北师大版数学九年级下册《确定二次函数的表达式》二次函数1
课堂小结
规律方法 : 1.求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a, b, c的 值，由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c的值，就可以写出二次函数的解析式.
B.y=2(x-2)2+1
C. y=-2(x-2)2+1
D.y=2(x+2)2+1
5.若抛物线y=x2-bx+9的顶点在x轴上,则b的值为_±__6_.
课堂小测
6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4,0），
∠AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速
-10=a×5×(解1)得，a=2，
故所求二次函数的解析式为y=2(x+1)(x-5), 即y=2x2-8x-10 .
新知探究
点拨： 1.已知顶点和另一点的坐标,可用顶点式求二次函数的表达式. 2.已知二次函数与x轴的两个交点和另一点的坐标，可利用交点 式求二次函数的表达式.
新知探究
知识点三： 由三个点的坐标确定二次函数表达式. 例3：如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一交点为A(-6,0),与y轴的 交点为C(0,3),且经过点G(-2,3).求抛物线的表达式.
新知探究
【跟踪训练】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0）， B（3，0），C（0，-1）三点.求该抛物线的解析式.
解析 : 设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
y
根据题意，得
a-b+c=0， 9a+3b+c=0， 解得 c=-1，
AOB C
x
∴所求抛物线的解析式为
.
课堂小结
二次函数解析式的求法 :
《确定二次函数的表达式》 二次函数1
北师大版数学九年级下册
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教学目标 1.会用待定系数法确定二次函数的解析式.（重点） 2.会求简单的实际问题中的二次函数解析式.（难点）
新课导入
情境引入
二次函数解析式有哪几种表达方式？ 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
如何求二次函数的解析式？ 已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求其解析式.
新探究
知识点一：运用顶点式确定二次函数表达式.
例1：已知抛物线的顶点为(-1，-3),与y轴交点为(0，-5),求抛
物线的解析式.
解：设所求的抛物线的解析式为y=a(x＋1)2-3, 由点(0,-5 )在抛物线上，得 a-3=-5, 得a=-2，
ON
C
x
.
2.当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式y=a(x-h)2+k,将h,k换为 顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的值.
课堂小测
1．下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是( C )
课堂小测
2、填空 已知条件
顶点和另一点的坐标 二次函数各项系数中的
一个和两点的坐标 三个点的坐标
解析：设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.
由条件得 解方程组得
a-b+c=10， a+b+c=4， 4a+2b+c=7，
a=2, b=-3, c=5.
因此，所求二次函数的解析式是y=2x2-3x+5.
新知探究
点拨:“三式”巧定表达式
1.一般式 所给的条件能够确定抛物线上三个不同点的坐标时, 可设表达式为y=ax2+bx+c(一般式). 2.顶点式 所给条件能够确定抛物线的顶点坐标时,可设表达式 为y=a(x-h)2+k(顶点式). 3.交点式 所给条件能够确定抛物线与x轴的两个交点坐标时,则 可设表达式为y=a(x-x1)(x-x2)(交点式).
选用表达式的形式
_顶__点__式__ _一__般__式__ _一__般__式__
3.判断题：
(1)确定二次函数的表达式需要三个条件.( × ) (2)要确定二次函数的表达式一定要知道其图象上的三个点. ( × )
课堂小测
4.顶点是(-2,1),开口方向、形状与抛物线y=-2x2相同
的是 ( A ) A.y=-2(x+2)2+1
y
-1
x
o
-3
故所求抛物线的解析式为y=－2(x＋1)2-3.
新知探究
知识点二： 运用交点式确定二次函数表达式. 例2：二次函数与x轴相交于（-1，0）和（5，0）并经过点（4，-10）， 求这个二次函数的解析式. 解：设所求二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-5), 将点(4,-10 )代入y=a(x+1)(x-5)，可得
思路点拨：利用待定系数法,把A,C,G三点
G·
坐标代入求得抛物线表达式.
新知探究
解：∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(-6,0),C(0,3),G(-2,3), ∴c=3.
36a-6b+3=0
∴
4a-2b+3=3
G·
解得 ， .
∴
新课导入
例4:已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1，4），（2，7）三点， 求这个函数的解析式.
度向右平移.设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若
△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4）,则能大致反映S与t的函数关
系的图象是( C )
s
s
s
s
yl
A
B
43
43
43
43
M
23
23
23
23
O 2 4 tO 2 4 tO 2 4 tO 2 4 t
A
B
C
D
北师大版九年级数学下册课件 2.3 第2课时 由三点确定二次函数的表达式
解这个方程组，得
3
a , b 3.
2
2
3 2 3
∴所求的二次函数的表达式是 y 2 x 2 x 1.
五、当堂达标检测
6.若抛物线经过(0，1)，(一1，0)，(1，0)三点，求此抛物线的表达式.
解: 由抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a(x+1)(x-1).
知识要点
一般式法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个
（-2，13），求这个二次函数的表达式.
想一想：除了上节课的解法，还有没有其他解法呢？
分析：因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即函数图象过点
（0，1），因此知道三个点的坐标，设y＝ax2+bx+c，能不能确定这个
二次函数的表达式呢？
将三个点代入y＝
ax2+bx+c后，会得
到一个什么样的方
程组呢？
∴ 4=a+b+c
解得 b=-3，
你会解三元一
c=5.
7=4a+2b+c，
次方程组吗？
2
∴所求二次函数表达式为 y=2x -3x+5.
2
3 31
y 2 x 3x 5 2 x ,
北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》说课稿1
北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》这一节主要介绍了二次函数的表达式以及如何确定二次函数的表达式。
二次函数是中学数学中的重要内容，对于学生来说，掌握二次函数的表达式以及确定方法具有重要意义。
本节课通过实例引导学生掌握待定系数法确定二次函数的表达式，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数、方程等基础知识，对函数的概念有一定的了解。
同时，学生已经掌握了二次函数的一般形式，具备了一定的数学思维能力。
但是，对于如何确定二次函数的表达式，学生可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，引导学生逐步掌握确定二次函数表达式的方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握待定系数法确定二次函数的表达式，能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等数学活动，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：待定系数法确定二次函数的表达式。
2.教学难点：如何引导学生运用待定系数法确定二次函数的表达式，以及如何将实际问题转化为数学问题。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习二次函数的一般形式，引导学生思考如何确定二次函数的表达式。
2.新课讲解：讲解待定系数法确定二次函数的表达式，并通过实例进行分析。
3.课堂互动：学生分组讨论，尝试运用待定系数法确定给定二次函数的表达式。
4.总结提升：教师引导学生总结确定二次函数表达式的步骤，并强调其在实际问题中的应用。
5.课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
北师大版九年级下册数学教案：2.3确定二次函数的表达式-
-理解a、b、c对二次函数图像的具体影响，尤其是a的正负对开口方向的影响；
-掌握二次函数图像性质的推导过程，如顶点坐标的计算、对称轴的确定；
-将实际问题抽象为二次函数模型，建立正确的数学关系。
举例解释：
(1)对于难点一，教师需要利用图像和实际例子，引导学生理解a、b、c的作用，尤其是a的符号与开口方向的关系。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形式为y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数，它描述了许多自然和工程中的现象，如抛物线运动、优化问题等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析抛物线上的三个点的坐标，我们如何确定二次函数的表达式，并探讨其在实际问题中的应用。
(2)对于难点二，通过几何画板等教学工具，动态展示二次函数图像变化，让学生直观感受顶点、对称轴的变化规律。
(3)对于难点三，教师应提供一些实际问题，如抛物线与直线的交点问题，指导学生如何从问题中提取信息，建立二次函数模型。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《确定二次函数的表达式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要通过几个点来确定一个抛物线方程的情况？”（如抛物线状的拱桥设计）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数表达式的奥秘。
北师大版九年级下册数学教案：2.3确定二次函数的表达式-
一、教学内容
北师大版九年级下册数学教案：2.3确定二次函数的表达式-
1.掌握二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0）；
第2课时 确定二次函数y=ax2+bx+c的表达式 数学北师大版九年级下册教案
第二章二次函数3 确定二次函数的表达式第2课时确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式教学目标教学反思1.经历确定二次函数表达式y＝ax2＋bx＋c的过程，体会求二次函数表达式的方法.2.已知二次函数图象上三个点的坐标，运用待定系数法确定二次函数表达式.3.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的方法,培养学生数学应用意识.教学重难点重点：利用二次函数图象上三个点的坐标确定二次函数表达式.难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式确定二次函数的表达式．教学过程导入新课1.一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，所以我们把________________________叫做二次函数的一般式.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c，用配方法可化为y＝a(x－h)2＋k，顶点是(h，k).配方:y＝ax2＋bx＋c＝__________________＝___________________＝__________________＝a(x＋)2＋.对称轴是直线x＝，顶点坐标是,其中h＝，k＝，所以，我们把___________叫做二次函数的顶点式.思考问题已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(－3,0),(1,2),(－1,－4)三点,那么你能利用上节课所学的知识求这个二次函数的表达式吗?让学生独立分析题目中的已知条件,回忆上节课利用待定系数法求二次函数表达式的方法,互相交流.设计意图：通过问题的出示,让学生认识到运用原有的知识无法解决该问题,引起了学生的好奇心,激发了学生探究新知的欲望.探究新知一、预习新知教师提出问题已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上的三个点可以确定这个二次函数的表达式吗？多媒体展示题目已知一个二次函数的图象经过(1，－1)，(2，－4)和(0，4)三点，求这个二次函数的表达式.让学生回忆上节课的知识独立解答，找学生代表展示解题过程.利用上节课的知识，学生都能很容易地得到函数表达式.师：知道了函数图象上的三个点的坐标，除了用上节课的解法，我们还能不能直接用待定系数法设成y ＝ax 2＋bx ＋c 进行解答呢？给学生留出足够的思考时间，与同伴交流想法，再小组内讨论，最后由组长展示解答过程，师生共同订正.解：设所求的二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将(1，－1)，(2，－4)和(0，4)三点坐标分别代入表达式,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=++,4,424,1c c b a c b a 解这个方程组,得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.4,6,1c b a ∴这个二次函数的表达式为y ＝x 2－6x ＋4.教师点评：通过上面的探究可知，如果已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上三个点的坐标，那么就可以确定这个二次函数的表达式.设计意图：利用上节课所学的知识进行引入，既复习了旧知，又引出了新知，进而学习本节课的解题方法，同时也为下面的学习做好了铺垫.二、合作探究前面我们已经探究了利用两个点或三个点的坐标确定二次函数表达式的方法，你能利用所学知识解决下面的问题吗？多媒体展示课本议一议.一个二次函数的图象经过点 A （0，1），B （1，2），C （2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流．教师要求学生仔细观察给出的三个点的特征，根据点的特征合理地选择解答方法.学生解答，教师巡视发现学生不同的解法，并找解法不同的学生说明思路.生1：因为二次函数图象与y 轴交点的纵坐标为1，所以c ＝1，所以我们可以设表达式为y ＝ax 2＋bx ＋1，然后代入B ，C 两点的坐标求解.生2：由A ，C 两点的纵坐标相等得到点B 是顶点，可以设成顶点式y ＝a (x －1)2＋2，然后代入点A 或C 的坐标求解.生3：由图象经过三个点，可以设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，然后代入三个点的坐标求解.教师对三位学生的解题思路给予肯定，让学生用三种不同的方法解答本题，最后根据这两节课的探究，总结确定二次函数表达式的方法.典型例题【例1】已知二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．【问题探索】已知二次函数的图象经过三点，考虑设二次函数的一般式解决问题．【解】设所求二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 将(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点的坐标分别代入表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧10＝a －b ＋c ，4＝a ＋b ＋c ，7＝4a ＋2b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝5.即所求二次函数的表达式为y ＝2x 2－3x ＋5.∵y ＝2x 2－3x ＋5＝2243⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋318，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝34，顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛83143，.教学反思【总结】用待定系数法求二次函数表达式，当已知抛物线经过的三点坐标时，通常设二次函数的一般式，即设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，从而列三元一次方程组来求解．【例2】已知抛物线经过点(－1，0)，(5，0)和(3，－4)，求该抛物线的表达式．【问题探索】已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一点的坐标，应该怎样设函数表达式较为简便？【解】设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －5)． 将点(3，－4)的坐标代入，得－4＝－8a ，解得a ＝12.则该抛物线的表达式为y ＝12(x ＋1)(x －5)，即y ＝12x 2－2x －52.【总结】用待定系数法求二次函数表达式时，若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为(x 1，0)，(x 2,0)，可选择设其表达式为交点式，即y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．课堂练习1.已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的表达式为( )A.y ＝2x 2＋x ＋2B.y ＝x 2＋3x ＋2C.y ＝x 2－2x ＋3D.y ＝x 2－3x ＋22.已知一个二次函数，当x ＝0时，y ＝－5；当x ＝－1时，y ＝－4；当x ＝－2时，y ＝5.则这个二次函数的表达式是( )A.y ＝4x 2＋3x －5B.y ＝2x 2＋x ＋5C.y ＝2x 2－x ＋5D.y ＝2x 2＋x －53.已知二次函数图象的顶点坐标为(－1，－8)，图象与x 轴的一个公共点A 的横坐标为－3，则这个函数的表达式为.4.已知抛物线的顶点坐标是(3，5)，且经过点A (1，3)． (1)求此抛物线的表达式；(2)如果点A 关于该抛物线对称轴的对称点是点B ，且抛物线与y 轴的交点是点C ，求△ABC 的面积．参考答案1.D2.A3.y ＝2x 2＋4x －64.解：(1)设抛物线的表达式为y ＝a (x －3)2＋5.将点A (1，3)的坐标代入上式，得3＝a (1－3)2＋5，解得a ＝－12.即抛物线的表达式为y ＝－12(x －3)2＋5.(2)∵A (1，3)，且抛物线对称轴为直线x ＝3， ∴B (5，3)．令x ＝0，得y ＝－12(0－3)2＋5＝12，教学反思∴C ⎪⎭⎫ ⎝⎛210，，∴S △ABC ＝12×(5－1)×⎪⎭⎫ ⎝⎛-213＝5.课堂小结(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数表达式的常见设法： (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c ；（已知抛物线上三点坐标或三对x 、y 的值，用一般式） (2)顶点式：y ＝a (x －h )2＋k ；（已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，用顶点式） (3)交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．（已知抛物线与x 轴交点的横坐标x 1，x 2，用交点式）板书设计第二章 二次函数 3 确定二次函数的表达式第2课时 确定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式用待定系数法求二次函数表达式的常见设法： 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c ; 顶点式：y ＝a (x －h )2＋k ; 交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2). 教学反思。
北师大版九年级数学下 2.3 确定二次函数的表达式1 教案
2.3 确定二次函数的表达式1．通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求表达式的方法；(重点)2．能灵活根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化．(难点)一、情境导入一副眼镜镜片的下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，如图．AB∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm.你能确定右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式吗？二、合作探究探究点：用待定系数法确定二次函数解析式【类型一】已知顶点坐标确定二次函数解析式已知抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，且经过点N(2，3)，求此二次函数的解析式．解析：因为抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，所以设此二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－2，把点N(2，3)代入解析式解答．解：已知抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，设此二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－2，把点N(2，3)代入解析式，得a－2＝3，即a＝5，∴此函数的解析式为y＝5(x－1)2－2.方法总结：若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题【类型二】已知三个点确定二次函数解析式已知：抛物线经过A(－1，8)、B(3，0)、C(0，3)三点．(1)求抛物线的表达式；(2)写出该抛物线的顶点坐标．解析：(1)设一般式y＝ax2＋bx＋c，再把A、B、C三点坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可；(2)把(1)中的解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a－b＋c＝8，9a＋3b＋c＝0，c＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1，b＝－4，c＝3.所以抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)．方法总结：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】已知两交点或一交点和对称轴确定二次函数解析式已知下列抛物线满足以下条件，求各个抛物线的函数表达式．(1)抛物线经过两点A(1，0)，B(0，－3)，且对称轴是直线x＝2；(2)抛物线与x轴交于(－2，0)，(4，0)两点，且该抛物线的顶点为(1，－92)．解析：(1)可设交点式y＝a(x－1)(x－3)，然后把B点坐标代入求出a即可；(2)可设交点式y＝a(x＋2)(x－4)，然后把点(1，－92)代入求出a即可．解：(1)∵对称轴是直线x＝2，∴抛物线与x 轴另一个交点坐标为(3，0)．设抛物线解析式为y ＝a (x －1)(x －3)，把B (0，－3)代入得a (－1)×(－3)＝－3，解得a ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝－(x －1)(x －3)＝－x 2＋4x －3；(2)设抛物线解析式为y ＝a (x ＋2)(x －4)，把(1，－92)代入得a (1＋2)×(1－4)＝－92，解得a ＝12，所以抛物线解析式为y ＝12(x ＋2)(x －4)＝12x 2－x －4.方法总结：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型四】 二次函数解析式的综合运用如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (－4，－3)，与y 轴交于点B ，对称轴是x ＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若和x 轴平行的直线与抛物线交于C ，D 两点，点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，求△BCD 的面积．解析：(1)把点A (－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，根据对称轴是x ＝－3，求出b ＝6，即可得出答案；(2)根据CD ∥x 轴，得出点C 与点D 关于x ＝－3对称，根据点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，求出点C 的横坐标和纵坐标，再根据点B 的坐标为(0，5)，求出△BCD 中CD 边上的高，即可求出△BCD 的面积．解：(1)把点A (－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，∴c －4b ＝－19.∵对称轴是x ＝－3，∴－b2＝－3，∴b ＝6，∴c ＝5，∴抛物线的解析式是y ＝x 2＋6x ＋5；(2)∵CD ∥x 轴，∴点C 与点D 关于x ＝－3对称．∵点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，∴点C 的横坐标为－7，∴点C 的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B 的坐标为(0，5)，∴△BCD 中CD 边上的高为12－5＝7，∴△BCD 的面积＝12×8×7＝28.方法总结：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象和性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计确定二次函数的表达式1．运用顶点式确定二次函数解析式 2．运用三点式确定二次函数解析式 3．运用交点式确定二次函数解析式本节课首先解决有一个系数待定的情况，让绝大部分学生掌握，对于两个系数待定的情况，让中等偏上的学生掌握，学习能力较差的学生慢慢体会，等教学活动结束之后，再跟踪练习，加上教学活动的归纳，就可以让不同水平的学生先后得到提高．但是在教学活动由于过多分析待定系数的情况，导致系数待定的实际应用题的分析得不够彻底.。
北师大版九年级数学下册第二章二次函数第三节确定二次函数的表达式(无答案)
北师大版九年级数学下册第二章二次函数第三节确定二次函数的表达式（无答案）确定二次函数的表达式知识梳理知识点一：用配方法确定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴、顶点坐标及最值 1.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的配方一般地，对于二次函数y =ax ²+bx +c ，我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标. 例：求次函数y =ax ²+bx +c 的对称轴和顶点坐标． 配方：这个结果通常称为求顶点坐标公式. 2.二次函数y =ax ²+bx +c (a ≠0)的图象和性质(1)二次函数y =ax ²+bx +c 的图象是一条抛物线. 画二次函数图象的“三步骤” ①化：把一般式化成顶点式.②定：确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴. ③画：利用抛物线对称性列表、描点、连线.(2)二次函数y =ax ²+bx +c 写成顶点式为a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=。
(3)对称轴顶点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛++=c c x a b x a 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=a c a b a b x a b x a 22222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222442a b ac a b x a .44222a b ac a b x a -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=(4)开口方向：当a>0时，抛物线的开口向上，有最小值为ab ac y 442min-=；当a<0时，抛物线的开口向下，有最大值为ab ac y 442max -=。
(5)增减性：① a>0，当x>a b 2-时，y 随x 的增大而增大，当x<a b 2-时，y 随x 的增大而减小. ②a<0，当x>a b 2-时，y 随x 的增大而减小，当x<ab2-时，y 随x 的增大而增大知识点二：抛物线位置与系数a ，b ，c 的关系：知识点三：用待定系数法求二次函数解析式 1.利用三点坐标确定二次函数的一般式①一般情况下，把三点的坐标代入解析式y =ax ²+bx +c ，列方程组. ②如果没有直接给出三点的坐标，可通过图象的性质求出其他点的坐标. 确定二次函数一般式的“四步骤”①设：设二次函数解析式为y =ax ²+bx +c (a ≠0). ②列：根据题意列方程组.北师大版九年级数学下册第二章二次函数第三节确定二次函数的表达式（无答案）③解：解方程组.④定：确定二次函数解析式.2.利用顶点式确定二次函数解析式用顶点式求解析式的“三种情况”①已知顶点坐标. ②已知对称轴或顶点的横坐标. ③已知二次函数的最大(小)值或顶点的纵坐标.3.利用交点式确定二次函数解析式当已知抛物线与x 轴的交点坐标(x1，0)，(x2，0)时，则设抛物线的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，再根据其他条件求出a的值。
北师版九年级数学下册_2.3确定二次函数的表达式
抛物线于点 H，则 yH＝－530×72＋6＝ 3.06>3.所以其中的一侧行车道能并排
行驶宽 2 m、高 3 m 的三辆卡车．
课堂小结
确定二次函数的 表达式
确定二次函 数的表达式
一般式 顶点式 交点式
关键 已知条件的 呈现方式
知2－练
感悟新知
知2－练
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m 的隔 离带)，其中的一侧行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m 的三辆卡车(卡车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
感悟新知
解：能. 理由如下：
知2－练
如图所示，设 DE 是隔离带的宽，EG 是三辆卡车的宽
度和，则点 G 的坐标是(7，0)．过点 G 作 HG⊥AB，交
4-1. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6 m，跨 度是20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.
感悟新知
知2－练
(1)将抛物线放在直角坐标系中，并根据所给数据求出抛物 线的函数表达式. 解：(答案不唯一)将抛物线放在 如图所示的直角坐标系中，根 据已知条件，知A，B，C三点 的坐标分别是(－10，0)，(10， 0)，(0，6)．
1
标－2∵为x)－分3+517别(.－x722＜为+172(01xx，4)2+.－则∴2xxl当=，)=Ax－0D=)，+7722D(Cx时12+4+，C－2Bxlx+=有，1(4最－－=－大177 值72xx22+(+，x22－x最x ))72大+，)(值+1(x432，－5 .
2
感悟新知
知2－练
得5a＝5，解得a＝1，
∴y＝x(x－4)＝x2－4x，
北师大版九年级数学下册确定二次函数的表达式课件(第1、2课时20张)
顶点式 = ( − ) 能使问题简化。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型三 已知抛物线与轴交点的坐标，求二次函数的表达式
例3.已知二次函数的图象与 轴交于点M(-2,0)、N(3，
-0)，且抛物线经过P(2,4),求这个二次函数的表达式.
解：设函数的表达式为 = ( + )( − )
知
新
答一答
1.二次函数的达式有几种情势？
一般式： = + + (a≠0)
顶点式： = ( − ) + (a≠0)
交点式： = ( − )( − )(a≠0)
2.已知函数 = − − ，函数的开口方向 向上 ，
对称轴是直线 =1 ，顶点坐标是 (1,-7)
除了以上四种类型外，还有一些特殊方法。
对二次函数 = + + .
抛物线与轴交点(0,c）.
当 = ， = 时，抛物线顶点在原点，以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线顶点(0,c），以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线必过原点.
当 − = 时，抛物线顶点在轴上.
= −
所以，所求二次函数表达式为 = −
教学过程
方
法
总
结
记一记
方法总结：所求二次函数表达式有两个
待定系数时，需要两个独立条件或两个
点的坐标。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型二
已知抛物线顶点的坐标，求二次函数的表达式
例2.已知二次函数的图象以M(-2,3)为顶点，且经过点
N(-1，-3)，求这个二次函数的表达式.
北师版数学九年级下册3 确定二次函数的表达式教案与反思
3确定二次函数的表达式满招损，谦受益。
《尚书》原创不容易，【关注】，不迷路！第1课时确定含有两个未知数的二次函数的表达式教学目标一、基本目标1．会用待定系数法求二次函数的表达式．2．掌握用“顶点式”求二次函数表达式．二、重难点目标【教学重点】用待定系数法求二次函数的表达式．【教学难点】根据已知条件选取适当的方法求二次函数的表达式．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P42～P43的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的表达式．2．二次函数的一般式：y＝ax2＋bx＋c，顶点式：y＝a(x－－2)x2＋(m＋3)x ＋m＋2的图象过点(0，5)，求m的值，并写出二次函数的表达式．解：把(0，5)代入y＝(m－2)x2＋(m＋3)x＋m＋2，得m＋2＝5，解得m＝3.∴二次函数的表达式为y＝x2＋6x＋5.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，求这个二次函数的表达式．【互动探索】(引发学生思考)用待定系数法求解．【解答】将点(2，3)和(－1，－3)的坐标分别代入表达式y ＝ax 2＋c ， 得⎩⎨⎧ 3＝4a ＋c ，－3＝a ＋c ，解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝－5.即所求二次函数表达式y ＝2x 2－5.【互动总结】(学生总结，老师点评)已知函数表达式和该函数图象上两个点的坐标，一般用待定系数法求函数表达式．活动2 巩固练习(学生独学)1．写出经过点(0，0)，(－2，0)的一个二次函数的表达式y ＝x 2＋2x (答案不唯一)．(写一个即可)2．若抛物线的顶点为(－2，3)，且经过点(－1，5)，则其表达式为y ＝2x 2＋8x ＋11.3．二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A (1，3)，求此抛物线的表达式．解：设抛物线的表达式为y ＝a (x －3)2＋5.将A (1，3)代入上式，得3＝a (1－3)2＋5，解得a ＝－2. ∴抛物线的表达式为y ＝－12(x －3)2＋5. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x ＝－1，则这个二次函数的表达式为( )A ．y ＝－x 2＋2x ＋3B ．y ＝x 2＋2x ＋3C ．y ＝－x 2＋2x －3D ．y ＝－x 2－2x ＋3【互动探索】根据对称轴设顶点式→将两个点的坐标代入即可求解．【分析】由图象知抛物线的对称轴为直线x ＝－1，且过点(－3，0)，(0，3，设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)2＋k .将(－3，0)，(0，3)代入，得⎩⎨⎧ 4a ＋k ＝0，a ＋k ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝－1，k ＝4.故抛物线的表达式为y ＝－(x ＋1)2＋4＝－x 2－2x ＋3.【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查定系数法求函数表达式，解题的关键是根据题意设出合适的二次函数表达式，已知对称轴一般设顶点式．环节3 课堂小结，当达标(学生总结，老师点评)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中一项的系数，再知道图象上两个点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式．练习设计请完成本课时对应练习！第2课时 确定二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的表达式教学目标一、基本目标1．掌握用“三点”列方程组求二次函数达式．2．能根据已知点的特点，用“交点式”求二次函数的解析式．3．通过探索和总结，让学生体会到学习数学的乐趣，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．二、重难点目标【教学重点】用待定系数法求二次函数的表达式．【教学难点】根据已知条件选取适当的方法求二次函数的表达式．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min 阅读】阅读教材P44～45的内容，完成下面练习．【3min 反馈】1．用待定系数法求二次函数的表达式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，需要求出a 、b 、c 的值，由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 、c 的值，就可以写出二次函数的表达式．2．若已知抛物线的顶点或对称轴，则一般设抛物线的表达式为顶点式y ＝a (x －(1，－2)，且经过点N (2，3)，求此二次函数的表达式．解：∵抛物线的顶点坐标为M (1，－2)，∴可设此二次函数的表达式为y ＝a (x －1)2－2.把点N (2，3)代入表达式，得a －2＝3，即a ＝5.∴此二次函数的表达式为y ＝5(x －1)2－2.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．【互动探索】(引发学生思考)已知二次函数的图象经过任意三点的坐标，考虑设二次函数的一般式解决问题．【解答】设所求二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 将三点(－1，10)，(1，4)，(2，7)的坐标分别代入表达式，得⎩⎨⎧ 10＝a －b ＋c ，4＝a ＋b ＋c ，7＝4a ＋2b ＋c ，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－3，c ＝5.即所求二次函数的表达式为y ＝2x 2－3x ＋5.∵y ＝2x 2－3x ＋5＝2x －342＋318， ∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝34，顶点坐标为34，318.【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数解析式时，当已知抛物线过任意三点时，通常设二次函数的一般式，即设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，从而列三元一次方程组来求解．【例2】已知抛物线经过点(－1，0)，(5，0)和(3，－4)，求该抛物线的解析式．【互动探索】(引发学生思考)已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一点的坐标，应该怎样设函数解析式较为简便？【解答】设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－5)．将(3，－4)代入，得－4＝－8a，解得a＝1 2 .则该抛物线的解析式为y＝12(x＋1)(x－5)，即y＝12x2－2x－52.【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数解析式时，若已知抛物线与x轴的两个交点分别为(x1，0)，(x2，0)，可选择设其解析式为交点式，即y＝a(x－x1)(x－x2)．活动2巩固练习(学生独学)1．已知一个二次函数的图象经过A(0，－3)、B(1，0)、C(m，2m＋3)、D(－1，－2)四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．解：抛物线的解析式为y＝2x2＋x－3，点C坐标为－32，0或(2，7)．2．已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)．(1)试确定此二次函数的解析式；(2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？解：(1)此二次函数的解析式是y＝－x2－2x＋3.(2)点P(－2，3)在此二次函数的图象上．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A(1，3)．(1)求此抛物线的表达式；(2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是点C，求△ABC的面积．【互动探索】(1)设顶点式y＝a(x－3)2＋5，然后把点A坐标代入求出a，即可得到抛物线的解析式；(2)利用抛物线的对称性得到B(5，3)，再确定出点C坐标，然后根据三角形面积公式求解．【解答】(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－3)2＋5.将A(1，3)代入上式，得3＝a(1－3)2＋5，解得a＝－1 2 .即抛物线的解析式为y＝－12(x－3)2＋5.(2)∵A(1，3)，且抛物线对称轴为直线x＝3，∴B(5，3)．令x＝0，则y＝－12(x－3)2＋5＝12，∴C0，1 2，∴S△ABC＝12×(5－1)×3－12＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其表达式为顶点式来求解．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数解析式的三种常见设法(其中，a≠0，x1、x2分别是抛物线与x轴的交点的横坐标)：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c；(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k；(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)．练习设计请完成本课时对应练习！【素材积累】海明威和他的“硬汉形象” 美国作家海明威是一个极具进取精神的硬汉子。
九年级数学下册确定二次函数表达式
第二章二次函数《确定二次函数的表达式(第1课时）》一、指导思想与理论依据《数学课程标准》中指出：教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，会用已有的知识经验，解决新情境中的数学问题。
教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，数学教学活动应调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；《课标》中的要求：会用待定系数法确定二次函数表达式，掌握二次函数的应用，这一节内容是为应用做准备的。
二、背景分析教材内容分析本节内容是义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）九年级下册第二章第3节《确定二次函数的表达式》的第1课时，本节课是在学习二次函数的表达式和图象性质的基础上展现，目的为二次函数的实际应用奠基，是本章学习的关键点。
在中考题中，一般情况下最后一道大题的第一小问就是求二次函数表达式的题目，所以要求90%以上的学生掌握本节知识。
本节课既要承接上一节课的数形结合的数学思想，又要能够根据实际问题抽象数学模型，用待定系数法求解二次函数表达式，学生能够根据条件灵活应用二次函数的两种形式:一般式，顶点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.因此本节课重点和难点都确定为：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.学生学情分析我校是垣曲县示范初中，大部分学生家长对孩子的学习比较重视，学生学习积极性高，数学基础相对比较好，部分学生思维灵活。
学生已经学习了二次函数的一般式和顶点式表达式，二次函数的图象和性质，尤其对特殊类型的二次函数图象已有充分的认识。
以前学生已经学习了用待定系数法确定一次函数和反比例函数的关系式，因此本节课学生用类比的方法学习待定系数法确定二次函数的表达式应该并不陌生和困难。
因此，在上本节课之前，我对我所带九年级两个班共计96个学生进行了一次相关知识测试。
测试题：1、已知一次函数图象过（0,3）（1,5），求该函数的表达式；2、二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，则有。