答案】BD 【分析】可证明EO CE =，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB CE ⊥结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 【详解】因为ABC 是边长为2的等边三角形，AE EB =，所以E 为AB 的中点，且CE AB ⊥，以E 为原点如图建立直角坐标系，则()0,0E ，()1,0A -，()10B ,，(3C ， 由2AD DC =可得222333AD AC ⎛== ⎝⎭，则1233D ⎛- ⎝⎭， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得//GE AD 且12GE AD DC ==， 所以CDO ≌EGO △，EO CO =，则30,2O ⎛ ⎝⎭， 对于A ，0OC EO EC +=≠，故A 错误； 对于B ，由AB CE ⊥可得0AB CE ⋅=，故B 正确；对于C ，31,2OA ⎛=-- ⎝⎭，31,2OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，30,2OC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，13,36OD ⎛=- ⎝⎭，所以13,3OA OB OC OD ⎛+++=- ⎝⎭，所以23OA OB OC OD +++=，故C 错误； 对于D ，(3BC =-，123,33ED ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以ED 在BC 方向上的投影为127326BC ED BC+⋅==，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键.5．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边AC 上的点，且2AD DC =，E 是AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，那么（ ）A ．0OE OC +=B ．1AB CE ⋅=-C ．3OA OB OC ++=D ．13DE =【答案】AC 【分析】建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析. 【详解】建立平面直角坐标系如下图所示：取BD 中点M ，连接ME ，因为,M E 为,BD BA 中点，所以1//,2ME AD ME AD =，又因为12CD AD =， 所以//,ME CD ME CD =，所以易知EOM COD ≅，所以O 为CE 中点， A ．因为O 为CE 中点，所以0OE OC +=成立，故正确； B ．因为E 为AB 中点，所以AB CE ，所以0AB CE ⋅=，故错误；C ．因为()()(30,,1,0,1,0,32O A B C ⎛- ⎝⎭，所以33331,1,0,OA OB OC ⎛⎛⎛⎛++=+-+= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3OA OB OC ++= D ．因为()123,0,03D E ⎛ ⎝⎭，所以123,3DE ⎛=- ⎝⎭，所以13DE =，故错误， 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：对于规则的平面图形（如正三角形、矩形、菱形等）中的平面向量的数量积和模长问题，采用坐标法计算有时会更加方便.6．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫≠⎪⎝⎭角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在23πθ=的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（ ）A ．()1,3a b -=-B ．5a =C ．a b ⊥D ．a 在b 上的投影为3714-【答案】AD 【分析】123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；32a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为3372147a b b-⋅==-，故D 正确.【详解】()()121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；()2122254cos33a e e π=+=+=B 错误；()()22121211223222322a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-，故C 错误； 由于()22227b e e =-=a 在b 上的投影为33727a b b-⋅==，故D 正确。
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阶段性测试题五(平面向量)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·浙江杜桥中学期中)已知向量a ＝(1，m )，向量b ＝(m,2)．若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－2 B. 2 C ．±2 D ．0[答案] C[解析] ∵a ∥b ，∴1×2－m 2＝0， ∴m ＝±2.(理)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )．若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 [答案] D[解析] ∵a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)，a ＋b 与4b －2a 平行，∴3(4x －2)－6(1＋x )＝0，∴x ＝2.2．(2014·威海期中)已知|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －b |＝( ) A ．2 B ．4 C ．2 2 D ．8 [答案] A[解析] 由条件知|a |2＝1，|b |2＝4，a ·b ＝1， ∴|2a －b |2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝4，∴|2a －b |＝2.3．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° [答案] C[解析] ∵c ⊥a ，∴c ·a ＝(a ＋b )·a ＝|a |2＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－1，即1×2×cos 〈a ，b 〉＝－1， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.(理)(2014·营口三中期中)已知a ＋b ＋c ＝0，且a 与c 的夹角为60°，|b |＝3|a |，则cos 〈a ，b 〉等于( )A.32B.22C ．－12D ．－32[答案] D[解析] 设〈a ，b 〉＝α，∵|b |＝3|a |， ∴|b |2＝3|a |2，a ·b ＝3|a |2cos α， a ·c ＝|a |·|c |·cos60°＝12|a |·|a ＋b |.∵a ·c ＝－(a ＋b )·a ＝－|a |2－a ·b ＝－|a |2－3|a |2cos α， |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b＝|a |2＋3|a |2＋23|a |2cos α＝4|a |2＋23|a |2cos α， ∴－|a |2－3|a |2cos α＝12|a |·4|a |2＋23|a |2cos α，∴－3cos α－1＝124＋23cos α，∴cos α＝－32，故选D.4．(2014·泸州市一诊)△ABC 中，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13B.23 C ．－23D ．－13[答案] B[解析] ∵AD →＝2DB →，∴AD →＝23AB →＝23(CB →－CA →)，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.5．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝3，点P 在AD 上且满足AD →＝3AP →，则DA →·(PB →＋PC →)＝( )A ．6B ．－6C ．－12D ．12[答案] C[解析] ∵AD ＝3，AD →＝3AP →，∴|AD →|＝3，|AP →|＝1， ∴|PD →|＝2，∵D 为BC 的中点，∴DA →·(PB →＋PC →)＝DA →·2PD →＝－2·|DA →|·|PD →|＝－12.(理)(2014·开滦二中期中)已知△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝43，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则AP →·(AB →＋AC →)满足( )A ．最大值为16B ．最小值为4C ．为定值8D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 设BC 边中点为D ，〈AP →，AD →〉＝α，则|AD →|＝|AP →|·cos α，∵AB ＝AC ＝4，BC ＝43，∴∠BAC ＝120°，∴0°≤α≤60°， ∴AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·2AD →＝2|AP →|·|AD →|·cos α ＝2|AD →|2＝8.6．(2014·辽宁师大附中期中)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1[答案] D[解析] ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线，∴存在实数k ，使得AB →＝kAC →，即λa ＋b ＝k (a ＋μb )，∵a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝kμ，∴λμ＝1，故选D.7．(2014·抚顺二中期中)已知向量a ＝(cos75°，sin75°)，b ＝(cos15°，sin15°)，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] C[解析] 解法1：∵a －b ＝(cos75°－cos15°，sin75°－sin15°)，∴|a －b |2＝(cos75°－cos15°)2＋(sin75°－sin15°)2＝2－2(cos75°cos15°＋sin75°sin15°)＝2－2cos60°＝1，∴|a －b |＝1，又b ＝1，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°－1＝cos60°－1＝－12，∴cos 〈a －b ，b 〉＝(a －b )·b |a －b |·|b |＝－121×1＝－12，∴〈a －b ，b 〉＝120°.解法2：作单位圆如图，∠AOx ＝75°，∠BOx ＝15°，则OA →＝a ，OB →＝b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，∴△AOB 为正三角形，∴∠ABO ＝60°，从而OB →与BA →所成的角为120°， 即b 与a －b 所成的角为120°.[点评] 数形结合解答本题显得特别简捷．8．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知在△ABC 中，AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝( )A ．1 B.89 C.79 D.23[答案] C[解析] ∵AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，∴AR →＝23AB →，RP →＝－13CR →，∴AP →＝AR →＋RP →＝AR →－13CR →＝AR →－13(CA →＋AR →)＝23AR →＋13AC →＝49AB →＋13AC →，∴m ＋n ＝79.9．(文)(2014·营口三中期中)已知点G 是△ABC 的重心，AG →＝λAB →＋μAC →(λ、μ∈R )，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是( )A.33B.22C.23D.34[答案] C[解析] 设D 为△ABC 的边BC 的中点，AG →＝23AD →＝23·12(AB →＋AC →＝13AB →＋13AC →，∴λ＝μ＝13，∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，∴|AB →|·|AC →|＝4，∴|AG →|2＝19(|AB →|2＋|AC →|2－4)≥19×(2|AB →|·|AC →|－4)＝49，∴|AG →|≥23.(理)(2014·哈六中期中)已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC ＝45°，AD ＝2，AB ＝2，BC ＝1，P 是边AB 所在直线上的动点，则|PC →＋2PD →|的最小值为( )A ．2B ．4 C.522 D.252[答案] C[解析] ∵AB ＝2，BC ＝1，∠BAC ＝45°，∴AB ·sin ∠BAC ＝BC ，∴AC ⊥BC ，以C 为原点直线BC 与AC 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系如图，则C (0,0)，B (－1,0)，A (0,1)，D (2,1)，∵P 在直线AB ：y －x ＝1上，∴设P (x 0,1＋x 0)，则PC →＋2PD →＝(－x 0，－1－x 0)＋2(2－x 0，－x 0)＝(4－3x 0，－1－3x 0)， ∴|PC →＋2PD →|2＝(4－3x 0)2＋(－1－3x 0)2＝18x 20－18x 0＋17＝18(x 0－12)2＋252， ∴当x 0＝12时，|PC →＋2PD →|min ＝522，故选C.10．(文)(2014·河南淇县一中模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0[答案] A[解析] 由条件知，A 1(－1,0)，F 2(2,0)，∵P 在双曲线右支上，∴P 在上半支与下半支上结论相同，设P (x 0，3x 20－3)，x 0≥1，∴P A 1→·PF 2→＝(－1－x 0，－3x 20－3)·(2－x 0，－3x 20－3)＝(－1－x 0)(2－x 0)＋(3x 20－3)＝4x 20－x 0－5＝4(x 0－18)2－8116，∴当x 0＝1时，(P A 1→·PF 2→)min ＝－2，故选A.(理)(2014·浙江省五校联考)已知A 、B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且∠AOB ＝120°，MN 是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(0<λ<1)，则CM →·CN →的取值范围是( )A ．[－12，1)B ．[－1,1)C ．[－34，0)D ．[－1,0)[答案] C[解析] 以直线MN 为x 轴，单位圆的圆心O 为原点建立直角坐标系，则M (－1,0)，N (1,0)，∴OM →·ON →＝－1，∵OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →，(0<λ<1)， ∴BC →＝λBA →(0<λ<1)，∴C 在线段AB 上(不包括端点)，∵OA ＝OB ＝1，∠AOB ＝120°，∴|OC →|∈[12，1)，∴CM →·CN →＝(CO →＋OM →)·(CO →＋ON →)＝|CO →|2＋CO →·(OM →＋ON →)＋OM →·ON →＝|CO →|2－1∈[－34，0)．11．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图，平面内的两个单位向量OA →，OB →，它们的夹角是60°，OC →与OA →、OB →向量的夹角都为30°，且|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ的值为( )A ．2B ．4C ．2 3D ．4 3[答案] B[解析] 以OA 、OB 为邻边作▱OADB ，∵OA ＝1，OB ＝1，∠AOB ＝60°，∴OD ＝3，∵OC →与OA →、OB →的夹角都为30°，∴OD →与OC →共线，∴OC →＝2OD →＝2OA →＋2OB →，∴λ＝μ＝2，λ＋μ＝4.12．(2014·枣庄市期中)如图，OA →，OB →分别为x 轴，y 轴非负半轴上的单位向量，点C 在x 轴上且在点A 的右侧，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、BC 上的点．若OE →与OA →＋OB →共线.DE →与OA →共线，则OD →·BC →的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] B[解析] 由条件设OE →＝λ(OA →＋OB →)，DE →＝μOA →， ∴OE →＝(λ，λ)，DE →＝(μ，0)，∴OD →＝OE →＋ED →＝(λ，λ)＋(－μ，0)＝(λ－μ，λ)，BC →＝(x 0，－1)，x 0>1， ∵BD →与BA →共线，BD →＝OD →－OB →＝(λ－μ，λ－1)，BA →＝OA →－OB →＝(1，－1)， ∴λ－μ1＝λ－1－1，∴2λ－μ＝1，∵BE →与BC →共线，BE →＝OE →－OB →＝(λ，λ－1)， ∴x 0λ＝－1λ－1，∴x 0＝λ1－λ. ∴OD →·BC →＝(λ－μ)x 0－λ＝(λ－μ)λ1－λ－λ＝(1－λ)·λ1－λ－λ＝0.故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是________．[答案] －2[解析] ∵a 与b 的方向相反，∴存在k <0，使a ＝k b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k ，kx ＝1，∴x 2＝4，∵k <0，∴x ＝－2. (理)(2014·江西临川十中期中)若非零向量a ，b ，c ，满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝________. [答案] 0[解析] ∵a ∥b ，∴存在实数λ，使b ＝λa ， 又a ⊥c ，∴a ·c ＝0，∴c ·(a ＋2b )＝c ·(a ＋2λa )＝(1＋2λ)a ·c ＝0.14．(文)(2014·辽宁师大附中期中)已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．[答案] －17[解析] ∵λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)， 由条件知(λa ＋b )·(a －2b )＝3λ＋1＋4λ＝0， ∴λ＝－17.(理)(2014·浙江杜桥中学期中)已知a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为________．[答案] 2[解析] ∵a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝3，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λ|a |2－2|b |2＋(2λ－3)a ·b ＝3λ－6＝0， ∴λ＝2.15．(文)(2014·北京朝阳区期中)已知平面向量a 与b 的夹角为π6，|a |＝3，|b |＝1，则|a －b |＝________；若平行四边形ABCD 满足AB →＝a ＋b ，AD →＝a －b ，则平行四边形ABCD 的面积为________．[答案] 13[解析] 由条件知，|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝3－2×3×1×cos π6＋1＝1，|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝3＋2×3×1×cos π6＋1＝7，∵AB →·AD →＝(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2＝2，∴AB →·AD →＝|a ＋b ||a －b |cos 〈AB →，AD →〉＝7cos 〈AB →，AD →〉＝2， ∴cos 〈AB →，AD →〉＝27，sin 〈AB →，AD →〉＝37，∴S ＝|AB →||AD →|sin 〈AB →，AD →〉＝1×7×37＝ 3.(理)(2014·山西曲沃中学期中)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP →的取值范围是________．[答案] [0,1][解析] 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∵棱长为1， ∴四边形ABC 1D 1为矩形，AB ＝1，AD 1＝2， 又DC →＝AB →，∴DC →·AP →＝AB →·AP →＝|AB →|·|AP →|·cos 〈AB →，AP →〉，当P 点与D 1点重合时，|AP →|·cos 〈AB →，AP →〉取最小值0， 当P 点与B 点重合时，|AP →|·cos 〈AP →，AB →〉取最大值1， ∴|AP →|·cos 〈AB →，AP →〉∈[0,1]， 又|AB →|＝1，∴DC →·AP →∈[0,1]．16．(文)(2014·湖南省五市十校联考)点M (x ，y )是不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤3y ≤3x ≤3y表示的平面区域Ω内的一动点，使z ＝y －2x 的值取得最小的点为A (x 0，y 0)，则OM →·OA →(O 为坐标原点)的取值范围是________．[答案] [0,6][解析] 作出可行域Ω为如图四边形OBCD 区域，作直线l 0：y －2x ＝0，平移l 0，当平移到经过点B (3，1)时，z 取最小值，∴A 为B 点，即A (3，1)，∵M 在平面区域Ω内运动，|OA →|为定值， OM →·OA →＝|OA →|·(|OM →|·cos 〈OA →，OM →〉)，∴当M 与O (或C )重合时，|OM →|cos 〈OA →，OM →〉取到最小值(或最大值)，且M 与O 重合时，OM →·OA →＝0，M 与C 重合时，OM →·OA →＝(3，3)·(3，1)＝6，∴0≤OM →·OA →≤6.(理)(2014·襄阳四中、襄阳五中联考)设点P (x ，y )为平面上以A (4,0)，B (0,4)，C (1,2)为顶点的三角形区域(包括边界)内一动点，O 为原点，且OP →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ的取值范围为________．[答案] [14，1][解析] 直线AB ：x ＋y ＝4，直线AC ：2x ＋3y －8＝0，直线BC ：2x ＋y －4＝0， ∴点P 所在的平面区域为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，2x ＋3y ≥8，2x ＋y ≥4.即△ABC 的内部和边界， ∵OP →＝λOA →＋μOB →＝(4λ，4μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4λ，y ＝4μ.∴λ＋μ＝14(x ＋y )．作直线l 0：x ＋y ＝0，平移l 0，可知当平移到经过点C (1,2)时，x ＋y 取最小值3，与直线AB 重合时，x ＋y 取最大值4，从而3≤x ＋y ≤4，∴14≤λ＋μ≤1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a ＋b )·(a －b )＝12，求： (1)a 与b 的夹角；(2)a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值[解析] (1)由条件知(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝12，|a |＝1，∴|b |＝22，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝121×22＝22， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4. (2)∵(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12， ∴|a －b |＝22， ∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52， ∴|a ＋b |＝102， 设a －b ，a ＋b 的夹角为α，则cos α＝(a －b )·(a ＋b )|a －b |·|a ＋b |＝1222×102＝55. 18．(本小题满分12分)(文)(2014·江西临川十中期中)已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；(2)若t 1＝a 2，当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时，求a 的值．[解析] (1)证明：∵当t 1＝1时，AM →＝OM →－OA →＝t 2AB →，∴不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点共线．(2)当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2)．又∵AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0，∴t 2＝－14a 2.∴OM →＝(－a 2，a 2)． 又∵|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|·S △ABM ＝12， ∴12|AB →|·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12， 解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.(理)(2014·山东省德州市期中)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，A (6,0)，C (1，3)，点M 满足OM →＝12OA →，点P 在线段BC 上运动(包括端点)，如图．(1)求∠OCM 的余弦值；(2)是否存在实数λ，使(OA →－λOP →)⊥CM →，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意可得OA →＝(6,0)，OC →＝(1，3)，OM →＝12OA →＝(3,0)，CM →＝(2，－3)，CO →＝(－1，－3)，∴cos ∠OCM ＝cos 〈CO →，CM →〉＝CO →·CM →|CO →||CM →|＝714. (2)设P (t ，3)，其中1≤t ≤5，λOP →＝(λt ，3λ)，OA →－λOP →＝(6－λt ，－3λ)，CM →＝(2，－3)，若(OA →－λOP →)⊥CM →，则(OA →－λOP →)·CM →＝0，即12－2λt ＋3λ＝0⇒(2t －3)λ＝12，若t ＝32，则λ不存在， 若t ≠32，则λ＝122t －3， ∵t ∈[1，32)∪(32，5]，故λ∈(－∞，－12]∪[127，＋∞)． 19．(本小题满分12分)(文)(2014·浙江台州中学期中)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知sin C ＝2sin(B ＋C )cos B .(1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(a ＋c ，b )，n ＝(b ＋a ，c －a )，若m ∥n ，求∠A .[解析] (1)在△ABC 中，∵sin(A ＋B )＝sin C ，sin(B ＋C )＝sin A ，∴sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ∥n ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b ＋a )＝0，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝－12.∵0<C <π，∴C ＝2π3， 又△ABC 为等腰三角形，∴∠A ＝π6. (理)(2014·哈六中期中)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)求a ＋c b的取值范围． [解析] (1)∵m ∥n ，∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即2sin A cos B ＝sin A ，∵sin A ≠0，∴cos B ＝12， ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3. (2)由正弦定理得a ＋c b ＝sin A ＋sin C sin B ＝233(sin A ＋sin C )， ∵C ＋A ＝2π3，∴sin C ＝sin(2π3－A )＝32cos A ＋12sin A ， ∴a ＋c b ＝2sin(A ＋π6)， ∵A ∈(0，2π3)，∴A ＋π6∈(π6，5π6)， ∴a ＋c b∈(1,2]． 20．(本小题满分12分)(2014·抚顺二中期中)在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos A ，sin A )，向量n ＝(2－sin A ，cos A )，|m ＋n |＝2.(1)求角A 的大小； (2)若b ＝42，且c ＝2a ，求△ABC 的面积．[解析] (1)∵|m ＋n |2＝(cos A ＋2－sin A )2＋(sin A ＋cos A )2＝4＋22(cos A －sin A )＝4＋4cos(π4＋A )， ∴4＋4cos(π4＋4)＝4，∴cos(π4＋A )＝0， ∵A ∈(0，π)，∴π4＋A ＝π2，∴A ＝π4. (2)由余弦定理知：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即a 2＝(42)2＋(2a )2－2×42×2a cos π4， ∴a 2－82a ＋32＝0，解得a ＝42，∴c ＝8，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×8×22＝16. 21．(本小题满分12分)(文)(2014·安徽程集中学期中)已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos C 2，sin C 2)，n ＝(cos C 2，－sin C 2)，且m 与n 的夹角为π3. (1)求角C 的值；(2)已知c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求a ＋b 的值． [解析] (1)∵|m |＝|n |＝1，∴m ·n ＝|m |·|n |·cos π3＝12， 又m ·n ＝cos C 2cos C 2＋sin C 2(－sin C 2)＝cos C ， ∴cos C ＝12， 又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得a 2＋b 2－ab ＝9，①由S △ABC ＝12ab sin C ＝433，得ab ＝163，② 由①②得(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝9＋3ab ＝25，∵a ，b ∈R ＋，∴a ＋b ＝5.(理)(2014·河北冀州中学期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(cos 3A 2，sin 3A 2)，n ＝(cos A 2，sin A 2)，且满足|m ＋n |＝ 3. (1)求角A 的大小；(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状．[解析] (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，即1＋1＋2(cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2)＝3， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ，∴sin B ＋sin(2π3－B )＝3×32， 即32sin B ＋12cos B ＝32， ∴sin(B ＋π6)＝32.∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6， ∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2. 当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6. 故△ABC 是直角三角形．22．(本小题满分14分)(文)(2014·河南淇县一中模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的两点A ，B .(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．[解析] (1)由题意知抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)证明：∵直线l 与抛物线交于不同两点，∴直线l 与x 轴不平行，故可设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x 中，消去x 得，y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2，∴直线l 过定点(2,0)．(理)(2014·湖南省五市十校联考)已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(3cos x ，－12)，函数f (x )＝m 2＋m ·n －2.(1)求f (x )的最大值，并求取得最大值时x 的取值集合；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列，角B 为锐角，且f (B )＝1，求1tan A ＋1tan C的值． [解析] (1)f (x )＝m 2＋m ·n －2＝(m ＋n )·m －2＝(sin x ＋3cos x ，－32)·(sin x ，－1)－2 ＝sin 2x ＋3sin x cos x －12＝1－cos2x 2＋32sin2x －12＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)． 故f (x )max ＝1，此时2x －π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π3，k ∈Z . 所以取得最大值时x 的集合为{x |x ＝k π＋π3，k ∈Z }． (2)∵f (B )＝1，∴sin(2B －π6)＝1， 又∵0＜B ＜π2，∴－π6<2B －π6<56π. ∴2B －π6＝π2，∴B ＝π3. ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，∴sin 2B ＝sin A sin C . ∴1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B ＝1sin B ＝132＝233.。