三角形的外角及外角和
三角形外角和的性质
三角形外角和的性质三角形是我们学习数学的基础概念之一，它有着许多有趣的性质和特点。
其中之一就是三角形外角和的性质。
本文将详细介绍三角形外角和的概念、计算方法以及相关的数学定理。
一、三角形外角的定义和性质在了解三角形外角和之前，我们首先需要了解三角形外角的定义和性质。
三角形外角是指三角形的一个内角的补角。
具体来说，如果我们把三角形的两个内角的补角相加，所得的和就是这个三角形的一个外角。
三角形外角的性质有以下几点：1. 三角形外角和等于360度三角形的三个外角的和等于360度。
这是因为一个平面内的角度和为360度，在三角形中，三个外角恰好占满这个角度和。
2. 三角形外角和与角点不相邻的内角之和相等三角形外角和等于三角形中与角点不相邻的内角之和。
也就是说，如果我们将三角形的一个内角分解为该三角形另外两个角，则这两个角的和等于三角形的一个外角，即三角形外角和。
二、计算三角形外角和的方法计算三角形外角和的方法主要有以下两种：1. 直接相加法直接相加法是最简单的计算三角形外角和的方法。
我们只需要将三角形的三个外角的度数相加即可得到三角形外角和。
根据三角形外角和等于360度的定理，这些外角度数之和始终等于360度。
2. 计算角点不相邻的内角之和法计算三角形外角和的另一种方法是计算角点不相邻的内角之和。
首先，我们将三角形的一个内角分解为该三角形另外两个角，然后计算这两个角的度数之和，即可得到三角形外角和。
这种方法更适用于已知三角形的内角度数的情况。
三、三角形外角和的数学定理关于三角形外角和的数学定理有以下两个重要定理：1. 第一外角定理第一外角定理指出，一个三角形的一个外角等于它所对应的两个内角之和。
也就是说，如果我们将三角形的一个外角分解为该三角形另外两个角，则这两个角的和等于这个外角的度数。
2. 第二外角定理第二外角定理指出，一个三角形的两个外角之和等于第三个外角的度数。
也就是说，如果我们将三角形的两个外角的度数相加，所得的和等于这个三角形的另外一个外角的度数。
三角形的外角和计算
三角形的外角和计算在解决几何问题时，我们经常涉及到三角形。
而三角形的外角和计算是其中一个重要的概念和计算方法。
本文将介绍三角形的外角的定义、性质以及如何计算三角形的外角和。
一、三角形的外角定义和性质1. 外角定义：三角形的外角是指一个三角形内部的角与其相邻的另外两个内角的补角之和。
即外角等于其相邻两个内角的补角之和。
2. 外角性质：对于任意一个三角形ABC，其三个外角A', B'和C'的性质如下：a) 外角与内角关系：三角形的一个外角等于其不相邻两个内角的和。
即∠A' = ∠B + ∠C，∠B' = ∠A + ∠C，∠C' = ∠A + ∠B。
b) 外角和：三角形的三个外角的和等于360度。
即∠A' + ∠B' +∠C' = 360°。
二、三角形外角和的计算方法计算三角形的外角和是一个常见的计算问题，我们可以通过以下方法来求解：1. 已知两个角度，求第三个角度：如果已知一个三角形的两个内角，可以通过使用三角形内角和为180度的性质来求第三个内角。
然后，根据外角与内角的关系，可以计算出三角形的外角。
2. 已知三角形的三个边长：当已知三角形的三个边长时，可以使用余弦定理和正弦定理计算出三个内角的正弦值或余弦值。
然后根据反函数计算出内角的具体数值。
最后，利用外角与内角的关系，计算出三角形的外角。
3. 已知三角形的一个边与两个角度：如果已知三角形的一个边长和两个内角，可以使用三角形内角和为180度的性质来求解第三个内角。
然后根据外角与内角的关系，计算出外角的具体数值。
需要注意的是，计算过程中需要注意角度的单位（角度或弧度），并且应根据具体情况选择适合的计算方法和公式。
三、例题解析为了更好地理解三角形的外角和计算方法，下面将给出一个例题的解析：例题：已知三角形的两个内角分别为60°和90°，求该三角形的外角和。
三角形的边长与角度关系知识点总结
三角形的边长与角度关系知识点总结三角形是平面几何中的重要概念，它由三条边和三个角组成。
在研究三角形时，我们常常关注三角形的边长与角度之间的关系，这对于解决各种三角形相关问题有着重要的指导作用。
本文将对三角形的边长与角度关系进行总结和介绍。
一、三角形的内角和与外角和三角形的内角和为180度，这个我们在学习初中几何时就已经学过。
对于任意一个三角形，三个内角相加等于180度。
而三角形的外角和等于360度，外角是指以三角形的一条边为边的角，与这条边不相邻。
三角形的每个外角都与与之相对的内角互补，即外角=180°-内角。
二、三角形的边长关系1. 角平分线和边的关系对于任意一个三角形，如果从一个顶点引一条角平分线，这条角平分线将把对边分为两个相等的部分。
即，角平分线将对边分为一对等分线段。
2. 三角形两边和大于第三边三角形两边之和大于第三边，这是三角形的基本性质。
对于任意一个三角形ABC，边AB、BC、CA的长度分别为a、b、c，那么有以下关系成立：a+b>c，b+c>a，c+a>b。
3. 等边三角形的边长关系等边三角形的三条边长均相等。
设等边三角形的边长为a，则有a=a=a。
等边三角形的内角均为60度，外角均为120度。
4. 等腰三角形的边长关系等腰三角形的两边长相等，设等腰三角形的边长为a，顶角为A，则有a=a不等于a，两个底角为B。
等腰三角形的底角相等。
三、三角形的角度关系1. 直角三角形的边长关系直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
设直角三角形的两个直角边长为a、b，斜边长为c，则有勾股定理成立：a^2 + b^2 = c^2。
2. 锐角三角形的边长关系对于任意一个锐角三角形ABC，边长a、b、c的平方与对应角A、B、C的正弦值、余弦值等相关关系如下：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosC其中cosA、cosB、cosC分别代表角A、B、C的余弦值。
三角形的外角和
三角形的外角和三角形的外角和是指三角形的每个外角的度数之和。
一个三角形有三个内角和三个外角，每个内角和一个外角的度数之和为180度。
首先，我们来了解一下什么是三角形的外角。
在三角形中，每个内角对应一个外角，它们的度数之和是360度（180度+180度）。
从每个内角的顶点出发，向三角形外部延伸一条直线，直线与与内角不相邻的两条边所形成的角就是外角。
每个内角对应一个外角，它们的和即为三角形的外角和。
接下来我们将分别讨论几种不同类型的三角形，计算它们的外角和。
一、锐角三角形：锐角三角形是指三个内角都小于90度的三角形。
在锐角三角形中，每个外角的度数都是大于0度小于90度的。
因此，三角形的外角和为180度。
二、钝角三角形：钝角三角形是指三个内角中至少有一个大于90度的三角形。
在钝角三角形中，每个外角的度数都大于90度小于180度。
三角形的外角和为360度。
三、直角三角形：直角三角形是指一个内角为90度的三角形。
在直角三角形中，一个直角（90度）和两个锐角（小于90度）组成。
因此，一个外角的度数为180度（90度+90度）。
三角形的外角和为540度。
四、等腰三角形：等腰三角形是指两边相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角的度数相等，而顶角的度数则与底角的度数不相等。
每个外角的度数都相等，且等于（180度-底角的度数）。
三角形的外角和为（180度-底角的度数）乘以2。
五、等边三角形：等边三角形是指三条边长都相等的三角形。
在等边三角形中，每个内角的度数都相等，且为60度。
每个外角的度数也相等，且等于（180度-内角的度数）。
三角形的外角和为（180度-60度）乘以3，即270度。
综上所述，不同类型的三角形的外角和有所不同，锐角三角形的外角和为180度，钝角三角形的外角和为360度，直角三角形的外角和为540度，等腰三角形的外角和为（180度-底角的度数）乘以2，等边三角形的外角和为（180度-60度）乘以3（即270度）。
三角形的外角关系及其推论
04 三角形外角关系推 论
推论一：三角形外角大于任何一个与它不相邻的内角
定理：三角形的外角大于任何一 个与它不相邻的内角
应用：在解决几何问题时，这个 推论可以帮助我们快速判断三角 形的外角大小关系
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证明：通过三角形内角和为180 度，以及三角形外角的定义，可 以得出这个结论
应用实例：在数学竞赛中，经常出现涉及三角形外角的题目，需要运用三 角形外角关系进行解答 技巧总结：掌握三角形外角关系，有助于在数学竞赛中快速解题，提高解 题效率
THANK YOU
汇报人：
05
三角形外角在实际 问题中的应用
在几何作图中的应用
确定三角形的形状：通过已知的外角，可以判断三角形的形状 计算角度：通过已知的外角，可以计算出其他角度的大小 判断三角形的相似性：通过已知的外角，可以判断两个三角形是否相似 计算面积：通过已知的外角，可以计算出三角形的面积
在解决实际问题中的应用
判断三角形的形状：根据外角和定理，可以判断三角形是锐角、直角还是钝角三角形。
计算角度：利用外角和定理，可以计算出三角形中某个角的大小。
证明三角形全等：在证明两个三角形全等时，外角和定理可以作为一个重要的依据。
解决实际问题：在解决一些实际问题时，如建筑、测量等领域，外角和定理可以帮助我们 更好地理解和解决问题。
外角定理的证明：通过三角形内角和为180度，以及三角形外角的定义，可 以证明外角定理。
外角定理的应用：在解决三角形问题时，外角定理可以帮助我们快速找到 答案。
外角定理的推广：外角定理可以推广到多边形，即多边形的外角和等于360 度。
外角定理的证明
外角定理的定义：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的外角与内角和计算技巧
三角形的外角与内角和计算技巧一、三角形的外角1.定义：三角形的一个外角是指与三角形的一个内角不在同一直线上的角。
a)三角形的外角等于它不相邻的两个内角之和。
b)三角形的外角大于任何一个不相邻的内角。
c)外角与它相邻的内角互补（即外角加相邻内角等于180°）。
2.计算方法：a)已知三角形的两个内角，求第三个内角的外角：用180°减去这两个内角的和。
b)已知三角形的一个内角和一个外角，求另一个内角：用180°减去这个外角。
二、三角形的内角和1.定理：三角形的三个内角和等于180°。
a)画出任意一个三角形，将其分为两个三角形。
b)每个小三角形的内角和都是180°，因此，整个三角形的内角和是360°。
c)由于两个小三角形的公共角被计算了两次，所以将其减去一次，得到三角形的内角和为180°。
2.计算方法：a)已知三角形的两个内角，求第三个内角：用180°减去这两个内角的和。
b)已知三角形的三个内角，验证内角和是否等于180°。
三、外角与内角和的联系1.每个三角形的三个外角和等于360°。
2.三角形的外角与它相邻的内角互补，即外角加相邻内角等于180°。
3.利用外角可以转换求解内角，利用内角和定理可以验证外角的计算结果。
四、应用拓展1.利用三角形外角性质解决几何问题，如证明线段平行、求解三角形面积等。
2.利用内角和定理求解三角形的问题，如求解三角形的角度、边长等。
3.外角与内角和的知识在实际生活中的应用，如测量土地面积、建筑物的设计等。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握三角形外角与内角和的计算技巧，并能运用到实际问题中。
习题及方法：1.习题：已知三角形ABC的内角A、B分别为90°和45°，求三角形ABC的外角D的度数。
答案：外角D的度数为180° - 90° - 45° = 45°。
如何判断三角形的内外角的大小关系
如何判断三角形的内外角的大小关系三角形是几何学中最基础的图形之一，它包括三条边和三个角。
当我们研究三角形时，了解和判断三角形的内外角的大小关系是非常重要的。
本文将介绍如何判断三角形的内外角的大小关系。
在开始之前，让我们先回顾一下三角形内外角的定义。
一个三角形有三个内角和三个外角。
内角是指位于三角形内部的角，而外角则是指位于三角形外部的角。
一、内角和外角的关系1. 外角的性质外角等于与它不相邻的两个内角之和。
换句话说，如果将三角形的一条边延长，外角就是形成的延长线与另外两条边的夹角。
例如，设三角形的三个内角分别为A、B、C，其中角A与角B不相邻，那么角A的外角等于角B加上角C。
2. 内角和外角的关系内角和外角是补角关系。
也就是说，三角形的一个内角加上其对应的外角，等于180度。
这是因为三角形的所有内角相加等于180度，外角和内角组成一对补角。
二、判断内外角的大小关系在了解内角和外角的基本性质后，我们可以通过观察角的大小关系来判断三角形的内外角的大小关系。
以下是一些判断方法：1. 内角大于外角在任何三角形中，每个内角都大于其对应的外角。
这是因为内角和外角是补角，而补角中总有一个角大于另一个角。
2. 直角三角形的内外角在直角三角形中，一个直角的内角为90度，其对应的外角为90度。
因此，直角三角形的内外角相等。
3. 锐角三角形的内外角在锐角三角形中，每个内角都小于其对应的外角。
由于锐角三角形的内角都小于90度，而外角可以大于90度，所以内角和外角的大小关系是成立的。
4. 钝角三角形的内外角在钝角三角形中，每个内角都大于其对应的外角。
由于钝角三角形的内角都大于90度，而外角必然小于90度，所以内角和外角的大小关系也是成立的。
综上所述，判断三角形的内外角的大小关系主要是根据内角和外角的定义以及性质来进行推断。
通过观察三角形的内角和外角之间的关系，我们可以准确地判断它们的大小。
需要注意的是，在实际测量中，我们可以使用量角器等工具来准确测量内角和外角的大小。
三角形外角公式
三角形外角公式三角形外角定义在一个三角形中，与某个内角相对的角被称为该三角形的外角。
三角形的外角分为三个，每个外角都与三角形的某个内角相对应。
相关公式1.外角和定理：一个三角形的三个外角的和等于360度。
外角1 + 外角2 + 外角3 = 360°2.外角与内角关系：一个三角形的内角与其对应的外角之和等于180度。
内角1 + 外角1 = 180°内角2 + 外角2 = 180°内角3 + 外角3 = 180°举例说明假设有一个三角形ABC，边长分别为AB = 5cm，BC = 4cm，AC =6cm。
现在我们需要计算该三角形的外角。
根据三角形的边长，可以使用余弦定理计算角A、角B和角C的大小。
假设角A对应的外角为外角1，角B对应的外角为外角2，角C对应的外角为外角3。
根据外角和定理，我们知道外角1 + 外角2 + 外角3 = 360°。
所以，我们只需要求得其中两个外角的值，即可确定第三个外角的大小。
假设我们已经计算得到角A为30°，角B为40°。
那么根据外角与内角关系，外角1 = 180° - 角A，外角2 = 180° - 角B。
将已知的角度代入公式，我们可以计算出外角1 = 150°，外角2 = 140°。
由于三角形的三个外角的和等于360°，我们可以求得外角3 = 360° - 外角1 - 外角2 = 70°。
所以，对于三角形ABC，外角1的大小为150°，外角2的大小为140°，外角3的大小为70°。
总结三角形的外角是与某个内角相对的角。
根据外角和定理，三角形的三个外角的和等于360度。
根据外角与内角关系，一个三角形的内角与其对应的外角之和等于180度。
通过应用这些公式，我们可以在已知三角形边长或角度的情况下计算三角形的外角。
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9.1.2三角形的外角与外角和
教学目标：
1、理解三角形外角及外角和定义。
2、探索三角形的外角性质及外角和。
3、能运用三角形内角、外角知识解决问题。
4、体会图形在解决问题中的重要性。
重点：掌握三角形内角外角知识，解决实际问题。
难点：探索三角形的外角性质和外角和。
教学过程：
一、知识回顾：
1、三角形三个内角的和等于多少度？
2、在ABC中：
（1）∠C=90°，∠A=30 °，则∠B= ；
（2）∠A=50 °，∠B=∠C，则∠B= .
3、在△ＡＢＣ中，
∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４则∠Ａ＝，∠Ｂ＝，∠Ｃ＝
二、探索新知：
【一】自主探究：
1、外角定义：
三角形的（）与（）的延长线组成的角，叫做三角形的外角．说一说下列∠1是哪个三角形的外角？
画图并思考：画一个△ABC ，你能画出它的所有外角来吗？请动手试一试．
同时想一想△ABC的外角共有几个呢？
归纳：1、每一个三角形都有（）个外角．
2、每一个顶点相对应的外角都有（）个．
3、每个外角与相应的内角是（）．
2、外角性质：
请同学们找出三角形的外角与内角关系？
位置关系：
数量关系：
如图，已知AD是△BDC的边BA的延长线，试说明：∠1= ∠B+ ∠ C
结论：三角形的外角性质：
1.三角形的一个外角（）与它不相邻的两个内角的（）；
2.三角形的一个外角（）任何一个与它不相邻的内角。
【二】、合作探究：三角形的外角和
1、外角和定义：
从与每个内角相邻的两个（）中分别取（）相加，得到的和称为三角形的外角和。
2、外角和：
如图，已知∠1，∠2，∠3是△ABC的外角，试说明：∠1+∠2+∠3=？
议一议：∠1＋∠2＋∠3＝?还可以从哪些途径探究这个结果?
结论:三角形的外角和360°.
【三】、检测：
1、求下列各图中∠1的度数。
2、如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝８0°,∠BAC=70°. 求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数.
3、把图中∠1、∠2、∠3按由大到小的顺序排列。
【四】、思维提升：
1、如图，试计算∠BOC的度数．
2、求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数
三、作业：
1、P79、第2题P94、第4题
2、《学习指导》P8
3、练习二
四、课堂小结：
今天你收获了什么？还有哪些困惑？
五、老师寄语：
鸟欲高飞，先振翅；人欲上进，爱学习。