高等数学第二期半期考试试题
高等数学II半期考试试卷参考解答
交通大学20 －20 学年第2学期半期测试课程代码 MATH011512 课程名称 高等数学II 考试时间 60 分钟注意：本试卷共9道大题，需要详细解答过程，将答案写在答题纸上，考试结束前拍照上传。
要求独立完成，诚信参考！一（10分） 、判断直线1212:012+--==-x y z L 与222:2+=⎧⎨+-=⎩x y L x y z 的位置关系，并给出理由。
解 法一 化2L 为对称方程12:121-==--x y zL （不唯一） 故12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，（不唯一）分别过点()()122,1,20,2,0=-=、M M计算121201212110212-⎡⎤=--=-⎣⎦-，，s s M M （8分）（不唯一，只要最终表明混合积不为零即可）这表明直线异面（而且12⊥s s 表明其异面垂直）法二 1L 的参数为2122=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩x y t z t ，（不唯一）代入2L 得41221222-++=⎧⎨-++-+=⎩t t t （*），（*）无解，这表明12、L L 无交点，故它们要么平行要么异面，注意到12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，它们不平行，这表明12、L L 异面。
二 （10分）、 设函数()22,=z f xy x y ，其中f 具有二阶连续偏导数，求d z 及22∂∂zx。
解2122∂''=+∂zy f xyf x，2122∂''=+∂z xyf x f y ，故()()221212d =2d 2d ''''+++z y f xyf x xyf x f y()221222∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭z z y f xyf x x x x ()()2122∂∂''=+∂∂y f xyf x x()()2221112221222222'''''''''=++++y y f xyf yf xy y f xyf 43222111222=244'''''''+++yf y f xy f x y f 三 （10分）、 设函数(),=z f x y 是由方程(),=-z g y x yz 确定，求,∂∂∂∂z zx y。
高等数学第二期半期考试试题8
第二学期高等数学试题(一)一、一、填空题(每小题3分，共15分)1． 1． 设u=x 4+y 4-4x 2y 2 ，则u x x = 2． 2． 设u=xy+y/x ，则u y =3． 3． 函数z=x 2+4xy-y 2+6x-8y+12的驻点是4． 4． 设幂级数∑∞=0n nnxa的收敛半径是4，则幂级数∑∞=+012n n nx a的收敛半径是5． 5． 设Σ是柱面x 2+y 2=4介于1≤z ≤3之间部分曲面，它的法向指向含oz 轴的一侧，则⎰⎰∑++dxdyz y x 222= 二、二、单选(每小题2分，共8分)1、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的： (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件。
答（ ） 2、微分方程y x y y ''=''+'满足条件y’(2)=1, y(2)=1的解是 (A) y=(x-1)2 (B) y=(x+1/2)2-21/4 (C) y=1/2(x-1)2+1/2 (D) y=(x-1/2)2-5/4答（ ）3、若方程0=+'+''qy y p y 的系数p+qx=0，则该方程有特解 (A) y=x (B) y=e x (C) y=e – x (D) y=sin x 答（ ）4、微分方程x y y sin ='+'''的一个特解应具有形式 答（ ） (A) Asin x (B) Acos x (C) Asin x +Bcos x (D) x(Asinx+Bcosx) 三、三、解答下列各题1． 1． (本小题6分)利用二重积分计算由曲面z=x 2+y 2，y=1，z=0，y=x 2所围成的曲顶柱体的体积。
2、(本小题7分)证明极限34200lim y x y x y x +→→不存在。
高中_高一数学第二学期半期考
x y O x y O x y O xyO高一数学第二学期半期考 高一数学(必修2)试题〔完卷时间:120分钟；总分值:150分〕一、选择题〔每题12分，共60分，把答案填在Ⅱ卷中〕 1. 直线10x y ++=的倾斜角是〔 〕° B. 45° C. 30° D. 60°2. 假设直线l ∥平面α，直线a α⊂，那么l 与a 的位置关系是〔 〕A 、l ∥aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点 3. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与=+y x a 正确的选项是〔 〕A ．B ．C ．D ． 4. 以下命题中正确的选项是〔 〕 A ．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥 B ．棱锥的高线可能在几何体之外 C ．仅有一组对面平行的六面体是棱台D ．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥5. 直线a 、b 与平面α、β、γ，以下条件中能推出α∥β的是〔 〕 A ．a ⊥α且a ⊥β B ．α⊥γ且β⊥γC ．a ⊂α，b ⊂β，a ∥bD ．a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β6. 不管m 取任何实数，直线:20+-+=l mx y m 恒过一定点，那么该定点的坐标是〔 〕A ． 〔-1，2〕 B.(-1,-2) C .(1 ,2) D. (1,-2)7. 直线3430+-=x y 与直线6140++=x my 平行，那么它们之间的距离是〔 〕A ．1710B ． 175C ．8D ．2 8. 设是空间的三条直线，给出以下五个命题：①假设a ⊥b ，b ⊥c ，那么a ⊥c ； ②假设a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，那么a 、c 也是异面直线；③假设a 和b 相交，b 和c 相交，那么a 和c 也相交；④假设a 和b 共面，b 和c 共面，那么a 和c 也共面；⑤假设a ∥b ， b ∥c ，那么a ∥c ； 其中正确的命题的个数是〔 〕.A.0B.1C.2D.39. 假设三棱锥P-ABC 的三条侧棱与底面所成的角都相等，那么点P 在底面ABC 上的射影一定是∆ABC 的〔 〕A. 外心B. 垂心C. 内心D. 重心10. 中心角为135°的扇形，其面积为B ，其围成的圆锥的全面积为A ，那么A ：B 为〔 〕A ．11：8B ．3：8C ．8：3D ．13：811. 直线x －2y +1=0关于直线x =1对称的直线的方程是〔 〕A. x +2y －1=0B. x +2y －3=0C. 2x +y －1=0D. 2x +y －3=0 12. 点P 是圆(x －3)2+y 2=1上的动点，那么点P 到直线y =x +1的距离的最小值是〔 〕A. 3B. 22C. 22－1D. 22+1二、填空题：〔本大题共4小题，每题4分，共16分。
高等数学试卷含答案下册
高等数学II 试题一、填空题每小题3分,共计15分1．设(,)z f x y =由方程xzxy yz e -+=确定,则 zx ∂=∂ ;2．函数232u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大;3．L 为圆周224x y +=,计算对弧长的曲线积分⎰+L dsy x 22= ;4．已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=,则点P 的坐标为 或 ;5．设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1, 1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 ;二、解答下列各题每小题7分,共35分1．设) ,(y x f 连续,交换二次积分1201(,)x I dx f x y dy-=⎰⎰的积分顺序;2．计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域;3．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域,试将三重积分222()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分;4．设曲线积分[()]()xLf x e ydx f x dy--⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)1f =,求()f x ;5．求微分方程2xy y y e -'''-+=的通解;三、10分计算曲面积分2y dzdx zdxdy∑+⎰⎰,其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧;四、10分计算三重积分()x y z dxdydzΩ++⎰⎰⎰,其中Ω由22z x y =+与1z =围成的区域;五、10分求221z x y =++在1y x =-下的极值; 六、10分求有抛物面221z x y =--与平面0z =所围立体的表面积;七、10分求幂级数113n nn x n -∞=∑的收敛区间与和函数;高等数学II 试题解答一、填空题每小题3分,共计15分1．设(,)z f x y =由方程xzxy yz e -+=确定,则 z x∂=∂xz xzxe y zey --++-; 2．函数232u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l =4,0,-12 的方向导数最大; 3．L 为圆周224x y +=,计算对弧长的曲线积分⎰+L ds y x 22=8π;4．已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=,则点P 的坐标为(1,1,1)--或111(,,)3927--;5．设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1, 1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于32;二、解答下列各题每小题7分,共35分6．设) ,(y x f 连续,交换二次积分1201(,)xI dx f x y dy-=⎰⎰的积分顺序;解：1201122010(,)(,)(,)x y I dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx--==+⎰⎰⎰⎰⎰7．计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域;解：2sin 220169Dd r dr πθθ==⎰⎰8．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域,试将三重积分222()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分;解：9．设曲线积分[()]()xLf x e ydx f x dy--⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)1f =,求()f x ;解：[()]x P f x e y =-,()Q f x =-;由[()]()x L f x e ydx f x dy --⎰与路径无关,得x y Q P ''=,即()()0xf x f x e '+-=;解微分方程xy y e '+=,得其通解12x xy ce e -=+;又(0)1f =,得21=c ;故xx e e x f 2121)(+=-10． 求微分方程2xy y y e -'''-+=的通解;解：20y y y '''-+=的通解为12()xy c c x e =+; 设原方程的一个特解*xy ce -=,代入原方程,得14c =;其通解为三、10分计算曲面积分2y dzdx zdxdy∑+⎰⎰,其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧;解：补上221:0 (4)z x y ∑=+≤下侧; 四、10分计算三重积分()x y z dxdydzΩ++⎰⎰⎰,其中Ω由22z x y =+与1z =围成的区域;解：五、10分求221z x y =++在1y x =-下的极值; 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+令420z x '=-=,得12x =;40z ''=>,12x =为极小值点;故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32;六、10分求有抛物面221z x y =--与平面0z =所围立体的表面积; 解：221 (0)z x y z =-->的面积为平面0z =部分的面积为π;故立体的表面积为π+;七、10分求幂级数113n nn x n -∞=∑的收敛区间与和函数;解：收敛区间为[3,3)-;设11()3n n n x s x n -∞==∑,1111(())()333n n n nn n x x xs x n x -∞∞==''===-∑∑;故⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0310)3ln(13ln )(x x x x x x s ;。
2020-2021第二学期高一数学半期考联考试卷(含答案)
高一数学试题第 7 页 （共 8 页）
即 3 BE2 1 BE ，解得 BE 2 （负值已舍去） 所以 BE 的长度是 2km . …………5 分
（2）设 ABE ，因为∠BAE 60 ，所以 AEB 120 ，
在
△ABE
中，由正弦定理得
sin
AB AEB
sin
AE ABE
sin
BE BAE
12.设向量 a (k,2) , b(1,1) ,则下列叙述错误的是 ( )
A.若 k<-2,则 a 与 b 的夹角为钝角
B. a 的最小值为 2
C.与 b 共线的单位向量只有一个为
D.若 a 2 b ,则 k=2 或-2
三、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知 i 为虚数单位，则复数 z＝ 2 在复平面内对应的点的坐标为
4.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别为棱 A1B1, BB1,CC1,C1D1 的中点, 则下列结论中正确的是( )
A.AD1∥平面 EFGH
B.BD1∥GH
C.BD∥EF
D.平面 EFGH∥平面 A1BCD1
5.在△
th 中，向量 t与 h满足湥
t t
h h
·th
，且 t · th
AB
3 2
，
OC
9 2
，
AO
3
3 2
，
…………5 分
以 O 为原点，以 BC，OA 所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示： …………6 分
高一数学试题第 页 （共 8 页）
则
D
1,
3
3 2
，设
M
x,
高数半期考试题目及答案
高数半期考试题目及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 \)在\( x = 1 \)处的导数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C2. 以下哪个选项是\( e^x \)的不定积分？A. \( e^x + C \)B. \( \frac{1}{e^x} + C \)C. \( x e^x + C \)D. \( \ln(e^x) + C \)答案：A3. 曲线\( y = x^3 \)在点\( (1,1) \)处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. 3D. 27答案：C4. 以下哪个级数是收敛的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} n \)答案：A5. 函数\( y = \sin(x) \)的二阶导数是（）。
A. \( \cos(x) \)B. \( -\sin(x) \)C. \( -\cos(x) \)D. \( \sin(x) \)答案：C6. 以下哪个函数是周期函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = e^x \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \ln(x) \)答案：C7. 函数\( y = \ln(x) \)的定义域是（）。
A. \( (-\infty, 0) \)B. \( (0, +\infty) \)C. \( (-\infty, +\infty) \)D. \( [0, +\infty) \)答案：B8. 曲线\( y = x^2 \)在点\( (2,4) \)处的法线方程是（）。
A. \( y = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{2} \)B. \( y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{2} \)C. \( y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} \)D. \( y = \frac{1}{2}x + \frac{7}{2} \)答案：A9. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：B10. 函数\( y = \cos(x) \)的不定积分是（）。
高数AB半期考试参考答案及评分细则
参考答案及评分细则西南科技大学2007—2008学年第2学期《 高等数学A[2]、B[2] 》半期考试试卷说明：本试卷共三大题，其中第一、二大题为学习高等数学A[2]和B[2]的同学的必作题，第三大题为学习高等数学A[2]的同学的选作题。
一、填空题与选择题（每小题4分，共40分）1、 6 。
2、 （0，-2，4） 。
3、022=+'-''y y y 。
4、)(cos c x x y +=。
5、 充分 。
6、4π。
7、C 。
8、A 。
9、D 。
10、B 。
二、解答下列各题（共60分）1、（8分）解：原式=)11)((22222200lim +++→→y x y x y x y x ————— 4分=0。
————— 4分2、（8分）证明：)()(u F xy u F y x z '-+=∂∂ ————— 3分 )(u F x yz '+=∂∂ ————— 3分 则有 xy z y z y x z x+=∂∂+∂∂ ————— 2分3、（8分）解：令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=0)22(),(0)1422(),(222y e y x f y y x e y x f x y x x 得驻点 ,1,21⎪⎭⎫ ⎝⎛- —————2分 而 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++=x yy x xy x xx e y x f y e y x f y y x e y x f 22222),()22(2),()2422(2),( 则在⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21处，,04,2,0,0222>=-==>=e B AC e c B e A————— 4分则有极小值 .2)1,(21e f =- ————— 2分 4、（8分）解： 2214f x f x yz '+'=∂∂ ————— 4分 2z x y∂∂∂2211421324f y f y x f x f x ''-''+'+'= ————— 4分 5、（10分）证明：函数z =(0,0)处有 ,0)0,0()0,0(==y x f f则 y x y f x f z y x ∆∆=∆+∆-∆])0,0()0,0([ ————— 4分 而 22y x yx ∆+∆∆∆ 当 ),(y x ∆∆ 沿y=x 趋于（0，0）时极限不为0，————— 4分则函数在（0，0）不可微分。
第二学期半期考试高一数学试卷含答案
第二学期半期考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、角θ为第二象限角的充分必要条件是（ ）A 、0tan 0sin >>θθ且B 、0cot 0sin >>θθ且C 、0tan 0sin <>θθ且D 、0cos sin <⋅θθ2、化简4cos 4sin 21-的结果是（ ）A 、sin4＋cos4B 、sin4－cos4C 、cos4－sin4D 、－sin4－cos43、)619sin(π-的值是（ ） A 、21 B 、－21 C 、23 D 、－23 4、若cot130°＝a ，则cos50°是（ ）A 、21aa + B 、－21aa +C 、±21aa +D 、±aa 21+5、已知α是第一象限角，那么2α是（ ） A 、第一与第二象限角 B 、第二与第三象限角 C 、第一与第三象限角 D 、第一与第四象限角 6、方程2x ＝cosx 的解有（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、无穷多个 7、若)sin(ϕω+=x A y 在同一周期内，当12π=x 时取最大值y ＝2，当127π=x 时取最小值y ＝－2，则函数的解析式是（ ） A 、)32sin(2π+=x y B 、)62sin(2π-=x y C 、)62sin(2π+=x yD 、)32sin(2π-=x y8、函数)32sin(3π-=x y 的图像可以由函数y ＝3sin2x 的图像经过下列哪种变换得到（ ）A 、向右平移3π单位 B 、向右平移6π单位 C 、向左平移3π单位 D 、向左平移6π单位9、下列函数中，在（0,2π）内单调递增，且以π为周期的偶函数是（ ）A 、y ＝tan|x|B 、y ＝|tanx|C 、y ＝cot|x|D 、y ＝|cotx|10、在△ABC 中若2cossin sin 2AC B =，则此三角形为（ ） A 、等边三角形 B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形11、函数)62sin(π+-=x y 的单调递减区间是（ ）A 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,23,26ππππB 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππC 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,3,6ππππD 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,65,6ππππ12、已知f （x ）是定义在（－3,3）上的奇函数，当0<x<3时，f （x ）的图像如图所示，那么不等式f （x ）cosx<0的解集是（ ）A 、（－3，－2π） （0，1） （2π，3） B 、（－2π，－1） （0，1） （2π，3）C 、（－3，－1） （0，1） （1，3）D 、（－3，－2π） （0，1） （1，3）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填在答题卷的横线上）13、已知tan α＝43，则cos α－sin α＝ 14、已知cos α＝71，cos(βα+)＝－1411，且)2(0,πβα∈、，则cos β＝15、关于函数f(x)＝4sin(2x ＋3π)（x ∈R ）有下列命题： ①由f(x 1)＝f(x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f(x)的表达式可改写为y ＝4cos(2x －6π) ③y ＝f(x)的图象关于点（－6π，0）对称； ④y ＝f(x)的图像关于直线x ＝－6π对称。
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高等数学第二期半期考试试题 一、解答下列各题（每题６分）1. 1. 利用二重积分求不等式r ≤2cos θ, r ≤1所表达的区域的面积。
2. 2. 设z =(1+xy )x,求dz3. 3. 求函数 u=e xyz在点P 0(1,0,-1)沿方向的方向导数。
其中P 1的坐标为(2,1,-1).4. 4. 设u=f (x,y,z ),而ϕ(x 2，e y ，z )=0，y=sim x 其中f , ϕ具有一阶连续偏导数，且求。
5. 5. 设z=z (x , y )由。
6. 6. 求曲面x 2+4y-z 2+5=0 垂直于直线的切平面方程。
二、（每题８分） 1. 1. 计算二重积分其中Ｄ：x 2+y 2≤1。
2. 2. 计算二次积分。
三、（每题８分） 1. 1. 求的一个特解。
2. 2. 求微分方程的通解。
四、（８分）利用拉格朗日乘数法，求椭圆抛物面z=x 2+2y 2到平面x+2y-3z=2的最短距离。
五、（１０分）求函数在点(1,1,4)处沿曲线在该点切线方向的方向导数。
六、（８分）利用极坐标计算七、(６分)设f (u )为可微函数，f (0)=0。
一．（20分）计算下列各题： 1． 1． Z =, 求Z X , Z Y2． 2． U = x y 2 z 3, 求U x , U y , U z 3． 3． U = , 求 dU 4． 4． Z = f (x siny , x), 求Z x , Z x x. 二．（10分）10P P 0≠∂∂x ϕdx du y zx z dt e x z xyt ∂∂∂∂=+⎰-,2确定，求zy x =-=-2121()⎰⎰+Ddxdyy x ⎰⎰-21331sin x dyy dx x x y y sin =-''321y x xy dx dy +=22232z y x u ++=⎪⎩⎪⎨⎧+===1332t z t y tx ⎰⎰⎰⎰-----+RR y R x y R yxy dxedy e dx e dy e 22222222y x 3()222z y x e ++１．已知曲空曲线Γ： 在（-1,1,-1）处的切线及法平面方程。
２．求球面x 2 + y 2 + z 2 = 56在M 0 (2,4,6) 的切平面及法线方程。
三．（8分）求Z= x 2 – xy + y 2 + 9x - 6y +20的极值 四．（20分）计算下列各题： １．, D ： y = x ，y = 5x ，y = 1围成区域。
２． 积分换序 :将下积分化为先对X 后对Y 的积分。
３．, D ：４．, V ：z = x y, x + y = 1, z = 0 如图：五．（15分）计算曲线积分： １．１． , L ：为由直线y = x 及抛物线y = x 2所围区域边界。
２． ２．, L ：为圆周x=Rsint, y=Rcost 上对应t 从0到的一段弧.３． ３． 利用格林公式计算曲线积分，L 为三顶点分别为 (0,0)、(3,0) 和 (3,2) 的三角形正向边界。
六．（10分）计算曲面积分：１．I=, ∑：x 2+y 2-z 2=0, 0≤z ≤1２．, ∑：x+y+z=1, 侧向如图： 七．（10分）求解各题：⎪⎩⎪⎨⎧===32t z t y t x ⎰⎰+D dxdyy x )6(()⎰⎰⎰⎰+21212121),(,xxdyy x f dx dy y x f dx ()⎰⎰+-Dy x dxdy e 22222,0,0a y x y x ≤+≥≥⎰⎰⎰V xydxdydz⎰Lxds⎰-Lxdyydx 2π⎰-+++-Ldyx y dx y x )635()42(⎰⎰∑+ds y x )(22⎰⎰∑xzdxdyZX１． １．２． ２． 验证(sin y-y sin x+x)dx+(cos x+x cos y+y)dy 是某函数u(x,y)的全微分，并求出该函数u(x,y). 八．（7分） 用高斯公式求：Σ：x 2+y 2+z 2=a 2 的外侧第二学期高等数学半期试题解答一．（20分）计算下列各题： 5． 1． Z =, 求Z X , Z YZ x =3yx y-1 Z y =3X lnX6． 2． U = x y 2 z 3, 求U x , U y , U zU x =y 2z 3 U y =2xyz 3 U z =3xy 2z 27． 3． U =, 求 du8． 4． Z = f (x siny , x), 求Z x , Z x x. 二．（10分）１．已知曲空曲线Γ： 在（-1,1,-1）处的切线及法平面方程。
切线方程为：法平面方程：２．求球面x 2 + y 2 + z 2 = 56在M 0 (2,4,6) 的切平面及法线方程。
设 切平面：(x-2)+2(y-4)+3(z-6)=0法线： 三．（8分）求Z= x 2 – xy + y 2 + 9x - 6y +20的极值得驻点(-4,1)为极小值点()()()⎰---++1,20,122)(ydy xdx y x ⎰⎰++dxdy z dzdx y dydz x 333y x 3y()222z y x e++222)222(z y x ezdz ydy xdx dU ++++=()21sin f y f z x '+'=()22211211sin sin sin f y f y f y f z xx ''+''+''+''=⎪⎩⎪⎨⎧===32t z t y tx }3,2,1{=s312111+=--=+z y x 0)1(3)1(2)1(=++--+z y x 222-++=z y x F x F x 2=y F y 2=z F z 2=}12,8,4{=n362412-=-=-z y x 92+-=y x Z x 62--=x y Z Y 0,0==Y X Z Z 2=xx Z 1-=xy Z 2=yy Z 031222>=-⨯=-B AC 0>A )1,4(-∴1206361416min -=+--++=f四．（20分）计算下列各题： １．, D ： y = x ，y = 5x ，y = 1围成区域。
２． 积分换序 :将下积分化为先对X 后对Y 的积分。
３．, D ：４．, V ：z = x y, x + y = 1, z = 0 如图：五．（15分）计算曲线积分：４． １． , L ：为由直线y = x 及抛物线y = x 2所围区域边界。
原积分＝５． ２．, L ：为圆周x=Rsint, y=Rcost 上对应t 从0到的一段弧.原积分＝６． ３． 利用格林公式计算曲线积分.L 为三顶点分别为 (0,0)、(3,0) 和 (3,2) 的三角形正向边界。
原积分＝六．（10分）计算曲面积分： １． １．⎰⎰+Ddxdyy x )6(25/4425132)]5/(6)25(21[)6(212215/1==-+-=+=⎰⎰⎰⎰dy y dy y y y y y dx y x dx I y y ()⎰⎰⎰⎰+21212121),(,xxdyy x f dx dy y x f dx dxy x f dy I yy),(/121⎰⎰=()⎰⎰+-Dy x dxdy e 22222,0,0a y x y x ≤+≥≥⎰⎰⎰----=--⋅==2/020)1(4)(212222πππθa ar ar e r d e rdr e d I ⎰⎰⎰Vxydxdydz⎰⎰⎰-==x xy xy dy dx I 101601⎰Lxds⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+⎰⎰15121224123210102dx x x dx x ⎰-Lxdyydx 2π⎰=+2222222)sin cos (ππR dt t R t R ⎰-+++-L dyx y dx y x )635()42(12)13(=+⎰⎰Dd σZYI=, ∑：x 2+y 2-z 2=0, 0≤z ≤1２．, ∑：x+y+z=1, 侧向如图：原积分＝七． 七． 10分）求解各题：1. （因为，故积分与路径无关）2.验证(sin y-y sin x+x)dx+(cos x+x cos y+y)dy 是某函数u(x,y)的全微分，并求出该函数u(x,y).八．（7分） 用高斯公式求：Σ：x 2+y 2+z 2=a 2 的外侧原积分＝⎰⎰∑+dsy x)(22πθσπ⎰⎰⎰⎰==+=2013222222)(dr r d d y x I D⎰⎰∑xzdxdy241)2(21])[()1(101032210=+-=--=--⎰⎰⎰⎰⎰-xD dx x x x dy xy x x dx d y x x σ()()()()64)(122131,20,122=++=++⎰⎰⎰------ydy y dx x ydy xdx y x y Px Q ∂∂=∂∂是全微分。
,sin cos y Py y x Q ∂∂=-=∂∂2sin cos 2)cos (cos 2002y y x x y x dy y y x x xdx u xy +++=+++=⎰⎰⎰⎰++dxdy z dzdx y dydz x 333。