考研数学(三)公式大全

生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。

－－泰戈尔

数学公式

导数公式：

基本积分表：

等价无穷小量代换 ()时，有：当0→x ?

x x ~sin x x ~tan x x ~arcsin x x ~arctan

a x x a

a a ctgx

x x tgx

x x x

ctgx x

tgx a x x ln 1

)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='?-='?='-='='2

22211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='??????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C a

x x a dx C

x a x a a x a dx C

a x a x a a x dx C a

x arctg a x a dx C

ctgx x xdx C

tgx x xdx C

x ctgxdx C

x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222?

??++-=-+-+--=-+++++=+-=

==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n

n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 222222222222222222

222

020ππ

a x a x ln ~1-x e x ~1-()ax x a ~1+x n

x n 1~11-+ ()x x ~1ln +22

1~cos 1x x -

两个重要极限：

高阶导数公式

()

n m n m x n m m m x -+--=)1)......(1(()!n x n n = ()()n x n x a a a ln =()ax n n ax e a e =

()??? ???+=2sin sin πn x x n ()??? ?

??+=2cos cos πn x x n ()

()x n x e x n xe +=()()1!11+--=??? ??-n n n a x n a x ——莱布尼兹（Leibniz ）公式： )

()()()2()1()(0

)()()(!

)1()1(!2)1()(n k k n n n n n k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v

u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ 泰勒公式：

e x =1+x+!22x +!33x +…+!

n x n

+ … sin x = x-!33x +!55x -!

x +…+)!12()1(12+-+n x n n + … cos x = 1-!22x +!44x -!

x +…+)!2()1(2n x n n -+ … ln (1+x) = x-22x +33x -4

x +…+)!1()1(1+-+n x n n + … tan -1 x = x-33x +55x -7

7x +…+)12()1(12+-+n x n n + … (1+x)r =1+r x+!2)1(-r r x 2+!

3)2)(1(--r r r x 3+… -1

...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x

x x x x

拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=---'=-)(F )()

()()()()()

)(()()(ξξξ

多元函数微分法及应用

z x

y x y x y x y x F F y z F F x z z y x F dx

F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v

dx x v

dv dy y u

dx x u

du y x v v y x u u x

v z x u u z x z y x v y x u f z t v

v z t u

u z

dt dz

t v t u f z y

y x f x y x f dz z dz

z u

dy y u dx x u du dy y z dx x z

dz -=??-=??=?

-??-??=-==??+??=??+??===?????+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=，，　隐函数＋，，隐函数隐函数的求导公式：

时，

，当

：

多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

多元函数的极值及其求法：

????

?????=-<-???><>-===== 不确定

时值

时，无极为极小值

为极大值

时，则：，令：设,00),(,0),(,00),(,

),(,),(0),(),(2

00020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x

常数项级数：

是发散的

调和级数：等差数列：等比数列：n n n n q

q q q q n

n 1

)1(32111112+++++=++++--=++++-

级数审敛法：

散。存在，则收敛；否则发、定义法：

时，不确定

时，级数发散

时，级数收敛

，则设：、比值审敛法：时，不确定

时，级数发散

时，级数收敛

，则设：别法）：

—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞→+∞→∞→+++=?????=><=?????

=><=lim ;3111lim 2111lim 1211

ρρρρρρρρ

。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：

—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n

n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：

∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛

１时发散ｐ级数：收敛；

级数：收敛；

发散，而调和级数：为条件收敛级数。

收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；

，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n

n n n

幂级数：

0010)3(lim )3(1111111221032=+∞=+∞===

≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n n n n n n

时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。

，其中时不定

时发散时收敛

，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全

，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散时，收敛于

ρρρρρ 函数展开成幂级数：

+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !

)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!

1()()(!

)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ 一些函数展开成幂级数：

)()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+

+=+--x n x x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n m 一阶线性微分方程：

)1,0()()(2))((0)(,0)()()(1)()()(≠=+?+?

=≠?===+?--n y x Q y x P dx

dy e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx

dy n dx x P dx x P dx x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：

全微分方程：

通解。

应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：

中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y

u y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=??=??=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),( 二阶微分方程：

时为非齐次

时为齐次，0)(0)()()()(22≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

型为常数；

型，为常数

，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''

二阶常系数非齐次线性微分方程

122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；

式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：

为常数；

，其中?'''=++?=+'+''式的通解：

出的不同情况，按下表写、根据(*),3