4.2.1 第1课时等差数列的概念及通项公式-人教A版(2019)选择性必修二(共30张PPT)

人教版高中数学选择性必修第二册4.2.1(第1课时)等差数列的概念及通项公式【课件】

类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规
律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和
数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.
下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手.
新知导入
请看下面几个问题中的数列.
1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的
这个数列不能称为等差数列．
新知讲解
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.
（1）条件：如果a，A，b成等差数列
（2）结论：A叫做a与b的等差中项
（3）满足的关系式是 2A=a+b
合作探究
是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①
2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48. ②
3. 测量某地垂直地面方向海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面
20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
1 − ( ∈ ) 当x=n时的函数值，即 = () .
如图4.2-1，在平面直角坐标系中画出
= + −
的图象，
就得到一条斜率为d，截距为1 − 的直线.
合作探究
在这条直线上描出点
, ， , ， ⋯ ， , ， ⋯ ，
就得到了等差数列{ }的图象.
an＝a1＋(n－1)d (n∈N*)
合作探究

【课件】第1课时等差数列的概念与通项公式说课课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

个从0-9的刻度的转盘，要求把四个转盘分别转到指定数字，
门才能打开。门上还有四组数字，如下：
1）1，3，5，（），9
2）15，12，（），6，3
3）48，53，58，（）3，68
4）8，（），8，8，8
创设学生比较感兴趣的情景，可以激发学生对本节课的学习兴趣，在游戏
中加入等差数列，让学生初步感知等差数列的特点。同时培养学生观察、
三、教学分析 - - - ( 二 ) 教学程序设计
巩固练习：在等差数列中,已知 = , = ,求 .
问1：还有没有其他做法？
师根据学生回答适时给出公式： = + ( − )
问2：从结果来看 , , , 之间有怎样的关系？
中项。
问1：等差中项A与a、b之间又怎样的关系？
问2：下列两个数的等差中项分别是什么？
（1）2 ，( ) ，4 （2）-12，( ) ，0
问3：是不是任意两数都存在等差中项？存在几个？
师点评：任意两数的等差中项即为两数的平均值。
问4：等差数列{ }中，与− , + 之间有怎样的关系？为什么？
（4）-8，-6，-4.
学生对刚学习的概念理解还不够深刻，通过概念的辨析，强化学生对
等差数列概念的理解，看清“等差”的本质特征，培养学生抽象概括
能力和严密的数学学习态度。
三、教学分析 - - - ( 二 ) 教学程序设计
2、等差中项的定义：
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差
教学目标：通过数字规律小游戏情境引入，经历观察，分析，
归纳，推理论证，理解并掌握等差数列的概念，了解等差数列

等差数列(课时1 等差数列的概念及通项公式)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)

情境设置
问题2：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
[答案] 由于，故是函数当时的函数值，即，点则是函数图象上的均匀分布的孤立的点，而是直线的斜率，记为，实际上，如果已知直线上任意两点，，由斜率的公式可知，公差的符号决定了数列的单调性，当时，数列为递增数列，当时，数列为常数列，当时，数列为递减数列．
已知数列中, , ．
（1）证明：数列是等差数列.
[解析] 由已知得, , , 所以数列是以2为首项,2为公差的等差数列.
（2）求数列的通项公式．
[解析] 由（1）知, ,所以．
巩固训练
1.若数列满足，则数列是( ).A.公差为1的等差数列 B.公差为的等差数列C.公差为的等差数列 D.不是等差数列
2.熟练掌握等差数列是关于的一次函数这一结构特征，并且公差是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，当时，数列为递增数列，当时，数列为常数列，当时，数列为递减数列．
1.设是等差数列，下列结论中正确的是( ).A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则
情境设置
问题2：问题1的结论可给我们什么样的启示？
[答案] 可以用等差中项的定义来证明一个数列是等差数列，即证明： .
问题3：若数列的通项公式，则该数列是等差数列吗？
[答案] 是．因为，所以数列是等差数列．
新知生成
等差数列的判定方法有以下三种：
（1）定义法：为等差数列.
问题4：由等差数列的定义可知，如果， , 这三个数是等差数列，你能求出的值吗？
[答案] 由定义可知，即，解得 .
新知生成

4.2.1等差数列的概念(第1课时)课件(人教版)

五、作业布置课本P15：练习第4、5题
例3 求等差数列8，5，2，…，的通项公式an 和第20项，并判断289是否是数列中的项，若是，是第几项？
解:由已知条件，得 = 5 − 8 = −3,
把1 = 8, = −3代入 = 1 + − 1 ，得
= 8 + − 1 ×(−3)= −3+11，
所以，a20 = −3×20+11=-49
③
对于数列①，我们发现：
18=9+9, 27=18+9，…，81=72+9，即从第二项起，每一项
18 − 9=9, 27 − 18=9，…，81 − 72=9.
与前一项的差都等于
如果用{ } 表示数列①，则有：
同一个常数.
2 − 1 =9, 3 − 2 =9,…， 9 − 8 =9.
数列的定义域是正整数集或它的子集.
数列{ } 是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，
记为 =().
如果数列{an } 的第项与它的序号之间的对应关系可以用一
个式子来表示，那么这个式子就是数列的函数解析式，叫做这个
数列的通项公式.
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来
4.2.1
等差数列的概念
第1课时
人教A版（202X）选择性必修第二册
学习目标
Hale Waihona Puke 1.理解等差数列的含义.2.掌握等差数列通项公式的推导过程及其运用.
3.理解等差数列与一次函数的关系.
4.核心素养：直观想象、数学运算、数学抽象
一、复习导入
定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，
数列中的每一个数叫做这个数列的项.

4.2.1等差数列的概念(第一课时)(课件)高二数学(人教A版选择性必修第二册)

当 = 0时， = 1 常数函数。
当 ≠ 0时，是一次函数() = + (1 − ), 当 = 时
函数值，即 = ()。
学习新知
追问1
等差数列{ }的图像与一次函数() = + (1 − )的
图像有什么关系？
()
6
5
4
3
771
1
3
（2）−12 和2435源自21215
课后
作业
2.已知等差数列{ }中， + = , = ,
求a4 。
4 = 6
数列{ }是公差不为
0的等差数列
+1 = ( + 1) = ( + 1) +
+1 − = ( + 1) + − ( + ) =
数列{ }是以( + )为首项，为公差的等差数列。
数列的通项公式是
关于的一次函数
学习新知
追问3
可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？
2
1
1 2 3 4 5 6
() = + (1 − )

学习新知
追问2
由一次函数 () = + 得到的数列 = +
一定是等差数列吗？
任给() = + ,则 = +
1 = (1) = +
= () = +
a2 a1 d
学习新知
追问3
你能写出以下数列的通项公式吗？
（1）5，9，13，17，21；
= 5 + − 1 × 4 = 4 + 1
（2）9，7，5，3，1，-1； an 9 (n 1) (2) 2n 11

4.2.1等差数列的概念课件(共13张PPT)(2024)高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

a, A, b 成等差数列
等差数列填空：
12，
，
，
，
0
探究新知
三.等差数列的通项公式
如果一个数列a1, a2, … , an, …是等差数列,它的公差是d, 那么
a2-a1=d
a2=a1+d
a3-a2=d
不
累
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d
完
a4-a3=d
加
…
…
全
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
[练习1]等差数列{an }中, 若a1 5, 公差d 3, 则a11 ___ .
析 : a11 a1 10 d 5 10 3 35
[变式]等差数列{an }中, 若a4 14 , 公差d 3, 则a11 ___ .
析 : a4 a1 3d a1 9 14, a1 5.

不是
（6）, , , , …
不是
公差可为正、可为负也可为0
说明：判断数列是不是等差数列,
运用定义：看+ − 是否为
同一个常数.
探究新知
二.等差中项的定义
在如下的两个数之间, 插入一个数使这三个数成为一个等差数列:
(1) 2, ( 3 ), 4
(2) -1, ( 2 ), 5
新课导入
【情景2】 XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装
对应的尺码分别是： 34，36，38，40，42，44，46，48
新课导入
【情景3】测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得

人教A版高中数学选择性必修第二册4.2.1第一课时等差数列的概念及通项公式课件

()
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．[多选]下列各组数列能构成等差数列的为( ) A．2,2,2,2,2 B．cos 0，cos 1，cos 2，cos 3 C．3m,3m＋a,3m＋2a,3m＋3a D．a－1，a＋1，a＋3 解析：A．∵2－2＝2－2＝2－2＝2－2＝0，∴该数列是等差数列．B.∵cos 1 －cos 0≠cos 2－cos 1，∴该数列不是等差数列．C.∵(3m＋a)－3m＝(3m＋ 2a)－(3m＋a)＝(3m＋3a)－(3m＋2a)＝a，∴该数列是等差数列．D.∵(a＋1) －(a－1)＝(a＋3)－(a＋1)＝2，∴该数列是等差数列．答案：ACD
[对点练清] 1．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求a20，an.
解：法一：∵a5＝10，a12＝31， ∴aa11＋＋411dd＝＝1301，， ∴ad1＝＝3－，2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－5，∴a20＝3×20－5＝55. 法二：∵a12＝a5＋7d，即 31＝10＋7d，∴d＝3， ∴an＝a12＋(n－12)d＝3n－5， ∴a20＝a12＋8d＝31＋8×3＝55.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差，进而求得其通项公式．
[典例1] 在等差数列{an}中， (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. [解] (1)∵a5＝－1，a8＝2， ∴aa11＋＋74dd＝＝2－，1，解得ad1＝＝1－. 5， (2)设数列{an}的公差为 d. 由已知得，aa11＋＋a31d＋＝57d，＝12，解得ad1＝＝21.， ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴a9＝2×9－列，求证：b＋a c，a＋b c，a＋c b也成等差数列．

【教案】4.2.1等差数列的概念教学设计-高中数学人教版(2019)选择性必修二

4.2.1 等差数列的概念一、内容和内容解析1.内容等差数列的概念.2.内容解析数列是一种特殊的函数.在函数的研究中，我们了解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型.类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和求和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.教科书是通过对具体的等差数列例子的归纳概括来获得等差数列的定义的.结合以上的分析，确定本节课的教学重点：等差数列的定义，等差数列的通项公式.教学难点：等差数列的定义，等差数列的通项公式.二、目标和目标解析1.目标(1) 理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断等差数列,体现了数学抽象、逻辑推理、数学建模的学科素养.(2) 掌握等差数列的通项公式，并且能够灵活应用.展现了数学运算的学科素养.(3) 理解并领会函数与数列关系，培养学生分析问题和解决问题的能力，体现数学逻辑推理的学科素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：通过本节课的学习，使得学生理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列.学生在了解等差数列的通项公式的推导过程及思想后，会求等差数列的公差及通项公式.在领会函数与数列12关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力.三、教学问题诊断分析本节内容是结合具体内容的学习进修渗透的.是基于“数列是一种特殊的函数”，通过类比函数的研究路径来解答的，在学习了数列的一般概念后，与研究函数的思路类似，要对一些具有特殊变化规律的数列进行研究.本节的学习是从一类取值规律比较简单的数列开始的.本节五个例题，它们由简单到复杂，具有一定的层次性：例1、例2的目的是通过对等差数列的通项公式的简单应用，帮助学生理解公式所涉及的几个基本量1,,,n a d n a 之间的关系.要通过例题的教学，让学生形成利用等差数列的“基本量”建立代数关系式解决问题的思想方法.要注意综合运用所学的数学知识化解数学问题，从而解决本节课的教学重点与难点.四、教学过程设计（一）知识的引入问题1：请看下面几个问题中的数列.1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81.2. S,M,L,XL,XXL,XXXL 型号的女装上衣对应的尺码分别是38,40,42,44,46,48.3. 测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度依次为25,24,23,22,21.4. 某人向银行贷款a 万元，贷款时间为n 年.如果个人贷款月利率为r ，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金 12a b n ⎛⎫= ⎪⎝⎭元，每月支付给银行的利息依次为 ,,2,3,...ar ar br ar br ar br ---思考：在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律.例如，在指数函数的学习中，通过运算发现了,A B 两地旅游人数的变化规律.类似地，也能通过运算发现以上数列的取值规律吗？3对于1，我们发现 1899,27189,...,81729,=+=+=+换一种写法，就是1899,27189,...,81729.-=-=-=如果用{}n a 表示数列1，那么有2132989,9,...,9.a a a a a a -=-=-= 这表明，数列1有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 师生活动：学生独立思考、讨论交流．设计意图：引导学生思考、寻找一列数的规律性，同时认识到运算对于发现规律的作用.（二）知识的理解问题2：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.由三个数,,a A b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A 叫做,a b 的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A a b =+.师生活动：学生独立思考、讨论交流．设计意图：引导学生思考、推导等差数列的通项公式，等差中项等概念.探究：能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？设一个等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为.d 根据等差数列的定义，可得1,n n a a d +-=所以 213243,,,...a a d a a d a a d -=-=-=于是 ()()2132114311,2,23,a a d a a d a d d a d a a d a d d a d =+=+=++=+=+=++=+归纳可得 ()()112n a a n d n =+-≥.当1n =时，上式为()11111.a a d a =+-=这就是说，上式当1n =时也成立.4因此，首项为为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的通项公式为()11n a a n d =+-思考：等差数列的通项公式，与我们熟悉的哪类函数有关？由于()()111,n a a n d dn a d =+-=+-所以0d ≠时，等差数列{}n a 的第n 项n a 是一次函数()()1,f x dx a d =+-当x n =时的函数值，即().n a f n =如图，在平面直角坐标系中画出函数()()1f x dx a d =+-的图象，就得到一条斜率为d ，截距为1a d -的直线.在这条直线上描出点()()()()()()1,1,2,2,...,,,...,f f n f n ，就得到了等差数列{}n a 的图象.事实上，公差0d ≠的等差数列{}n a 的图象是点 (),n n a 组成的集合，这些点均匀分布在直线()()1f x dx a d =+-上. 反之，任给一次函数()f x kx b =+，,k b 为常数，则()()()1,22,...,,...f k b f k b f n nk b =+=+=+构成一个等差数列{}nk b +，其首项为()k b +，公差为k .（三）概念的巩固应用例1 (1) 已知等差数列{}n a 的通项公式为52,n a n =-求{}n a 的公差和首项；(2) 求等差数列8,5,2，...的第20项.分析：(1) 已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由1n n a a d --=即可求出公差d ；(2) 可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项.解：(1) 当2n ≥时，由{}n a 的通项公式52,n a n =-可得()152172n a n n -=--=-于是 ()()152722n n d a a n n -=-=---=-，把1n =代入通项公式52,n a n =-得 1521 3.a =-⨯=所以，{}n a 的公差为2-，首项为3.5(2) 由已知条件，得583d =-=-，将首项及公差代入通项公式得：()831113n a n n =--=-，将20n =代入上式子，得2049a =-.所以，这个数列的第20项是49-.师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范．设计意图：等差数列通项公式的应用，可以利用公式求出基本量或数列中的某一项.例2 401-是不是等差数列5,9,13,...---的项？如果是，是第几项？分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n 的方程，再看401-是否能使这个方程有正整数解. 解：由()15,954,a d =-=---=-得到这个数列的通项公式为()5414 1.n a n n =---=--令41=401,n ---解关于n 的方程，得=100.n所以，401-是这个数列的项，是第100项.师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范．设计意图：提升公式逆向使用的能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养..练习：教科书第15页2,3；第17页练习1,3,4．师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．设计意图：通过练习巩固本节所学知识，发展学生的数学运算、逻辑推理的核心素养.（四）归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：1. 等差数列的概念.2. 等差数列的通项公式.6设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结. 布置作业：课本18页练习题2,5五、目标检测设计1．已知在等差数列{}n a 中48720,12.a a a +==求4a .答案为：4 6.a =设计意图：考查学生对等差数列性质的掌握.2. 在7和21中插入3个数，使得5个数成等差数列. 答案为：10.5,14,17.5设计意图：考查学生对等差数列的概念及通项公式的掌握.。

4.2.1等差数列的概念(第1课时)(人教A版2019选择性必修第二册)

7, a5
8, d
a5 a1 51
15 , 4
利用等差数列性质知a1
a5
2a3 , 解得：a3
1 2
,
又a7
a3
2a5 , 解得：a7
2a5
a3
16
1 2
31 . 2
3.已知{an }是一个等差数列, 请在下表中的空格处填入适当的数.
a1
a3
a5
a7
d
1 7
2
31
15
8
2
4
15
2
11
24 6.5
环节二：观察分析，感知概念
请看下面几个问题中的数列． 1．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81． ①
2．S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是 38，40，42，44，46，48． ②
(1)由82 95 69 82 56 69 43 56 30 43 13,即该数列从第二项起, 每一项与前一项之差为同一个常数 13, 所以由等差数列的定义知该数列为等差数列, 公差为 13;
(2) 通过观察可知,1.1 1 0.1,1.11 1.1 0.01, , 该数列从第二项起, 每一项与前一项之差不是同一个常数 , 所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列;
f (x)
f ( x) dx (a1 d )
事实上, 公差d 0的等差数列{an }的图象 a6
是点(n, an )组成的集合, 这些点均匀分布 a5
在直线f ( x) dx (a1 d )上.
a4

第1课时等差数列的概念与通项公式课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册

1
a n与a n 1，a n 1 之间有怎样的关系？
探索发现
数列 1，4，7，10，…中，a100 ? a n ?
100 = 1 + 99 × 3 = 298
= 1 + ( − 1) × 3 = 3 − 2
探索发现
如果一个数列 a1 , a2 , a3 ,…, an , …
a20 8 ( 20 1) ( 3) 49
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是
第几项？
解： a1 5, d 9 (5) 4, an 401,
则有 401 5 (n 1) (4)
解得 n 100
书面作业：教材P15 1-5
预习：P16-P17
写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。小结：判断一
（1） 1，4，7，10；是 a =1,d=3
个数列是不是
1
（2）a n
3；
（3）-8，-6，-4，
是 a1=3,d=0
是 a1=-8,d=2
（4）15，12，10，8，6
不是
等差数列，主
要是由定义进
行判断：
即 an-an-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是不
是同一个常数？
an an1 d
n N ,n 2
*
问题3：刚才引题中四个数列的公差分别是什么？
发现新知
形成概念
d=2
（1） 1，3，5，（7），9 ；
d=-3
（2） 15，12，（9），6，3 ；
d=5
（3） 48，53，58,（63），68；
d=0
（4） 8，（8），8，8，8 .