提公因式法基础知识讲解
提公因式法讲解
提公因式法讲解以提公因式法讲解为标题，本篇文章将详细介绍提公因式法的概念、步骤和应用。
提公因式法是一种用于因式分解多项式的常用方法，通过找出多项式中的公因子来简化表达式，使得分解更加简单和直观。
一、概念提公因式法是指通过寻找多项式中的公因子来进行因式分解的一种方法。
在多项式中，如果存在一个因子能够整除每一项，那么这个因子就是公因子。
通过提取出公因子，我们可以将多项式分解为更简单的形式，从而更好地理解和运算。
二、步骤提公因式法的步骤如下：1.观察多项式，找出其中的公因子。
多项式中的公因子可以是数字、字母或者字母的乘积。
2.将公因子提取出来，得到一个公因子和一个括号内的表达式。
公因子放在括号外，括号内的表达式是原多项式除以公因子的结果。
3.将原多项式除以公因子得到的括号内的表达式再次进行因式分解，直到无法继续分解为止。
4.将所有的公因子和括号内的表达式相乘，得到最终的因式分解形式。
三、应用提公因式法在数学中有着广泛的应用。
它可以用于简化多项式的表达式、求解方程、解决实际问题等。
1.简化多项式的表达式：通过提取公因子，可以将复杂的多项式表达式简化为更简单的形式，使得计算更加方便和快捷。
2.求解方程：在解方程过程中，我们常常需要将方程转化为因式的形式，从而更好地进行求解。
提公因式法可以帮助我们将方程进行因式分解，使得求解过程更加简单和直观。
3.解决实际问题：提公因式法可以应用于解决实际问题中的数学模型。
通过将实际问题转化为多项式表达式，并利用提公因式法进行因式分解，可以更好地理解和解决实际问题。
四、例题解析下面我们通过一个例题来解析提公因式法的具体步骤：例题：将多项式4x+8y的因式分解。
解析：观察多项式4x+8y，我们可以发现它的公因子是4。
将4提取出来，得到4(x+2y)。
其中，括号内的表达式x+2y是多项式除以公因子4的结果。
经过这一步骤，我们可以发现多项式4x+8y已经被成功因式分解为4(x+2y)的形式。
因式分解和提公因式法
因式分解和提公因式法因式分解是代数中的一种重要的运算方法，在解题过程中往往可以起到简化问题、求解方程、找出公因数等作用。
而提公因式法是因式分解的一种特殊形式，通过提取公因式来简化多项式的表达式。
本文将详细介绍因式分解和提公因式法的概念、原理以及应用。
一、因式分解的概念和原理1.1 因式分解的概念因式分解是将一个多项式拆解成若干个因式的乘积，其中每个因式都是多项式的一个因子。
通过因式分解，我们可以将复杂的多项式化简为简单的因子形式，便于进一步求解方程、计算和进行其他代数运算。
1.2 因式分解的原理因式分解的原理是根据多项式的特点和运算规律，将其拆解为不可再分解的因子相乘的形式。
常用的分解方法有提取公因式法、配方法、根据特殊公式和因式定理等。
二、提公因式法的概念和步骤2.1 提公因式法的概念提公因式法是一种较为常见且简便的因式分解方法，通过提取多项式中的公因式，将多项式拆解为公因式和剩余部分的乘积。
这样可以达到简化表达式的效果，从而便于求解方程或进行其他计算。
2.2 提公因式法的步骤步骤一：观察多项式中是否存在公因式；步骤二：提取出公因式，并在多项式外面加上括号，表示公因式；步骤三：将多项式中去掉公因式后的部分作为括号内的剩余部分；步骤四：将公因式和剩余部分用乘号连接起来，得到最终的因式分解式。
三、因式分解和提公因式法的应用3.1 解方程因式分解和提公因式法在解方程中经常被使用。
通过因式分解，可以将原方程化简为简单的因子形式，从而更容易求解。
例如，对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果可以进行因式分解成(a'x + b')(c'x + d') = 0，那么可以根据方程因式乘积为零的性质，得到x的取值。
3.2 简化计算在进行复杂的数学计算时，因式分解和提公因式法可以起到简化计算的作用。
通过将多项式化简为因子形式，可以减少计算的复杂性。
特别是在涉及多次相同运算的情况下，将公因式提取出来可以减少重复计算。
因式分解———提公因式公式法
因式分解———提公因式公式法因式分解是数学中的一个重要的方法，它可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式。
常用的因式分解方法有提公因式法和公式法。
一、提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法，它的基本思想是找出多项式中的公因式，并将其提取出来。
下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式3x^2+9x分解因式。
解题步骤：1.观察多项式中的每个项，找出它们的公因式。
在这个例子中，3和9都是3的倍数，所以可以提取出公因式3来，即3x^2+9x=3(x^2+3x)。
2.检查提取出的公因式是否是多项式的最大公因子。
这一步其实是用求最大公因子的方法来验证的。
在这个例子中，公因式3是最大公因子，因为3x^2和3x都可以被3整除，而且没有其他的公因子。
3.将提取出来的公因式和剩下的部分组合在一起。
在这个例子中，可以将公因式3和剩下的部分(x^2+3x)组合在一起，即3(x^2+3x)。
综上所述，多项式3x^2+9x可以分解因式为3(x^2+3x)。
二、公式法公式法是因式分解中的另一种常用方法，它适用于具有特定形式的多项式。
下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式x^2+4x+4分解因式。
解题步骤：1.观察多项式的各个项的系数。
在这个例子中，x^2的系数为1，4x的系数为4，4的系数为42.检查多项式是否具有特定形式。
在这个例子中，多项式的形式为x^2+4x+4，它的形式和公式(a+b)^2非常相似。
3.根据公式(a+b)^2，将多项式进行分解。
根据公式(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，可以将多项式x^2 + 4x + 4分解为(x+2)^2综上所述，多项式x^2+4x+4可以分解因式为(x+2)^2综合练习：1.将多项式6x^2+9x+3分解因式。
解：可以观察到，多项式的各个项的系数都是3的倍数，所以可以提取公因式3，即6x^2+9x+3=3(2x^2+3x+1)。
2.将多项式x^3-8分解因式。
《提公因式法》 讲义
《提公因式法》讲义一、什么是提公因式法在数学运算中，提公因式法是一种非常重要的因式分解方法。
简单来说，提公因式法就是把多项式各项中的公因式提取出来，将多项式化成几个整式乘积的形式。
那什么是公因式呢？公因式就是多项式各项都含有的相同因式。
比如说，对于多项式 6x ＋ 9 ， 3 就是它们的公因式，因为 6x 可以写成 3×2x ， 9 可以写成 3×3 ，所以 6x ＋ 9 可以分解为 3(2x ＋ 3) ，这就是运用提公因式法进行因式分解。
二、如何确定公因式要熟练运用提公因式法，首先得学会准确地确定公因式。
确定公因式需要考虑以下几个方面：1、系数公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
例如，对于多项式12x ＋ 18 ， 12 和 18 的最大公约数是 6 ，所以公因式的系数就是 6 。
2、字母公因式中的字母应是多项式各项中都含有的字母。
比如多项式 5x²y ＋ 10xy²，其中都含有字母 x 和 y 。
3、字母的指数公因式中字母的指数取各项中该字母的最低次幂。
在上面的例子5x²y ＋ 10xy²中， x 的最低次幂是 1 ， y 的最低次幂也是 1 ，所以公因式是 5xy 。
再举个例子，对于多项式 8a³b² 12a²b³，系数的最大公约数是 4 ，都含有的字母是 a 和 b ， a 的最低次幂是 2 ， b 的最低次幂是 2 ，所以公因式是 4a²b²。
三、提公因式法的步骤1、确定公因式按照前面讲的方法，先确定多项式各项的公因式。
2、提出公因式将公因式提取出来，放在括号外面。
3、写出剩余的因式用原多项式除以公因式，得到剩余的因式，写在括号里面。
例如，对于多项式 15x³ 25x²，首先确定公因式为 5x²，然后将其提出，得到 5x²(3x 5) 。
因式分解-提公因式法
提公因式法的应用场景
• 可提取公因式简化 多项式
• 需要进一步分解剩 余部分
配方法
• 适用于二次方程式 • 通过转化为平方完
成因式分解 • 适用范围有限
根式法
• 适用于含有平方根 的多项式
• 通过提取平方根进 行因式分解
• 限制较多
提公因式法的优点
简单易用
提公因式法是一种较为简单的因式分解方法，易于掌握和应用。
通用性强
因式分解-提公因式法
因式分解是一种重要的数学概念，提公因式法是常用的因式分解方法之一。
提公因式法的定义
提公因式法是一种通过找出多项式中的公因式，将其进行提取，从而达到进 行因式分解的目的的方法。
提公因式法的步骤
1. 找出多项式中的公因式 2. 提取公因式 3. 将剩余部分进行因式分解
示例：使用提公因式法进行因式分解
提公因减少计算量
通过提取公因式，可以简化多项式，减少计算的复杂度。
结论
提公因式法是一种重要的因式分解方法，能够帮助我们简化复杂的代数表达 式，解决方程，以及进行数学建模。
1 简化表达式
提公因式法可以帮助我们简化复杂的代数表达式，使计算更加简便。
2 解方程
提公因式法可以用于解决一些复杂方程，帮助我们找到方程的根。
3 数学建模
提公因式法是数学建模中常用的一种方法，可以帮助我们更好地理解和描述实际问题。
因式分解之提公因式和公式法
因式分解之提公因式和公式法因式分解是数学中的一种常见的运算方法，它可以把一个复杂的多项式表达式分解成更简单的因式乘积，从而更好地理解和运算。
一、因式分解的概念因式分解是指把一个多项式表达式写成因式的乘积形式的过程。
因式分解有两种主要的方法，一种是提公因式法，另一种是公式法。
1.1提公因式法提公因式法是指将多项式中的一个或多个公因式提取出来，使得多项式能够写成一个公因式乘以另外一个因式的形式。
提公因式法有以下几个步骤：步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
例子1：将多项式4x^2-5x+2进行因式分解。
首先，我们观察多项式，发现每一项的系数都是正整数，所以可以将多项式因式分解为最简整数.步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
4x^2-5x+2=(4x^2)+(-5x)+2步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
=4x(x)+(-5x)+2步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
=4x(x-5)+2步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
=4x^2-20x+2例子2：将多项式2x^3+3x^2-4x-6进行因式分解。
步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
2x^3+3x^2-4x-6=(2x^3)+(3x^2)+(-4x)+(-6)步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
=2x(x^2)+3x(x)+(-4x)+(-6)步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
=2x(x^2+1.5x-2-3)步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
=2x^3+3x^2-4x-6通过这个例子我们可以看出，当多项式中存在公因子时，提公因式法能够帮助我们简化运算过程，从而更方便地处理多项式。
初中数学知识点精讲精析 提公因式法
第二节 提公因式法要点精讲一、提公因式法概念各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．二、具体方法：1．当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．当各项的系数有分数时，公因式系数的分母为各分数分母的最小公倍数，分子为各分数分子的最大公约数（最大公因数）2．如果多项式的第一项是负的，一般要提出“一”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“一”号时，多项式的各项都要变号．相关链接提公因式法口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．典型解析1． 分解因式：2x 2﹣10x =_______．【答案】2x （x ﹣5）【解析】原式=2x （x ﹣5）．故答案是：2x （x ﹣5）． 中考案例1．（2012贵州安顺）分解因式：a 3﹣a=_________．【答案】a （a+1）（a ﹣1）【解析】解：a 3﹣a ，=a （a 2﹣1），=a （a+1）（a ﹣1）． 针对训练1．因式分解：39a a -=___________．2．分解因式8（x 2－2y 2）－x （7x ＋y ）＋xy=____________．3．因式分解：m 2﹣mn=___________．4．＝___________．22x x +-5．分解因式：2x 2+4x+2=___________．6．分解因式：a 3﹣a=___________．7．分解因式：4x 2－25＝___________．8．分解因式：___________．参考答案1．【答案】a【解析】原式＝2(9)(3)(3)a a a a a -=+-2．【答案】（x ＋4y ）（x －4y ）【解析】8（x 2－2y 2）－x （7x ＋y ）＋xy =8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy =x 2－16y 2=（x ＋4y ）（x －4y ）3．【答案】m （m ﹣n ）【解析】提取公因式m ，即可将此多项式因式分解．解：m 2﹣mn=m （m ﹣n ）．故答案为：m （m ﹣n ）．4．【答案】（x-1）（x+2）【解析】∵（-1）×2=-2，2-1=1，∴x 2+x-2=（x-1）（x+2）．故答案为：（x-1）（x+2）．5．【答案】2（x+1）2【解析】先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a 2±2ab+b 2=（a±b）2．2x 2+4x+2=2（x 2+2x+1）=2（x+1）2．故答案为：2（x+1）2．6．【答案】a （a+1）（a ﹣1）【解析】解：a 3﹣a ，=a （a 2﹣1），=a （a+1）（a ﹣1）．7．【答案】（2x +5）（2x －5）【解析】4x 2－25=（2x ）2－52=（2x +5）（2x －5）8．【答案】【解析】 扩展知识分解因式技巧1．分解因式与整式乘法是互为逆变形．2．分解因式技巧掌握：（1）等式左边必须是多项式；（2）分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止．注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑． 3223-2+=x y x y xy ()2-xy x y ()()2322322-2-2-x y x y xy xy x xy y xy x y +=+=。
4.2 提取公因式法
要点小结
1．运用提取公因式法分解因式应注意不要犯以下错误： ①提取不尽；②漏项(尤其要注意当某项恰好为公因式 时，提取公因式后，该项应为 1，不可漏掉)；③疏忽 变号；④只提取部分公因式，而最后整个式子未变成 乘积的形式．
2．公因式既可以是单项式，也可以是多项式． 3．添括号法则和去括号法则正好相反，因此可以用去括
是
．
【答案】 (b＋c)(2a－3)
4．分解因式： (1)4x3－6x2．
【解】 原式＝2x2(2x－3)．
(2)a3b3＋a2b2－ab．
【解】 原式＝ab(a2b2＋ab－1)． (3)6a(b－a)2－2(a－b)3．
【解】 原式＝6a(a－b)2－2(a－b)3 ＝2(a－b)23a－(a－b) ＝2(a－b)2(2a＋b)． (4)x(x－y)2－y(x－y)．
【点拨】 添括号时，所添括号前面是“－”号，括到括 号里的各项都要改变符号，这是易错点． 【解析】 (1)前一个小括号前为“＋”号，故小括号内 各项符号不变；后一个小括号前为“－”号，故小括号 内各项都要变号． (2)两个小括号前都没有符号，即都为“＋”号，小括号 内各项符号不变．
【答案】 (1)b＋c b＋c (2)x－3 x－3
【答案】 (1)3a (2)2x2y2 (3)(p－q)
【典例 2】 把下列各式分解因式： (1)8a3b2＋12ab3c． (2)8m2n＋2mn2． (3)2a(b＋c)－3(b＋c)． (4)p(a2＋b2)－q(a2＋b2)．
【点拨】 (1)提取公因式时，对数字系数和字母应分别 进行考虑：如果是整数系数，就应取最大公因数；字母取 各项都含有的相同字母的最低次幂的积． (2)提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因 式．
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提公因式法（基础）
【学习目标】
1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；
2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.
【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多
项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的
积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式
分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
要点二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，
指数取各字母指数最低的.
要点三、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而
正好是
除以m 所得的商，这种因式分解的方法叫提公因
式法． 要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 .
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公
因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，
使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都
要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等
或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或
“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
【典型例题】
类型一、因式分解的概念
1、观察下列从左到右的变形：
⑴()()3322623a
b a b ab -=-； ⑵()ma mb
c m a b c -+=-+ ⑶()22261266x xy y x y ++=+； ⑷()()22323294a b a b a b +-=-
其中是因式分解的有 （填序号）
【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断．
【答案】（3）.
【解析】
解：(1) 的左边不是多项式而是一个单项式，
(2) (4)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；
只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．
【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．
举一反三：
【变式】（2014?海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
2+4a ﹣21=a （a+4）﹣21 2
+4a ﹣21=（a ﹣3）（a+7）
C.（a ﹣3）（a+7）=a 2+4a ﹣21
2+4a ﹣21=（a+2）2
﹣25 【答案】B. 类型二、提公因式法分解因式
2、(1)多项式2363x xy -+的公因式是________；
(2)多项式324168mn m m --的公因式是________；
(3)多项式()()()x b c a y b c a a b c +--+----的公因式是________；
(4)多项式2(3)(3)x x x -+-的公因式是________．
【答案】(1)3 (2)4m (3)b c a +- (4)3x -
【解析】
解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．
(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字
母．公因式为3.
(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是m ．公因式为4m .
(3)公因式是（b c a +-），为一个多项式因式．
(4)多项式可变形()()233x x x ---，其公因式是3x -．
【总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式．
举一反三：
【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）
A ．2x y -
B ．22x
x + C ．2x y 2+ D ．2x xy y 2-+ 【答案】B ；
3、若()
()()232p q q p q p E ---=-，则E 是（ ） A ．1q p --
B ．q p -
C ．1p q +-
D ．1q p +- 【答案】C ；
【解析】
解：()()23p q q p ---=()()21q p p q -+-．故选C ．
【总结升华】观察等式的右边，提取的是()2q p -
，故可把()2p q -变成()2q p -，即左边＝()()21q p p q -+-.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．
举一反三：
【变式】把多项式()()()111m m m +-+-提取公因式()1m -后，余下的部分是（ ）
A ．1m +
B ．2m
C ．2
D ．2m +
【答案】D ；
解：()()()111m m m +-+-，
＝()()111m m -++，
＝
()()12m m -+．
4、（2015春?新沂市期中）分解因式：3x （a ﹣b ）﹣6y （b ﹣a ）. 【思路点拨】将原式变形后，提取公因式即可得到结果．
【答案与解析】
解：原式=3x （a ﹣b ）+6y （a ﹣b ）=3（a ﹣b ）（x+2y ）．
【总结升华】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 举一反三：
【变式】用提公因式法分解因式正确的是（ ）
A ．()222129343abc a
b c abc ab -=- B ．()2233632x y xy y y x x y -+=-+
C ．()2a
ab ac a a b c -+-=--+ D ．()2255x y xy y y x x +-=+
【答案】C ；
解：A.()222129343abc a
b c abc abc -=-，故本选项错误； B.()2233632x y xy y y x x -+=-+，故本选项错误；
C.()2a
ab ac a a b c -+-=--+，正确； D.()22551x y xy y y x x +-=+-，故本选项错误．
类型三、提公因式法分解因式的应用
5、若0232=-+x x ，求x x x 46223-+的值.
【答案与解析】
解： 由0232=-+x x ，得232x
x += ()3222642342240x x x x x x x x x +-=+-=⨯-=.
【总结升华】条件求值要注意观察代数式的结构，()32
22623x x x x x +=+，这样就能由已知整体代入求值了.。