曲线拟合-PPT精选文档
-11.2705
-8.0196 -4.0604 0.0000 3.9012 7.6049
12.62
15.77 18.01 19.75 21.16 22.36
0.1017
0.0053 0.0361 1.0921 0.0563 0.0566
1.6
23.8
0.4700
0.2209 566.44
4.1078 2671.63
54 50 45 37 35 25 20 16 18 13
4.双曲形式关系
6.多项式形式关系
(一) 指数关系曲线
ˆ ae y
两种形式：
y
bx
ˆ ab y
x
a >0,b>0
a >0,b<0
0
x
当a>0，b>0时，Y随x的↑而↑，曲线凹向上； 当a>0，b<0时，Y随x的↑而↓，曲线也是凹向上。
(二) 对数关系曲线
方程为:
y
ˆ y a b ln x
(五) S型曲线 • S型曲线由于其曲线形状与动、植物的生长过程的 基本特点类似，故又称生长曲线，曲线一开始时 增长较慢，而在以后的某一范围内迅速增长，达 到一定的限度后增长又缓慢下来，曲线呈拉长 的”S”，故称S曲线 • 最著名的曲线是Logistic生长曲线，它最早由比利 时数学家 P.F.Vehulst 于 1838 年导出，但直至 20 世 纪 20 年代才被生物学家及统计学家 R.Pearl 和 L.J. Reed 重新发现，并逐渐被人们所发现。目前它已 广泛应用于多领域的模拟研究。
解决办法
曲线直线化估计(Curve estimation) 非 线 性 / 曲 线 回 归 (Nonlinear/curvilinear regression)
二、曲线直线化
拟合曲线回归方程的步骤： 1. 根据变数 X与Y之间的确切关系，选择适当的曲 线类型。 2. 对选定的曲线类型，在线性化后按最小二乘法 原理配置直线回归方程。 3. 将直线回归方程转换成相应的曲线回归方程， 并对有关统计参数作出推断。 4. 比较决定系数选取“最佳”曲线方程
(四) 双曲关系曲线
x ˆ y a bx
a bx ˆ y x 1 ˆ y
a>0,b<0
a>0,b>0
0
x
0
a b
x
当a>0，b>0时，Y随x的↑而↑，速率趋小，曲线凸向上，并 向y=1/b渐进； 当a>0，b<0时，Y随x的↑而↓，速率趋大，曲线凹向上，并 向y=-a/b渐近。
ˆ Y
7.23
残差平方 0.1380
0.4
0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
12.3
15.7 18.2 18.7 21.4 22.6
-0.9163
-0.5108 -0.2231 0 0.1823 0.3365
0.8396 151.29
0.2609 246.49 0.0498 331.24 0.0000 349.69 0.0332 457.96 0.1132 510.76
(二) 指数函数拟合
例2：表2为15名重伤病人的住院天数X与预后指数Y 的数据，根据两者的关系拟合曲线。
表2 重伤病人的住院天数X与预后指数Y 编 号 X Y 1 2 2 5 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 10 14 19 26 31 34 38 45 52 53 60 65 8 11 8 4 6
12.3
15.7 18.2 18.7 21.4 22.6
1.6
23.8
合计 140.3
1.绘制散点图，决定曲线类型 2.曲线直线化变换 y ˆ a b ln x
表2 免疫球蛋白与火箭高度的关系
X 0.2 Y 7.6 X'＝lnX (lnX')2 -1.6094 2.5902 Y2 57.76 (lnX')Y -12.2314
120 100 80 60 40 20 0 0 -20 20
y = -0.7525x + 46.46 y = 56.665e-0.038x y = -15.966Ln(x) + 72.283 y = 159.93x
-0.7191
40
60
80
曲线拟合 Curve fitting
郑大公卫统计教研室
平智广
(6)多项式回归
当两个变数间的曲线关系很难确定时，可以适 应多项式去逼近，称为多项式回归（ polynomial regression)。
最简单的是二次多项式，其方程为：
ˆ y a b x b x 1 2
2
它的图象是抛物线。
当b2＞0时，曲线凹向上，有一个极小值；
b2 ＜ 0 时，曲线凸向上，有一个极大值。
b>0
b <0
0
x
当b>0时，Y随x的↑而↑，曲线凸向上； 当b<0时，Y随x的↑而↓，曲线凹向上。 根据对数函数的性质，x为大于0的正数。
(三) 幂关系曲线 方程为:
y
ˆ ax y
b
y
a>0,b>1 a >0,b<0 a>0,0<b<1
0 0
x
x
当a>0，b>1时，Y随x的↑而↑，曲线凹向上； 当a>0，0<b<1时，Y随x的↑而↑ ，曲线凸向上； 当a>0，b<0时， Y随x的↑而↓ ，曲线凹向上，且以x轴和y轴为 渐近线。
(一) 对数关系曲线的拟合
ˆ y a b ln x
例1：上海医科大学微生物学教研室以已知浓度X的 免疫球蛋白A(IgA, μg/ml)作火箭电泳, 测得火箭 高度Y(mm)如表1所示。试拟合Y关于X的非线性 回归方程。
表1 免疫球蛋白与火箭高度的关系
X 0.2 Y 7.6
0.4
0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
11.1860
-12.8898
23.40
0.1597
1.6458
合计 140.3 -2.2708
3.建立线性回归方程
回归方程为： Yˆ =19.7451+7.7771lnX 方差分析有统计学意义，P＝0.0000，F＝763.50，表明回 归方程有贡献。 确定系数为0.992，表明回归拟合原资料很好。
医学研究中 X 和 Y 的数量关系常常不 是线性的，如毒物剂量与动物死亡率，人 的生长曲线，药物动力学等，都不是线性 的。如果用线性描述将丢失大量信息，甚 至得出错误结论。
一、非线性关系的类型与特点
根据非线性关系的性质和特点可大致分为6类： 1. 指数形式关系 2.对数形式关系
3. 幂形式关系
5. S型形式关系
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曲线拟合PPT演示文稿
第四讲 曲线拟合
1
第四讲主要知识点
1、曲线拟合的概念 2、曲线拟和的方法 3、解矛盾方程组
2
函数插值问题回忆
• 设已知某个函数关系y f (x) 在某些离散点上的函数值：
x x0 x1 y y0 y1
x n 1 x n y n 1 y n
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f (x)
合函数形式为 pm (x)a0a1xam xm (mn1) ， 求系数 a0*,a1*, ,am * ，使得
n
n
m
( a 0 ,a 1 , ,a m )[ y i p m ( x i) ] 2 [ y ia k x ik ] 2
p m * (x ) i 1 a 0 * a 1 * x a m * x i m 0
15
拟合例题
例2 有一滑轮组，要举起W公斤的重物需要用 F公斤的力，实验所得的数据如下表。
求适合上述关系的近似公式。
16
拟合例题
解 首先，将这些数据画在直角坐标系中，从图形上 看，数据点的分布大致呈一条直线，所以设所求
的拟合直线为 yabx ，
得关于a和b的线性方程组
17
其他类拟合问题
最小二乘法并不只限于多项式，也可用于任 何具体给出的函数形式。特别重要的是有些非线 性最小二乘拟合问题通过适当的变换可以转化为 线性最小二乘问题求解。
确定a和b取何值时，二元函数
的值最小?
N
Q(a,b) [yi (abxi)]2 i1
11
直线拟合
由微积分的知识可知，这一问题的求解， 可归结为求二元函数
Q (a, b) 的极值问题，即 a 和 b
应满足：
12
直线拟合
1
第四讲主要知识点
1、曲线拟合的概念 2、曲线拟和的方法 3、解矛盾方程组
2
函数插值问题回忆
• 设已知某个函数关系y f (x) 在某些离散点上的函数值：
x x0 x1 y y0 y1
x n 1 x n y n 1 y n
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f (x)
合函数形式为 pm (x)a0a1xam xm (mn1) ， 求系数 a0*,a1*, ,am * ，使得
n
n
m
( a 0 ,a 1 , ,a m )[ y i p m ( x i) ] 2 [ y ia k x ik ] 2
p m * (x ) i 1 a 0 * a 1 * x a m * x i m 0
15
拟合例题
例2 有一滑轮组，要举起W公斤的重物需要用 F公斤的力，实验所得的数据如下表。
求适合上述关系的近似公式。
16
拟合例题
解 首先，将这些数据画在直角坐标系中，从图形上 看，数据点的分布大致呈一条直线，所以设所求
的拟合直线为 yabx ，
得关于a和b的线性方程组
17
其他类拟合问题
最小二乘法并不只限于多项式，也可用于任 何具体给出的函数形式。特别重要的是有些非线 性最小二乘拟合问题通过适当的变换可以转化为 线性最小二乘问题求解。
确定a和b取何值时，二元函数
的值最小?
N
Q(a,b) [yi (abxi)]2 i1
11
直线拟合
由微积分的知识可知，这一问题的求解， 可归结为求二元函数
Q (a, b) 的极值问题，即 a 和 b
应满足：
12
直线拟合
离散数据的曲线拟合-PPT精选文档
2
第二章 插值与拟合
2.5.2 多项式的拟合
前面讨论了子空间 中的最小二乘拟合。这是一种线性拟合模型。在离 m 散说据 {xi , yi }i0的最小二乘拟合中，最简单、最常用的数学模型是多项式
( x ) a a x a x .
0 1 n n
n
span { 1 , x , , x } 即在多项是空间 中作曲线拟合，称为多项式拟合。 这是一种特定的线性模型，因此可用上面讨论的方法求解。子空间 得基 k ( x ) x , k 0 , 1 , , n 。 函数为 k
( x)
*
n
k 0
* a k k ( x ) .
* 可以证明，这样得到的 ( x )，对于任何
n n
(x)，都有
2 i
[ y ( x )] [ y ( x )] ,
* 2 i 0 i i i 0 i
* * (x )，显然，平方误差 2 故 ( x )是所求的最小二乘拟合。记 y 2 越小，拟合的效果越好。平方误差有与（2.4.15）相同 或 均方误差 形式的表达式。
第二章 插值与拟合
§2.5 离散数据的曲线拟合
2.5.1 最小二乘拟合
2.5.2 多项式的拟合 2.5.3 正交多项式拟合
曲线拟合
学习目标： 了解曲线拟合最小二乘法的意义。掌握线 性拟合和二次多项式拟合的方法。
第二章 插值与拟合
2.5
离散数据的曲线拟合
m 对于已知的m+1的离散数据 {xi , yi }i0和权数 { i }im 0 ，记
2.5.1 最小二乘拟合
a m in x m ax x i, b i
第二章 插值与拟合
2.5.2 多项式的拟合
前面讨论了子空间 中的最小二乘拟合。这是一种线性拟合模型。在离 m 散说据 {xi , yi }i0的最小二乘拟合中，最简单、最常用的数学模型是多项式
( x ) a a x a x .
0 1 n n
n
span { 1 , x , , x } 即在多项是空间 中作曲线拟合，称为多项式拟合。 这是一种特定的线性模型，因此可用上面讨论的方法求解。子空间 得基 k ( x ) x , k 0 , 1 , , n 。 函数为 k
( x)
*
n
k 0
* a k k ( x ) .
* 可以证明，这样得到的 ( x )，对于任何
n n
(x)，都有
2 i
[ y ( x )] [ y ( x )] ,
* 2 i 0 i i i 0 i
* * (x )，显然，平方误差 2 故 ( x )是所求的最小二乘拟合。记 y 2 越小，拟合的效果越好。平方误差有与（2.4.15）相同 或 均方误差 形式的表达式。
第二章 插值与拟合
§2.5 离散数据的曲线拟合
2.5.1 最小二乘拟合
2.5.2 多项式的拟合 2.5.3 正交多项式拟合
曲线拟合
学习目标： 了解曲线拟合最小二乘法的意义。掌握线 性拟合和二次多项式拟合的方法。
第二章 插值与拟合
2.5
离散数据的曲线拟合
m 对于已知的m+1的离散数据 {xi , yi }i0和权数 { i }im 0 ，记
2.5.1 最小二乘拟合
a m in x m ax x i, b i
第7章 3曲线拟合讲义
7.3 曲线估计曲线估计即曲线拟合，恰当的曲线拟合方法可以准确而快速地反映出实际情况。
在曲线估计中，一般首先绘制自变量和因变量间的散点图，然后通过数据在散点图中的分布特点选择所要进行回归分析的类型。
确定函数关系后再进一步确定函数关系中的未知参数，并进行显著性检验。
曲线估计可以拟合许多常用的曲线关系，当变量之间存在可以使用这些曲线描述的关系时，我们便可以使用曲线回归分析进行拟合。
（一）曲线回归分析的基本原理曲线回归分析的基本任务是通过两个相关变量x 与y 的实际观测数据建立曲线回归方程，以揭示x 与y 间的曲线联系的形式。
曲线回归分析最困难和首要的工作是确定因变量y 与自变量x 之间曲线关系的类型。
通常通过两个途径来确定：(1)利用有关专业知识，根据已知的理论规律和实践经验。
例如，幂函数的形式能较好地表现生产函数；多项式方程能够较好地反映总成本与总产量之间的关系等；(2)若没有已知的理论规律和经验可利用，可在直角坐标系作散点图，观察实测点的分布趋势与哪一类已知函数曲线最接近，然后再选用该函数关系式来拟合数据。
对于可直线化的曲线函数类型，曲线回归分析的基本过程是：先将x 和（或）y 进行变量转换，然后对新变量进行直线回归分析——建立直线回归方程并进行显著性检验，最后将新变量还原为原变量，由新变量的直线回归方程得出原变量的曲线回归方程。
还有一情况是找不到已知的函数曲线较接近数据的分布趋势，这时可利用多项式回归，通过逐渐增加多项式的高次项来拟合，直到满意为止。
在实际问题中，用户往往不能确定究竟该选择何种函数模型更接近样本数据，这时可以采用曲线估计的方法，其步骤如下：1.根据实际问题本身特点，同时选择几种模型；2.SPSS 自动完成模型的参数估计，并显示R2、F 检验值、相伴概率值等统计量；3.选择具有R2统计量值最大的模型作为此问题的回归模型，并作一些预测。
（二）曲线回归模型SPSS 中的本质线性模型有： 模型回归方程变换后的线性方程一元曲线（linear ） 01y x ββ=+二次曲线（Quadratic ） 2012y x x βββ=++ ()201211y x x x x βββ=++=复合曲线（Compound ） 01x y ββ= ()()()01ln ln ln y x ββ=+增长曲线（Growth ） 01xy eββ+=()01ln y x ββ=+对数曲线（Logarithmic ） ()01ln y x ββ=+ ()()01ln y x xx ββ=+=三次曲线（Cubic ）230123y x x x ββββ=+++()2301231212,x x x xy x x x ββββ=++==+S 曲线（S ）10xy eββ+=()01111ln y x x x ββ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭指数曲线（Exponential ） 01x y e ββ= ()()01ln ln y x ββ=+逆函数（Inverse ）10y xββ=+01111y x x x ββ=+=⎛⎫ ⎪⎝⎭幂函数（Power ） ()10x y ββ=()()()0111ln ln ln y x x x ββ==+逻辑函数（Logistic ）0111xy u ββ=+ ()()0111ln ln ln x y u ββ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭SPSS 曲线估计中，首先，在不能明确究竟哪种模型更接近样本数据时，可在以上多种可选择的模型中，选择几种模型；然后由SPSS 自动完成模型的参数估计，并输出回归方程的显著性检验F 值和P 值（Sig ），判定系数等统计量。
第三章(曲线拟合)
因为x0≠x1,所以a,b可唯一确定,且有
y1 y0 a x1 x0 y1 y0 b y0 x0 x1 x0
第4章 插值法
代入式(4―3)得
y1 y0 P ( x1 x0 ) 1 ( x ) y0 x1 x0
《 计 算 方 法 》
(4―4)
图 4.1
第4章 插值法
A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)的抛物线来近似地代替f(x),见图
4.2。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
图 4.2
第4章 插值法
§3 代数多项式插值的存在唯一性
《 计 算 方 法 》
线性插值和二次插值都属于代数多项式插值。对 于一般的代数插值问题,就是寻求一个不高于n次的代数 多项式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn (4―9)
现要构造一个二次函数
φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c 近似地代替f(x),并满足插值原则(4―2)
《 计 算 方 法 》
(4―6) (4―7)
P2(xi)=yi, i=0,1,2,… 由(4―7)式得
2 ax0 bx0 c y0 2 ax1 bx1 c y1 ax 2 bx c y 2 2 2
第4章 插值法
10 9
《 计 算 方 法 》
§ 曲 线 拟 合 法
§ 数 值 微 分
§
8
§ 7 牛 顿 前 差 和 后 差 插 值 多 项 式
§ 6 牛 顿 均 差 插 值 多 项 式
§
5
§ 4 代 数 多 项 式 的 余 项
§ 3 代 数 多 项 式 插 值 的 存 在 唯 一 性
y1 y0 a x1 x0 y1 y0 b y0 x0 x1 x0
第4章 插值法
代入式(4―3)得
y1 y0 P ( x1 x0 ) 1 ( x ) y0 x1 x0
《 计 算 方 法 》
(4―4)
图 4.1
第4章 插值法
A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)的抛物线来近似地代替f(x),见图
4.2。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
图 4.2
第4章 插值法
§3 代数多项式插值的存在唯一性
《 计 算 方 法 》
线性插值和二次插值都属于代数多项式插值。对 于一般的代数插值问题,就是寻求一个不高于n次的代数 多项式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn (4―9)
现要构造一个二次函数
φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c 近似地代替f(x),并满足插值原则(4―2)
《 计 算 方 法 》
(4―6) (4―7)
P2(xi)=yi, i=0,1,2,… 由(4―7)式得
2 ax0 bx0 c y0 2 ax1 bx1 c y1 ax 2 bx c y 2 2 2
第4章 插值法
10 9
《 计 算 方 法 》
§ 曲 线 拟 合 法
§ 数 值 微 分
§
8
§ 7 牛 顿 前 差 和 后 差 插 值 多 项 式
§ 6 牛 顿 均 差 插 值 多 项 式
§
5
§ 4 代 数 多 项 式 的 余 项
§ 3 代 数 多 项 式 插 值 的 存 在 唯 一 性
化工计算机数据与图形处理PPT-13曲线拟合
Linear。.1线性拟合
讨厌的紫箭头，虽然copy到 word里会消除掉。 消 除 办 法 ： Analysis-FittingFit Linear-Open dialog， Recalculate选None
6.1线性拟合
1. 线性拟合（Fit Linear） 单独拟合：1)画出散点图后，在图 形窗口下，先选中要拟合的列的数
摘要信息显示，整合了斜率、截距 和相关系数等主要信息。 6）ANOVA
显示方差分析的结果。
Linear Fit对话框设置
• 拟合结果分析报表 7）Fitted Curves Plot 显示拟合结果缩略图。 8）Residual vs. Independent Plot 实验值与估计值的残差图。显示其他图表可以再Re
置信度。
Linear Fit对话框设置
8）Find Specific X/Y 设置是否产生一个表格，显示在Y列或X列中寻找另一
列对应的数据。（输出位置在Output Result 中设置） 9）Residual Plots
用于输出各残差分析图。
Linear Fit对话框设置
• 关于分析报表 分析报表（Analysis Report Sheets）较之旧版本，
1
主要的控制按钮以及下部的
2
一组信息显示标签。
3
• NLFit对话框设置
对话框上部的一组标签，主要用来设置拟合的参数。
1）Setting标签：包括4个子项。
A、Function：包括Category（函数所属种类）、Functi on（具体的函数）、Description（函数描述）和File Name （函数来源和名称）。
x)
A2 x
A2 1
x
讨厌的紫箭头，虽然copy到 word里会消除掉。 消 除 办 法 ： Analysis-FittingFit Linear-Open dialog， Recalculate选None
6.1线性拟合
1. 线性拟合（Fit Linear） 单独拟合：1)画出散点图后，在图 形窗口下，先选中要拟合的列的数
摘要信息显示，整合了斜率、截距 和相关系数等主要信息。 6）ANOVA
显示方差分析的结果。
Linear Fit对话框设置
• 拟合结果分析报表 7）Fitted Curves Plot 显示拟合结果缩略图。 8）Residual vs. Independent Plot 实验值与估计值的残差图。显示其他图表可以再Re
置信度。
Linear Fit对话框设置
8）Find Specific X/Y 设置是否产生一个表格，显示在Y列或X列中寻找另一
列对应的数据。（输出位置在Output Result 中设置） 9）Residual Plots
用于输出各残差分析图。
Linear Fit对话框设置
• 关于分析报表 分析报表（Analysis Report Sheets）较之旧版本，
1
主要的控制按钮以及下部的
2
一组信息显示标签。
3
• NLFit对话框设置
对话框上部的一组标签，主要用来设置拟合的参数。
1）Setting标签：包括4个子项。
A、Function：包括Category（函数所属种类）、Functi on（具体的函数）、Description（函数描述）和File Name （函数来源和名称）。
x)
A2 x
A2 1
x
最小二乘法与曲线拟合-PPT
点(xi,yi)带入y=(x) ，便得到以a0,a1,…,am为未知
量的矛盾方程组
0 + 1 1 + 2 12 + ⋯ + 1 = 1
其矩阵形式为
Ԧ =
0 + 1 2 + 2 22 + ⋯ +
其中
1
= 1
⋮
1
1
2
⋮
12
22
⋮
2
⋯
⋯
⋱
最小二乘法与曲线拟合
§5.0 问题的提出
如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都“很
好地” 逼近f(x)的话，运用插值函数有时就要失败。
另外，插值所需的数据往往来源于观察测量，本身有
一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差的点，
势必使插值结果更加不准确。
如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插值
不为零，从而有rankA=m＋1。由引理2知，正则方程
组有唯一解。
证毕
四、最小二乘法拟合曲线的步骤
1..通过观察、分析得到拟合曲线的数学模型，或
根据经验公式确定数学模型。
2.将拟合曲线的数学模型转换为多项式。
3.写出矛盾方程组。
4.写出正则方程组。（可由多项式模型直接得到）
5.求解正则方程组，得到拟合曲线的待定系数。
多项式的次数过高而效果不理想。
从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似
表达式y=(x)，要求近似表达式能够反映数据的基本
趋势而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合
问题，函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲线。本章
介绍用最小二乘法求拟合曲线。
§5.1 用最小二乘法求解矛盾方程组
量的矛盾方程组
0 + 1 1 + 2 12 + ⋯ + 1 = 1
其矩阵形式为
Ԧ =
0 + 1 2 + 2 22 + ⋯ +
其中
1
= 1
⋮
1
1
2
⋮
12
22
⋮
2
⋯
⋯
⋱
最小二乘法与曲线拟合
§5.0 问题的提出
如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都“很
好地” 逼近f(x)的话，运用插值函数有时就要失败。
另外，插值所需的数据往往来源于观察测量，本身有
一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差的点，
势必使插值结果更加不准确。
如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插值
不为零，从而有rankA=m＋1。由引理2知，正则方程
组有唯一解。
证毕
四、最小二乘法拟合曲线的步骤
1..通过观察、分析得到拟合曲线的数学模型，或
根据经验公式确定数学模型。
2.将拟合曲线的数学模型转换为多项式。
3.写出矛盾方程组。
4.写出正则方程组。（可由多项式模型直接得到）
5.求解正则方程组，得到拟合曲线的待定系数。
多项式的次数过高而效果不理想。
从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似
表达式y=(x)，要求近似表达式能够反映数据的基本
趋势而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合
问题，函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲线。本章
介绍用最小二乘法求拟合曲线。
§5.1 用最小二乘法求解矛盾方程组
第四章 曲线拟合方法优秀PPT
82
80
78
20
25
30
35
40
45
50
t
r a0 a1t
ra00(t)a11(t)
0 1 1 t
应用实例(二阶多项式拟合)
x y
给出 和
a
ab
应用实例(其他函数类作拟合函数)
世界人口统计表
t 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 N 29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 拟合函数
Bezier曲线的数学表达式
P0 (x0, y0) P1 (x1, y1)
m
Pt
Cm ktk
1t
P mk k
k0
m
Pt Bk tPk k0
P2 (x2, y2)
…… Pm (xm, ym)
Pt1t2P021ttP1t2P20t1 Pt1tP0tP1 0t1
Pt1t3P031t2tP131tt2P2t3P30t1
Hale Waihona Puke 应用实例(一阶拟合) 电阻r与温度t的关系
j1 2 3 4 5 6 7
tj 19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0
F ra m e 0 0 1 3 0 O ct 2 0 0 7
rj 76.3
77.80 79.25 80.80 82.35 83.90 85.10
r
84
第四章 曲线拟合方法
第四章 数据拟合方法
x x1 x2 x3 ... xn
y
y y1 y2 y3 ... yn
y = p(x)
第五章曲线拟合PPT课件
第5章 曲线拟合
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
曲线拟合的概念
在科学和工程试验中，经常产生一组数据 (x1,y1),…,(xN,yN),如果所有的数值 {xk}, {yk} 有多位有效数字精度，则能用多项式插值； 若数据的精度不高，或者有试验误差，则 只能使用多项式拟合。
问题：如何找到一个经过数据点附近（不总是穿过） 的最佳逼近表达式？
线性最小二乘法（续2）
矩阵形式：构造矩阵F
f1(x1)
f1(x2 )
F
f1(x3 )
f1(xN )
f2 (x1) f2 (x2 ) f2 (x3 )
f2 (xN )
fM (x1)
f
M
(
x2
)
f
M
(
x3
)
fM (xN )
f1(x1)
则
F'
f2(x1)
f1(x2) f2(x2)
f1(x3) f2(x3)
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
多项式拟合
使用函数集合{fj(x)=xj-1}, j=1,…, M+1作线性最小 二乘，则得到的拟合函数f(x)为M阶多项式 f(x)=c1+c2x+c3x2+…+cM+1xM
使用最小二乘多项式拟合非线性数据的方法简单有 效，但如果数据不具有多项式特性，则求出的曲线可 能产生大的振荡。这种现象称为多项式摆动，它在高 阶多项式情况下更容易发生。由于这个原因，一般很 少使用超过6阶的多项式，除非已知被拟合的曲线是 真实的多项式。
几何意义是：数据点到曲线的垂直距离平方和最小
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
最小二乘拟合直线
定理5.1 设{(xk, yk)}kN1有N个点，其中横坐标{xk}是
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
曲线拟合的概念
在科学和工程试验中，经常产生一组数据 (x1,y1),…,(xN,yN),如果所有的数值 {xk}, {yk} 有多位有效数字精度，则能用多项式插值； 若数据的精度不高，或者有试验误差，则 只能使用多项式拟合。
问题：如何找到一个经过数据点附近（不总是穿过） 的最佳逼近表达式？
线性最小二乘法（续2）
矩阵形式：构造矩阵F
f1(x1)
f1(x2 )
F
f1(x3 )
f1(xN )
f2 (x1) f2 (x2 ) f2 (x3 )
f2 (xN )
fM (x1)
f
M
(
x2
)
f
M
(
x3
)
fM (xN )
f1(x1)
则
F'
f2(x1)
f1(x2) f2(x2)
f1(x3) f2(x3)
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
多项式拟合
使用函数集合{fj(x)=xj-1}, j=1,…, M+1作线性最小 二乘，则得到的拟合函数f(x)为M阶多项式 f(x)=c1+c2x+c3x2+…+cM+1xM
使用最小二乘多项式拟合非线性数据的方法简单有 效，但如果数据不具有多项式特性，则求出的曲线可 能产生大的振荡。这种现象称为多项式摆动，它在高 阶多项式情况下更容易发生。由于这个原因，一般很 少使用超过6阶的多项式，除非已知被拟合的曲线是 真实的多项式。
几何意义是：数据点到曲线的垂直距离平方和最小
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
最小二乘拟合直线
定理5.1 设{(xk, yk)}kN1有N个点，其中横坐标{xk}是
《曲线拟合》PPT课件
曲线拟合
Curve fitting
医学研究中X和Y的数量关系常常不是线性的，如毒 物剂量与动物死亡率，人的生长曲线，药物动力学等， 都不是线性的。如果用线性描述将丢失大量信息，甚至 得出错误结论。
此时可以用曲线直线化估计（Curve estimation） 或非线性回归(Nonlinear regression) 方法分析。
散点图辨析
预后指数Y
60 50 40 30 20 10
0 0
对数曲线 指数曲线
10 20 30 40 50 60 70 病人住院天数X
如果条件允许最好采用非线性回 归（Nonlinear Regression）拟合幂 函数曲线与指数函数曲线
注意绘制散点图，并结合专业知 识解释
采用SAS进行曲线拟合
①幂函数： Yˆ ea X b 或 ln(Yˆ) a bln(X )
②对数：
Yˆ a bln(X )
③指数函数： Yˆ eabX
或 ln(Yˆ) a bX
④多项式： Yˆ a b1X b2 X 2 bn X n
⑤logistic：
Yˆ
1/(1
eabX
)
或
ln[
Yˆ
/(1
Yˆ)]
-8.0196 -4.0604 0.0000 3.9012 7.6049 11.1860 -12.8898
Yˆ
7.23 12.62 15.77 18.01 19.75 21.16 22.36
23.40
残差平方
0.1380 0.1017 0.0053 0.0361 1.0921 0.0563 0.0566 0.1597
(lnX)2 Y2
2.5902 57.76 0.8396 151.29 0.2609 246.49 0.0498 331.24 0.0000 349.69 0.0332 457.96 0.1132 510.76 0.2209 566.44 4.1078 2671.63
Curve fitting
医学研究中X和Y的数量关系常常不是线性的，如毒 物剂量与动物死亡率，人的生长曲线，药物动力学等， 都不是线性的。如果用线性描述将丢失大量信息，甚至 得出错误结论。
此时可以用曲线直线化估计（Curve estimation） 或非线性回归(Nonlinear regression) 方法分析。
散点图辨析
预后指数Y
60 50 40 30 20 10
0 0
对数曲线 指数曲线
10 20 30 40 50 60 70 病人住院天数X
如果条件允许最好采用非线性回 归（Nonlinear Regression）拟合幂 函数曲线与指数函数曲线
注意绘制散点图，并结合专业知 识解释
采用SAS进行曲线拟合
①幂函数： Yˆ ea X b 或 ln(Yˆ) a bln(X )
②对数：
Yˆ a bln(X )
③指数函数： Yˆ eabX
或 ln(Yˆ) a bX
④多项式： Yˆ a b1X b2 X 2 bn X n
⑤logistic：
Yˆ
1/(1
eabX
)
或
ln[
Yˆ
/(1
Yˆ)]
-8.0196 -4.0604 0.0000 3.9012 7.6049 11.1860 -12.8898
Yˆ
7.23 12.62 15.77 18.01 19.75 21.16 22.36
23.40
残差平方
0.1380 0.1017 0.0053 0.0361 1.0921 0.0563 0.0566 0.1597
(lnX)2 Y2
2.5902 57.76 0.8396 151.29 0.2609 246.49 0.0498 331.24 0.0000 349.69 0.0332 457.96 0.1132 510.76 0.2209 566.44 4.1078 2671.63
曲线拟合
可做变换
Y ln y ,
X
1 x
,
A ln a ,
B b
Y A BX 就是个线性问题
将( xi , yi ) 化为( X i ,Yi ) 后易解 A 和B
a eA , b B , P(x) a eb/x
二、 一般的最小二乘法
2
2
m
2 i
m
m
[S*(
xi
)
yi
]2
min
S ( x )
则 勒 让 德 多 项 式 为:
P~n ( x)
n! (2n)!
dn dx n
[(x2
1)n ]
勒 让 德 多 项 式 有 以 下 几个 重 要 性 质 ：
性 质1： 正 交 性
1 1
Pn
(
x)Pm
(
x)d(
x)
0, 2
2n
1
,
m n; m n.
性 质2： 奇 偶 性 Pn ( x) (1)n Pn ( x) 性 质3： 递 推 关 系 (n 1)Pn1( x) (2n 1)xPn ( x) nPn1( x) 性 质4： 在 所 有 最 高 项 系 数 为1的n次 多 项 式 中 ， 勒 让 德 多项 式
条件.
可以证明,如果0(x), 1(x),… n(x)C[a,b]在{xi}0m上满
足哈尔(Haar)条件,则法方程(5.6)的系数矩阵G非奇异.
用最小二乘法得到的法方程组(3. 6)，其系数矩阵G是
病态的,但如果0(x), 1(x),… n(x)是关于点集 {xi}(i=0,
l, ..., m)带权(xi) (i=0,l,...,m) 正交的函数族，即
课堂练习