8.4三元一次方程组解法
解 一元一次方。程
例1 解三元一次方程组
｛3x＋4z=7 ① 2x＋3y＋z=9 ② 5x－9y＋7z=8 ③ 解：②×3＋③ ，得 11x＋10z=35 ④
①与④组成方程组
分含②个与析③只方x你法并进,z：消含程,还与行吗因方去 ①x有 这 比？，此程组y其 种 较试，z，①成的.它 解一得可中一方解 法试到以只个程，一由， 二元一次方程组
｛a－b＋c= 0
①
4a＋2b＋c=3 ②
25a＋5b＋c=60 ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
｛
a＋b=1 4a＋b=10
｛ 把
a=3 b=-2
代入①，得
C=-5
｛ 因此
a=3 b=-2
c=-5
答：a=3, b=-2, c=-5.
解这个方程组，得｛ab==3-2
x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y.
对于这个问题的角必须同时满足 上面三个条件，因此，我们把三 个方程合在一起写成
x y z 12,
x
2
y
5z
22,
x 4 y.
这个方程组中含有 三 个未知数，每个
方程中含未知数的项的次数是 1 。
由此，我们得出三元一次 方程组的定义：
前面我们学习了二元一次方程组及 其解法——消元法。对于有两个未知数 的问题，可以列出二元一次方程组来解 决。实际上，在我们的学习和生活中会 遇到不少含有更多未知数的问题。
纸币问题
小明手头有12张面额分别是1元、2元、 5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的 数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、 5元的纸币各多少张？
解得
y 2, z 2.
5y z 12, ④ 6y 5z 22. ⑤
把y=2代入③，得x=8.
x 8,
∴
y
2,
是原方程组的解.
z 2.
总结：
解三元一次方程组的基本思路是：
消元
通过“代入”或“加减”进行
，
“三元” “二元” 把
转化为
，使解三元一次方
二元一次方程组 程组转化为解
，进而再转化为
2z x 47.
x y z 6.
【方法归纳】
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型一：有表达式，用 代入法 .
类型二：缺某元， 消某元 . 类型三：相同未知数系数相同或相反， 加减消元法
练习巩固
1．解下列三元一次方程组 .
x 2 y 9, 3x y z 4,
(1)
y
z
3,
(2) 2x 3 y z 12,
｛3x＋4z=7
11x＋10z=35 解这个方程组，得
｛XZ==-52
1
把x＝5，z＝-2代入②，得y= 3
因此，三元一次方程组的解为
｛X=51 YZ==-23
例2 在等式 y=a x2 ＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,
Y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值
解：根据题意，得三元一次方程组
含有三个不相同的未知数， 且每个方程中含未知数的项的次 数都是1，并且一共有三个方程， 像这样的方程组叫做三元一次方 程组．
下面我们讨论:如何解三元一
次方程组？
观察方程组：
x y z 12, ①
x
2
y
5z
22,
②
x 4 y.
③
消元
消元
三元一次方程组
二元一次方程组ຫໍສະໝຸດ 一元一次方程解法：消x 由③代入①②得
提出问题：1．题目中有几个条件？ 2．问题中有几个未知量？ 3．根据等量关系你能列出方程组吗？
（三个量关系）每张面值 × 张数 = 钱数
1元
x
x
2元
y
2y
5元
z
5z
合计
12
22
注 1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍， 即x=4y
分析：在这个题目中，要我们 求的有三个未知数，我们自然 会想到设1元、2元、5元的纸 币分别是x张、y张、 z张，根 据题意可以得到下列三个方程:
8.4三元一次方程组的解法教案 2021—2022学年人教版数学七年级下册
《8.4三元一次方程组的解法》教学设计一、教学目标（一）知识技能：了解三元一次方程组及其解法，进一步体会消元思想，能根据三元一次方程组的具体形式，选择适当的解法.（二）数学思考：在运用三元一次方程组解决实际问题的过程中，进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意识，感受方程对解决实际问题的作用.（三）问题解决：能根据具体问题列出三元一次方程组，并顺利运用三元一次方程组解决实际问题，能够对三元一次方程组的解法进行归纳和总结.（四）情感态度：渗透方程思想，培养学生的方程意识，在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣，在探索解决问题的过程中，敢于发表自己的见解.二、教学重点让学生经历和体验，把实际问题转化成三元一次方程组的过程，用三元一次方程组解决实际问题，进一步体会消元的基本思想.三、教学难点针对方程组的特点，灵活使用代入法，加减法等重要方法四、教法与学法分析教法：情境教学法、比较教学法，讲练结合法学法：比较，小组合作，自主探究的学习方式.五、教学过程（一）情境引入创设情境，引入课题.问题：2022年，北京成功举办了第24届冬季奥运会，中国健儿顽强拼搏，奋勇争先，取得了非常亮眼的“中国成绩”，中国共获得15奖牌，其中银牌数量是铜牌数量的2倍，银牌数量的2倍与铜牌数量的和比金牌的数量还多了1枚，你知道中国获得金牌、银牌、铜牌的数量各是多少吗？师：冬奥会上，中国运动健儿取得了亮眼的成绩，那么中国分别获得多少枚金牌、银牌、铜牌呢？（1）题目中有几个未知量？师：可以设3个未知数吗？（2）题目中有哪些等量关系？师：这个问题能用一元一次方程，二元一次方程解决吗？（3）如何用方程表示这些等量关系？解：设中国获得金牌、银牌、铜牌分别为x枚、y枚和z枚．可列出方程_______________________________________________________师：对于所列出来的三个方程，前面两个你觉的是二元一次方程吗？那这两个方程有什么相同点吗？你能给它们命一个名称吗？从而揭示课题.（二）探究新知1、概念思辩，认识三元一次方程组师：观察这个方程组有什么特点？（学生思考后回答）①含有三个未知数②含未知数的项的次数都是1③一共有三个整式方程归纳总结：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1， 并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．师：组成三元一次方程组的某个方程一定是三元一次方程吗？（学生通过观察已经列出的方程组，交流讨论，得出结论）注意：组成三元一次方程组的某个方程，可以是一元一次方程或二元一次方程或三元一次方程.只要保证方程组一共有三个未知数即可.师：你认识三元一次方程组了吗？即学即练：下列方程组是三元一次方程组的是( )（设计意图：通过观察列出的的3个方程，寻找共同特点，在已经学过二元一次方程的概念的基础上，引导学生类比给出三元一次方程和三元一次方程组的概念.即学即练着重引导学生正确辨析概念，加深对概念的理解.）2、类比迁移，探究三元一次方程组解法师：二元一次方程组是如何来解的？（学生独立思考，回答问题）师:那么能否用同样的思路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个或两个未知数，把它转化成二元一次方程组或一元一次方程来解呢？（学生独立分析、思考，回答思路）仿照前面学过的代入法，可以把③分别带入①②，得到两个只含x ，z 的方程：得到二元一次方程组之后，就不难求出x 和z ，进而可求出y .师：解三元一次方程组的基本思路是什么？（先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下进行小组讨论.在此基础上，由学生代表回答教师适时的引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点）归纳总结： 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.）（设计意图：结合情境问题中列出的方程组，类比前面所学二元一次方程组的解法，得到解三元一次方程组的整体思路——消元，并找到相应的消元方法——代入法，让学生充分理解解三元一次方程组的思想与方法.）3、典例精析，解三元一次方程组例1 解三元一次方程组 三元一次方程组组二元一次方程组一元一次方程消元 消元⎪⎩⎪⎨⎧8795932743=+-=++=+z y x z y x z x ③②①师：对于这个方程组，消哪个元比较方便？为什么？（学生小组讨论，代表发言）方程①只含 x 、z ，因此，可以由②③消去 y ，得到的方程可与①组成一个二元一次方程组.教师板书加减法消元的求解过程，强调解题的格式. 师：你能总结一下解三元一次方程组的一般步骤吗？（学生交流讨论，代表发言，教师加以规范） 归纳总结：解三元一次方程组的一般步骤：（1）消元：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；（2）求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；（3）回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；（4）求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值；（5）写解：将求得的三个未知数的值用“{”写在一起.(设计意图：一是引导学生发现这一类方程组的一般解法：例1方程组的特点是方程①中不含y ，②③中y 的系数为整数倍数关系，因此用加减法从②③中消去y 后，再与①组成二元一次方程组最为合理，简言之，可以总结为“缺谁消谁”；二是通过例题的示范作用，归纳解三元一次方程组的一般步骤，培养学生举一反三的数学品质)例2 在等式c bx ax y ++=2中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a ，b ，c 的值. 师：分析已知条件，你能得到什么？把c b a ,,看作三个未知数，分别把已知的y x ,值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-605253240c b a c b a c b a教师带领学生列出方程组，分析如何学生独立完成解方程组，学生板演.师：（1）可以消去a 吗？如何操作？（2）可以消去b 吗？如何操作？教师选择几名消“元”不同的同学的过程给大家展示.归纳总结：解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将“三元”化为“二元”.4.巩固练习，深化解方程组的方法与技巧即学即练：解下列三元一次方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=-472392x z z y y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-6123243z y x z y x z y x（设计意图：通过练习，可以使同学们进一步体会消元的思想，通过观察方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，确定先消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将“三元”化为“二元”，从而降低运算的难度，提高准确性）（三）课堂小结本节课你有收获吗？能和大家说说你的感想吗？（四）随堂检测1.对于方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=--=++=+22362532z y x z y x y x ， 此二元一次方程组的最优的解法是先消去（ ）转化为二元一次方程组.A.xB.yC.zD.都一样2.若x ＋2y ＋3z ＝10，4x ＋3y ＋2z ＝15，则x ＋y ＋z 的值为（ ）A.2B.3C.4D.53.甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的31等于丙数的21，求这三个数. (设计意图：通过进一步的练习，达到检测学生掌握情况的目的.针对三元一次方程组的解法进一步加强练习.不仅可以开阔学生的思维，培养学生的兴趣，而且通过类比，让学生在解题时归纳题目的特点，找到最基本解题方法，更有助于学生探索方法，掌握解题技巧.)（五）作业布置必做题：课本作业题2、3、4选做题：请同学们发挥想象，编辑一道与我们生活息息相关的应用题，其中x,y,z 满足下列条件：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+201610z y z x y x ，并解答出来.。
人教版七年数学下册8.4三元一次方程组解法举例教案
一、教学内容
人教版七年数学下册8.4节主要围绕三元一次方程组的解法进行举例教学。本节课内容涵盖了以下三个方面：
1.通过实际问题的引入，让学生理解三元一次方程组的实际意义，如行程问题、价格问题等。
2.介绍三元一次方程组的解法，包括代入法、加减法和高斯消元法，并分析各种方法的优缺点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三元一次方程组的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对各种解法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识，通过三元一次方程组解法的学习，让学生在探讨、分析、解决问题的过程中，形成严密的逻辑思维，学会与他人合作交流。
3.培养学生的创新意识，鼓励学生在掌握基本解法的基础上，尝试探索新的解题思路，提高解题效率，从而培养创新精神和实践能力。
这些核心素养目标将贯穿于整个教学过程，旨在帮助学生全面提升数学学科素养。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三元一次方程组的基本概念。三元一次方程组是由三个一次方程构成的，它们共同拥有三个未知数。它在解决实际问题中起着重要作用，能够帮助我们找到多个未知数的具体数值。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何将实际问题转化为三元一次方程组，并通过解方程组找到答案。
3.通过具体例题，让学生掌握如何运用以上三种方法求解三元一次方程组，并能够熟练运用到实际问题中。
【人教版】七年级数学下册：专题8.4 三元一次方程组的解法(解析版)
1．（2021春•青龙县期末）三元一次方程组116x yy zx z的解是()A．234xyzB．243xyzC．324xyzD．432xyz【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：116x yy zx z①②③，② ③得：7x y④，① ④得：28x ，即4x ，把4x 代入①得：3y ，把4x 代入③得：2z ，则方程组的解为432xyz，故选：D．2．（2021春•龙山县期末）方程组347293372x zx y zx y z的解是()A ．512x y zB ．512x y zC ．512x y zD ．403x y z【分析】②3 ③得出91025x z ④，由①和④组成一个二元一次方程组，求出方程组的解，再把52x z代入②求出y即可．【解答】解：347293372x z x y z x y z①②③，②3 ③，得91025x z ④，由①和④组成一个二元一次方程组：34791025x z x z，解得：52x z，把52x z代入②，得1029y ，解得：1y，所以方程组的解是512x y z，故选：B ．3．（2021春•长寿区期末）若实数x ，y，z 满足41233x y z x y z，则6(x y z )A ．3B ．0C ．3D ．不能确定值【分析】把z 看做已知数表示出方程组的解，代入原式计算即可求出值．【解答】解：14233x y z x y z①②，① ②得：2yz ，把2yz 代入①得：214x z z ，解得：15x z ，把15x z ，2yz 代入得：615263x y z z z z ．故选：A ．4．（2021春•饶平县校级期末）观察方程组543122511726x y z x y z x z的系数特征，若要使求解简便，消元的方法应选取()A ．先消去xB ．先消去yC ．先消去zD ．以上说法都不对【分析】经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x 、z 的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可．【解答】解：方程① ②2 可直接消去未知数y，即可得到一个关于x 、z 的二元一次方程组， 要使运算简便，消元的方法应选取先消去y ，故选：B ．5．（2021春•江都区校级期中）若233a b c ，5675a b c ，则68a b c 的值是()A ．2B ．2C ．0D ．1【分析】先把方程233a b c 的左右两边同乘以3得到3699a b c ，然后再同方程5675a b c 相减即可得到答案．【解答】解：233a b c ，3699a b c ①，又5675a b c ②，② ①得：212164a b c ．682a b c ，故选：A ．6．（2021春•西湖区校级期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密），已知加密规则为：明文a ，b ，c ，对应密文1a ，24a b ，39b c ，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为()A ．6，2，7B ．2，6，7C ．6，7，2D ．7，2，6【分析】根据“加密规则为：明文a ，b ，c ，对应密文1a ，24a b ，39b c ”，即可得出关于a ，b，c 的三元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：依题意得：1724123922a a b b c，解得：672a b c．故选：C ．7．（2020秋•光明区期末）解三元一次方程组3,21,0,x y z x y z x y①②③要使解法较为简便，首先应进行的变形为()A ．① ②B ．① ②C ．① ③D ．② ③【分析】观察发现：第三个方程不含z ，故前两个方程相加消去z ，可将三元一次方程组转化为二元一次方程组来求解．【解答】解：解三元一次方程组3210x y z x y z x y①②③要使解法较为简便，首先应进行的变形为① ②．故选：A ．8．（2021春•嘉祥县期末）有甲、乙、丙三种文具，若购买甲1件，乙2件比购买丙1件，多花9元；若购甲2件，丙8件比购买乙1件多花18元．现在购买甲、乙、丙各一件文具，则共需费用()A ．7元B ．8元C ．9元D ．10元【分析】设甲文具的单价为x 元，乙文具的单价为y 元，丙文具的单价为z 元，根据“若购买甲1件，乙2件比购买丙1件，多花9元；若购甲2件，丙8件比购买乙1件多花18元”，即可得出关于x ，y，z 的三元一次方程组，利用(3 ① ②)5 ，即可求出购买甲、乙、丙各一件文具所需的费用．【解答】解：设甲文具的单价为x 元，乙文具的单价为y元，丙文具的单价为z 元，依题意，得：292818x y z x z y ①②，(3 ① ②)5 ，得：9x y z ．故选：C ．9．（2021春•裕华区校级期末）一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客居住，某旅行团24人准备同时租用这三种客房共8间，且每个客房都住满，那么租房方案有()A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种【分析】首先设宾馆有客房：二人间x 间、三人间y间、四人间z 间，根据题意可得方程组，解方程组可得28yz ，又由x ，y，z 是非负整数，即可求得答案．【解答】解：设宾馆有客房：二人间x 间、三人间y间、四人间z 间，根据题意得：234248x y z x y z，解得：28y z ，82yz ，x ，y，z 是正整数，当1z 时，6y ，1x ；当2z 时，4y ，2x ；当3z 时，2y ，3x ；当4z 时，0y，4x ；（不符合题意，舍去）租房方案有3种．故选：B ．10．（2021春•广安区校级期末）已知4520(0)430x y z xyz x y z，则::x y z的值为()A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2:1:3D ．不能确定【分析】把原方程组看作为关于x 、y的二元一次方程组，先利用加减消元法解得23yz，再利用代入消元法解得13x z，然后计算::x y z．【解答】解：4520430x y z x y z①②，① ②4 得5162120y y z z ，解得23yz，把23y z代入②得8303x zz，解得13x z，所以12::::1:2:333x y z z z z．故选：A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．已知方程组567x y y z z x，则x y z9．【分析】三个方程左、右两边相加求出222x y z ，两边都除以2即可得到答案．【解答】解：567x y y z z x①②③，① ② ③得：22218x y z ，9x y z ．故答案为：9．12．已知212222x y y z x z，则x y z 的值是53．【分析】方程组三个方程相加即可求出x y z 的值．【解答】解：212222x y y z x z①②③，① ② ③得：3335x y z ，解得：53x y z ．故答案为：53．13．判断5,10,15x y z 是否是三元一次方程组0,215,240x y z x y z x y z的解：是．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可判断．【解答】解：0215240x y z x y z x y z①②③② ①得：215x y ④③ ①得：2340x y ⑤，④2 ⑤得：10y，把10y代入④得：5x ，把5x ，10y代入①得：15z ，则方程组的解为51015x y z，故答案为：是．14．（2020春•津南区校级月考）三元一次方程组102040x y y z z x的解是15525x y z．【分析】将方程组三方程相加求出x y z 的值，即可确定出解．【解答】解：102040x y y z z x①②③，① ② ③得：2()70x y z ，即35x y z ④，把①、②、③分别代入④得：25z ，15x ，5y，则方程组的解为15525x y z，故答案为：15525x y z．15．（2020春•临颍县期末）在等式2yax bx c 中，当1x 时，0y ；当2x 时，3y ；当5x 时，60y．则a b c4 ．【分析】把x 与y的值代入已知等式得到方程组，求出方程组的解得到a ，b ，c 的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：把1x ，0y；2x ，3y；5x ，60y代入得：042325560a b c a b c a b c，解得：325a b c，则3254a b c ．故答案为：4 ．16．（2020春•惠安县期末）某顾客到商场购买甲、乙、丙三种款式服装．若购买甲4件，乙7件，丙1件共需450元；若购买甲5件，乙9件，丙1件共需520元，则该顾客购买甲、乙、丙各一件共需240元．【分析】等量关系为：甲4件的总价 乙7件的总价 丙1件的总价450 ，甲5件的总价 乙9件的总价 丙1件的总价520 ，把相关数值代入，都整理为等式左边为x y z 的等式，设法消去等号右边含未知数的项，可得甲、乙、丙各1件共需的费用．【解答】解：设购买甲、乙、丙各1件分别需要x ，y，z 元，依题意得，4745059520x y z x y z①②，由①4 ②3 得，240x y z ，即现在购买甲、乙、丙各1件，共需240元．故答案为：240．17．（2021春•奉化区校级期末）为防控新冠疫情，做好个人防护，小君去药店购买口罩．若买6个平面口罩和4个95K N 口罩，则她所带的钱还剩下10元；若买4个平面口罩和6个95K N 口罩，则她所带的钱还缺8元．若只买10个95K N 口罩，则她所带的钱还缺44元．【分析】设平面口罩的单价为x 元，95K N 口罩的单价为y元，小君带的钱数为a 元，根据“若买6个平面口罩和4个95K N 口罩，则她所带的钱还剩下10元；若买4个平面口罩和6个95K N 口罩，则她所带的钱还缺8元”，即可得出关于x ，y ，a 的三元一次方程组，利用(6 ②4 ①)2 可得出1044y a ，移项后即可得出结论．【解答】解：设平面口罩的单价为x 元，95K N 口罩的单价为y元，小君带的钱数为a 元，依题意，得：6410468x y a x y a①②，(6 ②4①)2 ，得：1044y a ，1044y a ．故答案为：44．18．（2020春•遂宁期末）若x 、y、z 满足2421x y z x y z，则x y 的值为3．【分析】方程组利用加减消元法求出x y 的值即可．【解答】解：2421x y z x y z①②，①2 ②得：339x y ，则3x y．故答案为：3．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•崇川区校级期中）解下列方程组：（1）32316x y x y；（2）234229x y z x y z．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）利用设k 法求出方程组的解即可．【解答】解：（1）32316x y x y②②，①3 ②得：525x ，解得：5x ，把5x 代入①得：2y，则方程组的解为52x y ；（2）234229x y zx y z ①②，由①设234xyzk，可得2x k ，3yk ，4z k ，代入②得：4389k k k ，解得：1k ，即2x ，3y，4z ，则方程组的解为234x y z．20．（1）解方程组：15(2)312226x y x y（2）解三元一次方程组：042325560x y z x y z x y z【分析】（1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．（2）先由② ①，③ ②，得到关于x 和y的二元一次方程组，求得x 和y的值，并代入①式，求得z 的值即可．【解答】解：（1）方程组整理得：59316x y x y①②，①3 ②得：1442y ，即3y，把3y代入①得：6x ，则方程组的解为63x y．042325560x y z x y z x y z①②③② ①得，1x y④③ ②得，719x y⑤，⑤ ④，得，618x解得3x 把3x 代入④，得31y，解得2y把3x ，2y代入①，得320z 解得5z 所以原方程组的解为325x y z．21．（2020春•海安市期末）在等式2yax bx c 中，当0x 时，5y ；当2x 时，3y ；当2x 时，11y．（1）求a ，b ，c 的值；（2）小苏发现：当1x 或53x时，y的值相等．请分析“小苏发现”是否正确？【分析】（1）由“当0x 时，5y ；当2x 时，3y ；当2x 时，11y ”即可得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）把1x ，53x分别代入等式求得y的值，即可判断．【解答】解：（1）根据题意，得54234211c a b c a b c①②③，② ③，得48b ，解得2b ；把2b ，5c 代入②得4453a ，解得3a ，因此325a b c；（2）“小苏发现”是正确的，由（1）可知等式为2325yx x ，当1x 时，3250y；当53x时，25105033y，所以当1x 或53x时，y的值相等．22．（2021春•漳平市月考）已知2yax bx c ，当1x 时，0y ；当2x 时，5y ；当3x 时，0y ，求a ，b ，c 的值．【分析】把x 与y的值代入2yax bx c 得到方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：由题意，得0425930a b c a b c a b c①②③，② ①得：35a b ④，③ ①得：840a b ，即20a b ⑤，④ ⑤得：55a ，解得：1a ，把1a 代入④得：35b ，解得：2b ，把1a ，2b 代入①得：120c ，解得：3c ，则方程组的解123a b c．23．（2021•安徽模拟）某超市在促销活动中准备了三种小礼品共16件，16件礼品的总价为50元，三种小礼品的单价分别为2元/件、4元/件和10元/件，每种小礼品至少准备1件．已知价格为2元的小礼品a 件．（1）请用含a 的代数式分别表示准备的另外两种小礼品的件数；（2）如果准备单价为2元的小礼品的数量正好是单价为4元的小礼品的2倍，分别求出准备的三种单价小礼品的件数．【分析】（1）根据所买数量之和为16，总价钱为50列出方程组，把m 当成已知数，求得另外两种食品的件数即可；（2）根据单价为2元的小礼品的数量正好是单价为4元的小礼品的2倍，列方程求解即可．【解答】解：（1）设价格为4元的小礼品b 件，价格为10元的小礼品c 件，由题意得：16241050a b c a b c．解得：5543ab，73ac，答：价格为4元的小礼品5543a件，价格为10元的小礼品73a件；（2）由题意得：55423aa ，解得：10a ，则55453ab，713ac，答：价格为2元的小礼品10件，价格为4元的小礼，5件，价格为10元的小礼品1件．24．（2021春•西乡塘区期末）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．（1）解方程组 231x x y x y①②解：（1）把②代入①得：213x 把1x 代入②得：y所以方程组的解为1x y（2）已知353097510x y z x y z①②，求x y z 的值．解：（2）① ②得：10101040x y z ③③4 得4x y z [类比迁移]（1）直接写出方程组3()422a b aa b 的解．（2）若658234x y z x y z，求x y z 的值．[实际应用]打折前，买36件A 商品，12件B 商品用了960元．打折后，买45件A 商品，15件B 商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？【分析】（1）把②代入①中即可求出答案；（2）用① ②即可得出答案；[实际应用]设打折前A 商品每件x 元，B 商品每件y元，由题意可得关于x ，y 的二元一次方程，变形可得45151200x y ，用原价减现价即可得少花钱数．【解答】解：（1） 3422a b a a b①②，把②代入①中，得：3242a ，解得：5a ，把5a 代入②中，得3b ， 方程组的解为53a b ．（2）658234x y z x y z①②，① ②得：4444x y z ，1x y z ．[实际应用]设打折前A 商品每件x 元，B 商品每件y元，根据题意得：3612960x y ，两边同时乘以54，得：45151200x y ，12001100100 （元)，答：比不打折少花了100元．。
8.4 三元一次方程组的解法(课件)七年级数学下册(人教版)
所以x=9，y=12，z=15.
=2
因此，这个方程组的解为 = 4
= 10
=9
因此，这个方程组的解为 = 12
= 15
考点解析
重点
例5.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=1；当x=2时，y=22；当x=3和x=5时，
y的值相等.求a，b，c的值.
(2)在(1)的情况下，运费最少是_____元.
解：(1)设甲型车有x辆，乙型车有y辆，
丙型车有z辆.
+ + = 16
根据题意，得
5 + 8 + 10 = 120
5
消去z，得5x+2y=40.所以x=8- y.
2
考点解析
重点
(1)为了节约运费，可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，每辆车均满载，
8 + = 0
③与④组成方程组
+ =7
= −1
解这个方程组，得
=8
把a=-1，b=8代入①，得-1-8+c=1，解得c=10.
所以a，b，c的值分别为-1，8，10.
迁移应用
1.已知 − +
1
2
− +(x+2)2=20，则x+y+z=_____.
-5
2.已知单项式-8a3x+y+zb12cx+y+z与-2a42b2x-yc4x是同类项，求x，y，z的值.
自学导航
小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10
元纸币的数量是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张.
七年级数学下册(人教版)8.4三元一次方程组的解法优秀教学案例
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的问题为背景，创设情境，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。例如，设计一道与购物、旅游等生活场景相关的问题，让学生在解决问题的过程中自然地引入三元一次方程组。
2.故事情境：通过讲述一个有趣的故事，引发学生的兴趣，使他们能够主动参与到学习中。例如，讲述一个侦探破案的故事，引导学生思考并解决问题，从而引入三元一次方程组的概念和解法。
2.鼓励学生互相倾听和尊重对方的意见，培养他们的团队合作能力。例如，在小组活动中，可以设置一个环节，让每个小组成员分享自己的解题思路和方法，并进行讨论和评价。
（四）总结归纳
1.对本节课的主要内容和知识点进行总结归纳，让学生能够梳理和巩固所学知识。例如，总结三元一次方程组的定义、解法和解的情况的判断方法等。
在教学过程中，我注重引导学生运用已知知识解决未知问题，培养他们的逻辑思维能力和创新意识。同时，我通过设计丰富的教学活动，激发学生的学习兴趣，使他们能积极主动地参与课堂讨论，提高课堂效果。此外，我还注重对学生的个性化指导，针对不同学生的学习情况，给予他们有针对性的帮助，使他们在课堂上都能有所收获。
二、教学目标
3.小组合作：本节课通过组织学生进行小组合作学习，促进了学生之间的交流和合作。例如，设计一个小组活动，让学生分组讨论并解决一个复杂的三元一次方程组问题。在合作过程中，学生能够互相倾听和尊重对方的意见，培养他们的团队合作能力。小组合作的方式不仅能够提高学生的学习效果，还能够培养他们的沟通能力、协作能力和团队意识。
2.通过提问引导学生思考问题的本质，引发学生的思考和探究。例如，提出一个问题：“如果有一个房间，里面有三个开关，对应着另一个房间里的三盏灯，你如何通过只进房间一次，找出哪盏灯对应哪个开关？”让学生思考并解决这个问题。
最新8.4三元一次方程组的解法PPT课件课件ppt
7 x y 5 z 1.
便，消元的方法应选取( )
(A)先消去x； (B)先消去y； (C)先消去z； (D)
x y 1,
2
x
z
0,
的解是(
).
y z 1 .
x 1,
(A)
y
1,
z 0 ;
x 1,
(B)
y
0,
z 1 .
x 0,
(C)
y
1,
z 1 .
④-①得：z=18
④-②得：x=12 ④-③得：y=15
x 12
∴
y
15
z 28
你能说出 解这个方 程组的思 路吗？
例2 解方程组
x : y 3 : 2,
y
:
z
5
:
4,
x y z 66
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代
入法”或“加减法”进行消元，把“三元”化为 “二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一 次方程组，进而再转化为解一元一次方程
14.12.2020
15
什么是住宅？
住宅是固定地占用一定土地和空 间资料，具有综合消费功能，可供个 人和家庭居住，为劳动力和人口再生 产提供物质空间的建筑物。
14.12.2020
16
一． 住宅的卫生学意义和要求 二． 住宅设计的卫生要求 三． 住宅小气候对健康的影响及其卫生要求
14.12.2020
1
.
4
x
6
y
7
z
2,
3 x 5 y 2 z 4 ;
x y 20 ,
2
.
y
z
19
,
x z 21 .
例1 解方程组：
8.4三元一次方程组解法举例
④ ⑤
④与⑤组成二元一次方程组 a＋b=1 4a＋b=10 a=3 解这个方程组，得 b=-2
a=3 b=-2 c=-5
答：a=3, b=-2, c=-5.
甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数 的三分之一等于丙数的二分一．求这三个数． 解：设甲乙丙三数分别为x、y、z，根据题意得： x+y+z=35 ① 2x-y=5
解下列三元一次方程组
x : y 2 : 3 x : z 2 : 5 x y z 100
x : y : z 1: 2 : 7 x y z 100
例6 解三元一次方程组
解： ①+②+③，得 x＋y+z=6 ④ ④-①，得 z=3 ④-②，得 x=1 ④-③，得 y=2
④ 方程组的解为 x=22 31 y= z=
解：②×2＋③ ，得 x＋2y=53
①+④得
x=22
31 y= 2 25 z= 2
把x=22代入①得
把x=22代入③得
2 25 2
2 x 4 y 3z 9 ① 例 4 解三元一次方程组 (4) 3 x 2 y 5 z 11 ② 解下列三元一次方程组 5 x 6 y 7 z 13 ③ 解：②×2+①，得
例7 在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0; 当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解：根据题意，得三元一次方程组 a－b＋c= 0 ① 4a＋2b＋c=3 ② 25a＋5b＋c=60 ③ a=3 把 b=-2 代入①，得 c=-5 因此
②－①， 得 a＋b=1 ③－①，得 4a＋b=10
七年级下册数学8.4 三元一次方程组的解法
x z y,
x 2
则 7 x y z 2,
解得
y
7,
x y z 14．
z 5．
∴2×100+7×10+5=275，即这个三位数 为275.
x : y 3 : 2，
①
4. 解方程组
y
:
z
5
:
4,
②
x y z 66. ③
∴原方程组的解为
y
1 2
,
z 3.
课堂小结
三元一次 方程组
定义
含有3个未知数 含未知数的项的次数都是1 一共有三个方程
解答思路 化“三元”为“二元”
拓展延伸
在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=-2;当x=-1时，
y=20;当 x 3 与 x 1 时，y的值相等，求a、b、
8.4 三元一次方程组的解法
•R·七年级下册
情景导入
提问
前面我们学习了二元一次方程组及其解法.有些含
有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来
解决，实际上，有不少问题含有更多未知数，这时
又该怎么解决呢？
可以设3个未知数吗？
这节课我们就来学习三元一次方程组及其解法.
• 学习目标： 1．知道什么是三元一次方程组. 2．会用代入消元法和加减消元法解简单的三元 一次方程组.
大5，乙数的 1 等于丙数的 1 ，求这三个数.
3
2
解：设甲、乙、丙三数分别为x、y、z，
x y z 35,
x 10
则 2x y 5,
解得
8.4 三元一次方程组的解法
第八章二元一次方程组..，基本的方法是 .x，则得到关于、的，解这个二元一次方程组，得，则原方程一、要点探究探究点1：三元一次方程（组）的概念问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？可以列出几个方程？问题2：观察列出的三个方程，你有什么发现？问题3：由上述方程组的特点总结三元一次方程组的定义.练一练：下列方程组不是三元一次方程组的是 ( )A.1210x x y x z =⎧⎪-=⎨⎪+=⎩B.321240323x y z x y z x y z -+=⎧⎪--=⎨⎪-+=⎩ C.10215x y x z y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩D.134712x y z x y z xyz +-=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩[注意] 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．探究点2：解三元一次方程组 典例精析例1.解方程组问题1：你能把上面的方程组化成只含有两个未知数的方程组吗？问题2：问题3：类比二元一次方程组的解法总结解三元一次方程组的方法.课堂探究教学备注 配套PPT 讲授1.情景引入 （见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-9）3.探究点2新知讲授（见幻灯片10-14）23,1,220.x y z x y x y z ++=⎧⎪-=⎨⎪+-=⎩① ②③1.解方程组11,5,1,x y zy z xz x y+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩则x＝，y＝，z＝ .2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（）A.2B.3C.4D.53.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．4.一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的34，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大 1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/。
8.4 三元一次方程组的解法
一课一案 创新导学
某牧场用卖2头牛、5只羊的钱买13头猪,还剩下1 000元; 用卖3头牛、3头猪的钱买9只羊,钱正好花完;用卖6只羊、8头 猪的钱买5头牛,还差600元.求牛、羊、猪的价钱各是多少.
一课一案 创新导学
解:设每头牛的价格是 x 元,每只羊的价格是 y 元,每 头猪的价格是 z 元,根据题意得 ������������ + ������������-������������������ = ������ ������������������, ������������ + ������������-������������ = ������, ������������ + ������������-������������ = -������������������. ������ = ������ ������������������ 解得 ������ = ������������������, ������ = ������������������. 答:每头牛的价格是 1 200 元,每只羊的价格是 500 元,每头猪的价格是 300 元.
一课一案 创新导学
第八章
二元一次方程组
*8.4 三元一次方程组的解法
一课一案 创新导学
学习目标
1.能识别三元一次方程与三元一次方程组. 2.会解三元一次方程组. 3.会用三元一次方程组的数学模型解决简单的实际问题.
学习重点
三元一次方程组的解法.
一课一案 创新导学
为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→
密文(加密),接收方由密文→明文(解密).假设加密规则为:
明文x,y,z对应密文2x+3y,3y+4z,4z+2x.例如:明文1,2,3对应