高等数学第二期半期考试试题

高等数学第二期半期考试试题 一、解答下列各题（每题６分）

1. 1. 利用二重积分求不等式r ≤2cos θ, r ≤1所表达的区域的面积。

2. 2. 设z =(1+xy )x

,求dz

3. 3. 求函数 u=e xyz

在点P 0(1,0,-1)沿

方向的方向导数。其中P 1的坐标为(2,1,-1).

4. 4. 设u=f (x,y,z ),而?(x 2，e y ，z )=0，y=sim x 其中f , ?具有一阶连续偏导数，且

求。

5. 5. 设z=z (x , y )由

。

6. 6. 求曲面x 2+4y-z 2+5=0 垂直于直线的切平面方程。

二、（每题８分） 1. 1. 计算二重积分

其中Ｄ：x 2+y 2≤1。

2. 2. 计算二次积分。

三、（每题８分） 1. 1. 求

的一个特解。

2. 2. 求微分方程的通解。

四、（８分）利用拉格朗日乘数法，求椭圆抛物面z=x 2+2y 2到平面x+2y-3z=2的最短距离。

五、（１０分）求函数在点(1,1,4)处沿曲线在该点切线方

向的方向导数。

六、（８分）利用极坐标计算

七、(６分)设f (u )为可微函数，f (0)=0。

一．（20分）计算下列各题： 1． 1． Z =

, 求Z X , Z Y

2． 2． U = x y 2 z 3, 求U x , U y , U z 3． 3． U = , 求 dU 4． 4． Z = f (x siny , x), 求Z x , Z x x. 二．（10分）

10P P 0

≠??x ?

dx du y z

x z dt e x z xy

t ????=+?-,

2确定，求z

y x =-=-2121()??+D

dxdy

y x ??-2

1

3

31

sin x dy

y dx x x y y sin =-''3

21

y x xy dx dy +=2

2232z y x u ++=?????+===1332t z t y t

x ????-----+R

R y R x y R y

x

y dx

e

dy e dx e dy e 2

2

2

22

2

2

2

y x 3()

2

2

2

z y x e ++

１．已知曲空曲线Γ： 在（-1,1,-1）处的切线及法平面方程。

２．求球面x 2 + y 2 + z 2 = 56在M 0 (2,4,6) 的切平面及法线方程。 三．（8分）求Z= x 2 – xy + y 2 + 9x - 6y +20的极值 四．（20分）计算下列各题： １．, D ： y = x ，y = 5x ，y = 1围成区域。 ２． 积分换序 :将下积分化为先对X 后对Y 的积分。

３．, D ：

４．, V ：z = x y, x + y = 1, z = 0 如图：

五．（15分）计算曲线积分： １．

１． , L ：为由直线y = x 及抛物线y = x 2所围区域边界。

２． ２．

, L ：为圆周x=Rsint, y=Rcost 上对应t 从0到的

一段弧.

３． ３． 利用格林公式计算曲线积分，

L 为三顶点分别为 (0,0)、(3,0) 和 (3,2) 的三角形正向边界。

六．（10分）计算曲面积分：

１．I=, ∑：x 2+y 2-z 2=0, 0≤z ≤1

２．, ∑：x+y+z=1, 侧向如图： 七．（10分）求解各题：

?????===3

2t z t y t x ??+D dxdy

y x )6(()??

??+21

212

12

1),(,x

x

dy

y x f dx dy y x f dx ()??

+-D

y x dxdy e 2

2

2

22,0,0a y x y x ≤+≥≥???V xydxdydz

?L

xds

?-L

xdy

ydx 2π

?-+++-L

dy

x y dx y x )635()42(??∑+ds y x )(2

2??∑xzdxdy

Z

X

１． １．

２． ２． 验证(sin y-y sin x+x)dx+(cos x+x cos y+y)dy 是某函数u(x,y)的全微

分，并求出该函数u(x,y). 八．（7分） 用高斯公式求：

Σ：x 2+y 2+z 2=a 2 的外侧

第二学期高等数学半期试题解答

一．（20分）计算下列各题： 5． 1． Z =

, 求Z X , Z Y

Z x =3yx y-1 Z y =3X lnX

6． 2． U = x y 2 z 3, 求U x , U y , U z

U x =y 2z 3 U y =2xyz 3 U z =3xy 2z 2

7． 3． U =

, 求 du

8． 4． Z = f (x siny , x), 求Z x , Z x x. 二．（10分）

１．已知曲空曲线Γ： 在（-1,1,-1）处的切线及法平面方程。

切线方程为：

法平面方程：

２．求球面x 2 + y 2 + z 2 = 56在M 0 (2,4,6) 的切平面及法线方程。

设 切平面：(x-2)+2(y-4)+3(z-6)=0

法线： 三．（8分）求Z= x 2 – xy + y 2 + 9x - 6y +20的极值

得驻点(-4,1)

为极小值点

()

()

()

?---++1,20,122

)(ydy xdx y x ??

++dxdy z dzdx y dydz x 3

33y x 3y

()2

2

2

z y x e

++2

22)222(z y x e

zdz ydy xdx dU ++++=()21sin f y f z x '+'=()22211211

sin sin sin f y f y f y f z xx ''+''+''+''=?????===3

2t z t y t

x }3,2,1{=s

31

2111+=--=+z y x 0)1(3)1(2)1(=++--+z y x 2

22-++=z y x F x F x 2=y F y 2=z F z 2=}12,8,4{=n

36

241

2-=

-=-z y x 92+-=y x Z x 62--=x y Z Y 0,0==Y X Z Z 2=xx Z 1-=xy Z 2=yy Z 031222>=-?=-B AC 0>A )1,4(-∴1206361416min -=+--++=f

四．（20分）计算下列各题： １．

, D ： y = x ，y = 5x ，y = 1围成区域。

２． 积分换序 :将下积分化为先对X 后对Y 的积分。

３．, D ：

４．, V ：z = x y, x + y = 1, z = 0 如图：

五．（15分）计算曲线积分：

４． １． , L ：为由直线y = x 及抛物线y = x 2所围区域边界。

原积分＝

５． ２．

, L ：为圆周x=Rsint, y=Rcost 上对应t 从0到的

一段弧.

原积分＝

６． ３． 利用格林公式计算曲线积分.

L 为三顶点分别为 (0,0)、(3,0) 和 (3,2) 的三角形正向边界。原积分＝

六．（10分）计算曲面积分： １． １．

??+D

dxdy

y x )6(25/4425132)]5/(6)25(21[)6(21

221

5

/1

==-+-=+=??

??dy y dy y y y y y dx y x dx I y y ()??

??+21

2

12

1

21),(,x

x

dy

y x f dx dy y x f dx dx

y x f dy I y

y

),(/121

??=()??

+-D

y x dxdy e 2

2

2

22,0,0a y x y x ≤+≥≥?

??----=

--?

=

=

2

/0

20

)

1(4

)(2122

2

2

ππ

πθa a

r a

r e r d e rdr e d I ???V

xydxdydz

???-=

=x xy xy dy dx I 10

1

60

1

?L

xds

???? ??-+=+??151212241232

1

01

02

dx x x dx x ?-L

xdy

ydx 2π

?=+2

2

22222

)sin cos (ππ

R dt t R t R ?-+++-L dy

x y dx y x )635()42(12

)13(=+??D

d σZ

Y

I=, ∑：x 2+y 2-z 2=0, 0≤z ≤1

２．, ∑：x+y+z=1, 侧向如图：

原积分＝

七． 七． 10分）求解各题：

1. （因为

，故积分与路径无关）

2.验证(sin y-y sin x+x)dx+(cos x+x cos y+y)dy 是某函数u(x,y)的全微分，并求出该函数u(x,y).

八．（7分） 用高斯公式求：

Σ：x 2+y 2+z 2=a 2 的外侧

原积分＝

??∑

+ds

y x

)(22

πθσπ????=

=+=20

1

32

2

2

222)(dr r d d y x I D

??∑

xzdxdy

241)2(21])[()1(1010

3

22

1

0=+-=--=--?????-x

D dx x x x dy xy x x dx d y x x σ()()

()

()

6

4)(1

22131,20

,122

=++=++???------ydy y dx x ydy xdx y x y P

x Q ??=??是全微分。　

,sin cos y P

y y x Q ??=-=??2sin cos 2)cos (cos 2

00

2y y x x y x dy y y x x xdx u x

y +

++=+++=????

++dxdy z dzdx y dydz x 3

3

3