小学六年级奥数★棋盘的覆盖
小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解
小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解日字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由2个并排的正方形格子组成。
目字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个并排的正方形格子组成。
3-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个组成L形状的格子组成。
4-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成L形状的四个格子组成，一边长一边短。
凸字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“凸”字形状的四个格子组成。
田字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“田”字形状的四个格子组成。
完全覆盖的定义：用规定形状的标准单元去铺盖指定的方格棋盘，无重复无遗漏，则称该棋盘被所用的标准单元完全覆盖。
一系列的小题目，从易到难，慢慢培养解题水平。
更复杂的染色覆盖问题，往往需要涉及到用多种颜色实行染色，下面的题目仅有一个需要这种技巧。
题1：M×N的棋盘存有日形覆盖，当且仅当M,N中至少有一个为偶数。
题2：一个5×7的棋盘，去掉第二行第四列上的小方格之后，剩下部分有日形覆盖。
题3：如果m*n不能被3整除，则m*n的棋盘不可能有3-L覆盖。
题4：若M,N都是奇数，则去掉任何一个方格，剩余的部分不存有日字形覆盖。
题5：证明，一个8*8的棋盘不可能用15个凸形块和一个田字形块覆盖。
题6：证明，一个8*8的棋盘去掉左上角和右下角的两个方格后，剩下的62个方格不可能实现日形覆盖。
题7：一个3*7的棋盘，用红、蓝两种颜色染色，证明，总有四个同色的方格位于一个长方形的四个角上。
题8：一个3*7的棋盘不存有3-L覆盖。
提示：本题目需要用多种颜色染色。
题9：若m*n的棋盘能够实现4-L覆盖，证明m*n能够被8整除。
题10：7*9的棋盘中，挖去位于第四行，第六列的小方格，证明剩下的部分能够实现日形覆盖。
题11：在6*6的正方形棋盘上的各个小方格上，分别写上从1到36的36个数，要求相邻成“凸”字形的四个方格内的数字之和都为偶数，存有这种可能吗？题12：假定8*8的棋盘是用64个正方形马赛克组成，每个马赛克能够翻动，而且每个马赛克正反两面一个为白色，一个为黑色。
棋盘覆盖问题程序说明
棋盘覆盖问题
对一M*N棋盘，假设有外形完全一样的骨排.每一骨排可覆盖棋盘上两相邻的方格.若用一些骨排覆盖棋盘,使棋盘上所有格被盖,且不交叉,称完全覆盖,.8*8棋盘是否可以完全覆盖?
编程思想：将棋盘设为一个M*N数组，对数组中每个元素分别赋值0和1，并使每个元素与其周围元素的值不相等。
再将数组中对角元素赋给0，1以外的值。
统计数组中0元素与1元素的个数。
若相等，证明可以完全覆盖，不相等则不能完全覆盖。
本程序特点：棋盘的行数和列数可以是任意的。
只需输入行数和列数便可得到结论。
缺点：棋盘只能是缺少对角的，不能是缺少任意的几格。
2021年小学奥数组合问题专题 - 染色与覆盖
2021年小学奥数组合问题专题 - 染色与覆盖2021年小学奥数组合问题专题――染色与覆盖一、解答题1.六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗?为什么？【答案】不能。
见解析【解析】划一个5×7的方格表，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有17个黑格18个白格，个数不等，故不能办到． 2.右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.(1)如果P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？(2)某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某点B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么B点是在岸上还是在水中？为什么？【答案】(1)在水中(2)在岸上。
见解析【解析】（1）已知P点在陆地上，如果在图上用阴影表示陆地，就可以看出A点在水中. （2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数的和为2，由于A点在水中，所以不管怎么走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数.既然题中说“脱鞋的次数与穿鞋的次数的和是个奇数”，那么B点必定在岸上.3.某班有45名同学按9行5列坐好．老师想让每位同学都坐到他的邻座(前后左右)上去，问这能否办到?【答案】不能【解析】将5×9长方形自然染色，发现黑格的邻座都是白格，白格的邻座都是黑格，因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有23个黑格22个白格，个数不等，故不能办到．4.右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?【答案】不能【解析】如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个白格，7个黑格．因为每次只能由黑到白或由白到黑，路线必然黑白相问，显然应该从多的白格开始．但路线上1白1黑1白1黑……直到5白5黑后还余2黑，不可能从黑格到黑格，故无法实现不重复走遍． 5.有一次车展共6×6=36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?【答案】不能【解析】如右下图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能黑格到白格或白格到黑格．入口和出口处都是白格，故路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室．6.在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图（1）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏(不许斜走)，最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？【答案】图1中可以回到小屋，图2中无法直接回到小木屋。
棋盘覆盖问题的求解
棋盘覆盖问题的求解棋盘覆盖问题是一个经典的数学问题，它引发了人们对于数学中的逻辑思维和问题解决能力的思考。
在这篇文章中，我将为大家详细介绍棋盘覆盖问题的求解方法，并希望能够帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一问题。
棋盘覆盖问题是指如何用特殊形状的骨牌将一个2^n × 2^n的棋盘完全覆盖的问题。
其中，骨牌的形状分为4种，分别为L型、反L型、凸型和凹型。
在求解这个问题时，我们需要遵循以下几个步骤。
首先，我们需要将给定的棋盘划分为四个相等的小棋盘。
这样，我们就可以将问题分解为四个子问题，分别是将四个小棋盘覆盖完整。
接下来，我们就可以通过递归的方式来解决每个子问题。
在解决子问题时，我们需要根据骨牌的形状来选择放置的位置。
以L型骨牌为例，我们可以将其放置在左上角、左下角或者右上角。
通过不同的放置位置，我们可以将子问题进一步分解为更小的子问题。
同样地，我们可以使用相同的方法来解决反L型、凸型和凹型骨牌。
在每个子问题中，我们需要注意两个关键点。
首先，我们需要保证每个小棋盘上的骨牌能够完全覆盖。
这就要求我们在放置骨牌时，需要选择合适的位置和方向。
其次，我们需要保证四个小棋盘的边缘能够对齐。
这样，才能保证最终的结果是一个完整的棋盘。
通过不断地递归求解子问题，我们最终可以将整个棋盘完全覆盖。
这个过程中，我们需要注意边界条件的处理，以及递归函数的设计。
同时，我们还可以通过剪枝等优化方法来提高算法的效率。
棋盘覆盖问题的求解方法不仅仅是一个数学问题，更是一个思维训练的过程。
通过解决这个问题，我们可以培养自己的逻辑思维能力、问题解决能力和创新思维。
同时，这个问题也具有一定的实用性，可以用于解决一些实际问题，如图像处理、计算机视觉等领域。
总结一下，棋盘覆盖问题是一个经典的数学问题，通过将棋盘划分为四个小棋盘，我们可以通过递归的方式来解决每个子问题。
在解决子问题时，我们需要选择合适的骨牌形状和放置位置，同时保证边缘对齐和完全覆盖。
2020小学六年级奥数知识点：第十一讲 棋盘中的数学—棋盘覆盖的问题
解：图形（1）和（2）中各有11个方格，11不是3的倍数，因此不能用这两种图形拼成．
图形来拼．
只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有多种，下图仅举出一种为例．
说明：排除图（1）与（2）的方法是很重要的．因为一个图形可以用这是“必要条件排除法”．但要注意，一个图形小方格数是3的倍数，也不表明的就是这种情况．
证明：用6种“方块”构成4×7棋盘已如上图所示．
下面我们证明不能用七种“方块”各一块构成4×7的长方形棋盘．
将长方形的28个小方格如右图黑、白相间进行染色，则黑、白格各为个白格1个黑格，而其余六种方块图形皆占据黑格、白格各2个．因此，7种方块图形占据的黑白格数必都是奇数，不会等于14．
这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题．
定理1： m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数．
证明：①充分性：即已知m，n中至少有一个偶数，求证：m×n棋盘可被2×1骨牌覆盖．不失一般性，设m＝2k，则m×n＝2k×n＝k×
棋盘可被kn个2×1骨牌覆盖．
②必要性：即已知m×n棋盘可以被2×1骨牌覆盖．求证：m，n中至少有一个偶数．若m×n棋盘可被2×1骨牌覆盖，则必覆盖偶数个方格，即mn是个偶数，因此m、n中至少有一个是偶数．
例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？
第二步：不用1×1而只用2×2与3×3的正方形是拼不成的．将23×23的大正方形的1，4，7，10，13，16，19，22各行染红色，其余各行染蓝色如下图．任意2×2或3×3正方形都将包含偶数个蓝色小格，但蓝格总数是23×15，是个奇数，矛盾．所以不用1×1的小正方形是拼不成23×23棋盘的．
六年级奥数染色和覆盖
六年级奥数染色和覆盖1、一个8×8国际象棋盘去掉对角上两格后，是否可以用31个2×1的“骨牌”，把象棋盘上的62个小格完全盖住？2、至少需要几种颜色，才能使右图中所有具有公共端点的线段涂上不同的颜色。
3、现有1，1，2，2，3，3，……，10，10共20个数。
问能否将这些数排一行并满足两个1之间有一个数，两个2之间有两个数，两个3之间有三个数，……，两个10之间有十个数？请说明理由。
4、下图是由14个方格组成的图形，试证明，不论怎么裁剪，总不能把它剪成7个由相邻两个方格组成的长方形。
[全讲综合训练]1、六（1）班同学毕业前，互相交换照片留念，那么全班用来交换的照片的总张数是奇数还是偶数？2、正方形的展览厅如下图，共分16个展室，每个展室之间相通，你能不能设计出一条线路使参观的人不重复地走完全部展室？3、将上题的入口改在A处，如下图，这条线路可能吗？4、把下图中的圆图任意涂上红色或蓝色。
有没有可能使每一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由？5、由14个1×1的正方形组成下图，用7个1×2的长方形能不能把这个图形都盖住？为什么？6、在黑板上写出三个自然数，然后擦去一个数，换成其它两数的和减1，这样一直进行下去，最后黑板上是17、1993、1997，问原来的三个数能否是8？7、一串数排成一行，它们的规律是前两个数都是1，从第三个数起，每个数都是前两个数的和，如下所示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…这串数的前100个数（包括第100个数）中，有多少个偶数？8、象棋有棋盘上有一只马（马走“日”），跳了若干次，正次跳回到原来的位置，问马跳的步数是奇数还是偶数？9、有一批商品，每件都是长方体形状，它的尺寸是1×2×4。
现在有一批现成木箱，尺寸是6×6×6。
试问：能不能用这样的商品将木箱填满？10、能不能用8张1×3的长方形纸片完全盖住下面的图。
棋盘覆盖问题算法思路
棋盘覆盖问题算法思路
棋盘覆盖问题是一道经典的分治算法问题，通常用于介绍分治算法的思想。
其基本思路是将棋盘分成若干个小块，然后在其中一个小块上放置一块特殊的骨牌，然后将剩下的小块按照同样的方式继续分成更小的块，并在其中一个小块上放置另一块骨牌，以此类推，直到整个棋盘被覆盖。
具体的实现过程可以采用递归的方式，将棋盘不断地分成四个部分，然后在其中一个部分上放置一块骨牌，再递归求解另外三个部分。
在实现过程中，需要注意处理边界条件和特殊情况，例如棋盘大小为1x1或者存在特殊方块无法覆盖等情况。
该算法的时间复杂度为O(2^n)，其中n为棋盘大小的指数。
虽然时间复杂度较高，但是由于该问题特殊的递归性质使得其能够被高效地并行化，因此在实际应用中仍有广泛的应用。
棋盘的完美覆盖
棋盘的完美覆盖考虑一张普通的棋盘，它被分成8行8列共64个方格。
假设有一些形状相同的多米诺骨牌，每张牌正好可以覆盖棋盘上两个相邻的方格。
是否能够把32张多米诺骨牌摆放在棋盘上，使得没有两张牌重叠，且在每张牌覆盖两个方格的条件下覆盖棋盘上的所有方格呢？我们把这样的摆放称为棋盘的多米诺骨牌完美覆盖或者盖瓦。
这是一个很简单的摆放问题，我们可以很快构造出很多不同的完美覆盖。
计数出不同完美覆盖的数量虽说比较困难，但也不是没有可能。
1961年 Fischer1发现了这个数，它是12988816=24×172×532。
我们可以用更一般的棋盘代替这常用的棋盘，这个更一般的棋盘拥有m行n列，被分成mn个方格。
此时，它的完美覆盖不一定存在。
事实上，对于3×3的棋盘来说，它就不存在完美覆盖。
那么对于什么样的m×n棋盘存在完美覆盖呢？不难看出，对于m×n 棋盘，它有完美覆盖当且仅当m和n中至少有一个是偶数，或者等价地说成：当且仅当这个棋盘的方格总数是偶数。
Fischer得出了计算m×n棋盘的不同完美覆盖数的一般公式，这个公式中含有三角函数。
这个问题等价于分子物理学中一个非常著名的问题，即所谓的二聚物问题。
这一问题始于对表面上的双原子（二聚物）吸收的研究。
棋盘方格对应于分子，而多米诺骨牌对应于二聚物。
再来考虑8×8棋盘，并用一把剪刀剪掉一条对角线上两个对角上的两个方格，于是剩余方格总数是62个。
那么是否有可能用31张多米诺骨牌得到这个“被剪过的”棋盘的完美覆盖呢？尽管这个被剪过的棋盘与8×8棋盘非常接近，尽管原来的棋盘有1200多万个完美覆盖，但是这个被剪过的棋盘却没有完美覆盖。
这一结论的证明本身就是一个简单但又巧妙的组合推理的实例。
在标准的8×8棋盘上，通常把方格交替地着上黑色和白色，于是有32个白色方格和32个黑色方格。
如果我们剪掉一条对角线上的两个对角上的方格，那么就剪掉了相同颜色的两个方格,比如说是两个白色方格。
棋盘覆盖问题算法思路
棋盘覆盖问题算法思路棋盘覆盖问题是一个经典的递归问题，其原始问题定义如下：给定一个2^n*2^n的棋盘，其中一个方格被标记，将该棋盘分割成4个2^(n-1)*2^(n-1)的小棋盘，同时以递归的方式，将标记方格分割到4个小棋盘之一，并覆盖其他方格。
重复此过程，直到达到基本情况，即当棋盘大小为2*2，无需分割。
我们可以使用分治法来解决这个问题，即将一个大问题分解为多个小问题，并最终将它们的解组合起来得到原问题的解。
下面是一个算法思路：1.定义一个棋盘的类，表示一个棋盘对象。
其中包括棋盘的大小、标记方格的位置坐标等信息。
2. 定义一个递归函数cover(board, size, tr, tc, dr, dc)，其中board表示当前的棋盘对象，size表示当前棋盘的大小，(tr, tc)表示当前棋盘左上角方格的坐标，(dr, dc)表示标记方格的坐标。
3.首先检查当前棋盘大小是否为2*2，如果是，则直接将标记方格的位置填充到其他3个方格，并返回。
4. 否则，将当前棋盘的大小减半，计算出当前棋盘分割后4个小棋盘的左上角方格坐标和标记方格的位置坐标(nt, nl, nr, nc)。
5. 然后分别递归调用cover函数对4个小棋盘进行覆盖，需要注意传递的参数：a. 对于第一个小棋盘，其大小为size / 2，左上角坐标为(tr, tc)，标记方格的坐标为(nt, nl)。
b. 对于第二个小棋盘，其大小为size / 2，左上角坐标为(tr, tc + size / 2)，标记方格的坐标为(nr, nc)。
c. 对于第三个小棋盘，其大小为size / 2，左上角坐标为(tr + size / 2, tc)，标记方格的坐标为(nr, nc)。
d. 对于第四个小棋盘，其大小为size / 2，左上角坐标为(tr + size / 2, tc + size / 2)，标记方格的坐标为(nt, nl)。
6.最后，将4个小棋盘的覆盖结果组合起来得到原问题的解，并将该结果填充到当前棋盘。
六年级奥数——第十讲棋盘中的数学（一）（附习题及解答）
第十讲 棋盘中的数学（一）——什么是棋盘中的数学所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题．例1 这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8， 9， 10， 11， 12， 13， 14中的两个位置．问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？解：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1平方单位．由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪．直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了．顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．答：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在 10，12的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下图所示．说明：本题是以棋盘格点为基础组成图形计算面积．其实，这类问题所在多有，我们把m×n的方格阵称为广义棋盘，则可以设计出许多这类的问题．例2 下图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如下图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子总数是102＋12＝112枚．答：这堆棋子原有112枚．说明：本题也可以列方程求解．设原正方阵每边m枚棋子，由题意得：（m＋1）2－9＝m2＋12．即2m＋1＝21，解得 m＝10．所以棋子总数为102＋12＝112枚．本题与围棋盘并无本质联系，问题可改述为“一堆棋子若摆成一个实心方阵，剩余12粒棋子，若改摆每边各加一枚的方阵，则差9枚棋子，问这堆棋子原有多少枚？”应用围棋盘显得更加直观、具体．例3 如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．解：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如右图所示．例4 在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．分析 注意这个正方形的面积是8×8＝64个平方单位，因此切分后的每一块的面积为16个平方单位，即由16个小方格组成．解：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转90°，180°和270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．③从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分块中要含1，2，3，4各一个，且恰为16块小方格．④将上面的阴影部分绕中心旋转180°，可以得到符合条件的另一块，空白部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示．例5 国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？解：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案．例6 如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．解：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即可，如下图所示．本节我们初步看到了一些棋盘问题，它们的特点是：①以棋盘为背景提出各种问题，无论围棋盘、中国象棋盘或是国际象棋盘．更为一般的提法是m×n方格上的数学问题．②这些问题有面积计算，图形分割，棋子计数，棋子布局等各种类型，这些问题一般属于智巧类的问题或更深一步的组合数学问题．习题十1．在4×4的棋盘中每一格分别填入字母A、B、C、D．要求每行、每列、两条斜线的四个格都恰有A、B、C、D各一个．2．把A、B、C、D四个棋子放在4×4的棋盘的方格里，使每行每列只能出现一个棋子．问共有多少种不同的放法？3．下页第一图是16×16棋盘，每个小正方格面积都是1，求图中这只狗所占的图形的面积．4．中国象棋规定马走“日”字．定义：在中国象棋盘上从点A到B马走的最少步数称为A与B的马步距离，记作｜AB｜m．如下图在3×3的棋盘格中，标出了 A、B、C、D、E五个点，则在｜AB｜m，｜AC｜m，｜AD｜m，｜AE｜m中最大者是多少？最小者是多少？5．在6×6的棋盘中至少要放入多少个棋子，（每个小方格内至多放一个），才能使得随意划掉3行3列上的棋子后，在剩下的方格中至少要留有一枚棋子？习题十解答1．如下图填入即可．答案可能不唯一．2．不妨先考虑棋子A的情况，共有16种不同的放法，不妨设A就放在左上角．然后考虑棋子B的放法，由于A所在的行及所在列不能再放棋子，所以棋子B只能有9种不同放法，不妨设棋子B在右图中位置．类似地C只有4种不同放法，D只有一种放法，总计共有16×9×4×1＝576种不同放法．3．面积是71.5（平方单位）．4．观察下面4个图．知最大的是｜AE｜m＝4，最小的是｜AC｜m＝2．5．至少放十枚棋子．十枚棋子如下图放置，划去任意三行、三列后，剩下的格子中至少还有一枚棋子．如果放入9枚棋子，则总能划去某三行、某三列，把这9枚棋子都划去（想一想，为什么？）．。
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棋盘的覆盖
同学们会下棋吗？下棋就要有棋盘，下面是中国象棋的棋盘（图1），围棋棋盘（图2）和国际象棋棋盘（图3）。
用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。
例1要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个下图所示的图形？
例2 能否用17个形如的卡片将下图刚好覆盖？
例3 下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。
现在要用这些图形拼成一个4×7的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多可以用上几种不同的图形？
例4 用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少个？
例5用七个1×2的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法？
例6有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片。
用这些硬纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼法？（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）
课后练习
1.在4×4的正方形中，至少要放多少个形如所示的卡片，才能使得在不重
叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求卡片的边缘与格线重合）
2.下列各图中哪几个能用若干个或拼成？
3.能否用9个形如的卡片覆盖住6×6的棋盘？
4.小明有8张连在一起的电影票（如右图），他自己要留下4张连在一起的票，其余的送给别人。
他留下的四张票可以有多少种不同情况？
5.有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）
6.用6个形如的卡片覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法？
7.能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个6×6的正方形？
答案与提示练习15
1.3个。
提示：左下图是一种放法。
2.图（2）。
提示：图（1）的小方格数不是3的倍数；图（3）的小方格数是3的倍数但拼不成；图（2）的拼法见右上图。
3.不能。
提示：右图中黑、白格各18个，每张卡片盖住的黑格数是奇数，9张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能盖住18个黑格。
4.25种。
提示：形如图（A）（B）（C）（D）的依次有3，10，6，6种。
5.6种。
解：用小正方形拼成边长为4的大正方形有6种情形：
（1）1个3×3，7个1×1；（2）1个2×2，12个1×1；
（3）2个2×2，8个1×1；（4）3个2×2，4个1×1；
（5）4个2×2；（6）16个1×1。
6.5种。
提示：盖住A有下图所示的5种方法，其中左下图所示的3种都无法覆盖；下中图中，①放好后，左下方和右上方各有2种放法，共有4种覆盖方法；右下图只有1种覆盖方法。
7.不能。
提示：用1，2，3，4对6×6棋盘中的小方格编号（见右图）。
一个1×4的矩形一次只能覆盖1，2，3，4号各一个，而1，2，3，4号数目不等，分别有9，10，9，8个。