圆锥曲线的双切线问题初探
探究圆锥曲线切线的教学策略
探究圆锥曲线切线的教学策略圆锥曲线是数学中重要的一个概念，理解和掌握圆锥曲线的切线性质对于学生学习数学和物理等相关学科都至关重要。
下面我将探究一些教学策略，帮助学生更好地理解和掌握圆锥曲线切线的相关知识。
一、引入阶段在引入圆锥曲线切线的教学中，可以通过具体的实物或生活中的例子进行引入，增加学生的兴趣和理解。
可以利用橡皮筋或绳子拉伸成不同形状的曲线，让学生观察和感受不同位置的切线以及切点的变化。
通过这样的引入，可以让学生对圆锥曲线切线有初步的认识和感性认知。
二、基础知识的巩固在引入阶段后，进行相关的基础知识的巩固，包括圆锥曲线的定义和性质。
可以通过讲解PPT、展示相关图形和公式等方式，对学生进行详细的讲解。
通过一些具体的例题，带领学生进行讨论和思考，帮助他们巩固和理解相关概念和性质。
三、切线的定义和性质在学生对圆锥曲线的基础知识有了一定了解后，可以引入切线的定义和性质。
可以通过讲解和讨论，慢慢引导学生明白什么是切线，以及切线和曲线的关系。
可以通过绘制曲线和切线的图形，帮助学生更直观地理解切线的定义和性质。
四、切线的求解在学生理解了切线的定义和性质后，可以引入切线的求解问题。
可以通过具体的例题，引导学生步骤性地求解切线的问题。
可以通过绘制曲线和切线的示意图，让学生找出切线与曲线的交点，进而求解切线的方程。
通过具体的例子，帮助学生掌握切线的求解方法和技巧。
五、综合应用在学生掌握了切线的求解方法后，可以引入一些综合应用的问题，帮助学生将所学知识应用到实际问题中。
可以引导学生探究圆锥曲线在物理中的应用，如弧线的弹性势能和牛顿第二定律等。
通过这样的应用，可以增加学生对圆锥曲线切线的深层次理解和应用能力。
六、拓展思考在学习的最后阶段，可以进行一些拓展思考的活动，引导学生进行创新和思维的发散。
可以让学生思考圆锥曲线切线的其他应用，或是进行相关的实验和探究。
通过这样的拓展活动，可以培养学生的创新精神和综合应用能力。
圆锥曲线的切线方程的推导过程
圆锥曲线的切线方程的推导过程圆锥曲线是双曲线的一类，可以分为直角双曲线和非直角双曲线。
关于圆锥曲线的切线方程推导过程，本文将具体讨论，以便让读者更好地了解圆锥曲线的切线方程的推导过程。
一、直角双曲线的切线方程的推导过程直角双曲线，是指双曲线的切线都是直线，其方程为$x^2-y^2=1$。
（1）求对称轴的斜率设直角双曲线的方程：$x^2-y^2=1$，因此其对称轴为$y=0$，因此其斜率为0。
（2）求双曲线的切线方程设双曲线$P(x_0,y_0)$，其切线斜率为$k$，那么其切线方程为：$y-y_0=k(x-x_0)$而根据文章开头给出的直角双曲线的对称轴斜率是0，因此直角双曲线的切线方程可以求得：$y-y_0=0(x-x_0)$即以 $P(x_0,y_0)$ 为切点的切线方程为 $y=y_0$二、非直角双曲线的切线方程的推导过程非直角双曲线是指双曲线的切线都是曲线，其方程为$x^2+y^2=1$。
（1）求对称轴的斜率设非直角双曲线的方程：$x^2+y^2=1$，因此其对称轴为$y=x$，因此其斜率为1。
（2）求双曲线的切线方程设双曲线$P(x_0,y_0)$，其切线斜率为$k$，那么其切线方程为：$y-y_0=k(x-x_0)$而根据文章开头给出的非直角双曲线的对称轴斜率是1，因此非直角双曲线的切线方程可以求得：$y-y_0=1(x-x_0)$即以 $P(x_0,y_0)$ 为切点的切线方程为 $y=x+y_0-x_0$三、推广上文分别讨论了直角双曲线和非直角双曲线的切线方程推导过程，针对更加一般的情况，即双曲线方程为$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$，其中$A,B,C,D,E,F$均为常数，圆锥曲线切线方程的推导过程如下：（1）求对称轴的斜率设双曲线的方程：$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$，因此其对称轴的斜率$m$可以求得：$m=frac{D}{2C}-frac{B}{2A}$（2）求双曲线的切线方程设双曲线$P(x_0,y_0)$，其切线斜率为$k$，那么其切线方程为：$y-y_0=k(x-x_0)$联立以上两方程可以求得双曲线的切线方程：$y-y_0=left (frac{D}{2C}-frac{B}{2A} right )(x-x_0)$四、总结本文结合具体案例，详细讨论了圆锥曲线的切线方程推导过程。
过圆锥曲线外一点作圆锥曲线的切线及原理
过双曲线外一点作双曲线的切线及原理PDF i —＜卜SN作法：① P为双曲线外任一点，以P为圆心PF2为半径作圆G，以F1为圆心2a为半径作圆C2，圆G，C2交于点M ；（F i,F2为双曲线的两焦点，2a为双曲线的实轴长）②取F2M的中点D，连PD交MR于T。
同样道理可以作出双曲线另一条切线。
下面证明PD是双曲线的切线，T是切点。
证明：首先证明T在双曲线上：在圆C1上，D是弦MF2的中点，贝U PD _ MF2，所以TM =TF> ；在圆C2上，RM =TM - FT = 2a，则TF2-TF^ = 2a，所以T在双曲线上。
再证T是切点：过T引PD的垂线TS ,则TS//MF2，所以.NTS=/TF2M ,STM r/R MF?,又由于• TMF2=/TF2M，所以• MTS =/NTS，有双曲线的光学性质知TS是双曲线在T点处的法线，由于PD—TS，因此PD是双曲线的切线，T是切点。
过椭圆外一点作椭圆的切线及原理作法：① P 为椭圆外任一点，以 P 为圆心PF 2为半径作圆G ，以F 1为圆心2a 为半径作圆C 2，圆C i ,C 2交于点M, N ； （ F l , F 2为椭圆的两焦点，2a 为椭圆的长轴长）②取F 2M 的中点D ，连PD 交MF 1于T 。
同样道理可以作出另一条切线。
下面证明PD 是椭圆的切线，T 是切点。
证明：首先证明T 在椭圆上：在圆C 1上，D 是弦MF 2的中点，则PD_MF 2，所以TM =TF 2 ； 在圆C 2上，F i M =FT TM =2a ，那么TF i TF 2 = 2a ，所以T 在椭圆上。
再证T 是切点：过T 引PD 的垂线TS ，则TS//MF 2，所以.FJS - TMF 2， -STF , =/TF 2M ，又由于• TMF 2 =/TF 2M ，所以• FTS =/F 2TS ，有椭圆的光学性质知 TS是椭圆在T 点处的法线，由于 PD _ TS ，因此PD 是椭圆的切线，T 是切点。
从一道试题谈圆锥曲线的切割线定理
从一道试题谈圆锥曲线的切割线定理
圆锥曲线的切割线定理是指，在圆锥曲线上任取一点P，过P
点做曲线的切线，该切线与曲线的交点记为N，则PN称为该
点P的切线斜率，且PN的斜率为该点P的曲率半径。
具体来说，对于椭圆、双曲线和抛物线的某一点P，其切线斜
率k和曲率半径r分别为：
椭圆：k=±(b²/a²-x²/y²)½，r=a²/b
双曲线：k=±(x²/a²-y²/b²)½，r=a²/b
抛物线：k=2ax，r=2a
其中，a和b分别为椭圆和双曲线的半轴长，a为抛物线的参数。
切割线定理的实际应用非常广泛。
例如，在计算圆锥曲线的焦点和直线方程时，常需要用到切割线定理。
此外，在图像处理、建模等领域也经常涉及到切割线定理。
因此，掌握切割线定理对于理解和应用圆锥曲线有重要意义。
从一道试题谈圆锥曲线的切割线定理
从一道试题谈圆锥曲线的切割线定理圆锥曲线的切割线定理是解析几何中的一个重要定理，它描述了切线与圆锥曲线的几何关系。
以下是关于圆锥曲线的切割线定理的相关参考内容：1. 曲线的切线定义及性质：在数学中，曲线的切线可以用于研究曲线的变化以及与其他几何图形的关系。
切线定义为穿越曲线上某一点且具有与曲线相切的性质的直线。
切线的性质包括：切线与曲线在相切点处的切点坐标相同，切线方向与曲线在相切点处的切线方向相同。
2. 圆锥曲线的定义及分类：圆锥曲线是平面上的一类曲线，可以通过直角三角形的截面来定义。
根据圆锥曲线的方程，可以将其分为抛物线、椭圆、双曲线以及其他特殊情况。
每种圆锥曲线都有其独特的性质和方程，因此切割线定理对于不同类型的圆锥曲线有不同的应用。
3. 切割线定理的表述：切割线定理是指在一个平面上，任意一点p是曲线上的一个点，曲线是一个抛物线、椭圆或双曲线。
则过该点的任一直线的斜率等于切线的斜率的充要条件是该直线与曲线交于点p和另外一点。
这意味着切线是曲线的特殊的切割线。
4. 切割线定理的证明：切割线定理的证明可以使用解析几何的方法进行推导。
证明过程中需要利用曲线的方程和切线的定义，以及直线与曲线的交点的几何关系。
具体的证明过程可以参考相关的解析几何教材或者专业论文。
5. 切割线定理的应用：切割线定理具有广泛的应用，特别是在数学的实际应用中。
例如，在计算机图形学中，切割线定理可以用来描述曲线与直线的相交性，以及曲线的切线方向。
此外，在物理学的研究中，切割线定理也可以用于描述曲线的运动轨迹和变化规律。
总之，圆锥曲线的切割线定理是解析几何中一个重要的定理，它描述了切线与圆锥曲线的几何关系。
理解切割线定理对于研究圆锥曲线的性质和应用具有重要的意义。
过圆锥曲线上一点作圆的两条切线
过圆锥曲线上一点作圆的两条切线
通过圆锥曲线上一点作圆的两条切线：
1、概述：通过圆锥曲线上一点作圆的两条切线，它们在曲线的某一点
上的切线方向无论如何都不会重合，它们交于这个圆锥曲线外的无限
远处。
2、定义：圆锥曲线上一点作圆的两条切线，是指从一个圆锥曲线上一
点出发，以曲线为切线方向，以圆为切线形式作为圆锥曲线上该点出
发的两条切线。
3、特点：
(1) 切线方向无论如何都不会重合：从圆锥曲线上一点出发，它们的切
线方向是有一定的角度关系的，但这个角度度数是不会重合的，这一
点是它们的特点之一。
(2) 两条切线的交点：这两条切线交于这个圆锥曲线外的一个无限远处，是一个比较远的地方，是无法触及的，但它们是相交的。
4、应用：两条切线能够用来解决新一类几何问题，比如通过圆锥曲线
上一点，求解两条相交线段的夹角；而且它们还可以用来刻画单位圆
中的形状，比如椭圆，圆台等。
5、总结：通过圆锥曲线上一点作圆的两条切线，它们在某一点处的切线方向无论如何都不会重合，而且它们的交点在一个比较远的地方，是无法触及的；结合单位圆，它们还能够解决新一类几何问题，可以用来刻画单位圆中的形状，是一种重要的数学概念。
圆锥曲线中的双切线题型(学生版)
高级思维技能训练（15）圆锥曲线中的双切线题型(手电筒模型）解题技能一、极点与极线问题（同构）已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点()00,P x y 和直线()()0000l Ax x Cy y D x x E y y F ++++=：++0是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x+替换x （另一变量y 同理），即可得到点()00,P x y 的极线方程．例1．教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=.我们将其结论推广：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的点()0,o x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用.已知，直线30x y -+=与椭圆222:1(1)x E y a a+=>有且只有一个公共点.（1）求a 的值（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A B 、分别作该椭圆的两条切线12l l 、，且1l 与2l 交于点(2,)M m .当m 变化时，求OAB 面积的最大值.【跟踪练习】已知动点P 到直线:2l y =-的距离比到点(0,1)F 的距离大1（1）求动点P 的轨迹M 的方程；（2）A B 、为M 上两点，O 为坐标原点，12OA OB k k ⋅=-，过A B 、分别作M 的两条切线，相交于点C ，求ABC ∆面积的最小值.解题技能二、判别式法（0=∆21k k ,为方程的两根）（1）设切线的斜率为k ，写出切线的方程；（2）将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程；（3）由（2）中方程满足判别式0=∆，建立关于k 的一元二次方程，两切线的斜率21k k ,为方程的两根；（4）结合韦达定理，计算2121k k k k ,+等，并将之用于其他量的计算。
圆锥曲线中的双切问题
圆锥曲线中的双切问题### English Answer:Problem: Double Tangent Problem for Conic Sections.Detailed Answer:In mathematics, particularly in geometry, the double tangent problem for conic sections involves finding the number of tangents that can be drawn from an external point to a given conic section. It is a classical problem that has intrigued geometers for centuries.For a given conic section and an external point, the number of tangents that can be drawn to the conic depends on the relative positions of the point and the conic. In general, an external point can have up to four tangents to a conic section. Moreover, these tangents can be eitherreal or complex.The double tangent problem is to find the conditions under which an external point has exactly two real tangents to a conic section. This problem has been extensively studied, and various methods and formulas have been developed to solve it.One of the most common and useful methods to solve the double tangent problem is to use the concept of pole and polar with respect to a conic section. The pole of a line with respect to a conic is the point where the line intersects the conic. The polar of a point with respect to a conic is the line that joins the points of contact of the tangents drawn from the point to the conic.Using pole and polar, the double tangent problem can be reduced to finding the conditions under which the polar of an external point passes through the point itself. This leads to a system of equations that can be solved to determine the coordinates of the external point that has exactly two real tangents to the conic section.Another method to solve the double tangent problem isto use the concept of cross-ratio. The cross-ratio of four points on a line is a measure of how the points are distributed along the line. Using cross-ratio, the double tangent problem can be reduced to finding the conditions under which the cross-ratio of the four points of contact of the tangents drawn from an external point to a conic section is equal to -1.The double tangent problem has numerous applications in geometry and other branches of mathematics. It is used in the study of projective geometry, algebraic geometry, and differential geometry. It also has applications in optics, computer graphics, and robotics.In Summary:The double tangent problem for conic sections is a classical problem in geometry that involves finding the conditions under which an external point has exactly two real tangents to a conic section. Various methods and formulas have been developed to solve this problem, including the use of pole and polar and the concept ofcross-ratio. The double tangent problem has numerous applications in geometry and other branches of mathematics, as well as in optics, computer graphics, and robotics.### 中文回答：问题，圆锥曲线中的双切问题。
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圆锥曲线的双切线问题初探
蓝 婷
深圳市第二高级中学； 广东深圳 518055
【摘要】：本文以高考题为载体，在一个引理的基础上给出了一个关于圆锥曲线双切线问题的定理，并总结出了解决圆锥曲线的双切线问题的一套统一的简洁方法，充分体现定理的妙处。
【关键词】：圆锥曲线 ； 双切线 ； 切点弦方程
一、研究背景
圆锥曲线是高考数学中的必考问题，圆锥曲线以切线为背景与导数相结合的问题长期被高考命题者所青睐。
我们发现，这类问题的标准答案使用的传统方法解答过程一般较为复杂，并且在高强度的高考环境下，考生不得不将有限的时间浪费在繁杂的运算中。
笔者在这个问题的研究中试图寻求一种简单统一的方法，将此类问题的运算量降低，从而达到简化解题过程的目的。
二、定理证明
为了简捷且更具一般性和代表性，我们将圆锥曲线(包含圆)统一写成最一般的形式：220Ax By Cx Dy Exy F +++++=，下面给出定理的证明。
引理：设()00,P x y 是圆锥曲线220Ax By Cx Dy Exy F +++++=上一点，则与该圆锥曲线切于点P 的直线方程为：000000(
)()()0222
x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++=。
证明：在圆锥曲线方程2
2
0Ax By Cx Dy Exy F +++++=两边求导，可得：
220Ax Byy C Dy Ey Exy '''+++++=，所以：22Ax Ey C
y Ex By D
++'=-
++
则切线方程为：0000002()2Ax Ey C
y y x x Ex By D
++-=-
-++
得：000000()(2)(2)()y y Ex By D Ax Ey C x x -++=-++-
化简：220000000000002222222Ax By Cx Dy Ex y Ax x By y Cx Dy Cx Dy Ex y Exy ++++=+++++++ 因为()00,P x y 在圆锥曲线上，所以：220000002222220Ax By Cx Dy Ex y F +++++=
整理得：000000(
)()()0222
x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++= 定理：设()00,P x y 不在圆锥曲线220Ax By Cx Dy Exy F +++++=上，过点P 引该圆锥曲线的两条切线，切点为A 、B ，则切点弦AB 的方程为：
000000(
)()()0222
x x y y y x x y Ax x By y C D E F ++++++++= 证明：设切点坐标()(),,,a a b b A x y B x y ，由引理可得：
直线AP 方程：(
)()()0222a a a a a a x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++= 直线BP 方程：()()()0222
b b b b b b x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++=
因为()00,P x y 在直线AP 且在直线BP 上，所以：
000000(
)()()0222a a a a a a x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++= 000000()()()0222b b b b b b x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++=
以上两式说明：点()(),,,a a b b A x y B x y 均满足方程：
000000(
)()()0222
x x y y y x x y Ax x By y C D E F ++++++++= 所以切点弦AB 方程为：000000()()()0222x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++=。
三、定理应用
例1、（2007年浙江省高中数学竞赛）若P 、Q 为圆2
2
1x y +=的两动点，且满足圆内一点
10,2A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，使得2PAQ π∠=，求过点P 、Q 的两条切线的交点M 的轨迹方程。
解：设()00,M x y 、()11,P x y 、()22,Q x y ，根据定理，则切点弦PQ 的方程为：001x x y y +=
联立方程：0022
11
x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，得：2222
0000()210x y x x x y +-+-= 则：01222002x x x x y +=+，201222001y x x x y -=+，01222002y y y x y +=+，2
1222
00
1x y y x y -=+ 因为：2PAQ π
∠=
，所以PA PB ⊥，即：1PA PB k k =-
则：121211()()022
x x y y +--=，即：22
00033480x y y ++-=
所以M 的轨迹方程为：22
33480x y y ++-=
例2、（2008年江西高考14题）若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点(1，1
2)作圆
221x y +=的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆方程。
解：根据定理，则切点弦AB 的方程为：1
1102
x y ⋅+⋅-=，即：22y x =- 由题可知：直线22y x =-过点(,0)c 和(0,)b
所以1c =，2b
=，则a =22
154
x y +=。
例3、（2008年江西高考21题）设点00(,)P x y 在直线(,01)x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线2
2
1x y -=的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点1
(,0)M m。
（1）求证：三点A 、M 、B 共线；
（2）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在曲线方程。
解：（1）因为P 在直线x m =上，则0(,)P m y ，根据定理，则切点弦AB 的方程为：
010,xm yy --=即：00
1m y x y y =
- 将点1
(
,0)M m
代入直线AB 的方程，有00110m y m y =⋅-成立，
所以点M 在直线AB 上，所以A 、M 、B 三点共线。
（2）略。
例4、（2013年广东高考22题）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)(0)F c c >到直线
:20l x y --=
，设P 为直线l 上的点，过点P 做抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其
中A ，B 为切点；
（1）求抛物线C 的方程；
（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB ； （3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值。
解：（1）易得抛物线C 方程：2
4x y =。
（2）根据定理，则切点弦直线AB 的方程为：
004(
)0,2y y xx +-=即：002
x
y x y =-，又因为P 在直线l 上，则002y x =- 所以直线AB 的方程为：0022x
y x x =-+。
（3）略。
本文的定理在解决圆锥曲线的双切线问题时会使得过程得到极大的简化，且切点弦方程000000(
)()()0222
x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++=与圆锥曲线的方程在形式上是非常相似的，显得非常的漂亮，很容易记忆。
通过以上几个例子的应用，我们可以充分体会定理在解决高考题上的妙处。
参考文献：
[1] 周顺钿．常见圆锥曲线的切点弦方程[J]．中等数学，2009（3）．
[2] 王知涛，浅谈圆锥曲线的切点弦方程[J]．学习方法报●语数教研周刊，2011（4）．。