2020-2021学年初二数学培优竞赛讲与练：数的整除
初中数学竞赛：数的整除性
4.(2005年全国“华罗庚金杯”少年教学邀请赛试 题)小鸣用48元按零售价买了若干本练习本.如果按 批发价购买,每本便宜2元,恰好多买4本.问:零售价 为每本多少元？
48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8. 只有4×12=6×8满足6-4=2,12-8=4,所以零 售价为每本6元
注意到一个好数n一定具有形 式:n=101(10a+b)(1≤a,、b≤9),因为(ab)2/n2,所以, ab/n2又101为质数,则ab不整除101,ab/(10a+b), 故a/b,b/10a 于是,所有可能如下 1)b=a,则a2/11a→a/11,故a=b=1 (2)b=2a,则2a2/12a a/6,故(a,b)=(1,2),(2,4),(3,6 (3)b=5a,则5a2/15a a/3,故a=1,b=5 上述每一对数字都决定了一个好数,故所有的好 数是1111,1212,2424,3636,1515
例2已知7位数1287xy6是72的倍数,求出所 有符合条件的7位数(江苏省竞赛题）
解题思路因72=8×9,(8,9)=1,故原数能被 8,9整除,运用能被8，9整除的性质求出x,y的 值
因为72/1287xy6,所以8/1287xy6,9/1287xy6,由 此得1+2+8+7+x+y+6=24+x+y是9的倍数,而0 ≤ x 十y≤18,则x+y=3或12,又XY6必是8的倍数,Y6必是 4的倍散,则y=1,3,5,7或9, 当y=1时,x=2,8/216: 当y=3时,x=0,9,8不整除36;8/936; 当y=5时,x=7,8不整除756; 当y=7时,x=5,8/576; 当y=9时,x=3,8不整除396,所以符合条件的7位数 是1287216,1287936,1287576
全国初中数学竞赛辅导(初2)第24讲整数的整除性
第二十四讲* 整数的整除性整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一．由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的．1．整除的基本概念与性质所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．定义设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作ba．关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1 若b｜a，c｜b，则c｜a．性质2 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)．性质3 若c｜a，cb，则c(a±b)．性质4 若b｜a，d｜c，则bd｜ac．性质5 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．性质6 若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a(此处[b，c]为b，c的最小公倍数)．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)．性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．性质8 若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(an-bn)．性质9 若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(an-bn)．性质10 若a≠-b，n是正奇数，则(a＋b)｜(an＋bn)．2．证明整除的基本方法证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法．下面举例说明．例1 证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．证设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1=12(n2＋n＋1)．所以12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]．又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故24[(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]．例2 若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．证设u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得3v-5u=17x．①所以 17｜3v．因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y．若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x ＋3y．q＞1．求pq的值．解若p=q，则不是整数，所以p≠q．不妨设p＜q，于是是整数，所以p只能为3，从而q=5．所以pq=3×5=15．例4 试求出两两互质的不同的三个自然数x，y，z，使得其中任意两个的和能被第三个数整除．分析题中有三个未知数，我们设法得到一些方程，然后从中解出这些未知数．最小的一个：y｜(y＋2x)，所以y｜2x，于是数两两互质，所以x=1．所求的三个数为1，2，3．例5 设n是奇数，求证：60｜6n-3n-2n-1．分析因为60=22×3×5，22，3，5是两两互质的，所以由性质6，只需证明22，3，5能被6n-3n-2n-1整除即可．对于幂的形式，我们常常利用性质8～性质10，其本质是因式分解．证60=22×3×5．由于n是奇数，利用性质8和性质10，有22｜6n-2n，22｜3n＋1，所以22｜6n-2n-3n-1， 3｜6n-3n， 3｜2n+1，所以3｜6n-3n-2n-1，5｜6n-1，5｜3n+2n，所以5｜6n-1-3n-2n．由于22，3，5两两互质，所以60｜6n-3n-2n-1．我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数．偶数常用2k表示，奇数常用2k+1表示，其实这就是按模2分类．又如，一个整数a被3除时，余数只能是0，1，2这三种可能，因此，全体整数可以分为3k，3k＋1，3k＋2这三类形式，这是按模3分类．有时为了解题方便，还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类，但这要具体问题具体处理．例6 若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k ＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．证因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．例7 求证：3n+1(n为正整数)能被2或22整除，但不能被2的更高次幂整除．证按模2分类．若n=2k为偶数，k为正整数，则3n＋1=32k＋1=(3k)2＋1．由3k是奇数，(3k)2是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设(3k)2=8l＋1，于是3n＋1=8l＋2=2(4l＋1)．4l＋1是奇数，不含有2的因数，所以3n＋1能被2整除，但不能被2的更高次幂整除．若n=2k＋1为奇数，k为非负整数，则3n+1=32k＋1+1=3·(3k)2＋1=3(8l＋1)＋1=4(6l＋1)．由于6l＋1是奇数，所以此时3n+1能被22整除，但不能被2的更高次幂整除．在解决有些整除性问题时，直接证明较为困难，可以用反证法来证．例8 已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．证用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1)a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a，3b．令a=3m，b=3n±1(m，n都是整数)，于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3(3m2＋3n2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．(2)a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则a2＋b2=(3m±1)2+(3n±1)2=9m2±6m+1+9n2±6n＋1=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，不能被3整除，矛盾．由此可知，a，b都是3的倍数．例9 设p是质数，证明：满足a2=pb2的正整数a，b不存在．证用反证法．假定存在正整数a，b，使得a2=pb2令(a，b)=d，a=a1d，b=b1d，则(a1，b1)=1．所以与(a1，b1)=1矛盾．例10 设p，q均为自然数，且求证：29｜p．证注意到29是质数．令a=10×11× (19)所以ap=29q·b，29｜a·p，29是质数，且29a，所以29｜p．练习二十四1．求证：对任意自然数n，2×7n＋1能被3整除．2．证明：当a是奇数时，a(a2-1)能被24整除．3．已知整数x，y，使得7｜(13x+8y)，求证：7｜(9x＋5y)．4．设p是大于3的质数，求证：24｜(p2-1)．5．求证：对任意自然数n，n(n-1)(2n-1)能被6整除．6．求证：三个连续自然数的立方和能被9整除．7．已知a，b，c，d为整数，ab＋cd能被a-c整除，求证：ad＋bc也能被a-c整除．。
专题01 数的整除(专项培优训练)(教师版)
专题01 数的整除（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.68一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）1．（2分）（2020秋•浦东新区期末）能同时被2和5整除的最小两位数是 10 ．解：能被2整除的整数的尾数可为0，2，4，6，8；能被5整除的整数的尾数可为0，5；∴能同时被2和5整除的最小的两位数是10．故答案为：10．2．（2分）（2021秋•宝山区校级月考）能被2、3、5同时整除的最小的三位数是 120 ，最小的四位数是 1020 ．解：因为2、3、5的最小公倍数是2×3×5＝30，而100÷30＝3……10，1000÷30＝33……10，所以30×4＝120，30×34＝1020，即能被2、3、5同时整除的最小的三位数是120，最小的四位数是1020．故答案为：120，1020．3．（2分）（2019秋•徐汇区校级月考）写出一个能被7整除的最小偶数（正数） 14 ．解：7×2＝14，14为能被7整除的最小偶数．故答案为：14．4．（2分）（2019秋•嘉定区期中）将4、5、0这三个数排成一个三位数，能被5整除最大的是 540 ．解：因为将4、5、0这三个数排成一个三位数，可能是450，540，所以能被5整除最大的是540．故答案为：540．5．（2分）（2021秋•长宁区校级期中）能同时被2，3，5整除的最大三位数是 990 ．解：能被5整除的数的个位数字是5或0，能被2整除的数的尾数是0，2，4，6，8，所以这个三位数的个位数为0，因为数990中，9+9+0＝18，18是3的倍数，所以最大三位数是990，故答案为：990．6．（2分）（2022秋•徐汇区期末）既能被2整除，又能被5整除的最小正整数是 10 ．解：根据能被2，5整除的数的特征可知，既能被2整数，又能被5整除的最小正整数是：10．故答案为：10．7．（2分）（2020秋•浦东新区期中）两个合数的最大公因数是3，最小公倍数是30，则这两个数分别是： 6和15 ．解：30×3＝90，因为90＝6×15，所以这两个数分别为6和15；故答案为：6和15．8．（2分）（2014秋•浦东新区期中）商店开展有奖购物活动，一等奖的中奖号码是一个三位数，百位上的数字是最小的素数，十位上的数字是最小的自然数，个位数字上是最小的合数，这个一等奖的中奖号码是 204 ．解：最小的素数是2，最小的自然数是0，最小的合数是4，∵一等奖的中奖号码是一个三位数，百位上的数字是最小的素数，十位上的数字是最小的自然数，个位数字上是最小的合数，∴这个一等奖的中奖号码是 204；故答案为：204．9．（2分）（2021秋•嘉定区期末）一个长方形的周长为30厘米，且长和宽都是素数，这个长方形的面积是 26 平方厘米．解：长和宽的和是：30÷2＝15（厘米），∵15＝2+13，∴长方形的面积为13×2＝26（平方厘米）．故这个长方形的面积是26平方厘米．故答案为：26．10．（2分）（2021秋•金山区期末）如果A＝2×3×3×a，B＝2×2×3×a，且A、B的最小公倍数是180，那么a＝ 5 ．解：由题意得2×3×3×a×2＝180，解得：a＝5．故答案为：5．11．（2分）（2021秋•青浦区校级期末）定义新运算“*”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为a*b，例如：6*8＝2+24＝26，根据上面的定义运算，12*15＝ 63 ．解：∵12＝2×2×3，15＝3×5，∴12和15的最大公约数是3，最小公倍数是2×3×2×5＝60，所以12*15＝3+60＝63；故答案为：63．12．（2分）（2021秋•宝山区校级月考）一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数是奇数又是合数，它的百位上的数不是素数也不是合数，它十位上的数是最小的素数，个位上的数是 6或0 ．解：∵它的千位上的数是奇数又是合数，∴千位是9，∵它的百位上的数不是素数也不是合数，∴百位是1，∵它十位上的数是最小的素数，∴十位是2，∵又能被2和3整除的四位数，∴个位数字是6或0，故答案为：6或0．二．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）13．（2分）（2022秋•闵行区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A．25和50B．42和3C．10和4D．9和1.5解：A，50÷25＝2，本选项符合题意；B，，本选项不符合题意；C，，本选项不符合题意；D，，本选项不符合题意；故选：A．14．（2分）（2022秋•徐汇区校级期中）下列说法中，正确的个数有（ ）①32能被4整除；②1.5能被0.5整除；③13能整除13；④0能整除5；⑤25不能被5整除；⑥0.3不能整除24．A．2个B．3个C．4个D．5个解：①32能被4整除，说法正确；②1.5不能被0.5整除，说法错误；③13能整除13，说法正确；④0不能整除5，说法错误；⑤25能被5整除，说法错误；⑥0.3不能整除24，说法正确．说法正确的有3个．故选：B．15．（2分）（2021秋•奉贤区期末）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A．3.6和1.2B．35和8C．27和3D．13.4和2解：A、3.6和1.2都不是整数，第一个数不能被第二个数整除，故此选项不符合题意；B、∵35÷8＝4…3，∴35不能被8整除，第一个数不能被第二个数整除，故此选项不符合题意；C、∵27÷3＝9，∴27能被3整除，第一个数能被第二个数整除，故此选项符合题意；D、13.4不是整数，第一个数不能被第二个数整除，故此选项不符合题意．故选：C．16．（2分）（2020秋•静安区期末）一个整数既能被6整除，又能被8整除，则它还一定能被（ ）整除．A．10B．12C．16D．18．解：因为6的因数是2和3，8的因数是2和4，所以一个数能被6整除，又能被8整除，所以这个数能被12整除．故选：B．17．（2分）（2022秋•杨浦区期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A．12和5B．4.5和1.5C．4和28D．36和9A．12÷5＝，不符合题意，故A错误；B．4.5和1.5不是整数，不符合题意，故B错误；C．4÷28＝，不符合题意，故C错误；D．36÷9＝4，符合题意，故D正确；故选：D．18．（2分）（2022秋•闵行区期末）下列说法正确的是（ ）A．因为10÷4＝2.5，所以10是4的倍数B．所有正整数，不是素数就是合数C．2既是偶数又是素数D．比3小的自然数只有1和2解：A．10÷4＝2.5，2.5不是整数，故此选项说法错误；B.1既不是素数也不是合数，此选项说法错误；C．2既是偶数又是素数，说法正确；D．比3小的自然数有0、1、2故选：C．三．简答题（共6小题，满分33分）19．（8分）（2021秋•宝山区校级月考）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数：（1）8和9；（2）12和48；（3）13和104；（4）34和51．解：（1）8和9是互质数，互为质数的两个数的最大公因数是1，故8和9的最大公因数是1，互为质数的两个数的最小公倍数是它们的乘积，故8和9的最小公倍数是：8×9＝72：（2）12＝3×2×2和48＝2×2×2×2×3，故12和48的最大公因数是：2×2×3＝12，12和48的最小公倍数是：3×2×2×2×2＝48；（3）13和104＝13×8，故13和104的最大公因数是13，13和104的最小公倍数是：13×8＝104：（4）34＝17×2和51＝3×17，故34和51的最大公因数是17，34和51的最小公倍数是：17×3×2＝102．20．（4分）（2021秋•宝山区校级月考）分解素因数：（1）32；（2）150．解：（1）把32分解素因数：32＝2×2×2×2×2；（2）把150分解素因数：150＝2×5×3×5．21．（3分）（2021秋•长宁区校级期中）用短除法求54与144的最大公因数和最小公倍数．解：如图，用短除法把54和144分解质因数为：∴最大公因数＝2×3×3＝18，最小公倍数＝2×3×3×3×8＝432．22．（6分）（2020秋•浦东新区月考）在下面素数表内的空白处，填上适当的素数．100以内的素数 2 35711 13 17 1923293137 41 43475359 61 677173798389 97 ……解：根据质数的定义（一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，又叫做素数），得：100以内的素数2357111317192329313741434753596167717379838997……故答案为：2；13；17；41；61；97．23．（6分）（2020秋•徐汇区校级期中）在从五个数字0，1，5，6，7中取三个可以拼出的三位数中（直接写出答案）．（1）写出能被9整除的所有三位数；（2）写出能同时被2，5，3整除的所有三位数；（3）写出能被33整除的所有三位数．解：（1）∵5+6+7＝18，18是9倍数，∴由5、6、7组成的三位数能被9整除，∴能被9整除的所有三位数有：567、576、657、675、756、765；（2）∵能同时被2，5，3整除的所有三位数必是30的倍数，∴本位数的个位为0，各个数位数字和是3的倍数，∴由0、1、5或0、5、7两组数字组成的个位为0的三位数才能被2，5，3整除，∴能同时被2，5，3整除的所有三位数的：150、510、570、750；（3）∵被33整除，∴各个数位数字和能被3整除；奇数位上的数字与偶数位上的数字之差能被11整除，∴能被33整除的所有三位数为：165、561．24．（6分）（2019秋•浦东新区期中）两百年前，德国数学家哥德巴赫发现：任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数（既是奇数又是素数）之和，简称：“l+1“．如6＝3+3，12＝5+7等等．众多数学家用很多偶数进行检验，都说明是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没找到一个反例．这就是世界上著名的哥德巴赫猜想．你能检验一下这个伟大的猜想吗？请把偶数42写成两个奇素数之和.42＝ 7 + 35 ，或者42＝ 13 + 29 ．你是否有更大的发现：把42写成4个奇素数之和？42＝ 3 + 7 + 15 + 17 ．解：根据题意得：42＝7+35或42＝13+29；42＝3+7+15+17（答案不唯一）；故答案为：7，35；13，29；3，7，15，17．四．解答题（共6小题，满分31分）25．（4分）（2022秋•松江区期中）一张长36厘米，宽20厘米的长方形纸片，把它裁成大小相等的正方形小纸片而没有剩余，裁出的正方形纸片最少有多少张？解：∵36＝2×2×3×3，20＝2×2×5，∴36、20的最大公因数为：2×2＝4，∴36×20÷（4×4）＝720÷16＝45（张），答：裁出的正方形纸片最少有45张．26．（4分）（2022秋•嘉定区期中）有三根绳子，分别长36米，54米，63米，现在要将它们裁成长度相等的短绳且没有剩余，每根短绳最长可以是几米？这样的短绳有几根？解：∵36＝2×3×2×3，54＝2×3×3×3，63＝3×3×7，∴36，54，63的最大公因数是9，4+6+7＝17，答：每根短绳最长可以是9米，这样的短绳有17根．27．（4分）（2022秋•闵行区校级期中）从运动场的一端到另一端全长100米，从一端起到另一端止每隔4米插一面小红旗．现在要改成每隔5米插一面小红旗，有多少面小红旗不用移动？解：5和4的最小公倍数是20，∴100÷20+1＝5+1＝6（面）．答：有6面小红旗不用移动．28．（6分）（2022秋•宝山区期中）如果两个相邻的奇数都是素数，就说它们是一组孪生素数．如11和13就是一组孪生素数，（1）请你举出除此之外的两组孪生素数；（2）如果三个相邻的奇数都是素数，就说它们是“三胞胎素数”，请写出一组“三胞胎素数”．（本题只需直接写出答案）解：（1）3和5是一组孪生素数，5和7是一组孪生素数；（2）3、5、7是“三胞胎素数”．29．（5分）（2021秋•宝山区校级月考）有两列公交车，宝山6路每30分钟发一次车，宝山8路每25分钟发一次车．请问：一位公交指挥员从早晨6点30分同时发车后，直到下午4点，这两班车在哪些时刻同时发车？解：，根据题意可得：30和25的最小公倍数是150，150÷60＝2.5，即两个半小时，∴从早晨6点30分同时发车后，再同时发车时间为9点，11点半，14点，∴两班车在上午9点，11点半，下午2点同时发车．30．（8分）（2022秋•徐汇区校级期中）“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是驰名中外的中国古代问题之一，它是我国古代的一本著名的数学名书《孙子算经》中的一道题目，人们把它称为“韩信点兵”．这道题目可以译为：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合条件的最小的数？这就是外国人所称的“中国剩余定理”，是数学史上极有名的问题．表示的具体解法是：先分别求出能被5和7整除而被3除余1的数（70），能被3和7整除而被5除余1的数（21），能被3和5整除而被7除余1的数（15），然后用被3、5、7除所得的余数（即2、3、2）分别去乘这三个数，再相加，也就是70×2+21×3+15×2＝233．最后从233中减去3、5、7的最小公倍数105，如果得出的差还是比105大，就再减去105，一直到得数比105小为止．233﹣105×2＝23．这就是适合条件的最小的数．同学们，你能不能用这样的方法来解答下面的题目呢？或许你有更好的办法！一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小自然数．解：能被6和7整除而被5除余1的数（126），能被5和7整除而被6除余1的数（175），能被5和6整除而被7除余1的数（120），126×3+175×4+120×1＝378+700+120＝1198．1198﹣210×5＝1198﹣1050＝148．答：适合条件的最小自然数是148。
初中数学竞赛标准教程及练习69数的整除三 2.docx
初中数学竞赛精品标准教程及练习(69)数的整除(三)一、内容提要在第1讲《数的整除(一)》和44讲《数的整除(二)》中，分别介绍了数的整除特征和运用因式分解法解答数的整除问题，本讲介绍应用“同余”方面的知识.同余的概念两个整数a和b被同一个正整数m除，所得的余数相同时，称a, b 关于模m同余.记作a=b(mod m).如：8和15除以7同余1,记作8=15(mod 7),读作8和15关于模7同余.72003=7X286+1,/. 2003 = 1 (mod 7)；V-7和6对于模13同余6 (余数是非负数)A-7=6 (mod 13)；•••35和0除以5,余数都是0 (即都能整除).".35=0 (mod 5).用同余式判定数的整除若a=b(mod m), 则m|(a~b).即a-b=0(mod m) U> m|(a—b).例如：11 三25(mod7)0 7|(25 —11)；或7|(ll-25).V25+35=2+3=0(mod 5),A5|25+35.同余的性质(注意同余式与等式在变形中的异同点)a三Z?(mod m)]传递性：'二> G三c(mod m)・b = c(mod m)a = /?(mod [ a + c 三b + 〃(mod m)；可加可乘性：f…、c三J(modm).J [ac三bd(mod m).推论可移性：a=b+c (mod m)=>(a—b)三c(mod m).可倍性：a=b(iriod m)=>ka=kb(mod m) (k 为正整数).可乘方：a=b(mod m)=> a n=b n(mod m) (n 为正整数).a b m当d 是a, b, m 的正公因数时，a=b(mod m) => — = — (mod 一 ).d d d如：2 是20, 26, 6 的正公因数，20=26(mod 6) => 10 = 13(mod 3).根据抽屉原则：任给m+1个整数，其中至少有两个数对于模m同余.即至少有两个，其差能被m整除.例如：任给5个数a, b, c, d, e.其中至少有两个，它们的差能被4整除.•・•除以4的余数只有0, 1, 2, 3四种.・・・5个数除以4至少有两个同余.二、例题例1.已知：69, 90, 125除以正整数n有相同的余数. 求：n的值解：V69=90(mod n), 90= 125(mod n).・・・ n|(90-69), n|( 125-90).而21,35的最大公约数是7, 记作⑵,35)=7 (7是质数).n=7例2.求3炉除以5的余数.解：V38=3 (mod 5),・・・3炉三3*三(3纽三(一I)"三1 (mod5).(注意9除以5余4, 一1除以5也是余4, A32=-l (mod5) 例3.求7"的个位数字.解：V74k+n与7*1的个位数字相同，且9=1 (mod 4),:.9°=19 =l(mod4).A 79，＞与刃的个位数字相同都是7.例4.求证：7|(22225555+55552222).证明:V 22225555+55552222=(22225)'111 +(55552)''1'A22225=35=5(mod 7)；55552=42=2 (mod 7).A22225+55552=5+2=0 ( mod 7).即22225=-55552 (mod 7)・・•・(22225)1川三(一55552)1山三-(55552)1111 (mod 7).•••22225血+5555型2三o god 7).例5.求使32n-l能被5整除的一切自然数n.解：V32=-l (mod 5), .\(32)n=(-l)n (mod 5).32n-l=(-l)n-l (mod 5)・・•当且仅当n为偶数时，(一I)"—1二0.・••使32n-l能被5整除的一切自然数n是非负偶数例6.己知：a, b, c是三个互不相等的正整数.求证：a3b — ab\ b3c—bc\ c3a~ca3三个数中，至少有一个数能被10整除.证明：用同余式判定整除法证明当正整数n的个位数是0, 1, 4, 5, 6, 9时，I?的个位数也是0, 1, 4, 5, 6, 9.•I这时n3= n (mod 10)；当正整数n的未位数为2, 3, 7, 8时，I?的个位数分别是8, 7, 3, 2.・.・8与一2, 7与一3, 3与一7, 2与一8,除以10是同余数，二这时n3=—n (mod 10)；把三个正整数a, b, c按个位数的情况，分为上述两类时，则至少有两个属于同一类.设a, b的末位数是同一类，那么a3b —ab3=ab —ab=O (mod 10)：或a3b—ab5=(—a)b—a(—b)=0 (mod 10). ・•・ 10| (a3b-ab3)72222=7X317+3 ,.•⑵？？三3 ( mod5555=7X793+4.5555=4 (mod 7).三、练习691.三个数33, 45, 69除以正整数N有相同余数，但余数不是0,那么N二__________ .2.求77’的个位数字.3.求374592除以19的余数；4戦9除以9的余数.4.求1989网咤1990的余数.5.四个数2836, 4582, 5164, 6522都被同一个正整数除，所得的余数都相同口不是0,求除数和余数.6.求证：7|(33334444+44443333).7.己知：正整数n>2.求证：三3 (mod 4).s--- V - '〃个&任给8个整数，其小必有两个，它们的差能被7整除，试证之.9.求使2"+1能被3整除的一切自然数n.10.己知69, 90, 125除以N (N>1)有同余数，那么对于同样的N, 81同余于( )(A) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 7. (E) 8.三、练习69参考答案：1.N=12, 6,2.(舍去3,・・•余数是0).解法仿例1.7 72.个位数字是3. V7 =-1 (mod4), A 77' =(~1)7 (mod 4)……仿例33.余数是18 和1. V37=-l (mod 19)・••原式三一1 三18 (mod 19)；41989=(43)663 64三1 (mod 9) 64663= I663 = 1.4.余数是1. V1989=-l (mod 1990) A 19891990=(-l)l990=l (mod 1990).5.根据题意2836三4582三5164三6522三r (mod m)而且4582-2836=1746, 6522—5164=1358.・I m| 1746, 且m| 1358, (1746, 1358)=2X97・・・m=194,97, 2 (2不合题意.舍去)答：除数为194, 余数是120或除数为97, 余数是236.J 33334444+4444B35= -1 )B33=0 (mod 7).7.11---11 = 1 l---U00+ll = ll=3(mod 4).' -------------- V -------- ' ' ----------V ---------- '"个"-2个8.8个正整数分别除以7,必有两个或两个以上是同余数9.V2=-l (mod 3) .-.2n=(-l)n (mod 3)2n+l=(-l)n+l (mod 3)当且仅当n奇数时，(一1 )吟1三0・・・能被3整除的一切正整数n是奇数10.(B)赠:小学五年级数学竞赛题1. ................................... 把自然数1.2.3. 4 ...................................................................... 的前几项顺次写下得到一个多位数1234567891011 .............................................................................. 已知这个多位数至少有十位,并且是9和11的倍数.那么它至少有几位？2.在做两个数的乘法时，甲把被剩数的个位数字看错了，得结果是255,乙把被剩数的十位数字看错了，得结果是365,那么正确的乘积是多少？3.将23分成三个不同的奇数Z和，共有几种不同的分法?4、把自然数1、2、3、4 ........... 的前几项顺次写下得到一个多位数12345678910111213…… 已知这个多位数至少有十位，并且是9的倍数，那么它最少有几位数？5、恰有两位数字相同的三位数共有儿个?6、有一群小孩，他们中任意5个孩子的年龄之和比50少，所有孩子的年龄之和是202,这群孩子至少有儿人？7、甲乙两同学按先后顺序摆多米诺骨牌，要求摆成正方形，由于每人手里一次只能拿10块，故每次每人摆10块。
初中数学竞赛：数的整除性
一，知能概述
对于整数a和不为零的整数b,总存 在整数m,n使得a-bm+n(0≤n<b),其中 m称为商,n称为余数,特别地,当n=0 时,即a=bm,便称a被b整除(也称a是b 的倍数或b是a的约数),记为b/a整除 有以下基本性质
1.若a|b,alc,则a|(b±c)2.若ab,b1c,则a|c;3.若ab,且 (aC)=1,则ab,特别地,若质数pb,则必有pb或pl;4.若 ba,ca,且(b,c)=1,则bea解整除有关间题常用到数的 整除性常见特征被2整除的数:个位数字是偶数
三，练习
1.(第14届五羊杯竞赛题)2002的不大于100的
正约数有( )
A.8个 B.9个
C.10个
D.11个
20 02=2×7×11×13.易见它的不大于 100的约数是 1,2,7,11,137,2×11,2×13,7×11,7×13,共 10个
2.(2005年河北初中数学竞赛题)在小于 1000的正整数中,能被5整除或能被7整除, 但是不能被35整除的数的个数为( )
6.(首届华杯赛试题)一个六位数3434ab能同时 被8和9整除,已知a+b=c,求c的最小值
由n=3434ab是9的倍数,知 3+4+3+4+a+b=14+a+b是9的倍数故a+b=4或13 由n是8的倍数,知4ab是8的倍数,从而ab是8的 倍数,易见a==0符合条件,且使a+b=c取最小值 4.
如果用[x]表示正数x的整数部分,那么,在小 于1000的999个正整数中,有[999/5]个数能被 5整除, [999/7]个数能被7整除.而既能被5整 除,又能被7整除的数有[999/35]个故所求数 的个数为[999/5]+ [999/7]-2 [999/35]=285
2020-2021学年数学人教版八年级培优和竞赛二合一讲炼教程-13-分式总复习
例2. 计算： a 1
a3
分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“
分离分式法”简化计算。
a(a 1) 1 a(a 3) 1
解：原式
a 1
a3
a 1 (a 1 )
a 1
a3
11
a 1 a3
(a 3) (a 1)
(a 1)(a 3)
2a 2
当 x 2 时，分母 x 2 3x 2 0 ，原分式无意义。
例2．已知 x 2 3x 2 0 ，那么代数式
x 1
的值是_________。
分析：先化简所求分式，发现把 x 2 3x 看成整体代入即可求的结果。 解：原式 (x 1)2 (x 1) x 2 2x 1 x 1 x 2 3x x2 3x 2 0 x2 3x 2
(a 1)(a 3)
例3.
1
解方程：
x2
1 7x
6
x2 x2
5x 5 5x 6
分析：因为 x 2 7x 6 (x 1)(x 6) ， x 2 5x 6 (x 2)(x 3) ，所以最简公分
母为： (x 1)(x 6)(x 2)(x 3) ，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由
x 0 经检验， x 0 是原方程的根。
3. 在代数求值中的应用
例4. 已知 a 2 6a 9 与 |b 1| 互为相反数，求代数式
( a2
4 b2
a ab 2
b a
2b
)
a 2 ab 2b2 a 2b 2ab2
b a
的值。
分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出a、b的值，又因
x2 y2
x y ，则M＝__________。
数的整除练习题
数的整除练习题数的整除练习题数的整除是数学中的一项基本概念，也是我们日常生活中常常会遇到的问题。
无论是在学校的数学课堂上，还是在购物时计算折扣，整除都扮演着重要的角色。
本文将通过一些练习题来帮助读者加深对数的整除的理解和应用。
1. 请问下列哪个数能够整除12：8、5、3、2？解答：整除是指一个数可以被另一个数整除，即没有余数。
我们可以逐个尝试这些数与12相除，看是否有余数。
首先，8 ÷ 12 = 0余8，所以8不能整除12。
然后，5 ÷ 12 = 0余5，所以5也不能整除12。
接下来，3 ÷ 12 = 0余3，所以3也不能整除12。
最后，2 ÷ 12 = 0余2，所以2也不能整除12。
综上所述，以上四个数都不能整除12。
2. 某个数能够整除15和35，那么它能够整除多少？解答：我们可以找出15和35的公约数，即能够同时整除这两个数的数。
首先，列出15的因数：1、3、5、15。
然后，列出35的因数：1、5、7、35。
可以看到，15和35的公约数是1和5。
所以，某个数能够整除15和35的话，它一定能够整除1和5。
因此，它能够整除的数有1和5。
3. 请问下列哪个数能够整除24：12、8、6、4？解答：同样地，我们可以逐个尝试这些数与24相除。
首先，12 ÷ 24 = 0余12，所以12不能整除24。
然后，8 ÷ 24 = 0余8，所以8也不能整除24。
接下来，6 ÷ 24 = 0余6，所以6也不能整除24。
最后，4 ÷ 24 = 0余4，所以4也不能整除24。
综上所述，以上四个数都不能整除24。
4. 某个数能够整除18和27，那么它能够整除多少？解答：同样地，我们列出18和27的因数。
18的因数是1、2、3、6、9、18，27的因数是1、3、9、27。
可以看到，18和27的公约数是1、3和9。
所以，某个数能够整除18和27的话，它一定能够整除1、3和9。
(完整版)数的整除特征专项训练
数的整除特色专项训练一、性质1、若是整数 A、B 都能被 C 整除，那么他们的和A＋B 或差 A－B 也能被 C 整除。
比方： 8 整除 64，8 整除 24，那么 8 整除 64＋24 或 64－ 24。
2、若是 A 能被 B 整除， B 能被 C整除，那么 A 能被 C整除。
比方： 30 能被 15 整除， 15 能被 5 整除，那么 30 能被 5 整除。
二、数的整除特色能被 2 整除的数的特色：个位数字是 0、 2、 4、 6、 8。
能被 3 整除的数的特色：各位数字之和是 3 的倍数。
能被 4（或 25）整除的数的特色：末两位数能被 4（或 25）整除。
能被 5 整除的数的特色：个位数字是 0 或 5。
能被 8（或 125）整除的数的特色：末三位数能被 8（或 125）整除。
能被 9 整除的数的特色：各位数字之和是 9 的倍数。
能被 11 整除的数的特色：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11 整除。
能被 7、11、13 整除的数的特色：末三位数与末三位数以前的数所组成的数之差能被7、11、13整除。
一个三位数连续写偶数次，所得的数能被7、11、13 整除三、例题与练习例 1、判断下面的数可否能整除。
1674565423067867 2345875 283504 34534514773 34578911例 2、判断下面的数可否能整除。
23454456765235704573496432658658 614251215例 3、四位数 2□2□能同时被 8、 9 整除，那么这个四位数是多少？练一练在 3□ 2□的方框里填入合适的数字，使这个四位数能被 15 整除，这样的四位数中最大的是多少？例 4、将 1、 2、3、4 这四个数任意排列，可组成若干个四位数，在这些四位数中，能被11 整除的数最小是多少？能被 4 整除的数最小是多少？1、由 1、2、3 这三个数任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被11 整除的数有哪些？2、从 0、3、5、7 这四个数中选择三个数，排成一个三位数，使它能同时被2、3、5 整除，这样的三位数最大的是哪个？3、在 568 后边补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、 5 整除，这个六位数最小是多少？例5、某个七位数 1993 口口口能同时被 2、3、4、5、6、7、8、9 整除，那么它的最后三位数字依次是多少 ?1、四位数 45□□能同时被 4、9 整除，这个四位数最小是多少？2、六位数 36□2□□能同时被3、4、5 整除，这个六位数最大是多少？3、用 0、2、3、5、6 这五个数字中的四个能组成能被11 整除的四位数，这些四位数中最小的一个是多少？4、七位数 23□354□能被 72 整除，两个□中的数的乘积是多少？5、已知五位数 3□6□5 是 75 的倍数，这样的五位数最大的一个是多少？6、由 1、2、5、6、7、 9 这六个数字所组成的六位数中，能被11 整除的最大的数是多少？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）
又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）
1 分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积） ①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296
2 若四位数 987a 能被3整除，那么 a=_______________
3 若五位数12 X 34 能被11整除，那么 X＝__________-
4 当 m=_________时， 35m5 能被25整除
下列各数整除的有（填上编号）： 6________,8__________,9_________,11__________ 9 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个， 能被3整除但不是5的倍数的共______个。 10 由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共 有几个？为什么？
6. 10010，9990 7. 9996，9992
8. 6：B 8：F，G 9：B，D 11：G，H
9. 16；27
10. 没有一个，∵1＋2＋3＋4＋5＝15是3的倍数，与数字的位置无关
11. 仿例2，a＝5
12. 10269（由最小五位数10234调换末两位数）
13. 11111111100
3或9 各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)
奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除 11 (如143,1859,1287,908270等)
7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减, 其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程
数的整除（一）
【知识精读】
如果整数A除以整数B(B 0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整 除.
一些数的整除特征
除数
能被整除的数的特征
2或5 末位数能被2或5整除
பைடு நூலகம்
4或25 末两位数能被4或25整除
8或125 末三位数能被8或125整除
2
幸遇•共勉：
思思
你见，或者不见我 我就在那里 不悲不喜
你念，或者不念我 课就在那里 不来不去
你爱，或者不爱我 有效期就在那里
不增不减 你跟，或者不跟我 我的手就在你手里
不舍不弃 来我的班里
或者 让我住进你的心里
大海，思思 寒假与你 再相聚
3
11 己知五位数1234A 能被15整除，试求A的值。
12 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。 13 在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿
参考答案
1.④ 22×32×7×3 ⑤ 3×7×13×37 ⑥ 23×32×11×13
2. 0，3，6，9 3. 0 4. 2，7 5. 3
【分类解析】
例1已知两个三位数 328 和 2x9 的和仍是三位数 5 y7 且能被9整除。
求x,y
解：x,y都是0到9的整数，∵ 5 y7 能被9整除，∴y=6.
∵328＋ 2x9 ＝567，∴x=3
例2己知五位数1234x 能被12整除， 求X
解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8
5 当 n=__________时， 9610n 能被7整除
6 能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7 能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 8 8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被
当末两位 4 X 能被4整除时，X＝0，4，8
∴X＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可，
1
∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 【实战模拟】