2020-2021学年辽宁省沈阳市大东区九年级(上)期中数学试卷-解析版
2020-2021学年辽宁省沈阳市大东区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.如图几何体的主视图是()A. B. C. D.2.已知函数y=k的图象过点(2,−3)，则该函数的图象必在()xA. 第二、三象限B. 第二、四象限C. 第一、三象限D. 第三、四象限3.已知关于x的一元二次方程x2+2x−a=0有两个相等的实数根，则a的值是()A. 4B. −4C. 1D. −14.下列命题是假命题的是()A. 平行四边形的对角线互相平分B. 矩形的对角线互相垂直C. 菱形的对角线互相垂直平分D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等5.在一个不透明的盒子里装有200个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在45%，那么估计盒子中黄球的个数为()A. 80B. 90C. 100D. 1106.如图，直线l1//l2//l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB=5，BC=6，EF=4，则DE的长为()A. 2B. 3C. 4D. 1037.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为()A. 3B. 4C. 5D. 68.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD=1：2，则△ABC与△DEF的面积比为()A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：59.参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是()A. 12x(x+1)=110 B. 12x(x−1)=110C. x(x+1)=110D. x(x−1)=11010.如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=k2x的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1>y2时，x的取值范围是()A. x<−2或x>2B. x<−2或0<x<2C. −2<x<0或0<x<2D. −2<x<0或x>2二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若关于x的一元二次方程(a+5)x2+2x+a2−25=0有一个根为0，则a的值为______．12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AD=4，BD=2，则CD的长为______．13.如图，小明站在距离灯杆6m的点B处．若小明的身高AB=1.5m，灯杆CD=6m，则在灯C的照射下，小明的影长BE=______m.14.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，则每盆应多植______株．15.如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数y=kx在第二象限的图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为8，则k的值为______．16.如图，已知等边△ABC，边长为3，点M为AB上一点，且BM=1，点N为边AC上不与A、C重合的一个动点，连接MN，以MN为对称轴，折叠△AMN，点A的对应点为P.当点P落在等边△ABC的边上时，AN的长为______三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.解方程：3x2−2x−2=0．四、解答题（本大题共8小题，共76.0分）18.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F.使DF=ED.连接BE、BF、CF、AD．(1)求证：四边形BFCE是菱形；(2)若BC=4，EF=2，直接写出线段AD的长是______．19.某校准备组建“校园安全宣传队”，每班有两个队员名额，某年某班有甲、乙、丙、丁四位同学报名，这四位同学综合素质都很好，王老师决定采取抽签的方式确定人选具体做法是：将甲、乙、丙、丁四名同学分别编号为1、2、3、4号，将号码分别写在4个大小、质地、形状、颜色均无差别的小球上，然后把小球放入不透明的袋子中，充分搅拌均匀后，王老师从袋中随机摸出两个小球，根据小球上的编号确定本班“校园安全宣传员”人选，利用画树状图或列表的方法，求丁同学被选中的概率．20.如图，矩形EFGH内接于△ABC(矩形各顶点在三角形边上)，E，F在BC上，H，G分别在AB，AC上，且AD⊥BC于点D，交HG于点N．(1)求证：△AHG∽△ABC；(2)若AD=3，BC=9，EH：HG=1：2，求矩形EFGH的面积．21.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函(m≠0)在第一象限的图象交于A(3,4)和B数y=mx两点，B点的纵坐标是2，与x轴交于点C．(1)求一次函数的表达式；(2)若点D在x轴上，且△ACD的面积为12，求点D的坐标．22.为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，已知每次下降的百分率相同．(1)求这种药品每次降价的百分率是多少？(2)已知这种药品的成本为105元，若按此降价幅度再一次降价，药厂是否亏本？23.(1)如图1，在△ABC中，D为AC上一点，∠ABD=∠C.求证：AB2=AD⋅AC．(2)如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为BA延长线上一点，∠CFE=∠D.若CF=8，CE=6，求AD的长．(3)如图3，在菱形ABCD中，E是BC上一点，F是△ABC内一点，EF//AC，AC=2EF，∠EDF=1∠DAB，CE=3，DF=7，直接写出菱形ABCD的边长．224.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在y轴上，OB在x轴上，A(0,4)，OB=4√3，连接OC，∠COB=30°，点B作BD⊥OC，垂足为D，动点E从O点以每秒2个单位长度的速度沿OD方向匀速运动到D点为止：点F沿线段CA以每秒√3个单位长度的速度由点C向点A匀速运动，到点A为止，点E与点F同时出发，点F随点E停止而停止运动，设运动时间为t秒(t>0)．(1)线段OD=______；(2)连接EF和FD，当△DEF的面积为√3时，求点E的坐标；(3)在整个运动过程中，当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时，直接写出t的值．25.将边长为4正方形ABCD边BC绕点C顺时针旋转至B′C，记旋转角为α，连接BB′，B′D，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接AE．(1)如图1，当α=60°时，①求∠EB′D的度数；②连接BD，求证：△AED～△BB′D；(2)当0°<α<360°，且α≠90°时，①如图2，当∠DCB′=30°时，直接写出AE的值；②当以点B′，E，A，D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出B′B的长度．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由图可得，几何体的主视图是：故选：A．依据从该几何体的正面看到的图形，即可得到主视图．本题主要考查了三视图，解题时注意：视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．2.【答案】B【解析】解：∵函数y=k的图象过点(2,−3)，x∴k=2×(−3)=−6<0，∴函数的图象在二、四象限，故选：B．先求出函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可判断．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．3.【答案】D【解析】解：根据题意得△=22−4⋅(−a)=0，解得a=−1．故选：D．根据根的判别式的意义得到△=22−4⋅(−a)=0，然后解方程即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．4.【答案】B【解析】解：A、平行四边形的对角线互相平分，是真命题；B、矩形的对角线互相相等，不是垂直，原命题是假命题；C、菱形的对角线互相垂直平分，是真命题；D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，是真命题；故选：B．根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质判断即可．本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．5.【答案】B【解析】解：设盒子中黄球的个数为x，根据题意，得：x200=45%，解得：x=90，即盒子中黄球的个数为90，故选：B．根据利用频率估计概率得摸到黄球的频率稳定在45%，进而可估计摸到黄球的概率，根据概率公式列方程求解可得．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．6.【答案】D【解析】解：∵直线l1//l2//l3，∴ABBC =DEEF，∵AB=5，BC=6，EF=4，∴56=DE4，∴DE=103，故选：D．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∵菱形ABCD的周长为32，∴AB=8，∵E为AB边中点，∴OE=1AB=4．2故选：B．由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD=8，AC⊥BD，则∠AOB=90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，解答本题的关键掌握菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．8.【答案】C【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：C．根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：设有x个队参赛，则x(x−1)=110．故选：D．设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．10.【答案】D【解析】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∵点A的横坐标为2，∴点B的横坐标为−2，∵由函数图象可知，当−2<x<0或x>2时函数y1=k1x的图象在y2=k2的上方，x∴当y1>y2时，x的取值范围是−2<x<0或x>2．故选：D．先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y1>y2时x的取值范围是解答此题的关键．11.【答案】5【解析】解：把x=0代入一元二次方程(a+5)x2+2x+a2−25=0得a2−25=0，解得a1=5，a2=−5，而a+5≠0，所以a的值为5．故答案为5．把x=0代入一元二次方程(a+5)x2+2x+a2−25=0得a2−25=0，然后解关于a 的方程后利用一元二次方程的定义确定a的值．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．12.【答案】2√2【解析】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，AD=4，BD=2，∴CD2=AD⋅BD=2×4=8，∴CD=2√2，故答案为：2√2．根据射影定理列式计算即可．本题考查的是射影定理的应用，掌握直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项是解题的关键．13.【答案】2【解析】解：∵AB⊥ED，CD⊥ED，∴AB//DC，∴△ABE∽△CDE，∴ABCD =EBED，∵AB=1.5m，CD=6m，BD=6m，∴1.56=BEEB+6，解得：EB=2，故答案为：2．首先判定△ABE∽△CDE，根据相似三角形的性质可得ABCD =EBED，然后代入数值进行计算即可．此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例．14.【答案】2【解析】解：设每盆应该多植x株，由题意得(3+x)(4−0.5x)=15，解得：x1=2，x2=3．因为要且尽可能地减少成本，所以x2=3舍去，答：每盆应多植2株，每盆的盈利15元，故答案为：2．根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株，得出平均单株盈利为(4−0.5x)元，由题意得(x+3)(4−0.5x)=15求出即可．此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．15.【答案】−16【解析】解：连接OA，∵AB//y轴，∴AB//x轴，∴S△AOB=S△ABC=8，|k|，∵S△AOB=12∴|k|=16，∵反比例函数y=k在第二象限，x∴k=−16，故答案为−16．连接OA，根据平行线间的距离相等得出S△AOB=S△ABC=8，然后根据反比例函数性质k的几何意义即可求得k=−16．本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确△AOB的面积=△ABC的面积是解题的关键．16.【答案】1或5−√13【解析】解：如图1中，当点P落在AC上时，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∵AB=3，BM=1，∴AM=2，∵∠ANM=90°，∴∠AMN=30°，AM=1．∴AN=12如图2中，当点P落在BC上时，∵∠BPN =∠C +∠PNC =∠BPM +∠MPN ，又∵∠B =∠C =60°，∠A =∠MPN =60°，∴∠BPM =∠PNC ，∴△PBM∽△NCP ，∴PM PN =PB NC =BM PC ，∵AN =PN ，AM =PM =2，∴2AN =PB 3−AN =13−PB ，解得AN =5−√13或5+√13(舍弃)，综上所述，AN 的值为1或5−√13．故答案为1或5−√13．分两种情形：如图1中，当点P 落在AC 上时，解直角三角形求出AN 即可．如图2中，当点P 落在BC 上时，利用相似三角形的性质构建方程组解决问题即可．本题考查翻折的性质、相似三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 17.【答案】解：x =2±√(−2)2−4×3×(−2)2×3=1±√73 即x 1=1+√73，x 2=1−√73∴原方程的解为x 1=1+√73，x 2=1−√73【解析】本题主要考查对解一元二次方程−公式法等知识点的理解和掌握，能熟练地运用公式法解一元二次方程是解此题的关键．先找出a ，b ，c ，再求出b 2−4ac =28，根据公式即可求出答案．18.【答案】2√2【解析】(1)证明：∵D是边BC的中点，∴BD=CD，∵DF=ED，∴四边形BFCE是平行四边形，∵∠ABC=90°，E是边AC的中点，∴BE=12AC=CE，∴四边形BFCE是菱形；(2)解：由(1)得：BE=12AC=CE=AE，四边形BFCE是菱形，∴AC//BF，BF=BE=CE=AE，∴BF//AE，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AB=EF=2，BD=12BC=2，∠ABC=90°，∴AD=√AB2+BD2=√22+22=2√2，故答案为：2√2．(1)先证四边形BFCE是平行四边形，再根据直角三角形的性质得到BE=CE，即可得出四边形BFCE是菱形；(2)先证四边形ABFE是平行四边形，得AB=EF=2，再求出BD=12BC=2，由勾股定理即可得出答案．本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．19.【答案】解：画出树状图如图：由树状图知，共有12种等可能结果，其中丁同学被选中的有6种结果，∴丁同学被选中的概率为612=12．【解析】用树状图表示出所有可能的结果，从树状图中找到丁同学被选中的情况数，利用所求情况数与总数之比求概率即可．此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】证明：(1)∵四边形EFGH 是矩形，∴HG//BC ，∴△AHG∽△ABC ；(2)∵EH ：HG =1：2，∴HG =2EH ，∵△AHG∽△ABC ，∴AN AD =HG BC ， ∴3−HE 3=2EH 9， ∴EH =95， ∴HG =2HE =185，∴矩形EFGH 的面积=95×185=16225．【解析】(1)由HG//BC ，可证△AHG∽△ABC ；(2)由相似三角形的性质可得AN AD =HG BC ，可求EH 的长，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．21.【答案】解：(1)将点A 的坐标代入y =m x 得，4=m 3，解得m =12，故反比例函数表达式为y =12x ，将B 点的纵坐标代入上式并解得，点B(6,2)，则{2=6k +b 4=3k +b ，解得{k =−23b =6， 故一次函数的表达式为y =−23x +6；(2)对于y =−23x +6，令y =−23x +6=0，解得x =9，故点C(9,0)，设点D(x,0)，则△ACD 的面积=12×CD ×y A =12×|x −9|×4=12，解得x =15或3，故点D的坐标为(15,0)或(3,0)．【解析】(1)用待定系数法即可求解；(2)△ACD的面积=12×CD×y A=12×|x−9|×4=12，即可求解．本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．22.【答案】解：(1)设这种药品每次降价的百分率是x，依题意，得：200(1−x)2=128，解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不合题意，舍去)．答：这种药品每次降价的百分率是20%．(2)128×(1−20%)=102.4(元)，∵102.4<105，∴按此降价幅度再一次降价，药厂会亏本．【解析】(1)设这种药品每次降价的百分率是x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；(2)根据经过连续三次降价后的价格=经过连续两次降价后的价格×(1−20%)，即可求出再次降价后的价格，将其与105元进行比较后即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23.【答案】解：(1)证明：∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，∴ADAB =ABAC，∴AB2=AD⋅AC．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠B=∠D，又∵∠CFE=∠D，∴∠CFE=∠B，又∵∠ECF=∠BCF，∴△ECF∽△FCB，∴CFCB =ECCF，∴CF2=CE⋅BC，∴BC=CF2CE =826=323，∴AD=323．(3)如图3中，分别延长EF，DA相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB//DC，∠BCA=12∠BCD，∵AC//EF，∴四边形CEGA为平行四边形，∴AC=EG，AG=CE=3，∠ECA=∠G，∵∠EDF=12∠BAD=12∠BCD，∴∠EDF=∠BCA，∴∠EDF=∠G，又∵∠DEF=∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴EDEG =EFDF，∴DE2=EF⋅EG，又∵EG=AC=2EF，∴DE2=2EF2，∴DE=√2EF，又∵DGDF =DEEF，∴DG=√2DF=7√2，∴DC=DG−AG=7√2−3．【解析】(1)证明△ABD∽△ACB，得出ADAB =ABAC，则可得出结论．(2)证明△ECF∽△FCB，推出CFCB =ECCF，推出CF2=CE⋅BC，求出BC，则可求出AD．(3)分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC=EG，CG=AE，∠EAC=∠G，证明△EDF∽△EGD，得出比例线段EDEG =EFDE，则DE=√2EF，可求出DG，则答案可求出．此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．24.【答案】6【解析】解：(1)如图1中，∵四边形AOBC是矩形，∴OA=OB=4，AC=BC=4√3，∠OBC=∠ACB=∠OAC=90°，∵∠BOC=30°，∴OC=2BC=8，∵BD⊥OC，∴BD=12OB=2√3，∴OD=√OB2−BD2=√(4√3)2−(2√3)2=6．故答案为6．(2)如图1中，过点F作FH⊥OC于H．∵AC//OB，∴∠FCH=∠COB=30°，∵CF=√3t，∴FH=12CF=√32t，∵OE=2t，OD=6，∴DE=6−2t，∵S△DEF=√3，∴12⋅(6−2t)⋅√32t=√3，解得t=1或2．(3)①当DE=EF时，则有(6−2t)2=(8−2t−32t)2+(√32t)2，解得t=16±√949．②当DE=DF时，则有(6−2t)2=(32t−2)2+(√32t)2，解得t=2或16(舍弃)，综上所述，满足条件的t的值16±√949或2．(1)利用直角三角形30度角的性质求出BD，再利用勾股定理求出OD即可．(2)如图1中，过点F作FH⊥OC于H.利用三角形面积公式构建方程求解即可．(3)分两种情形：①当DE=EF时．②当DE=DF时，分别构建方程求解即可．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，三角形的面积，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】(1)①解：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴CB=CD，∠BCD=90°，∵CB=CB′，∠BCB′=60°，∴△CBB′是等边三角形，∴∠DCB′=90°−60°=30°，∠CB′B=60°，CD=CB′，∴∠CB′D=∠CDB′=12(180°−30°)=75°，∴∠EB′D=180°−∠CB′B−∠CB′D=180°−60°−75°=45°．②证明：∵DE⊥BE，∴∠DEB=90°，∵∠EB′D=45°，∴∠EDB′=∠EB′D=45°，∴ED=EB′，∴DB′=√2DE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠EDB′=45°，BD=√2AD，∴∠BDB′=∠ADE，DB′DE =BDDA=√2，∴△AED～△BB′D．(2)解：①如图2中，连接BD．∵∠DCB′=30°，∠BCD=90°，∴∠BCB′=120°，∵CB=CD=CB′，∴∠CBB′=∠CB′B=30°，∠CDB′=∠CB′D=75°，∴∠DB′E=75°−30°=45°，∵DE⊥BB′，∴△DEB′是等腰直角三角形，∴DB′=√2EB′，∵∠ADB=∠EDB′=45°，BD=√2AD，∴∠ADE=∠BDB′，BDAD =B′DDE，∴△ADE∽△BDB′，∴AE：BB′=AD：BD=√2：2，∵BB′=2BC⋅cos30°=2×4×√32=4√3，∴AE=√22×4√3=2√6．②如图3−1中，当AD时平行四边形的对角线时，设AD交EB′于O，过点E作EH⊥AD 于H．由(1)②可知，△DEB′是等腰直角三角形，∴DE =EB′，∵OA =OD =2，OE =OB′，∴DE =2OE ，∴OE =2√55，DE =4√55， ∴EH =OE⋅DE OD =45， ∴OH =√OE 2−EH 2=(2√55)(45)=25， ∴AH =OA +OH =125，∴AE =√AH 2+EH 2=√(125)2+(45)2=4√105， 由(1)②可知，△AED ～△BB′D ．∴AEBB′=DEDB′=√22， ∴BB′=√2AE =8√55．如图3−2中，当点B′在BC 的延长线上时，四边形ADB′E 是平行四边形，此时BB′=8．综上所述，满足条件的BB′的值为8√55或8．【解析】(1)①利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理解决问题即可． ②根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．(2)①证明△ADE∽△BDB′，推出AE ：BB′=AD ：BD =√2：2，求出BB′，即可解决问题．②分两种情形：如图3−1中，当AD时平行四边形的对角线时，设AD交EB′于O，过点E作EH⊥AD于H.利用结论BB′=√2AE，求出AE即可．如图3−2中，当点B′在BC 的延长线上时，四边形ADB′E是平行四边形，此时BB′=8．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2020-2021沈阳市初三数学上期中试题(及答案)
D．长度分别是 3cm，5cm，6cm 的三根木条首尾相接，组成一个三角形
3．若 x1 是方程 ax2+2x+c＝0(a≠0)的一个根，设 M＝(ax1+1)2，N＝2﹣ac，则 M 与 N 的大 小关系为( )
A．M＞N
B．M＝N
C．M＜N
D．不能确定
4．如图是抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与 x 的一个交点
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B 解析：B 【解析】 【分析】 根据一元二次方程根的判别式可得：当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△＞0 时，方 程有两个不相等的实数根；当△＜0 时，方程没有实数根． 【详解】 解：根据题意可得：
△= (4)2 －4×4c=0，解得：c=1
在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④
一元二次方程 ax2+bx+c=n-1 有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
D．4 ）
A．
B．
C．
D．
6．如图所示的暗礁区，两灯塔 A，B 之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不 进入暗礁区，那么 S 对两灯塔 A，B 的视角∠ASB 必须（ ）
7．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据题意，先移项得 x2 y2 2 y2 x2 6 0 ，即
x2 y2 2 （x2 y2） 6 0 ，然后根据“十字相乘法”可得
(x2 y2 2)(x2 y2 3) 0 ，由此解得 x2 y2 =-2（舍去）或 x2 y2 3 .
2020-2021学年人教版第一学期九年级期中考试数学试卷(含答案)
九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.将二次函数y=2（x-1）2+2的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，将点P(a,b)关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（）A. (b−2,−a)B. (b+2,−a)C. (−a+2,−b)D. (−a−2,−b)5.同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )A. B. C. D.6.一元二次方程x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是( )A. 6B. -6C. 5D. -57.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8,BC=6，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且∠DAC=∠BAC，连接CD，且△ACD的面积为（）A. 24B. 30C. 36D. 408.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人9.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 且10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c ＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A. ②④⑤⑥⑦B. ①②③⑥⑦C. ①③④⑤⑦D. ①③④⑥⑦二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg ，2020年平均每公顷产5000kg ，则水稻每公顷产量的年平均增长率为________．13.一抛物线的形状，开口方向与y=3x2−3x+1相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为2________．14.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是________15.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝________．16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B 点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒.17.如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是________．18.如图，抛物线y=−14x2+12x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于X轴，与拋物线相交于P、Q两点，则线段PQ的长为________.三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19.如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．（1）指出它的旋转中心；（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；（3）分别写出点A，B，C的对应点．20.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.已知二次函数y=x2-4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：（1）A、B、C三点的坐标；（2）△ABC的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围________.24.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．25.如图，已知抛物线y=1x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上2O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴和y轴的平行线与直线OA交于点C、E，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m、n之间的关系式.26.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F 重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。
人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案(含2套题)
密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案（满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程3x 2﹣4x ﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A ．3和4 B ．3和﹣4 C ．3和﹣1 D ．3和1 2．二次函数y=x 2﹣2x+2的顶点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（2，2）C ．（1，2）D ．（1，3） 3．将△ABC 绕O 点顺时针旋转50°得△A 1B 1C 1（A 、B 分别对应A 1、B 1），则直线AB 与直线A 1B 1的夹角（锐角）为（ ） A ．130° B ．50° C ．40° D ．60°4．用配方法解方程x 2+6x+4=0，下列变形正确的是（ ） A ．（x+3）2=﹣4 B ．（x ﹣3）2=4 C ．（x+3）2=5 D ．（x+3）2=± 5．下列方程中没有实数根的是（ ） A ．x 2﹣x ﹣1=0 B ．x 2+3x+2=0 C ．2015x 2+11x ﹣20=0 D ．x 2+x+2=06．平面直角坐标系内一点P （﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．（3，﹣2）B ．（2，3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（2，﹣3）7．如图，⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OC=3：5，则AB 的长为（ ）A ． cmB ．8cmC ．6cmD ．4cm8．已知抛物线C 的解析式为y=ax 2+bx+c ，则下列说法中错误的是（ ）A ．a 确定抛物线的形状与开口方向B ．若将抛物线C 沿y 轴平移，则a ，b 的值不变 C ．若将抛物线C 沿x 轴平移，则a 的值不变D ．若将抛物线C 沿直线l ：y=x+2平移，则a 、b 、c 的值全变 9．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD 的面积最大值是（ ）A ．64B ．16C ．24D ．32封线内不得10．已知二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），且a2+ab+ac＜0，下列说法：①b2﹣4ac＜0；②ab+ac＜0；③方程ax2+bx+c=0有两个不同根x1、x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣x2﹣x﹣1的对称轴是_________．12．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为_________．13．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm．则AB和CD之间的距离_________．14．如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且AC2=BC•AB，AD2=CD•AC，AE2=DE•AD，则AE的长为_________．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是_________．16．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E点，则DE长度的取值范围是_________．三、解答题（共8小题，共72分）17．解方程：x2+x﹣2=0．18．已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），与y轴的交点是（﹣4），求这个二次函数的解析式．19．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的两实数根（1）求x1+x2，x1x2的值；（2）求2x12+6x2﹣2015的值．密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题20．如图所示，△ABC 与点O 在10×10的网格中的位置如图所示（1）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的图形； （2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转180°后的图形；（2）若⊙M 能盖住△ABC ，则⊙M 的半径最小值为_________．21．如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC ，垂足为E ，点D 在CA 的延长线上，若∠DAB+ ∠AOB=60°（1）求∠AOB 的度数； （2）若AE=1，求BC 的长．22．飞机着陆后滑行的距离S （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是：S=60t ﹣1.5t 2（1）直接指出飞机着陆时的速度； （2）直接指出t 的取值范围；（3）画出函数S 的图象并指出飞机着陆后滑行多远才能停来？23．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，点D 从B 点出发沿B →A 方向在线段BA 上以a cm/s 速度运动，与此同时，点E 从线段BC 的某个端点出发，以b cm/s 速度在线段BC 上运动，当D 到达A 点后，D 、E 运动停止，运动时间为t （秒）（1）如图1，若a=b=1，点E 从C 出发沿C →B 方向运动，连AE 、CD ，AE 、CD 交于F ，连BF ．当0＜t ＜6时：密封 线 内 不 得①求∠AFC 的度数； ②求的值；（2）如图2，若a=1，b=2，点E 从B 点出发沿B →C 方向运动，E 点到达C 点后再沿C →B 方向运动．当t ≥3时，连DE ，以DE 为边作等边△DEM ，使M 、B 在DE 两侧，求M 点所经历的路径长．24．定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所组成的图形）叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．（1）已知抛物线的焦点F （0，），准线l ：，求抛物线的解析式；（2）已知抛物线的解析式为：y=x 2﹣n 2，点A （0，）（n ≠0），B （1，2﹣n 2），P 为抛物线上一点，求PA+PB 的最小值及此时P 点坐标；（3）若（2）中抛物线的顶点为C ，抛物线与x 轴的两个交点分别是D 、E ，过C 、D 、E 三点作⊙M ，⊙M 上是否存在定点N ？若存在，求出N 点坐标并指出这样的定点N 有几个；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．B ． 2．A ． 3． B ．4.C ．5.D ．6.D ．7.B ．8.D ． 9. D ．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题10.C ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣x 2﹣x ﹣1的对称轴是 直线x=﹣ ． 12．已知x=（b 2﹣4c ＞0），则x 2+bx+c 的值为 0 ．13．⊙O 的半径为13cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB=24cm ，CD=10cm ．则AB 和CD 之间的距离 7cn 或17cm ．14．如图，线段AB 的长为1，C 在AB 上，D 在AC 上，且AC 2=BC •AB ，AD 2=CD •AC ，AE 2=DE •AD ，则AE 的长为 ﹣2 ．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y ＜0时，x 的取值范围是 x ＞3或x ＜﹣1 ．16．如图，△ABC 是边长为a 的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A 重合，三角板30°角的两边与BC 交于D 、E 两点，则DE 长度的取值范围是 （2﹣3）a ≤DE ≤a ． ．三、解答题（共8小题，共72分）17． 解：分解因式得：（x ﹣1）（x+2）=0， 可得x ﹣1=0或x+2=0，题解得：x 1=1，x 2=﹣2．18.解：设抛物线解析式为y=a （x ﹣3）2﹣1， 把（0，﹣4）代入得：﹣4=9a ﹣1，即a=﹣， 则抛物线解析式为y=﹣（x ﹣3）2﹣1．19.解：（1）∵∴x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣5，；（2）∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 12﹣3x 1﹣5=0， ∴x 12=3x 1+5，∴2x 12+6x 2﹣2015=2（3x 1+5）+6x 2﹣2015=6（x 1+x 2）﹣2015=﹣1987．20.解：（1）如图，△A ′B ′C ′为所作； （2）如图，△A ″B ″C ″为所求；（3）如图，点M 为△ABC 的外接圆的圆心，此时⊙M 是能盖住△ABC 的最小的圆，⊙M 的半径为=．故答案为．21.解：（1）连接OC ， ∵OA ⊥BC ，OC=OB ，∴∠AOC=∠AOB ，∠ACO=∠ABO ，∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB ，∠ACO=∠OAB ， ∴∠DAB=∠AOC ，∴∠DAB=∠AOB ，又∠DAB+∠AOB=60°， ∴∠AOB=30°； （2）∵∠AOB=30°， ∴BE=OB ，设⊙O 的半径为r ，则BE=r ，OE=r ﹣1， 由勾股定理得，r 2=（r ）2+（r ﹣1）2， 解得r=4，∵OB=OC ，∠BOC=2∠AOB=60°， ∴BC=r=4．密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题22.解：（1）飞机着陆时的速度V=60； （2）当S 取得最大值时，飞机停下来，则S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600， 此时t=20因此t 的取值范围是0≤t ≤20； （3）如图，S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600． 飞机着陆后滑行600米才能停下来．23.解：（1）如图1，由题可得BD=CE=t ． ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC ，∠B=∠ECA=60°． 在△BDC 和△CEA 中，，∴△BDC ≌△CEA ， ∴∠BCD=∠CAE ，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°， ∴∠AFC=120°；②延长FD 到G ，使得FG=FA ，连接GA 、GB ，过点B 作BH ⊥FG于H ，如图2，∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA ，密 封 内∴△FAG 是等边三角形，∴AG=AF=FG ，∠AGF=∠GAF=60°． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠BAC=60°， ∴∠GAF=∠BAC ， ∴∠GAB=∠FAC ． 在△AGB 和△AFC 中，，∴△AGB ≌△AFC ，∴GB=FC ，∠AGB=∠AFC=120°， ∴∠BGF=60°． 设AF=x ，FC=y ，则有FG=AF=x ，BG=CF=y ． 在Rt △BHG 中，BH=BG •sin ∠BGH=BG •sin60°=y ，GH=BG •cos ∠BGH=BG •cos60°=y ， ∴FH=FG ﹣GH=x ﹣y ． 在Rt △BHF 中，BF 2=BH 2+FH 2 =（y ）2+（x ﹣y ）2=x 2﹣xy+y 2．∴==1；（2）过点E 作EN ⊥AB 于N ，连接MC ，如图3，由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t ，CE=2（t ﹣3）=2t ﹣∴BE=6﹣（2t ﹣6）=12﹣2t ，BN=BE •cosB=BE=6﹣t ， ∴DN=t ﹣（6﹣t ）=2t ﹣6， ∴DN=EC ．∵△DEM 是等边三角形， ∴DE=EM ，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°∴∠NDE=∠MEC ． 在△DNE 和△ECM 中，，∴△DNE ≌△ECM ， ∴∠DNE=∠ECM=90°，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴M 点运动的路径为过点C 垂直于BC 的一条线段．当t=3时，E 在点B ，D 在AB 的中点， 此时CM=EN=CD=BC •sinB=6×=3；当t=6时，E 在点C ，D 在点A ， 此时点M 在点C ．∴当3≤t ≤6时，M 点所经历的路径长为3．24.解：（1）设抛物线上有一点（x ，y ）， 由定义知：x 2+（y ﹣）2=|y+|2，解得y=ax 2；（2）如图1，由（1）得抛物线y=x 2的焦点为（0，），准线为y=﹣，∴y=x 2﹣n 2由y=x 2向下平移n 2个单位所得， ∴其焦点为A （0，﹣n 2），准线为y=﹣﹣n 2， 由定义知P 为抛物线上的点，则PA=PH ， ∴PA+PH 最短为P 、B 、A 共线，此时P 在P ′处， ∵x=1，∴y=1﹣n 2＜2﹣n 2， ∴点B 在抛物线内，∴BI=y B ﹣y I =2﹣n 2﹣（﹣﹣n 2）=，∴PA+PB 的最小值为，此时P 点坐标为（1，1﹣n 2）； （3）由（2）知E （|n|，0），C （0，n 2），设OQ=m （m ＞0），则CQ=QE=n 2﹣m ，在Rt △OQE 中，由勾股定理得|n|2+m 2=（n 2﹣m ）2， 解得m=﹣， 则QC=+=QN ，∴ON=QN ﹣m=1， 即点N （0，1）， 故AM 过定点N （0，1）．密 封 线 得 人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案（满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．方程x 2=3x 的解是（ ）A ．x=﹣3B ．x=3C ．x 1=0，x 2=3D ．x 1=0，x 2=﹣3 3．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x 2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）A ．11B ．13C ．11或13D ．11和134．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ）A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．45．若a 为方程x 2+x ﹣5=0的解，则a 2+a+1的值为（ ）A ．12B ．6C ．9D ．166．关于x 的一元二次方程9x 2﹣6x+k=0则k 的范围是（ ）A ．k ＜1B ．k ＞1C ．k ≤1D ．k ≥17．如图所示，在等腰直角△ABC 中，∠B=90°，将△ABC A 逆时针旋转60°后得到的△AB ′C ′，则∠BAC ′等于（A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°8．与y=2（x ﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ A ．y=1+x 2 B ．y=（2x+1）2 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=2x 2 9．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向上平移3到的抛物线，其解析式是（ ）A ．y=2（x+1）2+3B ．y=2（x ﹣1）2﹣3C ．y=2（x+1）2﹣3D ．y=2（x ﹣1）2+3 10．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（﹣2，1） C ．（2，﹣1） D ．（﹣2，﹣1）11．函数y=﹣x 2﹣4x ﹣3图象顶点坐标是（ ） A ．（2，﹣1） B ．（﹣2，1） C ．（﹣2，﹣1） D ．2，1）密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题12．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的x 、y 的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 2 3y51﹣1 ﹣1 1则该二次函数图象的对称轴为（ ）A ．y 轴B ．直线x=C ．直线x=2D ．直线x= 13．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 、b 、c满足（ ）A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞014．已知抛物线y=ax 2+bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知0≤x ≤，那么函数y=﹣2x 2+8x ﹣6的最大值是（ ） A ．﹣10.5 B ．2 C ．﹣2.5 D ．﹣6 二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．解方程：x 2﹣4x+2=0．17．已知抛物线的顶点为A （1，﹣4），且过点B （3，0）．求该抛物线的解析式．18．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ． （1）求证：△COD 是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由．19．一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x （元）取整数，用y （元）表示该店日净收入．（ 日净收入=每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出 ）（1）当5＜x ≤10时，y= ；当x ＞10时， y= ；（2）若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？20．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．（3）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x（x取整数）个单位长度后落在△A2B2C2的内部，请直接写出x的值．21．已知关于x的一元二次方程．（1）判断这个一元二次方程的根的情况；（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．22．某房地产开放商欲开发某一楼盘，于2010年初以每亩100万的价格买下面积为15亩的空地，由于后续资金迟迟没有到位，一直闲置，因此每年需上交的管理费为购买土地费用的10%，2012年初，该开发商个人融资1500万，向银行贷款3500万后开始动工（已知银行贷款的年利率为5%，且开发商预计在2014年初完工并还清银行贷款），同时开始房屋出售，总面积为5万平方米，费用的5%开发商聘请调查公司进行了市场调研，发现在该片区，定位每平方米3000100元，则会少卖1000平方米，且卖房时间会延长2.5房地产开发商预计售房净利润为8660万．（1）问：该房地产开发商总的投资成本是多少万？（2）若售房时间定为2年（2发商不再出售，准备作为商业用房对外出租）每平方米多少元？23．正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A 合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C另一条直角边与边CD的延长线交于点F．（1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边与边CD交于G，且点G是斜边MN的中点，连接EGEG=BE+DG；（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G是否一定是边CD的中点？请说明你的理由．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题24．如图，已知点A （0，1），C （4，3），E （，），P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部（不在各边上）的一动点，点D 在y 轴上，抛物线y=ax 2+bx+1以P 为顶点． （1）说明点A ，C ，E 在一条直线上；（2）能否判断抛物线y=ax 2+bx+1的开口方向？请说明理由； （3）设抛物线y=ax 2+bx+1与x 轴有交点F 、G （F 在G 的左侧），△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，这时能确定a 、b 的值吗？若能，请求出a ，b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围．参考答案一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．B ．2. C ．3. B ．4. C ．5．B ．6．A ．7．A ．8．D ．9．A ． 10.B ．11.B ．12.D ．13.A ．14.D ．15.C ．二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．解：x 2﹣4x=﹣2 x 2﹣4x+4=2 （x ﹣2）2=2或 ∴，．17．解：设抛物线的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣4， ∵抛物线经过点B （3，0）， ∴a （3﹣1）2﹣4=0， 解得：a=1，∴y=（x ﹣1）2﹣4，即y=x 2﹣2x ﹣3．18．（1）证明：∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，∴∠OCD=60°，CO=CD ， ∴△OCD 是等边三角形； （2）解：△AOD 为直角三角形． 理由：∵△COD 是等边三角形．答 题∴∠ODC=60°，∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ， ∴∠ADC=∠BOC=α， ∴∠ADC=∠BOC=150°，∴∠ADO=∠ADC ﹣∠CDO=150°﹣60°=90°，于是△AOD 是直角三角形．19.解：（1）由题意得：当5＜x ≤10时，y=400（x ﹣5）﹣600； 当x ＞10时，y=（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=﹣40x 2+100x ﹣4600．即y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10）．故答案是：400（x ﹣5）﹣600；﹣40x 2+100x ﹣4600； （2）由（1）知，y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10） 当y=1560时，（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=1560， 解得：x 1=11，x 2=14，答：该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元；20．解：（1）作图如右：△A 1B 1C 1即为所求；（2）作图如右：△A 2B 2C 2即为所求；（3）x 的值为6或7．21.解：（1）密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题所以，方程有两个实数根；（2）若腰=3，则x=3是方程的一个根，代入后得：k=2， 原方程为x 2﹣5x+6=0⇒x 1=2，x 2=3即，等腰三角形的三边为3，3，2． 则周长为8，面积为若底为3，则原方程为x 2﹣4x+4=0⇒x 1=x 2=2 即，等腰三角形的三边为2，2，3． 则周长为7，面积为22.解：（1）15×100=1500万， 1500×10%×2=300万，1500+3500+3500×5%×2=5350万， 1500×5%×2=150万，四者相加1500+300+5350+150=7300万． 答：该房地产开发商总的投资成本是7300万；（2）设房价每平方米上涨x 个100元，依题意有 （5﹣0.1x ）=8660+7300， 解得x 1=12，x 2=8，又因为当x 1=12时，卖房时间为30个月，此时超过两年，所以舍去；当x 2=8时，卖房时间为20个月； 则房价为3000+8×100=3800元． 答：房价应定为每平方米3800元．23.解：（1）如图①，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD ． ∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD ，∴∠EAF ﹣∠EAD=∠BAD ﹣∠EAD ， ∴∠BAE=∠DAF ． 在△ABE 和△ADF 中，∴△ABE ≌△ADF （ASA ） ∴AE=AF ；（2）如图②，连接AG ， ∵∠MAN=90°，∠M=45°， ∴∠N=∠M=45°， ∴AM=AN ．∵点G 是斜边MN 的中点， ∴∠EAG=∠NAG=45°．密 封 题∴∠EAB+∠DAG=45°． ∵△ABE ≌△ADF ， ∴∠BAE=∠DAF ，AE=AF ， ∴∠DAF+∠DAG=45°， 即∠GAF=45°， ∴∠EAG=∠FAG ． 在△AGE 和AGF 中，，∴△AGE ≌AGF （SAS ）， ∴EG=GF ． ∵GF=GD+DF ， ∴GF=GD+BE ， ∴EG=BE+DG ；（3）G 不一定是边CD 的中点． 理由：设AB=6k ，GF=5k ，BE=x ， ∴CE=6k ﹣x ，EG=5k ，CF=CD+DF=6k+x ， ∴CG=CF ﹣GF=k+x ，在Rt △ECG 中，由勾股定理，得 （6k ﹣x ）2+（k+x ）2=（5k ）2， 解得：x 1=2k ，x 2=3k ，∴CG=4k 或3k ．∴点G 不一定是边CD 的中点．24.解：（1）由题意，A （0，1）、C （4，3）两点确定的直线解析式为：y=x+1 将点E 的坐标（，），代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=．∵左边=右边∴点E 在直线y=x+1上， 即点A 、C 、E 在一条直线上；（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 的内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下． 解法二：∵抛物线y=ax 2+bx+1的顶点P 的纵坐标为，且P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜＜3，由1＜1﹣得﹣＞0．∴a ＜0．∴抛物线开口向下； （3）连接GA 、FA ．密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∵S △GAO ﹣S △FAO =3∴GO •AO ﹣FO •AO=3． ∵OA=1， ∴GO ﹣FO=6．设F （x 1，0），G （x 2，0），则x 1、x 2是方程ax 2+bx+1=0的两个根，且x 1＜x 2，又∵a ＜0 ∴x 1•x 2=＜0， ∴x 1＜0＜x 2 ∴GO=x 2、FO=﹣x 1∴x 2﹣（﹣x 1）=6，即x 2+x 1=6 ∵x 2+x 1=，∴=6∴b=﹣6a∴抛物线的解析式为：y=ax 2﹣6ax+1，其顶点P 的坐标为（3，1﹣9a ）∵顶点P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜1﹣9a ＜3， ∴﹣＜a ＜0① 由方程组，得ax 2﹣（6a+）x=0， ∴x=0或x==6+，当x=0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点， 则有：0＜6+≤， 解得：﹣a ＜﹣②，综合①②，得﹣＜a ＜﹣，∵b=﹣6a ， ∴＜b ＜．。
2020-2021学年辽宁省沈阳市大东区九年级(上)期中数学试卷(Word+答案)
2020-2021学年辽宁省沈阳市大东区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）1．（2分）如图几何体的主视图是（）A．B．C．D．2．（2分）已知函数y＝的图象过点（2，﹣3），则该函数的图象必在（）A．第二、三象限B．第二、四象限C．第一、三象限D．第三、四象限3．（2分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．4B．﹣4C．1D．﹣14．（2分）下列命题是假命题的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的对角线互相垂直平分D．正方形的对角线互相垂直平分且相等5．（2分）在一个不透明的盒子里装有200个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在45%，那么估计盒子中黄球的个数为（）A．80B．90C．100D．1106．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（）A．2B．3C．4D．7．（2分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE 的长为（）A．3B．4C．5D．68．（2分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：59．（2分）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．x（x+1）＝110B．x（x﹣1）＝110C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝11010．（2分）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2D．﹣2＜x＜0或x＞2二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）若关于x的一元二次方程（a+5）x2+2x+a2﹣25＝0有一个根为0，则a的值为．12．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝2，则CD的长为．13．（3分）如图，小明站在距离灯杆6m的点B处．若小明的身高AB＝1.5m，灯杆CD＝6m，则在灯C的照射下，小明的影长BE＝m．14．（3分）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，则每盆应多植株．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数y＝在第二象限的图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为8，则k的值为．16．（3分）如图，已知等边△ABC，边长为3，点M为AB上一点，且BM＝1，点N为边AC上不与A、C重合的一个动点，连接MN，以MN为对称轴，折叠△AMN，点A的对应点为P．当点P落在等边△ABC的边上时，AN的长为三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）解方程：3x2﹣2x﹣2＝0．18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F．使DF＝ED．连接BE、BF、CF、AD．（1）求证：四边形BFCE是菱形；（2）若BC＝4，EF＝2，直接写出线段AD的长是．19．（8分）某校准备组建“校园安全宣传队”，每班有两个队员名额，某年某班有甲、乙、丙、丁四位同学报名，这四位同学综合素质都很好，王老师决定采取抽签的方式确定人选具体做法是：将甲、乙、丙、丁四名同学分别编号为1、2、3、4号，将号码分别写在4个大小、质地、形状、颜色均无差别的小球上，然后把小球放入不透明的袋子中，充分搅拌均匀后，王老师从袋中随机摸出两个小球，根据小球上的编号确定本班“校园安全宣传员”人选，利用画树状图或列表的方法，求丁同学被选中的概率．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）如图，矩形EFGH内接于△ABC（矩形各顶点在三角形边上），E，F在BC上，H，G分别在AB，AC 上，且AD⊥BC于点D，交HG于点N．（1）求证：△AHG∽△ABC；（2）若AD＝3，BC＝9，EH：HG＝1：2，求矩形EFGH的面积．21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）在第一象限的图象交于A（3，4）和B两点，B点的纵坐标是2，与x轴交于点C．（1）求一次函数的表达式；（2）若点D在x轴上，且△ACD的面积为12，求点D的坐标．五、（本题10分）22．（10分）为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，已知每次下降的百分率相同．（1）求这种药品每次降价的百分率是多少？（2）已知这种药品的成本为105元，若按此降价幅度再一次降价，药厂是否亏本？六、（本题10分）23．（10分）（1）如图1，在△ABC中，D为AC上一点，∠ABD＝∠C．求证：AB2＝AD•AC．（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为BA延长线上一点，∠CFE＝∠D．若CF＝8，CE ＝6，求AD的长．（3）如图3，在菱形ABCD中，E是BC上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠DAB，CE＝3，DF＝7，直接写出菱形ABCD的边长．七、（本题12分）24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在y轴上，OB在x轴上，A（0，4），OB＝4，连接OC，∠COB＝30°，点B作BD⊥OC，垂足为D，动点E从O点以每秒2个单位长度的速度沿OD方向匀速运动到D点为止：点F沿线段CA以每秒个单位长度的速度由点C向点A匀速运动，到点A为止，点E与点F同时出发，点F随点E停止而停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）线段OD＝；（2）连接EF和FD，当△DEF的面积为时，求点E的坐标；（3）在整个运动过程中，当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时，直接写出t的值．八、（本题12分）25．（12分）将边长为4正方形ABCD边BC绕点C顺时针旋转至B'C，记旋转角为α，连接BB'，B'D，过点D作DE垂直于直线BB'，垂足为点E，连接AE．（1）如图1，当α＝60°时，①求∠EB'D的度数；②连接BD，求证：△AED～△BB′D；（2）当0°＜α＜360°，且α≠90°时，①如图2，当∠DCB′＝30°时，直接写出AE的值；②当以点B'，E，A，D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出B'B的长度．2020-2021学年辽宁省沈阳市大东区九年级（上）期中数学试卷试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）1．解：由图可得，几何体的主视图是：故选：A．2．解：∵函数y＝的图象过点（2，∴k＝2×（﹣3）＝﹣6＜0，∴函数的图象在二、四象限，故选：B．3．解：根据题意得△＝22﹣8•（﹣a）＝0，解得a＝﹣1．故选：D．4．解：A、平行四边形的对角线互相平分；B、矩形的对角线互相相等，原命题是假命题；C、菱形的对角线互相垂直平分；D、正方形的对角线互相垂直平分且相等；故选：B．5．解：设盒子中黄球的个数为x，根据题意，得：，解得：x＝90，即盒子中黄球的个数为90，故选：B．6．解：∵直线l1∥l2∥l5，∴＝，∵AB＝5，BC＝6，∴＝，∴DE＝，故选：D．7．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵菱形ABCD的周长为32，∴AB＝8，∵E为AB边中点，∴OE＝AB＝4．故选：B．8．解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，∴△ABC与△DEF的位似比是5：2．∴△ABC与△DEF的相似比为1：8，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：C．9．解：设有x个队参赛，则x（x﹣1）＝110．故选：D．10．解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y7＝的图象相交于A，∴A、B两点关于原点对称，∵点A的横坐标为2，∴点B的横坐标为﹣8，∵由函数图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞8时函数y1＝k1x的图象在y3＝的上方，∴当y1＞y3时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞3．故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．解：把x＝0代入一元二次方程（a+5）x4+2x+a2﹣25＝5得a2﹣25＝0，解得a6＝5，a2＝﹣8，而a+5≠0，所以a的值为2．故答案为5．12．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，BD＝2，∴CD2＝AD•BD＝5×4＝8，∴CD＝4，故答案为：2．13．解：∵AB⊥ED，CD⊥ED，∴AB∥DC，∴△ABE∽△CDE，∴＝，∵AB＝1.5m，CD＝4m，∴＝，解得：EB＝2，故答案为：2．14．解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣6.5x）＝15，解得：x1＝4，x2＝3．因为要且尽可能地减少成本，所以x8＝3舍去，答：每盆应多植2株，每盆的盈利15元，故答案为：4．15．解：连接OA，∵AB∥y轴，∴AB∥x轴，∴S△AOB＝S△ABC＝8，∵S△AOB＝|k|，∴|k|＝16，∵反比例函数y＝在第二象限，∴k＝﹣16，故答案为﹣16．16．解：如图1中，当点P落在AC上时，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵AB＝3，BM＝3，∴AM＝2，∵∠ANM＝90°，∴∠AMN＝30°，∴AN＝AM＝1．如图2中，当点P落在BC上时，∵∠BPN＝∠C+∠PNC＝∠BPM+∠MPN，又∵∠B＝∠C＝60°，∠A＝∠MPN＝60°，∴∠BPM＝∠PNC，∴△PBM∽△NCP，∴＝＝，∵AN＝PN，AM＝PM＝2，∴＝＝，解得AN＝5﹣或5+，综上所述，AN的值为1或5﹣．故答案为6或5﹣．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．解：＝即，∴原方程的解为，18．（1）证明：∵D是边BC的中点，∴BD＝CD，∵DF＝ED，∴四边形BFCE是平行四边形，∵∠ABC＝90°，E是边AC的中点，∴四边形BFCE是菱形；（2）解：由（1）得：BE＝AC＝CE＝AE，∴AC∥BF，BF＝BE＝CE＝AE，∴BF∥AE，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AB＝EF＝2，BD＝BC＝2，∴AD＝＝＝2，故答案为：2．19．解：画出树状图如图：由树状图知，共有12种等可能结果，∴丁同学被选中的概率为＝．四、（每小题8分，共16分）20．证明：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC；（2）∵EH：HG＝1：2，∴HG＝7EH，∵△AHG∽△ABC，∴，∴EH＝，∴HG＝2HE＝，∴矩形EFGH的面积＝×＝．21．解：（1）将点A的坐标代入y＝得，4＝，故反比例函数表达式为y＝，将B点的纵坐标代入上式并解得，点B（2，则，解得，故一次函数的表达式为y＝﹣x+6；（2）对于y＝﹣x+6x+6＝0，故点C（8，设点D（x，0），则△ACD的面积＝×CD×y A＝×|x﹣7|×4＝12，解得x＝15或3，故点D的坐标为（15，3）或（3．五、（本题10分）22．解：（1）设这种药品每次降价的百分率是x，依题意，得：200（1﹣x）2＝128，解得：x7＝0.2＝20%，x4＝1.8（不合题意，舍去）．答：这种药品每次降价的百分率是20%．（2）128×（4﹣20%）＝102.4（元），∵102.4＜105，∴按此降价幅度再一次降价，药厂会亏本．六、（本题10分）23．解：（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴＝，∴AB2＝AD•AC．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠B＝∠D，又∵∠CFE＝∠D，∴∠CFE＝∠B，又∵∠ECF＝∠BCF，∴△ECF∽△FCB，∴＝，∴CF2＝CE•BC，∴BC＝＝＝，∴AD＝．（3）如图5中，分别延长EF，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BCA＝，∵AC∥EF，∴四边形CEGA为平行四边形，∴AC＝EG，AG＝CE＝2，∵∠EDF＝∠BAD＝，∴∠EDF＝∠BCA，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴＝，∴DE2＝EF•EG，又∵EG＝AC＝3EF，∴DE2＝2EF4，∴DE＝EF，又∵＝，∴DG＝DF＝3，∴DC＝DG﹣AG＝7﹣3．七、（本题12分）24．解：（1）如图1中，∵四边形AOBC是矩形，∴OA＝OB＝4，AC＝BC＝5∠ACB＝∠OAC＝90°，∵∠BOC＝30°，∴OC＝2BC＝4，∵BD⊥OC，∴BD＝OB＝8，∴OD＝＝＝6．故答案为6．（2）如图2中，过点F作FH⊥OC于H．∵AC∥OB，∴∠FCH＝∠COB＝30°，∵CF＝t，∴FH＝CF＝t，∵OE＝8t，OD＝6，∴DE＝6﹣8t，∵S△DEF＝，∴•（6﹣2t）•，解得t＝8或2．（3）①当DE＝EF时，则有（6﹣3t）2＝（8﹣2t﹣t）6+（t）6，解得t＝．②当DE＝DF时，则有（6﹣7t）2＝（t﹣2）2+（t）2，解得t＝2或16（舍弃），综上所述，满足条件的t的值．八、（本题12分）25．（1）①解：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，∵CB＝CB′，∠BCB′＝60°，∴△CBB′是等边三角形，∴∠DCB′＝90°﹣60°＝30°，∠CB′B＝60°，∴∠CB′D＝∠CDB′＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠EB′D＝180°﹣∠CB′B﹣∠CB′D＝180°﹣60°﹣75°＝45°．②证明：∵DE⊥BE，∴∠DEB＝90°，∵∠EB′D＝45°，∴∠EDB′＝∠EB′D＝45°，∴ED＝EB′，∴DB′＝DE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠EDB′＝45°，BD＝，∴∠BDB′＝∠ADE，＝＝，∴△AED～△BB′D．（2）解：①如图2中，连接BD．∵∠DCB′＝30°，∠BCD＝90°，∴∠BCB′＝120°，∵CB＝CD＝CB′，∴∠CBB′＝∠CB′B＝30°，∠CDB′＝∠CB′D＝75°，∴∠DB′E＝75°﹣30°＝45°，∵DE⊥BB′，∴△DEB′是等腰直角三角形，∴DB′＝EB′，∵∠ADB＝∠EDB′＝45°，BD＝，∴∠ADE＝∠BDB′，＝，∴△ADE∽△BDB′，∴AE：BB′＝AD：BD＝：2，∵BB′＝7BC•cos30°＝2×4×＝4，∴AE＝×5．②如图4﹣1中，当AD时平行四边形的对角线时，过点E作EH⊥AD于H．由（1）②可知，△DEB′是等腰直角三角形，∴DE＝EB′，∵OA＝OD＝2，OE＝OB′，∴DE＝5OE，∴OE＝，DE＝，∴EH＝＝，∴OH＝＝＝，∴AH＝OA+OH＝，∴AE＝＝＝，由（1）②可知，△AED～△BB′D．∴＝＝，∴BB′＝AE＝．如图5﹣2中，当点B′在BC的延长线上时，此时BB′＝8．综上所述，满足条件的BB′的值为．。
2020-2021学年辽宁省沈阳市大东区九年级(上)期末数学试卷-解析版
2020-2021学年辽宁省沈阳市大东区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.如图所示的几何体的主视图是()A.B.C.D.2.如果2a=5b，那么下列比例式中正确的是()A. ab =25B. a5=2bC. ab=52D. a2=b53.在平面直角坐标系中，反比例函数y=1x的图象位于()A. 第二、四象限B. 第一、三象限C. 第一、四象限D. 第三、四象限4.反比例函数y=k−1x的图象在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是()A. k>1B. k<1C. k=1D. k≠15.抛物线y=12x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是()A. y=12(x+1)2−2 B. y=12(x−1)2+2C. y=12(x−1)2−2 D. y=12(x+1)2+26.如图，某游乐场山顶滑梯的高BC为50米，滑梯的坡比为5：12，则滑梯的长AB为()A. 100米B. 110米C. 120米D. 130米7.已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为()A. 20B. 30C. 40D. 508.如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE=AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为()A. 20°B. 22.5°C. 25°D. 30°9.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF是位似图形，原点O是位似中心，位似比OA：OD=1：3，若AB=3，则DE的长为()A. 5B. 6C. 9D. 1210.如图，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，于x轴交于点A，B(−1,0)，则：①二次函数的最大值为a+b+c；②a−b+c<0；③b2−4ac<0；④当y>0时，−1<x<3.其中正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD=8，A′D′=6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是______．12.已知关于x的一元二次方程(a−2)x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．13.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为BC中点，AC=6，BD=8，则线段OH的长为______．14.某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(10≤x≤20且x为整数)出售，可卖出(20−x)件，若使利润最大，则每件商品的售价应为______元．15.如图，小明想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离AB为1.5m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角为30°，看建筑物顶部D的仰角为45°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．则建筑物CD的高度______m.16.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B的坐标，动点C在x为(4,0)，AB⊥x轴，连接AO，tan∠AOB=54轴上，连接AC，将△ABC沿AC所在直线翻折得到△ACB′，当点B′恰好落在y轴上时，则点C的坐标为______．三、解答题（本大题共9小题，共82.0分）)−1+(2020−√2)0+|2−√2|.17.计算：2cos45°+(−1218.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是边BC上的中线，过点A作AE//BC，过点D作DE//AB，DE与AC，AE分别交于点O，E，连接EC．(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若AB=AO，OD=1，则菱形ADCE的周长为______．19.如图，在△ACB中，AB=AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF=∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，且BD=3，CF=2，则DE的EF值为______．20.目前中学生带手机进校园现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度，在此次调查活动中，初三(1)班和初三(2)班各有2位家长对中学生带手机持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2位家长来自相同班级的概率．温馨提示：初三(1)班两名家长用A1，A2表示；初三(2)班两名家长用B1，B2表示．(k≠0)的图象交于点21.如图，一次函数的图象y=ax+b(a≠0)与反比例函数y=kx,4)，点B(m,1)．A(12(1)求这两个函数的表达式；(2)若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，点P是反比例函数图象上的一点，当S△OCP：S△BCD=1：3时，请直接写出点P的坐标．22.新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．(1)若降价2元，则平均每天销售数量为______件；(2)当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？23.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O为坐标原点，∠AOB=90°，边OA在y正半轴上，边OB在x，动点C从正半轴上，且点B的坐标为(4,0)，cosB=45点A出发沿着射线AO的方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，动点D从点B出发沿着射线BA的方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，已知点C和点D同时出发，设它们的运动时间为t秒(t>0)．(1)请直接写出线段AB的长______点A坐标______；(2)当AC=AB时，连结BC，求tan∠ABC的值；(3)当△BCD为直角三角形时，直接写出tan∠OBC的值．24.(1)如图1，正方形ABCD和正方形DEFG(其中AB>DE)，连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系______，位置关系______；(2)如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α(0°<α<360°)，连接AG，CE交于点H，(1)中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)矩形ABCD和矩形DEFG，AD=2DG=6，AB=2DE=8，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α(0°<α<360°)，直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．25.如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(−1,0)，C(3,0)，点B为抛物线顶2点，连接AB，BC，AB与y轴交于点D，连接CD．(1)①求这条抛物线的函数表达式；②直接写出顶点B的坐标______；(2)直接写出△ABC的形状为______；(3)点P为抛物线上第一象限内的一个动点，设△PDC的面积为S，点P的横坐标为m，当S有最大值时，求m的值；(4)如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使∠BCA+∠QCA=∠α，当tanα=2时，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：主视图是一个“L”形的组合图形．故选：A．找到从几何体的正面看所得到的图形即可．此题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．2.【答案】C【解析】解：∵2a=5b，∴ab =52或a5=b2或a2=5b2．故选：C．由2a=5b，根据比例的性质，即可求得答案．此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质．3.【答案】B【解析】解：∵k=1>0，∴反比例函数y=1x的图象在第一，三象限内，故选：B．首先确定反比例函数的比例系数的符号，然后根据反比例函数的性质确定反比例函数的图象的位置即可．此题主要考查反比例函数图象的性质：(1)k>0时，图象是位于一、三象限；(2)k<0时，图象是位于二、四象限．4.【答案】A【解析】解：∵反比例函数y=k−1x的图象在每一象限内，y随x的增大而减小，∴k−1>0，解得：k>1，故选：A．根据反比例函数y=k−1x的图象在每一象限内和y随x的增大而减小得出k−1>0，再求出k的范围即可．本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．5.【答案】D【解析】解：抛物线y=12x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位得y=12(x+1)2+2．故选：D．根据二次函数图象的平移规律(左加右减，上加下减)进行解答即可．本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．6.【答案】D【解析】解：∵某游乐场山顶滑梯的高BC为50米，滑梯的坡比为5：12，∴BCAC =512，则50AC =512，解得：AC=120米，故AB=√AC2+BC2=√1202+502=130(米)．故选：D．直接利用坡比的定义得出AC的长，再利用勾股定理得出AB的长．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键．7.【答案】A【解析】【分析】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是了解黑球的频率稳定在0.4附近，即概率约为0.4．根据黑球的频率稳定在0.4附近得到黑球的概率约为0.4，则可得摸到白球的概率约为0.6，据此可得白球和黑球的个数总和，最后可求得黑球的个数．【解答】解：根据题意得：摸出白球的概率约为：1−0.4=0.6，则总的球数为：30÷0.6=50(个)，∴黑球个数为：50−30=20(个)．故选：A．【解析】【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据∠CDE=90°−∠ADE，求出∠ADE即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ADC=90°，∠DAC=45°，∵AE=AB，∴AD=AE，∴∠ADE=∠AED=67.5°，∴∠CDE=90°−67.5°=22.5°，故选B．9.【答案】C【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，∴AB//DE，∴△OAB∽△ODE，∴ABDE =OAOD，即3DE=13，解得，DE=9，故选：C．根据位似图形的概念得到AB//DE，进而得到△OAB与△ODE，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的性质是解题的关键．10.【答案】B【解析】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A 点坐标是解题关键．直接利用二次函数的开口方向以及图象与x 轴的交点，进而分别分析得出答案．【解答】解：①∵二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)图象的对称轴为x =1，且开口向下， ∴x =1时，y =a +b +c ，即二次函数的最大值为a +b +c ，故①正确；②当x =−1时，a −b +c =0，故②错误；③图象与x 轴有2个交点，故b 2−4ac >0，故③错误；④∵图象的对称轴为x =1，与x 轴交于点A 、点B(−1,0)，∴A(3,0)，故当y >0时，−1<x <3，故④正确．故选：B ．11.【答案】4：3【解析】解：∵AD =8，A′D′=6，∴AD ：A′D′=4：3，∵△ABC∽△A′B′C′，AD 和A′D′是它们的对应中线，∴△ABC 与△A′B′C′的相似比=AD ：A′D′=4：3，∴△ABC 与△A′B′C′的周长比是4：3，故答案为：4：3．根据相似三角形周长的比等于相似比、对应中线的比等于相似比解答．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键． 12.【答案】a <3且a ≠2【解析】解：∵关于x 的一元二次方程(a −2)x 2+2x +1=0有两个不相等的实数根， ∴{a −2≠0△=22−4(a −2)×1>0， 解得：a <3且a ≠2．故答案为：a <3且a ≠2．根据二次项系数非零结合根的判别式△>0，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．本题考查了根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式△>0，列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．13.【答案】2.5【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=12BD=4，OC=OA=12AC=3，在Rt△BOC中，BC=√OB2+OC2=√42+32=5，∵H为BC中点，∴OH=12BC=2.5．故答案为：2.5．先根据菱形的性质得到AC⊥BD，OB=OD=12BD=4，OC=OA=12AC=3，再利用勾股定理计算出BC，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH的长．本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．14.【答案】15【解析】解：设利润为w元，则w=(20−x)(x−10)=−(x−15)2+25，∵10≤x≤20，∴当x=15时，二次函数有最大值25，故答案是：15．本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价−每件进价．再根据所列二次函数求最大值．本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．15.【答案】3+3√32【解析】解：如图，作AE⊥CD于E，则四边形ABCE为矩形，∴CE=AB=1.5m，AE=BC，在Rt△ACE中，tan∠CAE=CEAE，∴AE=CEtan∠CAE = 1.5tan30∘=32√3(m)，在Rt△ADE中，∵∠DAE=45°，∴△ADE为等腰直角三角形，∴DE=AE=32√3m，又∵CE=AB=1.5m，∴CD=CE+DE=1.5+32√3=3+3√32(m)，答：建筑物CD的高度为3+3√32m.故答案为：3+3√32．作AE⊥CD于E，则四边形ABCE为矩形，CE=AB=1.5m.解Rt△ACE，得出AE的长，再解Rt△ADE，根据等腰直角三角形的性质得出DE，根据CD=CE+DE即可得出答案．此题考查了解直角三角形的应用，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．16.【答案】(32,0)【解析】解：∵tan∠AOB=54，B(4,0)，∴ABOB =54，∴AB=5，∵将△ABC沿AC所在直线翻折得到△ACB′，∴AB=AB′=5，BC=B′C，过点A作AD⊥y轴于点D，∴B′D=√AB′2−AD2=√52−42=3，∴OB′=2，设OC=x，则BC=B′C=4−x，Rt△OB′C中，∵OC2+OB′2=B′C2，∴x2+22=(4−x)2，解得x=32，∴C(32,0)．,0)．故答案为：(32求出AB=5，由折叠的性质得出AB=AB′=5，BC=B′C，过点A作AD⊥y轴于点D，由勾股定理求出OB′=2，得出x2+22=(4−x)2，解得x=3，则可得出答案．2本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想是解本题的关键．17.【答案】解：原式=2×√2−2+1+2−√22=√2−2+1+2−√2=1．【解析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】4√5【解析】(1)证明：∵AE//BC，DE//AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE=BD，∵AD是边BC上的中线，∴BD=CD，∴AE=CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠BAC=90°，AD是边BC上的中线，BC=CD，∴AD=12∴平行四边形ADCE是菱形；(2)解：∵四边形ADCE是菱形，∴AD=AE=CE=CD，AC⊥DE，OA=OC，∵BD=CD，∴OD是△ABC的中位线，∴AB=2OD=2，∴AO=AB=2，∴AD=√AO2+OD2=√22+12=√5，∴菱形ADCE的周长=4AD=4√5，故答案为：4√5．(1)先证四边形ABDE为平行四边形，再证得AE=CD，得四边形ADCE是平行四边形，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得AD=CD，即可得出结论；(2)先由菱形的性质得AD=AE=CE=CD，AC⊥DE，OA=OC，再证OD是△ABC的中位线，得AB=2OD=2，则AO=AB=2，然后由勾股定理求出AD的长即可解决问题．本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识；证得四边形ADCE为菱形是解题的关键．19.【答案】√62【解析】解：(1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BDE=180°−∠B−∠DEB，∠CEF=180°−∠DEF−∠DEB，∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△BDE∽△CEF；(2)∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∵△BDE∽△CEF，∴DBCE =BECF，∴BE2=DB⋅CF=6，∴BE=CE=√6，∵△BDE∽△CEF，∴DEEF =DBCE=√6=√62，故答案为：√62．(1)由相似三角形的判定可证△BDE∽△CEF；(2)由相似三角形的性质可得DBCE =BECF，可求BE=CE=√6，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．20.【答案】解：画树状图如下：共有12种等可能结果，其中2人来自相同班级的共有4种，所以2人来自相同班级的概率为412=13．【解析】画树状图展示所有12种等可能结果，再找出2人来自相同班级的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率． 21.【答案】解：(1)把点A(12,4)代入y =k x (k ≠0)得：k =12×4=2，∴反比例函数的表达式为：y =2x ，∵点B(m,1)在y =2x 上，∴m =2，∴B(2,1)，∵点A(12,4)、点B(2,1)都在y =ax +b(a ≠0)上，∴{12a +b =42a +b =1， 解得：{a =−2b =5， ∴一次函数的表达式为：y =−2x +5；(2)∵一次函数图象与y 轴交于点C ，∴y =−2×0+5=0，∴C(0,5)，∴OC =5，∵点D 为点C 关于原点O 的对称点，∴D(0,−5)，∴OD =5，∴CD =10，∴S △BCD =12×10×2=10，设P(x,2x )，∴S △OCP =12×5×x =52x ，∵S △OCP ：S △BCD =1：3，∴52x =13×10，∴x =43，∴P 的横坐标为43或−43，∴P(43,32)或(−43,−32).【解析】(1)把点A(12,4)代入y =k x (k ≠0)得：k =2，得反比例函数的表达式为：y =2x ，再求m =2，则B(2,1)，然后把点A 和点B 的坐标代入求出a 和b 即可；(2)先求出C(0,5)，则OC =5，再求出D(0,−5)，则CD =10，然后由三角形面积关系求出P 的横坐标为43或−43，即可解决问题．本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题、对称的性质以及三角形面积等知识，求出两个函数的解析式是解题的关键． 22.【答案】24【解析】解：(1)20+2×2=24(件)．故答案为：24．(2)设每件商品降价x 元，则平均每天可销售(20+2x)件，依题意，得：(40−x)(20+2x)=1200，整理，得：x 2−30x +200=0，解得：x 1=10，x 2=20．当x =20时，40−x =20<25，∴x =20舍去．答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元．(1)根据平均每天销售量=20+2×降低的价格，即可求出结论；(2)设每件商品降价x元，则平均每天可销售(20+2x)件，根据总利润=每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23.【答案】5 (0,3)【解析】解：(1)∵∠AOB=90°，点B的坐标为(4,0)，cosB=45，∴OBAB =45，∴AB=5，∴OA=√AB2−OB2=√52−42=3，∴A(0,3)；故答案为：5，A(0,3)；(2)如图1，当AB=AC=5时，∠ABC=∠ACB，∴CO=AC−AO=5−3=2，在Rt△BCO中，tan∠ACB=OBOC =42=2，∴tan∠ABC=tan∠ACB=2；(3)①当C在线段AO上，且∠BDC=90°时，如图2，∵cosA=OAAB =ADAC，即35=5−2tt，解得：t=2513，∴OC=3−2513=1413，∴tan∠OBC=OCOB =14134=726；②当C在线段AO上，且∠BCD=90°，如图3，过D作DF//BO，交AC于F，∴AD=5−2t，∵DF//BO，∴△ADF∽△ABO，∴ADAB =AFAO=DFBO，即5−2t5=AF3=DF4，∴AF=3−65t，DF=4−85t，∵AC=t，∴CO=3−t，CF=AC−AF=t−(3−65t)=115t−3，∵∠BCD=∠DCF+∠BCO=∠BCO+∠OBC=90°，∴∠DCF=∠OBC，∵∠DFC=∠O=90°，∴△DFC∽△COB，∴DFCO =CFOB，即4−85t3−t=115t−34，∴4(4−85t)=(3−t)(115t−3)，解得：t1=5(舍)，t2=2511，∴tan∠OBC=OCOB =3−25114=211；③当C在线段AO的延长线上，且∠BCD=90°时，如图4，过D作DF⊥AC，交CA的延长线于F，∵DF//BO，∴△ADF∽△ABO ， ∴AD AB =AF AO =DF BO ，即2t−55=AF 3=DF 4， ∴AF =65t −3，DF =85t −4，∵AC =t ，∴CO =t −3，CF =AC +AF =t +(65t −3)=115t −3， 同理得△DFC∽△COB ， ∴DF CO =CF OB ，即85t−4t−3=115t−34， ∴4(85t −4)=(t −3)(115t −3)，解得：t 1=5，t 2=2511(舍)，∴tan∠OBC =COOB =5−34=12； ④当C 在线段AO 的延长线上，且∠CBD =90°时，如图5，∵∠ABO +∠OBC =∠OBC +∠OCB ，∴∠ABO =∠OCB ，∴tan∠ABO =tan∠OCB =AO BO =OB OC ，即34=4t−3，解得：t =253， ∴OC =253−3=163， ∴tan∠OBC =OCOB =1634=43； 综合以上可得，tan∠OBC 的值是726或211或12或43．(1)先根据锐角三角函数定义可得OB =4，由勾股定理计算OA =3，则可得出答案；(2)由等腰三角形的性质得出∠ABC =∠ACB ，计算∠ACB 的正切值即可得出答案；(3)当△BCD 为直角三角形时，分C 在线段AO 上和射线AO 上两种情况，再分∠BDC =90°，∠BCD=90°和∠CBD=90°分别画图，根据三角形相似和三角函数列比例式可解决问题．此题是三角形的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，正确利用相似三角形的判定进行解答是解题关键．24.【答案】相等垂直【解析】解：(1)如图1，在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADE+∠EDG=∠ADC+∠ADE，即∠ADG=∠CDE，∵DG=DE，DA=DC，∴△GDA≌△EDC(SAS)，∴AG=CE，∠GAD=∠ECD，∵∠COD=∠AOH，∴∠AHO=∠CDO=90°，∴AG⊥CE，故答案为：相等，垂直；(2)不成立，CE=2AG，AG⊥CE，理由如下：如图2，由(1)知，∠EDC=∠ADG，∵AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，∴DG AD =12，DE CD =DE AB =12，∴DGAD =EDDC =12， ∴△GDA∽△EDC ，∴AD DC =AG EC =12，即CE =2AG ，∵△GDA∽△EDC ，∴∠ECD =∠GAD ，∵∠COD =∠AOH ，∴∠AHO =∠CDO =90°，∴AG ⊥CE ；(3)①当点E 在线段AG 上时，如图3，在Rt △EGD 中，DG =3，ED =4，则EG =5，过点D 作DP ⊥AG 于点P ，∵∠DPG =∠EDG =90°，∠DGP =∠EGD ，∴△DGP∽△EGD ， ∴DG EG =PG DG =PD ED ，即35=PG 3=PD 4， ∴PD =125，PG =95， 则AP =√AD 2−PD 2=√62−(125)2=6√215， 则AE =AG −GE =AP +GP −GE =6√215+95−5=6√21−165；②当点G 在线段AE 上时，如图4，过点D 作DP ⊥AG 于点P ，∵∠DPG =∠EDG =90°，∠DGP =∠EGD ，同理得：PD =125，AP =6√215， 由勾股定理得：PE =√42−(125)2=165， 则AE =AP +PE =6√215+165=6√21+165；综上，AE 的长为6√21±165． (1)证明△GDA≌△EDC(SAS)，即可求解；(2)根据两边对应成比例且夹角相等证明△GDA∽△EDC ，即可求解；(3)①当点E 在线段AG 上时，如图3，证明△DGP∽△EGD ，列比例式可得AE 的长；②当点G 在线段AE 上时，如图4，同理可解．本题是四边形综合题，涉及旋转的性质，矩形的性质，三角形全等和相似的性质和判定，勾股定理等知识，难度适中，其中(3)正确画图和分类讨论是解题的关键． 25.【答案】(1,2) 等腰直角三角形【解析】解：(1)①把点A(−1,0)，C(3,0)代入抛物线y =ax 2+bx +32中得：{a −b +32=09a +3b +32=0，解得：{a =−12b =1， ∴抛物线的解析式为：y =−12x 2+x +32；②y =−12x 2+x +32=−12(x −1)2+2，∴顶点B 的坐标为(1,2)；故答案为：(1,2)(2)△ABC 的形状是等腰直角三角形，理由是：如图1，∵A(−1,0)，C(3,0)，B(1,2)，∴AC 2=(3+1)2=16，AB 2=(1+1)2+22=4+4=8，BC 2=(3−1)2+(2−0)2=4+4=8，∴AB 2+BC 2=AC 2，∴∠ABC =90°，AB =BC ，∴△ABC 的形状是等腰直角三角形；(3)由题意得：P(m,−12m 2+m +32)，∵A(−1,0)，B(1,2)，设直线AB 的解析式为：y =kx +n(k ≠0)，则{−k +n =0k +n =2，解得：{k =1n =1， ∴直线AB 的解析式为：y =x +1，∴D(0,1)，同理可得直线CD 的解析式为：y =−13x +1，如图2，过P 作PN//y 轴，交CD 于N ，∴N(m,−13m +1)，∴PN =−12m 2+m +32−(−13m +1)=−12m 2+43m +12，∴S =12PN ⋅OC ，=12×3(−12m2+43m+12)，=−34m2+2m+34，=−34(m−43)2+2512，∵−34<0，∴当m=43时，S有最大值；(4)分两种情况：①当Q在x轴的下方时，如图3，延长BA，CQ交于点F，过F作FG⊥y轴于G，∵∠BCA+∠QCA=∠α，且tanα=2，∴BFBC=2，∵BC=AB=2√2，∴AF=2√2，∵∠FAG=∠BAC=45°，∴△AGF是等腰直角三角形，∴AG=FG=2，∴F(−3,−2)，∵C(3,0)，同理得直线CF的解析式为：y=13x−1，∵−12x2+x+32=13x−1，3x2−4x−15=0，(x−3)(3x+5)=0，x1=3，x2=−53，∴Q 的横坐标为−53；②当Q 1在x 轴的上方时，如图4，∵∠QCA =∠Q 1CA ，OD =OH =1， 由对称得：CQ 1经过点D ，∴CQ 1的解析式为：y =−13x +1，∴−12x 2+x +32=−13x +1， 解得：x 1=3，x 2=−13， ∴Q 1的横坐标为−13，综上，Q 的横坐标为−53或−13．(1)①把点A(−1,0)，C(3,0)代入抛物线y =ax 2+bx +32中，列方程组，解出即可求得结论；②配方后可得顶点B 的坐标；(2)利用两点的距离分别计算AB 2，AC 2，BC 2的值，根据勾股定理的逆定理可得：△ABC 是等腰直角三角形；(3)如图2，作辅助线，求出直线CD 的解析式，用含m 的代数式表示出点P 和点N 的坐标，计算PN 的长，根据三角形面积公式可得：S 关于m 的函数关系式，并根据二次函数的性质写出S 的最大值时m 的值；(4)分两种情况讨论：①当点Q 在x 轴下方时，如图3，先确定CF 的解析式，利用抛物线与直线CF 的解析式列方程，解出可得Q 的横坐标；②当Q 1在x 轴下方时，如图4，同理可得结论．本题考查了待定系数法求解析式，利用配方法求最大值，列方程可得交点坐标等知识，涉及知识点较多，综合性强，有较大难度，是典型的中考数学压轴题．。
2020-2021学年辽宁省沈阳市铁西区九年级(上)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年辽宁省沈阳市铁西区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题1．（2分）若菱形两条对角线的乘积等于48，则这个菱形的面积为（）A．48B．32C．24D．122．（2分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则EF的长为（）A．2.4B．3C．3.6D．4.83．（2分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0时，配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2＝3B．（x+2）2＝3C．（x﹣2）2＝1D．（x﹣2）2＝﹣1 4．（2分）矩形不具有的性质是（）A．四条边相等B．对角线互相平分C．对角相等D．对角线相等5．（2分）某人在做掷硬币实验时，投掷m次，正面朝上有n次（即正面朝上的频率是P ＝）．则下列说法中正确的是（）A．P一定等于B．P一定不等于C．多投一次，P更接近D．投掷次数逐渐增加，P稳定在附近6．（2分）如图所示，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB⊥BD于点B，点E是BD 的中点，连接AE，CE，则AE与CE的大小关系是（）A．AE＝CE B．AE＞CE C．AE＜CE D．AE＝2CE 7．（2分）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根8．（2分）如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（）A．B．C．D．9．（2分）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（）A．B．C．D．10．（2分）如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F，旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面距离AB＝1.6米，标杆高FC＝3.2米，且BC＝1米，CD＝5米，则旗杆的高度为（）A．8.4米B．9.6米C．11.2米D．12.4米二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）在一个不透明的袋子里有1个白球和1个红球，它们除颜色外其他都相同，从袋子里随机摸出一个球记下颜色放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到白球的概率为．12．（3分）方程x（x+2）＝0的根是．13．（3分）如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD：DC＝1：2，点E是BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，BC＝12，则BF＝．14．（3分）如图所示，将一组邻边长分别为5和12的两个矩形ABCD和矩形AEFG拼成“L”形图案，则线段CF的长为．15．（3分）某文具店三月份销售铅笔100支，四，五两个月销售量连续增长．若四，五月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是．（用含x的代数式表示）16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．设点P运动的时间为t秒，当△PBQ是直角三角形时，t的值为．三、（17题6分，18题、19题各8分，共22分）17．（6分）解方程：x2﹣5x+1＝0．18．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数．19．（8分）在一个不透明的箱子内装入标记数字分别为﹣1，2，3，﹣6的四个小球，小球除标记数字不同外其他都相同．随机取出一个小球，记下标记的数字为m，不放回；再从箱内剩下的球中再随机取出一个小球，记下标记的数字为n．请用画树状图或列表的方法，求“点（m，n）在第二象限”的概率．四、（20、21题各8分，共16分）20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，过点C作AB的平行线交∠ABC的平分线于点D，BD交边AC于点E，求DE的长．21．（8分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，求m2+2mn+n2的值．五、（本题10分）22．（10分）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，AE＝AC．连接DE 并延长，交AB于点G，过点G作GH∥AC，交BC于点H，连接DH交AC于点F，平行四边形ABCD的面积为24．（1）求证：EF＝2AE；（2）△ADG的面积＝．六、（本题10分）23．（10分）某企业安排65名工人生产甲，乙两种产品，每名工人每天可生产2件甲产品或1件乙产品，且每名工人每天只能生产一种产品，甲产品每件可获利15元．根据市场需求，乙产品每天产量不少于5件，当乙产品每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元，设每天安排x（x≥5）名工人生产乙产品．（1）用含x的代数式表示：每天生产甲产品的工人有名；每件乙产品可获利润元；（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润：（3）该企业在不增加工人数量的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲，丙两种产品的产量相等．已知每名工人每天可生产1件丙产品，丙产品每件可获利30元，请直接写出该企业每天生产三种产品且可获得的总利润为3198元时的x的值．七、（本题12分）24．（12分）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，以点O为顶点作正方形OEFG（顶点字母顺序与正方形ABCD顶点顺序一致，都是逆时针排列），且OG＞AB，将正方形OEFG绕点O顺时针旋转，边OG与正方形ABCD的边交于点M，连接CE，DG．（1）如图1，当点M在边AD上且不与点A，D重合时，求证：CE＝DG；（2）如图2，当点M是CD边的中点，且∠CDG＝60°时，求正方形OEFG的边长；（3）连接BE，当DG⊥BD，OM＝时，请直接写出线段BE的长．八.（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，直线y＝﹣2x+b与x轴交于点B，且过点D（1，4），点E是线段BD上一个动点（不与点B和点D重合），EF⊥x轴于点F，点P是线段OC上的一点，连接OE，EP．（1）求点A和点B的坐标；（2）当△OEF的面积为2时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，当EP+PC最小时，请直接写出OP的长．参考答案一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分）1．（2分）若菱形两条对角线的乘积等于48，则这个菱形的面积为（）A．48B．32C．24D．12解：由题意可得：菱形的面积＝＝＝24，故选：C．2．（2分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则EF的长为（）A．2.4B．3C．3.6D．4.8解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，∴EF＝3.6，故选：C．3．（2分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0时，配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2＝3B．（x+2）2＝3C．（x﹣2）2＝1D．（x﹣2）2＝﹣1解：方程x2﹣4x+1＝0，变形得：x2﹣4x＝﹣1，配方得：x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，故选：A．4．（2分）矩形不具有的性质是（）A．四条边相等B．对角线互相平分C．对角相等D．对角线相等解：∵矩形的性质有：四个角都是直角，对角线互相平分且相等，对边平行且相等，∴矩形不具有的性质是四条边相等，故选：A．5．（2分）某人在做掷硬币实验时，投掷m次，正面朝上有n次（即正面朝上的频率是P ＝）．则下列说法中正确的是（）A．P一定等于B．P一定不等于C．多投一次，P更接近D．投掷次数逐渐增加，P稳定在附近解：∵硬币只有正反两面，∴投掷时正面朝上的概率为，根据频率的概念可知投掷次数逐渐增加，P稳定在附近．故选：D．6．（2分）如图所示，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB⊥BD于点B，点E是BD 的中点，连接AE，CE，则AE与CE的大小关系是（）A．AE＝CE B．AE＞CE C．AE＜CE D．AE＝2CE解：∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点，∴CE＝BE＝DE，∵AB⊥BD，∴∠ABE＝90°，∴AE＞BE，∴AE＞CE．故选：B．7．（2分）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．8．（2分）如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（）A．B．C．D．解：由题意得，A中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；C，D中正方形，菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；而B中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B中矩形不是相似多边形．故选：B．9．（2分）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（）A．B．C．D．解：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，画树状图得：∵共有6种等可能的结果，可配成紫色的有3种情况，∴可配成紫色的概率是：．故选：D．10．（2分）如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F，旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面距离AB＝1.6米，标杆高FC＝3.2米，且BC＝1米，CD＝5米，则旗杆的高度为（）A．8.4米B．9.6米C．11.2米D．12.4米解：作AH⊥ED交FC于点G，如图所示：∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，∴FG∥EH，∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，∴AH＝BD，AG＝BC，∵AB＝1.6，FC＝3.2，BC＝1，CD＝5，∴FG＝3.2﹣1.6＝1.6，BD＝6，∵FG∥EH，∴，＝解得：EH＝9.6，∴ED＝9.6+1.6＝11.2（m）答：电视塔的高ED是11.2米，故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）在一个不透明的袋子里有1个白球和1个红球，它们除颜色外其他都相同，从袋子里随机摸出一个球记下颜色放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到白球的概率为．解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有4种等可能出现的结果，两次都是白球的有1种，所以两次都摸到白球的概率为，故答案为：．12．（3分）方程x（x+2）＝0的根是x1＝0，x2＝﹣2．解：x（x+2）＝0，x＝0，x+2＝0，x1＝0，x2＝﹣2，故答案为：x1＝0，x2＝﹣2．13．（3分）如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD：DC＝1：2，点E是BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，BC＝12，则BF＝3．解：过E作EG∥BC，交AC于G，∵EG∥BC，E为BD中点，∴DG＝CG，＝，又∵AD：DC＝1：2，∴＝＝，∴BF：FC＝1：3，∵BC＝12，∴BF＝3；故答案为：3．14．（3分）如图所示，将一组邻边长分别为5和12的两个矩形ABCD和矩形AEFG拼成“L”形图案，则线段CF的长为13．解：延长CD交FG于H，如图所示：∵矩形ABCD和矩形AEFG的一组邻边长分别为5和12，∴∠ADC＝∠BCD＝∠B＝∠G＝90°，AB＝CD＝GF＝12，AD＝BC＝AG＝5，AE∥GF，∴BG＝AG+AB＝17，∠DHG＝∠ADC＝90°，∴∠CHF＝90°，四边形BCHG是矩形，∴CH＝BG＝17，GH＝BC＝5，∴HF＝GF﹣GH＝12﹣5＝7，∴CF＝＝＝13，故答案为：13．15．（3分）某文具店三月份销售铅笔100支，四，五两个月销售量连续增长．若四，五月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是100（1+x）2．（用含x的代数式表示）解：若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是：100（1+x）2，故答案为：100（1+x）2．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．设点P运动的时间为t秒，当△PBQ是直角三角形时，t的值为或．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，∴AB＝＝（cm）．由题意可知点P运动时间t秒时，AP＝tcm，BQ＝tcm，∴BP＝（﹣t）cm，BQ＝tcm，当△PBQ是直角三角形时，有两种情况：①当∠BQ1P1＝90°时，如图1：∵∠C＝90°，∠BQ1P1＝90°，∴∠C＝∠BQ1P1，又∵∠B＝∠B，∴△BQ1P1∽△BCA，∴＝，∴＝，解得：t＝；②当∠BP2Q2＝90°时，如图2：∵∠C＝90°，∠BP2Q2＝90°，∴∠C＝∠BP2Q2，又∵∠B＝∠B，∴△BP2Q2∽△BCA，∴＝，∴＝，解得：t＝．故答案为：或．三、（17题6分，18题、19题各8分，共22分）17．（6分）解方程：x2﹣5x+1＝0．解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，△＝b2﹣4ac＝25﹣4＝21，∴x＝，∴x1＝，x2＝．18．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴AO＝OB，∵AB＝AO，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD＝60°19．（8分）在一个不透明的箱子内装入标记数字分别为﹣1，2，3，﹣6的四个小球，小球除标记数字不同外其他都相同．随机取出一个小球，记下标记的数字为m，不放回；再从箱内剩下的球中再随机取出一个小球，记下标记的数字为n．请用画树状图或列表的方法，求“点（m，n）在第二象限”的概率．解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有12种等可能出现的结果，其中点（m，n）在第二象限的有4种，所以点（m，n）在第二象限的概率为＝．四、（20、21题各8分，共16分）20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，过点C作AB的平行线交∠ABC的平分线于点D，BD交边AC于点E，求DE的长．解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，∵BD平分∠ABC，∴∠DCB＝∠DBA，∵CD∥AB，∴∠D＝∠DBA，∴∠D＝∠DBC，∴CD＝CB＝6，∵CD∥AB，∴△CDE∽△ABE，∴＝＝＝＝，∴CE＝AC＝×8＝3，在Rt△BCE中，BE＝＝＝3，∵＝，∴DE＝．21．（8分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，求m2+2mn+n2的值．解：把x＝1代入方程x2+mx+n＝0得1+m+n＝0，即m+n＝﹣1，所以m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣1）2＝1．五、（本题10分）22．（10分）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，AE＝AC．连接DE 并延长，交AB于点G，过点G作GH∥AC，交BC于点H，连接DH交AC于点F，平行四边形ABCD的面积为24．（1）求证：EF＝2AE；（2）△ADG的面积＝4．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AE＝AC，∴AE：EC＝1：3，∵AG∥CD，∴△AEG∽△CED，∴＝＝＝，∴DE：DG＝3：4，AG：AB＝1：3，∴BG：AB＝2：3，∵EF∥GH，∴△DEF∽△DGH，∴＝＝，∴GH＝EF，∵GH∥AC，∴△BGH∽△BAC，∴＝＝，∴GH＝AC，∴EF＝AC＝×4AE，∴EF＝2AE；（2）∵AG：AB＝1：3，∴S△ADG＝S平行四边形ABCD＝×24＝4．故答案为4．六、（本题10分）23．（10分）某企业安排65名工人生产甲，乙两种产品，每名工人每天可生产2件甲产品或1件乙产品，且每名工人每天只能生产一种产品，甲产品每件可获利15元．根据市场需求，乙产品每天产量不少于5件，当乙产品每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元，设每天安排x（x≥5）名工人生产乙产品．（1）用含x的代数式表示：每天生产甲产品的工人有（65﹣x）名；每件乙产品可获利润（130﹣2x）元；（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润：（3）该企业在不增加工人数量的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲，丙两种产品的产量相等．已知每名工人每天可生产1件丙产品，丙产品每件可获利30元，请直接写出该企业每天生产三种产品且可获得的总利润为3198元时的x的值．解：（1）由已知，每天安排x人生产乙产品时，生产甲产品的有（65﹣x）人，共生产甲产品2（65﹣x）＝（130﹣2x）件．在乙每件120元获利的基础上，增加x人，利润减少2x元每件，则乙产品的每件利润为120﹣2（x﹣5）＝（130﹣2x）元；故答案为：（65﹣x）；（130﹣2x）；（2）由题意15×2（65﹣x）＝x（130﹣2x）+550，∴x2﹣80x+700＝0，解得x1＝10，x2＝70（不合题意，舍去），∴130﹣2x＝110（元），答：每件乙产品可获得的利润是110元；（3）根据题意得：15（130﹣2x）+x（130﹣2x）＝3198，解得：x1＝27，x2＝23，答：x的值为27或23．七、（本题12分）24．（12分）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，以点O为顶点作正方形OEFG（顶点字母顺序与正方形ABCD顶点顺序一致，都是逆时针排列），且OG＞AB，将正方形OEFG绕点O顺时针旋转，边OG与正方形ABCD的边交于点M，连接CE，DG．（1）如图1，当点M在边AD上且不与点A，D重合时，求证：CE＝DG；（2）如图2，当点M是CD边的中点，且∠CDG＝60°时，求正方形OEFG的边长；（3）连接BE，当DG⊥BD，OM＝时，请直接写出线段BE的长．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OC＝OD，∵四边形EFGO是正方形，∴OE＝OG，∠EOG＝90°，∴∠EOG＝∠DOC＝90°，∴∠EOC＝∠GOD，∴△COE≌DOG（SAS），∴EC＝DG．（2）解：如图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴OD＝OC＝OA＝OB，∠DOC＝90°，∵DM＝CM，∴OM＝DM＝CM＝1，OM⊥CD，∴∠DMG＝90°，∵∠GDC＝60°，∴GM＝DM•tan60°＝，∴OOM+GM＝1+，∴正方形EFGO的边长为1+．（3）解：如图3﹣1中，当点M在线段AD上，靠近点A时，过点O作OJ⊥AD于J，过点G作GT⊥CD交CD的延长线于T，连接CG．∵∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BOE＝∠COG，∵OB＝OC，OE＝OG，∴△OBE≌△OCG（SAS），∴BE＝CG，在Rt△JOM中，∵∠OJM＝90°，OM＝，OJ＝1，∴JM＝＝＝，∵JA＝JD＝1，∴AM＝JM＝，∵DG⊥BD，OA⊥BD，∴OA∥DG，∴＝＝，∴DG＝3OA＝3，∵GT⊥CT，∴∠T＝90°，∵∠GDB＝90°，∴∠TDG+∠CDB＝90°，∵∠CDB＝45°，∴∠TDG＝45°，∴TG＝TD＝3，∴CT＝DT+CD＝3+2＝5，∴CG＝＝＝，∴BE＝CG＝．如图3﹣2中，当点M在线段AD上，靠近点D时，过点O作OJ⊥AD于J，过点G作GT⊥CD交CD的延长线于T，连接CG．同法可得，GT＝DT＝，CT＝DT+CD＝，∴BE＝CG＝＝＝．如图3﹣3中，当点M在线段CD上，靠近点D时，过点O作OJ⊥CD于J，过点G作GT⊥CDT，连接CG．同法可得，GT＝DT＝，CT＝2﹣＝，∴BE＝CG＝＝＝．如图3﹣4中，当点M在线段CD上，靠近点C时，过点O作OJ⊥AD于J，过点G作GT⊥CD于T，连接CG．同法可得，GT＝TD＝3，CT＝DT﹣CD＝3﹣2＝1，BE＝CG＝＝＝，综上所述，满足条件的BE的值为或或或．八.（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，直线y＝﹣2x+b与x轴交于点B，且过点D（1，4），点E是线段BD上一个动点（不与点B和点D重合），EF⊥x轴于点F，点P是线段OC上的一点，连接OE，EP．（1）求点A和点B的坐标；（2）当△OEF的面积为2时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，当EP+PC最小时，请直接写出OP的长．解：（1）令y＝3x+3＝0，解得x＝﹣1，故点A（﹣1，0），将点D的坐标代入y＝﹣2x+b得，4＝﹣2+b，解得b＝6，故直线的表达式为y＝﹣2x+6，令y＝﹣2x+6＝0，解得x＝3，故点B的坐标为（3，0），故点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）；（2）设点E（x，﹣2x+6），则△OEF的面积＝×OF×EF＝x（﹣2x+6）＝2，解得x＝1（舍去）或2，故点E的坐标为（2，2）；（3）过点E作EH⊥AC交y轴于点P，则点P为所求点，在Rt△AOC中，tan∠ACO＝，则sin∠ACO＝，则PH＝PC sin∠ACO＝PC，则EP+PC＝EP+PH＝HE为最小，过点E作EK⊥y轴于点K，则∠PEK＝90°﹣∠KPE＝90°﹣∠CPH＝∠HCP，故tan∠PEK＝，设直线EH的表达式为y＝﹣x+t，将点E的坐标代入上式得，2＝﹣+t，解得t＝，即OP＝．。
2020-2021沈阳市九年级数学上期中一模试卷(附答案)
解析：B 【解析】 【分析】 利用抛物线开口方向确定 a 的符号，利用对称轴方程可确定 b 的符号，利用抛物线与 y 轴 的交点位置可确定 c 的符号． 【详解】 ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，
∴x＝﹣ b ＞0， 2a
∴b＞0， ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， ∴c＞0， 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下 开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab＞ 0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定 抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于（0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由△决定：
14．如图,将边长为 12 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开,再把△ABC 沿着 AD 方向平移,得 到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为 32 时,它移动的距离 AA′等于________.
15．圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，该圆锥的侧面积为_______．
16．已知 x1，x2 是方程 x2﹣x﹣3＝0 的两根，则
A．30πcm2
B．48πcm2
C．60πcm2
D．80πcm2
12．用配方法解方程 x2 8x 9 0 ，变形后的结果正确的是( )
A． x 42 9 B． x 42 7 C． x 42 25 D． x 42 7
二、填空题
13．如图，五边形 ABCD 内接于⊙O，若 AC=AD，∠B+∠E=230°，则∠ACD 的度数是 __________．
辽宁省沈阳市大东区九年级上学期数学期中试题及答案
2022-2023学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期数学期中试题及答案一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）1. 用配方法解方程2220x x --=，则方程可变形为（ ）A. 2(2)1x -= B. 2(1)2x -=C. 2(1)3x -= D. 2(1)4x -=【答案】C【解析】【分析】先把常数项移到方程右侧，然后配方即可．【详解】解：2220x x --=，222x x -=，22121x x -+=+，2(1)3x -=，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法；能够将一元二次方程配成标准形式，再利用直接开平方法求解是解题的关键．2. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）A. 10B. 40C. 20D. 25【答案】C【解析】【分析】根据题意，作出图形，在图形中，结合菱形性质，对角线互相垂直平分，利用勾股定理得到菱形边长即可得到菱形周长．【详解】解：根据题意，作图如下：6,8,BD AC BD AC ==⊥ ，3,4OB OD OA OC ∴====，在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒，则5AB ===，∴菱形的周长为4520⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理求线段长，涉及菱形四条边相等、对角线相互垂直平分等知识，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．3. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是( )A. 邻边相等B. 四个角都是直角C. 对角线相等D. 对角线互相平分【答案】D【解析】【详解】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，所以一定都具有的性质是平行四边形的性质，即对角线互相平分.故选：D.4. 某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一门课程的概率是（ ）A 12 B. 13 C. 16 D. 19【答案】B【解析】【分析】先画树状图（数学史、诗词赏析、陶艺三门课程分别用A 、B 、C 表示）展示所有9种可能的结果数，再找出小波和小春选到同一课程的结果数，然后根据概率公式求解．.【详解】解：画树状图为：（数学史、诗词赏析、陶艺三门课程分别用A 、B 、C 表示）由树状图可知共有9种可能的结果数，其中小波和小春选到同一课程的结果数为3，所以小波和小春选到同一课程的概率3193==，故选：B ．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求解概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．5. 临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为4万元，第三个月的销售额为5.76万元，设两个月销售额的月平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ）A. ()412 5.76x += B. ()241 5.76x ⨯+=C. ()241 5.76x += D. ()241 5.76x +=【答案】C【解析】【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x ，则第二个月的销售额是()41x +万元，第三个月的销售额为()241x +万元，即可得答案；【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x ，则第二个月的销售额是()41x +万元，第三个月的销售额为()241x +万元，()241 5.76x ∴+=，故选：C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额．6. 已知ABC A B C '''△∽，AD 和A D ''是它们的对应中线，若5AD =，3A D ''=，则ABC ∆与△A B C '''面积的比是（ ）A. 3:5B. 9:25C. 5:3D. 25:9【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵ABC A B C '''△∽，AD 和A D ''是它们的对应中线，5AD =，3A D ''=，∴2225=9ABC A B C S AD S A D '''=''△△，∴ABC 与A B C ''' 的面积比是：25:9．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应中线、高线、角平分线的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，熟知相似三角形的性质是解题关键．7. 关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为13x =，23x =-．那么下列结论一定成立的是（ ）A. 240b ac ->B. 240b ac -<C. 240b ac -=D. 240b ac -≤【答案】A【解析】【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可．【详解】解： 关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为13x =，23x =-，即方程有两个不相等的实数解，∴△240b ac =->．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式的性质，理解根的判别式是解决问题的关键．8. 如图，在ABC 中，DE BC ∥，23AD DB =，若6AC =，则EC =（ ）A. 65 B. 125 C. 185 D. 245【答案】C【解析】【分析】由DE BC ∥，23AD DB =，可得2,3AD AE DB EC ==再建立方程即可．【详解】解： DE BC ∥，23AD DB =，2,3AD AE DB EC \== 6AC =，62,3CE CE -\= 解得：18.5CE =经检验符合题意故选C【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“23AD AE DB EC ==”是解本题的关键．9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点坐标分别是()0,0O ，()6,0A ，()6,4B ，()0,4C ，已知矩形OA B C '''与矩形OABC 位似，位似中心是原点O ，且矩形OA B C '''的面积等于矩形OABC 面积的14，则点B '的坐标为（ ）A. ()3,2 B. ()3,2或()3,2--C. ()3,2-- D. ()2,3或()2,3--【答案】B【解析】【分析】根据位似图形的性质可得矩形OA B C '''与矩形OABC 位似比为12，即可求解．【详解】解： 矩形OA B C '''与矩形OABC 位似，矩形OA B C '''的面积等于矩形OABC 面积的14，∴矩形OA B C '''与矩形OABC 位似比为12， 位似中心是原点O ，()6,4B ，∴点B '的坐标为116,422⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，或116(),4(22⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎝⎭，，即()3,2或()3,2--，故选：B ．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．10. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，若1AD =，4BD =，则CD 的长为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】首先证ACD CBD ，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD 的长．【详解】解：Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥；90ACD A B ∴∠=︒-∠=∠；又CD AB ⊥ 于D ，90ADC CDB ∴∠=∠=︒，ACD CBD ∴~ ；AD CD CD BD∴=，2·14CD AD BD ∴==⨯，2CD ∴=．故选：A ．【点睛】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质；能够正确判定三角形相似，利用性质建立比例式时解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）11. 方程22(2)(5)30mm x m x --+++=是关于x 的一元二次方程，则m =___________．【答案】2-【解析】【分析】根据一元二次方程的定义知，222m -=，且20m -≠，据此可以求得m 的值．【详解】解： 方程22(2)(5)30mm x m x --+++=是关于x 的一元二次方程，222m ∴-=，且20m -≠，解得2m =-；故答案是：2-．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键．12. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是_____．【答案】13【解析】【分析】先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．【详解】解：x 2﹣6x+8＝0，(x﹣2)(x﹣4)＝0，x﹣2＝0，x﹣4＝0，x 1＝2，x 2＝4，当x ＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x ＝2舍去，当x ＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，故答案为：13．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否构成三角形的好习惯，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．13. 一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30％，那么估计盒子中小球的个数是_______．【答案】30【解析】【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n 的值．【详解】解：根据题意得9n＝30%，解得n ＝30，所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．故答案为30．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．14. 如图，,,6,4,14AB BD CD BD AB CD BD ⊥⊥===，点P 在BD 上移动，当以P ，C ，D 为顶点的三角形与ABP 相似时，求BP 的长．【答案】当BP 为8.4或2或12时，以C 、D 、P 为顶点的三角形与以P 、B 、A 为顶点的三角形相似．【解析】【分析】设DP=x ，则BP=BD-x=14-x ，根据垂直的定义得到∠B=∠D=90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当AB BP CD DP=时，△ABP∽△CDP，即6144x x -=；当AB BP DP DC =时，△ABP∽△PDC，即6144x x -=；然后分别解方程求出x 即可．【详解】解：设DP=x ，则BP=BD-x=14-x ，∵AB⊥BD 于B ，CD⊥BD 于D ，∴∠B=∠D=90°，∴当AB BP CD DP =时，△ABP∽△CDP，即6144x x-=，解得2828148.455x BP ==-=，；当AB BP DP DC =时，△ABP∽△PDC，即6144x x -=，整理得x 2-14x+24=0，解得x 1=2，x 2=12，BP=14-2=12，BP=14-12=2，∴当BP 为8.4或2或12时，以C 、D 、P 为顶点的三角形与以P 、B 、A 为顶点的三角形相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．15. 如图，EB 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P 处与地面BE 的距离为1.6米，车头FACD 近似看成一个矩形，且满足32FD FA =，若盲区EB 的长度是6米，则车宽FA 的长度为________米．【答案】127【解析】【分析】通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可．【详解】解：如图，过点P 作PM⊥BE，垂足为M ，交AF 于点N ，则PM=1.6，设FA=x 米，由3FD=2FA 得，FD=23x=MN ，∵四边形ACDF 是矩形，∴AF∥CD，∴△PAF∽△PBE，∴PN FA PM EB =，即1.66PN x =，∴415PN x =，∵PN+MN=PM，∴42 1.6153x x +=，解得，x=127，故答案为：127．【点睛】本题考查视点、视角、盲区的意义，此类问题可以转化为相似三角形的知识进行解答．16. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边,AB BC 的中点，连接,EC FD ，点G 、H 分别是,EC FD 的中点，连接GH ，则GH 的长度为________．【解析】【分析】连接CH 并延长交AD 于P ，连接PE ，根据正方形的性质得到∠A=90°，AD//BC ，AB=AD=BC=2，根据全等三角形的性质得到PD=CF=1，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．详解】解：连接CH 并延长交AD 于P ，连接PE ，∵四边形ABCD 正方形，∴∠A=90°，AD//BC ，AB=AD=BC=2，∵E，F 分别是边AB ，BC 的中点，∴AE=CF=12×2=1，∵AD//BC，∴∠DPH=∠FCH，∵H 是DF 的中点，∴DH=FH，在△PDH 和△CFH 中DPH FCH PHD CHF DH FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PDH≌△CFH（AAS ），∴PD=CF=1，∴AP=AD-PD=1，，∵点G ，H 分别是EC ，FD 的中点，∴GH=12；．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的中位线等知识，正确的识别图形是解题的关键．【是三、解答题（第17小题8分，第18小题6分，第19小题8分，共22分）17. 解下列方程：（1）2(3)2(3)0x x x -+-=；（2）(3)(5)25x x --=．【答案】（1）13x =，21x =（2）14x =+，24x =-【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用配方法得到2(4)26x -=，然后利用直接开平方法解方程；【小问1详解】2(3)2(3)0x x x -+-=，(3)(33)0x x --=，30x ∴-=或330x -=，13x =，21x =，【小问2详解】(3)(5)25x x --=，整理得：2810x x -=，2(4)26x ∴-=，∴4x -=，∴14x =+，24x =-【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的方法，主要有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，掌握以上方法是解题关键．18. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，且四边形AECF 为正方形．（1）求证：BE FD =；（2）若平行四边形ABCD 的面积为28，7AD =，直接写出线段BE 的长为___________．【答案】（1）见解析；（2）3．【解析】【分析】（1）直接根据已知条件，利用正方形和平行四边形的性质求解即可．（2）由平行四边形的面积公式求出高，然后即可得出答案．【小问1详解】证明： 四边形AECF 为正方形，AF EC ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，DA CB ∴=，DA AF CB EC ∴-=-，DF BE ∴=，即BE FD =；【小问2详解】解： 平行四边形ABCD 的面积为28，7AD =，四边形AECF 为正方形，728CF ∴=，CF CE =，7BC AD ==，4CF CE ∴==，743BE BC CE ∴=-=-=，故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并能灵活运用．19. 一只不透明的袋子中装有1个白球，2个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为 ___________；（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色质不放回，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法求2次摸到的球恰好是1个白球和1个黄球的概率．【答案】（1）14（2）见解析，16【解析】【分析】（1）利用概率公式求解即可（2）画出树状图，可知共有12种等可能结果数，其中恰好是1个白球和1个黄球的有2种，利用概率公式即可求解【小问1详解】一只不透明的袋子中装有1个白球，2个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同，∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为：111214=++．故答案为：14；【小问2详解】画树状图如图所示：共有12种等可能的结果数，其中恰好是1个白球和1个黄球的有2种，∴恰好是1个白球和1个黄球的概率为21126=【点睛】本题考查了列举法求概率，熟练掌握画树状图和列表的方法求概率是解决问题的关键四、（每小题8分，共16分）20. 如图，某小区居委会打算把一块长20m ，宽8m 的长方形空地修建成一个矩形花圃，供居民休闲散步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花圃的面积是126m 2．请计算花砖路面的宽度．的【答案】花砖路面的宽度为1米【解析】【分析】设花砖路的宽度为x m，根据面积关系即可列一元二次方程，解一元二次方程即可．【详解】设花砖路的宽度为x m，中间花圃的长为（20－2x）m，宽为（8－x）m，由题意列方程得：（20－2x）（8－x）＝126，化简，得：x2－18x＋17＝0，解得：x1＝1，x2＝17（不合题意，舍去）即花砖路面的宽度为1米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是理解题意，找到等量关系并正确列出方程．21. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．【答案】旗杆的高AB为3米．【解析】【分析】证明△AOD∽△EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明△BOC∽△AOD，然后利用相似比计算OB的长，进一步计算即可求解．【详解】解：∵AD∥EG，∴∠ADO=∠EGF．又∵∠AOD=∠EFG=90°，∴△AOD∽△EFG．∴AO OD EF FG=．∴ 1.820152.4EF OD AO FG ⋅⨯===．同理，△BOC∽△AOD．∴BO OC AO OD=．∴15161220AO OC BO OD ⋅⨯===．∴AB=OA −OB=3（米）．∴旗杆的高AB 为3米．【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．22. 已知在ABC 中，D 是边AC 上的一点，CBD ∠的角平分线交AC 于点E ，且AE AB =，求证：2AE AD AC =⋅．【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据角平分线的性质和外角等于不相邻两内角和即可求得∠ABD＝∠C，可证明△ABD∽△ABC，即可解题．【详解】∵BE 平分CBD ∠，∴DBE CBE ∠∠=，∵AE AB =，∴ABE AEB ∠∠=，∵ABE ABD DBE ∠∠∠=+，AEB C CBE ∠∠∠=+，∴ABD C ∠∠=，∵ABD C ∠∠=，A A ∠∠=，∴ABD ABC ∽，∴AB :AD AC :AB =，即：AB AB AD AC ⋅=⋅，∵AE AB =，∴AE AE AD AC ⋅=⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．23. 2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱，某商店经销吉祥物“冰墩墩”玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨1元，月销售量就减少10件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：（1）求当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元；（2）商店想在月销售成本不超过9000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，求销售定价应为多少元？【答案】（1）涨10元或30元（2）80元【解析】【分析】（1）设销售单价涨x 元，则每件的销售利润为(5040)x +-元，月销售量为(50010)x -件,利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）利用月销售成本=每件的销售成本×月销售量，可分别求出取各x 值的月销售成本，结合月销售成本不超过9000元，即可得出销售定价应为80元．【小问1详解】解：设销售单价涨x 元，则每件的销售利润为(5040)x +-元，月销售量为(50010)x -件，依题意得：(5040)(50010)8000x x +--=，整理得：2403000x x -+=，解得：110x =，230x =∴当销售单价涨10元或30元时，月销售利润能够达到8000元【小问2详解】解：当10x =时，月销售成本为40(50010)40(5001010)160009000x -=⨯-⨯=>，不合题意，舍去；当30x =时，月销售成本为40(50010)40(5001030)80009000x -=⨯-⨯=<，符合题意，此时5080x +=．∴销售定价应为80元【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及代数式求值，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据各数量之间的关系，求出取各x 值的月销售成本．24. 在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且16AC =，12BD =；点P 从点B 出发，沿BC 向点C 匀速运动，速度为每秒2个单位长度；点Q 从点D 出发，沿DO 向点O 匀速运动，速度为每秒1个单位长度；若P ，Q 两点同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．过点Q 作EF BD ⊥，交AD 于点E ，交CD 于点F ，设运动时间为()s t ，解答下列问题：（1）直接写出菱形的边长为 ___________，并直接用含t 的代数式表示DE 的长度 ___________；（2）求当t 为何值时，线段PE AB ∥；（3）是否存在某一时刻t ，使得以B ，P ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）10，53t（2）3011（3）6017t =或4或4.5【解析】【分析】（1）由菱形的性质，根据勾股定理计算菱形边长，利用EQD AOD ∽ 表示DE 长度即可；（2）当PE AB ∥时，四边形ABPE 为平行四边形，利用AE BP =可得出答案；（3）三角形为等腰时分三种情况讨论．【小问1详解】解： 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，182AO AC ==，162OB BD ==，90AOB ∠=︒∴，10AB ∴===，EF BD ⊥ ，AC BD ⊥，//EF AC ∴，EQD AOD ∴∽ ，∴ED DQ AD OD=，即106ED t =，53ED t ∴=；故答案为：10，53t ；小问2详解】四边形ABCD 菱形，AD BC ∴∥，∴当AE BP =时，四边形ABPE 是平行四边形，此时PE AB ∥，51023t t ∴-=，3011t ∴=，【即当t 为3011时，线段PE AB ∥；【小问3详解】分三种情况：①如图2，PB PQ =，PBQ PQB ∴∠=∠，BC CD = ，CBD CDB ∴∠=∠，PQB CDB ∴∠=∠，PQ CD ∴∥，∴PB BQ BC BD =，即2121012t t -=，6017t ∴=；②如图3，2BQ PB t ==，DQ t = ，BD BQ DQ =+，122t t ∴=+，4t ∴=；③如图4，BQ PQ =，过点Q 作QH BC ⊥于H ，BH PH t ∴==，QBH CBO ∠=∠ ，90COB BHQ ∠=∠=︒，QBH CBO ∴∽ ，∴BQ BH BC OB =，即106BQ t =，53t BQ ∴=，12BD = ，∴5123t t +=，4.5t ∴=；综上所述，当6017t =或4或4.5，以B ，P ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．【点睛】本题属于四边形综合题，主要涉及到菱形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及数形结合思想的综合运用，解题的关键是根据三角形相似比求出相关线段．25. 如图，已知四边形ABCD 和四边形BFGE 都是正方形，BD 是对角线．（1）如图1，已知点G 在正方形ABCD 的对角线BD 上，GE AB ⊥于点E ，GF BC ⊥于点F ．①求证：四边形BFGE 是正方形；②直接写出DG CF的值为 ___________；（2）如图2，将正方形BFGE 绕点B 逆时针方向旋转α角(045)α︒<<︒，写出线段DG 与CF 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，正方形BFGE 在旋转过程中，当C ，F ，E 三点在一条直线上时，延长BG交AD 于点H ．若6DG =，GH =，直接写出正方形BFGE 和正方形ABCD 的边长．【答案】（1（2）DG =，理由见解析（3）正方形BFGE 的边长为3，正方形ABCD 的边长为【解析】【分析】（1）①先证明四边形BFGE 是矩形，再证明EG EB =，即可证明四边形BFGE是正方形；②先根据正方形的性质得到BG BF=，并证明GF CD ∥，再由平行线分线段成比例定理即可得到BG DG BF CF ==（2）连接BG ，根据旋转的性质得到CBF DBG α∠=∠=，证明BDG BCF ∽△△，得到DG BD CF BC==（3）由BDG BCF ∽△△，推出45DGH BDH ∠=∠=︒，由此可证DHG BHD △∽△，得到DG GH DHBD DH BH ==，设BC BA AD a ===，则BD =，可求出23DH a =，则13AH a =，BH =，再由DG DH BD BH =，求出a =，即BC =BH =BG =，由此即可得到答案．【小问1详解】解：①证明： 四边形ABCD 是正方形，90ABC ∴∠=︒，45DBA ∠=︒，GE AB ⊥ 、GF BC ⊥，90BEG BFG EBF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形BFGE 是矩形，45BGE EBG ∠=∠=︒，EG EB ∴=，∴四边形BFGE 是正方形；·②解：由①知四边形BFGE 是正方形，90BFG C ∴∠=∠=︒，45FBG ∠=︒，∴BG BF =，GF CD ∥，∴BG DG BF CF==，；【小问2详解】解：DG =，理由如下：连接BG ，由旋转性质知CBF DBG α∠=∠=，在Rt BFG △和Rt BCD 中，BF BG =，CB BD =，∴BG BD BF BC==，BDG BCF ∴△∽△，∴DG BD CF BC=，∴线段DG 与CF 之间的数量关系为DG =；【小问3详解】解：45BFE ∠=︒ ，点C 、E 、F 三点共线，135BFC ∴∠=︒，BDG BCF △∽△，135BGD BFC ∴∠=∠=︒，45DGH BDH ∴∠=∠=︒，DHG BHD ∠=∠ ，加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
2021-2022学年辽宁省沈阳市沈北新区九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年辽宁省沈阳市沈北新区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.点P(−3,1)在双曲线y=kx上，则k的值是()A. −3B. 3C. −13D. 132.若四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且AB：A′B′=1：2，已知BC=8，则B′C′的长是()A. 4B. 16C. 24D. 643.若x2=y3=z4，则x−2y+z2x−y−z=()A. 0B. 1C. 12D. 24.若菱形ABCD的边长为2，其中∠ABC=60°，则菱形ABCD的面积为()A. 4B. 4√3C. 2D. 2√35.一元二次方程x2−2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是()A. m>1B. m=1C. m<1D. m≤16.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是()A. 50(1+x2)=196B. 50+50(1+x2)=196C. 50+50(1+x)+50(1+x)2=196D. 50+50(1+x)+50(1+2x)=1967.关于反比例函数y=3x的图象，下列说法正确的是()A. 图象经过点(1,1)B. 两个分支分布在第二、四象限C. 两个分支关于x轴成轴对称D. 当x<0时，y随x的增大而减小8.如图，双曲线y=mx与直线y=kx+b交于点M、N，并且点M的坐标为(1,3)，点N的纵坐标为−1.根据图象信息可得关于x的方程mx=kx+b的解为()A. −3，1B. −3，3C. −1，1D. −1，39.下列说法中不正确的是()A. 四边相等的四边形是菱形B. 对角线垂直的平行四边形是菱形C. 菱形的对角线互相垂直且相等D. 菱形的邻边相等10.正方形ABCD在直角坐标系中的位置如下图表示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是()A. (2,0)B. (3,0)C. (2,−1)D. (2,1)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.方程2x2−2x=0的根为______．12.若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程x2−7x+12=0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为______．13.如图，在△ABC中，DE//BC，DEBC =23，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为______．14.已知线段AB=2，点C为线段AB的黄金分割点，则AC的长度为______．15.如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y=kx过点A，则k的值是______ ．16.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=16，BD=12，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH=______．三、解答题（本大题共9小题，共82.0分）17.解方程：(1)2x2−4x−5=0；(2)(x−2)2=(2x+3)2．18.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．点Q到达点C后，点P、Q停止运动．设P、Q从点A、B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是10cm2？19.如图．在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE.EF与CD交于点G.(1)求证：BD//EF.(2)若DGGC =23，BE=4，求EC的长.20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，且AE//CD，CE//AB．(1)证明：四边形ADCE是菱形；(2)若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高．(计算结果保留根号)21.小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？22.如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，连接DE，作∠DEF=∠B，射线EF交线段AC于F．(1)求证：△DBE∽△ECF；(2)当F是线段AC中点时，求线段BE的长；(x>0)的图象经过点A(4,2)，过A作AC⊥y轴于点C.点23.如图，已知反比例函数y=kxB为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD.直线BC与x轴的负半轴交于点E．(1)求k的值；(2)连接CD，求△ACD的面积；(3)若BD=3OC，求四边形ACED的面积．(m≠0)的图象交于24.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−3,4)，点B的坐标为(6,n)．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接OB，求△AOB的面积；(3)在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25.如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AF=CE．(1)求证：△DCE≌△DAF；(2)如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF于点G，连接HB，HC．①求证：HD=HB；②若DK⋅HC=√2，求HE的长．答案和解析1.【答案】A【解析】【解答】解：∵点P(−3,1)在双曲线y =k x 上，∴k =−3×1=−3，故选：A ．【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数y =k x 图象上的点，横纵坐标的积是定值k ．根据反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k ，即xy =k 可得答案． 2.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴BC B′C′=AB A′B′，∵AB ：A′B′=1：2，BC =8，∴8B′C′=12， 解得：B′C′=16，故选：B ．根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，把已知数据代入计算即可．本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：设x 2=y 3=z 4=k ， 则x =2k ，y =3k ，z =4k ，所以x−2y+z 2x−y−z =2k−6k+4k 4k−3k−4k =0．故选：A ．设x2=y3=z4=k，得出x=2k，y=3k，z=4k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，则∠AEB=90°，∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，∴∠BAE=90°−60°=30°，∴BE=12AB=1，∴AE=√3BE=√3，∴菱形的面积=BC×AE=2×√3=2√3．故选：D．过点A作AE⊥BC于E，由含30°角的直角三角形的性质得BE=1，再求出AE的长，然后由菱形的面积公式即可得解．本题考查了菱形的性质、解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．根据根的判别式，令Δ≥0，建立关于m的不等式，解答即可．【解答】解：∵方程x2−2x+m=0总有实数根，∴Δ≥0，即4−4m≥0，∴−4m≥−4，∴m≤1．故选：D．6.【答案】C【解析】解：依题意得八、九月份的产量为50(1+x)、50(1+x)2，∴50+50(1+x)+50(1+x)2=196．故选：C．主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．7.【答案】D得3≠1不成立，故A选项错误；【解析】解：A、把点(1,1)代入反比例函数y=3xB、由k=3>0知，它的图象在第一、三象限，故B选项错误；C、图象的两个分支关于y=x对称，故C选项错误；D、当x<0时，y随x的增大而减小，故D选项正确．故选：D．根据反比例函数的性质，k=3>0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小．(k≠0)的性质：本题考查了反比例函数y=kx①当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限．②当k>0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．8.【答案】A【解析】解：∵M(1,3)在反比例函数图象上，∴m=1×3=3，∴反比例函数解析式为：y=3，x∵N也在反比例函数图象上，点N的纵坐标为−1．∴x=−3，∴N(−3,−1)，=kx+b的解为：−3，1．∴关于x的方程mx故选：A．中，求出反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出N点首先把M点代入y=mx=kx+b的解就是看一次函数与反比例函数图象交点横坐标就坐标，求关于x的方程mx是x的值．此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，关键掌握好利用图象求方程的解时，就是看两函数图象的交点横坐标．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了菱形的判定与性质，熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键．由菱形的判定与性质即可得出A、B、D正确，C不正确．【解答】解：A.四边相等的四边形是菱形；正确；B.对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；C.菱形的对角线互相垂直但不一定相等；不正确；D.菱形的邻边相等；正确；故选C．10.【答案】B【解析】解：AC=2，则正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后C的对应点设为C′，则AC′=AC=2，则OC′=3，故C′的坐标是(3,0)．故选：B．正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的对应点与C一定关于A对称，A是对应点连线的中点，据此即可求解．本题考查了旋转的性质，理解C点的对应点与C一定关于A对称，A是对应点连线的中点是关键．11.【答案】x1=0，x2=1【解析】解：2x(x−1)=0，2x=0或x−1=0，所以x1=0，x2=1．故答案为x1=0，x2=1．利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．12.【答案】5【解析】解：方程x2−7x+12=0，即(x−3)(x−4)=0，则x−3=0，x−4=0，解得：x1=3，x2=4．则矩形ABCD的对角线长是：√32+42=5．故答案是：5．首先解方程求得方程的两个根，即可求得矩形的两边长，然后利用勾股定理即可求得对角线长．本题考查了一元二次方程的解法以及矩形的性质，正确解方程求得矩形的边长是关键．解一元二次方程的基本思想是降次．13.【答案】18【解析】解：∵在△ABC中，DE//BC，∴△ADE∽△ABC．∵DEBC =23，∴S△ADES△ABC =(DEBC)2=(23)2=49，8 S△ABC =49，∴S△ABC=18，故答案为：18．根据相似三角形的判定，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质，可得答案．本题考查了相似三角形判定与性质，属于基础题．14.【答案】√5−1或3−√5【解析】解：∵线段AB=2，点C是线段AB的黄金分割点，∴当AC>BC时，AC=√5−12AB=√5−1；当AC<BC时，BC=√5−12AB=√5−1，∴AC=AB−BC=2−(√5−1)=3−√5；综上所述，AC的长度为√5−1或3−√5，故答案为：√5−1或3−√5．分两种情况讨论：当AC>BC，根据黄金分割的定义得到AC=√5−12AB=√5−1；当AC<BC，则BC=√5−12AB=√5−1，然后由AC=AB−BC进行计算即可．本题考查了黄金分割：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，当较长线段是较短线段和整个线段的比例中项时，就说这个点把整个线段黄金分割，这个点就叫这条线段的黄金分割点，其中较长线段是整个线段的√5−12(约为0.618)倍．15.【答案】−4【解析】解：根据题意，知|k|=22=4，k=±4，又∵k<0，∴k=−4．故答案为：−4．因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得正方形的面积S是个定值，即S=|k|．主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．16.【答案】245【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=16，BD=12，∴BO=12BD=6，AO=12AC=8，AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AB=√AO2+BO2=√82+62=10，∵OH⊥AB，∴S△AOB=12AO⋅BO=12AB⋅OH，∴OH=8×610=245，故答案为：245．由菱形的性质得BO=12BD=6，AO=12AC=8，AC⊥BD，再由勾股定理得AB=10，然后由三角形面积求解即可．本题考查了菱形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出AB的长是解题的关键．17.【答案】解：(1)∵Δ=(−4)2−4×2×(−5)=56>0，∴x=4±2√142×2=2±√142，∴x 1=2+√142，x 2=2−√142；(2)(x −2)2−(2x +3)2=0，(x −2+2x +3)(x −2−2x −3)=0，x −2+2x +3=0或x −2−2x −3=0，所以x 1=−13，x 2=−5．【解析】(1)利用求根公式法解方程；(2)先移项得到(x −2)2−(2x +3)2=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．18.【答案】解：设x 秒钟后，△PBQ 的面积等于10cm 2，由题意可得：4x(6−x)÷2=10，解得x 1=1，x 2=5(不合题意舍去)．答：经过1秒钟后，△PBQ 的面积等于10cm 2．【解析】可设经过x 秒后，△PBQ 的面积是10cm 2，根据三角形面积公式建立等量关系，列出方程求解即可．本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语“△PBQ 的面积是10cm 2”，找到等量关系是解决问题的关键．19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ．∵DF =BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形，∴BD//EF ；(2)∵四边形BEFD 是平行四边形，∴DF =BE =4．∵DF//EC ，∴△DFG∽CEG ，∴DG CG =DF CE ，∴CE=DF⋅CGDG =4×32=6．【解析】(1)根据平行四边的判定与性质，可得答案；(2)根据相似三角形的判定与性质，可得答案．本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．20.【答案】(1)证明：∵AE//CD，CE//AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴CD=12AB=BD=AD，∴平行四边形ADCE是菱形；(2)解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：DF即为菱形ADCE的高，∵∠B=60°，CD=BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，∵CE//AB，∴∠DCE=∠BDC=60°，∠CDF=30°，又∵CD=BC=6，∴在Rt△CDF中，CF=12CD=3，∵DF2+CF2=CD2，∴DF=√CD2−CF2=√36−9=√27=3√3．【解析】本题考查了菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形性质，熟练掌握基本的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．(1)先证明四边形ADCE是平行四边形，再证出一组邻边相等，即可得出结论；(2)过点D作DF⊥CE，垂足为点F；先证明△BCD是等边三角形，得出∠BDC=∠BCD= 60°，CD=BC=6，再由平行线的性质得出∠DCE=∠BDC=60°，在Rt△CDF中，根据勾股定理求出DF即可．21.【答案】解：设购买了x件这种服装，根据题意得出：[80−2(x−10)]x=1200，解得：x1=20，x2=30，当x=30时，80−2(30−10)=40(元)<50不合题意舍去；答：她购买了20件这种服装．【解析】根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知得出每件服装的单价是解题关键．22.【答案】(1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠DEF，∠BED+∠DEF=∠C+∠CFE，∴∠BED=∠CFE，∴△DBE∽△ECF；(2)解：∵F是线段AC中点，AC=6，∴AF=FC=3，∵△DBE∽△ECF，∴FCBE =ECBD，设BE=x，则EC=5−x，有3x =5−x2，解得x=3或x=2，经检验x=3和x=2都是原方程的根，因此BE的长为2或3．【解析】(1)根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，可以证出∠BED=∠CFE，从而证出三角形相似，(2)利用相似三角形的对应边成比例，设未知数列方程求解即可．考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理及推论，掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的前提．23.【答案】解：∵反比例函数y =k x (x >0)的图象经过点A(4,2)，∴2=k 4， ∴k =8；(2)如图，∵AC ⊥y 轴，BD ⊥x 轴，A(4,2)，∴AC =4，DF =OC =2， ∴S △ACD =12AC ⋅DF =12×4×2=4， (3)反比例函数的解析式为：y =8x (x >0)，∵BD =3OC ，∴BD =3×2=6，∵BD ⊥x 轴，∴点B 的纵坐标为6，代入y =8x ，得：6=8x ，解得：x =43，∵B(43,6)，C(0,2)，设直线BC 的解析式为：y =kx +b ， 则{43k +b =6b =2， 解得：{k =3b =2， ∴直线BC 的解析式为：y =3x +2，令y =0，得：3x +2=0， 解得：x =−23，∴E(23,0)，∴DE =43−(−23)=2，∵AC//DE ，∴S四边形ACED =12(AC+DE)⋅OC=12×(4+2)×2=6．【解析】(1)根据题意直接用待定系数法将A点代入即可得出答案；(2)由题意先求出AC和DF，进而根据三角形面积公式进行计算即可得出答案；(3)由题意求出直线BC的解析式，可得E点的坐标，求出DE，OC，AC，即可利用梯形面积公式解决问题．本题考查了反比例函数的综合应用，待定系数法，一次函数与坐标轴的交点特征，三角形和梯形面积计算等知识，熟练掌握一次函数和反比例函数的相关知识是解题的关键．24.【答案】解：(1)将A(−3,4)代入y=mx，得m=−3×4=−12∴反比例函数的解析式为y=−12x；将B(6,n)代入y=−12x，得6n=−12，解得n=−2，∴B(6,−2)，将A(−3,4)和B(6,−2)分别代入y=kx+b(k≠0)，得{−3k+b=46k+b=−2，解得{k=−23b=2，∴所求的一次函数的解析式为y=−23x+2；(2)当y=0时，−23x+2=0，解得：x=3，∴C(3,0)，∴S△AOC=12×3×4=6，S△BOC=12×3×2=3，∴S△AOB=6+3=9；(3)存在．过A点作AP1⊥x轴于P1，AP2⊥AC交x轴于P2，如图，∴∠AP1C=90°，∵A点坐标为(−3,4)，∴P1点的坐标为(−3,0)；∵∠P2AC=90°，∴∠P2AP1+∠P1AC=90°，而∠AP2P1+∠P2AP1=90°，∴∠AP2P1=∠P1AC，∴Rt△AP2P1∽Rt△CAP1，∴AP1CP1=P1P2AP1，即46=P1P24，∴P1P2=83，∴OP2=3+83=173，∴P2点的坐标为(−173,0)，∴满足条件的P点坐标为(−3,0)、(−173,0)．【解析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是了解反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法确定函数解析式；会运用三角形相似知识求线段的长度．(1)先把A(−3,4)代入反比例函数解析式得到m的值，从而确定反比例函数的解析式为y=−12x；再利用反比例函数解析式确定B点坐标为(6,−2)，然后运用待定系数法确定所求的一次函数的解析式为y=−23x+2；(2)先依据一次函数求得点C的坐标，进而得到△AOB的面积；(3)过A点作AP1⊥x轴于P1，AP2⊥AC交x轴于P2，可得P1点的坐标为(−3,0)；再证明Rt△AP2P1∽Rt△CAP1，利用相似比计算出P1P2的长度，进而得到OP2的长度，可得P2点的坐标为(−173,0)，于是得到满足条件的P点坐标．25.【答案】解：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴CD=AD，∠DCE=∠DAF=90°，∵CE=AF，∴△DCE≌△DAF(SAS)；(2)①∵△DCE≌△DAF，∴DE=DF，∠CDE=∠ADF，∴∠DE=∠ADF+∠ADE=∠CDE+∠ADE=∠ADC=90°，∴△DFE为等腰直角三角形，∵DH⊥EF，∴点H是EF的中点，∴DH=12EF，同理，由HB是Rt△EBF的中线得：HB=12EF，∴HD=HB；②∵四边形ABCD为正方形，故CD=CB，∵HD=HB，CH=CH，∴△DCH≌△BCH(SSS)，∴∠DCH=∠BCH=45°，∵△DEF为等腰直角三角形，∴∠DFE=45°，∴∠HCE=∠DFK，∵四边形ABCD为正方形，∴AD//BC，∴∠DKF=∠HEC，∴△DKF∽△HEC，∴DKHE =DFHC，∴DK⋅HC=DF⋅HE，在等腰直角三角形DFH中，DF=√2HE=√2HE，∴DK⋅HC=DF⋅HE=√2HE2=√2，∴HE=1．【解析】(1)由CD=AD，∠DCE=∠DAF=90°，CE=AF，即可求解；(2)①由△DCE≌△DAF，得到△DFE为等腰直角三角形，则点H是EF的中点，故DH=12EF，进而求解；②证明△DKF∽△HEC，则DKHE =DFHC，即DK⋅HC=DF⋅HE，进而求解．本题是四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等和相似、等腰直角三角形的性质、直角三角形中线定理等，综合性强，难度适中．。
沈阳市2020版九年级上学期期中数学试卷D卷
沈阳市2020版九年级上学期期中数学试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、仔细选一选 (共10题；共20分)1. （2分）若3a=2b，则的值为（）A .B .C .D .2. （2分）二次函数y=ax2+c当x取x1 ,x2时，函数值相等，当x取x1+x2时，函数值为（）A . a+cB . a-cC . -cD . c3. （2分）(2017·莱芜) 对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a ＜b时，min{a，b}=a．例如：min={2，﹣1}=﹣1，若关于x的函数y=min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为（）A .B . 1C .D .4. （2分） (2016九下·农安期中) 如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E．若AB=4，AC=3，AD=3，则AE的长为（）A .B .C .D .5. （2分） (2019九上·邗江月考) 如图，点A、B、C在⊙ 上，若∠AOB＝130°，则∠C的度数为（）A . 150°B . 130°C . 115°D . 120°6. （2分）反比例函数y=-3x-1的图象上有P1（x1,-2），P2（x2,-3）两点,则x1与x2的大小关系是（）A . x1＜x2B . x1=x2C . x1＞x2D . 不确定7. （2分）义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016九上·武汉期中) 如图，点P为⊙O内一点，且OP=6，若⊙O的半径为10，则过点P的弦长不可能为（）A . 17B . 3C . 16D . 15.59. （2分） (2019九上·道里期末) 如图，⊙ 的直径为10，弦的长为8，且，垂足为，则的长为（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）开口向下的抛物线的顶点P的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二次函数有（）A . 最大值1B . 最小值－1C . 最大值－3D . 最小值3二、认真填一填 (共6题；共6分)11. （1分）某同学用一等边三角形木板制作一些相似的直角三角形．如图，其方法是：过C点作CD1⊥AB 于D1 ，再过D1作D1D2⊥CA于D2 ，再过D2作D2D3⊥AB于D3…，若△ABC的边长为a，则CD1= a，D1D2= a，D2D3= a，依此规律，则D5D6的长为________．12. （1分）(2017·扬州) 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B=40°，则∠OAC=________°．13. （1分）若圆的一条弦把圆分成度数比例为2：7的两条弧，则弦所对的圆心角等于________ ．14. （1分）如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y=﹣3x2 ，②y=﹣，③y=﹣x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是________（填序号）15. （1分） (2018八上·无锡期中) 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是________．16. （1分）如图，⊙O为锐角ABC的外接圆，已知，那么的度数为________ ．三、全面答一答 (共7题；共80分)17. （10分） (2018九上·新洲月考) 如图所示，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象，A(1，0)，B(0，3)（1）求抛物线的解析式（2）结合图象，写出当y＜3时x的取值范围（作适当说明）18. （15分）如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P．PQ=4，PE=1（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BPQ的度数．（3）求AD的长。