重心法
三角形内心的证明方法
三角形内心的证明方法
一、重心法
重心法是通过求三角形三条中线的交点来确定三角形内心的位置。
中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
具体步骤如下：
1. 连接三角形的三个顶点和对边中点，得到三条中线；
2. 用直尺量取两条中线的交点，得到三角形的重心；
3. 证明重心到三边距离之和最小。
二、角平分线法
角平分线法是通过求三角形三个内角的平分线的交点来确定三角形内心的位置。
平分线是将角分成两个相等角的线段。
具体步骤如下：1. 连接三角形的一个顶点和对边的角平分线的交点，得到一个角平分线；
2. 用直尺量取两条角平分线的交点，得到三角形的内心；
3. 证明内心到三边距离之和最小。
三、辅助线法
辅助线法是通过在三角形内部引入一条辅助线，结合已知条件来确定三角形内心的位置。
具体步骤如下：
1. 连接三角形的一个顶点和对边上的一点，得到一条辅助线；
2. 利用已知条件，如相似三角形、垂直、等边等性质，推导出与内心相关的等式或关系；
3. 根据等式或关系，确定内心的位置；
4. 证明内心到三边距离之和最小。
以上是三种常见的证明三角形内心的方法。
每种方法都有自己的特点和适用条件。
在实际问题中，选择合适的方法来证明三角形内心，可以简化证明过程，提高证明的效率。
通过熟练掌握这些证明方法，我们可以更好地理解三角形内心的性质和应用。
单设施选址规划-重心法
重心法在处理大规模数据时具 有较高的计算效率和准确性， 能够满足实际应用的需求。
重心法在选址规划中需要考虑 多种因素，如运输成本、客户 需求、设施容量等，需要进一 步优化算法以更好地适应实际 情境。
对未来研究的建议与展望
01
进一步研究重心法在不同类型设施选址规划中的应用，如零售、物流、 医疗等，拓展其应用范围。
理想位置。
目的和意义
目的
通过使用重心法，可以快速确定单设施的最优选址位置，从而优化物流和运输成 本，提高运营效率。
意义
重心法在实际应用中具有重要意义，尤其在物流和运输行业中，设施选址的优化 可以显著降低运营成本和提高服务水平。此外，重心法还可以为其他设施选址方 法提供参考和比较的基础，促进选址规划方法的不断发展和完善。
03
重心法的应用场景
物流配送中心选址
总结词
考虑运输成本和客户需求
详细描述
通过计算现有客户的位置和需求量，重心法可以确定一个最佳位置，使得配送 中心到所有客户的总距离最短，从而降低运输成本。
工厂选址
总结词
考虑原材料供应和市场需求
详细描述
重心法可以综合考虑原材料的供应地和产品的需求市场，以确定工厂的最佳位置，使得原材料的运输成本和产品 的销售市场达到最优。
计算总运输距离
根据需求点和候选设施之间的距离， 以及需求量，计算总运输距离。
确定最优位置
通过迭代计算，不断调整候选设施 的位置，直到总运输距离最小化。
优点与局限性
优点
简单易行，能够快速找到一个相对最 优的设施位置；考虑了运输成本，能 够最小化总成本。
局限性
假设需求点均匀分布，实际情况可能 并非如此；未考虑设施建设成本和运 营成本；对数据精度要求较高，否则 可能导致误差较大。
重心法举例
一、简单重心法（运输量重心法）单一物流中心选址---重心法公式：x0 = ( ∑ xiwi ) / ( ∑ wi)y0 = ( ∑ yiwi ) / ( ∑ wi)( x0 , y0 ) ----新设施的地址( xi , yi ) ----现有设施的位置wi ----第i个供应点的运量例题：某物流园区，每年需要从P1地运来铸铁，从P2地运来钢材，从P3地运来煤炭，从P4地运来日用百货，各地与某城市中心的距离和每年的材料运量如表所示。
请用重心法确定分厂厂址。
解：x0 = ( 20×2000+60×1200+20×1000+50×2500 ) / ( 2000+1200+1000+2500) = 35.4y0 = ( 70×2000+60×1200+20×1000+20×2500 ) / ( 2000+1200+1000+2500) = 42.1所以，分厂厂址的坐标为(35.4 , 42.1)二、迭代重心法（“运输量—运输距离—运输费率”重心法）单一物流中心选址---迭代重心法单一物流中心选址---迭代重公式：X = ( ∑Q i R i X i/D i) / ( ∑Q i R i/D i ) Y= ( ∑Q i R i Y i/D i) / ( ∑Q i R i/D i )D i= ( ( X i-X)2+(Y i-Y)2 )1/2F = ∑Q i R i D i(Xi , Yi)----现有目标的坐标位置Qi----运输量Ri----运输费率F----总运费(X , Y)----新仓库的位置坐标Di----现有目标到新仓库的距离解题方法：（1）令Di=1A、求出仓库的初始位置；B、将求出的仓库位置（X，Y）代入Di公式中，求出客户到仓库初始位置的距离；C、计算出仓库初始位置的总运费ΣQiRiDi；( 2 ) 迭代计算：A、将Di代入原公式，求出仓库的新位置坐标（X ，Y）；B、将求出的（X ，Y）代入Di公式中求出Di；C、计算出仓库新位置的总运费ΣiQiRiDi…不断迭代，直到求出的仓库位置和总运费越来越接近于不变，即为所得；注意：牵涉到运输费率要用重心法做；但如无费率，又要求用迭代重心法计算，则令费率为1。
重心法概念
重心法概念重心法概念引言在物理学中，我们经常需要计算物体的重心位置，这个位置可以用来描述物体的平衡状态。
而在工程学和力学中，重心法则是一种非常有用的方法，可以用来计算结构体系或机械系统的重心位置。
本文将详细介绍什么是重心法、如何应用重心法来计算结构体系或机械系统的重心位置以及该方法的优缺点。
什么是重心法？1.定义重心法是一种力学分析方法，它基于质量分布规律来确定结构体系或机械系统的重心位置。
简单地说，它就是通过将整个结构或系统视为一个质点，在考虑各部分质量对整个结构或系统所产生影响时，计算出其质量中心坐标。
2.原理在力学中，物体受到外力作用时会发生运动或变形。
而当物体处于平衡状态时，则需要满足以下两个条件：(1)总合力为零；(2)总合力矩为零。
其中，总合力矩为零意味着物体不会发生旋转。
因此，在考虑结构体系或机械系统平衡状态时，我们只需要关注其重心位置。
3.应用重心法可以应用于各种结构体系或机械系统的计算中，如桥梁、建筑物、船只、飞机等。
通过计算重心位置，可以确定结构体系或机械系统的平衡状态，从而进行设计和优化。
如何应用重心法？1.确定质量分布规律在应用重心法计算结构体系或机械系统的重心位置时，首先需要确定其质量分布规律。
这可以通过测量、估算或模拟得到。
通常情况下，我们将整个结构或系统划分为若干个部分，并对每个部分的质量和质心位置进行测量。
2.计算部分质心坐标在确定了各部分质量和质心位置后，我们就可以计算出每个部分的质心坐标。
具体而言，对于一个由n个部分组成的结构体系或机械系统来说，其总质量为M，则第i个部分的质量为mi，其质心坐标为(xi,yi,zi)。
则该部分对整个结构体系或机械系统的重力矩为：Mi = mi * g * zi其中g为重力加速度。
3.计算总合力矩当我们已经计算出各部分的质心坐标后，就可以计算整个结构体系或机械系统的重心位置。
具体而言，我们可以将其视为一个质点，其总合力矩为：M = ΣMi其中Σ表示对所有部分求和。
重心法的概念
重心法的概念
嘿，大家知道什么是重心法吗？听起来好像很专业很复杂的样子，但其实它并没有那么难理解啦！
想象一下，你有一堆东西，要怎么找到一个最合适的点来平衡它们呢？这个点就是重心啦！重心法呢，就是一种用来确定这个关键平衡点的方法。
比如说，你有一堆积木，你想让它们稳稳地堆起来，那你就得找到一个能让整个积木结构平衡的位置，这其实就是在找重心呀。
在实际生活中，重心法的应用可多了去了。
比如在物流领域，仓库要怎么选址才能让货物运输最方便、成本最低呢？这时候就可以用重心法来帮忙啦！通过计算各个需求点的位置和需求量，就能找到一个最理想的仓库位置，就好像找到了让整个物流系统平衡的那个关键点。
再想想看，在建筑设计中，高楼大厦要稳稳地矗立在那里，设计师们也得考虑重心呀。
如果重心不稳，那不是很危险吗？
这不就跟我们人一样嘛，如果我们心里没有一个平衡的点，就会觉得慌乱、不知所措。
重心法就像是我们生活中的一个指引，帮助我们找到平衡和稳定。
大家想想看，要是没有重心法，很多事情是不是会变得一团糟呀？物流会混乱，建筑会不安全，那我们的生活不就乱套了吗？所以说呀，重心法真的超级重要呢！
总之，重心法虽然听起来有点神秘，但其实它就在我们身边，默默地发挥着重要的作用呢！它让我们的生活更有序、更稳定，难道我们不应该好好了解它、重视它吗？。
重心法的原理及应用
重心法的原理及应用1. 什么是重心法重心法，也被称为质心法，是一种物体力学分析方法，用于确定物体的重心位置。
重心是指物体的质量均分所在的点，是物体平衡时所处位置。
在重力作用下，物体始终将尽可能的将其重心位置放在支撑面的正上方，以保持稳定。
2. 重心法的原理重心法的基本原理是根据物体的形状、质量分布和重心位置来分析物体在力的作用下的平衡情况。
以下是重心法的基本原理：•物体的重心是物体的质量均分所在的点，同时也是物体所受重力合力作用的点。
•在平衡状态下，物体的重心位置将位于支撑面的正上方，使得物体保持稳定。
•如果物体的形状不规则或质量分布不均匀，则需要通过计算来确定重心位置。
3. 重心法的应用重心法在工程和科学领域有着广泛的应用。
以下是重心法在几个具体领域的应用示例：3.1. 建筑工程在建筑工程中，重心法通常用于确定建筑物的重心位置，以保证建筑物的稳定性和结构的安全。
通过计算建筑物的重心位置，可以在设计阶段确定支撑点的位置和数量，以确保建筑物能够承受外力和重力的作用。
3.2. 交通工程在交通工程中，重心法被广泛应用于车辆稳定性和安全性的分析。
例如，在设计卡车或公共汽车时，重心位置的确定对于车辆的稳定性和操控性至关重要。
通过计算车辆的重心位置，可以确定合适的悬挂系统和减震器，以确保车辆在行驶过程中的稳定性和安全性。
3.3. 机械设计在机械设计中，重心法被应用于确定机械设备的平衡性和稳定性。
通过计算机械设备的重心位置，可以确定合适的支撑点和结构布局，以确保机械设备在工作过程中的稳定性和安全性。
3.4. 航空航天工程在航空航天工程中，重心法被广泛用于飞行器的设计和控制。
通过计算飞行器的重心位置，可以确定合理的燃料使用和负载分配，以确保飞行器的稳定性和机动性。
4. 总结重心法是一种基于物体形状和质量分布的力学分析方法，用于确定物体的重心位置。
它在工程和科学领域有着广泛的应用，如建筑工程、交通工程、机械设计和航空航天工程等。
重心法的公式
重心法的公式
重心法公式包括：
1. 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)。
2. 空间直角坐标系中，横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3。
3. 重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
4. (莱布尼兹公式)三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则
3PG^2=(AP^2+BP^2+CP^2)-1/3(AB^2+BC^2+CA^2)。
5. 在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，
则 AB/AP+AC/AQ=3。
6. 从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得
的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，
r=1/18(AB^2+BC^2+CA^2)为半径的圆周上。
如需了解更多重心法的公式，建议查阅数学书籍或咨询数学专家。
重心法举例
一、简单重心法（运输量重心法）单一物流中心选址---重心法公式：x0 = ( ∑ xiwi ) / ( ∑ wi )y0 = ( ∑ yiwi ) / ( ∑ wi )( x0 , y0 ) ----新设施的地址( xi , yi ) ----现有设施的位置wi ----第i个供应点的运量例题：某物流园区，每年需要从P1地运来铸铁，从P2地运来钢材，从P3地运来煤炭，从P4地运来日用百货，各地与某城市中心的距离和每年的材料运量如表所示。
请用重心法确定分厂厂址。
解：x0 = ( 20×2000+60×1200+20×1000+50×2500 ) / ( 2000+1200+1000+2500) = 35.4y0 = ( 70×2000+60×1200+20×1000+20×2500 ) / ( 2000+1200+1000+2500) = 42.1所以，分厂厂址的坐标为(35.4 , 42.1)二、迭代重心法（“运输量—运输距离—运输费率”重心法）单一物流中心选址---迭代重心法单一物流中心选址---迭代重公式：X = ( ∑Q i R i X i/D i) / ( ∑Q i R i/D i ) Y= ( ∑Q i R i Y i/D i) / ( ∑Q i R i/D i )D i= ( ( X i-X)2+(Y i-Y)2 )1/2F = ∑Q i R i D i(Xi , Yi)----现有目标的坐标位置Qi----运输量Ri----运输费率F----总运费(X , Y)----新仓库的位置坐标Di----现有目标到新仓库的距离解题方法：（1）令Di=1A、求出仓库的初始位置；B、将求出的仓库位置（X，Y）代入Di公式中，求出客户到仓库初始位置的距离；C、计算出仓库初始位置的总运费ΣQiRiDi；( 2 ) 迭代计算：A、将Di代入原公式，求出仓库的新位置坐标（X ，Y）；B、将求出的（X ，Y）代入Di公式中求出Di；C、计算出仓库新位置的总运费ΣiQiRiDi…不断迭代，直到求出的仓库位置和总运费越来越接近于不变，即为所得；注意：牵涉到运输费率要用重心法做；但如无费率，又要求用迭代重心法计算，则令费率为1。
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yi
算例二 设区域内有P1(2,2)、P2(11,3)、P3(10,8)、 设区域内有P1(2,2)、P2(11,3)、P3(10,8)、 P1(2,2) P4(4,9)四个物流需求点，其货物需求量分别为2 P4(4,9)四个物流需求点，其货物需求量分别为2， 四个物流需求点 3，2.5，1吨，运输费率均为5，请用微分法求配送 运输费率均为5 2.5， 中心的最佳位置。 中心的最佳位置。
i =1 n i i i
n
∑ (a w )
i =1 i i
某公司拟在某城市建设一座化工厂， 算例一 某公司拟在某城市建设一座化工厂，该厂每年要从
P、Q、 R、 S 四个原料供应地运来不同原料。已知各地距城 四个原料供应地运来不同原料。
市中心的距离和年运量如表，假定各种材料运输费率相同， 市中心的距离和年运量如表，假定各种材料运输费率相同， 试用重心法确定该厂的合理位置。 试用重心法确定该厂的合理位置。 厂址坐标及年运输量表 供应地 年运输量/t 年运输量 P 2 200 Q 1 900 R 1 700 S 900 供应地坐标 （50，60） （60，70） （19，25） （59，45） ， ） ， ） ， ） ， ）
微分法是为了克服重心法的缺点而提出来的， 微分法是为了克服重心法的缺点而提出来的，利用重心法的结果 作为初始解，并通过迭代获得精确解。 作为初始解，并通过迭代获得精确解。 缺点：这种方法在迭代次数较多时，计算工作量比较大， 缺点：这种方法在迭代次数较多时，计算工作量比较大，计算成 本也较高。 本也较高。
ai ——表示配送中心到客户i的运费率 表示配送中心到客户i 表示配送中心到客户 wi ——表示配送中心到客户i的运输量 表示配送中心到客户i 表示配送中心到客户
则：p0 ( x0 , y0 )
x0 =
∑ (a w x )
i =1 n i i i
n
∑ (a w )
i =1 i i
y0 =
∑ (a w y )
重心法的局限性： 重心法的局限性： 重心法将纵向和横向的距离视为互相独立的量， 重心法将纵向和横向的距离视为互相独立的量， 与实际不相符，求出的解比较粗糙， 与实际不相符，求出的解比较粗糙，它的实际意 义在于能为选址人员提供一定的参考。 义在于能为选址人员提供一定的参考。
（2）微分法（迭代重心法） ）微分法（迭代重心法）
迭代重心法求解步骤：目标值（ 迭代重心法求解步骤：目标值（x0，y0）
（1）利用重心公式，求得初始解（x00，y00）； ）利用重心公式，求得初始解（ 代入总运费公式， （2）将初始解代入距离公式求得di；代入总运费公式，计算总 ） 运费C0； 代入目标公式，求得第一次迭代的解（ （3）将di代入目标公式，求得第一次迭代的解（x01，y01）； ） ），求得 新值； （4）重复步骤（2），求得di新值；计算总运费C1 ，比较C1 ）重复步骤（ ）， 的大小。 则继续迭代； 与C0的大小。若C1＜C0 ，则继续迭代；若C1＝C0 ，则结 束运算， 即为所求最优解； 束运算，（x01，y01）即为所求最优解； ）（2）， 表示迭代次数）。 （5）重复步骤（3）（ ），直到Cn＝Cn-1（n表示迭代次数）。 ）重复步骤（ ）（ ），直到 表示迭代次数
9.1
结论：（8.6，5.1）为最优解，即配送中心 结论：（8.6，5.1）为最优解， ：（8.6 应选取坐标为（8.6，5.1） 处的位置。 应选取坐标为（8.6，5.1） 处的位置。
重心法
假设条件： 假设条件： 1、运输费只与配送中心和客户的直线距离有 关，不考虑城市交通状况； 不考虑城市交通状况； 2、不考虑配送中心所处地理位置的地产价格。 不考虑配送中心所处地理位置的地产价格。
拟建配送中心坐标为 p0 ( x0 , y0 ) , 其配送客户的 其中i= i=1 ……n 坐标为 pi ( xi , yi ) ，其中i=1，2，……n。
50 × 2200 + 60 × 1900 + 19 × 1700 + 59 × 900 x0 = km = 46.2km 2200 + 1900 + 1700 + 900
60 × 2200 + 70 × 190Байду номын сангаас + 25 × 1700 + 45 × 900 y0 = km = 51.9km 2200 + 1900 + 1700 + 900