垂直平分线的性质

O
∟
操作
画一画：作线段AB的垂直平分线MN，垂
足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB； M P
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB P1A=P1B ……
归纳：由此你能得到什么规律？
命题：线段垂直平分线
上的点和这条线段两 个端点的距离相等。
A
C P1
B
N
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 M 已知：如图， 直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB. 点P在MN上. P 求证： PA=PB
D
E
B
图1
C
求证：点O在BC的垂直平分线上。 证明：连结OB。 ∵ ON是AB的垂直平分线（已知） N
例 题 扩 展
已知：在Δ ABC中，ON是AB的垂直平分线 OA=OC。
A
∴ OA=OB（线段的垂直平分线上的 点到这条线段的两个端点的距离相等） ∵ OA=OC（已知） ∴ OB=OC（等量代换） ∴点O在BC的垂直平分线上。 （到线段的两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。） O C
E
C
B
D
A
已知:如图,在等腰三角形ABC中,腰AB 的垂直平 线MN交AC于点 D,BC=8厘米, Δ BDC的周长20厘米. 求:AB的长.
A M D B
8
C N A C D
已知:如图,D是BC延长线上的一点,BD=BC+AC.
求证:点C在AD的垂直平分线上.
B
做一做
已知：如图，△ABC中，AC=16cm，DE 为AB的垂直平分线， △BCE的周长为 26cm，求BC的长。 解:
∵OM⊥PA于E，EA=EP，点C在OM上， ∴CA=CP(线段垂直平分线上的点与这条线 段的两个端点的距离相等） 同理， ∵ON⊥PB于F，FB=FP，点D在ON上， ∴DB=DP
∵△PCD周长=CP+CD+DP=CA+CD+DB=AB 又∵AB=15cm ∴△PCD周长=15cm
O D B A E C P M
B
线段的垂直平分线
已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：点P在AC的垂直平分线上;
分析：
M
A
点P在线段AB的 垂直平分线上 PA=PB
点P在线段BC的 垂直平分线上 PB=PC
B
M’
P C N N’
PA=PB=PC ∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
例2：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90 度，DE是AB的垂直平分线，连 接AE，∠1：∠2=1：2，求∠B 的度数。
（1）折纸法 （2）过中点画垂线法 （3）尺规作法
作法：1、分别以点A、B为圆心，大于－ AB ２
长为半径画弧交于点E、F。 2、过点E、F作直线。 则直线EF就是线段AB的垂直平分线 （图16-11）
E
１
A
B
F
图16-11
1、 为什么以“大于1/2AB长”为半径？
２、为什么这样作出的直线EF就是线段AB的 垂直平分线呢？设所作直线EF交AB于点O， 请你根据三角形全等的判定定理给出证明
A C
∟
B
学以致用
例题、如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，
1) 若BD＝10，则AD=
2) 若∠A＝50°，则∠ABD＝
。
。 。
3) 若AC＝14，△BCD的周长为24，则BC=
实战演练 实际问题1
A
在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便 于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医 院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选 在何处？你的方案是什么?
∵DE是AB的垂直平分线 ∴EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线 段的两个端点的距离相等）
∵△BCE周长=CE+EB+BC 又∵AC=CE+EA=CE+EB ∴BC=△BCE周长-(CE+EB) =△BCE周长-AC =10cm
A
D B
E C
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。 解:
证明：∵MN⊥AB 垂足为C ∴ ∠ PCA= ∠ PCB 在 ΔPAC和Δ PBC中， AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC ∴PA=PB
A
C
B平分线性质定理：
P
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等。
符号语言, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任 N 意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点距离相等).
B
L
高 速 公 路
1 、如图，已知直线MN是线段AB 的垂直平分线，垂足为D，点P是MN 上一点，若AB=10 cm，则 BD=__________cm；若PA=10 cm， 则PB=__________cm.
1题图
2、如图，在△ABC中，BC的 中垂线交斜边AB于D，图中相 等的线段有（ ） A、1组 B、2组 C、3组 D、4组 1
F
N
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。 二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
§16.2
线段的垂直平分线
什么叫线段的垂直平线？
• 线段垂直平分线的定义: • 经过某一条线段的中点，并且垂直 于这条线段的直线，叫做这条线段的垂 直平分线（中垂线）。垂直平分线，简 称“中垂线”。
C
∵CD 是AB的垂直平分线 （中垂线）
∟ B
A
o
∴OA=OB；CD⊥AB
D
怎样作出线段的垂直平分线？
2
3、已知，如图，y轴垂直平分线段 BC，点A在y轴上，点B、C在x轴上。 （1）若点C的坐标为（3，0），则点 B的坐标是__________； （2）若点B的坐标为（m，0），则 点C的坐标是___________。
作业：
• 如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的 垂直平分线交AB于点D，交AC于点E， △BCE的周长等于50，求BC的长. • 变式1：如图1，在△ABC中， AB的垂直 平分线交AB于点D，交AC于点E，若 A ∠BEC=70°，则∠A=？
三、 线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距 离相等的所有点的集合