2020年天津市红桥区高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)
2020年天津市红桥区高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={-3，-2，-1，0，1，2}，B={x|x2≤3}，则A∩B=．（）A. {0，2}B. {-1，0，1}C. {-3，-2，-1，0，1，2}D. [0，2]2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x-y的最大值为（）A. B. C. D. 23.设x∈R，则“|2x-1|≤3”是“x+1≥0”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知，，，则（）A. a＞b＞cB. c＞a＞bC. b＞a＞cD. b＞c＞a5.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. -3B. -C.D. 26.已知函数f（x）=cos（2x+）（x∈R），则f（x）在区间[0，]上的最小值为（）A. B. - C. -1 D. 07.点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点（异于原点），若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率为（）A. B. C. D.8.已知点M是△ABC所在平面内一点，满足=+，则△ABM与△BCM的面积之比为（）A. B. C. 3 D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若i为虚数单位，复数的虚部是______．10.设L为曲线C：y=在点（1，0）处的切线，则L的方程为______．11.一个正方体的表面积为24，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是______．12.过点A（1，-1），B（-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是______ ．13.已知，则的最小值是__________．14.若关于x的不等式2-x2≥|x-a|至少有一个正数解，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.某市为了解社区群众体育活动的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个行政区中抽出6个社区进行调查．已知A，B，C行政区中分别有12，18，6个社区．（Ⅰ）求从A，B，C三个行政区中分别抽取的社区个数；（Ⅱ）若从抽得的6个社区中随机的抽取2个进行调查结果的对比，求抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区的概率．16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．（1）求角B；（2）若b＝3，，求△ABC的面积．17.如图所示，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）证明：PD∥平面AFC；（2）若PA=1，求证：AF⊥PC；（3）若二面角P-BC-A的大小为60°，则CE为何值时，三棱锥F-ACE的体积为．18.已知数列{a n}是公比大于1的等比数列（n∈N*），a2=4，且1+a2是a1与a3的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a n，S n为数列{b n}的前n项和，记T n=，证明：T n≥1．19.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，点A为椭圆的右项点，点B为椭圆的上顶点，点F为椭圆的左焦点，且△FAB的面积是1+．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为P1（P1与Q不重合），则直线P1Q与x轴交于点H，若点H为定值，则求出点H坐标；否则，请说明理由．20.已知函数f（x）=x3-（a+1）x2+4x+1，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）是否存在负实数a，使x∈[-1，0]，函数有最小值-3．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：由B中不等式解得：-＜x＜，即B=（-，），∵A={-3，-2，-1，0，1，2}，∴A∩B={-1，0，1}，故选：B．求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：变量x，y满足约束条件，不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=2x-y过点A时，z取得最大值，由，可得A（3，）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值6-=．故选：B．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x-y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．3.答案：A解析：解：“|2x-1|≤3”⇔-3≤2x-1≤3⇔-1≤x≤2，x+1≥0⇔x≥-1．显然由题设能推出结论，但是由结论不能推出题设，因此“|2x-1|≤3”是“x+1≥0”的充分不必要条件，故选：A．分别解出不等式，即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：，，；∴c＞a＞b．故选：B．容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．考查指数函数和对数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．5.答案：D解析：解：i=0，满足条件i＜4，执行循环体，i=1，s=满足条件i＜4，执行循环体，i=2，s=-满足条件i＜4，执行循环体，i=3，s=-3满足条件i＜4，执行循环体，i=4，s=2不满足条件i＜4，退出循环体，此时s=2故选：D．i=0，满足条件i＜4，执行循环体，依此类推，当i=4，s=2，此时不满足条件i＜4，退出循环体，从而得到所求．根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．6.答案：C解析：解：∵≤2x+≤，令2x+=t，则y=cos t在[，]的最小值为-1，故选：C．求出2x+的范围，令2x+=t，求y=cos t的最小值．本题考查三角函数的整体代换求值，是基础题．7.答案：B解析：解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x，联立⇒；故A（，）．∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，∴+=p；∴=．∴双曲线C2的离心率e====．故选B．先根据条件求出点A的坐标，再结合点A到抛物线C1的准线的距离为p，得到=，再代入离心率计算公式即可得到答案．本题主要考查双曲线的性质及其方程依据抛物线的方程和性质．注意运用双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间的关系是解题的关键．8.答案：C解析：解答解：如图所示，过点M作EF∥AC．∵=+，∴=，=．∴=3．∴△ABM与△BCM的面积之比==3．故选：C．分析如图所示，过点M作EF∥AC．由=+，可得=，=．进而得出结论．本题考查了平面向量平行四边形法则及其应用、向量共线定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：-1解析：解：∵=，∴复数的虚部是-1．故答案为：-1．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.答案：x-y-1=0解析：解：由y=，得，∴，即曲线C：y=在点（1，0）处的切线的斜率为1，∴曲线C：y=在点（1，0）处的切线方程为y-0=1×（x-1），即x-y-1=0．故答案为：x-y-1=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案．本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．11.答案：解析：解：设正方体的棱长为a，则6a2=24，即a=2．∵球内切于正方体，∴球的半径为1．则此球的体积是．故答案为：．由正方体的表面积求得正方体的棱长，可得正方体内切球的半径，再由球的体积公式求解．本题考查正方体的表面积与其内切球的体积，是基础的计算题．12.答案：（x-1）2+（y-1）2=4解析：【分析】本题解答灵活，求出圆心与半径是解题的关键，本题考查了求圆的方程的方法．是基础题目．先求AB的中垂线方程，它和直线x+y-2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，所以，圆心（1，1）；圆心到A的距离就是半径：=2，所以所求圆的方程为：（x-1）2+（y-1）2=4．故答案为：（x-1）2+（y-1）2=4．13.答案：解析：【分析】本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴y==（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）则的最小值是故答案为：．14.答案：解析：解：不等式为：2-x2≥|x-a|，且0≤2-x2．在同一坐标系画出y=2-x2（y≥0，x＞0）和y =|x|两个函数图象，将绝对值函数y =|x|向左移动，当右支经过（0，2）点，a=-2；将绝对值函数y=|x|向右移动让左支与抛物线y=2-x2（y≥0，x＞0）相切时，由可得x2-x+a-2=0，再由△=0解得a=．数形结合可得，实数a的取值范围是．故答案为：．原不等式为：2-x2≥|x-a|，我们在同一坐标系画出y=2-x2（y≥0，x＞0）和y =|x|两个图象，利用数形结合思想，易得实数a的取值范围．本题考查的知识点是一元二次函数的图象，及绝对值函数图象，其中在同一坐标中，画出y=2-x2（y≥0，x＞0）和y =|x|两个图象，结合数形结合的思想得到答案，是解答本题的关键．15.答案：解：（Ⅰ）社区总数为12+18+6=36，样本容量与总体中的个体数比为．所以从A，B，C三个行政区中应分别抽取的社区个数为2，3，1．（Ⅱ）设A1，A2为在A行政区中抽得的2个社区，B1，B2，B3为在B行政区中抽得的3个社区，C 为在C行政区中抽得的社区，在这6个社区中随机抽取2个，全部可能的结果有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B3，C）．共有15种．设事件“抽取的2个社区至少有1个来自A行政区”为事件X，则事件X所包含的所有可能的结果有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），共有9种，所以这2个社区中至少有1个来自A行政区的概率为．解析：（I）先计算A，B，C区中社区数的总数，进而求出抽样比，再根据抽样比计算各区应抽取的社区数．（II）本题为古典概型，先将各区所抽取的社区用字母表达，分别计算从抽取的6个社区中随机抽取2个的个数和至少有1个来自A区的个数，再求比值即可．本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力．16.答案：解：（1）由，可得，即a2+c2-b2=ac，可得cos B===，由B∈（0，π），可得B=；（2）∵cos A=，∴sin A=，∵，∴a=2，又∵sin C=sin（A+B）=sin（A+）=sin A cos+cos A sin=，∴S△ABC=ab sin C=．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．（1）由正弦定理化简已知等式得a2+c2-b2=ac，利用余弦定理可求cos B=，结合范围B∈（0，π），可得B的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin A，利用正弦定理可求a的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin C，根据三角形的面积公式即可求解．17.答案：（1）证明：连接AC交BD于点Q，连接FQ，∵四边形ABCD是矩形，∴Q为BD的中点，又∵点F是PB的中点，∴PD∥FQ，又，，∴PD∥平面AFC；（2）证明：以A为原点，以AD、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（，1，0），∵PA=1，∴P（0，0，1），∴F（0，，），∴=（0，，），=（，1，-1），∵·=（0，，）·（，1，-1）==0，∴⊥，即AF⊥PC；（3）解：设P（0，0，t），则F（0，，），则=（0，0，t），=（0，，），=（0，1，-t），=（，0，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），由，得，令z=1，得=（0，t，1），∵二面角P-BC-A的大小为60°，且是平面ABC的一个法向量，∴cos60°===，∴t=，即=（0，，），由三棱锥F-ACE的体积为，可得==解得CE=，∴CE为时，三棱锥F-ACE的体积为．解析：本题考查直线与平面平行的判定，二面角的计算，棱锥的体积公式，考查空间想象能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．（1）连接AC交BD于点Q，连接FQ，利用中位线定理及线面平行的判定定理即得结论；（2）以A为原点，以AD、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，通过向量垂直即可说明线段垂直；（3）通过二面角P-BC-A的大小为60°求出P点坐标，从而得到F点坐标，根据体积公式计算即可．18.答案：解：（Ⅰ）数列{a n}是公比q为大于1的等比数列（n∈N*），a2=4，且1+a2是a1与a3的等差中项．所以,解得q=2或q=（舍去）．故．证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n=log2a n=n，所以数列{b n}为等差数列，故．所以===．由于n≥1，所以,故1≤T n．解析：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力．属于基础题型．（Ⅰ）首先利用已知条件求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用上步的结论，进一步利用裂项相消法和放缩法求出结果．19.答案：解：（I）由题意点A为椭圆的右项点，点B为椭圆的上顶点，点F为椭圆的左焦点，可得F（-c，0），B（0，b），A（a，0），因为离心率为，即=，①△FAB的面积是1+．即b（a+c）=1+；②又因为a2=b2+c2；③由①②③解得a =2，b=1所以椭圆C：+y2=1；（Ⅱ）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）、P（x1，-y1），由得（m2+4）y2+2my-3=0，（m≠0）显然△＞0，由韦达定理有：y1+y2=-．y1•y2=-．直线P1Q的方程为：y+y1=（x-x1），因为直线P1Q与x轴交于点H，若点H为定值，令y=0，则x=y1+x1=；又x1=my1+1，x2=my2+1；x===4；所以直线P1Q与x轴交点H（4，0）．解析：（Ⅰ）利用椭圆的定义离心率和三角形的面积公式可得abc的等量关系式，从而可求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为P1（P1与Q不重合），即P（x1，y1）、Q（x2，y2）、P（x1，-y1），联立方程组由化简由韦达定理表达直线P1Q的方程，根据题意可得直线P1Q与x轴交点H（4，0）．本题考查圆锥曲线中椭圆的综合运用，考查直线与椭圆的关系，韦达定理知识，属于中档题．20.答案：解：（I）f（x）=ax2-2（a+1）x+4=（ax-2）（x-2）．①当a=0时，单调递增区间为（-∞，2]．②当a＜0时，单调递增区间为[，2]．③当0＜a＜1时，单调递增区间为（-∞，2]，（，+∞）．④当a=1时，单调递增区间为（-∞，+∞）．⑤当a＞1时，单调递增区间为（-∞，），（2，+∞）．（II）假设存在负实数a，使x∈[-1，0]，函数有最小值-3．已知a＜0时，单调递增区间为（，2），单调递减区间为（-∞，），（2，+∞）．①当≤-1时，f（x）min=f（-1）=-3，即--（a+1）-3=-3，解得a=-．②当>-1时，f（x）min=f（）=-3，即3a2+3a-1=0，解得a=．（舍去）．综上①②可得：a=-．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（I）f（x）=ax2-2（a+1）x+4=（ax-2）（x-2），对a分类讨论即可得出单调递增区间．（II）假设存在负实数a，使x∈[-1，0]，函数有最小值-3．已知a＜0时，单调递增区间为（，2），单调递减为（-∞，），（2，+∞），利用单调性即可得出．。
天津市红桥区2020届高三高考二模数学试题 Word版含解析
高三数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. 球的体积公式343V R =π球，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共9题，每小题5分，共45分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|2A x x =<，{}1,0,1,2B =-，则A B =（ ）A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}0,1-D.1,0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到集合A ，再求交集得到答案.【详解】{}{}|2=22A x x x x =<-<<，{}1,0,1,2B =-，则{}1,0,1A B =-.故选：A.【点睛】本题考查了交集运算，解不等式，属于简单题.2.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，333S a =，则公比q =（ ）A. 12-B.12C. 1或12-D. -1或12【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q，由333S a =，即123312332a a a a a a a ++=⇒+=，所以221112210a a q a q q q +=⇒--=，解得1q =或12q =-，故选C ．考点：等比数列的通项公式的应用． 3.已知131log 2a =，121log 3b =，32log 3c =，则（ ） A. b a c >> B. a b c >>C. c b a >>D. a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数单调性得到01a <<，l b >，0c <，得到答案. 【详解】111333110log 1log log 123a =<=<=，112211log log 132b =>=，332log log 310c =<=， 故b a c >>. 故选：A.【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.4.设2:log 0p x <，1:21x q -<，则p 是q 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】分别解不等式，根据解集的范围大小得到答案.【详解】2log 0x <，则()0,1x ∈，121x -<，则(),1x ∈-∞，故p 是q 的充分而不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.5.若直线2x y -=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为则实数a 的值为（ ）A. 0或4B. 1或3C. 2-或6D. 1-【答案】A 【解析】试题分析：：∵圆22()4x a y -+= ∴圆心为：（a ，0），半径为：2圆心到直线的距离为：d =∵2222d r ⎛+=⎝⎭解得a=4，或a=0考点：直线与圆相交的性质6.已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是（ ）A. B.C.3D.【答案】B 【解析】 【分析】根据体积得到正方体棱长，根据正方体的外接球半径为体对角线的一半得到半径，计算体积得到答案.【详解】正方体的体积为38a =，则正方体棱长2a =，正方体的外接球半径为体对角线的一半，即2R ===34433V R ππ==⋅=.故选：B.【点睛】本题考查了正方体的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将半径转化为求体对角线是解题的关键.7.将函数sin y x x =-的图像沿x 轴向右平移(0)m m >个单位长度，所得函数的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A. 12π-B.12πC. 6π-D.6π 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数化为2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后利用三角函数的平移变换原则即可求解.【详解】sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 将函数的图像沿x 轴向右平移(0)m m >个单位长度，可得2sin 3y x m π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，此函数图像关于y 轴对称，则()32m k k Z πππ--=+∈，解得()56m k k Z ππ=--∈， 因为0m >，则当1k =-时， m 取得最小值6π. 故选：D【点睛】本题考查了三角函数的平移变换原则、辅助角公式、诱导公式，属于基础题.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为（ ）A. B. C. 4D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合抛物线的性质可得22p-=-，进而可得双曲线的左顶点，由双曲线的渐近线方程结合点(2,1)--在双曲线的其中一条渐近线上，即可求出b ，再利用双曲线的性质即可得解.【详解】抛物线22(0)y px p =>，∴该抛物线的准线为2p x =-， 又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，∴点(2,1)--在直线2px =-上，∴22p -=-即4p =， ∴抛物线的焦点为(2,0)，又双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，∴双曲线的左顶点为(2,0)-，2a =，∴双曲线的渐近线方程为2by x =±， 由点(2,1)--在双曲线其中一条渐近线上可得()122b-=⨯-即1b =， ∴双曲线的焦距2c ==故选：D.【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，关键是对于圆锥曲线性质的熟练掌握，属于中档题.9.已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A. (,0)-∞ B. (1,)+∞C. (0,1)D. [0,1]【答案】C 【解析】 分析】由题意画出函数()f x 的图象，转化条件为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点，数形结合即可得解.【详解】当0x ≤时，2()2f x x x =--，其图象为开口向下，对称轴为1x =-的抛物线的一部分，且(1)121f -=-+=；当0x >时，()21xf x =-，其图像为函数2xy =在y 轴右侧图象向下平移1个单位形成；画出函数()f x 的图象，如图：因为函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()f x m =有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点， 数形结合可知，01m <<， 所以实数m 的取值范围为(0,1). 故选：C.【点睛】本题考查了函数的零点、方程的根以及两函数的图象的交点个数之间的关系，考查了数形结合与转化化归思想，属于中档题．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.若i 为虚数单位，则复数23(1)i =-_________.【答案】32i 【解析】 【分析】由题意结合复数的乘法、除法运算法则直接计算即可得解.详解】由题意22233333(1)12222i i i i i i i ====--+--. 故答案为：32i . 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 11.某校三个社团的人员分布如下表（每名同学只能参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果武术社被抽出12人，则这三个社团人数共有_________.【答案】150 【解析】 【分析】设三个社团共有x 人，由题意结合分层抽样的定义和方法列方程即可得解. 【详解】设三个社团共有x 人， 由分层抽样的定义和方法可得30124515x =+，解得150x =， 所以这三个社团共有150人. 故答案为：150.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，利用分层抽样每个个体被抽到的概率相等是解决本题的关键，属于基础题.12.已知二项式21()nx x+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是_________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据二项式系数和为232n =得到5n =，再利用二项式定理得到答案. 【详解】二项式21()nx x+的展开式的二项式系数之和为232n =，故5n =.251()x x+展开式的通项为：()521031551rrrr rr T C x C xx --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭， 取3r =得到x 项的系数是3510C =. 故答案为：10.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 13.已知实数,a b 满足条件：0ab <，且1是2a 与2b 的等比中项，又是1a 与1b的等差中项，则22a ba b +=+_________.【答案】13-【解析】 【分析】根据等差中项和等比中项计算得到1ab =-，2a b +=-，代入式子化简得到答案. 【详解】根据题意：221a b =，0ab <，故1ab =-，112a b a b ab++==，故2a b +=-. ()222221423a b a b a ab b a b ++-===-++-+.故答案为：13-.【点睛】本题考查了等差中项，等比中项，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 14.曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________【答案】【解析】【详解】函数的导数为，所以在的切线斜率为，所以切线方程为，即.15.已知,a b 是单位向量，·0a b =．若向量c 满足1c a b c --=，则的最大值是________.2+1 【解析】 【分析】由题意建立平面直角坐标系，设(,)c x y =，根据条件求得,x y 满足的关系式，再根据c 的几何意义求解．【详解】由0a b =，得a b ⊥．建立如图所示的平面直角坐标系，则()()1,0,0,1a b ==．设(,)c OC x y ==，由1c a b --=，可得22(1)(1)1x y -+-=，所以点C 在以（1,1）为圆心，半径为1的圆上． 所以max 21c =+．【点睛】由于向量具有数形二重性，因此研究向量的问题时可借助于几何图形进行，利用数形结合可以增强解题的直观性，同时也使得对向量的研究简单化，进而可提高解题的效率．三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知1a =，2b =，1cos 4C =. （1）求c 的值； （2）求sin(2)3C π+的值.【答案】（1）2c =（21573-【解析】 【分析】（1）直接利用余弦定理计算得到答案. （2）根据三角恒等变换计算15sin 28C =，7cos28C =-，代入计算得到答案.【详解】（1）根据余弦定理：2222cos 1414c a b ab C =+-=+-=，故2c =. （2）()0,C π∈，故2115sin 1cos 116C C =-=-=15sin 22sin cos C C C ==，27cos22cos 18C C =-=-，故17sin 2sin 2cos cos 2sin 33328C C C πππ⎛⎫+=+=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了计算恒等变换，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 17.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为23和34，且各次射击互相独立. （1）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；（2）若甲连续射击3次，设命中目标次数为ξ，求命中目标次数ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）1112（2）分布列见详解；()2E ξ= 【解析】 【分析】（1）方法一：设“至少有一人命中目标”为事件A ，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解；方法二：设“两人都没命中目标”为事件B ，利用概率乘法公式求出都不命中的概率，然后再利用间接法即可求解.（2）ξ的取值情况可能为0，1，2，3，利用独立重复试验的概率求法公式求出分布列，进而求出期望.【详解】（1）方法一：设“至少有一人命中目标”为事件A ，231321()343434P A =⨯+⨯+⨯1112=.方法二：（或设“两人都没命中目标”为事件B ，111()3412P B =⨯=. “至少有一人命中目标”为事件A ，111()11212P A =-=. （2）ξ的取值情况可能为0，1，2，3，1111(0)33327P ξ==⨯⨯=132116(1)33327P C ξ==⨯⨯=⋅ ()2322112233327P C ξ==⨯⨯=⋅()2228333327P ξ==⨯⨯=.ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P 127 627 1227 827以()61281232272727E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式、独立重复试验的分布列、期望，属于基础题.18.四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，且2PA AB ==，3AD =，E 是线段BC 上的动点，F 是线段PE 的中点.（1）求证：PB ⊥平面ADF ；（2）若直线DE 与平面ADF 所成角为30， ①求线段CE 的长；②求二面角P ED A --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）①2317【解析】 【分析】（1）以点A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴 ，建立空间直角坐标系，利用数量积证出PB AD ⊥，PB AF ⊥，再利用线面垂直的判定定理即可证出. （2）①求出平面ADF 的一个法向量，利用cos n DE n DE n DE⋅⋅=⋅12=，即可求线段CE 的长；②求出平面PED 的一个法向量，再根据(0,0,2)AP =为平面ADE 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】（1）依题意，以点A 原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴 ，建立空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,3,0)C ，(0,3,0)D ，(2,,0)(03)E m m ≤≤，(1,,1)2mF ，(0,0,2)P . (2,0,2)PB =-，(0,3,0)AD =，(1,,1)2mAF =，0PB AD ⋅=，0PB AF ⋅=，.即PB AD ⊥，PB AF ⊥，AF A AD =，.所以PB ⊥平面ADF .（2）①设(,,)n x y z =为平面ADF 的法向量，则00AD n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即002y mx y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩， 不妨令1x =，可得(1,0,1)n =-为平面ADF 的一个法向量，(2,3,0)DE m =-于是有cos n DE n DE n DE⋅⋅=⋅12=，. 22121012(3)0m =++⋅+-+，得1m =或5m =（舍）. (2,1,0)E ，(2,3,0)C ，线段CE 的长为2；.②设(,,)m x y z =为平面PED 的法向量，(2,1,2)PE =-，(0,3,2)PD =-则00PE m PD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220320x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，不妨令2y =，可得(2,2,3)m =为平面PED 的一个法向量，. 又(0,0,2)AP =为平面ADE 的一个法向量，. 所以317cos 217m AP m AP m AP⋅⋅===⋅.【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、线面垂直的判定定理、根据线面角求长度，考查了运算求解能力，属于中档题.19.如图，椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：经过点P （1.），离心率e=，直线l 的方程为x=4.（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k .问：是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在【解析】2231911124P a b+=（）由（，）在椭圆上得：①222,3a c b c =∴=② ②代入①得222221,4,3, 1.43x y c a b C ===∴+=椭圆：考点：本题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的交点等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理能力，推理论证能力和计算能力. 20.设，函数()ln f x x ax =-．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）已知（是自然对数的底数）和2x 是函数()f x 的两个不同的零点，求a 的值并证明：322x e >．【答案】（Ⅰ）①当0a ≤时，函数()f x 的递增区间为()0,+∞，无极值，②当0a >时，函数()f x 的递增区间为，递减区间是，函数()f x 的极大值为1()ln 1f a a=--；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）分别令0a ≤及0a >分情况讨论；（Ⅱ）由已知得()1ln 2f x x x e=-，由（Ⅰ）函数()f x 在递减及323()022e f e =->，5225()022ef e =-<，可知函数()f x 在区间有唯一零点，由此得证.试题解析：（Ⅰ）由已知得()0,+∞，()11ax f x a xx'-=-=，①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 是区间()0,+∞上的增函数，无极值； ②若0a >，令()0f x '=，得1x a=， 在区间上，()0f x '>，函数()f x 是增函数，在区间上，()0f x '<，函数()f x 是减函数，所以在区间()0,+∞上，()f x 的极大值为11()ln1ln 1f a a a=-=--． 综上所述，①当0a ≤时，函数()f x 的递增区间为()0,+∞，无极值；②当0a >时，函数()f x 的递增区间为，递减区间是，函数()f x 的极大值为1()ln 1f a a=--．（Ⅱ）因为，所以102a e -=，解得2a e =，所以()ln 2f x x x e =-， 又323()022e f e =->，5225()022ef e =-<，所以3522()()0f e f e ⋅<，由（Ⅰ）函数()f x 在递减，故函数()f x 在区间有唯一零点，因此322x e >．考点：导数的应用．【方法点睛】单调性是函数的最重要的性质，函数的极值、最值等问题的解决都离不开函数的单调性，含有字母参数的函数的单调性又是综合考查不等式的解法、分类讨论的良好素材．函数单调性的讨论是高考考查导数研究函数问题的最重要的考查点．函数单调性的讨论往往归结为一个不等式、特别是一元二次不等式的讨论，对一元二次不等式，在二次项系数的符号确定后就是根据其对应的一元二次方程两个实根的大小进行讨论，即分类讨论的标准是先二次项系数、再根的大小．对于在指定区间上不等式的恒成立问题，一般是转化为函数最值问题加以解决，如果函数在这个指定的区间上没有最值，则可转化为求函数在这个区间上的值域，通过值域的端点值确定问题的答案．。
天津市红桥区2024届高三下学期二模 数学试卷(含解析)
高三数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：·柱体体积公式：V sh =，其中s 表示柱体底面积，h 表示柱体的高．·锥体体积公式：13V sh =，其中表示锥体底面积，h 表示锥体的高．·球体表面积公式：24S R π=，其中R 表示球体的半径．·球体体积公式：343V R π=，其中R 表示球体的半径．·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ．·对于事件A ，B ，()0P A >，那么()()()P AB P A P B A =⋅.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,2A =，{}0,2,3B =，则()U A B ⋃=ð（）A ．{}4B ．{}1,3,4C ．{}0,2D ．{}0,1,2,32．下列条件中，使得“a b >”成立的充分不必要条件是（）A ．33a b >B ．1122log log a b<C ．11a b <D ．a b >3．函数()()22e xf x x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D．4．某同学于2019年元旦在银行存款1万元，定期储蓄年利率为1.75%，以后按约定自动转存，那么该同学在2025年元旦可以得到本利和为（）A ．6100001.0175⨯B ．7100001.0175⨯C ．()61000011.75%11.75%--D ．()71000011.75%11.75%--5．如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出来，某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为（）A．4B．2CD．26．若132()3a =，122log 5b =，143c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．b c a>>C ．b a c>>D ．a b c<<7．已知2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()()()2sin 20πf x x ϕϕ=+<<图象的一个对称中心，则（）A ．函数()f x 的图象可由2cos2y x =向左平移π6个单位长度得到B ．函数()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭上有两个极值点C ．直线7π6x =是函数()f x 图象的对称轴D ．函数()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减8．2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI ）如下图所示：有下列说法：①从2022年7月到2023年7月，这13个月的PMI 的极差为5.6%；②PMI 大于50%，表示经济处于扩张活跃的状态，PMI 小于50%，表示经济处于低迷萎缩的状态，则2023年1月到2023年3月，经济处于扩张活跃的状态；③从2023年1月到2023年7月，这7个月的PMI 的第75百分位数为51.9%；④2023年7月份，PMI 为49.3%，比上月上升0.3个百分点．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．过抛物线235y =焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，3AF FB =，抛物线的准线与x 轴交于点C ，则ABC 的面积为（）A ．1534B ．1532C ．1574D ．1572第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2．本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10．i 是虚数单位，则复数43i2i+=-．11．在5(2)x -的展开式中，2x 的系数为.（用数字作答）12．已知lg 2a b +=-，10b a =，则=a ．13．某同学高考后参加国内3所名牌大学,,A B C 的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学,,A B C 招生考试的概率分别为1,,2x y ，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为38，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为；该同学恰好通过,A B 两所大学招生考试的概率最大值为．14．太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示的图形是由半径为2的大圆O 和两个对称的半圆弧组成的，线段MN 过点O且两端点M ，N 分别在两个半圆上，点P 是大圆上一动点，令PM a = ，PN b =，若12PO a b λλ=+，则1λ=；a b ⋅的最小值为．15．函数()2ln f x x m x =--有且只有一个零点，则m 的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知6a =，1cos 3B =，且sin 3sin b A c B =．(1)求c 的值；(2)求b 的值；(3)求πcos 26B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．17．在如图所示的几何体中，PA ⊥平面ABCD ，//PA QD ，四边形ABCD 为平行四边形，60ABC ∠=︒，90BAC ∠=︒，1AB PA ==，PQ =(1)求证：直线//PB 平面DCQ ；(2)求直线PB 与平面PCQ 所成角的正弦值；(3)求平面PCQ 与平面DCQ 夹角的正弦值．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,1A --，长轴长为42(1)求椭圆C 的方程；(2)直线:l y kx m =+与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，直线AM 、AN 分别与直线4x =-交于点P 、Q ，O 为坐标原点且OP OQ =，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标．19．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是公比为正数的等比数列，且11b =，2321b b +=，()2641a a b +=，4253a b a a =-．(1)求数列{{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设()112n n n c a a =++，()*123n n S c c c c n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈N（ⅰ）求n S ；（ⅱ）求()*11ni i i ib b n iS +=-∈∑N ．20．已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数.（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在(0,)a -上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =-，设函数()f x 在(0,1)上的极值点为0x ，求证：0()2f x <-.1．A【分析】根据并集、补集的定义计算可得.【详解】因为{}0,1,2A =，{}0,2,3B =，所以{}0,1,2,3A B ⋃=，又{}0,1,2,3,4U =，所以(){}4U A B = ð.故选：A 2．B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】对于A ：因为3y x =在定义域R 上单调递增，所以由33a b >可以得到a b >，故充分性成立，由a b >可以推得出33a b >，故必要性成立，所以33a b >是a b >的充要条件，故A 错误；对于B ：因为12log y x =在定义域()0,∞+上单调递减，由1122log log a b <可得0a b >>，故充分性成立，由a b >不一定得到1122log log a b <，故必要性不成立，故1122log log a b <是a b >的充分不必要条件，故B 正确；对于C ：当1a =-，1b =时满足11a b <，但是a b >不成立，即充分性不成立，当1a =，1b =-时满足a b >，但是11a b>，故必要性不成立，所以11a b<是a b >的既不充分又不必要条件，故C 错误；对于D ：当2a =-，1b =时满足a b >，但是a b >不成立，即充分性不成立，当2a =，4b =-时满足a b >，但是a b >不成立，即必要性不成立，所以a b >是a b >的既不充分又不必要条件，故D 错误.故选：B 3．C【分析】由()00f =可排除A ，再求导分析单调性可得C 正确，BD 错误.【详解】当0x =时，()00f =，可排除A ，()()()()2222e 2e 2e x x x f x x x x x '=-+-=-，令()0f x ¢>，解得x >x <，所以()f x在(,-∞和)+∞上单调递增；在(上单调递减；结合图象可得C 正确；故选：C.4．A【分析】记n 年后得到的本利和为n a ，依题意可得()100001 1.75%nn a =⨯+，即可判断.【详解】记n 年后得到的本利和为n a ，根据题意知()100001 1.75%10000 1.0175nn n a =⨯+=⨯，即数列{}n a 是一个首项为110175a =，公比为 1.0175q =的等比数列，∴该同学2019年元旦在银行存款1万元，2025年元旦即6年后得到的本利和为：66100001.0175a =⨯（元）.故选：A 5．B【分析】设圆锥的半径为r ，高为h ，母线长为l，结合题意面积比得到h =，再计算二者的体积比即可.【详解】设圆锥的半径为r ，高为h ，母线长为l ，则母线长为l =所以圆锥的侧面积是ππrl =半球的面积22πr ，由题意可得2π22πr =⨯，解得h =，所以圆锥的体积为231π3r h r =，半球的体积为3314π2π233r r ⨯=，所以此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为33π32π3rr 故选：B.6．C【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数性质，并借助媒介数比较大小.【详解】112221log log 152b =>=，111121411214321631[()()()818122()()]333c a ==>===，而1312()3a =<，所以a ，b ，c 的大小关系为b a c >>.故选：C 7．D【分析】先由正弦函数的对称中心解出2π3ϕ=，再由图象平移得到A 错误；整体代入结合正弦函数图象可得B 错误；整体代入可得C 错误；整体代入结合正弦函数的单调性可得D 正确.【详解】由已知可得22sin 2π03ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得4ππ,Z 3k k ϕ+=∈，因为0πϕ<<，所以2π3ϕ=，所以()22sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ：由2cos2y x =向左平移π6个单位长度得到ππ2cos22cos 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ：当π11π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2π5π2π,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，设22π3u x =+，则由正弦函数图像sin y u =可知，只有一个极值点，故B 错误；对于C ：07π7π6622sin 2π2sin 3π3f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线7π6x =不是函数()f x 图象的对称轴，故C 错误；对于D ：当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22π3π2π,233x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数的单调性可得()f x 在此区间内单调递减，故D 正确；故选：D.8．D【分析】由极差的定义结合图中数据可得①正确；由图可得②正确；由百分位数的计算可得③正确；由图可得④正确.【详解】①由图可得这13个月的PMI 的最大值为52.6%，最小为47.0%，所以极差为52.6%47.0% 5.6%-=，故①正确；②由图可得，2023年1月到2023年3月的PMI 分别为50.1%，52.6%，51.9%均大于50%，故②正确；③从2023年1月到2023年7月的PMI 的值从小到大排列为48.8%,49.0%,49.2%,49.3%,50.1%,51.9%,52.6%，因为775%0.525⨯=，所以这7个月的PMI 的第75百分位数为第六个数是51.9%，故③正确；④2023年7月份，PMI 为49.3%，6月份PMI 为49.0%，所以比上月上升0.3个百分点，故④正确；所以正确的个数为4个，故选：D.9．B【分析】利用抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离作出图形，结合图形得到322m CF BN DF BF DF =+=+=解出m 从而确定BK 的长度，再利用三角形面积和之间的关系ABC AFC BFC S S S =+ 求出即可.【详解】设抛物线的准线为l ，过A 作AM l ⊥于M ，过B 作BN l ⊥于N 点，过B 作BK AM ⊥于K ，设BF m =，因为3AF FB =，所以3AF m =，所以4AB m =，所以2AK AM BN AF BF m =-=-=，在Rt AKB 中，21cos 42AK m BAK ABm ∠===，所以60BAK ∠=︒，因为//AM CF ，所以60OFB ∠=︒，又BF m =，所以12FD m =，又由2y =，可得CF =所以32m CF BN DF BF DF =+=+==m =所以sin 60BK AB =︒=所以11222ABC AFC BFC S S S CF BK =+=⋅=⨯⨯ 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用抛物线的定义建立方程322m CF BN DF BF DF =+=+=，解出m .10．12i+【分析】直接利用复数的四则运算求解即可.【详解】()()()()43i 2i 43i 510i12i 2i 2i 2i 5++++===+--+.故答案为：12i +11．80-【分析】根据二项式展开定理求解即可.【详解】()52x -展开的通项为()552rr r C x --，令52r -=，得3r =，此时2x 的系数为()335280C -=-.故答案为：80-.12．110##0.1【分析】根据指对数互化可得1lg b a =，结合1lg 2lg a a+=-求参数值即可.【详解】由题设1log 10lg a b a ==，则1lg 2lg a a+=-且0a >，所以22lg 2lg 1(lg 1)0a a a ++=+=，即lg 1a =-，故110a =.故答案为：11013．78##0.87518##0.125【分析】根据恰好能通过其中2所大学招生考试的概率列方程，通过整体代入可得该同学至少通过1所大学招生考试的概率，再利用基本不等式可得恰好通过,A B 两所大学招生考试的概率最大值.【详解】 该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，∴该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率1111113(1)(1)2222228P xy x y y x x y xy =+-+-=+-=所以该同学至少通过1所大学招生考试的概率为111111718(1)(1)22222832x y x y xy ---=++-=+=，由11122283x y xy +-=得，34x y xy +-=，所以34xy x y +=+≥，即304xy -+≥，12≤32≥，即14≤xy 或94xy ≥，又∵01x <<，01y <<，01xy ∴<<，104xy ∴<≤，∴当12x y ==时，该同学恰好通过,A B 两所大学招生考试的概率取得最大值18．故答案为：71,88．14．12##0.50【分析】第一空结合图形由向量的线性运算可得；第二空先由向量的线性运算得到24a b OM⋅=- ，再当OM 取得最大值时计算可得.【详解】由圆的对称性可得O 为MN 的中点，所以()()121111122222PO PN NO b NM b PM PN b a b a b a b λλ=+=+=+-=+-=+=+，112λ=；()()a b PO OM PO ON ⋅=+⋅+ ，因为OM ON =-，所以()()2224a b PO OM PO OM PO OM OM ⋅=+⋅-=-=- ，所以当OM 取得最大值2时，a b ⋅的最小值为0,；故答案为：12；0.15．(),ln 21-∞+【分析】作出图象，问题等价于2y x m =-与ln y x =有且只有一个交点，考虑相切时的情况，利用导数的意义求出切线方程，再求出结果即可.【详解】由题意可得，问题等价于2y x m =-与ln y x =有且只有一个交点.分别作图如下：考虑他们的临界情况，即2y x m =-与ln y x =相切时，如上图，即2y m x =-与ln y x =-相切时，仅有一个交点.设切点为()00,x y ，则012y x '=-=-，所以012x =，01ln ln 22y =-=，所以1ln 2212m m =-⨯=-，即ln 21m =+，但因为2y x m =-与ln y x =有且仅有一个交点，所以ln 21m >-，即ln 21m <+，故答案为：(),ln 21∞-+.【点睛】关键点点睛：在求切线方程时设切点，利用导数的意义求切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.16．(1)2(2)(3)18-【分析】（1）利用正弦定理将角化边，即可得解；（2）利用余弦定理计算可得；（3）根据平方关系求出sin B ，即可求出sin 2B 、cos 2B ，最后由两角和的余弦公式计算可得.【详解】（1）因为sin 3sin b A c B =，由正弦定理可得3ab cb =，所以3a c =，又6a =，所以2c =；（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即222162262323b =+-⨯⨯⨯=，所以b =；（3）由1cos 3B =，()0,πB ∈，所以sin 3B =，所以1sin 22sin cos 2339B B B ==⨯⨯=，2217cos 22cos 12139B B ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，所以πππcos 2cos 2cos sin 2sin666B B B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭19218792+⨯=-=-⨯.17．(1)证明见解析31【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面DCQ 的法向量n ，由0n PB ⋅=r uu r即可证明；（2）求出平面PCQ 的法向量m ，再求出cos ,m PB，即可得解；（3）设平面PCQ 与平面DCQ 夹角为θ，由cos m nm nθ⋅=⋅求出cos θ，从而求出sin θ.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，90BAC ∠=︒，如图建立空间直角坐标系，因为四边形ABCD 为平行四边形，60ABC ∠=︒，90BAC ∠=︒，1AB PA ==，PQ =，则tan 60AC AB =︒=2BC ==，()(22212DQ -+=，解得3DQ =（负值已舍去），则()0,0,1P ，()1,0,0B，()C，()D -，()Q -，所以()1,0,0CD =- ，()0,0,3DQ = ，()1,0,1PB =-，设平面DCQ 的法向量为(),,n x y z = ，则030n CD x n DQ z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取()0,1,0n = ，所以0n PB ⋅=r uu r，即n PB ⊥ ，又PB ⊄平面DCQ ，所以//PB 平面DCQ .（2）因为()1,0,3CQ =-，()1PC =- ，设平面PCQ 的法向量为(),,m a b c =，则30m CQ a c m CQ c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取()m = ，所以cos ,m PB m PB m PB⋅===⋅所以直线PB 与平面PCQ 所成角的正弦值为31.（3）设平面PCQ 与平面DCQ 夹角为θ，则cos m n m n θ⋅===⋅所以sin 31θ==，所以平面PCQ 与平面DCQ 18．(1)22182x y +=(2)证明见解析，定点坐标为()4,0-【分析】（1）根据已知条件求出a 的值，将点A 的坐标代入椭圆C 的方程，可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，再求出点P 、Q 的坐标，根据已知得到()()1212212111022y y x x -+-+-+-=++，再把韦达定理代入化简即得证.【详解】（1）解：因为椭圆C的长轴为2a =，可得a =将点A 的坐标代入椭圆C 的方程可的24118b+=，可得b =因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=.（2）解：如图，直线:l y kx m =+与椭圆方程22182x y+=联立，化简得()222418480k x kmx m +++-=，()()()222222644414816820k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22820k m -+>.设()11,M x y 、()22,N x y ，则122841km x x k -+=+，21224841m x x k -=+．直线MA 的方程为()111122y y x x ++=++，则()11214,12y P x -+⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，直线NA 的方程为()221122y y x x ++=++，则()22214,12y Q x -+⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，因为OP OQ =，所以()()1212212111022y y x x -+-+-+-=++，所以121211122kx m kx m x x +++++=-++，所以()()()12122123480k x x k m x x m +⋅++++++=，把韦达定理代入整理得()()2140m k m k -+-=，所以，21m k =-或4m k =，当21m k =-时，直线方程为()2121y kx k k x =+-=+-，此时，直线l 过定点()2,1A --，不符合题意，所以舍去；当4m k =时，直线方程为()44y kx k k x =+=+，直线l 过定点()4,0-，合乎题意.综上所述，直线l 经过定点，且定点坐标为()4,0-.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．(1)n a n =；112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=(2)（ⅰ）()212n n S n +=+；（ⅱ）()11111212ni i n i i b b is n ++=-=-+⨯∑【分析】（1）利用递推公式，等差数列，等比数列的性质解方程即可求出1a 、d 、q ，再由基本量法写出通项即可；（2）（ⅰ）先化简可得()()()112n n n c n n ++=+由累乘法求出即可；（ⅱ）先裂项化简可得()1111212i i i i i b b is i i ++-=-⨯+⨯，再用分组求和即可.【详解】（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，{}n b 的公比为q ，因为11b =，2321b b +=，所以221q q +=，解得12q =或1q =-（舍），所以11112n n n b b q--⎛⎫== ⎪⎝⎭，即112n n b -⎛⎫⎪⎝⎭=，所以4211,82b b ==，又()2641a a b +=，4253a b a a =-，即()()11115181322a d a d a d d⎧+++⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯=⎪⎩，解得11,1a d ==，所以()1111n a a n d n n =+-=+-=，即n a n =（2）（ⅰ）因为()112n n n c a a =++，则()()()()111122n n n c n n n n ++=+=++，则()()()()12311212233132422n n n n n S c c c c n n n +++⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=⨯⨯++ ；（ⅱ）因为()()()111111112112221122122i i i i i i i ib b i i is i i i i i i -+-+++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭===-++⨯⨯+⨯⨯+，所以()()112231111111111112222232212212ni i n n n i i b b is n n n +++=⎡⎤⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑ .【点睛】关键点点睛：本题第二问对于分式形式的数列求出可采用裂项相消法.20．(1)当x ()f x 的极大值为12e，无极小值；(2)122a e -≤-；(3)证明见解析.【详解】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调性，进而得到函数的极值；（2）求导，将函数在某区间上单调递增转化为导函数非负恒成立，分离参数，构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；（3）连续两次求导，分别通过研究导函数的符号变化研究函数的极值，再作差构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用求导进行求解.试题解析：（1）当0a =时，()ln xf x x=，定义域为()0,+∞，()312ln 'xf xx-=，令()'0f x =，得x =∴当x =()f x 的极大值为2e，无极小值.（2）()()312ln 'ax x f x x a +-=+，由题意()'0f x ≥对()0,x a ∈-恒成立.()0,x a ∈-，()30x a ∴+<，∴12ln 0ax x+-≤对()0,x a ∈-恒成立，∴2ln a x x x ≤-对()0,x a ∈-恒成立.令()2ln g x x x x =-，()0,x a ∈-，则()'2ln 1g x x =+，①若120a e -<-≤，即120a e ->≥-，则()'2ln 10g x x =+<对()0,x a ∈-恒成立，∴()2ln g x x x x =-在()0,a -上单调递减，则()()()2ln a a a a ≤----，()0ln a ∴≤-，1a ∴≤-与12a e -≥-矛盾，舍去；②若12a e -->，即12a e -<-，令()'2ln 10g x x =+=，得12x e -=，当120x e -<<时，()'2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递减，当12e x a -<<-时，()'2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递增，∴当12x e -=时，()12ming x g e -⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭111122222ln 2e e e e ----⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，122a e-∴≤-.综上122a e -≤-.（3）当1a =-时，()()2ln 1xf x x =-，()()312ln '1x x x f x x x --=-，令()12ln h x x x x =--，()0,1x ∈，则()()'12ln 1h x x =-+2ln 1x =--，令()'0h x =，得12x e -=，①当121ex -≤<时，()'0h x ≤，()12ln h x x x x ∴=--单调递减，()120,21h x e -⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，()()312ln '01x x x f x x x --∴=<-恒成立，()()2ln 1xf x x ∴=-单调递减，且()12f x f e -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.②当120x e -<≤时，()'0h x ≥，()12ln h x x x x ∴=--单调递增，1111222212ln h e e e e ----⎛⎫⎛⎫∴=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12210e -=->又()()222212ln h eee e ----=--⋅2510e =-<，∴存在唯一1200,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，()0'0f x ∴=，当00x x <<时，()0'0f x >，()()2ln 1xf x x ∴=-单调递增，当120x x e -<≤时，()0'0f x <，()()2ln 1x f x x ∴=-单调递减，且()12f x f e -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，由①和②可知，()()2ln 1xf x x =-在()00,x 单调递增，在()0,1x 上单调递减，∴当0x x =时，()()2ln 1xf x x =-取极大值.()000012ln 0h x x x x =--= ，0001ln 2x x x -∴=，()()020ln 1x f x x ∴=-()2000112111222x x x ==-⎛⎫--⎪⎝⎭，又1200,2x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，201112,0222x ⎛⎫⎛⎫∴--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()020*******f x x ∴=<-⎛⎫-- ⎪⎝⎭.。
2020-2021学年天津高三质量检测(二)模数学(文)试卷及答案解析
高三年级总复习质量检测（二）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A，B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）·如果事件A，B相互独立，那么·球的表面积公式S＝24Rπ球的体积公式V＝343Rπ其中R表示球的半径P （AB ）＝P （A ）g P （B ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝{x ∈R|x ≥3}，则图中阴影部分所表示的集合为（A ）{1，2，3} （B ）{3，4，5} （C ）{1，2}（D ）{4，5}（2）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为80秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待30秒才出现绿灯的概率为（A ）38（B ）58（C ）14（D ）35（3）为得到函数 y ＝sin(2x ＋π6) 的图象，只需将函数 y ＝sin2x 的图象（A ）向左平移 π3个长度单位（B ）向左平移 π6个长度单位（C ）向左平移π12个长度单位 （D ）向右平移π12个长度单位（4）在△ABC 中，已知BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积为3，则AC 的长为（A ）3（B ）13 （C ）21（D ）57（5）执行如图所示的程序框图．如果输入n ＝3， 则输出的S 值为（A ）25（B ）45（C ）37（D ）67（6）已知条件 p ：|x ＋1|＞2，条件 q ：x ＞a ，且 ¬p 是 ¬q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是（A）a≥1 （B）a≤1（C）a≥－1 （D）a≤－3（7）已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－0.5，则（A）x＜y＜z （B）x＜z＜y（C）z＜y＜x （D）y＜z＜x（8）对任意的x＞0，总有()|lg|=--≤0，则a 的取值范围是f x a x x（A）(－∞，lge－lg(lge)] （B）(－∞，1]（C）[1，lge－lg(lge)] （D）[lge－lg(lge)，＋∞)数学（文史类）第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2020年天津市红桥区高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年天津市红桥区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知集合，0，1，，则A. 0，B.C.D. 0，1，2.设数列是等比数列，其前n项和为，且，则公比q的值为A. B. C. 1或 D. 1或3.已知，，，则A. B. C. D.4.设p：，q：，则p是q的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为A. 或B. 1或3C. 或6D. 0或46.已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是A. B. C. D.7.将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称，则a的最小值是A. B. C. D.8.已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为A. B. C. D.9.已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值范围A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.若i为虚单位，则复数______．11.合唱社粤曲社书法社高一4530a高二151020学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有______ ．12.已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是__________．13.已知实数a，b满足条件：，且1是与的等比中项，又是与的等差中项，则______．14.曲线在点处的切线方程为______．15.已知、是单位向量，若向量满足，则的最大值是______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，．Ⅰ求c的值；Ⅱ求的值．17.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击互相独立．Ⅰ若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；Ⅱ若甲连续射击3次，设命中目标次数为，求命中目标次数的分布列及数学期望．18.四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是矩形，且，，E是线段BC上的动点，F是线段PE的中点．Ⅰ求证：平面ADF；Ⅱ若直线DE与平面ADF所成角为，求线段CE的长；求二面角的余弦值．19.如图，椭圆C：经过点，离心率，直线l的方程为．求椭圆C的方程；是经过右焦点F的任一弦不经过点，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM 的斜率分别为，，问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．20.设，函数．Ⅰ讨论函数的单调区间和极值；Ⅱ已知为自然对数的底数和是函数的两个不同的零点，求a的值并证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，0，1，，0，．故选：A．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：当时，，成立；当时，得到，，又，所以，化简得：，即，由即，解得．综上，公比q的值为1或．故选C．分两种情况：当时，得到此等比数列为常数列，各项都等于第一项，已知的等式显然成立；当不等于1时，利用等比数列的前n项和的公式及等比数列的通项公式公式化简已知的等式，得到关于q的方程，根据q不等于解出q的值，综上，得到所有满足题意的等比q的值．此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道综合题．3.答案：A解析：解：，，，．故选：A．可以得出，从而得出a，b，c的大小关系．本题考查了对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4.答案：A解析：解：由，得，则，；反之，由，得，则，当时，不成立．，反之不成立．即p是q的充分而不必要条件．故选：A．由，得，得，反之不成立，再由充分必要条件的判定得结论．本题考查指数式与对数式的运算性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程，属基础题．由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，由求解．【解答】解：圆，圆心为：，半径为：2，圆心到直线的距离为：，，解得，或，故选：D．6.答案：B解析：解：正方体的体积是8，所以正方体的棱长为：2．这个正方体的外接球的半径为：．这个正方体的外接球的体积是：．故选：B．利用正方体的体积，求出棱长，然后求解外接球的半径，然后求外接球的体积即可．本题考查正方体的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．7.答案：C解析：解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，根据所得函数的图象关于y轴对称，可得，，即，．则a的最小值为，故选：C．根据函数的图象变换规律，可得的图象关于y轴对称，可得，，从而求得a的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.答案：D解析：解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，即点在抛物线的准线上，又由抛物线的准线方程为，则，则抛物线的焦点为；则双曲线的左顶点为，即；点在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为，由双曲线的性质，可得；则，则焦距为故选：D．根据题意，点在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．9.答案：C解析：解：画出函数的图象，如下图函数有3个零点即与有3个交点即可根据图象可知故选：C．先画出函数的图象，然后根据函数有3个零点即与有3个交点即可，结合图象可求出m的取值范围．本题主要考查了函数零点的判定定理，以及分段函数图象的画法，同时考查了转化的思想，属于基础题．10.答案：解析：解：．故答案为：．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．11.答案：150解析：【分析】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了每个个体被抽到的概率都相等，属于基础题．根据每个个体被抽到的概率都相等可得，【解答】解：根据分层抽样的定义和方法可得，解得，故这三个社团人数共有人，故答案为150．12.答案：10解析：解：由题意可得，，展开式的通项公式为．令，，故展开式中含x项的系数是，故答案为10．先求得，以及二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得含x 的项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．13.答案：解析：解：是与的等比中项，，又，，又是与的等差中项，，，，，故答案为：．利用等比中项的定义得到，再利用等差中项的定义得到，代入所求式子即可求出结果．本题主要考查了等比中项和等差中项的定义，是基础题．14.答案：解析：解：求导函数，可得，当时，，曲线在点处的切线方程为，即．故答案为：．先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．15.答案：解析：解：、是单位向量，若向量满足，设，，，则，，，故点的轨迹是在以为圆心，半径等于1的圆上，的最大值为，故答案为：．通过建立直角坐标系，进行求解即可．本题考查向量的模，向量的数量积，利用坐标系是解决本题的关键，属于中档题．16.答案：解：Ⅰ由余弦定理可知，，，解得．Ⅱ，且，，，，．解析：Ⅰ由余弦定理可知，，代入已知数据即可得解；Ⅱ由同角三角函数的平方关系可知，，再结合二倍角公式可得，，，最后利用正弦的两角和公式将展开后，代入数据即可得解．本题考查余弦定理和三角恒等变换公式的应用，熟练掌握两角和差公式、二倍角公式等相关公式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．17.答案：解：Ⅰ设“至少有一人命中目标”为事件A，则．或设“两人都没命中目标”为事件B，，“至少有一人命中目标”为事件A，则．Ⅱ的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，．的分布列为0123P数学期望解析：Ⅰ从正面考虑，分三种情况：甲乙均命中、甲中乙未中、甲未中乙中，再求出三种情况的概率和即可；或从反面考虑，先求出甲乙均未中的概率，在利用对立事件的概率求解即可；Ⅱ的所有可能取值为0，1，2，3，则，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望，也可以根据二项分布的性质求数学期望．本题考查相互独立事件的概率、对立事件的概率、二项分布、离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ证明：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得0，，0，，3，，3，，y，，，0，．向量，向量，，，，即，，，所以平面ADF．Ⅱ解：设为平面ADF的法向量，则，不妨令，可得为平面ADF的一个法向量，向量直线DE与平面ADF所成角为，于是有，所以，得，舍1，，3，，线段CE的长为2．设b，为平面PED的法向量，，则，不妨令，可得为平面ADF的一个法向量，又为平面ADE的一个法向量，二面角的余弦值为：．解析：Ⅰ以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面ADF．Ⅱ求出平面ADF的法向量和平面ADF的一个法向量，利用向量法能求出线段CE的长．求出平面PED的法向量，和平面ADF的一个法向量，平面ADE的一个法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线段长和二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．19.答案：解：椭圆C：经过点，可得由离心率得，即，则，代入解得，，故椭圆的方程为方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为代入椭圆方程并整理得设，，，在方程中，令得，M的坐标为，从而，，注意到A，F，B共线，则有，即有所以代入得又，所以故存在常数符合题意方法二：设，则直线FB的方程为令，求得从而直线PM的斜率为，联立，得，则直线PA的斜率，直线PB的斜率为所以，故存在常数符合题意解析：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能解答．由题意将点P代入椭圆的方程，得到，再由离心率为，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；方法一：可先设出直线AB的方程为，代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设，，利用根与系数的关系求得，，再求点M的坐标，分别表示出，，比较即可求得参数的值；方法二：设，以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出，，比较即可求得参数的值20.答案：解：Ⅰ函数的定义域为．求导数，得．若，则，是上的增函数，无极值；若，令，得．当时，，是增函数；当时，，是减函数．当时，有极大值，极大值为．综上所述，当时，的递增区间为，无极值；当时，的递增区间为，递减区间为，极大值为Ⅱ是函数的零点，，即，解得．，，．由Ⅰ知，函数在上单调递减，函数在区间上有唯一零点，因此．解析：先求函数的导函数，并确定函数的定义域，再解不等式，，即可分别求得函数的单调增区间和单调减区间，进而利用极值定义求得函数的极值，由于导函数中含有参数a，故为解不等式的需要，需讨论a的正负；将代入函数，即可得a的值，再利用中的单调性和函数的零点存在性定理，证明函数的另一个零点是在区间上，即可证明结论本题主要考查了导数在函数单调性和函数极值中的应用，连续函数的零点存在性定理及其应用，分类讨论的思想方法，属中档题。
天津市红桥区2020届高三第二次模拟考试(含答案)
天津市红桥区2020屆高三第二次模拟考试地理试题读下图中的①②③④四种地貌景观，回答1-2题。
1.主要由侵蚀作用形成的是A.①②B.②③C.③④D.①④2.有利于交通设施建设的是A.①②B.②③C.③④D.①④下图为某时某区域海平面等压线分布示意團图。
完成3-4题。
3.图中甲地天气系统及气流运动分别是A.气旋，顺时针辐散B.反气旋，逆时针辐散C.高压系统，顺时针辐合D.低压系统，逆时针辐合4.四地中天气状况可能是A.甲地电闪雷鸣B.乙地北风劲吹C.丙地风雨交加D.丁地阴雨连绵川东——鄂西、川西——滇西北、滇东南——桂西是中国种子植物特有属的三大分布中心。
云南大理苍山位于横断山系东缘的滇西北地区。
下图为苍山东坡植被垂直分布格局变化图。
据此完成5-7题。
5.图示植被状况从原生到现状的变化，最能反映A.人类干扰强烈B.局部气候变冷C.植被自然演化D.生物多样性增强6.现状苍山东坡亚高山草甸地区比云南松林地区A.热量更充足B.地表气温高C.光照条件好D.水土流失严重7.川西——滇西北地区相较于其他两大中心，植物更为丰富多样，关键在于其A.水热组合好B.气候垂直变化大C.纬度位置最低D.区域面积最大右图是我国某区域沿30°N一线7月月均温、7月月降水量变化示意图，读图完成8-9题。
8.导致图中气温、降水变化的主要因素是A.纬度B.地形C.大气环流D.海陆分布9.关于图示区域地理特征的说法，可信的是A.①区域海拔较低，交通运输较发达B.②区域水能丰富，经济较发达C.③区域的西部可能有洪积——冲积平原D.图示区域的人口密度与降水量正相关10.判断右图所示地区人口数量最多的年份是A.2003 年B.2004 年C.2005年D.2011 年11.“ 人口倒挂”是指外来常住人口数量超过本地居民数量(户籍人口数)的现象。
图示为上海市人口倒挂区吸引外来人员的可能原因是A.大量建造高档住宅区B.加工制造业迅速发展C.区域商业中心迅速发展D.大量开发旅游景点12.促使网上购物这种商业组织形式快速发展的主要原因是A.生产方式改变B.人口素质提高C.城市规模扩大D.信息技术发展城市化过程中，常住人口出现持续流失的城市被称为“收缩型城市”。
2020-2021学年天津市高三第二次模拟考试数学试题(文)及答案解析
高考二模考试数学试卷（文史类）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数i t z +=21,i z 212-=,若21z z 为实数,则实数t 的值是( ) A ．41- B ．-1 C ．41 D ．1 2. 设集合}01{2<-=x x A ,},2{A x y y B x ∈==,则=B A I ( )A ．(0,1)B ．(-1,2)C ．),1(+∞-D ．)1,21( 3. 已知函数⎩⎨⎧<≥•=-0,20,2)(x x a x f x x (R a ∈).若1)]1([=-f f ,则=a ( ) A ．41 B ．21 C ．2 D ． 1 4. 若a ,R b ∈，直线l :b ax y +=,圆C :122=+y x .命题p :直线l 与圆C 相交；命题q ：12->b a .则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 为丰富少儿文体活动，某学校从篮球，足球，排球，橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是( )A ．31B ．21 C. 32 D ．65 6. 已知抛物线x y 82=的准线与双曲线116222=-y a x 相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．12+ C.2 D ．37. 若数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为a a n n •-=+2016)1(，nb n n 2017)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．)21,1[- B ．[-1,1） C.[-2,1) D ．)23,2[- 8. 已知函数⎩⎨⎧≤++<+=a x x x a x x x f ,25,2)(2，若函数x x f x g 2)()(-=恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[-1,1)B ．[-1,2) C. [-2,2) D ．[0,2]第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间为 ．10.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 值分别为0和9，则输出的i 值为 ．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.已知0>a ，0>b ，且42=+b a ，则ab1的最小值是 ． 13.已知0>ω，在函数x y ωsin =与x y ωcos =的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为 ．14.如图，已知ABC ∆中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足2==PB MP MC AM ，若2=AB ，3=AC ，︒=∠120BAC ，则BC AP •的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.投资人对甲乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？最大盈利额为多少？16. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知2)4tan(=+A π.（Ⅰ）求)32cos(π+A 的值；（Ⅱ）若4π=B ，3=a ，求ABC ∆的面积.17. 如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，BC AD //，且，3===AC AD AB ，4==BC PA ，M 为线段AD 上一点，MD AM 2=，且N 为PC 的中点.（Ⅰ）证明：//MN 平面PAB ；（Ⅱ）求证：平面⊥PMC 平面PAD ；（Ⅲ）求直线AN 与平面PMC 所成角的正弦值.18. 已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 832+=，}{n b 是等差数列，且1++=n n n b b a .（Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式； （Ⅱ）令nn n n n b a c )2()1(1++=+，求数列}{n c 的前n 项和n T . 19. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，直线x y =被椭圆C 截得的线段长为5104. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AB AD ⊥.直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.设直线BD ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，证明存在常数λ使得21k k λ=，并求出λ的值.20.选修4-4：坐标系与参数方程 设函数xm x x f +=ln )(，R m ∈. （Ⅰ）当e m =时，求函数)(x f 的极小值； （Ⅱ）讨论函数3)()(x x f x g -'=零点的个数； （Ⅲ）若对任意的0>>a b ，1)()(<--ab b f a f 恒成立，求m 的取值范围.数学试卷（文史类）参考答案一、选择题1-5:ADABC 6-8:ADB二、填空题9. ),2(+∞ 10.3 11.335 12. 21 13. π 14.-2三、解答题15.解：设甲、乙两个项目的投资分别为x 万元，y 万元，利润为z （万元），由题意有：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,8.11.03.0,10y x y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,8.113,10y x y x y x y x z 5.0+=.作出不等式组的平面区域：当直线z x y 22+-=过点M 时，纵横距最大，这时z 也取得最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+18310y x y x .得4=x ，6=y ，即)6,4(M .765.041=⨯+⨯=z .故投资人投资甲项目4万元，投资乙项目6万元，可能的盈利最大，最大盈利7万元.16.解：（Ⅰ）∵2)4tan(=+A π，则2tan 4tan 1tan 4tan =-+A Aππ，∴31tan =A . ∵A 为三角形内角，则),0(π∈A ，则1010sin =A ，10103cos =A ， ∴53cos sin 22sin ==A A A ，541cos 22cos 2=-=A A ， ∴3cos 2cos )32cos(ππA A =+1010343sin 2sin -=-πA . （Ⅱ）由正弦定理可知，Aa Bb sin sin =∴53=b . ∵B A B A C cos sin )sin(sin =+=552sin cos =+B A . ∴9sin 21==C ab S . 17.解：（1）取PB ，BC 中点E ，F ，连EN ，AE ，AF ，由N 为PC 中点，所以BC EN //，且221==BC EN .由MD AM 2=，3=AC ，则2=AM ，又BC AD //，则AM EN //. 所以四边形ENMA 为平行四边形，所以AE MN //，且⊂AE 面PAB ，⊄MN 面PAB ，则//MN 面PAB .（2）∵AC AB =，∴BC AF ⊥，又FC AM //，2==FC AM 所以四边形AFCM 为平行四边形，故AD CM ⊥.又∵⊥PA 面ABCD .⊂CM 面ABCD ，∴⊥CM PA .又A PA AD =I ，所以⊥CM 面PAD ，∵⊂CM 面ABCD ，∴面⊥PMC 面PAD .（3）过A 作PM AG ⊥，垂足为G .由（2）知面⊥PMC 面PAD ，面I PMC 面PAD PM =，⊂AG 面PAD ，∴⊥AG 面PMC ，连接AN ，GN .则GN 为AN 在平面PMC 上的射影，∴ANG ∠为AN 与平面PMC 所成角. ANG Rt ∆中==PC AN 21252122=+AC PA ， 55422=+•=AM PA AMPA AG ，2558sin ==∠AN AG ANG ， ∴AN 与平面PMC 所成角正弦值为2558.18. 解：（Ⅰ）由题知，当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，1111==S a ，符合上式.所以56+=n a n .设数列}{n b 的公差d ，由⎩⎨⎧+=+=,,322211b b a b b a 即为⎩⎨⎧+=+=,3217,21111d b d b ，解得41=b ，3=d ，所以13+=n b n .（Ⅱ）112)1(3)33()66(+++=++=n nn n n n n c ，n n c c c T +++=...21，则 +⨯+⨯⨯=322322[3n T ]2)1(...1+⨯++n n ，+⨯+⨯⨯=432322[32n T ]2)1(...2+⨯++n n ，两式作差，得+++⨯⨯=-4322222[3n T ]2)1(2...21++⨯+-+n n n]2)1(21)21(44[32+⨯+---+⨯=n n n223+•-=n n .所以223+•=n n n T .19. 解：（Ⅰ）∵23=e ，∴23=a c ，4322222=-=a b a a c ，∴224b a =.① 设直线x y =与椭圆C 交于P ，Q 两点，不妨设点P 为第一象限内的交点.∴5104=PQ ，∴)552,552(P 代入椭圆方程可得222245b a b a =+.② 由①②知42=a ，12=b ，所以椭圆的方程为：1422=+y x . （Ⅱ）设)0)(,(1111≠y x y x A ),(22y x D ，则),(11y x B --，直线AB 的斜率为11x y k AB =，又AD AB ⊥，故直线AD 的斜率为11x y k -=.设直线AD 的方程为m kx y +=，由题知 0≠k ，0≠m 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y ，得mkx x k 8)41(22++0442=-+m . ∴221418k mk x x +=+，)(2121x x k y y +=+24122km m +=+，由题意知021≠+x x ， ∴1121211441x y k x x y y k =-=++=，直线BD 的方程为)(41111x x x y y y +=+. 令0=y ，得13x x =，即)0,3(1x M ，可得=2k 112x y -，∴2121k k -=，即21-=λ. 因此存在常数21-=λ使得结论成立. 20. 解：（1）由题设，当e m =时，x e x x f +=ln )(，易得函数)(x f 的定义域为),0(+∞，221)(xe x x e x xf -=-='.∴当),0(e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 在),0(e 上单调递减； ∴当),(+∞∈e x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),(+∞e 上单调递增；所以当e x =时，)(x f 取得极小值2ln )(=+=ee e ef ，所以)(x f 的极小值为2. （2）函数=-'=3)()(x x f x g 312x x m x --)0(>x ，令0)(=x g ，得x x m +-=231)0(>x . 设)0(31)(2≥+-=x x x x ϕ，则=+-='1)(2x x ϕ)1)(1(+--x x . ∴当)1,0(∈x 时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ在（0,1）上单调递增；∴当),1(+∞∈x 时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ在),1(+∞上单调递减；所以)(x ϕ的最大值为32131)1(=+-=ϕ，又0)0(=ϕ，可知： ①当32>m 时，函数)(x g 没有零点； ②当32=m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点； ③当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点； ④当0≤m 时，函数)(x g 有且只有1个零点.综上所述： 当32>m 时，函数)(x g 没有零点；当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点；当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点. （3）对任意0>>a b ，1)()(<--a b a f b f 恒成立，等价于a a f b b f -<-)()(恒成立. )(*.设=-=x x f x h )()()0(ln >-+x x xm x ，∴)(*等价于)(x h 在),0(+∞上单调递减. ∴011)(2≤--='x m x x h 在),0(+∞上恒成立， ∴=+-≥x x m 241)21(2+--x )0(>x 恒成立， ∴41≥m （对41=m ，0)(='x h 仅在21=x 时成立）. ∴m 的取值范围是),41[+∞.。
天津市红桥区2020届高三第二次模拟考试试题(数学)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(A){}1,0,1- (B){}1,0 (C){}1,0-(D){}2,1,0,1-（2）若数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，且333a S =，则公比=q(A)21-(B)21(A)b a c >> (B)a b c >>(C)c b a >>(D)a c b >>（4）设0log :2<x p ，12:1<-x q ，则p 是q 的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件（6）已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是(A)π32(B)π34（7）将函数x x y cos 3sin -=的图像沿x 轴向右平移)0(>m m 个单位长度，所得函数的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是(A)12π-(B)12π(C)6π-(D)6π （8）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点与抛物线)0(22>=p px y 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为)1,2(--，则双曲线的焦距为(A)22 (B)32(C)4(D)52（9）已知函数⎩⎨⎧≤-->-=0,20,12)(2x x x x x f x ，若函数m x f x g -=)()(有三个零点，则实数m 的取值范围是 (A)()0,∞- (B)()+∞,1(C)()0,1(D)[]1,0二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． （10）若i 为虚单位，则复数=-2)1(3i ______.（11）某校三个社团的人员分布如下表（每名同学只能参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果武术社被抽出12人，则这三个社团人数共有______.（12）已知二项式21()nx x+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是______.（13）已知实数b a ,满足条件：0<ab ，且1是2a 与2b 的等比中项，又是a 1与b1的等差中项，则=++22ba ba ______. （14）曲线)1ln 3(+=x x y 在点），（11处的切线方程为______.（15）已知b a ,是单位向量，且0=⋅b a ，若向量c 满足1=--b a c ，则c 的最大值是______.三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为32和43，且各次射击互相独立. （Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；（Ⅱ）若甲连续射击3次，设命中目标次数为ξ，求命中目标次数ξ的分布列及数学期望. （18）（本小题满分15分）四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，且2==AB PA ，3=AD ，E 是线段BC 上的动点，F 是线段PE 的中点.（Ⅰ）求证：⊥PB 平面ADF ；（Ⅱ）若直线DE 与平面ADF 所成角为30， （1）求线段CE 的长；（2）求二面角A ED P --的余弦值. （19）（本小题满分51分）（20）（本小题满分51分）函数ax x x f -=ln )(，R ∈a . （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知e x =1和2x 是函数)(x f 的两个不同的零点，求a 的值并证明：232e x >.（其中e 为自然对数的底数）高三数学参考答案一、选择题每题5分二、填空题每题5分 10.i 2311.15012.1013.31-14.34-=x y 15.12+ 三、解答题。
【KS5U解析】天津市部分区2020届高考二模数学试题 Word版含解析
所以 ，
，
当 时， 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
三､解答题：本大题共5个小题，共75分；解答应写出必要的文字说明､推证过程或演算步骤.
16.天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养.该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”(每位学生只能参加一个小组)，以便课间学生进行相互帮扶.已知该校某班语文､数学､英语三个兴趣小组学生人数分别为10人､10人､15人.经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步.现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查.
17.已知各项均为正数的数列 ，满足 ( ).
（1）求证： 为等比数列，并写出其通项公式；
（2）设 ( )，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析， .（2）
【解析】
【分析】
（1）由 可得 ，然后两式相减得 ，然后求出 即可
（2）利用错位相减法求出 即可.
【详解】（1）因为 ( )， ①
所以，当 时，有 ，②
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合复数的运算法则可得 ，进而可得 ，求得 后，由复数模的概念即可得解.
【详解】由题意 ，
所以复数 的实部为 ，解得 ，
所以 ，所以 .
故选：D
【点睛】本题考查了复数的运算、复数实部的概念以及复数模的概念，属于基础题.
4.函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ( 为常数)，则 （ ）
2020天津市部分区二模数学试题参考答案(02.06稿)
天津市部分区2020年高三质量调查试卷（二）数学试卷参考答案一、选择题：(本大题共9个小题，每小题5分，共45分)二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)10．221916x y -= 11．2- 12． 13．2 14．2；10 15．920-三、解答题：（本大题共5个小题，共75分）16．解：（1）依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2:2:3，因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别 抽取2人、2人、3人． ……………………………………………………………3分 （2）（ⅰ）依题意，得随机变量X 的所有可能取值为2，3，4．………………4分所以，45247()(2,3,4)k kC C P X k k C -⋅===．…………………………………………5分 因此，所求随机变量X 的分布列为………………………………………………10分故随机变量X 的数学期望为1020520()2343535357E X =⨯+⨯+⨯=． ……………………………………11分 （ⅱ）依题意，设事件B 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”.则有M B C =U ，且B 与C 互斥. 由①知，()(2),()(3)P B P X P C P X ====，所以6()()(2)(3).7P M P B C P X P X ===+==U ………………………13分 故事件M 发生的概率为67． ……………………………………………………14分 17.（1）证明：因为()2=31n n S a -（n ∈N *）， ①所以，当2n ≥时，有()-1-12=31n n S a -， ② ……………………………1分 ①-②得()()112=3n n n n S S a a ----， 即12=33n n n a a a --，所以1=3n n a a -（n ∈N *，2n ≥）．………………………3分 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列． …………………………………………4分 又由①得()112=31S a -，所以13a =． …………………………………………5分所以111333n n nn a a q --==⨯=． …………………………………………………7分（2）解：由题意及（1）得()()21213=-=-n n n b n a n ． ………………………8分 所以()121333213=⨯+⨯++-⋅L n n T n ， ③所以()()23131333233213+=⨯+⨯++-⋅+-⋅L n n n T n n ， ④ …………10分 ③-④，得()1231213232323213+-=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅L n n n T n………………12分()()11231323333213+=-+++++--⋅L n n n()()()1133132213621331++-=-+⨯--⋅=----n n n n n ， …………14分故()1313n n T n +=+-． …………………………………………………………15分18.（1）证明：因为AB //CD ，90∠=oBAD ，所以90ADC ∠=o.又因为1==AD CD ，所以ACD ∆是等腰直角三角形,所以AC =45CAD ∠=o ． …………………………………………………2分又因为90∠=oBAD ，45ABC ∠=o，所以90ACB ∠=o，即AC BC ⊥． ………………………………………………3分 因为⊥PC 底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥.又PC AC C =I ,所以BC ⊥平面PAC ． ………………………………………6分 （2）解：在Rt ∆ABC 中, 45ABC ∠=o，AC =BC =由（1）知，BC ⊥平面PAC ，所以BPC ∠是直线PB 与平面PAC所成的角，则sin BPC ∠=． ………7分 在Rt ∆PBC 中, sin 3BC PB BPC ===∠所以2PC ==． ……………………………………………………8分【方法一】以点C 为原点，分别以,,AC CB CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． …………………………9分 则()()()()0,0,0,0,0,2,,C P A B . 因为E 为PB的中点，所以0,12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以(),0,2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ．…………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2y z ⎧=+=⎩ 令2y =，得0,x z ==(0,2,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()0,1,0n =r为平面PAC 的一个法向量． ……………13分所以cos ,m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --…………………………………15分 【方法二】以点C 为原点，分别以,,CB CA CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． ………………………9分 则()()())0,0,0,0,0,2,,C P A B.因为E 为PB的中点，所以012E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，所以(),2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ． …………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2x z =+=⎩ 令2x =，得0,y z ==．所以(2,0,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()1,0,0n =r为平面PAC 的一个法向量.………………13分所以cos ,3m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --……………………………………15分 19.（1）解：设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c （0c >），则26c =，所以3c =． ……………………………………………………………1分因为直线AB 过C 的焦点1F ，且2ABF ∆的周长是， 所以()()()2112224AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==所以a =． ……………………………………………………………………2分 所以2221899b a c =-=-=． …………………………………………………3分所以，椭圆C 的方程是221189x y +=． ……………………………………………4分（2）（ⅰ）证明：由题意得，直线OP ：1y k x =，直线OQ ：2y k x =. 因为直线,OP OQ 与圆M 相切，=,化简，得22210010(6)260x k x y k y --+-=； 同理，得222020020(6)260x k x y k y --+-=．……………………………………6分所以12,k k 是一元二次方程2220000(6)260x k x y k y --+-=的两实数根，则有20122066y k k x -⋅=-．………………………………………………………………7分又因为点00(,)M x y 在C 上，所以22001189x y +=，即2200192y x =-， 所以()22001222001136122662x x k k x x --===---（定值）． ……………………………9分 （ⅱ）解：22OP OQ +是定值，且定值为27． ……………………………10分 理由如下：【方法一】设),(,),(2211y x Q y x P .由（1）、（2）联立方程组122,1,189y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得212122112118,1218.12x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ …………11分 所以2221112118(1)12k x y k ++=+． …………………………………………………12分同理，得2222222218(1)12k x y k ++=+． ……………………………………………13分 由（2）知1212k k =-， 所以2222221122OP OQ x y x y +=+++2212221218(1)18(1)1212k k k k ++=+++ 22112211118(1())18(1)211212()2k k k k +-+=+++-2121275412k k +=+27=， 所以22=27OP OQ +（定值）．……………………………………………15分 【方法二】设),(,),(2211y x Q y x P , 由（2）知1212k k =-，所以2222121214y y x x =． ………………………………11分 因为),(,),(2211y x Q y x P 在C 上，所以221122221,1891,189x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 即 2211222219,219.2y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ………………………………12分 所以22221212111(9)(9)224x x x x --=，整理得221218x x +=， 所以222212121199922y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………14分 故有22=27OP OQ +（定值）.………………………………………………15分 20.解：（1）由题意,得()()()()sin cos 4cos sin 2sin 4x x x f x e x x e x x e x '=-+++=+，………1分所以()04f '=．因为()03f =，所以()340y x -=-，即所求曲线()=y f x 在点()()0,0f 处的切线方程为430x y -+=． ………3分 （2）易知，函数()h x 的定义域为R ，()2sin '=+g x x ， 且有()()''=-h x f x ()'ag x()()()()2sin 4sin 22sin 2=+-+=-+x x e x a x e a x ．……………5分由于sin 20+>x 在∈x R 上恒成立，所以①当0≤a 时，20->xe a 在∈x R 上恒成立，此时()0'>h x ，所以，()h x 在区间(),-∞+∞上单调递增． ……………………………………7分 ②当0>a 时，由()0'>h x ，即20->xe a ，解得ln2>ax ； 由()0'<h x ，即20-<xe a ，解得ln2<a x . 所以，()h x 在区间,ln 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭a 上单调递减； 在区间ln,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭a 上单调递增． ………………………………………9分 （3）易知，cos 0+-≤xx mx e等价于cos 0--≤x e x x m .设()cos ϕ=--x x e x x m （50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ）．…………………………………10分 由题意，对50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，不等式cos 0+-≤x x m x e 恒成立， 只需()max 0ϕ≤x ． ………………………………………………………………11分 易得()()cos sin 1'ϕ=--x x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x . 令()()cos sin 1=--x t x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ， 所以()()2sin '=-x t x e x ． ……………………………………………………13分 显然，当50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()0'≤t x 恒成立. 所以函数()t x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减，所以()()00≤=t x t ， 即()0'ϕ≤x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 恒成立．……………………………………………14分 所以，函数()ϕx 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减. 所以有()()max 010ϕ=ϕ=-≤x m ， …………………………………………15分 所以1≥m .故所求实数m 的取值范围是[)1,+∞． …………………………………………16分。
2020年天津市部分区高考数学二模试卷
2020年天津市部分区高考数学二模试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合{1A =-，0，1}，{1B =-，2，3}，{|11}C x R x =∈-<„，则()(A B C =U I)A ．{1}-B ．{1-，0}C ．{1-，1}D ．{1-，0，1}2．（5分）已知命题:p x R ∃∈，2230x x ++<，则命题p 的否定是( ) A ．x R ∃∈，2230x x ++> B ．x R ∀∈，2230x x ++„C ．x R ∀∈，2230x x ++…D ．x R ∀∈，2230x x ++>3．（5分）已知i 为虚数单位，若复数1()2aiz a R i+=∈-的实部为1-，则||(z = ) A ．13BC ．53D4．（5分）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，()2(x f x x a a =++为常数），则f （a ）(= )A ．12B ．32 C ．32-D ．2-5．（5分）若sin()3πθ-=，(0,)θπ∈，则cos()(6πθ-= )A ．0B ．12C ．1 D6．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，10100S =，则7(a = ) A ．11B ．13C ．15D ．177．（5分）已知3log 0.3a =，0.3log 2b =，0.23c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>8．（5分）若函数()cos(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<在区间[,]66ππ-上单调递减，且在区间(0,)6π上存在零点，则ϕ的取值范围是( ) A ．(,]62ππB ．25[,)36ππ C ．2(,]23ππD ．[,)32ππ9．（5分）已知函数2171,20,()6,0,x x x f x lnx x e ⎧++-<⎪=⎨⎪<⎩„„函数()g x kx =．若关于x 的方程()()0f x g x -=有3个互异的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．15(,)6eB ．11[,]3eC ．15[,]36D ．1(0,)e二、填空题：本大题共6小题，共30分；答题直接填写结果，不必写计算或推证过程.10．（5分）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为(5,0)F ，且一条渐近线方程是43y x =，则该双曲线的方程是 ．11．（5分）若6()ax x +的展开式中的常数项为160-，则实数a = ．12．（5分）已知点(,)P x y 在直线230x y +-=上，则24x y +的最小值为 ．13．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2sin cos()04a C c A π--=，则cos A = ．14．（5分）如图，点O 是长方体1111ABCD A B C D -的中心，E ，F ，G ，H 分别为其所在棱的中点，且1BC BB =．记棱AB 的长度为l ，点O 到平面11BCC B 的距离为0l ，则l = 0l ；若该长方体的体积为120，则四棱锥O EFGH -的体积为 ．15．（5分）在梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠=︒，2AB =，1CD AD ==，若点M 在线段BD 上，则AM CM u u u u r u u u u rg的最小值为 ． 三、解答题：本大题共5个小题，共75分；解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤.16．（14分）天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养．该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”（每位学生只能参加一个小组），以便课间学生进行相互帮扶．已知该校某班语文、数学、英语三个兴趣小组学生人数分别为10人、10人、15人．经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步．现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查．（1）应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？（2）若抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格．现从这7人中随机抽取4人做进一步的调查．（ⅰ）记X 表示随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ⅱ）设M 为事件“抽取的4人中，有人成绩不全及格”，求事件M 发生的概率． 17．（15分）已知各项均为正数的数列{}n a ，满足*23(1)()n n S a n N =-∈． （1）求证：{}n a 为等比数列，并写出其通项公式； （2）设*(21)()n n b n a n N =-∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（15分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是直角梯形，PC ⊥底面ABCD ，//AB CD ，90BAD ∠=︒，1AD CD ==，45ABC ∠=︒，E 为PB 的中点． （1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）若直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为3，求二面角P AC E --的余弦值．19．（15分）已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，其焦距为6，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长是122 （1）求C 的方程；（2）若0(M x ，0)y 是C 上的动点，从点(O O 是坐标系原点）向圆2200()()6x x y y -+-=作两条切线，分别交C 于P ，Q 两点．已知直线OP ，OQ 的斜率存在，并分别记为1k ，2k ． （ⅰ）求证：12k k 为定值；（ⅱ）试问22||||OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 20．（16分）已知函数()(sin cos 4)x f x e x x =-+，函数()2cos g x x x =-，其中 2.71828e =⋯。