提公因式法和平方差公式法分解因式
因式分解的14 种方法
因式分解的14 种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则：1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：3 .3 1. 2 . x . x . .x x . ）分解因式技巧：1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
基本方法：⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。
因式分解所有方法归纳总结
因式分解所有方法归纳总结在代数学中，因式分解是一个重要的概念和技巧。
它可以帮助我们简化复杂的数学表达式，找出其基本的构成部分。
在本文中，我们将对因式分解的各种方法进行归纳总结，并介绍它们的应用以及解题技巧。
一、公因式提取法公因式提取法是最基本的因式分解方法之一。
它的思路是将一个表达式中的公因式提取出来，从而简化表达式。
例如，对于表达式3x+9，我们可以提取出公因式3，得到3(x+3)。
在这个例子中，公因式提取法的应用使我们得到一个更简单的表达式。
二、配方法配方法是因式分解中常用的方法之一。
它的基本思路是通过适当的变换将一个表达式转化为可以直接进行因式分解的形式。
例如，对于二次三项式x^2+5x+6，我们可以通过配方法将其转化为(x+2)(x+3)的形式来进行因式分解。
具体的步骤是：1.找出二次三项式的首项系数、末项系数和常数项，记作a、b和c；2.计算出常数项的因子组合，找出满足a+c=b的两个数；3.将找到的两个数作为中间项的系数，拆分中间项，然后进行因式分解。
三、差的平方差的平方是一种特殊的因式分解形式，它的规则是(a-b)(a+b)=a^2-b^2。
通过利用这个规则，我们可以将一个二次差的平方表达式直接因式分解。
例如，对于表达式x^2-4，我们可以利用差的平方公式直接得到(x-2)(x+2)的形式。
四、完全平方差完全平方差是另一种特殊的因式分解形式，它的规则是(a-b)^2=a^2-2ab+b^2。
通过利用这个规则，我们可以将一个二次完全平方差表达式直接因式分解。
例如，对于表达式x^2-4x+4，我们可以利用完全平方差公式直接得到(x-2)^2的形式。
五、综合法综合法是一种综合利用以上各种方法的因式分解方法。
它的基本思路是通过适当地组合和变换，找到使得一个表达式能够因式分解的形式。
例如，对于二次三项式x^2-5x+6，我们可以应用配方法和差的平方形式来进行因式分解。
具体的步骤是：1.使用配方法将表达式转化为(x-2)(x-3)的形式；2.观察到x-2和x-3之间存在差的平方关系，即(x-2)(x-3)=(x-2)^2-1，从而进一步化简为((x-2)^2-1)。
因式分解的十二种方法
因式分解的十二种方法因式分解是一种将一个数或代数式分解成更简单的乘积的方法。
在数学中，有很多种因式分解的方法可以使用，根据不同的情况可以采用不同的方法，下面将介绍十二种常见的因式分解方法。
1.提取公因子法：当一个式子存在公因子时，可以先将公因子提取出来，然后再进行进一步的因式分解。
2. 公式法：利用公式进行因式分解，例如(a+b)^2=a^2+2ab+b^23.分组法：将一个多项式按照不同的组合方式进行分组，然后再分别进行因式分解，最后将得到的结果合并。
4.平方差公式法：对于一个二次型式，可以利用平方差公式进行因式分解，例如a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
5. 完全平方公式法：对于一个完全平方式，可以通过完全平方公式进行因式分解，例如a^2+2ab+b^2=(a+b)^26. 二次因式法：对于一个二次多项式，可以通过二次因式法进行因式分解，例如ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为方程ax^2+bx+c=0的根。
7.和差立方公式法：对于一个和差立方的多项式，可以通过和差立方公式进行因式分解。
8. 因式分解的配方法：通过配方法进行因式分解，例如ab+ac=a(b+c)。
9.分解因式法：将一个多项式根据不同的性质进行因式分解，例如差平方分解、和的平方分解等。
10.二次根与一次根相结合法：对于一个多项式，通过将二次根与一次根相结合，得到更简单的因式分解结果。
11. 分组求积法：对于一个多项式，可以通过分组求积法进行因式分解，例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。
12.全等公式法：利用全等公式进行因式分解。
以上是常见的十二种因式分解方法。
不同的方法适用于不同的情况，需要根据具体的问题选择合适的方法进行因式分解。
因式分解是数学中的一个重要概念，通过因式分解可以简化计算过程，提高解题效率。
因此，掌握不同的因式分解方法对于提高数学能力和解决实际问题都有很大的帮助。
因式分解的五种方法
因式分解的五种方法一、提公因式法。
这就像是从一群小伙伴里找出那个共同的小头目一样。
比如说，对于式子3x + 6，3就是公因式呀。
我们就可以把它提出来，写成3(x + 2)。
你看，就这么简单，把公共的部分先拎出来，就像把大家共有的宝贝先拿出来放一边，剩下的部分放在括号里。
这是因式分解里最基础也是最常用的方法哦。
二、公式法。
这里面有平方差公式和完全平方公式呢。
平方差公式就是a^2 - b^2=(a + b)(a - b)。
就像两个数的平方相减，就能变成这样两个数的和与差的乘积。
比如说9x^2 - 16，这就是(3x)^2 - 4^2，那它就可以分解成(3x + 4)(3x - 4)啦。
完全平方公式有a^2+2ab + b^2=(a + b)^2和a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2。
要是看到式子长得像这样，那就可以直接用公式啦。
像x^2+4x + 4，这里a=x，b = 2，它就是(x +2)^2呢。
三、分组分解法。
这个方法就有点像给小伙伴们分组做游戏啦。
比如对于式子ax + ay + bx + by，我们可以把前面有a的放在一组，后面有b的放在一组，就变成了a(x + y)+b(x + y)，然后再提公因式(x + y)，最后得到(a + b)(x + y)。
是不是很神奇，就像把不同的小团队又组合成了一个大团队。
四、十字相乘法。
这个方法就像在玩一个十字交叉的小魔术。
对于二次三项式ax^2+bx + c（a≠0）。
比如说x^2+3x + 2，我们要找到两个数，它们相乘等于c（这里是2），相加等于b（这里是3），那就是1和2啦。
然后就可以写成(x + 1)(x + 2)。
就像把数字在一个十字框架里找到合适的搭配一样，特别有趣。
五、添项、拆项法。
这个方法就有点调皮啦。
比如说对于式子x^3 - 3x^2+4，我们可以把4拆成-x^2 + x^2+4，然后式子就变成x^3 - 3x^2 - x^2+ x^2+4，再分组变成(x^3 - 4x^2)+(x^2+4)，接着继续分解。
分解因式的四种方法
分解因式的四种方法在代数中，分解因式是指把一个代数式按照其中一种规则，分解成一个或多个较简单的代数式的乘积。
分解因式是解决代数式运算中的重要内容之一、下面将介绍分解因式的四种常用方法。
1.公因式提取法公因式提取法是指找出多个代数式的最大公因式，并将其提取出来。
例如，对于代数式18x+24y，我们可以找到其中的公因式6，然后将公因式提取出来，得到6(3x+4y)。
2.提取公式法提取公式法是指通过将一个代数式拆分为两个代数式的和或差的形式，来进行因式分解。
例如，对于平方差公式x^2-y^2=(x+y)(x-y)，我们可以将两个平方项x^2和y^2分别提取出来，并根据平方差公式得到因式分解。
3.完全平方式完全平方式是指将一个二次三项式分解成两个一次三项式的乘积。
例如，对于二次三项式x^2+5x+6，我们可以找到两个一次三项式x+2和x+3，使得它们的乘积等于原始的二次三项式。
因此，我们可以得到因式分解为(x+2)(x+3)。
4.求根法求根法是指将一个二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，并找出这两个一次三项式的根。
例如，对于二次三项式x^2+6x+5，我们可以找到两个一次三项式分别为(x+1)和(x+5)，它们的根分别为-1和-5、因此，我们可以得到因式分解为(x+1)(x+5)。
上述四种方法是常用的分解因式的方法，它们在解决不同类型的代数式时具有一定的适用性。
通过熟练掌握这些方法，可以有效地分解因式，简化问题求解的过程。
值得注意的是，在实际应用中，还可能会遇到一些特殊的因式分解，例如四项和差平方的因式分解、三次多项式的因式分解等，需要根据具体情况选择合适的方法进行分解。
初中数学的因式分解的方法与技巧
初中数学的因式分解的方法与技巧
因式分解方法
1.提公因式法，如果一个多项式的各项都含有公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
比如分解因式x3-2x2-x=x（x2-2x-1）。
2.应用公式法，由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，把乘法公式反过来就可以用来把某些多项式分解因式。
比如分解因式a2+4ab+4b2，可得到结果为（a+2b）2。
因式分解技巧
1.提公因式法
2.运用公式法
3.分组分解法
4.拆项、补项法
5.十字相乘法
分解公式
1.平方差公式
（a+b）（a-b）=a²-b²
2.完全平方公式
（a+b）²=a²+2ab+b²
（a-b）²=a²-2ab+b²
3.十字相乘法公式
x²+ax+bx+ab=（x+a）（x+b）
4.平方和立方差公式
a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）
a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³
（a-b）³=a³-3a²b+3ab²-b³。
因式分解的十二种方法
因式分解的十二种方法因式分解的十二种方法 :把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x³-2x²-x (2003淮安市中考题)x³ -2x² -x=x(x² -2x -1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a² + 4ab + 4b² (2003南通市中考题)解：a ² + 4ab +4b² =（a+2b）²3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a ，把它后两项分成一组，并提出公因式b ，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m ² + 5n - mn - 5m解：m ² + 5n - mn - 5m= m² - 5m - mn + 5n= (m² -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx ² +px+q形式的多项式，如果a ×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x ² -19x-6分析： 1 - 37 22 - 21=-19解：7x ² -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x ² +3x-4033解x ² +3x - 40=x ² + 3x + ( 2) ² - ( 2 ) ² -40313=(x + 2 ) ² - ( 2 ) ²313313=(x + 2 + 2 )(x + 2 - 2 )=(x+8)(x-5)[1**********]注：( ) ² + ==( ) ²=( ) ² 2444226、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
分解因式的方法与技巧
分解因式的方法与技巧分解因式是指将一个多项式表示为其各个因子的乘积的过程。
这在代数学中起着重要的作用，因为它可以帮助我们简化和理解复杂的数学表达式。
下面我将为您介绍一些分解因式的方法和技巧。
1. 提取公因子法这是最基本的因式分解方法，适用于多项式中存在公因子的情况。
公因子是多项式中每一项共有的因子，我们可以将它提取出来。
例如，在多项式2x + 4xy 中，公因子是2x，我们可以将公因子提取出来，得到2x(1 + 2y)。
2. 公式法公式法基于一些常见的代数公式，帮助我们将多项式分解为更简单的形式。
其中一些常见的公式包括：- 平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)- 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2- 二次三项式公式：ax^2 + bx + c = (mx + n)(px + q)根据这些公式，我们可以将多项式分解为更简单的形式，并且有时候还可以借助常见的代数公式来进行进一步的化简。
3. 组合法组合法是将多项式中的项进行合并，寻找并利用具有相同因子或写成相同形式的项。
例如，在多项式x^3 + x^2 + x + 1中，我们可以合并相邻的项，得到(x^3 + x^2) + (x + 1)，然后再利用公式法将每个括号内的表达式进行分解，得到x^2(x + 1) + (x + 1)。
最后，我们可以再次利用提取公因子法将公因子（x + 1）提取出来，并得到(x + 1)(x^2 + 1)。
4. 因式分解公式法因式分解公式是一种特殊的分解方法，适用于一些特定的多项式。
下面是一些常见的因式分解公式：- a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)- a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)- a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3- a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3这些公式可以帮助我们将特定的多项式分解为更简单的形式。
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八年级下数学周测小练习 共4页 第1页 八年级下数学周测小练习 共4页 第2页
陕西师范大学奥林匹克花园学校2013—2014学年第二学期
八年级五一假数学小练习（限制时间：90分钟 ）命题人：杨萍
自评等级______ 家长签字
（亲，在前段时间里，你学到了什么？还有什么知识小漏洞？做做小练习看看吧！希望你大的收获哦！ 相信自己一定行！！！！） 【知识要点】
1、分解因式的定义是什么？
2、公式回顾
（1）=+ac ab （2）=-2
2
b a
（公式特征：①整体是两项式或可以看作两项式。
②两项式的项应为完全平方的形式。
③两项的符号相反。
）
3、注意：a 、b 可表示任意的整式。
（可为单项式，可为多项式，也可为单与多的积） 【典型例析】
例1：用提取公因式法分解因式：
（1）8a b 2-16a 3b 3； （2）-15xy-5x 2； 解：原式= 解：原式=
（3）a 3b 3+a 2b 2-ab ； （4）-3a 3m -6a 2m +12am ． 解：原式= 解：原式=
（5）（a+b ）-（a+b ）2； （6）x （x-y ）+y （y-x ）； 解：原式= 解：原式=
例2：下列多项式能否用平方差公式来分解因式?为什么?
（1）x 2+y 2; （2）x 2-y 2 （3）-x 2+y 2 （4）-x 2-y 2
（5）x 4-y 4； （6）4x 2+y 2 （7）a 2-4 （8）a 2
+3 （9）-4x 2
+y
2
（10）-4x 2-y 2 （11）4x 2-（-y ）2
可以应用平方差公式分解因式的有
例3：把下列各式分解因式：
（1）、221625b a - （2）、x x 333
- 解：原式= 解：原式=
（3）125
422-y x （4）22)(9)(16b a b a --+
解：原式= 解：原式=
【基础训练】 1．多项式8x 3y 2-12xy 3z 的公因式是_________． 2．多项式-6ab 2+18a 2b 2-12a 3b 2c 的公因式是（ ）
A ．-6a b 2c
B ．-ab 2
C ．-6a b 2
D ．-6a 3b 2c 3．下列用提公因式法因式分解正确的是（ ）
A ．12abc-9a 2b 2=3abc （4-3ab ）
B ．3x 2y-3xy+6y=3y （x 2-x+2y ）
C ．-a 2+ab-ac=-a （a-b+c ）
D ．x 2y+5xy-y=y （x 2+5x ） 4．下列因式分解不正确的是（ ）
A ．-2a b 2+4a 2b=2ab （-b+2a ）
B ．3m （a-b ）-9n （b-a ）=3（a-b ）（m+3n ）
C ．-5ab+15a 2b x+25a b 3y=-5ab （-3ax-5b 2y ）;
D ．3ay 2-6ay-3a=3a （y 2-2y-1） 5．填空题： （1）ma+mb+mc=m （________）； （2）多项式32p 2q 3-8p q 4m 的公因式是_________； （3）3a 2-6ab+a=_________（3a-6b+1）；（4）因式分解：km+kn=_________； （5）-15a 2+5a=________（3a-1）； （6）计算：21×3.14-31×3.14=_________． 6．多项式m （n-2）-m 2（2-n ）因式分解等于（ ） A ．（n-2）（m+m 2） B ．（n-2）（m-m 2） C ．m （n-2）（m+1） D ．m （n-2）（m-1）
7．将多项式a （x-y ）+2by-2bx 分解因式，正确的结果是（ ） A ．（x-y ）（-a+2b ） B ．（x-y ）（a+2b ）
C ．（x-y ）（a-2b ）
D ．-（x-y ）（a+2b ）
8. 下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A 、4X²+y² B. 4 x - (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y² 9. -4a² +1分解因式的结果应是 （ ） A 、-(4a+1)(4a-1)
B 、-( 2a –1)(2a –1)
C 、-(2a +1)(2a+1)
D 、-(2a+1) (2a-1)
八年级下数学周测小练习 共4页 第3页 八年级下数学周测小练习 共4页 第4页
上
装
订
线
横线以内不能答题
10. 把下列各式分解因式
（1）2
2
9n m - （2）32
312x xy -
（3）a am 822- （4）2424y a x a -
(5)3x 4
－12x 2
(6) 144a 2b 2
－0.81c
2
（7）22)()(y x y x --+ （8）－36x 2
+64
49y
2
(9) 464981y x - (10)9(x －y)2－4(x+y)2
（11）6（m+n ）2-2（m+n ） （12）6p （p+q ）-4q （q+p ）2
（13）m （m-n ）2-n （n-m ） (14)()()2233--+a a
（15）44
m n - （16）-（a-b ）mn-a+b
（17）18-2b² （18) x 4
–1
11. 利用因式分解进行简便运算
(1)2246566535⨯-⨯ (2)2271.229.7- (3)39×37-13×34
12.如图，在一块边长为a 厘米的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为b (b ＜2
a )厘米的正方形，利
用因式分解计算当a =13.2，b =3.4时剩余部分的面积.。