线性代数(第二版)第三节向量间的线性关系
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线性代数第3章向量空间
1 1 22 2 31 42 则 1 , 2 , 3 必相关 3 51 62 如果 B : 1, 2 ,, m 可由 A : 1,2 ,,n
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
复旦大学精品课程《线性代数》课件,第三章n元向量的线性关系课件复习精品资料
3.3 n元向量的线性关系一.线性组合和等价向量组定义3.1n 个数组成的有序数称为n 元向量，其中称为这n 元向量的第i 个分量，常用或表示n 元向量。
12(,,,)n a a a i a αβ12(,,,)Tn a a a α=12 n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭n 元列向量（常用）：n 元行向量：12 ,n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12 n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭定义3.2 两个n 元向量：当他们各个分量对应相等时，即则称与相等，记做12,1,2,,,a b i n ==αβ.αβ=定义3.2 设n 元向量与，k 为数，则n 元向量αβ1122 ,n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭12 n ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为与的和，k 与的数量乘积。
αβα•通常将向量的加法、数乘运算称为向量的线性运算。
定义3.3 设一组向量，若存在一组数，使12,,,,m βααα12,,,m k k k 1122m mk k k βααα=+++则称是向量组的线性组合，或称可以由向量组线性表示。
β12,,,m αααβ12,,,m ααα(1).零向量可以经任意向量组线性表示。
(2).任一n 元向量可以经由n 元向量组线性表示式：0(0,0,0)T=12(,,,)Tn a a a α=1(1,0,,0),(0,0,,1)T T T Tn e e ==1122.n n e e e αααα=++•向量是矩阵A 各列向量的线性组合的两个充要条件：•线性方程组相容。
•矩阵的秩与矩阵相同。
且线性表示式中系数可以由线性方程组的解给出。
β12,,,m αααAX β=12(,,,)m ααα12(,,,,)m αααβ例1已知向量试问可否经向量组线性表示。
12(1,0,2,1),(1,0,2,1),T Tαα==34(2,1,3,0),(2,5,1,4),TTαα==-4α123,,ααα解记1231234(,,),(,,,).A A ααααααα==1122021520311104A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭312R R -41R R -32R R +41/2R -34,R R 交换1122021502150022⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪-⎝⎭112202150000011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭11220215001100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭记B可以看出，根据充要条件(2)，可以得出可以经由线性表示。
向量间的线性关系
1 2 0 1 2 1 1 0 2 1 2 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
∴ 1 , 2 为一个极大无关组.且 1 3 1 2 ， 4 1 2 2
证毕
注：此定理给出了线性相关与线性组合的关系
例 设向量组 1 (1 , 1, 1, 0) ， 2 (1 , 0, 3 ( 0, 1, 0, 0) ，验证向量组线性相关. 解
∵ 1 2 3
1, 0) ，
∴ 1 , 2 , 3 线性相关.
定理5 如果向量组 1 , 2 ,......, , s 线性无关，则向量 可以由 向量组 1 , 2 ,......, s 线性表示，且表示法 唯一. 证明 (1)先证 可由1 , 2 ,......, s 线性表示
矩阵的列秩： 称矩阵A的列向量组的秩为矩阵A 的列秩.
定理9
A 为m n 矩阵，r ( A) r
A 的列秩与行秩相等，且为 r.
求向量组的极大无关组的方法：
1 给定向量组 1 , 2 ,......, n ，以 1 , 2 ,......, n 为列向量构成一个矩阵 1 2 ...... n ，然 后进行初等行变换，求得矩阵的秩，即是极大 无关向量组所含向量的个数. 2 而不为零的 r 阶子式所对应的向量组，即 是极大无关组.
.......... .......... .......... .......... ... n k1n 1 k2 n 2 ... krn r
（2）证明题：
由于证明题中向量组中向量的分量一般不给出， 固不能按上述方法来判定向量组相关性，而应 按照相关无关的定义来证明.
高等代数第二版课件§3[1].3 线性相关性
![高等代数第二版课件§3[1].3 线性相关性](https://img.taocdn.com/s3/m/0b25624bbe1e650e52ea9937.png)
在解几中，向量空间 R 3 中的任一个向量α可由 i, j , k 和
一、向量组的线性关系
1 , 2 ,, r
线性表出。
第三章 线性方程组
例3.3.2 在 F 中，任一向量 a1 , a2 , , an 可由向量组 1 1, 0,, 0 , 2 0,1,, 0 ,, n 0, 0,,1 线性表示， i 称为n维单位向量。 1 , 2 ,, n 在 F n 中有重要的作用。 这回答了本段开头提出的问题， 它有哪些重要作用？以及是否还有其他向量组能起它们的作用？ 下面将给予回答。 注1：零向量是任一向量组的线性组合。 n 定义2：对于 F 中r个向量 1 , 2 ,, r ，若存在F中不全为 k11 k2 2 kr r 0 ，则称 零的数 k1 , k2 , , kr ，使 1 , 2 ,, r 线性相关，否则称 1 , 2 ,, r 线性无关， （即不存在不全为零的数 k1 , k2 , , kr ，使
（否则得 n l11 ln 1 n 1 , 矛盾）， 不妨设 ln 0, 于是 因此，向量组（Ⅲ）1 , 2 ,, n , n 1 ,, s 与向量组（Ⅳ） 1 ,, n 1 , n ,, s 等价。
ln 1 ln 1 ls l1 1 n n 1 n 1 n 1 s ln ln ln ln ln
1 , 2 ,, r r 2
第三章 线性方程组
三、向量组的等价和替换定理
定义4
设向量组（Ⅰ）： 1 , 2 ,, r 和向量组（Ⅱ）：
1 , 2 ,, s 是向量空间 F n 中的两个向量组，如果组（Ⅰ）
线性代数第2章第3节向量间的线性关系
T T T 1 , 2 , 2
4 2 1 3 1 1 0 5 1 11 1
1
4 0 5 5 0 3 4 0 9 9
1 2 4 0 1 1 . 0 0 1 0 0 0
第二章 线性方程组
第三节 向量间的线性关系
一、向量的线性组合
二、线性相关与线性无关
1
一、向量的线性组合
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
x 即有方程组的向量形式： 11 x2 2 xn n
2
线性方程组(2.3.1)是否有解，就相当于是是否存在一组 数：x1=k1， x2=k2，…， xn=kn，使线性关系式
x11 x2 2 xn n
成立． 即常数列向量β是否可以表示成上述列向量组α1， α2，…， αn 的线性关系．如果可以，则方程组有解；否则方 程组无解． β可以表示成上述关系时，称向量β是向量组α1，α2，…， αn 的线性组合，或者称β可由向量组α1，α2 ，…， αn 的线性
表示．
3
定义2.8 设α1，α2，…， αs ， β∈Rn(s为正整数），如 果存在一组数k1， k2，…， ks ∈R，使得
k11 k2 2 ks s
称向量β 可以表示为向量组 α1，α2，…， αs 的线性组合， 或者称β可由向量组α1，α2 ，…， αs 的线性表出(或线性
有解．
7
例：设 1 1, 3, 2 , 2 3, 2, 1 , 3 2, 5, 1 ,
向量组间的线性关系
也线性无关。
例10 已知 证明 设存在数
线性无关，证明 线性相关.
使得
即 已知
线性无关， 只有
不全为零，故向量组线性相关。
三、线性组合与线性表示
定义2 设有m维向量组
则称 的线性组合 称
如果存在一组数 是向量组 为组合系数.
若存在一组数
使得
称 可由
线性表示。
1、线性表示
观察四个向量 之间的关系有
例1
即 线性相关。
例2 当向量组含两个非零向量时，
设
，
与 线性相关
与 对应分量成正比
证明 与 线性相关
或
或
即 与 的对应分量成比例
例3 对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例，
几何上说向量
共线。
线性相关。
求证含有零向量的向量组必线性相关。
例4 证明 设向量组中 取数 必有
则此向量组必定线性相关。
例13 判断 是否为向量组 的线性组合？ 对矩阵
4
3
0 11
1
2
4
1 2 4
1
1
2
1 5
2
2
1
1 1
2
1 5
1 1 1
3
0 11
~
0
0 0
1 0 0
1
1 0
线性无关，
01
定理6
02
03
线性相关，则
可由A线性表示且表法唯一。
已知向量组
例14 证明 ①
②
0 1 0 2
0 0
0 0
1 0
-1 0
1 1 2 2 0 2 -1 5
线性代数(第二版)第三节向量间的线性关系
(3) 1 (1,1, 2, 2)T,2 (1, 2,1,3)T,3 (1, 1, 4,0)T, (1,0,3,1).
(1) 解 构 造 矩 阵 A 和 B :
4
2 1
4
2 1 2
A ( 1 , 2 , 3 ) 3 1 2 , B ( 1 , 2 , 3 , ) 3 1 2 10
O 123456 x
图1
a1OM 1(1,2)
a2OM 2(2,4)
a3 OM 3 (3,6)
显然, 这三个向量中的 任意两个向量构成的向 量组都是线性相关的.
2) 由 3 个 3 维向量构成的向量组线性相关的几 何意义是这 3 个向量共面. 如给定平面 : x+y+z =3.
这就是线性方程组的向量形式.
三
线 线 性 性 方 方 程 程 组 组 的 的 三 三 种 种 形 形 式 式
有
n
个未
种形式：
知
量
s 个方程的线性方程组，有
形 形 式 式 一 一
一般形式
a 11 x 1 a 21 x 1
a s1 x1
a 12 x 2
a 22 x 2
a s2 x2
a1n x n a 2n xn
2. 两个特殊向量组线性相关的充要条件
1) 由一个向量构成的向量组 A: a 线性相关 的充要条件是: a = 0.
2) 由两个向量构成的向量组 A : a1 , a2 线性 相关的充要条件是: a1 , a2 的分量对应成比例. 如
向量组 :
1
3
a1 1 , a2 3 ,
2
6
1 3 3 3 因为 -3a1 + a2 = 313 330, 2 6 6 6
(1) 解 构 造 矩 阵 A 和 B :
4
2 1
4
2 1 2
A ( 1 , 2 , 3 ) 3 1 2 , B ( 1 , 2 , 3 , ) 3 1 2 10
O 123456 x
图1
a1OM 1(1,2)
a2OM 2(2,4)
a3 OM 3 (3,6)
显然, 这三个向量中的 任意两个向量构成的向 量组都是线性相关的.
2) 由 3 个 3 维向量构成的向量组线性相关的几 何意义是这 3 个向量共面. 如给定平面 : x+y+z =3.
这就是线性方程组的向量形式.
三
线 线 性 性 方 方 程 程 组 组 的 的 三 三 种 种 形 形 式 式
有
n
个未
种形式：
知
量
s 个方程的线性方程组，有
形 形 式 式 一 一
一般形式
a 11 x 1 a 21 x 1
a s1 x1
a 12 x 2
a 22 x 2
a s2 x2
a1n x n a 2n xn
2. 两个特殊向量组线性相关的充要条件
1) 由一个向量构成的向量组 A: a 线性相关 的充要条件是: a = 0.
2) 由两个向量构成的向量组 A : a1 , a2 线性 相关的充要条件是: a1 , a2 的分量对应成比例. 如
向量组 :
1
3
a1 1 , a2 3 ,
2
6
1 3 3 3 因为 -3a1 + a2 = 313 330, 2 6 6 6
线性代数--第三章向量线性关系秩
若l =0, 则k11+k22+ …+krr=0, 矛盾. 所以l 0, 于是
β
k1 l
α1
k2 l
α2
kr l
αr
若有: =k11+k22+ …+krr=l11+l22+ …+lrr
则有: 所以:
(k1 l1)1+(k2 l2)2+ …+(krl1)r=0 k1 l1=k2 l2= …=krl1=0
(1, 0, 0, 1)的线性相关性.
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 (k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)=(0,0,0,0)
k1 k1
k3 k2
0 0
k2 k3 0
解得: k1=k2=k3=0. 所以1, 2, 3线性无关.
例3 讨论向量组 1T=(1,1,2), 2T=(0,1, 1), 3T= (2, 3, 3)的线性相关性.
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0
就是
(k1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0
所以
k1 +k3 k1 +k2
0 0
k2 k3 0
解得: k1=k2=k3=0
所以向量组1, 2, 3线性无关.
定理3.1 若向量组有一个部分组线性相关, 则此向量 组线性相关.
前面加长向量组的概念中只加了一个分量, 而且加在
了最后一个分量. 也可以加多个分量, 分量也可以加在任
β
k1 l
α1
k2 l
α2
kr l
αr
若有: =k11+k22+ …+krr=l11+l22+ …+lrr
则有: 所以:
(k1 l1)1+(k2 l2)2+ …+(krl1)r=0 k1 l1=k2 l2= …=krl1=0
(1, 0, 0, 1)的线性相关性.
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 (k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)=(0,0,0,0)
k1 k1
k3 k2
0 0
k2 k3 0
解得: k1=k2=k3=0. 所以1, 2, 3线性无关.
例3 讨论向量组 1T=(1,1,2), 2T=(0,1, 1), 3T= (2, 3, 3)的线性相关性.
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0
就是
(k1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0
所以
k1 +k3 k1 +k2
0 0
k2 k3 0
解得: k1=k2=k3=0
所以向量组1, 2, 3线性无关.
定理3.1 若向量组有一个部分组线性相关, 则此向量 组线性相关.
前面加长向量组的概念中只加了一个分量, 而且加在
了最后一个分量. 也可以加多个分量, 分量也可以加在任
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b1 b2
, ,
bs
.
以
下
从向量的角度，式子x11 + x22 + … + xss = 从形式上即为把 表示为向量组1 , 2 , … , s 的线 性组合. 由此可得，向量 能由向量组1 , 2 ,…, s
线性表示的充分必要条件是线性方程组 (2.7) 有解，
并且若方程组有唯一解，则表示式唯一；若方程组
例 3 判别下列各题中的向量 能否由其余向
量线性表出，若能，求出其表示式.
(1) 1 (4,3,11)T,2 (2, 1,3)T,3 (1, 2,0)T, (2,10,8)T ;
(2) 1 (2,1,0,1)T,2 (1, 3, 2, 4)T,3 (5,0, 1, 7)T, 4 (1, 6, 2,6)T , (8,9, 5,0);
2 1 5
A
( 1 ,
2 , 3,
4)
1
0 1
3 2 4
0 1 7
1
6
2 6
,
2 1 5 1
8
B
( 1 , 2 , 3 , 4 , )
1
0 1
3 2 4
0 1 7
6 2 6
9
5 0
将 B 化成行最简形，
(3) 解
构造矩阵 A 和 B :
1 1
A
( 1 ,
2 , 3 )
1
2 2
与 共线的情况下，不妨设存在常数 k ，使 =
k.
例如
( 2 , 1) T ,
1,
1
T
,
则
1 .
2
2
在 与 共 线 的 情 况 下 ， 对 于 任 意 一 个 R2 中 的 向
量 = ( c1 , c2 )T , 由 平 行 四 边 形 法 则 可 知 ， 必 可 找 到
k1 , k2 , … , ks , 使得
k11 + k22 + … + kss = 0
例如，向量组 1 ( 2 , 1,3 ,1) T , 2 ( 4 , 2 ,5 , 4 ) T , 3 ( 2 , 1, 4 , 1) T 是 线 性 相 关 的 ， 因 为 3 = 31 - 2 .
11 3
0
11 3
0
8
将 B 化成行最简形，
4 B 3
2 1
1 2
2 10
行初等变换
1 0
0 1
3 / 10 11 / 10
0 0
11
3
0
8
0 0
0
1
由 于 r (A ) = 2 r (B ) = 3 , 所 以 不 能 由 1 , 2 , 3 线性表示.
(2) 解 构 造 矩 阵 A 和 B :
2. 两个特殊向量组线性相关的充要条件
1) 由一个向量构成的向量组 A: a 线性相关 的充要条件是: a = 0.
2) 由两个向量构成的向量组 A : a1 , a2 线性 相关的充要条件是: a1 , a2 的分量对应成比例. 如
有无穷多个解，则表示式不唯一.
由此可知，判断向量 能否由向量组1 , 2 , … , s 线性表示的方法是：构造矩阵
A = (1 , 2 , … , s ) 和 B = (1 , 2 , … , s , )
对矩阵 B 进得行初等变换使之成为行最简形，求出
矩阵 A 和 B 有秩； 若 r (A) r (B)，则向量 不能 由向量组1 , 2 , … , s 线性表示；若 r (A) = r (B) = s 则向量 能由向量组1 , 2 , … , s 线性表示且表示 法唯一； 若 r (A) = r (B) < s , 则向量 能由向量组 1 , 2 , … , s 线性表示且表示法不唯一.
2. 线性组合的定义
定义 2.8 设 1 , 2 , … , s , Rn ( s 为正整
数)，如果存在一组数 k1 , k2 , … , ks R，使得
= k1 1 + k2 2 + … + ks s
则称向量 可以表为向量组 1 , 2 , … , s 的线性 组合，或称 可由向量组 1 , 2 , … , s 线性表出.
2 1 3
1
1
4 0
,
1 1 1 1
B
( 1 , 2 , 3 ,
)
1
2 2
2 1 3
1 4 0
0
3 1
将 B 化成行最简形，
二、线性相关性的定义及判别
1. 定义
定义 2.9 Rn 中的向量组1 , 2 , … , s ( s 1 ) 称为线性相关，如果存在 R 中 s 个不全为零的数
(3) 1 (1,1, 2, 2)T,2 (1, 2,1,3)T,3 (1, 1, 4,0)T, (1,0,3,1).
(1) 解 构 造 矩 阵 A 和 B :
4
2 1
4
2 1 2
A ( 1 , 2 , 3 ) 3 1 2 , B ( 1 , 2 , 3 , ) 3 1 2 10
第三节 向量间的线性关系
向量的线性组合 线性相关性的定义及判别 用定义判别线性相关性 线性相关的充要条件
一、向量的线性组合
1. 引 入
在 平 面 解 析 几 何 中 我 们 知 道 ： R2 中 的 两 个 向 量 = ( a 1 , a2 )T 与 = ( b 1 , b 2 )T 的 关 系 无 非 有 两 种 ： (1 ) 共 线 (或 成 比 例 )； (2 ) 不 共 线 (或 不 成 比 例 ) . 在
则方程组
a11 x1 a12 x 2 a1s x s b1
a
21
x1
a 22 x 2 a 2 s x s
b2
a n1 x1 a n 2 x 2 a ns x s b n
(2 .7 )
可表示为
x11 + x22 + … + xss =
这就是线性方程组的向量形式.
定义 2.10 Rn 中的向量组1 , 2 ,…, s ( s 1 ) 如果不是线性相关，则称为线性无关. 换句话说，
向量组 1 , 2 , … , s ( s 1 ) 称为线性无关，如果
k11 + k22 + … + kss = 0
只有当 k1 = k2 = … = ks = 0 时才成立.
三
线 线 性 性 方 方 程 程 组 组 的 的 三 三 种 种 未
种形式：
知
量
s 个方程的线性方程组，有
形 形 式 式 一 一
一般形式
a 11 x 1 a 21 x 1
a s1 x1
a 12 x 2
a 22 x 2
a s2 x2
a1n x n a 2n xn
a sn x n