人教版2021中考数学总复习 第26讲 与圆有关的计算
(5)正多边形的每一内角：
(6)正多边形的外角和：任意多边形的外角和等于360°.
考点突破 考点一： 扇形的弧长和面积计算(5年5考) 1. (2020·宁波）如图1-26-2，折扇的骨柄长为27 cm，折扇 张开的角度为120°，图中A⌒B的长为_1_8_π__cm（结果保留π）．
2. (2020·福建）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这 个扇形的面积为__4_π_____．（结果保留π）
8.（2020·遂宁）如图1-26-6，在Rt△ABC中，∠C=90°， Aபைடு நூலகம்=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E ，若CD= 则图中阴影部分面积为（ B ）
9.(2020·广东）如图1-26-7，从一块半径为1m的圆形铁皮上
剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成
C组
17.（2020·襄阳）如图1-26-13，AB是 ⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且⌒EC=⌒BC， 连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长 线于点D． （1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说 明理由； （2）若AB=4，CD= 求图中阴影部分的 面积.
（1）证明：如答图1-26-1，连接OC. ∵E⌒C=⌒BC，∴∠CAD=∠BAC. ∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO.∴∠CAD=∠ACO.∴AD∥OC. ∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线.
人教版2021中考数学总复习
第26讲 与圆有关的计算
知识梳理
1. 弧长计算：如果弧长为l，圆心角为n°，圆的半径为R，
那么弧长的计算公式为l=
.
________
2. 扇形面积计算:
(1)由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做
扇形.
(2)若扇形的圆心角为n°，所在圆的半径为R，弧长为l，面积
C．90°
D．120°
14.(2020·呼和浩特）如图1-26-10，在△ABC中，D为BC的中点 ，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A=60°， ∠ABC=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为________.
B组
15.（2020·嘉兴）如图1-26-11，在半径为 的圆形纸片中，
3.（2020·西藏）如图1-26-3，AB为半圆O的直径，C为半圆上 的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E．若AB=8 ，∠CAB=30°，则图中阴影部分的面积为（ D ）
考点二：
圆锥体的有关计算（5年2考）
4.(2020·新疆）如图1-26-4，⊙O的半径是2，扇形BAC的圆心 角为60°．若将扇形BAC剪下围成一个圆锥，则此圆锥的底面 圆的半径为________.
∴∠BOE=120°.
∵E⌒C=⌒BC，∴∠COE=∠BOC=60°. 连接CE，∵OE=OC，∴△COE是等边三角形. ∴∠ECO=∠BOC=60°.∴CE∥AB.∴S△ACE=S△COE. ∵∠OCD=90°，∠OCE=60°，
∴∠DCE=30°.∴DE= CD=1.∴AD=3. ∴图中阴影部分的面积为S△ACD－S扇形COE=
续表 4. 阴影面积的求法： (1)规则图形：按规则图形的面积公式求. (2)不规则图形：采用“转化”的数学思想方法，把不规则图形 的面积采用“割补法”“等积变形法”“平移法”“旋转法” 等转化为规则图形的面积.
续表 5. 正多边形与圆(如图1-26-1): (1)正多边形的中心:点O. (2)正多边形的边心距：___O_H____. (3)正多边形的半径：____O_A_(_或__O_F_,_O_B_)____. (4)正多边形的中心角：_∠__A_O_B_(_或__∠__F_O_A_)__.
一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为
m．
________
10.(2020·绥化）如图1-26-8，正五边形ABCDE内接于⊙O，点 P为⌒DE上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC,PD，DG⊥PC
，垂足为G，则∠PDG等于__5_4_____度．
分层训练 A组 11. (2020·温州）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇 形的弧长为________.
为S扇形，则S扇形=
或
.
______________ ______________
续表
3. 圆锥与圆柱的有关计算： (1)圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面周 长c，宽是圆柱的母线长(或高)l，如果圆柱的底面半径是r，则 S圆柱侧＝cl＝2πrl. (2)圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面 周长c，扇形的半径等于圆锥的母线长l. 若圆锥的底面半径为 r，这个扇形的圆心角为α，则α＝ ·360°，S圆锥侧＝ cl＝ __π__r_l___，S圆锥全＝_π__r_l_＋__π__r_2___.
（2）解：如答图1-26-1，连接OE，连接BE交OC于点F. ∵E⌒C=B⌒C，∴OC⊥BE，BF=EF.∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°.
∴∠FED=∠D=∠EFC=90°.∴四边形DEFC是矩形.
∴EF=CD= ∴BE=2
∴AE=
=2.
∴AE= AB.∴∠ABE=30°.∴∠AOE=60°.
考点三： 正多边形与圆(5年未考)
5. (2020·扬州）如图1-26-5，工人师傅用扳手拧形状为正六 边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b=3 cm，则螺帽的边长 a=________cm．
变式诊断 6.(2020·金昌）若一个扇形的圆心角为60°，面积为 cm2， 则这个扇形的弧长为________cm（结果保留π）． 7.(2020·呼伦贝尔）若一个扇形的弧长是2πcm，面积是 6πcm2，则扇形的圆心角是___6_0____度．
12.（2020·苏州）如图1-26-9，在扇形OAB中，已知∠AOB=90° ，OA= ⌒过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D,E，则 图中阴影部分的面积为（ B ）
13. （2019·无锡）已知一个扇形的半径为6，弧长为2π，则这
个扇形的圆心角为( B )
A．30°
B．60°
剪一个圆心角为90°的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的
面积为__π______；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头
），则圆锥底面半径为
.
________
16. (2020·株洲）一个蜘蛛网如图126-12所示，若多边形ABCDEFGHI为正九 边形，其中心点为点O，点M、N分别在 射线OA、OC上，则∠MON=__8__0____度．
最新人教版中考数学复习知识点梳理——第26课时 与圆有关的计算
考点3 圆锥的有关计算(5年2考） 典型例题
1. （2020新疆）如图6-26-4，⊙O的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°， 若将扇形BAC剪下转成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为____—33____.
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2. （2020永州）已知圆锥的底面周长是π—2 dm，母线长为1 dm，则圆锥 的侧面积是____π—4____dm2.
弧长）.
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续表
9. 计算弧长与扇形面积的有关要点 （1）在弧长计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不 方 要带单位. 法 （2）若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长. 规 （3）题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示. 律 （4）正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念:度数相等的弧，弧长 不一定相等;弧长相等的弧不一定是等弧;只有在同圆或等圆中，才 有等弧的概念，才是三者的统一.
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考点点拨： 本考点是广东中考的高频考点，题型一般为填空题或选择题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握弧长的计算公式.注意以下要点： 求每一条弧长的时候找准该弧长所对的圆心角并确定其度数，然后确定 半径的长度，再利用公式即可求出.
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考点2 扇形的面积计算(5年2考） 典型例题
1. （2020湘潭）如图6-26-3，在半径为6的⊙O中，圆心角∠AOB=60°， 则阴影部分的面积为___6_π____.
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2. （2020哈尔滨）一个扇形的面积是13π cm2，半径是6 cm，则此扇形 的圆心角是___1_3_0___度.
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考点演练 3. （2020呼伦贝尔）若一个扇形的弧长是2π cm，面积是6π cm2，则扇 形的圆心角是___6_0____度.
2021届中考人教版数学考前热点冲刺指导课件：《第26讲与圆有关的位置关系》
位置关系》
2020/9/13
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 点和圆的位置关系
第26讲┃ 与圆有关的位置关系
第26讲┃ 与圆有关的位置关系
第26讲┃ 与圆有关的位置关系
第26讲┃ 与圆Βιβλιοθήκη 关的位置关系考点2 直线和圆的位置关系
第26讲┃ 与圆有关的位置关系
考点4 切线长定理及三角形内切圆
第26讲┃ 与圆有关的位置关系
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考点5 圆和圆的位置关系
第26讲┃ 与圆有关的位置关系
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┃考向互动探究与方法归纳┃ ┃典型分析┃
第26讲┃ 与圆有关的位置关系
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考点3 切线的判定和性质
第26讲┃ 与圆有关的位置关系
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第26讲┃ 与圆有关的位置关系
第26讲┃ 与圆有关的位置关系
2021中考数学真题分类专题26 圆的有关计算(共52题含解析)
专题26圆的有关计算（共52题）一、单选题1．（2021·四川广元市·中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90︒的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A ．4πBC ．12D ．12．（2021·浙江衢州市·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（ ） A ．32π B ．3π C ．5π D ．15π3．（2021·四川广安市·中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A 地走到B 地有观赏路（劣弧AB ）和便民路（线段AB ）.已知A 、B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，小强从A 走到B ，走便民路比走观赏路少走（ ）米.A ．6π-B ．6π-C ．12π-D ．12π-4．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的△O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF △AC ，垂足为点F ，若△O 的半径为△CDF =15°， 则阴影部分的面积为（ ）A ．16π-B ．16π-C ．20π-D ．20π-5．（2021·浙江中考真题）如图，已知在矩形ABCD 中，1,AB BC ==P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为1C ，当点P 运动时，点1C 也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段1CC 扫过的区域的面积是（ ）A ．πB ．4π+C ．2D ．2π6．（2021·山东枣庄市·中考真题）如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点．以C 为圆心，2为半径作圆弧BD ，再分别以E 、F 为圆心，1为半径作圆弧BO 、OD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π﹣1B ．π﹣2C ．π﹣3D ．4﹣π7．（2021·青海中考真题）如图，一根5米长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只羊A （羊在草地上活动），那么羊在草地上的最大活动区域面积是（ ）平方米．A ．17π12B ．17π6C ．25π4D ．77π128．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60D ∠=︒，2AB =，以B 为圆心、BC 长为半径画AC ，点P 为菱形内一点，连接PA ，PB ，PC ．当BPC △为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）A ．2132π-B ．2132π-C ．2πD ．122π- 9．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，AE 是以BC 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．32π+B ．2π-C ．1D ．52π- 10．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，线段10AB =，点C 、D 在AB 上，1AC BD ==．已知点P 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB 向点D 移动，到达点D 后停止移动，在点P 移动过程中作如下操作：先以点P 为圆心，PA 、PB 的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点P 的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为S ．则S 关于t 的函数图像大致是（ ）A．B．C．D．11．（2021·山东东营市·中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（）A．214°B．215°C．216°D．217°12．（2021·四川成都市·中考真题）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π13．（2021·云南中考真题）如图，等边ABC 的三个顶点都在O 上，AD 是O 的直径．若3OA =，则劣弧BD 的长是（ ）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π14．（2021·湖北中考真题）用半径为30cm ，圆心角为120︒的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm15．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD 的面积为S ，黑色部分面积为1S ，则1:S S 的比值为（ ）A ．8πB ．4πC ．14D ．1216．（2021·河北中考真题）如图，点O 为正六边形ABCDEF 对角线FD 上一点，8AFO S =△，2CDO S =△，则ABCDEF S 正六边形的值是（ ）A ．20B ．30C ．40D ．随点O 位置而变化二、填空题 17．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）边长为4cm 的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______． 18．（2021·上海中考真题）六个带30角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．19．（2021·江西中考真题）如图，在边长为ABCDEF 中，连接BE ，CF ，其中点M ，N 分别为BE 和CF 上的动点，若以M ，N ，D 为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为______．20．（2021·重庆中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线12AC =，16BD =，分别以点A ，B ，C ，D 为圆心，12AB 的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留π）21．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转120︒得到''A B C ．已知3,2AC BC ==，则线段AB 扫过的图形（阴影部分）的面积为__________________．22．（2021·浙江温州市·中考真题）若扇形的圆心角为30，半径为17，则扇形的弧长为______． 23．（2021·山东泰安市·中考真题）若ABC 为直角三角形，4AC BC ==，以BC 为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为________．24．（2021·山东聊城市·中考真题）用一块弧长16πcm 的扇形铁片，做一个高为6cm 的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm 225．（2021·四川资阳市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，2cm,AB AD ==，以点B 为圆心，AB长为半径画弧，交CD 于点E ，则图中阴影部分的面积为_______2cm ．26．（2021·江苏宿迁市·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．27．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，BC =，将ABC 绕点A 逆时针旋转角α（0180α︒<<︒）得到AB C ''△，并使点C '落在AB 边上，则点B 所经过的路径长为______．（结果保留π）28．（2021·湖南中考真题）如图，方老师用一张半径为18cm 的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是10cm ，那么这张扇形纸板的面积是________2cm （结果用含π的式子表示）．29．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在ABC ∆中，30BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，2AB =，点P 从点A 出发沿AB 方向运动，到达点B 时停止运动，连结CP ，点A 关于直线CP 的对称点为'A ，连接A ′C ，'A P ．在运动过程中，点'A 到直线AB 距离的最大值是_______；点P 到达点B 时，线段'A P 扫过的面积为___________．30．（2021·湖南衡阳市·中考真题）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为__________．（结果保留π） 31．（2021·重庆中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，分别以点A ，C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB ，CD 于点E ，F ．若BD ＝4，△CAB ＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．32．（2021·浙江宁波市·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，延长,AC BD 交于点P ．若120P ∠=︒，O 的半径为6cm ，则图中CD 的长为________cm ．（结果保留π）33．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，从一块直径为4dm 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90︒的扇形，则此扇形的面积为_____2dm ．34．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，得到线段AC ．若AB ＝12，则点B 经过的路径BC 长度为_____．（结果保留π）35．（2021·江苏无锡市·中考真题）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．36．（2021·广东中考真题）如图，等腰直角三角形ABC 中，90,4A BC ∠=︒=．分别以点B 、点C 为圆心，线段BC 长的一半为半径作圆弧，交AB 、BC 、AC 于点D 、E 、F ，则图中阴影部分的面积为____．37．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）若一个圆锥的底面半径为1cm ，它的侧面展开图的圆心角为90︒，则这个圆锥的母线长为____ cm ．38．（2021·湖南怀化市·中考真题）如图，在O 中，3OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留π）39．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC 于点E ，以C 为圆心、BC 长为半径画弧交AC 于点F ，则图中阴影部分的面积是_________．40．（2021·湖南岳阳市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，8BE =，O 为BCE 的外接圆，过点E 作O 的切线EF 交AB 于点F ，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号） △AE BE =；△AED CBD ∠=∠；△若40DBE ∠=︒，则DE 的长为89π；△DF EF EF BF =；△若6EF =，则 2.24CE =．41．（2021·吉林长春市·中考真题）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA 的长度为200米，圆心角90AOB ∠=︒，则这段铁轨的长度_____米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）42．（2021·湖北宜昌市·中考真题）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为____________平方厘米．（圆周率用π表示）三、解答题43．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．44．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在ABC 中，AC BC =，以BC 为直径的半圆O 交AB 于点D ，过点D 作半圆O 的切线，交AC 于点E ．（1）求证：2ACB ADE ∠=∠；（2）若3,DE AE ==CD 的长．45．（2021·湖北随州市·中考真题）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；（2）△如图1，P 是边长为a 的正ABC 内任意一点，点O 为ABC 的中心，设点P 到ABC 各边距离分别为1h ，2h ，3h ，连接AP ，BP ，CP ，由等面积法，易知()123123ABC OAB h h h S a S ++==△△，可得123h h h ++=_____；（结果用含a 的式子表示）△如图2，P 是边长为a 的正五边形ABCDE 内任意一点，设点P 到五边形ABCDE 各边距离分别为1h ，2h ，3h ，4h ，5h ，参照△的探索过程，试用含a 的式子表示12345h h h h h ++++的值．（参考数据：8tan 3611≈°，11tan 548≈°）（3）△如图3，已知O 的半径为2，点A 为O 外一点，4OA =，AB 切O 于点B ，弦//BC OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留π）△如图4，现有六边形花坛ABCDEF ，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形ABCDG ，其中点G 在AF 的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G 的位置，并说明理由．46．（2021·浙江金华市·中考真题）在扇形AOB 中，半径6OA =，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP 沿PB 折叠得到O BP '．（1）如图1，若75O ∠=︒，且BO '与AB 所在的圆相切于点B ．△求APO ∠'的度数． △求AP 的长．（2）如图2，BO '与AB 相交于点D ，若点D 为AB 的中点，且//PD OB ，求AB 的长．47．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，在Rt AOB 中，90∠=︒ABO ，30OAB ∠=︒，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交BO 的延长线于点C ，过点C 作OA 的平行线，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若2OB =，求弧CD 的长．48．（2021·四川达州市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点（C 不与点A ，B 重合）连接AC ，BC ，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ．将ACD ∆沿AC 翻折，点D 落在点E 处得ACE ∆，AE 交O 于点F ．（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若15BAC ∠=︒，2OA =，求阴影部分面积．49．（2021·湖南邵阳市·中考真题）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED 与母线AD 长之比为1:2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB AC =，AD BC ⊥．将扇形AEF 围成圆锥时，AE ，AF 恰好重合． （1）求这种加工材料的顶角BAC ∠的大小（2）若圆锥底面圆的直径ED 为5cm ，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）50．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，O 与BC ，AC 分别相切于点E ，F ，BO 平分ABC ∠，连接OA ．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若3BE AC ==，O 的半径是1，求图中阴影部分的面积．51．（2021·山东菏泽市·中考真题）在矩形ABCD 中，BC =，点E ，F 分别是边AD 、BC 上的动点，且AE CF =，连接EF ，将矩形ABCD 沿EF 折叠，点C 落在点G 处，点D 落在点H 处．（1）如图1，当EH 与线段BC 交于点P 时，求证：PE PF =；（2）如图2，当点P 在线段CB 的延长线上时，GH 交AB 于点M ，求证：点M 在线段EF 的垂直平分线上；（3）当5AB =时，在点E 由点A 移动到AD 中点的过程中，计算出点G 运动的路线长．52．（2021·江苏南京市·中考真题）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？π．在（1）如图△，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，AC的长为4cm图△所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．（2）图△中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．△蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．=．圆柱的侧面展开图如图△所示，在图中画出蚂蚁从点A △设AD的长为a，点B在母线OC上，OB b爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】 专题26圆的有关计算 试题解析（共52题）一、单选题1．（2021·四川广元市·中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90︒的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A ．4πB C ．12D ．1【答案】B 【分析】先计算BC 的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于BC 的长度，根据公式计算即可． 【详解】 解：如下图：连接BC ，AO ， △90BAC ∠=， △BC 是直径，且BC=2， 又△AB AC =，△45ABC ACB ∠=∠=，,AO BC ⊥又△sin 45OA AB ︒=，112OA BC == ，△ 1sin 45OA AB ===︒△BC 的长度为：901802π⨯，△， 设圆锥的底面圆的半径为r ，则：22r π=，△1=224r π=⨯ 故选：B 【点睛】本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件计算出扇形的半径是解题的关键．2．（2021·浙江衢州市·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（ ） A ．32π B ．3π C ．5π D ．15π【答案】D 【分析】已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式2360n R S π=直接计算即可．【详解】解：2150615360S ππ⨯==．故选：D 【点睛】本题考查扇形面积公式的知识点，熟知扇形面积公式及适用条件是解题的关键．3．（2021·四川广安市·中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A 地走到B 地有观赏路（劣弧AB ）和便民路（线段AB ）.已知A 、B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，小强从A 走到B ，走便民路比走观赏路少走（ ）米.A ．6π-B ．6π-C ．12π-D ．12π-【答案】D 【分析】作OC △AB 于C ，如图，根据垂径定理得到AC =BC ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出△A ，从而得到OC 和AC ，可得AB ，然后利用弧长公式计算出AB 的长，最后求它们的差即可． 【详解】解：作OC △AB 于C ，如图， 则AC =BC ， △OA =OB ，△△A =△B =12（180°-△AOB ）=30°， 在Rt △AOC 中，OC =12OA =9，AC =△AB =2AC = 又△12018180AB π⨯⨯==12π，△走便民路比走观赏路少走12π-米， 故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．4．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的△O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF△AC，垂足为点F，若△O的半径为△CDF=15°，则阴影部分的面积为（）A．16π-B．16π-C．20π-D．20π-【答案】A【分析】连接AD，连接OE，根据圆周角定理得到△ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到△BAC=2△DAC=2×15°=30°，求得△AOE=120°，过O作OH△AE于H，解直角三角形得到OH，AH=6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接AD，连接OE，△AB是直径，△△ADB=90°，△AD△BC，△△ADB=△ADC=90°，△DF△AC，△△DFC=△DF A=90°，△△DAC=△CDF=15°，△AB=AC，D是BC中点，△△BAC=2△DAC=2×15°=30°，△OA=OE，△△AOE=120°，过O作OH△AE于H，△AO，△OH=12 AO△AHOH=6，△AE=2AH=12，△S阴影=S扇形AOE-S△AOE=(21201123602π⨯-⨯⨯16π=-故选：A．【点睛】本题主要考查了扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，数形结合是解答此题的关键．5．（2021·浙江中考真题）如图，已知在矩形ABCD中，1,AB BC==P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为1C，当点P运动时，点1C也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段1CC扫过的区域的面积是（）A．πB．π+C D．2π【答案】B【分析】先判断出点Q在以BC为直径的圆弧上运动，再判断出点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，找到当点P与点A重合时，点P与点D重合时，点C1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可．【详解】解：设BP与CC1相交于Q，则△BQC=90°，△当点P在线段AD运动时，点Q在以BC为直径的圆弧上运动，延长CB到E，使BE=BC，连接EC，△C、C1关于PB对称，△△EC1C=△BQC=90°，△点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，当点P与点A重合时，点C1与点E重合，当点P与点D重合时，点C1与点F重合，此时，tanPC AB PBC BC BC ∠====， △△PBC =30°，△△FBP =△PBC =30°，CQ =12BC =，BQ 32=，△△FBE =180°-30°-30°=120°，11322BCFS CC BQ =⨯==线段1CC 扫过的区域的面积是21203604BCF S ππ⨯+=+． 故选：B ．【点睛】 本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、三角函数以及扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键．6．（2021·山东枣庄市·中考真题）如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点．以C 为圆心，2为半径作圆弧BD ，再分别以E 、F 为圆心，1为半径作圆弧BO 、OD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π﹣1B ．π﹣2C ．π﹣3D ．4﹣π【答案】B【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆（扇形）的面积减去以1为半径的半圆（扇形）的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆（扇形）的面积，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，阴影部分的面积是：14•π×22﹣2112π⋅⨯﹣2（1×1﹣14•π×12）＝π﹣2，故选：B．【点睛】本题主要考查运用正方形的性质，圆的面积公式（或扇形的面积公式），正方形的面积公式计算不规则几何图形的面积，解题的关键是理解题意，观察图形，合理分割，转化为规则图形的面积和差进行计算．7．（2021·青海中考真题）如图，一根5米长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只羊A（羊在草地上活动），那么羊在草地上的最大活动区域面积是（）平方米．A．17π12B．17π6C．25π4D．77π12【答案】D【分析】根据题意，画出这只羊在草地上的最大活动区域，然后根据扇形的面积公式计算即可．【详解】解：如图所示：这只羊在草地上的最大活动区域为两个扇形，其中大扇形的半径为5米，圆心角为90°；小扇形的半径为5－4=1米，圆心角为180°－120°=60°羊在草地上的最大活动区域面积=2290π560π1360360⨯⨯+=77π12（平方米）故选D．【点睛】此题考查的是扇形的面积公式的应用，掌握扇形的面积公式是解决此题的关键．8．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60D ∠=︒，2AB =，以B 为圆心、BC 长为半径画AC ，点P 为菱形内一点，连接PA ，PB ，PC ．当BPC △为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）A ．23πB ．23π-C ．2πD ．2π 【答案】A【分析】以点B 为原点，BC 边所在直线为x 轴，以过点B 且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，判断出90PBC ∠<︒，再根据△BCP =90°和△BPC =90°两种情况判断出点P 的位置，启动改革免费进行求解即可．【详解】解：以点B 为原点，BC 边所在直线为x 轴，以过点B 且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，△△BPC 为等腰直角三角形，且点P 在菱形ABCD 的内部，很显然，90PBC ∠<︒△若△BCP =90°，则CP =BC =2这C 作CE △AD ,交AD 于点E ，△四边形ABCD 是菱形△AB =BC =CD =DA =2，△D =△ABC =60°△CE =CDsin △D =22=< △点P 在菱形ABCD 的外部，△与题设相矛盾，故此种情况不存在；△△BPC =90°过P 作PF △BC 交BC 于点F ，△△BPC 是等腰直角三角形，△PF =BF =12BC =1 △P (1,1)，F (1,0)过点A 作AG △BC 于点G ，在Rt △ABG 中，△ABG =60°△△BAG =30°△BG =112AB =，AG =△A ，(1,0)G△点F 与点G 重合△点A 、P 、F 三点共线△1AP AF PF =-=△111)2ABP S ∆=⨯⨯= 12112BPC S ∆=⨯⨯= 26022=3603BAC S ππ⨯=扇形△2121=13232ABP BPC BAC S S S S ππ∆∆--=--=-阴影扇形 故选：A ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及求不规则图形的面积等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键．9．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（）A．32π+B．2π-C．1D．52π-【答案】D【分析】取BC的中点O，设AE与△O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，由题意可得OB=OC=OA=1，△OF A=△OFE=90°，由切线长定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．【详解】解：取BC的中点O，设AE与△O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：△四边形ABCD是正方形，且边长为2，△BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，△AE是以BC为直径的半圆的切线，△OB=OC=OF=1，△OF A=△OFE=90°，△AB=AF=2，CE=CF，△OA=OA，△Rt △ABO △Rt △AFO （HL ），同理可证△OCE △△OFE ，△,AOB AOF COE FOE ∠=∠∠=∠，△90AOB COE AOB BAO ∠+∠=︒=∠+∠，△COE BAO ∠=∠，△ABO OCE ∽， △OC CE AB OB=， △12CE =， △15222222ABO OCE ABCE S S S SS S ππ-=-=+-=+-=阴影半圆半圆四边形； 故选D ．【点睛】本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．10．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，线段10AB =，点C 、D 在AB 上，1AC BD ==．已知点P 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB 向点D 移动，到达点D 后停止移动，在点P 移动过程中作如下操作：先以点P 为圆心，PA 、PB 的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点P 的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为S ．则S 关于t 的函数图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由题意，先求出1PA t =+，9PB t =-，然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数表达式，然后进行判断即可．【详解】解：根据题意，△10AB =，1AC BD ==，且已知点P 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB 向点D 移动，到达点D 后停止移动，则08t ≤≤，△1PA t =+，△10(1)9PB t t =-+=-，由PA 的长为半径的扇形的弧长为：60(1)(1)1803t t =ππ++ △用PA 的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为16t + △其底面的面积为()2136t π+ 由PB 的长为半径的扇形的弧长为：60(9)(9)1803-t t =ππ- △用PB 的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为96-t△其底面的面积为()2936-t π △两者的面积和()222(1)(9)1841363618t t S =t t πππ+-=+-+ △图像为开后向上的抛物线，且当4t =时有最小值；故选：D ．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式．11．（2021·山东东营市·中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ）A ．214°B ．215°C ．216°D ．217°【答案】C【分析】 由已知求得圆锥母线长及圆锥侧面展开图所对的弧长，再由弧长公式求解圆心角的度数．【详解】解：由圆锥的高为4，底面直径为6，可得母线长5l ==，圆锥的底面周长为：6=6ππ⨯，设圆心角的度数为n ， 则π56π180n ⨯=， 解得：216n =，故圆心角度数为：216︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题．12．（2021·四川成都市·中考真题）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π【答案】D【分析】根据正多边形内角和公式求出△F AB，利用扇形面积公式求出扇形AB F的面积计算即可．【详解】解：△六边形ABCDEF是正六边形，△△F AB=()621801206-⨯︒=︒，AB=6，△扇形ABF的面积=2120612360，故选择D．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握多边形内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．13．（2021·云南中考真题）如图，等边ABC的三个顶点都在O上，AD是O的直径．若3OA=，则劣弧BD的长是（）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π【答案】B【分析】连接OB ，OC ，根据圆周角定理得到△BOC =2△BAC ，证明△AOB △△AOC ，得到△BAO =△CAO =30°，得到△BOD ，再利用弧长公式计算．【详解】解：连接OB ，OC ，△△ABC 是等边三角形，△△BOC =2△BAC =120°，又△AB =AC ，OB =OC ，OA =OA ，△△AOB △△AOC （SSS ），△△BAO =△CAO =30°，△△BOD =60°，△劣弧BD 的长为603180π⨯⨯=π， 故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是求出圆心角△BOD 的度数． 14．（2021·湖北中考真题）用半径为30cm ，圆心角为120︒的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm【答案】B【分析】根据圆锥的侧面是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长即可得．【详解】解：设这个圆锥底面半径为cm r ， 由题意得：120302180ππ⨯=r ， 解得10(cm)r =，即这个圆锥底面半径为10cm ，故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图特点是解题关键．15．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD 的面积为S ，黑色部分面积为1S ，则1:S S 的比值为（ ）A ．8πB ．4πC ．14D ．12【答案】A【分析】根据题意，设正方形的边长为2a ，则圆的半径为a ，分别表示出黑色部分面积和正方形ABCD 的面积，进而即可求得1:S S 的比值．【详解】设正方形的边长为2a ，则圆的半径为a△24S a =，圆的面积为2a π△正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称△黑色部分面积为圆面积的一半△2112S a π=△2211::(4)28S S a a ππ==， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了阴影部分面积的求解，准确运用字母表示正方形面积和圆形面积并结合多边形内切圆性质、中心对称图形性质等相关知识点是解决本题的关键．16．（2021·河北中考真题）如图，点O 为正六边形ABCDEF 对角线FD 上一点，8AFO S =△，2CDO S =△，则ABCDEF S 正六边形的值是（ ）A ．20B ．30C ．40D ．随点O 位置而变化【答案】B【分析】 连接AC 、AD 、CF ，AD 与CF 交于点M ，可知M 是正六边形ABCDEF 的中心，根据矩形的性质求出5AFM S =△，再求出正六边形面积即可．【详解】解：连接AC 、AD 、CF ，AD 与CF 交于点M ，可知M 是正六边形ABCDEF 的中心，△多边形ABCDEF 是正六边形，△AB =BC ，△B =△BAF = 120°，△△BAC =30°，△△F AC =90°，同理，△DCA =△FDC =△DF A =90°，△四边形ACDF 是矩形，1+=102AFO CDO AFDC S S S =△△矩形，154AFM AFDC S S ==△矩形， =6=30AFM ABCDEF S S △正六边形，故选：B ．【点睛】本题考查了正六边形的性质，解题关键是连接对角线，根据正六边形的面积公式求解．二、填空题17．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）边长为4cm 的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______．【分析】依题意作出图形，找出直角三角形，它的外接圆与内切圆半径为直角三角形AOB 的两条边，根据三角函数值即可求出．【详解】如图：正六边形中，过O 作,BO AB ⊥1=(62)1801206CAB ∠-⨯︒=︒ Rt ABO 中，1=602OAB CAB ∠=∠︒,301∴∠=︒ 它的外接圆与内切圆半径的比值是1cos 132AO BO ===∠．。
中考数学总复习 第六单元 圆 第26课时 与圆有关的计算课件
2021/12/9
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课前双基巩固
对点演练(yǎn
liàn)
题组一 必会题
1.在半径为 6 的☉O 中,60°圆心角所对的弧长是 ( B )
A.π
B.2π
C.4π
D.6π
2.已知扇形的半径为 2,圆心角为 120°,则此扇形的面积为
π
A.
3
2π
B.
3
C.π
4π
D.
3
3.已知扇形的弧长为 2π,半径为 4,则此扇形的面积为 ( A )
A.4π
B.8π
C.6π
D.5π
2021/12/9
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( D )
课前双基巩固
4.如图 26-1,在 5×5 的正方形网格中,每个小正方形的边长都为 1,若将△ AOB 绕点 O 顺时针旋转 90°得到△ A'OB',
∠C=30°,CD=2 3.则 S 阴影=(
A.π
B.2π
2
C.
3
3
[答案] D
[解析] ∵CD⊥AB,CD=2 3,∴CE=DE=
)
1
2
2
D. π
3
CD= 3.在 Rt△ ACE 中,∠C=30°,则
AE=CEtan30°=1,在 Rt△ OED 中,∠DOE=
2∠C=60°,则 OD=
=2,∴OE=OA-AE
3
高频考向探究
[方法模型] 解决此类问题常见以下类型解法:
(1)弓形面积(割补法):如图 26-10①,将其补成扇形 AOB,再用 S 扇形 AOB-S△ AOB 得解.
初中数学中考复习——第26节：与圆有关的计算
解析：根据图示知，∠1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，
∴阴影部分的面积应为：S=
=．
数学
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考点突破
3. （2014广东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直 径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P 作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于点F，连接 PF． 若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长（结果保留π ）
上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆
弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积
是
（结果保留π ）．
解析：过点O作OD⊥BC于点D，交 于点E，连接OC，则点E是 的中点，由折叠的性质可得点O为 的中点， ∴S弓形BO=S弓形CO， 在Rt△BOD中，OD=DE= R=2，OB=R=4， ∴∠OBD=30°， ∴∠AOC=60°，
为
cm2．
解析：半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积
为：
（cm2）．
数学
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课前预习
3. （2014济宁）如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么
这个圆锥的侧面积为（ B ）
A．10cm2
B．10π cm2 C．20cm2
D．20π cm2
解析：圆锥的侧面积=2π×2×5÷2=10π．
CE，则阴影部分的面积是 3﹣ π
（结果保留π ）．
解析：过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD=2，AB=4，∠A=30°，
∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2，
2021年中考数学复习第26讲 几何作图(教学课件)
考点精讲
对对应应训训练练
5．(2020·安徽)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成 的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB、线 段MN在网格线上． (1)画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1(点A1， B1分别为A，B的对应点)； (2)将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线 段B1A2.
2．平移作图的基本步骤：确定平移方向和平移距离⇨找出原图 形的关键点⇨按平移方向和平移距离，平移各个关键点，得到各 关键点的对应点⇨按原图形依次连结得到的各关键点的对应点， 得到平移后的图形
考考点点精精讲讲
对应训练
3．旋转作图的基本步骤：确定旋转的方向和旋转的角度⇨找出 原图形的关键点⇨连结关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角 将它们旋转，得到各关键点的对应点⇨按原图形依次连结得到的 各关键点的对应点，得到旋转后的图形
AR，交 BC 于点 D.若 BC＝6，则 BD 的长为( B )
A．2
B．3
C．4
D．5
2．(2020·台州)如图，已知线段 AB，分别以 A，B 为圆心，
大于12 AB 同样的长为半径画弧，两弧交于点 C，D，连接 AC，
AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是 平分∠ACB
②分别以点 A，B 为圆心，大于12 AB 的长为半径作 弧相交于点 M，N，作直线 MN，交射线 AH 于点 O；
③以点 O 为圆心，线段 OA 长为半径作圆． 则⊙O 的半径为( D )
A．2 5 B．10 C．4 D．5
考 点 三 网格作图
考考点点精精讲讲
对应训练
1．对称作图的基本步骤：找出原图形的关键点⇨作出关键点关 于对称轴(或对称中心)的对应点⇨按照原图形依次连结得到的各 关键点的对应点，得到对称后的图形
2021年春人教版九年级数学中考知识点过关《圆的有关计算》
圆的有关计算1．如图，一段公路的转弯处是一段圆弧(AB ︵)，则AB ︵的展直长度为（ ）A ．3πB ．6πC ．9πD ．12π第1题 第2题2．(2020·达州)如图，在半径为5的⊙O 中，将劣弧AB沿弦AB 翻折，使折叠后的AB ︵恰好与OA ，OB 相切，则劣弧AB 的长为（ ）A.53πB.52πC.54π D.56π 3．(2020·云南)如图，正方形ABCD 的边长为4，以点A 为圆心，AD 为半径，画圆弧DE 得到扇形DAE (阴影部分，点E 在对角线AC 上)．若扇形DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ） A. 2 B ．1 C.22 D.12第3题第4题4．(2020·遂宁)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝2，则图中阴影部分面积为（）A．4－π2B．2－π2 C.2－π D．1－π45．在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为．6．已知圆锥的底面圆半径为3 cm，高为4 cm，则圆锥的表面积为cm2.7．(2020·玉林)如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD′E′F′处，此时边AD′与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是．8. (2020·通辽)中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6 cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t(s)．(1)求证：四边形PBQE为平行四边形；(2)求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．9．如图，AB为⊙O的直径，OE⊥BC，垂足为E，AB⊥CD，垂足为F.(1)求证：AD＝2OE；(2)若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求两阴影部分面积的和．能力提升10．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE.则图中阴影部分的面积是（）A ．63－43πB ．63－83π C ．123－43π D ．123－83π 第10题 第11题11．如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝4，以AD为直径的⊙O 交CD 于点E ，则DE ︵的长为（ ）A.π3B.2π3C.4π3D.7π612．如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，将Rt △ACB 绕点C 顺时针旋转90°后得到Rt △DCE ，点B 经过的路径为BE ︵，将线段AB 绕点A 顺时针旋转60°后，点B 恰好落在CE上的点F 处，点B 经过的路径为BF ︵，则图中阴影部分的面积是（ ）A.32＋π12B.32－π12C.34＋π12D.34－π1213．(2020·连云港)如图，正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6内部有一个正五边形B 1B 2B 3B 4B 5，且A 3A 4∥B 3B 4，直线l 经过B 2，B 3，则直线l 与A 1A 2的夹角α＝ 。
中考数学一轮复习 第六单元 圆 第26讲 与圆有关的计算课件
2
180 3
2021/12/9
第二十二页，共二十五页。
故选B. 答案 B
错解 A 错误(cuòwù)鉴定 在应用弧长公式时分母为180,误用成360.
2021/12/9
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如图,正方形ABCD内接于半径(bànjìng)为2的☉O,则图中阴影部分的面积为
( D)
A.π+1 C.π-1
2021/12/9
第26讲 与圆有关 的计算 (yǒuguān)
第一页，共二十五页。
夯基础·学易
考点(kǎo 一 diǎn) 圆的弧长的计算(5年2考) 1.半径为R的圆的周长C=①2πR.
2.若一条弧所对的圆心角为n°,半径为R,则弧长l=②
n R . 180
2021/12/9
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3
3
利用阴影(yīnyǐng)部分的面积=2S△AOSD-扇形进DOF行计算.
开放解答
2021/12/9
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解析 (1)证明(zhèngmíng):连接OD,作OF⊥AC于F,如图,
∵△ABC为等腰三角形,O是底边(dǐ biān)BC的中点, ∴AO⊥BC,AO平分∠BAC, ∵AB与☉O相切于点D,
1.半径为R的圆的面积S=③πR2.
2.圆心角为n°,半径为R的扇形的面积S=④
.n R 2
360
1
3.弧长为l,半径为R的扇形面积(miàn jī)S=⑤2
Rl.
4.圆与三角形,平行四边形,正多边形组成的图形中阴影部分面积的计算.
2021/12/9
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2.(2018·山东德州)如图,从一块直径为2 m的圆形铁皮上剪出一个(yī ɡè)圆心角为90
第26讲 与圆有关的计算 含答案
与圆有关的计算1. (18，河北)如图①，作∠BPC 平分线的反向延长线P A ，现要分别以∠APB ，∠APC ，∠BPC 为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC 为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC ＝90°，而90°2＝45°是360°(多边形外角和)的18，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图②所示． 第1题图 第2题图 第3题图图②中的图案外轮廓周长是 ；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是 .2. (2014，河北)如图，将长为8 cm 的铁丝首尾相接围成半径为2 cm 的扇形，则S 扇形＝ cm 2.3. (13，河北)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠C ＝30°，CD ＝23，则S 阴影为( )A. πB. 2πC. 233D. 2π34. (2010，河北)某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO ＝8 m ，母线AB 与底面圆的半径OB 的夹角为α，tan α＝43，则圆锥的底面积是 m 2. 第4题图例1题图训练1题图训练2题图扇形的弧长与面积例1 (2019，南充)如图，在半径为6的⊙O 中，点A ，B ，C 都在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( ) A. 6π B. 33π C. 23π D. 2π针对训练1 (2019，泰州)如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形的边长为6 cm ，则该莱洛三角形的周长为 cm.针对训练2 (2019，黄石)如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，O 是BC 上一点，经过C ，D 两点的⊙O 分别交AC ，BC 于点E ，F ，AD ＝3，∠ADC ＝60°，则劣弧»CD的长为（ ）. 圆锥的相关计算 例2 (19西藏)如图，从一张腰长为90 cm 、顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的底面圆的半径为( )例2题图 A. 15 cm B. 12 cm C. 10 cm D. 20 cm针对训练3 (2019，荆州)如图，C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将△OAC 沿AC 折叠，点O 恰好落在»AB 上的»BDl »AD l »BD l »BD的比为( )A. 1∶3 B. 1∶π C. 1∶4 D. 2∶9训练3图训练4图例3图训练5图针对训练4 (2019，宁波)如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为( )A. 3.5 cmB. 4 cmC. 4.5 cmD. 5 cm正多边形和圆例3 (19，宿迁)如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和(阴影部分面积)是( ) A. 63－π B. 63－2π C. 63＋π D. 63＋2π针对训练5 (2019，贵阳)如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草．若OA＝2，则四叶幸运草的周长是（）.针对训练6 (19海南)如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧»BD所对的圆心角∠BOD的度数为°.训练6题图第4题图1. (19温州)若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为( )A. 3π2 B. 2π C. 3π D. 6π2. (2019，湖州)已知圆锥的底面圆的半径为5 cm，母线长为13 cm，则这个圆锥的侧面积是( )A. 60πcm2B. 65πcm2C. 120πcm2D. 130πcm23. (2019，遵义)圆锥的底面圆的半径是5 cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是( )A. 5 3 cmB. 10 cmC. 6 cmD. 5 cm4. (2019，衢州)如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形，则原来的纸条宽为( )A. 1B. 2C. 3D. 25. (2019，资阳)如图，直径为2 cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为( )5题图第6题图7题图8题图A. 5πcm2 B. 6πcm2 C. 20πcm2 D. 24πcm26. (2019，泰安)如图，将⊙O沿弦AB折叠，»AB恰好经过圆心O.若⊙O的半径为3，则»AB的长为( )A. π2 B. π C. 2π D. 3π7. (2019，大庆)如图，在正方形ABCD中，边长AB＝1，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1，则线段CD扫过的面积为( )A. π4 B.π2 C. π D. 2πAC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( )A. π2 cm 2 B. 2π cm 2 C. 17π8 cm 2 D. 19π8cm 2 9. (2019，金华)如图所示的物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A ＝90°，∠ABC ＝105°.若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为( )A. 2 B. 3 C. 32D. 2 第9题图第10题图11题图 12题图10. (19山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝23，BC ＝2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( ) A.534－π2 B. 534＋π2 C. 23－π D. 43－π2 11 . (2019，临沂)如图，在⊙O 中，»AB ＝»AC ，∠ACB ＝75°，BC ＝2，则阴影部分的面积是( ) A. 2＋2π3 B. 2＋3＋2π3 C. 4＋2π3 D. 2＋4π312. (19雅安)如图，已知⊙O 的内接正六边形ABCDEF 的边心距OM ＝2，则该圆的内接正三角形ACE 的面积为( )A. 2B. 4C. 6 3D. 4 313. (2019，安顺)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若圆锥的底面圆的半径r ＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l 的长为 .13题图14题图15题图16题图17题图14. (2019，梧州)如图，已知半径为1的⊙O 上有三点A ，B ，C ，OC 与AB 相交于点D ，∠ADO ＝85°，∠CAB ＝20°，则阴影部分的扇形OAC 的面积是（ ）.15. (2019，重庆A)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2，分别以点A ，C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为（ ）.16. (2019，孝感)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S 1来近似估计⊙O 的面积S ，设⊙O 的半径为1，则S －S 1＝ .(π取3.14)17. (2019，南充)如图，以正方形ABCD 的AB 边为边向外作正六边形ABEFGH ，连接DH ，则∠ADH ＝ °.18. (2019，青岛)如图，五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，AF 是⊙O 的直径，则∠BDF 的度数是 °. 第18题图 第19题图19. (2019，邵阳)如图①，在等腰三角形ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 是∠BAC 的平分线，且AD ＝6，以点A 为圆心，AD 长为半径画»EF，交AB 于点E ，交AC 于点F .(1)求由»EF 及线段FC ，CB ，BE 围成图形(图中阴影部分)的面积； (2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF ，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，如图②，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h .20. (19，镇江)在三角形纸片ABC (如图①)中，∠BAC ＝78°，AC ＝10.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图②)． (1)∠ABC ＝30°；(2)求正五边形GHMNC 的边GC 的长．(参考数据：sin 78°≈0.98，cos 78°≈0.21，tan 78°≈4.7)第20题图21. (19，铜仁)如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，BE 是⊙O 的直径，连接BF ，延长BA ，过点F 作FG ⊥BA ，垂足为G . (1)求证：FG 是⊙O 的切线； (2)已知FG ＝23，求图中阴影部分的面积．第21题图1. (2019，宜昌)如图，O 是线段AH 上一点，AH ＝3，以点O 为圆心，OA 的长为半径作⊙O ，过点H 作AH 的垂线交⊙O 于C ，N 两点，点B 在线段CN 的延长线上，连接AB 交⊙O 于点M ，以AB ，BC 为边作▱ABCD .(1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若OH ＝13AH ，求四边形AHCD 与⊙O 重叠部分的面积； (3)若NH ＝13AH ，BN ＝54，连接MN ，求OH 和MN 的长． 第1题图2. (19，北京)在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，若»DE 上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称»DE为△ABC 的中内弧．例如，图①中»DE是△ABC 的一条中内弧． (1)如图②，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝22，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，画出△ABC 的最长的中内弧»DE，并直接写出此时»DE 的长； (2)在平面直角坐标系中，已知点A (0，2)，B (0，0)，C (4t ，0)(t ＞0)，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．①若t ＝12，求△ABC 的中内弧»DE 所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ②若在△ABC 中存在一条中内弧»DE ，使得»DE 所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．第2题图第26讲 与圆有关的计算1. (18，河北)如图①，作∠BPC 平分线的反向延长线P A ，现要分别以∠APB ，∠APC ，∠BPC 为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC 为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC ＝90°，而90°2＝45°是360°(多边形外角和)的18，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图②所示． 第1题图 第2题图 第3题图图②中的图案外轮廓周长是 14 ；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是 21 .【解析】 题图②中的图案外轮廓周长是6＋6＋2＝14.设∠BPC ＝2x ，则以∠BPC 为内角的正多边形的边数为360180－2x ＝18090－x ，以∠APB 为内角的正多边形的边数为360x .所以图案的外轮廓周长是18090－x－2＋360x －2＋360x －2＝18090－x ＋720x－6.根据题意，可知2x 的值只能为60，90，120，144.当x 越小时，周长越大．∴当x ＝30时，周长最大．把此时的图案定为会标，则会标的外轮廓周长是18090－30＋72030－6＝21. 2. (2014，河北)如图，将长为8 cm 的铁丝首尾相接围成半径为2 cm 的扇形，则S 扇形＝4 cm 2.【解析】 由题意，得弧长为8－2×2＝4(cm )，扇形的面积是12×4×2＝4(cm 2)． 3. (13，河北)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠C ＝30°，CD ＝23，则S 阴影为(D )A. πB. 2πC. 233D. 2π3 【解析】 ∵CD ⊥AB ，CD ＝23，∴CE ＝DE ＝12CD ＝ 3.在Rt △ACE 中，∵∠C ＝30°，∴AE ＝CE ·tan 30°＝1.在Rt △OED 中，∵∠DOE ＝2∠C ＝60°，∴OD ＝ED sin 60°＝2.∴OE ＝OA －AE ＝OD －AE ＝1.∴S 阴影＝S 扇形OAD －S △OED ＋S △ACE ＝60π×22360－12×1×3＋12×1×3＝2π3. 4. (2010，河北)某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO ＝8 m ，母线AB 与底面圆的半径OB 的夹角为α，tan α＝43，则圆锥的底面积是 36π m 2. 第4题图例1题图 例1答图【解析】 ∵AO ＝8，tan α＝AO BO ＝43，∴BO ＝6.∴圆锥的底面积是π·62＝36π(m 2)． 扇形的弧长与面积例1 (2019，南充)如图，在半径为6的⊙O 中，点A ，B ，C 都在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(A ) A. 6π B. 33π C. 23π D. 2π【解析】 如答图，连接OB.∵四边形OABC 是平行四边形，∴AB ＝OC.∴AB ＝OA ＝OB.∴△AOB 是等边三角形．∴∠AOB ＝60°.∵OC ∥AB ，∴S ＝S .∴阴影部分的面积＝S ＝60π·36＝6π.针对训练1 (2019，泰州)如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形的边长为6 cm ，则该莱洛三角形的周长为 6π cm. 训练1题图训练2题图训练2答图【解析】 该莱洛三角形的周长为3×60π·6180＝6π(cm ). 针对训练2 (2019，黄石)如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，O 是BC 上一点，经过C ，D 两点的⊙O 分别交AC ，BC 于点E ，F ，AD ＝3，∠ADC ＝60°，则劣弧»CD 的长为（ 4π3）. 【解析】 如答图，连接DF ，OD.∵CF 是⊙O 的直径，∴∠CDF ＝90°.∵∠ADC ＝60°，∠A ＝90°，∴∠ACD ＝30°.∵CD 平分∠ACB ，∴∠DCF ＝30°.∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝30°.∴∠COD ＝120°.在Rt △CAD 中，CD ＝2AD ＝2 3.在Rt △FCD 中，CF ＝CD cos 30°＝2332＝4.∴⊙O 的半径为2.∴劣弧»CD 的长为120π·2180＝4π3. 圆锥的相关计算 例2 (19，西藏)如图，从一张腰长为90 cm 、顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的底面圆的半径为(A )例2题图例2答图A. 15 cmB. 12 cmC. 10 cmD. 20 cm 【解析】 如答图，过点O 作OE ⊥AB 于点E.∵OA ＝OB ＝90 cm ，∠AOB ＝120°，∴∠A ＝∠B ＝30°.∴OE ＝12OA ＝45 cm .∴»CD 的长为120π·45180＝30π(cm )．设圆锥的底面圆的半径为r ，则2πr ＝30π.解得r ＝15(cm )． 针对训练3 (2019，荆州)如图，C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将△OAC 沿AC 折叠，点O 恰好落在»AB 上的点D 处，且»BDl ∶»AD l ＝1∶3(»BD l 表示»BD 的长)．若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径与母线长的比为(D )A. 1∶3 B. 1∶π C. 1∶4 D. 2∶9 【解析】 如答图，连接OD 交AC 于点M.由折叠的知识可得OM ＝12OD ＝12OA ，∠OMA ＝90°，∴∠OAM ＝30°.∴∠AOM ＝60°.∵»BD l ∶»AD l ＝1∶3，∴∠AOB ＝80°.设圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为R ，则80πR 180＝2πr ，∴r ∶R ＝2∶9. 训练3题图 训练3答图训练4题图针对训练4 (2019，宁波)如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝6 cm ，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为(B )A. 3.5 cmB. 4 cmC. 4.5 cmD. 5 cm【解析】 设AB ＝x cm ，则DE ＝(6－x)cm .根据题意，得90πx 180＝π(6－x)．解得x ＝4. 正多边形和圆例3 (2019，宿迁)如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和(阴影部分面积)是(A )A. 63－π B. 63－2π C. 63＋π D. 63＋2π例3题图训练5题图训练5答图训练6题图【解析】 6个月牙形的面积之和为3π－⎝⎛⎭⎫π·22－6×12×2×3＝63－π. 针对训练5 (2019，贵阳)如图，用等分圆的方法，在半径为OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草．若OA ＝2，则四叶幸运草的周长是（ 42π ）. 【解析】 由题意，得四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长，即2个圆的周长．如答图所示，连接AB ，BC ，CD ，AD ，OB ，则四边形ABCD 是正方形，OA ⊥OB ，OA ＝OB ＝2.∴AB ＝2 2.∴圆的直径为2 2.∴四叶幸运草的周长为2×π×22＝42π.针对训练6 (19，海南)如图，⊙O 与正五边形ABCDE 的边AB ，DE 分别相切于点B ，D ，则劣弧»BD所对的圆心角∠BOD 的度数为 144 °. 【解析】 ∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠E ＝∠A ＝()5－2×180°5＝108°.∵AB ，DE 与⊙O 相切，∴∠OBA ＝∠ODE ＝90°.∴∠BOD ＝(5－2)×180°－90°－108°－108°－90°＝144°.1. (2019，温州)若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为(C )A. 3π2B. 2πC. 3πD. 6π 【解析】 该扇形的弧长为90·π·6180＝3π. 2. (2019，湖州)已知圆锥的底面圆的半径为5 cm ，母线长为13 cm ，则这个圆锥的侧面积是(B )A. 60π cm 2B. 65π cm 2C. 120π cm 2D. 130π cm 2 【解】 圆锥的侧面积为12×2π×5×13＝65π(cm 2)． 3. (2019，遵义)圆锥的底面圆的半径是5 cm ，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是(A )A. 5 3 cmB. 10 cmC. 6 cmD. 5 cm【解析】 设圆锥的母线长为R.根据题意，得2π·5＝180πR 180，解得R ＝10.∴圆锥的高为102－52＝53(cm )． 4. (2019，衢州)如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形，则原来的纸条宽为(C ) 第4题图第5题图A. 1B. 2C. 3D. 2 【解析】 边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸条宽度，所以原来的纸条宽为32×2＝ 3. 5. (2019，资阳)如图，直径为2 cm 的圆在直线l 上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为(A )A. 5π cm 2B. 6π cm 2C. 20π cm 2D. 24π cm 2 【解析】 圆所扫过的图形面积为π＋2π·2＝5π(cm 2)．6. (2019，泰安)如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，»AB 恰好经过圆心O .若⊙O 的半径为3，则»AB 的长为(C )A. π2B. πC. 2πD. 3π 【解析】 如答图，连接OA ，OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点C.由题意得OC ＝12OA ，∴∠OAC ＝30°.∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAC ＝30°.∴∠AOB ＝120°.∴»AB 的长为120π·3180＝2π. 7. (2019，大庆)如图，在正方形ABCD 中，边长AB ＝1，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转180°至正方形AB 1C 1D 1，则线段CD 扫过的面积为(B )A. π4 B. π2C. πD. 2π 第7题图第7题答图第8题图【解析】 如答图，连接CC 1，则CC 1过点A.∵将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转180°至正方形AB 1C 1D 1，∴CC 1＝2AC ＝2×2AB ＝2 2.∴线段CD 扫过的面积为12×(2)2·π－12×π×12＝π2. 8. (19，凉山州)如图，在△AOC 中，OA ＝3 cm ，OC ＝1 cm ，将△AOC 绕点O 顺时针旋转90°后得到△BOD ，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为(B )A. π2 cm 2 B. 2π cm 2 C. 17π8 cm 2 D. 19π8cm 2 【解析】 ∵△AOC ≌△BOD ，∴AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为S 扇形OAB －S 扇形OCD ＝90π·32360－90π·12360＝2π(cm 2)． 9. (2019，金华)如图所示的物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A ＝90°，∠ABC ＝105°.若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为(D )A. 2 B. 3 C. 32D. 2 第9题图第10题图第10题答图【解析】 ∵∠A ＝90°，AB ＝AD ，∴△ABD 为等腰直角三角形．∴∠ABD ＝45°，BD ＝2AB.∵∠ABC ＝105°，∴∠CBD ＝60°.∵CB ＝CD ，∴△CBD 为等边三角形．∴BC ＝BD ＝2AB.∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB ∶CB.∴下面圆锥的侧面积为2×1＝ 2.10. (19山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝23，BC ＝2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为(A ) A. 534－π2 B. 534＋π2 C. 23－π D. 43－π2【解】 如答图，连OD 过点D 作DE ⊥AB 于点E.∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝23，BC ＝2，∴tan A ＝BC AB ＝223＝33.∴∠A ＝30°.∴∠DOB ＝60°.∵OD ＝12AB ＝3，∴DE ＝32.∴阴影部分面积23×22－3×322－60π·()32360＝534－π2.11 . (19临沂)如图，在⊙O 中，»AB ＝»AC ，∠ACB ＝75°，BC ＝2，则阴影部分的面积是(A ) A. 2＋2π3 B. 2＋3＋2π3 C. 4＋2π3 D. 2＋4π3【解】 如答图，连OB ，OC ，过A 作AD ⊥BC 于D.∵»AB ＝是等边三角形．∴OA ＝OB ＝OC ＝BC ＝2.∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD.∴AD 经过圆心O.∴OD ＝32OB ＝ 3.∴AD ＝2＋ 3.∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝2＋3，S △BOC ＝12BC ·OD ＝ 3.∴S 阴影＝S △ABC ＋S 扇形BOC －S △BOC ＝2＋3＋60π·22360－3＝2＋2π3. 第11题图 第11题答图第12题图第12题答图12. (19雅安)如图，已知⊙O 的内接正六边形ABCDEF 的边心距OM ＝2，则该圆的内接正三角形ACE 的面积为(D )A. 2B. 4C. 6 3D. 4 3【解析】 如答图，连接OC ，OB ，过点O 作ON ⊥CE 于点N.∵多边形ABCDEF 是正六边形，∴∠COB ＝60°.∵OC ＝OB ，∴△COB 是等边三角形．∴∠OCM ＝60°.∴OM ＝OC·sin ∠OCM.∴OC ＝OM sin 60°＝433.∵∠OCN ＝30°，∴ON ＝12OC ＝233，CN ＝2.∴CE ＝2CN ＝4.∴该圆的内接正三角形ACE 的面积为3×12×4×233＝4 3. 13. (19安顺)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若圆锥的底面圆的半径r ＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l 的长为 6 .13题图14题图15题图16题图16题答图【解析】 根据题意，得2π·2＝120π·l 180.解得l ＝6，即该圆锥母线l 的长为6. 14. (19梧州)如图，已知半径为1的⊙O 上有三点A ，B ，C ，OC 与AB 相交于点D ，∠ADO ＝85°，∠CAB ＝20°，则阴影部分的扇形OAC 的面积是（ 5π36）.【解析】∵∠ADO ＝85°，∠CAB ＝20°，∴∠ACO ＝∠ADO －∠CAB ＝65°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠ACO ＝65°.∴∠AOC ＝50°.∴阴影部分扇形OAC 面积为50·π·12360＝5π36. 15. (2019，重庆A)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2，分别以点A ，C为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为（ 23－2π3）. 【解】 ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∠ABO ＝12∠ABC ＝30°，∠BAD ＝∠BCD ＝120°.∴AO ＝12AB ＝1.由勾股定理得OB ＝AB 2－OA 2＝3，∴AC ＝2，BD ＝2 3.∴阴影部分的面积为12×2×23－120π×12360×2＝23－2π3. 16. (19孝感)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S 1来近似估计⊙O 的面积S ，设⊙O 的半径为1，则S －S 1＝ 0.14 .(π取3.14) 【解析】 如答图，过点A 作AC ⊥OB 于点C.∵⊙O 的半径为1，∴⊙O 的面积S ＝3.14.∵圆的内接正十二边形的中心角为360°12＝30°，∴AC ＝12OA ＝12.∴圆的内接正十二边形的面积S 1＝12×12×1×12＝3.∴S －S 1＝0.14. 17. (2019，南充)如图，以正方形ABCD 的AB 边为边向外作正六边形ABEFGH ，连接DH ，则∠ADH ＝ 15 °.第17题图第18题图第18题答图【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∵六边形ABEFGH 是正六边形，∴AB ＝AH ，∠BAH ＝120°.∴AH ＝AD ，∠HAD ＝360°－90°－120°＝150°.∴∠ADH ＝∠AHD ＝12×(180°－150°)＝15°. 18. (2019，青岛)如图，五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，AF 是⊙O 的直径，则∠BDF 的度数是 54 °.【解析】 如答图，连接AD ，AC ，CF.∵AF 是⊙O 的直径，∴∠ADF ＝90°.∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，∴∠ABC ＝∠BCD ＝108°，BC ＝CD.∴∠CBD ＝∠CDB ＝36°.∴∠ABD ＝72°.∴∠AFD ＝∠ABD ＝72°.∴∠FAD ＝18°.易证AC ＝AD ，∠ACF ＝90°.又AF ＝AF ，∴Rt △ACF ≌Rt △ADF.∴CF ＝DF.∴∠CDF ＝∠DCF ＝∠DAF ＝18°.∴∠BDF ＝36°＋18°＝54°.19. (2019，邵阳)如图①，在等腰三角形ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 是∠BAC 的平分线，且AD ＝6，以点A 为圆心，AD 长为半径画»EF，交AB 于点E ，交AC 于点F .(1)求由»EF 及线段FC ，CB ，BE 围成图形(图中阴影部分)的面积； (2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF ，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，如图②，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h . 解：(1)∵△ABC 为等腰三角形，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝30°.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD .∴BD ＝3AD ＝6 3.∴BC ＝2BD ＝12 3.∴由EF 及线段FC ，CB ，BE 围成图形的面积为S△ABC －S 扇形EAF ＝12×6×123－120π·62360＝363－12π. (2)设圆锥的底面圆的半径为r .根据题意，得2πr ＝120π·6180.解得r ＝2.∴这个圆锥的高h ＝62－22＝4 2.19题图20题图 20题答20. (19，镇江)在三角形纸片ABC (如图①)中，∠BAC ＝78°，AC ＝10.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图②)． (1)∠ABC ＝30°；(2)求正五边形GHMNC 的边GC 的长．(参考数据：sin 78°≈0.98，cos 78°≈0.21，tan 78°≈4.7)解：(1)30 (2)如答图，过点C 作CQ ⊥AB 于点Q .在Rt △AQC 中，sin ∠QAC ＝QC AC.∴QC ＝AC ·sin ∠QAC ≈10×0.98＝9.8.在Rt △BQC 中，∠ABC ＝30°，∴BC ＝2QC ≈19.6.∵BG ＝AC ＝10，∴GC ＝BC －BG ≈9.6.21. (19，铜仁)如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，BE 是⊙O 的直径，连接BF ，延长BA ，过点F 作FG ⊥BA ，垂足为G . (1)求证：FG 是⊙O 的切线； (2)已知FG ＝23，求图中阴影部分的面积．21题图21题答图1题图1题答图(1)证明：如答图，连接OF ，AO .∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠AOB ＝∠AOF ＝∠EOF ＝60°.∴∠ABF ＝∠AFB ＝∠EBF ＝30°.∵OB ＝OF ，∴∠OBF ＝∠BFO ＝30°.∴∠ABF ＝∠OFB .∴AB ∥OF .∵FG ⊥BA ，∴OF ⊥FG .∴FG 是⊙O 的切线． (2)解：∵OA ＝OF ，∠AOF ＝60°，∴△AOF 是等边三角形．∴∠AFO ＝60°.∴∠AFG ＝30°.∵FG ＝23，∴AF ＝4.∴AO ＝4.∵AF ∥BE ，∴S △ABF ＝S △AOF .∴阴影部分的面积为60π·42360＝8π3.线交⊙O 于C ，N 两点，点B 在线段CN 的延长线上，连接AB 交⊙O 于点M ，以AB ，BC 为边作▱ABCD .(1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若OH ＝13AH ，求四边形AHCD 与⊙O 重叠部分的面积； (3)若NH ＝13AH ，BN ＝54，连接MN ，求OH 和MN 的长． (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC .∵AH ⊥BC ，∴AH ⊥AD .∵OA 为半径，∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：如答图，连接OC .∵OH ＝13AH ，AH ＝3，∴OH ＝1.∴OA ＝2.∵在Rt △OHC 中，∠OHC ＝90°，OH ＝12OC ， ∴∠OCH ＝30°.∴∠AOC ＝∠OHC ＋∠OCH ＝120°.∴S 扇形OAC ＝120π·22360＝4π3.∵CH ＝22－12＝3，∴S △OHC ＝12×1×3＝32.∴四边形AHCD 与⊙O 重叠部分的面积为S 扇形OAC ＋S △OHC ＝4π3＋32. (3)解：设⊙O 的半径OA ＝r ＝OC ，则OH ＝3－r .∵AH ⊥BC ，∴NH ＝HC ＝13AH ＝1.在Rt △OHC 中，OH 2＋HC 2＝OC 2，∴(3－r )2＋12＝r 2.∴r ＝53.∴OH ＝43.在Rt △ABH 中，AH ＝3，BH ＝54＋1＝94，∴AB ＝154.在Rt △ACH 中，AH ＝3，CH ＝1，∴AC ＝10.在△BMN 和△BCA 中，∠B ＝∠B ，∠BMN ＝∠BCA ， ∴△BMN ∽△BCA .∴MN AC ＝BN AB ，即MN 10＝54154.∴MN ＝103. 2. (2019，北京)在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，若»DE上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称»DE为△ABC 的中内弧．例如，图①中»DE 是△ABC 的一条中内弧． (1)如图②，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝22，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，画出△ABC 的最长的中内弧»DE，并直接写出此时»DE 的长； (2)在平面直角坐标系中，已知点A (0，2)，B (0，0)，C (4t ，0)(t ＞0)，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．①若t ＝12，求△ABC 的中内弧»DE 所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ②若在△ABC 中存在一条中内弧»DE ，使得»DE 所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．第2题图第2题答图解：(1)如答图①，以DE 为直径的半圆弧»DE，就是△ABC 的最长的中内弧»DE .»DE 的长为π. (2)①易得D (0，1)．当t ＝12时，C (2，0)，E (1，1)．由题意，得点P 一定在线段DE 的垂直平分线上，当P 为DE 的中点时，»DE 是中内弧，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，如答图②，当点P 从点⎝⎛⎭⎫12，1向上平移时，»DE 一直是△ABC 的中内弧．将点P 从点⎝⎛⎭⎫12，1向下平移，当⊙P 与AC 相切于点E 时，DE 是中内弧，此时点P 在直线EB 上，如答图③.易得直线BE 的解析式为y ＝x .对于y ＝x ，当x ＝12时，y ＝12，故此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12.当点P 从点⎝⎛⎭⎫12，12向下平移时，»DE 一直是△ABC 的中内弧．综上所述，圆心P 的纵坐标的取值范围为y P ≥1或y P ≤12. ②t 的取值范围为0＜t ≤2。
2021年 人教版数学九年级中考专题复习——《圆的有关计算》
圆的有关计算(时间：45分钟)一、基础训练1．(2020·包头中考)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，点C ，D 在直径AB 的两侧．若∠AOC ∶∠AOD ∶∠DOB ＝2∶7∶11，CD ＝4，则的长为( )A.2π B ．4π C ．2π2 D ． 2 π2．(2020·咸宁中考)如图，在⊙O 中，OA ＝2，∠C ＝45°，则图中阴影部分的面积为( )A.π2 － 2 B ．π－ 2 C.π2 －2 D ．π－23．(2020·遂宁中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，点O 在AB 上，经过点A 的⊙O 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，若CD ＝2 ，则图中阴影部分面积为( )A.4－π2 B ．2－π2 C ．2－π D ．1－π44．(2020·大庆中考)底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1∶3，则圆锥与圆柱的体积的比为( )A.1∶1 B ．1∶3 C ．1∶6 D ．1∶95．(2020·绥化中考)如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，点P 为上一点(点P与点D ，点E 不重合)，连接PC ，PD ，DG ⊥PC ，垂足为G ，∠PDG 等于 .6．(2020·哈尔滨中考)一个扇形的面积是13π cm 2，半径是6 cm ，则此扇形的圆心角是 .7．(2020·呼和浩特中考)如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，以D 为圆心，BD 长为半径画一弧，交AC 于点E ，若∠A ＝60°，∠ABC ＝100°，BC ＝4，则扇形BDE 的面积为 .8．(2020·金华改编)如图，的半径OA ＝2，OC ⊥AB 于点C ，∠AOC ＝60°.则弦AB ＝23 ，的长为 ．二、能力提升9．(2020·达州中考)如图，在半径为5的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的恰好与OA ，OB 相切，则劣弧AB 的长为( )A.53 π B ．52 π C ．54 π D ．56 π10．(2020·山西中考)中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图(阴影部分为摆盘)，通过测量得到AC＝BD＝12 cm，C，D两点之间的距离为4 cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是()A.80πcm2B．40πcm2C.24πcm2D．2πcm211．(2020·北部湾中考)如图，在边长为23的菱形ABCD中，∠C＝60°，点E，F分别是AB，AD上的动点，且AE＝DF，DE与BF交于点P.当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为．12．(2020·鄂州中考)如图，半径为2 cm的⊙O与边长为2 cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过点F.当正方形ABCD沿直线OF以每秒(2－3) cm的速度向左运动1或(11＋63)s时，⊙O与正方形重叠部分的面积为cm2.13．(2020·通辽中考)中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6 cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t(s).(1)求证：四边形PBQE为平行四边形；(2)求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．14．(2020·孝感中考)已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记∠BAC＝α.(1)如图1，若α＝60°，①直接写出DFDC的值为；②当⊙O的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为；(2)如图2，若α＜60°，且DFDC＝23，DE＝4，求BE的长．15.创新题型(2020·河南中考)如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC 交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为参考答案一、基础训练1．(2020·包头中考)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，点C ，D 在直径AB 的两侧．若∠AOC ∶∠AOD ∶∠DOB ＝2∶7∶11，CD ＝4，则的长为(D )A.2π B ．4π C ．2π2 D ． 2 π2．(2020·咸宁中考)如图，在⊙O 中，OA ＝2，∠C ＝45°，则图中阴影部分的面积为(D )A.π2 － 2 B ．π－ 2 C.π2 －2 D ．π－23．(2020·遂宁中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，点O 在AB 上，经过点A 的⊙O 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，若CD ＝2 ，则图中阴影部分面积为(B )A.4－π2 B ．2－π2 C ．2－π D ．1－π44．(2020·大庆中考)底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1∶3，则圆锥与圆柱的体积的比为(D )A.1∶1 B ．1∶3 C ．1∶6 D ．1∶95．(2020·绥化中考)如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，点P 为上一点(点P与点D ，点E 不重合)，连接PC ，PD ，DG ⊥PC ，垂足为G ，∠PDG 等于54°.6．(2020·哈尔滨中考)一个扇形的面积是13π cm 2，半径是6 cm ，则此扇形的圆心角是130°.7．(2020·呼和浩特中考)如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，以D 为圆心，BD 长为半径画一弧，交AC 于点E ，若∠A ＝60°，∠ABC ＝100°，BC ＝4，则扇形BDE 的面积为49 π.8．(2020·金华改编)如图，的半径OA ＝2，OC ⊥AB 于点C ，∠AOC ＝60°.则弦AB ＝23 ，的长为43 π．二、能力提升9．(2020·达州中考)如图，在半径为5的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的恰好与OA ，OB 相切，则劣弧AB 的长为(B )A.53 π B ．52 π C ．54 π D ．56 π10．(2020·山西中考)中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图(阴影部分为摆盘)，通过测量得到AC ＝BD ＝12 cm ，C ，D 两点之间的距离为4 cm ，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是(B )A.80π cm 2 B ．40π cm 2 C.24π cm 2 D ．2π cm 211．(2020·北部湾中考)如图，在边长为23 的菱形ABCD 中，∠C ＝60°，点E ，F 分别是AB ，AD 上的动点，且AE ＝DF ，DE 与BF 交于点P .当点E 从点A 运动到点B 时，则点P 的运动路径长为43 π．12．(2020·鄂州中考)如图，半径为2 cm 的⊙O 与边长为2 cm 的正方形ABCD 的边AB 相切于E ，点F 为正方形的中心，直线OE 过点F .当正方形ABCD 沿直线OF 以每秒(2－3 ) cm 的速度向左运动1或(11＋63 )s 时，⊙O 与正方形重叠部分的面积为⎝⎭⎪3 cm 2.13．(2020·通辽中考)中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6 cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t(s).(1)求证：四边形PBQE为平行四边形；(2)求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．(1)证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝F A，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EF A.又∵AP＝DQ＝t cm，∴PF＝QC＝(6－t) cm.∴△ABP≌△DEQ(SAS).∴BP＝EQ.同理可证，PE＝QB.∴四边形PEQB为平行四边形；(2)解：连接BE，OA，则∠AOB＝360°6＝60°.∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形．∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12.当t＝0时，点P与点A重合，点Q与点D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，则∠EAF＝∠AEF＝30°.∴∠BAE＝120°－30°＝90°.此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形；当t＝6时，点P与点F重合，点Q与点C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE ，同理可得∠BPE ＝90°，此时四边形PBQE 是矩形．综上所述，当t ＝0或6时，四边形PBQE 是矩形． ∴AE ＝122－62 ＝63 .∴S 矩形PBQE ＝S 矩形ABDE ＝AB ·AE ＝6×63 ＝363 .∵S 正六边形ABCDEF ＝6S △AOB ＝6×14 S 矩形ABDE ＝6×14 ×363 ＝543 ， ∴S 矩形PBQES 正六边形ABCDEF ＝363543 ＝23 .14．(2020·孝感中考)已知△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线与⊙O 交于点D ，与AC 交于点E ，连接CD 并延长与⊙O 过点A 的切线交于点F ，记∠BAC ＝α.(1)如图1，若α＝60°，①直接写出DFDC 的值为 ；②当⊙O 的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为 ； (2)如图2，若α＜60°，且DF DC ＝23 ，DE ＝4，求BE 的长．解：(1)12 ；332 －2π3 ；(2)图2中，连接AD ，连接AO 并延长交⊙O 于点H ，连接DH ，则∠ADH ＝90°. ∴∠DAH ＋∠DHA ＝90°. ∵AF 与⊙O 相切，∴∠DAH＋∠DAF＝∠F AO＝90°.∴∠DAF＝∠DHA.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∴.∴∠DHA＝∠DAC.∴∠DAF＝∠DAC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.∵∠ADF＋∠ADC＝180°，∴∠ADF＝∠ABC.∵∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，∴∠ADF＝∠ADB.又∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE(ASA).∴DF＝DE＝4.∵DFDC＝23，∴DC＝6.∵∠DCE＝∠ABD＝∠DBC，∠CDE＝∠BDC，∴△CDE∽△BDC.∴CDBD＝DEDC，即6BD＝46.∴BD＝9.∴BE＝BD－DE＝9－4＝5.15.创新题型(2020·河南中考)如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为22＋π3．。