2019年北京市高考数学试卷(理科)(原卷版)
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知复数z=2+i，则z z⋅=
A. B. C. 3 D. 5
2.执行如图所示的程序框图，输出的s值为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3.已知直线l的参数方程为
13,
24
x t
y t
=+
⎧
⎨
=+
⎩
（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是
A. 1
5
B.
2
5
C.
4
5
D.
6
5 4.已知椭圆
22
22
1
x y
a b
+=（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，则
A. a 2=2b 2
B. 3a 2=4b 2
C. a =2b
D. 3a =4b
5.若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的
最大值为 A. −7
B. 1
C. 5
D. 7
6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212
152–lg E m m E =
，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1
B. 10.1
C. lg10.1
D. 10–10.1
7.设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C .
充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：2
2
1||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列
三个结论：
①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C
； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ①
B. ②
C. ①②
D. ①②③
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.函数f (x )=sin 2
2x 的最小正周期是__________．
10.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，S n的最小值为__________．
11.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
12.已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
13.设函数f（x）=e x+a e−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15.在△ABC中，a=3，b−c=2，cos B=
1
2 -．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B–C）的值．
16.如图，在四棱锥P–ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，P A=AD=CD=2，BC=3．E为PD的
中点，点F在PC上，且
1
3 PF
PC
=．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面P AD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且
2
3
PG
PB
=．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
18.已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点． 19.已知函数3
21()4
f x x x x =
-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；
（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，
求a 的值．
20.已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项(i 1<i 2<…<i m )，若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列
12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为
0n a .若p <q ，求证：0m a <0n a ；
（Ⅲ）设无穷数列{a n }的
各项均为正整数，且任意两项均不相等.若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1
个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式．。
2019北京卷理科数学高考真题
⎧5（B ）4（A ） 15（D ） 67m2019 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共 5 页，150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数 z =2+i ，则 z ⋅ z =（A ） 3（B ） 5 （C ）3 （D ）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（3）已知直线 l 的参数方程为 ⎨x = 1 +3t, ⎩ y = 2 + 4t （t 为参数），则点（1，0）到直线 l 的距离是25（C ）5（4）已知椭圆 x 2 y 2+ a 2 b 21 = 1 （a ＞b ＞0）的离心率为 ，则2（A ）a 2=2b 2（B ）3a 2=4b 2 （C ）a =2b （D ）3a =4b（5）若 x ，y 满足 | x |≤ 1- y ，且 y ≥−1，则 3x+y 的最大值为（A ）−（B ）1 （C ）5 （D ）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 m 2− 1= 5 2Elg 1 ，E2r其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（D）10−10.1uuur uu u uuur uuur uuur（7）设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”的（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（A）①（B）②（C）①②（D）①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
【推荐】(解析版)2019年北京市高考数学试卷(理科)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知复数z=2+i，则z z⋅=A. B. C.3 D.5【答案】D【解析】【分析】题先求得z，然后根据复数的乘法运算法则即得.=+⋅=+-=故选D.【详解】∵z2i,z z(2i)(2i)5【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题..2.执行如图所示的程序框图，输出的s值为A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.【详解】运行第一次，=1k ，2212312s ⨯==⨯-，运行第二次，2k =，2222322s ⨯==⨯-，运行第三次，3k =，2222322s ⨯==⨯-，结束循环，输出=2s ，故选B .【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.3.已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是A.15 B.25 C.45 D.65【答案】D【解析】【分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可.【详解】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l 的距离65d ==,故选D.【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.4.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A.a 2=2b 2B.3a 2=4b 2C.a =2bD.3a =4b 【答案】B【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式.【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =,故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.5.若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为A.−7B.1C.5D.7【答案】C【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.【详解】由题意1,11y y x y-≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C.【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识､基本技能的考查.6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10–10.1【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-,()10.111212222lg (1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==.故选：A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.7.设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +> ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC|2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC|>|BC |”的充分必要条件,故选C.【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A.①B.②C.①②D.①②③【答案】C【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【详解】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不.结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -,四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019北京市高考数学试卷(理科)含答案
4． 已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的离心率为 1 ，则 ( 2
)
A． a2 2b2
2
2
B． 3a 4b
C． a 2b
D． 3a 4b
【思路分析 】由椭圆离心率及隐含条件 a 2 b2 c 2 得答案 ．
【解析 】：由题意 ， c a
1 2
，
得
c2 a2
1
a2 b2
，则 4
a2
1 ，
4
数列 { an} 的任意一项都是 { an } 的长度为 1 的递增子列 ．
（Ⅰ） 写出数列 1， 8， 3 ，7 ， 5，6 ， 9 的一个长度为 4 的递增子列 ；
（Ⅱ） 已知数列 { an } 的长度为 p 的递增子列的末项的最小值为 末项的最小值为 an0 ． 若 p q ， 求证 ： am0 an0 ；
)
A． 充分而不必要条件
B． 必要而不充分条件
C． 充分必要条件
D． 既不充分也不必要条件
8． 数学中有许多形状优美 、 寓意美好的曲线 ， 曲线 C : x 2 y 2 1 | x | y 就是其中之一 （ 如
图）． 给出下列三个结论 ：
①曲线 C 恰好经过 6 个整点 （即横 、 纵坐标均为整数的点 ）；
E2 5
E2
5 lg E1 ， 2 E2 1010.1 ．
故选 ： A ．
【归纳与总结 】本题考查对数的运算性质 ， 是基础的计算题 ．
4a 2 4b2 a 2 ，即 3a2 4b2 ．
故选 ： B ．
【归纳与总结 】本题考查椭圆的简单性质 ， 熟记隐含条件是关键 ， 是基础题 ．
5． 若 x ， y 满足 | x |, 1 y ，且 y… 1， 则 3x y 的最大值为 (
2019北京卷理科数学高考真题
2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数z =2+i ，则z z ⋅= （A ）3（B ）5（C ）3（D ）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（3）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t=+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（A ）15（B ）25（C ）45（D ）65（4）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（A ）a 2=2b 2（B ）3a 2=4b 2（C ）a =2b（D ）3a =4b（5）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 （A ）−7（B ）1（C ）5（D ）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10−10.1（7）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①（B ）②（C ）①②（D ）①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
高中-数学-高考-2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1、已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（ ）A. 3B. 5C. 3D. 52、执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 3、已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是（ ） A. 15 B. 25 C. 45 D. 654、已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ） A. a 2=2b 2 B. 3a 2=4b 2 C. a =2b D. 3a =4b 5、若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（ ）A. −7B. 1C. 5D. 76、在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10-10.1 7、设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8、数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；①曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；①曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①B. ②C. ①②D. ①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
2019年高考理科数学北京卷(附参考答案和详解)
4!数学中 有 许 多 形 状 优 美/寓 意 美 好 的 曲 线# 曲线 .,#$0&$'!0"#"& 就是 其 中 之 一$如 图 %!给 出 下 列 三 个 结 论 ,
曲线 . 恰 好 经 过 & 个 整 点 $即 横/纵 坐 标
均 为 整 数 的 点 %-
第4题图
曲线 . 上任意一点到原点的距离都不超过槡$-
三 解 答 题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
!"!$本小题满 分 !+ 分%在 '+0. 中#''+#(()'$#5290'
(
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$!%求(#) 的 值 -
$$%求9/: $0(.%的值!
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!&!$本小题满分!)分%如图#在 四 棱 锥 12+0.5 中#1+& 平
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曲线 . 所围成的&心形'区域的面积小于+! 其 中 #所 有 正 确 结 论 的 序 号 是
*% -%
! ! !,% ! ! !.%
$! ! %
第二部分
二 填 空 题本大题共&小题每 小 题 " 分共 +# 分!把 答 案
填在题中横线上
8!函数 *$#%'9/:$$# 的最小正周期是!!!!! !#!设 等 差 数 列!'-"的 前- 项 和 为,-#若'$ ' (+#," ' (!##
2019年北京市高考数学试卷(理科)以及答案解析
绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知复数z＝2+i，则z•＝（）A．B．C．3D．52．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．1B．2C．3D．43．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（）A．B．C．D．4．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则（）A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2b D．3a＝4b5．（5分）若x，y满足|x|≤1﹣y，且y≥﹣1，则3x+y的最大值为（）A．﹣7B．1C．5D．76．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.17．（5分）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A．①B．②C．①②D．①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年北京卷理科数学高考真题
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)（A（B（C）3（D）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1（B ）2（C ）3（D ）4（3）已知直线l 的参数方程为x =1+3t y =2+4tìíî（t 为参数），则点（1，0） 到直线l 的距离是（A ）15（B ）25（C ）45 （D ）65（4）已知椭圆2x 2a +2y 2b =1（a>b>0）的离心率为12，则 （A ）a 2=2b 2.（B ）3a 2=4b 2.（C ）a=2b（D ）3a=4b（5）若x ,y 满足的最大值为（A ）-7 （B ）1（C ）5 （D ）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）。
已知太阳的星等为-26.7，天狼星的星等为-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（D）10-10.1（7）设点A,B,C不共线，则“与的夹角是锐角”是的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x2+y2=1+x y就是其中之一（如图）。
给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2;③曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（A）①（B）②（C）①②（D）①②③第二部分(非选择题共10分)二、填空题共6小题,每小题5分，共30分。
(9) 函数f(x)=sin22x的最小正周期是________。
(原卷版)2019年北京市高考数学试卷(理科)
数 学（理）（北京卷）
本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 1.已知复数 z=2+i，则 z z
20.已知数列{an}，从中选取第 i1 项、第 i2 项、…、第 im 项(i1<i2<…<im)，若 ai1 ai2 aim ，则称新数列 ai1，ai2，，aim 为{an}的长度为 m 的递增子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为 1 的递增子列．
（Ⅰ）写出数列 1，8，3，7，5，6，9的一个长度为 4 的递增子列；
（Ⅰ）求曲线 y f (x) 的斜率为 1 的切线方程； （Ⅱ）当 x [2, 4] 时，求证： x 6 f (x) x ； （Ⅲ）设 F (x) | f (x) (x a) | (a R) ，记 F (x) 在区间[2, 4] 上的最大值为 M（a），当 M（a）最小时，
求 a 的值．
3
2
的中点，点 F 在 PC 上，且
PF
1
．
PC 3
（Ⅰ）求证：CD⊥平面 PAD；
（Ⅱ）求二面角 F–AE–P 的余弦值；
（Ⅲ）设点 G 在 PB 上，且 PG 2 ．判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由． PB 3
17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解 某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：
2019年高考理数真题试卷(北京卷)
2019年高考理数真题试卷（北京卷）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.（2019•北京）已知复数z=2+i，则=（）A. B. C. 3 D. 52.（2019•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43.（2019•北京）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（）A. B. C. D.4.（2019•北京）已知椭圆（a>b>0）的离心率为，则（）A. a2=2b2B. 3a2=4b2C. a=2bD. 3a=4b5.（2019•北京）若x，y满足|x|≤1-y，且y≥-1.则3x+y的最大值为（）A. -7B. 1C. 5D. 76.（2019•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
两颗星的星等与亮度满足m1-m2=，其中星等为m k的星的亮度为E k（k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10-10.17.（2019•北京）设点A，B，C不共线，则“ 与的夹角为锐角”是“| + |>| |”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.（2019•北京）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（）A. ①B. ②C. ①②D. ①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.（2019•北京）函数f（x）=sin22x的最小正周期是________.10.（2019•北京）设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2=-3，S5=-10，则a5=________，S n的最小值为________.11.（2019•北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得.其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1.那么该几何体的体积为________.12.（2019•北京）已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m：②m∥α：③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________。