2009高考数学重拳运用向量法解题
运用向量法解决高考题中的几何问题
ｓｉｎ０２ ＝ 丽
１ ，／ｆ
＂ＩＴ
’。‘· ０２ 一４， ＝
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‘ ｔａｎ０２＝ １，
．．
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直线
ＢＣ与平 面
ＣＤＥ所 成的角的正切值为
１．
（３）‘．‘平 面 ＡＢＣＤ 的一 个 法 向量 是 ｍ ＝（０，０，１）．
设平面 ＥＦＢ的一个法 向量为 ，ｌ＝（ ，Ｙ，ｚ），
在新课标 下 ，运用 向量 法解 决一 些 问题是 现在 高 考 中 的一个重点考查 内容 ，其主要应 用在立体 几何 、平面解 析几 何这两部分 ．下面 笔者 主要就 如何 运用 向量法 解决 高 考题 中 的几 何 问题 做 以 下 的 一 些 探 讨 ．
一 、 在 立 体 几 何 中运 用 空 间 向量 法 一 直 以来 ，立体几何是高考必 考的 内容 ，而 且常 以大题 的 形 式 在 ｌ８或 １９题 出 现 ．而 在 解 决 某 些 立 体 几 何 问 题 中 ， 应用一般几何 知识在 一定 条件 下是 可 以解 决 的 ，但 往往 需 要 作 相 应 的辅 助 线 ，或 构 造 出相 应 的 图形 ．而 对 于 缺 乏 空 间 思维能力 的学生 而言 ，要解决这 些问题并 不容易 ．现在 新教 材引入空 间向量后 ，为这 些学 生提供 了另一种 解决 立体 几 何 的工具 ．本文从 以下 三方面 介绍 在立 体几何 中如何 运用 空 间 向量 法 ． （一 ）运 用 空 间 向 量法 解 决 立 体 几 何 中 的 “三 类 角 ” 问 题 １．异面直线所成 角的向量求法 设 两 异 面直 线 所 对 应 的 方 向 向量 分 别 是 ｎ，６，设 其 夹 角
图 １
例 １ 如 图 ２所 示 ，已 知 四 边 形 ＡＢＣＤ 为 直 角 梯 形 ，
高考数学题型学习方法剖析——以2009年高考数学试题为例
拔的功能。对试题有的学生普遍认 为难以找到切入点 ， 对基础知识掌握不扎 实， 方法应 用不 当， 思路 不 清 ， 间想 象能 力、 算能 力较 差是得 分较低 的 本 原 因。 这些 必须 在教 师 的教 学和 学生 的 学 习上 加 以 空 运 根
２１年 ３ ００ 月 黔西南民族师范高等专科学校学报 Ｍ ｒ ．２ １ ａ ｈ ００ ｃ 第 １ 期 Ｊｎｎ ｌ ｏ Ｓ ｕｈ ｅｔ Ｇ ｉ ｏ Ｔ ａｈ ｒ’ Ｃ ｌ ｇ ｆｒ Ｎ ｔ ｎ ｌｉ ｏｒ ａ ｆ ｏ ｔｗ ｓ ｕｚ ｕ ｈ ｅｃ ｅｓ ｏ ｅｅ ｏ ａｉ ａｉｅ ｌ ｏ ｔｓ Ｎ． ｏ１
改进 。
关键词： 函数 ； 列 ； 数 坐标 ； 率 概 文章 编号 Ｉ０ ９－０ ７ （ ０ ０）１ － １ １ ０ １０－ ６３２ １ ０－０２ — ４ 中图分 类 号 ： ３ ． Ｇ６ ３６ 文 献标 志码 ： Ｂ
Ｌ ａ ｎｎ ｔ ｏ ａｙ ｉ ｆ ｌ ｇ ｎ ｒ ｎ ｅ Ｅ ａ ｎ ｔ ｎ ｉ ｔ ｅ ｅ ｒ ｉｇ Ｍｅ ｈ ｄ Ａｎ ｌｓｓ ｏ ｌ ｅ Ｅ ｔ ｃ ｘ ｍｉａ ｉ Ｍａ ｈ ｍａ ｉｓ Ｃｏ ｅ ａ ｏ ｎ ｔ ｃ
ｈ ｅｅ ｔｏ ｆｔ ｆ ｃ ｉｎ ｔ ｎｔ ｅ ｅ ａ ｙｔ ｎｋｉ ｄｉ ｕ ｔ ｄ ａ ｎｔ ｐｏｎｔ ａ ｓ ｒｔ ｑｕ ｓｉｎ ． ｃ ｎ ｎ ｂ ｓｃｓ ｉｌ， ｔ ｅｓ ｌｃｉ ｎｏ ｕｎ ｔｏ ．Ｓｕｄｅ ｓｇ ｎ ｒ ｌ ｉ ｆ ｃ ｌ ｏｆｎ ｎｅ ｒ ｉ ｎ ｗｅ ｅ ｔｏ ｓ Ｌａ ｋｉｇ ｉ ａ ｉ ｋｌｓ ｈｅ ｌ ｈ ｔ ｉ ｔ ｉ ｙ ｏ ｔ ｈｅ
重庆高考数学理科卷带详解讲解
【试题分析】lim2x2
ax2
axbxb
x
x
1
(2a)x
(a
b
b)
lim
1
1
x
2．
x
x
2a
0
，解得a
2,b
4，故ab2(4)6．
则
b)
(a
2
（删除）9．已知二面角
l的大小为50，P为空间中随意一点，则过点P且与平面
和平面
所成的角都是25
的直线的条数为（
）
A．2
B．3
C．4
（Ⅱ）若函数
y
g(x)与y
f(x)的图象对于直线
x1对称，求当
4
x[0,]时
3
g(x)的最大值．
【丈量目标】三角函数定义域、值域.
【考察方式】给出函数式，求其最小正周期；依据直线方程求解与函数对于直线对称的另一
函数在区间内的最大值．
【难易程度】简单.攏抛鲤骘橋幗呕嚙祢鲈剝颓羋玑郏。
【试题分析】（Ⅰ）f(x)=sinπxcosπcosπxsinπcosπx
【难易程度】较难.
【参照答案】(1,2
1)
【试题分析】解法一：因为在△PF1F2中，由正弦定理得
PF2
PF1
．（步骤1）
sinPF1F2
sinPF2F1
则由已知，得
a
c
，即aPF1
cPF2，且知点P在双曲线的右支上，
PF2
PF1
设点(x0,y0)由焦点半径公式，
得PF1
aex0,PF2
ex0
a则a(a
）
π
π
2π
如何利用向量解决高考数学中的几何问题
如何利用向量解决高考数学中的几何问题几何问题在高考数学中占据了相当大的比重，许多同学在几何方面的理解和解题能力都尤为薄弱。
针对这一问题，目前解决的方法有很多，其中较为有效的一种方法是借助向量知识来解决几何问题。
一、向量的基本概念向量可以简单地理解为“有方向的线段”，用字母块表示，如$\vec{a}$、$\vec{b}$等。
向量有两个基本属性，即大小和方向。
向量的大小表示为模，用$|\vec{a}|$表示，表示一个向量的长度，方向表示向量的朝向。
二、向量的加减向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的过程。
加法满足向量的交换律、结合律和分配律。
具体来说，设$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$是三个向量，则：（i）$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$（向量加法的交换律）（ii）$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$（向量加法的结合律）（iii）$k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$（向量加法的分配律）同样，向量的减法是指将两个向量相减得到一个新向量的过程。
三、向量的数量积和向量积向量的数量积是指将两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角余弦值，用$\vec{a}\cdot\vec{b}$或$\langle\vec{a},\vec{b}\rangle$表示，其中$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$表示$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角余弦值，$\alpha$是$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角。
向量的数量积有如下性质：（i）${\vec{a}}\cdot{\vec{b}}={\vec{b}}\cdot{\vec{a}}$（交换律）（ii）${\vec{a}}\cdot({\vec{b}}+{\vec{c}})={\vec{a}}\cdot{\vec{b}}+{\v ec{a}}\cdot{\vec{c}}$（分配律）（iii）${k}\cdot({\vec{a}}\cdot{\vec{b}})=({k}\cdot{\vec{a}})\cdot{\vec{b }}={\vec{a}}\cdot({k}\cdot{\vec{b}})$（数乘结合律）向量积又叫叉乘，用$\vec{a}\times\vec{b}$或$[\vec{a},\vec{b}]$表示，表示一个新的向量，其模长等于$\vec{a}$和$\vec{b}$所组成的平行四边形的面积，方向垂直于$\vec{a}$、$\vec{b}$构成的平面，其方向顺序由右手定则决定。
高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题
高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题运用向量法解题是高考数学中的一个难点，需要掌握向量的性质和运算规则，并能够灵活运用向量的概念和方法解决问题。
下面将结合具体例题，深入探讨如何突破这一难点。
例题一：已知点A(2,1)，B(4,5)，C(6,3)，求点D使得ABCD为平行四边形。
解析：首先，我们可以使用向量的方法来解决这一问题。
设向量AB 为a，向量AD为b，则向量AC为a+b。
根据平行四边形的性质，向量BD 与向量AC平行且等长，即向量BD与向量AC共线且大小相等。
由向量的定义可知，向量BD=向量AC=(6-2,3-1)=(4,2)。
所以点D的坐标为B的坐标加上向量BD的坐标，即D(4,5)+(4,2)=(8,7)。
通常情况下，解这类问题时可以设A、B、C三点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，向量AB为a=(x2-x1,y2-y1)，向量AC为a+b。
然后，我们可以用(x1,y1)+b=(x4,y4)代表点D的坐标。
再将向量BD与AC进行运算，找到满足平行四边形的点D坐标。
例题二：已知直线l的方程为x-2y+3=0，点A(1,2)，求点P使得AP 垂直于直线l。
解析：根据题意，点P在直线l上，假设点P的坐标为(x,y)。
则向量AP=(-1,2)+(x-1,y-2)=(x-2,y)。
由垂直向量的性质可知，向量AP与直线l的法向量垂直。
直线l的法向量为(1,-2)。
因此，AP与(1,-2)的点乘为0，即(x-2,y)•(1,-2)=0。
将点乘展开计算，得到x-2y=2、由此可得到点P的坐标为(x,y)=(2,-1)。
综上所述，使用向量法解题可以使解题过程更加简洁明了。
但是在运用向量法解题时，需要掌握向量的性质，并能够运用垂直、平行、共线和点乘等相关概念来解决不同类型的问题。
同时，我们还需要注意合理地选取坐标系和使用向量的运算规则。
合理地选取坐标系可以简化计算，使问题更具可行性。
高考数学如何利用向量解决几何问题
高考数学如何利用向量解决几何问题高考数学是中国高中生的重要一课，其中几何问题一直是考试的重点之一。
在解决几何问题时，向量是一种常用的工具和方法。
本文将介绍如何利用向量来解决高考数学中的几何问题，并提供几个实例来加深理解。
一、向量简介向量是指有大小和方向的量，常用箭头表示，如A B⃗。
向量可以表示位移、速度、力等概念。
向量的加法、减法和数乘运算与数的运算类似。
在几何中，常用向量表示线段。
例如，A B⃗表示从点A到点B的位移向量。
二、向量的基本性质1. 平行向量：若两个向量的方向相同或者相反，则它们是平行向量。
2. 相等向量：若两个向量的大小相等且方向相同，则它们是相等向量。
3. 垂直向量：若两个向量的数量乘积为0，则它们是垂直向量。
三、向量解决几何问题的应用1. 判断线段垂直、平行关系利用向量的垂直性质可以判断两个线段是否垂直。
设A B⃗和C D⃗是两个线段的位移向量，若A B⃗·C D⃗ = 0，则可以得出线段A B⃗和C D⃗垂直。
利用向量的平行性质可以判断两个线段是否平行。
设A B⃗和C D⃗是两个线段的位移向量，若存在λ，使得A B⃗ = λC D⃗，则可以得出线段A B⃗和C D⃗平行。
2. 求线段的中点坐标设A B⃗是线段AB的位移向量，点M是线段AB的中点，则A M⃗= M B⃗ = 1/2A B⃗。
利用向量的数乘运算可以求得线段中点的坐标。
3. 判断三角形的形状利用向量可以判断三角形的形状，包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形。
对于等腰三角形，可以利用向量A B⃗和A C⃗的相等性质来判断，若A B⃗ = A C⃗或者A B⃗ = -A C⃗，则可以得出三角形ABC是等腰三角形。
对于等边三角形，可以利用向量A B⃗、B C⃗和C A⃗相等性质来判断，若A B⃗= B C⃗= C A⃗，则可以得出三角形ABC是等边三角形。
对于直角三角形，可以利用向量的内积来判断，若A B⃗·B C⃗ = 0或者B C⃗·C A⃗ = 0或者C A⃗·A B⃗ = 0，其中·表示两个向量的数量乘积，则可以得出三角形ABC是直角三角形。
历年高考真题考点归纳2009年 第五章 平面向量、解三角形 第一节 平面向量.pdf
一、选择题 1.(2009年广东卷 ，b=， 则向量 ( ) A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于轴D.平行于第二、四象限的角平分线 答案 C 解析 ,由及向量的性质可知,C正确. 2.（广东卷）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大小分别为和，则的大小为 B. 2 C. D. 答案 D 解析 ，所以，选D. 3.（2009浙江卷理）设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) A． C． D． C 解析对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点对于圆的位置稍一右移或其他的变化能实现4个交点的情况但5个以上的交点不能实现． 已知向量，．若向量满足，，则 （ ） A． B． C． D． 解析不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．，如果 那么( ) A．且与同向 B．且与反向 C．且与同向 D．且与反向 答案 D 解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算考查. ∵a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab， 即cd且c与d反向，排除C，故选D. 6.（2009北京卷文）设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( ) A．三角形区域 B．四边形区域 C．五边形区域 D．六边形区域 答案 D 解析 本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.如图，A、B、C、D、E、FABCDEF，其中， 即点P可以是点A.a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 ( ) A．且c与d同向 B．且c与d反向 C．且c与d同向 D．且c与d反向 答案 D 解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考 查. 取a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab， 即cd且c与d反向，排除C，故选D. 8.(2009山东卷理)设P是△ABC所在平面内的一点，，则（ ） A. B. C. D. 答案 B 解析 :因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。
[高考真题]2009年高考试题解析版
![[高考真题]2009年高考试题解析版](https://img.taocdn.com/s3/m/1d8ac21bd0d233d4b14e69b4.png)
2009年全国卷Ⅱ理科数学试题解析一选择题： 1. 解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i ==-+.故选A.2. 解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭.(3,4)A B ∴=I .选B. 3.解：已知ABC ∆中,12cot 5A =-,(,)2A ππ∴∈. 12cos 13A ===-故选D. 4. 解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B. 5.解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D Q ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角.在1A BE ∆中由余弦定理易得1cos A BE ∠=.故选C 6.解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++r r r r r r r Q g ||5b ∴=r.故选C7.解：322log 2log 2log 3b c <<∴>Q2233log 3log 2log 3log a b a b c π<=<∴>∴>> .故选A. 8.解：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x πππππωωω⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−→=-=+ ⎝+⎪ ⎪⎝⎭⎭向右平移个单位164()662k k k Z ππωπωπ+=∴=+∈∴-, 又min 102ωω>∴=Q .故选D 9.解：设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-直线()()20y k x k =+>恒过定点P ()2,0- .如图过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , 由||2||FA FB =,则||2||AM BN =,点B 为AP 的中点.连结OB ,则1||||2OB AF =, ||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为22022(1,22)1(2)3k -∴==--, 故选D 10.解：用间接法即可.22244430C C C ⋅-=种. 故选C 11.解：设双曲线22221x y C a b-=：的右准线为l ,过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N ,BD AM D ⊥于,由直线AB 的斜率为3,知直线AB 的倾斜角为16060,||||2BAD AD AB ︒∴∠=︒=, 由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-u u u r u u u r 11||(||||)22AB AF FB ==+u u ur u u u r .又15643||||25AF FB FB FB e e =∴⋅=∴=u u u r u u u r Q 故选A12.解：展、折问题.易判断选B第II 卷（非选择题,共90分）二、13.解：()4224()x y y x x y x y -=-,只需求4()x y -展开式中的含xy 项的系数：246C = 14. 解：{}n a Q 为等差数列,9553995S a S a ∴== 15.解：设球半径为R ,圆C 的半径为r ,2277.444r r ππ==,得由 因为22224R OC R ==.由2222217()484R R r R =+=+得22R =.故球O 的表面积等于8π. 16.解：设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,则222123d d OM ==+. 四边形ABCD 的面积222212121||||2(4)8()52S AB CD d d d d =⋅=-≤-+=)(4- 三、解答题17.设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,3cos()cos 2A CB -+=,2b ac =,求B . 分析：由3cos()cos 2A CB -+=,易想到先将()B AC π=-+代入3cos()cos 2A C B -+=得3cos()cos()2A C A C --+=.然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sin sin 4A C =；又由2b ac =,利用正弦定理进行边角互化,得2sin sin sin B A C =,进而得sin B =.故233B ππ=或.大部分考生做到这里忽略了检验,事实上,当23B π=时,由1cos cos()2B AC =-+=-,进而得3cos()cos()212A C A C -=++=>,矛盾,应舍去. 也可利用若2b ac =则b a b c ≤≤或从而舍去23B π=.不过这种方法学生不易想到.评析：本小题考生得分易,但得满分难. 18（I ）分析一：连结BE,111ABC A B C -Q 为直三棱柱, 190,B BC ∴∠=︒E Q 为1B C 的中点,BE EC ∴=.又DE ⊥平面1BCC ,BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC , AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）.分析二：取BC 的中点F ,证四边形AFED 为平行四边形,进而证AF∥DE ,AF BC ⊥,得AB AC =也可.分析三：利用空间向量的方法.具体解法略.（II ）分析一：求1B C 与平面BCD 所成的线面角,只需求点1B 到面BDC 的距离即可.作AG BD ⊥于G ,连GC ,则GC BD ⊥,AGC ∠为二面角A BD C --的平面角,60AGC ∠=︒.不妨设23AC =,则2,4AG GC ==.在RT ABD ∆中,由AD AB BD AG ⋅=⋅,易得6AD =.设点1B 到面BDC 的距离为h ,1B C 与平面BCD 所成的角为α.利用11133B BC BCD S DE S h ∆∆⋅=⋅,可求得h =23,又可求得143B C =11sin 30.2h B C αα==∴=︒ 即1B C 与平面BCD 所成的角为30.︒分析二：作出1B C 与平面BCD 所成的角再行求解.如图可证得BC AFED ⊥面,所以面AFED BDC ⊥面.由分析一易知：四边形AFED为正方形,连AE DF 、,并设交点为O ,则EO BDC ⊥面,OC ∴为EC 在面BDC 内的射影.ECO ∴∠即为所求.以下略.分析三：利用空间向量的方法求出面BDC 的法向量n r,则1B C 与平面BCD 所成的角即为1B C u u u r与法向量n r 的夹角的余角.具体解法详见高考试题参考答案.总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况.命题人在这里一定会兼顾双方的利益. 19解：（I ）由11,a =及142n n S a +=+,有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+,．．．① 则当2n ≥时,有142n n S a -=+．．．．．② ②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=-Q ,12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =,公比为２的等比数列．（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅,113224n n n n a a ++∴-= ∴数列{}2n n a是首项为12,公差为34的等比数列． ∴1331(1)22444n na n n =+-=-,2(31)2n n a n -=-⋅ 评析：第（I ）问思路明确,只需利用已知条件寻找1n n b b -与的关系即可． 第（II ）问中由（I ）易得11232n n n a a -+-=⋅,这个递推式明显是一个构造新数列的模型：1(,n n n a pa q p q +=+为常数),主要的处理手段是两边除以1n q +．总体来说,09年高考理科数学全国I 、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I 还考查了利用错位相减法求前n 项和的方法）,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式.具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用.也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 20分析：（I ）这一问较简单,关键是把握题意,理解分层抽样的原理即可.另外要注意此分层抽样与性别无关.（II ）在第一问的基础上,这一问处理起来也并不困难.从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率1146210815C C P C ⋅==（III ）ξ的可能取值为0,1,2,31234211056(0)75C C P C C ξ==⋅=,1112146342212110510528(1)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=, 21622110510(3)75C C P C C ξ==⋅=,31(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-== 分布列及期望略.评析：本题较常规,比08年的概率统计题要容易.在计算(2)P ξ=时,采用分类的方法,用直接法也可,但较繁琐,考生应增强灵活变通的能力.（21）（本小题满分12分）解:(I ）设(,0)F c ,直线:0l x y c --=,由坐标原点O 到l 的距离为22则222=,解得 1c =.又3,3,2c e a b a ==∴==. （II ）由(I ）知椭圆的方程为22:132x y C +=.设11(,)A x y 、B 22(,)x y由题意知l 的斜率为一定不为0,故不妨设 :1l x my =+ 代入椭圆的方程中整理得22(23)440m y my ++-=,显然0∆>.由韦达定理有：1224,23m y y m +=-+1224,23y y m =-+．．．．．．．．① .假设存在点P,使OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r成立,则其充要条件为：点1212P (,)x x y y ++的坐标为,点P 在椭圆上,即221212()()132x x y y +++=. 整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m又A B 、在椭圆上,即22221122236,236x y x y +=+=.故12122330x x y y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++及①代入②解得212m =1222y y ∴+=-,12x x +=22432232m m -+=+,即3(,22P ±.当3,(,:12222m P l x y =-=+;当3,(:12m P l x y ==+. 评析：处理解析几何题,学生主要是在“算”上的功夫不够.所谓“算”,主要讲的是算理和算法.算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质.有时候算理和算法并不是截然区分的.例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半,还是分割成几部分来算？在具体处理的时候,要根据具体问题及题意边做边调整,寻找合适的突破口和切入点. 22.解: （I ）()2222(1)11a x x af x x x x x++'=+=>-++ 令2()22g x x x a =++,其对称轴为12x =-.由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根,其充要条件为480(1)0a g a ∆=->⎧⎨-=>⎩,得102a << ⑴当1(1,)x x ∈-时,()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数； ⑵当12(,)x x x ∈时,()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数；⑶当2,()x x ∈+∞时,()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数； （II ）由（I ）21(0)0,02g a x =>∴-<<,222(2)a x x =-+2()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2设()()221(22)1()2h x x x x ln x x =-++>-,则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++ ⑴当1(,0)2x ∈-时,()0,()h x h x '>∴在1[,0)2-单调递增； ⑵当(0,)x ∈+∞时,()0h x '<,()h x 在(0,)+∞单调递减.()1112ln 2(,0),()224x h x h -∴∈->-=当时 故()22122()4In f x h x -=>．。
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难点3运用向量法解题平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力 度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题•难点磁场知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变 得简单•错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供 的角与向量夹角的区别与联系 •技巧与方法：利用 a 丄b= a • b =0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可—b , CC 1 B D = c (a — b )=c • a — c • b =|c | •|a |cos 0 — |c | - |b |cos 0 =0, C i C 丄 BD.(2) 解：若使 A i C 丄平面 C i BD ，只须证 A i C 丄BD , A i C 丄DC i , 由 CA i GD =(CA AA) (CD -CC i )2 2 2 2=(a +b +c ) • (a — c )=|a | + a • b — b • c — |c | =|a \ — |c | +|b | • |a |cos 0 — |b | • |c | • cos 0 =0,得 当|a |=|c |时，A i C 丄DC i ，同理可证当|a |=|c |时，A i C 丄BD ,CD 亠十=•-=1 时，A i C 丄平面 C i BD.CC i［例 2］如图，直三棱柱 ABC —A 1B 1C 1,底面△ ABC 中，CA=CB=1 , / BCA=90°, AA 1=2, M 、N 分别是A i B i 、A i A 的中点.(1) 求BN 的长； ⑵求cos<BA,CB i >的值； (3) 求证：A i B 丄 C i M.命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题 .属★★★★级题目知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系 O — xyz,进而找到点的坐标和求出向量的坐标 .错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标 技巧与方法：可以先找到底面坐标面 xOy 内的A 、B 、C 点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标(1) 解：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O — xyz.依题意得：B(0, 1, 0), N(1 , 0, 1) •- |BN |= . (1 一0)2 • (0 _1)2(1 —0)2 = 3(2) 解：依题意得：A i (1 , 0, 2), C(0, 0, 0), B i (0, 1 , 2). • BA i = (1,-1,2),CB i =(0 , 1, 2)(★★★★★)三角形 ABC 中，A(5,— 1)、B(- 1 , 7)、C(1 , 2)，求：(1)BC 边上的中线 AM 的长；(2) / CAB 的平分线 AD 的长；(3)cosABC 的值.•案例探究［例1］如图，已知平行六面体 ABCD — A^C i D i 旳底「|| ABCD 是菱形，且/ C i CB= / C i CD= / BCD.(1)求证：C i C 丄 BD.⑵当CDCC 1的值为多少时，能使 A i C 丄平面C i BD ?请给出证明 命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何 图形的解读能力•(1)证明：设 CD =a , CB =b ,CC 1=c ,依题意，|a |=|b |, CD 、CB \CCi 中两两所成夹角为0 ,于是 BD =CD - DB =aBA f CB1=1 X 0+( —1) X 1+2 X 2=3|BA i |=.(1—0) (0一1) (2—0)=』6|CBi|= ；(0—0)2 (1—0)2 (2—0)2 = . 5 cos ：： BA 1 ,CB 1IBC 1 | ICB 1 |—— 1 1 —— C i M 勺严 AB —2) ••• A 1BC 1M =(-1)1 1 1 (-2) 0=0” AB_CM二 A 1B 丄C 1M. •锦囊妙计1•解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深 对向量的本质的认识•二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想2•向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中 •常用向量的直角坐标运算来证明向量的 垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题3•用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考： (1) 要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2) 所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？⑶所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量 与由已知条件转化的向量有何关系？(4) 怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？ •歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)设 A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(一1, 0), (0, 2), (4 , 3), (3, 1),则四边形 ABCD 为()A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形7. ( ★★★★★)已知两点 M(— 1, 0), N(1 , 0)，且点P 使MP MN,PM 卩N,NM NP 成公差小于零的等差数列 (1)点P 的轨迹是什么曲线？⑵若点P 坐标为(X 0,y °),Q 为PM 与PN 的夹角，求tan B .8. (★★★★★)已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形 ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 旳 H (1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； ⑵用向量法证明：BD //平面EFGH ;BA| CB i、、30 "10(3)证明：依题意得：C 1(0, 0, 2),呢，1,2)152.(★★★★)已知△ ABC AB = a , AC =b , a • b <0 , S ABC =,|a |=3,|b |=5,则 a 与 b 的夹角是()4B. — 150°C.150 °A.30二、 填空题 3. (★★★★★)将二次函数y=x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y=2x — 5的图象只有一个公共点(3,1)，则向量a = ________ .4. (★★★★)等腰△ ABC 和等腰Rt △ ABD 有公共的底边 AB ,它们所在的平面成 60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm, 贝y CD = _____三、 解答题5.(★★★★★)如图，在△ ABC 中，设 AB =a , AC =b , AP = c , AD = =卩b (0<(i <1),试用向量a , b 表示c .6.(★★★★)正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a,侧棱长为■. 2 a. (1) 建立适当的坐标系，并写出 A 、B 、A 1、C 1的坐标；(2) 求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角•1参考答案 难点磁场_1 +1 7+2 99 解：⑴点 M 的坐标为 X M = --------- =0；y M = ------- = —M (0,-)2 222—— 2—2 221 .|AM|=.(5-0)(^-) .¥ 2 2(2)|AB|m,](5 1)2 (_1—7)2「=10,|AC|=j (5—1)2 (-1一2)2D 点分BC 的比为2.-1 2 11 72 2 11 ■-X D =H3,yD =〒^ 3 —/1 211 214两匸严二)心飞)飞贬⑶ / ABC 是 BA 与 BC 的夹角，而 BA =(6, 8) , BC =(2, - 5)歼灭难点训练、1.解析： AB =(1 , 2) , DC =(1 , 2), • AB = DC , • AB // DC ，又线段 AB 与线段 DC 无公共点，• AB // DC 且|AB|=|DC|,A ABCD 是平行四边形，又 |AB |= .、5 , AC =(5 , 3) , |AC |= . 34 ,「.|AB |M | AC}^ ABCD 不 是菱形，更不是正方形；又 BC =(4 , 1),/. 1 • 4+2 • 1=6工0,.・.AB 不垂直于BC ,二ABCD 也不是矩形，故选 D. 答案：D15 112.解析：T • 3 • 5sin a 得 sin a =—，则 a =30 ° 或 a =150 ° .4 2 2又••• a • b v 0,「. a =150° . 答案：C二、 3.(2,0) 4.13 cm三、 5.解：T BP 与 BE 共线，••• BP =m BE =m( AE — AB )=m(卩 b — a ),AP = AB + BP = a +m(卩 b — a )=(1 — m)a +m 卩 b又 CP 与 CD 共线，• CP = n CD = n(AD — AC )= n(入 a — b ), 二 AP = AC + CP = b +n(入 a — b )=n 入 a +(1 — n)b 由①②，得(1 — m ) a +m b =入 n a +(1 — n)b . ••• a 与b 不共线，•1 —丸1 — A 1m= ,n代入①式得c =(1— m)a +mb = [入(1 —卩)a + 卩(1 —入)b ]1 - 1 - 1 - ： ■⑶设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点0,有 OM(0A OB OC 0D)..cos ABCBA BC _ 6 2 (-8) (-5) | BA | | BC | .62 (-8)2 , 22 ^5)252 10.292629 145解方程组③得:6•解：⑴以点A 为坐标原点 0,以AB 所在直线为0y 轴，以AA i 所在直线为 Oz 轴，以经过原点且与平面 ABB 1A 1垂直的直线为 Ox 轴，建立空间直角坐标系•J 3 a -由已知，得 A （0，0，0），B （0，a,0） ,A i （o,o,运 a ）,C i （———a, — , 72 a ）.2 2⑵取 A i B i 的中点 M ，于是有 M(0,旦，J2a ),连 AM , MC i , 有 MC ；=(—空 a,0,0),2 2] 1 *且 AB =(0, a,0) , AA i =(0,0 2 a)由于M6 • AB =0, MC 1 • AA i =0，所以MC i 丄面ABB i A i ，二AC i 与AM 所成的角就是 AC i 与侧面ABB i A i 所成 的角•••• AC i =(3a,a ,、、2a), AM’ =(0,：、、2a), 2 2 2⑵点P 的坐标为(X 0,y 。