考点25 数列求和及综合应用
考点25 数列求和及综合应用一、选择题1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ12）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则（ ）A 、{S n }为递减数列B 、{S n }为递增数列错误！未找到引用源。
C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【解析】选B.因为n n a a =+1，21n n n a c b +=+，21n n n ab c +=+，所以1a a n =，++1n b =+1n c 2n n a c +2n n a b ++1)(21)(21a c b a c b n n n n n ++=++= ++1n b )2(212111a c b a c n n n -+=-+，注意到1112a c b =+，所以12a c b n n =+. 于是n n n C B A ∆中，边长1a C B n n =为定值，另两边的长度之和为12a c b n n =+为定值. 因为-+1n b =+1n c 2n n a c +2n n a b +-)(21n n c b --=， 所以)()21(111c b c b n n n --=--，当+∞→n 时，有0→-n n c b ，即n n c b →，于是n n n C B A ∆的边n n C B 的高n h 随n 增大而增大，于是其面积n n n n n h a h C B S 121||21==为递增数列. 二、填空题2.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ14）若数列}{n a 的前n 项和3132+=n n a S ，则}{n a 的通项公式是=n a _________【解题指南】先利用S 1=a 1求出a 1的值,再利用S n -S n-1=a n 求出通项公式a n . 【解析】由1113132a a S =+=，解得11=a ，又3132+=n n a S ，所以112233n n n n n S S a a a ---=-=，得12n n aa -=- ，所以数列}{n a 是首项为1，公比为2-的等比数列.故数列的通项公式1)2(--=n n a 【答案】1)2(--n3. （2013·湖南高考理科·Ｔ15） 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n N *=--∈则 （1）3a =_____；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.【解题指南】（1） 令3=n ，4=n 代入 即可得到答案. （2）通过1112121)1(21)1(----+----=-=n n n n n n n n a a s s a 整理可发现当当n 为偶数时有1121--=-n n n a a ，于是代入第（2）问的展开式即可得到答案. 【解析】（1）因为21111--==a s a ，所以411-=a ，8133213--=++=a a a a s ①，161443214-=+++=a a a a a s ，即161321-=++a a a ②， 把②代入①得1613-=a .（2）因为当2≥n 时，n n 1n n n 1n n 1n 111a s s (1)a (1)a 22n ----=-=----+，整理得n n n n n a a 21)1())1(1(11=-+----，所以，当n 为偶数时，n n a 211-=-，当n 为奇数时，n n n a a 2121=+-，所以1121--=n n a ，所以{为奇数为偶数，n n n n na ,21211+-=，所以当n 为偶数时，1121--=-n n n a a ， 所以 +---+--=++++++33221100994321212121a a a s s s s s s --++-+-=-+--)()()(21219910034121001009999a a a a a a a a 231003599210011111111111()()()22222222222++++=++++-+++)121(31)211()211(3221)211(2141)411(2110010010010050-=---=-----=.【答案】（1）161- （2）)121(31100-4. （2013·重庆高考理科·Ｔ12）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若1a 、2a 、5a 成等比数列，则8S =【解题指南】先根据1a 、2a 、5a 成等比数列求出数列的公差,然后根据公式求出8S .【解析】因为1a 、2a 、5a 成等1比数列, 11a =所以d d 41)1(2+=+,化简得d d 22= 因为0d ≠,所以2=d ,故.64568278818=+=⨯+=d a S 【答案】64 三、解答题5.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ22）已知函数()()()1=ln 1.1x x f x x xλ++-+ （I ）若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;；（II ）设数列{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n=+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明： 【解析】（I ）22)1()21()(x x x x f +--='λλ， 令0)(='x f ，即0)1()21(22=+--x x x λλ，解得0=x 或λλ21-=x 若21<λ，则)21(20λ-<<x 时， 0)(>'x f ，所以0)(>x f . 若21≥λ，则0>x 时，()0¢<f x ，(0)=0f ，所以0)(<x f .综上λ的最小值为21.（II ）令21=λ，由（I ）知，0>x 时，0)(<x f .即)1ln(22)2(x xx x +>++.取k x 1=，则kk k k k 1ln)1(212+>++. 于是))1(2121(41122++=+-∑-=k k n a a n n k n n ))1(212(12++=∑-=k k k n n k >k k n nk 1ln 12+∑-=n n ln 2ln -=2ln =. 所以2ln 412>+-na a n n 6.(2013·浙江高考文科·T19)在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列. (1)求d,a n .(2)若d<0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |.【解题指南】(1)由a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列可以求得a 1与d 的关系,进而可求得d 与a n .(2)由d<0,先判断该数列从第几项开始大于零,从第几项开始小于零,再根据等差数列前n 项和的性质求解. 【解析】(1)由题意得,5a 3·a 1=(2a 2+2)2,d 2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以a n =-n+11或a n =4n+6. (2)设数列{a n }前n 项和为S n , 因为d<0,所以d=-1,a n =-n+11,则n ≤11时,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=S n =-错误！未找到引用源。
n 2+错误！未找到引用源。
n;n ≥12时,|a 1|+|a 2|+…+|a 11|+|a 12|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 11-a 12-…-a n =S 11-(S n -S 11)= -S n +2S 11=错误！未找到引用源。
n 2-错误！未找到引用源。
n +110.综上所述,|a 1|+|a 2|+…+|a n |=错误！未找到引用源。
22121,11,22121110,12.22≤≥⎧-+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩n n n n n n7. （2013·重庆高考文科·Ｔ16）设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a +=，n N +∈． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（Ⅱ）已知{}n b 是等差数列，n T 为前n 项和，且12b a =，3123b a a a =++，求20T ． 【解题指南】直接根据递推关系可求出数列的通项公式及前n 项和,再利用题目中所给条件求解20T .【解析】（Ⅰ）由题设知{}n a 是首项为,1公比为3的等比数列,所以13-=n n a ,().13213131-=--=nn n S（Ⅱ）,210,13931,313321d b b b a b ==-=++===所以公差5=d ， 故101052192032020=⨯⨯+⨯=T . 8.（2013·上海高考理科·T23）给定常数c >0,定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列a 1,a 2,a 3,…,满足a n+1=f(a n ),n ∈N *. (1)若a 1=-c-2,求a 2及a 3. (2)求证:对任意n ∈N *,a n+1-a n ≥c.(3)是否存在a 1,使得a 1,a 2,…,a n ,…,成等差数列?若存在,求出所有这样的a 1;若不存在,说明理由. 【解析】(1)a 2=2,a 3=c+10. (2)f(x)=错误！未找到引用源。
当a n ≥-c 时,a n+1-a n =c +8>c.当-c-4≤a n <-c 时,a n+1-a n =2a n +3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c; 当a n <-c-4时,a n+1-a n =-2a n -c-8>-2(-c-4)-c-8=c;所以,对任意n∈N*,a n+1-a n≥c.(3)由(2),结合c>0,得a n+1>a n,即{a n}为无穷递增数列,又{a n}为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,a n>-c,从而a n+1=f(a n)=a n+c+8,由于{a n}为等差数列,因此其公差d=c+8.①若a1<-c-4,则a2=f(a1)=-a1-c-8,又a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8,即a1=-c-8,从而a2=0,当n≥2时,由于{a n}为递增数列,故a n≥a2=0>-c,所以a n+1=f(a n)=a n+c+8, 而a2=a1+c+8,故当a1=-c-8时,{a n}为无穷等差数列,符合要求.②若-c-4≤a1<-c,则a2=f(a1)=3a1+3c+8,又a2=a1+d=a1+c+8,所以,3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=-c,舍去.③若a1≥-c,则由a n≥a1得到a n+1=f(a n)=a n+c+8,从而{a n}为无穷等差数列,符合要求.综上a1的取值集合为{-c-8}∪[-c,+∞).9.（2013·上海高考文科·T22）已知函数x(f，无穷数列{}n a满足)x-=2a n+1=f(a n),n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值.（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由.【解析】(1)a2=2,a3=0,a4=2.(2)a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|.①当0<a 1≤2时,a 3=2-(2-a 1)=a 1,所以错误！未找到引用源。
2011年高考试题分类考点24 数列求和及综合应用
考点24 数列求和及综合应用一、选择题1.（2011·江西高考理科·Ｔ5） 已知数列 {n a }的前n 项和n s 满足：n s +m s =n m s +，且1a =1，那么10a =( ) （A ）1 (B)9 （C ）10 (D)55 【思路点拨】n m n m 911010s s s m,n 9,m 1,S S S ,1.++===+==结合，对赋值，令n 即得即得a【精讲精析】选A.n m n m 911011091010s s s 9,m 1,S S S ,S S -S =a =1a =1.++=∴==+==∴ 令n 即得即，2.（2011·安徽高考文科·Ｔ7）若数列{}n a 的通项公式是a n =(-1)n(3n -2),则12a a ++…10a +=( ) （A ）15 (B)12 （C ）-12 (D) -15 【思路点拨】观察数列{}n a 的性质，得到.31094321=+==+=+a a a a a a 【精讲精析】选A. .31094321=+==+=+a a a a a a 故.151021=+++a a a 二、填空题3.（2011·江苏高考·Ｔ13）设1271=a a a ≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________.【思路点拨】本题考查的是等差数列与等比数列的综合问题，解题的关键是找出等差数列与等比数列的结合点，从而找到q 满足的关系式，求得其最小值. 【精讲精析】由题意：231212121112a a a q a a q a a q =≤≤≤+≤≤+≤，222221,12a q a a q a ∴≤≤++≤≤+，3223q a ≥+≥，而212221,1,,1,2a a a a a ≥=∴++ 的最小值分别为1，2，3；min q ∴=4.（2011·浙江高考文科·Ｔ17）若数列2(4)()3n n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中的最大项是第k 项，则k =_______________.【思路点拨】可由不等式组11k k k k a a a a +-≥⎧⎨≥⎩解得.【精讲精析】设最大项为第k 项，则由不等式组11k k k k a a a a +-≥⎧⎨≥⎩得1122(4)(1)(5)3322(4)(1)(3)33k k k k k k k k k k k k +-⎧⎛⎫⎛⎫+≥++⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+≥-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,即2(4)(1)(5)32(4)(1)(3)3k k k k k k k k ⎧+≥++⋅⎪⎪⎨⎪+⋅≥-+⎪⎩,1k ≤,故4k =. 【答案】4 三、解答题5.（2011·安徽高考理科·Ｔ18）在数1和100之间插入n 个实数，使得这n +2个数构成递增的等比数列，将这n +2个数的乘积记作n T ，令lg n n a T =，1n ≥ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n 1b tan a tan a ,+=求数列{}n b 的前n 项和n S . 【思路点拨】本题将数列问题和三角函数问题结合在一起，解决此题需利用等比数列通项公式，等差数列前n 项和公式，及两角差的正切公式等基本知识.【精讲精析】（Ⅰ）设这n +2个数构成的等比数列为{}n c ，则100,121==+n c c ，则1001=+n q，11100+=n q ，又(n 1)(n 2)2n 12n 12n 2T c c c 1q q qq++++==⨯⨯⨯⨯=所以 .1,2100lg lg lg 222)2)(1(≥+====+++n n qT a n n n n n（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知.1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n另一方面，利用[]tan(1)tan tan1tan (1),1tan(1)tan k kk k k k+-=+-=++⋅得 .11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+kk k k所以21323tan(1)tan tan(1)tan (1)tan1tan(3)tan 3.tan1+==+===+⋅+-=-+-=-∑∑∑n n n k k k n k S b k kk kn n6.（2011·江苏高考·Ｔ20）设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，已知对任意整数k ∈M ，当整数n>k 时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立. （1）设M=｛1｝，22=a ，求5a 的值； （2）设M=｛3，4｝，求数列}{n a 的通项公式.【思路点拨】本题考查的是等差数列概念、前n 项和与通项关系，其中（1）问较为容易，（2）问解决的关键是抓住题目的)(2k n k n k n S S S S +=+-+的转化从中找到解决问题的规律. 【精讲精析】(1)由题设知，当2≥n 时，)(2111S S S S n n n +=+-+ 即1112)()(S S S S S n n n n =----+，从而2211==-+a a a n n ，又22=a ， 故当2≥n 时，22)2(22-=-+=n n a a n ，所以5a 的值为8. (2) 由题设知, 当{}4,3=∈M k ,且k n >时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+且)(2111k n k n k n S S S S +=++-+++，两式相减得n 1k n 1k n 1a a 2a +++-++=，即n 1k n 1n 1n 1k a a a a +++++--=-，所以当8≥n 时，6336,,,,++--n n n n n a a a a a 成等差数列，且6226,,,++--n n n n a a a a 也成等差数列，从而当8≥n 时，332-++=n n n a a a 66-++=n n a a )(*， 且22-++n n a a 66-++=n n a a .所以当8≥n 时，222-++=n n n a a a ，即22-+-=-n n n n a a a a ，于是， 当9≥n 时，3113,,,++--n n n n a a a a 成等差数列，从而33-++n n a a 11-++=n n a a ，故由)(*式知=n a 211-++n n a a ，即11-+-=-n n n n a a a a ，当9≥n 时，设1--=n n a a d ，当82≤≤m 时，86≥+m ，从而由)(*式知1262+++=m m m a a a ，故13172++++=m m m a a a ，从而m 7m 6m 1m m 13m 122(a a )a a (a a )+++++-=-+-，于是d d d a a m m =-=-+21. 因此d a a n n =-+1，对任意2≥n 都成立.又由k n k n k n S S S S 22=-+-+（{})4,3∈k 可知k k n n n k n S S S S S 2)()(=----+， 故329S d =且4216S d =.解得d a 274=，从而d a 232=，d a 211=. 因此，数列{}n a 为等差数列，由11=a 知2=d ， 所以数列{}n a 的通项公式为12-=n a n .7.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ17）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设 3132log log ......log ,n n b a a a =+++3log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1{}nb 的前n 项和. 【思路点拨】第（Ⅰ）问可由12231a a +=，23269a a a =联立方程组求得1a 和公比q ，从而求得n a 的通项公式.第（Ⅱ）问中，需先利用对数的性质化简n b ，再用裂项相消的方法求数列1{}nb 的前n 项和. 【精讲精析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得23a3249a a =所以219q =. 由条件可知0n a >,故13q =.由12231a a +=得11231a a q +=，所以113a =. 故数列{}n a 的通项公式为n a =1()3n.（Ⅱ ）31323n log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-.故12112()(1)1n b n n n n =-=--++,.所以数列1{}n b 的前n 项和为21nn -+.8.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ17）已知等比数列{}n a 中，11a =3，公比13q =. （1）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=. （2）设31323log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列{n b }的通项公式.【思路点拨】第（1）问利用等比数列通项公式和求和公式求出n S ,n a ，然后证明等式12nn a S -=成立； （2）利用对数的性质化简n b ，即得{n b }的通项公式.【精讲精析】（1）n 1n 131()a 3-==1()3n，111(1-)1-3121-333==n n n S∴12nn a S -=. （2）31323log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+n(n 1)(123...n)2+=-++++=-. ∴数列{n b }的通项公式为n b =n(n 1)2+-. 9.（2011·广东文科·T20）设b>0，数列{n a }满足a 1=b,11(2)1n n n nba a n a n --=+-≥.(1)求数列{n a }的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n ，n 2a ≤bn 1++1.【思路点拨】（1）把题中条件变形为1111--⋅+=n nn n ，构造成为)11(111n n n n+-=+-，转化为等比数列，求得}11{ba n n-+的通项公式，进而求出}{n a 的通项公式.（2）利用均值不等式证明.【精讲精析】（1）由已知得1111--⋅+=n na nb ba n ）（2≥n ，当1≠b 时，上式变形为：)111(1111ba nb ba n n n-+-=-+-， 即数列}11{b a n n -+是以)1(11111b b b a -=-+为首项，以b 1为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得：n n n bb b b b b a n )1(1)1()1(1111-=-=-+-，解得nn b nbb a --=1)1(；当1=b 时，有111=---n na n a n ，即{na n }是首项公差均为1的等差数列，则1=n a .综上所述⎪⎩⎪⎨⎧≠>--==)1且0(1)1()1(1b b b nb b b a nn n .（2）方法一：当12(1)1,(21,1nn n nnb b b a b b +-≠=≤+-时欲证只需证112(1))1nn n b nb b b +-≤+-12211121(1)11n n n n n n n b bb b b b b b +-+---+=+++++++-11111()--=++++++ n n n n n b b b b b b b(222)n b >+++ 2,n nb =12(1)21.1n n n nnb b a b b +-∴=<+-当b=1时，b n+1+1=2=2a n ,综上所述12 1.n n a b +≤+方法二：由（1）及题设知: 当1=b 时，1+n b +1=2=2n a ；当1且0≠>b b 时，nnk 1nn kk 1k 1n n n 1b11b 1b a (1b)nb nbb n--==-===⋅-∑∑，而nn 1n 210n 1n kk 1211111()()()()1bb b b b ()nn b----=++⋅⋅⋅++=≥=∑，∴21211111+-=≥n n nb bb a ）（， 即2212+≤n n ba ，又2111221+++=≥+n n n bb b ，∴121+≤+n n b a .综上所述，对于一切正整数n 有121+≤+n n b a .10.（2011·广东高考理科·Ｔ20）设0>b 数列{}n a 满足111=,(2)22n n n nba a b a n a n --=≥+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n,1112n n n b a ++≤+ .【思路点拨】（1）把题中条件变形为1121+-⋅=⋅-n n a n a n b ，构造成为)211(2211b a n b b a n n n -+-=-+-，转化为等比数列，求得nn 1a 2b ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭的通项公式，进而求出}{n a 的通项公式.或用猜想证明的方法解决. （2）利用均值不等式证明.【精讲精析】（1）方法一：由已知得11)22(--=-+n nn n nba a n a a ，两边同除以1-n n a a ，整理得1121+-⋅=⋅-n n a n a n b ， 当2≠b 时有： )211(2211b a n b b a n n n -+-=-+-（2≥n ）令n c n n +=1，则}{n c 是以)2(221111b b b a c -=-+=为首项，bq 2=为公比的等比数列.由等比数列通项公式得)2(2)2()2(21b b b b b c n nn n -=-=-，即)2(221b b b a n n n n-=-+ 从而nn nn b nb b a --=2)2(.当2=b 时，有2111=---n na n a n ，即}{n a n 是首项与公差均为21的等差数列，从而有2n a n n =，得2=n a . 综上所述⎪⎩⎪⎨⎧≠>--==)2且0(2)2()2(2b b bnb b b a nn nn 方法二：（ⅰ）当2b =时，{}n n a 是以12为首项，12为公差的等差数列， 即111(1)222=+-⨯=n n n n a ，∴2n a =. （ⅱ）当2b ≠时，1a b =，2222222(2)22b b b a b b -==+-，33323333(2)242-==++-b b b a b b b ， 猜想(2)2n n n nnb b a b -=-，下面用数学归纳法证明：①当1n =时，猜想显然成立；②假设当n k =时，(2)2k k k kkb b a b -=-，则 1111(1)(1)(2)(1)(2)2(2)2(2)2+++++⋅+⋅-+-===+-+⋅--k k k k k k kk k k k b a k b kb b k b b a a k kb b k b b ， 所以当1n k =+时，猜想成立，由①②知，*n N ∀∈，(2)2n n n nnb b a b -=-．综上所述⎪⎩⎪⎨⎧≠>--==)2且0(2)2()2(2b b bnb b b a nn n n （2）方法一：（ⅰ）当2b =时， 112212n n n a ++==+，故2b =时，命题成立；（ⅱ）当2b ≠时，22122n n n n b b ++≥=，21211222n n n n b b b --+⋅+⋅≥=，11111,222n n n n n n b b b +--++⋅+⋅≥= ，以上n 个式子相加得2212n n b b -+⋅+111122n n n n b b +--++⋅+⋅+ 2121222n n n n b n b -++⋅+≥⋅，1221212112(2)[(222)2](2)2(2)2(2)n n n n n n n n n n n n n n nn b b b b b b b a b b +--++⋅-+⋅++⋅+-⋅-=≤-- 2212121(222)(2)2(2)2(2)n n n n n n n n nb b b b b b b --++⋅++⋅+--⋅-=- 2121111(2)222(2)n n n n n n n n nb b b b +++++--⋅+⋅=- 2111211(2)(22)2(2)n n n n n n n n nb b b b +++++-⋅+⋅-=-1112n n b ++=+．故当2b ≠时，命题成立； 综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．方法二：由（1）及题设知: 当2b =时，11122n n n b a +++==，故b=2时，命题成立；当02b b >≠且时，1111111221212121;(2)n knnn kk n nn k k n k n n n kk k nnn n kk k n bb b b a n b b nb nb b nb b b n-------==--==-=====-∑∑∑∑而11210222221()()()()122()-----=++++=≥=∑ n n n n k n b b b b n k k n b n b112211212()()2-+∴≥=n n n a b b b，即122()2+≤n n b a，又112112()22++++≥=n n n b b 综上所述：对于一切正整数n,1112n n n b a ++≤+. 11.（2011·山东高考理科·Ｔ20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln nn n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和S n .【思路点拨】（Ⅰ）由题意易知1232,6,18a a a ===.由等比数列的通项公式写出数列的通项公式. （Ⅱ）由题意易知数列{}n b 为摆动数列，利用分组求和法，可以将奇数项和偶数项分开来求解数列的前n 项和，但是要分奇数和偶数两种情况讨论.【精讲精析】（Ⅰ）由题意可知1232,6,18a a a ===，公比32123a a q a a ===， 通项公式为123n n a -=⋅；（Ⅱ）()1111ln 23(1)ln(23)23(1)[ln 2(1)ln 3]---=+-=+-=+-+-nn n n n n n n n b a a n ×××当2(*)n k k =∈N 时，122n k S b b b =+++212(133){1(23)[(22)(21)]}ln 3-=+++++-+++--+- k k k 2132ln 331ln 3132-=+=-+-k n n k ×当21(*)n k k =-∈N 时，1221n k S b b b -=+++222(133){(12)[(23)(22)}ln 3ln 2-=++++-++---- k k k ]21132(1)ln 3ln 213--=----k k ×131ln 3ln 22-=---n n故31ln 3,2131ln 3ln 22⎧-+⎪⎪=⎨-⎪---⎪⎩n n n n n S n n 为偶数；，为奇数.12.（2011·山东高考文科·Ｔ20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：n b =(1)ln nn n a a +-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .【思路点拨】（I ）由题意易知1232,6,18a a a ===.由等比数列的通项公式写出数列{}n a .（Ⅱ）由题意易知数列{}n b 可利用分组法求和.【精讲精析】（Ⅰ）由题意知1232,6,18a a a ===,因为{}n a 是等比数列,所以公比为3,所以数列{}n a 的通项公式123n n a -=⋅.（Ⅱ）n b =(1)ln nn n a a +-=123n -⋅+(1)[ln 2(1)ln 3]nn -+-=123n -⋅+(1)ln 2(1)(1)ln 3n n n -+--,所以0122112212(23232323)[(1)(1)(1)]ln 2[(1)0-=⋅+⋅+⋅++⋅+-+-++-+-⋅+ n n n S232(1)1(1)2(1)(21)]ln 3-⋅+-⋅++-⋅- n n 22(13)(111111)ln 2[01234(22)(21)]ln 313-=+-+-+--+++-+-+--+-- n n n=91n-+0ln 2ln391ln3nn n ⋅+=-+．13.（2011·辽宁高考理科·Ｔ17）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和． 【思路点拨】(Ⅰ)先求首项1a 和公差d ，再求通项公式；（Ⅱ）可利用错位相减法求和． 【精讲精析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得⎩⎨⎧-=+=+,10122,011d a d a ⎩⎨⎧-==.1,11d a 故数列{}n a的通项公式为 .2n a n -= （Ⅱ）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和为n S ，即n S =,22121-+++n n a a a 故1S =1， n n n a a a S 242221+++= .所以，当n ＞1时，2n S =1112122---++-+n n n a a a a a -n n a 2=n 1n 1112n 1()2422---+++- =n n n 22)211(11-----=n n 2，所以n S =12-n n 综上，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和n S =12-n n . 14.（2011·北京高考理科·T20）若数列n A :12,,...,(2)n a a a n ≥满足11(1,2,...,1)k k a a k n +-==-，则称n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++.（Ⅰ）写出一个满足150a a ==，且5S(A )0>的E 数列5A ；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n （n ≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由.【思路点拨】（Ⅰ）写出满足条件的一个数列即可；（Ⅱ）分别证明必要性与充分性；（Ⅲ）先假设存在，看能否求出，求出即存在，求不出则不存在.【精讲精析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一个满足条件的E 数列5A . （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 数列5A ）（Ⅱ）必要性：因为E 数列n A 是递增数列，所以11(1,2,,1999)k k a a k +-== . 所以n A 是首项为12，公差为1的等差数列.所以200012(20001)12011a =+-⨯=. 充分性：由于200019991a a -≤，199919981a a -≤，…，211a a -≤， 所以200011999a a -≤，即200011999a a ≤+. 又因为1200012,2011a a ==，所以200011999a a =+. 故110(1,2,,1999)k k a a k +-=>= ，即n A 是递增数列. 综上，结论得证.（Ⅲ）令1(1,2,3,,1)k k k c a a k n +=-=- ，则1k c =±.因为 2113112,a a c a a c c =+=++，…，1121n n a a c c c -=++++ ， 所以11231()(1)(2)(3)n n S A na n c n c n c c -=+-+-+-++121(1)(2)1[(1)(1)(1)(2)(1)]n n n c n c n c -=-+-++---+--++-(1)2n n -=-121[(1)(1)(1)(2)(1)]n c n c n c ---+--++- 因为 1k c =±，所以1k c -为偶数(1,2,,1)k n =- . 所以121(1)(1)(1)(2)(1)n c n c n c ---+--++- 为偶数. 所以要使()0n S A =，必须使(1)2n n -为偶数， 即4整除(1)n n -，亦即4n m =或*41()n m m N =+∈当*4()n m m N =∈时，E 数列n A 的项满足41434240,1,1m m m m a a a a +++===-= (1,2,,)k m = 时，有10,()0n a S A ==；当n=4m+1*()m N ∈时，E 数列n A 的项满足41434240,1,1m m m m a a a a +++===-= (1,2,,)k m = 时，有10,()0n a S A ==；当n=4m+2或n=4m+3*()m N ∈时，n(n-1)不能被4整除，此时不存在E 数列n A ，使得10,()0n a S A ==. 15.（2011·北京高考文科·T20）若数列n A ：12,,...,(2)n a a a n =≥满足11(1,2,...,1)k k a a k n +-==-，则称n A 为E 数列.记()n S A =12...n a a a +++.（Ⅰ）写出一个满足10s a a==50=a ，且S(5A )>0的E 数列5A ； （Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011； （Ⅲ）在14a =的E 数列n A 中，求使得()0n S A =成立的n 的最小值.【思路点拨】（Ⅰ）写出满足条件的一个数列即可；（Ⅱ）分别证明必要性与充分性；（Ⅲ）利用E 数列的定义找出前面几项的和与0的关系，再求n 的最小值.【精讲精析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一个满足条件的E 数列5A . （答案不惟一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 数列5A ）（Ⅱ）必要性：因为E 数列n A 是递增数列，所以11(1,2,,1999)+-== k k a a k . 所以n A 是首项为12，公差为1的等差数列.所以200012(20001)12011a =+-⨯=. 充分性：由于200019991a a -≤，199919981a a -≤，…，211a a -≤， 所以200011999a a -≤，即200011999a a ≤+. 又因为1200012,2011a a ==，所以200011999a a =+. 故110(1,2,,1999)k k a a k +-=>= ，即n A 是递增数列. 综上，结论得证.（Ⅲ）对首项为4的E 数列n A 由于21328713,12,,13a a a a a a ≥-=≥-≥≥-≥- ，… 所以120k a a a +++> (2,3,,8)= k .所以对任意的首项为4的E 数列n A ，若()0n S A =，则必有9≥n . 又14a =的E 数列n A ：4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4满足()0n S A =， 所以n 的最小值是9.16.（2011·湖南高考文科T20）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.（Ⅰ）求第n 年初M 的价值n a 的表达式； （Ⅱ）设n nn A na a a A 若.21+++=大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新.证明：须在第9年初对M 更新.【思路点拨】本题考查学生运用知识的能力，重点考查学生的以下能力：一是阅读能力.二是转化能力.三是表达能力.即能否把文字语言转化为符号语言的能力.四是解题能力.本题主要考查学生的阅读能力、建模能力和运算能力，阅读后建立数学模型是关键. 【精讲精析】（I ）当6n ≤时，数列{}n a 是首项为120，公差为10-的等差数列． 12010(1)13010;n a n n =--=- 当6n ≥时，数列{}n a 是以6a 为首项，公比为34的等比数列，又670a =，所以6370();4n n a -=⨯因此，第n 年初，M 的价值n a 的表达式为(Ⅱ)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当16n ≤≤时，1205(1),1205(1)1255;n n S n n n A n n =--=--=-当7n ≥时， 666786333()570704[1()]780210()4443780210()4.n n n n n n S S a a a A n---=++++=+⨯⨯⨯-=-⨯-⨯= ， 666786333()570704[1()]780210()4443780210()4.n n n nn n S S a a a A n---=++++=+⨯⨯⨯-=-⨯-⨯= 因为{}n a 是递减数列，所以{}n A 是递减数列，又86968933780210()780210()4779448280,7680,864996A A ---⨯-⨯==>==<所以须在第9年初对M 更新．17.（2011天津高考文科T20）已知数列{}{}n n a b 与满足1*1113(1)(2)1,,, 2.2-+++-+=-+=∈=n nn n n n n b a b a b n N a 且（1）求23,a a 的值；（2）设*2121,+-=-∈n n n c a a n N ，证明{}n c 是等比数列；（3）设n S 为{}n a 的前n 项和，证明*21212122121().3--++++≤-∈ n n n n S S S S n n N a a a a 【思路点拨】（1）n b 的通项公式是常数，对n 取值代入11(2)1nn n n n b a b a +++=-+求值；（2）由n c 的关系式，构造1n n c c +是常数；（3）由（2）求出2k a 的通项，得到2k S 的通项公式，再求和、放缩证明.【精讲精析】（1）由1*3(1),2-+-=∈n n b n N 可得2,,1,,⎧=⎨⎩n n b n 为奇数为偶数又()1121nn n n n b a b a +++=-+，当121231,21,2,;2n a a a a =+=-==-时由可得当2332,25,8.n a a a =+==时可得（2）对任意*∈n N 21212221n n n a a --+=-+ ①2221221n n n a a ++=+ ②②-①，得21211212132,32,4--++--=⨯=⨯=n n n n n n nc a a c c 即于是.所以{}n c 是等比数列. （3）12a =，由（2）知，当*2∈≥k N k 且时，2113153752123()()()()k k k a a a a a a a a a a ---=+-+-+-++-13523212(14)23(2222)23214----=+++++=+⨯=- k k k .故对任意*2121,2.--∈=k k k N a由①得212121*2212221,2,2---+=-+=-∈k k k k k a a k N 所以 因此，21234212()()().2k k k kS a a a a a a -=++++++=于是，21212212.2---=-=+k k k k k S S a故21221221222121212121221.1222144(41)22k k k k k k k k k kk k k k kS S k k k a a ------+-++=+=-=-----。
高考数学《数列求和及综合应用》复习
C. 2019
2020
√D. 2020 2021
由
a1
1 2
，an1
1 2 an
，得 a2
1 2 a1
2 3
，a3
3 4
，归纳可得
an
n
n
1
.当
n
1
时，a1
1 2
满足
an
n.
n 1
假设当 n k 时满足，即 ak
k
k 1
，当
n
k
1 时，
ak 1
1 2 ak
1 2 k
k 1 ，满足该式，故
an
SS1n,
n
1 Sn1, n
2, n N
只有 a1 S1 ，满足 n 2 的情形，通项公式才可以统一写成 an Sn . Sn1
1.已知数列an
满足
a1
1 2
，
an1
2
1 an
n N*
，则 a1
a2 22
a3 32
a2020 的值是(
20202
)
A. 2018
2019
B. 1009
3.以等差（比）数列为命题背景，考查等差（比）的前n项和公式、 分组求和 4.以递推数列、等差（比）数列为命题背景， 考查错位相减、裂项相消、倒序相加等求和方法
考点解读
5.等差（比）数列的求和、分组求和、错位相减求和及裂项相消求和 6.常与不等式、函数、解析几何相结合考查数列求和函数、 不等式的性质等
2.已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn 2n1 2 ，
则数列
log
2
an
1 log2
an1
数列求和与数列的综合应用
数列求和与数列的综合应用知识点一数列求和的几种常用方法1．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．2．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．4．倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．5．并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．1．判断正误(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n项和时使用公式Sn＝较为合理．(√)(2)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(√)(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(×)(4)如果数列{an}是周期为k的周期数列，那么Skm＝mSk(m，k为大于1的正整数)．(√) 2．(2019·益阳、湘潭二模)已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2且Sn＋1＝2Sn，设bn＝log2an，则＋＋…＋的值是(B)A. B.C. D.解析：由Sn＋1＝2Sn可知，数列{Sn}是首项为S1＝a1＝2，公比为2的等比数列，所以Sn ＝2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.bn＝log2an＝当n≥2时，＝＝－，所以＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－＝.故选B.3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n·2n，则Sn＝(n－1)2n＋1＋2.解析：∵an＝n·2n，∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.①∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1②①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2.知识点二数列的综合应用1．等差数列和等比数列的综合等差数列中最基本的量是其首项a1和公差d，等比数列中最基本的量是其首项a1和公比q，在等差数列和等比数列的综合问题中就是根据已知的条件建立方程组求解出这两个数列的基本量解决问题的．2．数列和函数、不等式的综合(1)等差数列的通项公式和前n项和公式是在公差d≠0的情况下关于n的一次或二次函数．(2)等比数列的通项公式和前n项和公式在公比q≠1的情况下是公比q的指数函数模型．(3)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．4．(2019·武汉市调研考试)对任一实数序列A＝(a1，a2，a3，…)，定义新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为an＋1－an.假定序列Δ(ΔA)的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝100.解析：令bn＝an＋1－an，依题意知数列{bn}为等差数列，且公差为1，所以bn＝b1＋(n－1)×1，a1＝a1，a2－a1＝b1，a3－a2＝b2，……an－an－1＝bn－1，累加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1＝a1＋(n－1)b1＋，分别令n＝12，n＝22，得解得a1＝，a2＝100.1．对于等差、等比数列的综合问题，要先分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项，求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．2．数列与函数的综合问题主要有以下两类：一是已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；二是已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．在解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决．3．数列与不等式相结合问题的处理方法(1)如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等．(2)如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．总之，解决这类问题，要把数列和不等式的知识巧妙结合起来，综合处理．考向一分组求和法【例1】(1)若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2(2)已知数列{an}的前n项和为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值是()A．13B．76C．46D．－76【解析】(1)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝＋2×－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n ＋1＋n2－2.(2)因为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，所以S15＝(1－5)＋(9－13)＋…＋(49－53)＋57＝(－4)×7＋57＝29，S22＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(81－85)＝－4×11＝－44，S31＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(113－117)＋121＝－4×15＋121＝61，所以S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.【答案】(1)C(2)D分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．(1)已知数列{an}的通项公式是an＝2n－n，则其前20项和为(C)A．379＋ B．399＋C．419＋ D．439＋(2)若数列{an}是22＋222＋22＋23，…，2＋22＋23＋…＋2n，…，则数列{an}的前n项和Sn ＝2n＋2－4－2n.解析：(1)令数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2＋a3＋...＋a20＝2(1＋2＋3＋ (20)－＝420－＝419＋.(2)an＝2＋22＋23＋ (2)＝＝2n＋1－2，所以Sn＝(22＋23＋24＋…＋2n＋1)－(2＋2＋2＋…＋2)＝－2n＝2n＋2－4－2n.考向二错位相减法求和【例2】(2018·浙江卷)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n.(1)求q的值；(2)求数列{bn}的通项公式．【解】(1)由a4＋2是a3，a5的等差中项得a3＋a5＝2a4＋4，所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得a4＝8.由a3＋a5＝20得8(q＋)＝20，解得q＝2或q＝，因为q>1，所以q＝2.(2)设cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}前n项和为Sn.由cn＝解得cn＝4n－1.由(1)可知an＝2n－1，所以bn＋1－bn＝(4n－1)·()n－1，故bn－bn－1＝(4n－5)·()n－2，n≥2，bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＝(4n－5)·()n－2＋(4n－9)·()n－3＋…＋7·＋3.设Tn＝3＋7·＋11·()2＋…＋(4n－5)·()n－2，n≥2，①Tn＝3·＋7·()2＋…＋(4n－9)·()n－2＋(4n－5)·()n－1，②所以①－②得Tn＝3＋4·＋4·()2＋…＋4·()n－2－(4n－5)·()n－1，因此Tn＝14－(4n＋3)·()n－2，n≥2，又b1＝1，所以bn＝15－(4n＋3)·()n－2.用错位相减法求和的三个注意事项：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12.而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因为q>0，所以解得q＝2，所以bn＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.②联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.所以，数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n.(2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，有a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，上述两式相减，得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝－4－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n ＋1－8.得Tn＝×4n＋1＋.所以，数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4n＋1＋.考向三裂项相消法求和【例3】(2019·福州市模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)．设bn＝an＋1－an.(1)证明：数列{bn}是等比数列；(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项的和Sn.【解】(1)证明：因为an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝an＋1－an，所以＝＝＝＝2，又b1＝a2－a1＝2－1＝1，所以数列{bn}是以1为首项，以2为公比的等比数列．(2)由(1)知bn＝1×2n－1＝2n－1，因为cn＝，所以cn＝＝(－)，所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝.裂项相消法求和的实质和解题关键裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.解：(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上，数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)证明：由于an＝2n，故bn＝＝＝.Tn＝＝<＝.。
数列的综合应用总结
数列的综合应用总结数列作为数学中常见的一种数学对象，在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将对数列的综合应用进行总结和分析，包括数列的定义、数列求和的方法以及数列在实际问题中的应用等方面。
一、数列的定义数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合。
一般用an表示数列中的第n个数，其中n为正整数，称为项号。
数列的通项公式表示了数列中任意一项与项号之间的关系。
二、数列求和的方法1.等差数列求和等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的前n项和Sn可以通过等差数列求和公式来计算，即Sn =(a1 + an) * n / 2。
2.等比数列求和等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
等比数列的前n项和Sn可以通过等比数列求和公式来计算，即Sn =(a1 * (1 - q^n)) / (1 - q)，当|q| < 1时成立。
3.其他数列求和方法除了等差数列和等比数列，还存在一些特殊的数列，它们的求和方法也各不相同。
比如斐波那契数列、调和数列等，它们的求和方法需要根据具体的问题和数列的规律来确定。
三、数列在实际问题中的应用数列的应用广泛存在于实际问题的建模和解决过程中。
下面以几个具体的应用场景来说明数列在实际问题中的应用。
1.金融领域在金融领域中，利率、投资回报率等与时间相关的指标可以使用数列进行建模。
比如等额本息还款方式下，每期的还款金额就可以通过等差数列求和来计算。
2.物理学领域在物理学中，许多物理现象的变化过程可以用数列进行描述。
比如自由落体运动的位移、速度、加速度等物理量随时间的变化可以用等差数列或等比数列来表示和推导。
3.计算机科学领域在算法设计和数据处理中，数列也有着重要的应用。
比如在排序算法中，快速排序、归并排序等算法利用了数列的递推和分治思想来实现高效的排序。
四、总结数列作为一种常见的数学对象，具有广泛的应用价值。
数列求和与数列的综合应用
数列求和与数列的综合应用 一、分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减。
1、已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()n na n ab n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和T 2n .2、已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和S n .二、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
(2)常见的裂项技巧①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1②1n(n+2)=12(1n−1n +2) ③1(2n −1)(2n+1)=12(12n−1−12n +1)④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n 3、设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= .（1）求{}n a 的通项公式；n .4、已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．三、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的。
5、已知 a n 是各项均为正数的等比数列，且a 1+a 2=6，a 1a 2=a 3（1）求数列 a n 通项公式；（2） b n 为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n +1=b n b n +1，求数列 b na n 的前n 项和T n .6、已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列2{}n n a b 的前n 项和T n *()n ∈N .四、分奇数、偶数求和（课后作业）7、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，且(1)证明：23n n a a +=；(2)求n S8、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若a 1=2,a n +1+a n =2n −1（1） 求数列{}n a 的通项公式（2） 求n S。
第26讲-数列求和及数列的综合应用(解析版)
第26讲-数列求和及数列的综合应用(解析版)第26讲-数列求和及数列的综合应用(解析版)数列是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将讨论数列求和的方法以及数列在各个领域中的综合应用。
一、数列求和方法介绍1.1 等差数列求和公式等差数列是数列中最常见的一种类型，它的每一项与前一项之差都相等。
对于一个等差数列a，其中首项为a1，公差为d，一共有n项。
那么等差数列的求和公式为：Sn = (n/2) * (2a1 + (n-1)d)其中Sn表示等差数列的前n项和。
1.2 等比数列求和公式等比数列是另一种常见的数列类型，它的每一项与前一项的比值都相等。
对于一个等比数列b，其中首项为b1，公比为q，一共有n项。
那么等比数列的求和公式为：Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中Sn表示等比数列的前n项和。
1.3 平方数列求和公式平方数列是指数列中每一项都是前一项的平方。
对于平方数列c，其中首项为c1，一共有n项。
那么平方数列的求和公式为：Sn = (2^(n+1) - 1) * c1其中Sn表示平方数列的前n项和。
二、数列的综合应用2.1 数列在几何问题中的应用数列在几何问题中有着广泛的应用。
比如，在计算几何中，我们经常需要计算等差数列的前n项和来求解某些图形的周长或面积。
在解答这类问题时，我们可以先通过观察找到数列的公差和首项，然后利用等差数列的求和公式求解。
2.2 数列在金融问题中的应用数列在金融问题中也有着重要的应用。
比如，在投资领域，我们经常需要计算等比数列的前n项和来求解复利问题或者计算某种投资的总收益。
同样地，我们可以通过观察数列的首项和公比，然后利用等比数列的求和公式来进行计算。
2.3 数列在自然科学中的应用数列在自然科学中也扮演着重要的角色。
在物理学中，等差数列的前n项和可以用来计算运动物体的位移和速度。
在化学中，平方数列可以用来计算物质的化学计量位移。
三、总结数列求和方法为我们解决各类实际问题提供了有效的工具。
数列求和、数列的综合应用(讲解部分)
+…+tan
θn<
5 3
的最大整数n的值为
.
解析
由题意可得An
n,n
1 2
n
+
n
1 +
1
,∵O为坐标原点,∴
OAn
=
n,n
1 2
n
+
n
1 +
1
,∵向量
OAn
与向量i=(1,0)的夹角为θn,∴cos
θn=
n
.
n2 +
∴sin ∴tan
n
θn=
θn=
1 n 2
n2 1 2
-1
W9 =1×
10
+29×
10
19+03×2
+190…3+n·
两式相减得
110W=-n·
9 10
n+1+
9+
10
9 10
2+
9 10
3+…+
9 10
n-1=-n·
9 10
n+
1-
9 10
n
1- 9
10
=-n·
9 10
n
+10-10·
9 10
n
,
则W=-10n·
9 10
n+100-100·
题,弄清该数列的特征以及要求什么;
(3)求解——求出该问题的数学解;
(4)还原——将所求结果还原到实际问题中.
2.数列应用题常见模型
(1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定值,那么该模型是等差模
数列求和及其综合应用
数列求和及其综合应用1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n －1)<n 2<n(n ＋1)，能用函数的单调性(定义法)来求数列和的最值问题及恒成立问题．2. 数列是特殊的函数，这部分内容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握． 1、 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n －1·(3n－2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.2.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋5n ＋3，则a 7b 7＝________3.若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2n ＝p(p 为正常数，n∈N *)，则称{a n }为“等方比数列”．则“数列{a n }是等方比数列”是“数列{a n }是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)4.已知函数f(x)＝x 2＋bx 的图象在点(1，f(1))处的切线与直线6x －2y ＋1＝0平行，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f n的前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.5、已知公差不为零的等差数列{a n }中a 1＝2，设a 1、a 3、a 7是公比为q 的等比数列{b n }的前三项．(1) 求数列{a n b n }的前n 项和T n ；(2) 将数列{a n }与{b n }中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n }，设其前n 项和为S n ，求S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1的值．6、已知等差数列{a n }满足a 3＋a 6＝－13，a 1·a 8＝－43，a 1＞a 8，(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 把数列{a n }的第1项、第4项、第7项、…、第3n －2项、…分别作为数列{b n }的第1项、第2项、第3项、…、第n 项、…，求数列{2b n }的前n 项之和；(3) 设数列{c n }的通项为c n ＝n·2b n ，比较(n ＋1)(n ＋2)c n ＋n(n ＋1)c n ＋2与2n(n ＋2)c n ＋1的大小．7、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n －2n＝(b －1)S n .(1) 证明：当b ＝2时，{a n －n·2n －1}是等比数列；(2) 求{a n }的通项公式．8、已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n－1(n≥2)，且a 4＝81， (1) 求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；(2) 求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12n 为等差数列，并求a n .9、已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝1，a 2＝2，a n >0，b n ＝a n a n ＋1(n∈N *)，且{b n }是以q 为公比的等比数列． (1) 证明：a n ＋2＝a n q 2；(2) 若c n ＝a 2n －1＋2a 2n ，证明：数列{c n }是等比数列； (3) 求和：1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋…＋1a 2n －1＋1a 2n.10、将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 …记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1. S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b nb n S n －S 2n＝1(n≥2)．(1) 证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当a 81＝－491时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．12、已知二次函数y ＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上． (1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m 20对所有n∈N *都成立的最小正整数m.13、已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝________.14、设函数f(x)＝xx ＋2(x>0)，观察：f 1(x)＝f(x)＝x x ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x 3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x7x ＋8，f 4(x)＝f(f 3(x))＝x15x ＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N ＋且n≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝________.15、函数y ＝x 2(x>0)的图象在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．16、已知数列{a n }满足：a 1＝m(m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________.17、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n∈N *.(1) 证明：{a n －1}是等比数列；(2) 求数列{S n }的通项公式，并求出使得S n ＋1>S n 成立的最小正整数15<115，5614>11518、设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a n ＋1S n (n∈N *)．(1) 若a 1，S 2，－2a 2成等比数列，求S 2和a 3； (2) 求证：对k≥3且k∈N *有0≤a k ＋1≤a k ≤43.19、数列{a n }、{b n }是各项均为正数的等比数列，设c n ＝b n a n (n∈N *)．(1) 数列{c n }是否为等比数列证明你的结论；(2) 设数列{lna n }、{lnb n }的前n 项和分别为S n ，T n .若a 1＝2，S n T n ＝n2n ＋1，求数列{c n }的前n 项和．20、两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e 等于________．21、在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．(1) 写出这个命题的逆命题； (2) 判断逆命题是否为真并给出证明．数列求和及其综合应用1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n －1)<n 2<n(n ＋1)，能用函数的单调性(定义法)来求数列和的最值问题及恒成立问题．2. 数列是特殊的函数，这部分内容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握． 1、 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n －1·(3n－2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.－15 解析：a 1＋a 2＝a 3＋a 4＝…＝a 9＋a 10＝－3，a 1＋a 2＋…＋a 10＝5×(－3)＝－15. 2.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋5n ＋3，则a 7b 7＝. 6 解析：a 7b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝A 13B 13＝7×13＋513＋3＝6. 3.若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2n ＝p(p 为正常数，n∈N *)，则称{a n }为“等方比数列”．则“数列{a n }是等方比数列”是“数列{a n }是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 3. 必要不充分4.已知函数f(x)＝x 2＋bx 的图象在点(1，f(1))处的切线与直线6x －2y ＋1＝0平行，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f n 的前n 项和为S n ，则S 2 012＝________. 4. 2 0122 013 解析：f′(x)＝2x ＋b,2＋b ＝3，b ＝1，f(n)＝n 2＋n ＝n(n ＋1)，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1. 5、已知公差不为零的等差数列{a n }中a 1＝2，设a 1、a 3、a 7是公比为q 的等比数列{b n }的前三项．(1) 求数列{a n b n }的前n 项和T n ；(2) 将数列{a n }与{b n }中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n }，设其前n 项和为S n ，求S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1的值．解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则(2＋2d)2＝2×(2＋6d)，又d≠0，∴ d＝1，a n ＝n ＋1，b n ＝2n ，a n b n ＝(n ＋1)·2n ，用错位相减法可求得T n ＝n·2n ＋1.(2) ∵ 新的数列{c n }的前2n－n －1项和为数列{a n }的前2n－1项的和减去数列{b n }前n 项的和，∴ S 2n －n －1＝2n－12＋2n2－22n－12－1＝(2n －1)(2n －1－1)．∴ S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1＝1.6、已知等差数列{a n }满足a 3＋a 6＝－13，a 1·a 8＝－43，a 1＞a 8，(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 把数列{a n }的第1项、第4项、第7项、…、第3n －2项、…分别作为数列{b n }的第1项、第2项、第3项、…、第n 项、…，求数列{2b n }的前n 项之和；(3) 设数列{c n }的通项为c n ＝n·2b n ，试比较(n ＋1)(n ＋2)c n ＋n(n ＋1)c n ＋2与2n(n ＋2)c n ＋1的大小．解： (1) {a n }为等差数列，a 3＋a 6＝a 1＋a 8＝－13，又a 1·a 8＝－43，且a 1＞a 8，求得a 1＝1，a 8＝－43，公差d ＝a 8－a 18－1＝－13，∴ a n ＝1－13(n －1)＝－13n ＋43(n∈N *)．(2) b 1＝a 1＝1，b 2＝a 4＝0, ∴ b n ＝a 3n －2＝－13(3n －2)＋43＝－n ＋2，∴ 2b n ＋12b n ＝2－n ＋1＋22－n ＋2＝12， ∴ {2b n }是首项为2，公比为12的等比数列，∴ {2b n }的前n 项之和为2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2.(3) c n ＝n·2b n ，∴ (n ＋1)(n ＋2)c n ＋n(n ＋1)c n ＋2－2n(n ＋2)c n ＋1＝n(n ＋1)(n ＋2)2b n ＋n(n ＋1)(n ＋2)·2b n ＋2－2n(n ＋1)(n ＋2)·2b n ＋1 ＝n(n ＋1)(n ＋2)(2b n ＋2b n ＋2－2×2b n ＋1)＝n(n ＋1)(n ＋2)2b n (1＋2b n ＋2－b n －2×2b n ＋1－b n ) ＝n(n ＋1)(n ＋2)·2b n (1＋2－2－2×2－1)＝n(n ＋1)(n ＋2)2b n (1＋14－1)＞0，其中b n ＋2－b n ＝－(n ＋2)＋2－(－n ＋2)＝－2，b n ＋1－b n ＝－(n ＋1)＋2－(－n ＋2)＝－1，∴ (n＋1)(n ＋2)c n ＋n(n ＋1)c n ＋2＞2n(n ＋2)c n ＋1. 7、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n －2n＝(b －1)S n .(1) 证明：当b ＝2时，{a n －n·2n －1}是等比数列；(2) 求{a n }的通项公式．解：由题意知a 1＝2，且ba n －2n＝(b －1)S n ，ba n ＋1－2n ＋1＝(b －1)S n ＋1，两式相减得b(a n ＋1－a n )－2n＝(b －1)a n ＋1，即a n ＋1＝ba n ＋2n.① (1) 当b ＝2时，由①知a n ＋1＝2a n ＋2n于是a n ＋1－(n ＋1)·2n＝2a n ＋2n－(n ＋1)·2n＝2(a n －n·2n －1)，又a 1－1·21－1＝1≠0, ∴ a n －n·2n －1≠0, ∴ a n ＋1－n ＋1·2na n －n·2n －1＝2， ∴ {a n －n·2n －1}是首项为1，公比为2的等比数列．(2) 当b ＝2时，由(1)知a n －n·2n －1＝2n －1，即a n ＝(n ＋1)2n －1，当b≠2时，由①得a n ＋1－12－b ·2n ＋1＝ba n ＋2n －12－b ·2n ＋1＝ba n －b 2－b·2n＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12－b ·2n . 因此a n ＋1－12－b ·2n ＋1＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12－b ·2n ，又a 1－12－b ×2＝21－b 2－b ， 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，12－b[2n ＋21－b b n －1]，n≥2，n∈N *.∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12n －1，b ＝2，12－b[2n ＋21－b b n －1]，b≠2.8、已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n－1(n≥2)，且a 4＝81，(1) 求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3； (2) 求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12n 为等差数列，并求a n . 解： (1) 由a n ＝2a n －1＋2n－1(n≥2)， 得a 4＝2a 3＋24－1＝81，∴ a 3＝33. 同理a 2＝13，a 1＝5.(2) 由a n ＝2a n －1＋2n－1(n≥2)， 得a n －12n ＝2a n －1＋2n －22n＝a n －1－12n －1＋1， ∴ a n －12n －a n －1－12n －1＝1，∴ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12n 是等差数列. ∵ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12n 的公差d ＝1， ∴ a n －12n ＝a 1－121＋(n －1)×1＝n ＋1，∴ a n ＝(n ＋1)×2n＋1.9、已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝1，a 2＝2，a n >0，b n ＝a n a n ＋1(n∈N *)，且{b n }是以q 为公比的等比数列．(1) 证明：a n ＋2＝a n q 2；(2) 若c n ＝a 2n －1＋2a 2n ，证明：数列{c n }是等比数列； (3) 求和：1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋…＋1a 2n －1＋1a 2n .(解法1)(1) 证明：由b n ＋1b n ＝q ，有a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q, ∴ a n ＋2＝a n q 2(n∈N *) . (2) 证明：∵ a n ＝a n －2q 2，∴ a 2n －1＝a 2n －3q 2＝…＝a 1q 2n －2，a 2n ＝a 2n －2q 2＝…＝a 2q2n －2，∴ c n ＝a 2n －1＋2a 2n ＝a 1q2n －2＋2a 2q2n －2＝(a 1＋2a 2)q2n －2＝5q 2n －2.∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列． (3) 解：由(2)得1a 2n －1＝1a 1q 2－2n ，1a 2n ＝1a 2q 2－2n，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 3＋…＋1a 2n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 4＋…＋1a 2n ＝1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＋1a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2.由题知q>0，当q ＝1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32n.当q≠1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－q －2n1－q －2＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n－1q 2n －2q 2－1.故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n＝⎩⎪⎨⎪⎧32n ，q ＝1，32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n－1q 2n －2q 2－1，q≠1.(解法2) (1) 同解法1(1)．(2) 证明：c n ＋1c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2a 2n －1＋2a 2n ＝q 2a 2n －1＋2q 2a 2n a 2n －1＋2a 2n＝q 2(n∈N *)，又c 1＝a 1＋2a 2＝5，∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．(3) 解：由(2)的类似方法得a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 2)q2n －2＝3q2n －2，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝a 1＋a 2a 1a 2＋a 3＋a 4a 3a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n a 2n －1a 2n ，∵ a 2k －1＋a 2k a 2k －1a 2k ＝3q 2k －22q 4k －4＝32q －2k ＋2，k ＝1,2，…，n. ∴ 1a 1＋1a 2＋…＋1a 2k ＝32(1＋q －2＋q －4…＋q －2n ＋2)(下面同上)．10、将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 …记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1. S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b nb n S n －S 2n＝1(n≥2)．(1) 证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当a 81＝－491时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．(1) 证明：由已知，2b nb n S n －S 2n＝1，又S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，n≥2，b n ＝S n －S n －1，∴ 2b n b n S n －S 2n ＝1即2(S n －S n －1)＝S n (S n －S n －1)－S 2n ，2S n －1－2S n ＝S n S n －1， 又S 1＝1≠0，∴ S n S n －1≠0，∴ 1S n －1S n －1＝12，∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列，且1S n ＝1＋(n －1)·12，S n ＝2n ＋1，∴ b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n n ＋1，n≥2，n∈N *.(2) 解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且q ＞0. 因为1＋2＋…＋12＝12×132＝78，所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项，故a 81在表中第13行第三列，因此a 81＝b 13·q 2＝－491.又b 13＝－213×14，所以q ＝2.记表中第k(k≥3)行所有项的和为S ，则S ＝b k1－q k1－q＝－2k k ＋1·1－2k1－2＝2kk ＋1(1－2k)(k≥3)． 12、已知二次函数y ＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上．(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m 20对所有n∈N *都成立的最小正整数m.解： (1) 设这二次函数f(x)＝ax 2＋bx (a≠0) ，则f′(x)＝2ax ＋b ，由于f′(x)＝6x －2，得a ＝3 , b ＝－2, 所以f(x)＝3x 2－2x.又因为点(n ，S n )(n∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上，所以S n ＝3n 2－2n. 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n)－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 (n∈N *)． (2) 由(1)得知b n ＝3a n a n ＋1＝36n －5[6n ＋1－5]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1，故T n ＝∑ni ＝1b i。
数列数列求和数列的综合应用课件
量子力学
数列在量子力学中用于描述微 观粒子的波函数和能量级。
数列在计算机科学中的应用
数据结构
数列是计算机科学中常见的数 据结构之一，用于存储有序的
元素集合。
算法设计
数列在算法设计中用于实现排 序、搜索和图算法等。
加密技术
数列在加密技术中用于生成加 密密钥和实现加密算法。
积的数列。
02
数列的求和
数列求和的定义
数列求和是对数列中所有项进行加法运算的过程。
数列求和是数学中一个重要的概念，它是对数列中所有项进行加法运算的过程。 通过数列求和，我们可以得到数列的和，从而了解数列的整体性质和特点。
等差数列的求和
等差数列是一种常见的数列，其求和 方法有多种。
等差数列是一种常见的数列，其特点 是每项与前一项的差是一个常数。等 差数列的求和方法有多种，其中最常 用的是利用等差数列的通项公式和项 数进行计算。
等比数列的应用实例解析
总结词
等比数列在金融、经济、生物等领域中有着 广泛的应用，如复利计算、人口增长等。
详细描述
等比数列是一种常见的数列，其相邻两项之 间的比是一个常数。在金融和经济领域中， 很多问题需要用到等比数列的知识，例如复 利计算、股票价格等。通过等比数列的应用 ，我们可以更好地理解这些问题的本质，从 而更好地进行决策。
本质，从而更好地进行预测和建模。
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等比数列的求和
等比数列是一种常见的数列，其求和方法有多种。
等比数列是一种常见的数列，其特点是每项与前一项的比值是一个常数。等比数列的求和方法有多种，其中最常用的是利用 等比数列的通项公式和项数进行计算。
幂数列的求和
数列求和和综合应用
数列求和及其综合应用1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n －1)<n 2<n(n ＋1)，能用函数的单调性(定义法)来求数列和的最值问题及恒成立问题．2. 数列是特殊的函数，这部分容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．1、 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n －1·(3n－2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.2.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋5n ＋3，则a 7b 7＝________3.若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2n ＝p(p 为正常数，n∈N *)，则称{a n }为“等方比数列”．则“数列{a n }是等方比数列”是“数列{a n }是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)4.已知函数f(x)＝x 2＋bx 的图象在点(1，f(1))处的切线与直线6x －2y ＋1＝0平行，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f n 的前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.5、已知公差不为零的等差数列{a n }中a 1＝2，设a 1、a 3、a 7是公比为q 的等比数列{b n }的前三项．(1) 求数列{a n b n }的前n 项和T n ；(2) 将数列{a n }与{b n }中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n }，设其前n 项和为S n ，求S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1的值． 6、已知等差数列{a n }满足a 3＋a 6＝－13，a 1·a 8＝－43，a 1＞a 8，(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 把数列{a n }的第1项、第4项、第7项、…、第3n －2项、…分别作为数列{b n }的第1项、第2项、第3项、…、第n 项、…，求数列{2b n }的前n 项之和；(3) 设数列{c n }的通项为c n ＝n·2b n ，比较(n ＋1)(n ＋2)c n ＋n(n ＋1)c n ＋2与2n(n ＋2)c n ＋1的大小．7、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n －2n＝(b －1)S n .(1) 证明：当b ＝2时，{a n －n·2n －1}是等比数列；(2) 求{a n }的通项公式．8、已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n－1(n≥2)，且a 4＝81， (1) 求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；(2) 求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12n 为等差数列，并求a n .9、已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝1，a 2＝2，a n >0，b n ＝a n a n ＋1(n∈N *)，且{b n }是以q 为公比的等比数列．(1) 证明：a n ＋2＝a n q 2；(2) 若c n ＝a 2n －1＋2a 2n ，证明：数列{c n }是等比数列； (3) 求和：1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋…＋1a 2n －1＋1a 2n.10、将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6a 7 a 8 a 9 a 10 …记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1. S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b nb n S n －S 2n＝1(n≥2)．(1) 证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当a 81＝－491时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．12、已知二次函数y ＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上． (1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m 20对所有n∈N *都成立的最小正整数m.13、已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝________.14、设函数f(x)＝xx ＋2(x>0)，观察：f 1(x)＝f(x)＝x x ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x 3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x7x ＋8，f 4(x)＝f(f 3(x))＝x15x ＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N ＋且n≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝________.15、函数y ＝x 2(x>0)的图象在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．16、已知数列{a n }满足：a 1＝m(m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________.17、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n∈N *.(1) 证明：{a n －1}是等比数列；(2) 求数列{S n }的通项公式，并求出使得S n ＋1>S n 成立的最小正整数n.5615<115，5614>11518、设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a n ＋1S n (n∈N *)．(1) 若a 1，S 2，－2a 2成等比数列，求S 2和a 3；(2) 求证：对k≥3且k∈N *有0≤a k ＋1≤a k ≤43.19、数列{a n }、{b n }是各项均为正数的等比数列，设c n ＝b n a n (n∈N *)．(1) 数列{c n }是否为等比数列？证明你的结论；(2) 设数列{lna n }、{lnb n }的前n 项和分别为S n ，T n .若a 1＝2，S n T n ＝n2n ＋1，求数列{c n }的前n 项和．20、两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e 等于________．21、在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．(1) 写出这个命题的逆命题；(2) 判断逆命题是否为真？并给出证明．数列求和及其综合应用1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n －1)<n 2<n(n ＋1)，能用函数的单调性(定义法)来求数列和的最值问题及恒成立问题．2. 数列是特殊的函数，这部分容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．1、 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n －1·(3n－2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.－15 解析：a 1＋a 2＝a 3＋a 4＝…＝a 9＋a 10＝－3，a 1＋a 2＋…＋a 10＝5×(－3)＝－15. 2.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋5n ＋3，则a 7b 7＝________.2.6 解析：a 7b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝A 13B 13＝7×13＋513＋3＝6.3.若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2n ＝p(p 为正常数，n∈N *)，则称{a n }为“等方比数列”．则“数列{a n }是等方比数列”是“数列{a n }是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 3. 必要不充分4.已知函数f(x)＝x 2＋bx 的图象在点(1，f(1))处的切线与直线6x －2y ＋1＝0平行，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f n 的前n 项和为S n ，则S 2 012＝________. 4. 2 0122 013 解析：f′(x)＝2x ＋b,2＋b ＝3，b ＝1，f(n)＝n 2＋n ＝n(n ＋1)，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1. 5、已知公差不为零的等差数列{a n }中a 1＝2，设a 1、a 3、a 7是公比为q 的等比数列{b n }的前三项．(1) 求数列{a n b n }的前n 项和T n ；(2) 将数列{a n }与{b n }中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n }，设其前n 项和为S n ，求S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1的值．解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则(2＋2d)2＝2×(2＋6d)，又d≠0，∴ d＝1，a n ＝n ＋1，b n ＝2n ，a n b n ＝(n ＋1)·2n ，用错位相减法可求得T n ＝n·2n ＋1.(2) ∵ 新的数列{c n }的前2n －n －1项和为数列{a n }的前2n－1项的和减去数列{b n }前n 项的和，∴ S 2n －n －1＝2n－12＋2n2－22n－12－1＝(2n －1)(2n －1－1)．∴ S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1＝1.6、已知等差数列{a n }满足a 3＋a 6＝－13，a 1·a 8＝－43，a 1＞a 8，(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 把数列{a n }的第1项、第4项、第7项、…、第3n －2项、…分别作为数列{b n }的第1项、第2项、第3项、…、第n 项、…，求数列{2b n }的前n 项之和；(3) 设数列{c n }的通项为c n ＝n·2b n ，试比较(n ＋1)(n ＋2)c n ＋n(n ＋1)c n ＋2与2n(n ＋2)c n ＋1的大小．解： (1) {a n }为等差数列，a 3＋a 6＝a 1＋a 8＝－13，又a 1·a 8＝－43，且a 1＞a 8，求得a 1＝1，a 8＝－43，公差d ＝a 8－a 18－1＝－13，∴ a n ＝1－13(n －1)＝－13n ＋43(n∈N *)．(2) b 1＝a 1＝1，b 2＝a 4＝0, ∴ b n ＝a 3n －2＝－13(3n －2)＋43＝－n ＋2，∴ 2b n ＋12b n ＝2－n ＋1＋22－n ＋2＝12， ∴ {2b n }是首项为2，公比为12的等比数列，∴ {2b n }的前n 项之和为2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2.(3)＝n·2b n ，∴ (n ＋1)(n ＋2)c n ＋n(n ＋1)c n ＋2－2n(n ＋2)c n ＋1＝n(n ＋1)(n ＋2)2b n ＋n(n ＋1)(n ＋2)·2b n ＋2－2n(n ＋1)(n ＋2)·2b n ＋1 ＝n(n ＋1)(n ＋2)(2b n ＋2b n ＋2－2×2b n ＋1)＝n(n ＋1)(n ＋2)2b n (1＋2b n ＋2－b n －2×2b n ＋1－b n )＝n(n ＋1)(n ＋2)·2b n (1＋2－2－2×2－1) ＝n(n ＋1)(n ＋2)2b n (1＋14－1)＞0，其中b n ＋2－b n ＝－(n ＋2)＋2－(－n ＋2)＝－2，b n ＋1－b n ＝－(n ＋1)＋2－(－n ＋2)＝－1，∴ (n＋1)(n ＋2)c n ＋n(n ＋1)c n ＋2＞2n(n ＋2)c n ＋1.7、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n －2n＝(b －1)S n .(1) 证明：当b ＝2时，{a n －n·2n －1}是等比数列； (2) 求{a n }的通项公式．解：由题意知a 1＝2，且ba n －2n ＝(b －1)S n ，ba n ＋1－2n ＋1＝(b －1)S n ＋1，两式相减得b(a n ＋1－a n )－2n ＝(b －1)a n ＋1，即a n ＋1＝ba n ＋2n.①(1) 当b ＝2时，由①知a n ＋1＝2a n ＋2n于是a n ＋1－(n ＋1)·2n ＝2a n ＋2n －(n ＋1)·2n ＝2(a n －n·2n －1)， 又a 1－1·21－1＝1≠0, ∴ a n －n·2n －1≠0, ∴ a n ＋1－n ＋1·2na n －n·2n －1＝2， ∴ {a n －n·2n －1}是首项为1，公比为2的等比数列．(2) 当b ＝2时，由(1)知a n －n·2n －1＝2n －1，即a n ＝(n ＋1)2n －1， 当b≠2时，由①得a n ＋1－12－b ·2n ＋1＝ba n ＋2n －12－b ·2n ＋1＝ba n －b 2－b·2n＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12－b ·2n . 因此a n ＋1－12－b ·2n ＋1＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12－b ·2n ，又a 1－12－b ×2＝21－b 2－b ， 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，12－b[2n ＋21－b b n －1]，n≥2，n∈N *.∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12n －1，b ＝2，12－b[2n ＋21－b b n －1]，b≠2.8、已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n－1(n≥2)，且a 4＝81，(1) 求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；(2) 求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12n 为等差数列，并求a n .解： (1) 由a n ＝2a n －1＋2n－1(n≥2)，得a 4＝2a 3＋24－1＝81， ∴ a 3＝33.同理a 2＝13，a 1＝5.(2) 由a n ＝2a n －1＋2n－1(n≥2)， 得a n －12n ＝2a n －1＋2n－22n＝a n －1－12n －1＋1， ∴ a n －12n －a n －1－12n －1＝1，∴ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12n 是等差数列. ∵ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12n 的公差d ＝1， ∴ a n －12n ＝a 1－121＋(n －1)×1＝n ＋1，∴ a n ＝(n ＋1)×2n＋1.9、已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝1，a 2＝2，a n >0，b n ＝a n a n ＋1(n∈N *)，且{b n }是以q 为公比的等比数列．(1) 证明：a n ＋2＝a n q 2；(2) 若c n ＝a 2n －1＋2a 2n ，证明：数列{c n }是等比数列； (3) 求和：1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋…＋1a 2n －1＋1a 2n .(解法1)(1) 证明：由b n ＋1b n ＝q ，有a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q, ∴ a n ＋2＝a n q 2(n∈N *) . (2) 证明：∵ a n ＝a n －2q 2，∴ a 2n －1＝a 2n －3q 2＝…＝a 1q 2n －2，a 2n ＝a 2n －2q 2＝…＝a 2q2n －2，∴＝a 2n －1＋2a 2n ＝a 1q 2n －2＋2a 2q 2n －2＝(a 1＋2a 2)q 2n －2＝5q 2n －2.∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列． (3) 解：由(2)得1a 2n －1＝1a 1q 2－2n ，1a 2n ＝1a 2q 2－2n，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 3＋…＋1a 2n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 4＋…＋1a 2n＝1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＋1a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2.由题知q>0，当q ＝1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32n.当q≠1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－q －2n1－q －2＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n－1q 2n －2q 2－1.故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n＝⎩⎪⎨⎪⎧32n ，q ＝1，32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n－1q 2n －2q 2－1，q≠1.(解法2) (1) 同解法1(1)．(2) 证明：c n ＋1c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2a 2n －1＋2a 2n ＝q 2a 2n －1＋2q 2a 2n a 2n －1＋2a 2n＝q 2(n∈N *)，又c 1＝a 1＋2a 2＝5，∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．(3) 解：由(2)的类似方法得a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 2)q 2n －2＝3q 2n －2，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝a 1＋a 2a 1a 2＋a 3＋a 4a 3a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n a 2n －1a 2n ，∵ a 2k －1＋a 2k a 2k －1a 2k ＝3q 2k －22q 4k －4＝32q －2k ＋2，k ＝1,2，…，n. ∴ 1a 1＋1a 2＋…＋1a 2k ＝32(1＋q －2＋q －4…＋q －2n ＋2)(下面同上)．10、将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6a 7 a 8 a 9 a 10 …记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1. S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b nb n S n －S 2n＝1(n≥2)．(1) 证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当a 81＝－491时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．(1) 证明：由已知，2b nb n S n －S 2n＝1，又S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，n≥2，b n ＝S n －S n －1，∴ 2b n b n S n －S 2n ＝1即2(S n －S n －1)＝S n (S n －S n －1)－S 2n ，2S n －1－2S n ＝S n S n －1， 又S 1＝1≠0，∴ S n S n －1≠0，∴ 1S n －1S n －1＝12，∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列，且1S n ＝1＋(n －1)·12，S n ＝2n ＋1，∴ b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n n ＋1，n≥2，n∈N *.(2) 解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且q ＞0. 因为1＋2＋…＋12＝12×132＝78，所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项，故a 81在表中第13行第三列，因此a 81＝b 13·q 2＝－491.又b 13＝－213×14，所以q ＝2.记表中第k(k≥3)行所有项的和为S ，则S ＝b k1－q k1－q＝－2k k ＋1·1－2k1－2＝2kk ＋1(1－2k)(k≥3)． 12、已知二次函数y ＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m 20对所有n∈N *都成立的最小正整数m.解： (1) 设这二次函数f(x)＝ax 2＋bx (a≠0) ，则f′(x)＝2ax ＋b ，由于f′(x)＝6x －2，得a ＝3 , b ＝－2, 所以f(x)＝3x 2－2x.又因为点(n ，S n )(n∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上，所以S n ＝3n 2－2n.当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n)－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 (n∈N *)．(2) 由(1)得知b n ＝3a n a n ＋1＝36n －5[6n ＋1－5]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1，故T n ＝∑ni ＝1b i ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1.因此，要使12(1－16n ＋1)＜m 20(n∈N *)成立的m ，必须且仅须满足12≤m 20，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.13、已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝________.1 解析：S n ＋S 1＝S n ＋1，a n ＋1＝a 1. 14、设函数f(x)＝xx ＋2(x>0)，观察：f 1(x)＝f(x)＝x x ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x 3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x7x ＋8，f 4(x)＝f(f 3(x))＝x15x ＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N ＋且n≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝________.x 2n －1x ＋2n15、函数y ＝x 2(x>0)的图象在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．3．21 16、已知数列{a n }满足：a 1＝m(m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________.4,5,32 解析：显然，a n 为正整数，a 6＝1，故a 5＝2，a 4＝4，若a 3为奇数，则4＝3a 3＋1，a 3＝1，若a 3为偶数，则a 3＝8，若a 3＝1，则a 2＝2，a 1＝4，若a 3＝8，则a 2＝16，a 1＝5或32.17、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n∈N *.(1) 证明：{a n －1}是等比数列；(2) 求数列{S n }的通项公式，并求出使得S n ＋1>S n 成立的最小正整数n.5615<115，5614>115(1) 证明：当n ＝1时，a 1＝－14；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－5a n ＋5a n －1＋1，所以a n－1＝56(a n －1－1)，又a 1－1＝－15≠0，a n －1a n －1－1＝56，所以数列{a n －1}是等比数列；(2) 解：由(1)知：a n －1＝－15·⎝ ⎛⎭⎪⎫56n －1，得a n ＝1－15·⎝ ⎛⎭⎪⎫56n －1，从而S n ＝n －90＋90×⎝ ⎛⎭⎪⎫56n(n∈N *)；由S n ＋1>S n ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫56n ＜115，∵ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5615<115，⎝ ⎛⎭⎪⎫5614>115，∴ 使s n ＋1>s n 成立的最小正整数n ＝15.18、设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a n ＋1S n (n∈N *)．(1) 若a 1，S 2，－2a 2成等比数列，求S 2和a 3；(2) 求证：对k≥3且k∈N *有0≤a k ＋1≤a k ≤43.(1) 解：由题意⎩⎪⎨⎪⎧S 22＝－2a 1a 2，S 2＝a 2S 1＝a 1a 2，得S 22＝－2S 2，由S 2是等比中项知S 2≠0，因此S 2＝－2， 由S 2＋a 3＝S 3＝a 3S 2，解得a 3＝S 2S 2－1＝23. (2) 证明：由题设条件有a n ＋1S n ＝a n ＋1＋S n ， 故S n ≠1，a n ＋1≠1，且a n ＋1＝S n S n －1，S n ＝a n ＋1a n ＋1－1， 从而对k≥3有a k ＝S k －1S k －1－1＝a k －1＋S k －2a k －1＋S k －2－1＝a k －1＋a k －1a k －1－1a k －1＋a k －1a k －1－1－1，①因a 2k －1－a k －1＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －1－122＋34＞0，且a 2k －1≥0，要证a k ≤43，由①知只要证a 2k －1a 2k －1－a k －1＋1≤43，即证3a 2k －1≤4(a 2k －1－a k －1＋1)，即(a k －1－2)2≥0，此式明显成立， 因此a k ≤43(k≥3)．最后证a k ＋1≤a k ，若不然，a k ＋1＝a 2k a 2k －a k ＋1＞a k ，又a k ≥0，故a ka 2k －a k ＋1＞1，即(a k －1)2＜0，矛盾，所以a k ＋1≤a k (k≥3，k∈N )．19、数列{a n }、{b n }是各项均为正数的等比数列，设c n ＝b n a n(n∈N *)．(1) 数列{c n }是否为等比数列？证明你的结论；(2) 设数列{lna n }、{lnb n }的前n 项和分别为S n ，T n .若a 1＝2，S n T n ＝n2n ＋1，求数列{c n }的前n 项和．解：(1) {c n }是等比数列．(2分)证明：设{a n }的公比为q 1(q 1>0)，{b n }的公比为q 2(q 2>0)，则c n ＋1c n ＝b n ＋1a n ＋1·a n b n ＝b n ＋1b n ·a n a n ＋1＝q 2q 1≠0，故{c n }为等比数列．(5分) (2) 数列{lna n }和{lnb n }分别是公差为lnq 1和lnq 2的等差数列．由条件得nlna 1＋n n －12lnq 1nlnb 1＋n n －12lnq 2＝n 2n ＋1，即2lna 1＋n －1lnq 12lnb 1＋n －1lnq 2＝n2n ＋1.(7分)即(2lnq 1－lnq 2)n 2＋(4lna 1－lnq 1－2lnb 1＋lnq 2)n ＋(2lna 1－lnq 1)＝0. 上式对n∈N *恒成立．于是⎩⎪⎨⎪⎧2lnq 1－lnq 2＝0，4lna 1－lnq 1－2lnb 1＋lnq 2＝0，2lna 1－lnq 1＝0.将a 1＝2代入得q 1＝4，q 2＝16，b 1＝8.(10分) 从而有c n ＝8·16n －12·4n －1＝4n.所以数列|c n |的前n 项和为4＋42＋ (4)＝43(4n －1)．(12分)20、两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e 等于________．【答案】 133 解析：由题有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5，ab ＝6⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3(舍)，e ＝ca＝32＋223＝133. 21、在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．(1) 写出这个命题的逆命题；(2) 判断逆命题是否为真？并给出证明．解： (1)在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2) 数列{a n }的首项为a 1，公比为q.由题意知：2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，即2a 1q m ＋1＝a 1q m －1＋a 1q m，∵ a 1≠0，q≠0, ∴ 2q 2－q －1＝0, ∴ q＝1或q ＝－12，当q ＝1时，有S m ＝ma 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1， 显然：2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1.此时逆命题为假．当q ＝－12时，有2S m ＋2＝2a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎦⎥⎤－12m ＋21＋12＝43a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2，S m ＋S m ＋1＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m 1＋12＋2a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋11＋12＝43a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2，∴ 2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，此时逆命题为真．。