2020年4月高考数学大数据精选模拟北京卷04(含解析)

2020年4月高考大数据精选模拟卷04数学（北京卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设U ＝R ，A ＝2{|40}x x x -<，B ＝{|1}x x ≤，则()U A C B ⋂＝（ ） A ．{}04x x <≤ B ．{}14x x ≤< C ．{}04x x <<D ．{}14x x <<2．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+3．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A 1B ．25-C ．D ．14．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-5．不等式1021x x -≤+的解集为 ( ) A ．1,12⎛⎤-⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U6．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．12807．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．812πB ．814πC ．65πD ．652π8．若数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( ) A ．102 B ．101 C ．100D ．999．牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访6名外国游客，其中有2名游客来过洛阳，从这6人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1人来过洛阳的概率是（ ） A ．115B ．23C ．35D ．4510．英国统计学家..E H 辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为1x ，2x 和x ，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为1y ，2y 和y ，则下面说法正确的是（ ） A ．11x y <，22x y <，x y > B ．11x y <，22x y <，x y < C ．11x y >，22x y >，x y >D ．11x y >，22x y >，x y <第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分．11．已知向量(2,4),(1,)a b m ==r r ，若(2)a a b ⊥+r r r，则实数m =_____________.12．若函数()sin f x x x ωω= (x ∈R ，0>ω)满足()()02f f αβ==，，且||αβ-的最小值等于2π，则ω的值为___________. 13．已知直线l ：()4y k x =+与圆()2224x y ++=相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，则M 的轨迹方程为____________；M 到直线3460x y +-=的距离的最小值为_______.14．已知奇函数()()2221x x a a f x x R ⋅+-=∈+，则函数()f x 的值域为__________.15．已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且0BA BC ⋅=u u u r u u u r，若点M 的坐标为()3,0，则MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r 的最大值为________.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知在等比数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且{12n n b a +}为等差数列． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和17．（本小题14分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．18．（本小题14分）黄冈市有很多名优土特产，黄冈市的蕲春县就有闻名于世的“蕲春四宝”（蕲竹，蕲艾，蕲蛇，蕲龟），很多人慕名而来旅游，通过随机询问60名不同性别的游客在购买“蕲春四宝”时是否在来蕲春县之前就知道“蕲春四宝”，得到如下列联表：（1）写出列联表中各字母代表的数字；（2）由以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为购买“蕲春四宝”和是否事先知道“蕲春四宝”有关系？（3）从被询问的q 名事先知道“蕲春四宝”的顾客中随机选取2名顾客，求抽到的女顾客人数ξ的分布列及其数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.19．（本小题15分） 已知幂函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >.（1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围.20．（本小题14分）已知点F 是椭圆2221(0)1x y a a+=>+的右焦点，点(,0)M m ，(0,)N n 分别是x 轴，y 轴上的动点，且满足0MN NF ⋅=u u u u v u u u v .若点P 满足2OM ON PO =+u u u u v u u u v u u u v（O 为坐标原点）． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x a =-分别交于点S ，T ，试判断以线段ST 为直径的圆是否经过点F ？请说明理由．21．（本小题14分）若函数()y f x =对定义城内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使得()()120f x f x +=成立，则称该函数为“Y 函数”.(1)判断函数()sin f x x =是否为“Y 函数”，并说明理由；(2)若函数()2log g x x =在定义域[],m n 上为“Y 函数”，求2m n +的取值范围；(3)已知函数()()22214h x x b x b =-++-在定义域[]1,2-上为“Y 函数”.若存在实数[]1,2x ∈-，使得对任意的t R ∈，不等式()()254h x t p t x ≥-+--+都成立，求实数p 的取值范围.第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设U ＝R ，A ＝2{|40}x x x -<，B ＝{|1}x x ≤，则()U A C B ⋂＝（ ） A ．{}04x x <≤ B ．{}14x x ≤< C ．{}04x x << D ．{}14x x << 【答案】D【解析】A ＝2{|40}{04}x x x x x -<=<<，U {1}B x x =>ð，U (){14}A B x x ⋂=<<ð.故选:D 2．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+【答案】A【解析】∵复数1z i =+，∴||z =，()2212z i i =+=，则22||22(1)221211(1)(1)z i z i i i i i z i i i -+=+=+=-+=+++-，故选：A. 3．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A 1B ．25- C． D ．1【答案】D【解析】由抛物线2:2(0)C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2px =-，则点(5,)t 到焦点的距离为562p d =+=，则2p =，所以抛物线方程：24y x =，设(,)P x y ，圆22:(6)1M x y -+=，圆心为(6,1)，半径为1，则PM ===，当4x =时，PQ 取得最小值，11=，故选D.4．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f ff -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<-D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-【答案】C【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=， 有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C. 5．不等式1021x x -≤+的解集为 ( ) A ．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦ B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[)1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U 【答案】A【解析】不等式1021x x -≤+等价于(1)(21)0{210x x x -+≤+≠解得112x -<≤，所以选A.6．3481(3)(2)x x x+-展开式中x2的系数为( ) A ．－1280 B ．4864 C ．－4864 D ．1280【答案】A【解析】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出33x 项，第二个括号里出1x项，或者第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x ，具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 化简得到-1280 x2 故得到答案为：A.7．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．812πB ．814πC ．65πD ．652π 【答案】B【解析】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD -完全满足题意，故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，故外接球半径94R ==，故该球的表面积为28144S R ππ==. 故选：B.8．若数列{xn}满足lg xn ＋1＝1＋lg xn(n ∈N ＋)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值为( ) A ．102 B ．101 C ．100D ．99【答案】A【解析】由1lg 1ln n n x x +=+，得110n nx x +=，所以数列{}n x 是公比为10的等比数列， 又10010010010111022200100,,,x x q x x q x x q L =⋅=⋅=⋅，所以10010010210110220012100()1010010x x x q x x x +++=+++=⋅=L L ，所以()101102200lg 102x x x +++=L ，故选A ．9．牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访6名外国游客，其中有2名游客来过洛阳，从这6人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1人来过洛阳的概率是（ ） A ．115 B ．23 C ．35 D ．45【答案】C【解析】由题意，从6名外国游客中选取2人进行采访，共有2615C =种不同的选法，其中这2人中至少有1人来过洛阳的共有112242819C C C +=+=种不同选法，由古典概型的概率计算公式可得93155p ==，故选C ． 10．英国统计学家..E H 辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为1x ，2x 和x ，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为1y ，2y 和y ，则下面说法正确的是（ ） A ．11x y <，22x y <，x y > B ．11x y <，22x y <，x y < C ．11x y >，22x y >，x y > D ．11x y >，22x y >，x y < 【答案】D【解析】由题意，可得法官甲民事庭维持原判的案件率为1290.90632x =≈，行政庭维持原判的案件率21000.847118x =≈，总体上维持原判的案件率为1290.86150x ==；法官乙民事庭维持原判的案件率为1900.9100y ==，行政庭维持原判的案件率为2200.825y ==，总体上维持原判的案件率为1100.88125y ==．所以11x y >，22x y >，x y <．选 D ．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量(2,4),(1,)a b m ==r r ，若(2)a a b ⊥+r r r，则实数m =_____________.【答案】3-【解析】Q (2,4),(1,)a b m ==r r ，可得220a =r根据向量数量积坐标计算可得：24,a b m ⋅=+r r 又Q (2)a a b ⊥+r r r，∴2(2)20a a b a a b ⋅+=+⋅=r r r r r r，∴2480m +=，解得：3m =-.故答案为：3-12．若函数()sin f x x x ωω= (x ∈R ，0>ω)满足()()02f f αβ==，，且||αβ-的最小值等于2π，则ω的值为___________. 【答案】1【解析】由题,()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭, 因为()0fα=,()2f β=,且||αβ-的最小值等于2π,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为2π, 所以142T π=,即2T π=,所以2212T ππωπ===,故答案为:1 13．已知直线l ：()4y k x =+与圆()2224x y ++=相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，则M 的轨迹方程为____________；M 到直线3460x y +-=的距离的最小值为_______. 【答案】()()22314x y x ++=≠-； 2【解析】由题意，直线()4y k x =+过定点()4,-0，代入圆方程中，()224204-++=，成立，故()4,-0为直线和圆的一个交点，设(),M x y ，()4,0-A ，()()111,4B x y x ≠-，因为M 是AB 中点，所以11422x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒11242x x y y =+⎧⎨=⎩，点B 在圆上，故()()2224224x y +++=， 整理得，()()22314x y x ++=≠-，所以点M 的轨迹是以()3,0-为圆心，1为半径的圆，不包含()4,-0；则点M 到直线3460x y +-=距离的最小值为()3,0-12=.故答案为：()()22314x y x ++=≠-；214．已知奇函数()()2221x x a a f x x R ⋅+-=∈+，则函数()f x 的值域为__________.【答案】()1,1-【解析】Q 奇函数()f x 的定义域为R ，∴()()f x f x -=-，∴()()00f f -=-，即()00f =．∴2202a -=，解得1a =此时21()21x x f x -=+， 212()12121x x xf x -==-++ Q 211x +>，∴20221x <<+即()f x 的值域为(1,1)-故答案为：(1,1)-. 15．已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且0BA BC ⋅=u u u r u u u r ，若点M 的坐标为()3,0，则MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r 的最大值为________. 【答案】10【解析】根据题意，0BA BC ⋅=u u u r u u u r，所以AC 为圆的直径，设AC 的中点即圆心为O ，()0,0O ，则226MA MB MC MO MB MO MB MB ++=+≤+=+u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，当且仅当MO u u u u r 和MB u u u r 同向时取等号， 且当B 取()1,0-时，MB u u u r 取最大值，此时4MB =u u u r ，所以6410MA MB MC ++≤+=u u u r u u u r u u u u r，即MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r的最大值为10.故答案为：10三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知在等比数列{an}中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且{12n n b a +}为等差数列． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）求数列{bn}的前n 项和 【答案】（1）1232;2,122n n n n a b n n --==-⋯（＝，，）；（2）213312442n n T n n -=+-+. 【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q ．由等比数列的性质得a4a5＝27a a ＝128，又2a ＝2，所以7a ＝64．所以公比2q ===．所以数列{an}的通项公式为an ＝a2qn －2＝2×2n －2＝2n －1． 设等差数列{12n n b a +}的公差为d ． 由题意得，公差221111113221122222d b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+⨯-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以等差数列{12n n b a +}的通项公式为()()11113331122222n n b a b a n d n n ⎛⎫+=++-=+-⋅= ⎪⎝⎭．所以数列{bn}的通项公式为12313132222222n n n n b n a n n --=-=-⋅=-（n ＝1，2，…）． （2）设数列{bn}的前n 项和为Tn ．由（1）知，2322n n b n -=-（n ＝1，2，…）．记数列{32n }的前n 项和为A ，数列{2n －2}的前n 项和为B ，则()33322124n n A n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+，()1112122122nn B --==--． 所以数列{bn}的前n 项和为()1213133112242442n n n T A B n n n n --=-=+-+=+-+． 17．（本小题14分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13；（Ⅲ）2． 【解析】（Ⅰ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ，D 为C A 的中点，所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以C PO ⊥A ．因为D O PO =O I ，所以C A ⊥平面D P O ．（Ⅱ）因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1． 又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为12112⨯⨯=．又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =，故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133⨯⨯=．（Ⅲ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =o ，所以PB ==．同理C P =C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C B 'P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．又因为OP =OB ，C C 'P ='B ，所以C O '垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而222C C O '=OE +E '=+=，亦即C E +OE 的最小值为2．18．（本小题14分）黄冈市有很多名优土特产，黄冈市的蕲春县就有闻名于世的“蕲春四宝”（蕲竹，蕲艾，蕲蛇，蕲龟），很多人慕名而来旅游，通过随机询问60名不同性别的游客在购买“蕲春四宝”时是否在来蕲春县之前就知道“蕲春四宝”，得到如下列联表：（1）写出列联表中各字母代表的数字；（2）由以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为购买“蕲春四宝”和是否事先知道“蕲春四宝”有关系？（3）从被询问的q 名事先知道“蕲春四宝”的顾客中随机选取2名顾客，求抽到的女顾客人数ξ的分布列及其数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】（1）32m =，16n =，20p =，24q =，60t =.（2）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为购买“蕲春四宝”和事先知道“蕲春四宝”有关系.（3）见解析，9269【解析】（1）由列联表能求出32m =，16n =，20p =，24q =，60t =.（2）由计算可得2260(843216)2010.82840202436K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为购买“蕲春四宝”和事先知道“蕲春四宝”有关系. （3）ξ的可能取值为0，1，2.224287(0)69C P C ξ===；1181624232(1)69C C P C ξ===；1622243010(2)6923C P C ξ====，∴ξ的分布列为：∴ξ的数学期望()01269692369E ξ=⨯+⨯+⨯=. 19．（本小题15分） 已知幂函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >.（1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2m =，()4f x x -=； （2）111(,)(,3)322-U .【解析】（1）由题意，函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >，所以在区间(0,)+∞为单调递减函数，所以240m m -<，解得04m <<，又由m Z ∈，且函数()24-=m mf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，所以24m m -为偶数，所以2m =，所以()4f x x -=.（2）因为函数()4f x x -=图象关于y 轴对称，且在区间(0,)+∞为单调递减函数，所以不等式()()212+<-f a f a ，等价于122a a -<+且120,20a a -≠+≠，解得1132a -<<或132a <<， 所以实数a 的取值范围是111(,)(,3)322-U . 20．（本小题14分）已知点F 是椭圆2221(0)1x y a a+=>+的右焦点，点(,0)M m ，(0,)N n 分别是x 轴，y 轴上的动点，且满足0MN NF ⋅=u u u u v u u u v .若点P 满足2OM ON PO =+u u u u v u u u v u u u v（O 为坐标原点）． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x a =-分别交于点S ，T ，试判断以线段ST 为直径的圆是否经过点F ？请说明理由． 【答案】（1）24y ax =（2）经过【解析】（Ⅰ）∵椭圆2221(0)1x y a a +=>+右焦点F 的坐标为(),0a ，∴(),NF a n =-u u u v .∵(),MN m n =-u u u u v ， ∴由0MN NF ⋅=u u u u v u u u v ，得20n am +=.设点P 的坐标为(),x y ，由2OM ON PO =+u u u u v u u u v u u u v，有()()(),020,,m n x y =+--，2m xy n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，代入20n am +=，得24y ax =.即点P 的轨迹C 的方程为24y ax =.（Ⅱ）解法一：设直线AB 的方程为x ty a =+，211,4y A y a ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y a ⎛⎫⎪⎝⎭， 则OA l ：14a y x y =，OB l ：24a y x y =.由14a y x y x a⎧=⎪⎨⎪=-⎩得214,a S a y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，同理得224,a T a y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.∴2142,a FS a y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u v ，2242,a FT a y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u v ，则4212164a FS FT a y y ⋅=+u u u v u u u v . 由24x ty a y ax=+⎧⎨=⎩得22440y aty a --=，∴2124y y a =-.则()422221644404a FS FT a a a a ⋅=+=-=-u u u v u u u v . 因此，以线段ST 为直径的圆经过点F .解法二：①当AB x ⊥时，(),2A a a ，(),2B a a -，则OA l ：2y x =，OB l ：2y x =-.由2y xx a =⎧⎨=-⎩，得点S 的坐标为(),2S a a --，则()2,2FS a a =--u u u v ， 由2y xx a =-⎧⎨=-⎩，得点T 的坐标为(),2T a a -，则()2,2FT a a =-u u u v .∴()()()22220FS FT a a a a ⋅=-⨯-+-⨯=u u u v u u u v.②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()()0y k x a k =-≠，211,4y A y a ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y a ⎛⎫⎪⎝⎭， 同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+u u u v u u u v .由()24y k x a y ax ⎧=-⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，∴2124y y a =-. 则()422221644404a FS FT a a a a⋅=+=-=-u u u v u u u v .因此，以线段ST 为直径的圆经过点F . 21．（本小题14分）若函数()y f x =对定义城内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使得()()120f x f x +=成立，则称该函数为“Y 函数”.(1)判断函数()sin f x x =是否为“Y 函数”，并说明理由；(2)若函数()2log g x x =在定义域[],m n 上为“Y 函数”，求2m n +的取值范围；(3)已知函数()()22214h x x b x b =-++-在定义域[]1,2-上为“Y 函数”.若存在实数[]1,2x ∈-，使得对任意的t R ∈，不等式()()254h x t p t x ≥-+--+都成立，求实数p 的取值范围.【答案】（1）不是，理由见解析；（2）23m n +>；（3）134p ≥或12p ≤-. 【解析】(1)()sin f x x =不是为“Y 函数”.若16x π=，当26x π=-或276x π=时，满足()()120f x f x +=， 此时2x 不唯一，所以()sin f x x =不是为“Y 函数”.(2)因为函数()2log g x x =在[],m n 为増函数，且在[],m n 上为“Y 函数”，所以()()0g m g n +=，即1mn =.又因为0m n <<，所以01m <<.所以22m n m m +=+.令()2F m m m =+，则()222221m F m m m-'=-=，因为01m <<，所以()0F m '<，所以()F m 在()0,1上单调递减，所以()()13F m F >=，即23m n +>. (3)若()h x 图像对称轴()211,22b x +=∈-，设()12,1,2x x ∈-，且1x ，2x 关于212b x +=对称， 此时，()()12h x h x =，由条件可知，存在3x ，使()()()()132300h x h x h x h x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，这与“Y 函数”定义矛盾.所以()h x 在[]1,2-上单调，且()()120h h -+=，由()()120h h -+=，得220b b --=，解得2b =或1b =-.检验：()h x 在[]1,2-上单调，所以2b =.不等式即()22554x x t p t x -≥-+--+， 整理得2240t xt x px ++--≥，由题意知，上式对任意t R ∈恒成立.得()22440x x px ---≤，整理得234160x px --≥，由题意知，存在[]1,2x ∈-使得上式成立，所以34160p +-≥或128160p --≥.解得134p ≥或12p ≤-.。