二次函数解析式的三种形式
第九讲 二次函数 三种类型解析式
第九讲 二次函数 三种类型解析式【知识点】1、二次函数的三种解析式类型：一般式、两根式、顶点式2、配方法、因式分解法进行三种类型的相互转换【典型例题】例1试用配方法将)0(2≠++=a c bx ax y 化成顶点式例2 求函数632--=x x y 与x 轴相交两点之间的距离例3试推导出)0(2≠++=a c bx ax y 的两根式例4已知二次函数)0,0(2≠≠++=c a c bx ax y 与x 轴的交点分别为()()0,0,21x x ，求二次函数a bx cx y +-=2的两个根例5一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大．（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？变式：已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的表达式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．【课堂练习】1．已知抛物线y＝ax2经过点A(1，1)．(1)求这个函数的解析式；2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．3．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．4．若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为。
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时有最小值－4，且图象在x轴上截得线段长为4，求函数解析式．6．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．7.已知二次函数为x＝4时有最小值-3且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．8.已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x轴相切．(1)求二次函数的解析式。
二次函数三种解析式的求法
二次函数三种解析式的求法二次函数是高中数学中的重要概念，它的解析式有三种常见的求法。
本文将分别介绍这三种求法，并且给出相应的例题加以说明。
第一种求法是通过顶点坐标和另一点坐标来确定二次函数的解析式。
二次函数的标准形式为f(x) = a(x-h)² + k，其中(h,k)为顶点坐标。
假设已知顶点坐标为(h,k)，另一个已知点的坐标为(x₁,y₁)，我们可以将这两个点的坐标代入二次函数的标准形式，得到两个方程：k = a(x-h)²y₁ = a(x₁-h)² + k通过解方程组，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。
例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，我们可以代入上述方程组进行求解。
将顶点坐标代入第一个方程，可得：3 = a(2-(-1))²解得a = 1/3。
然后将a的值代入第二个方程，可得：5 = (1/3)(2-(-1))² + 3化简后得到二次函数的解析式为f(x) = (1/3)(x+1)² + 3。
第二种求法是通过顶点坐标和对称轴与顶点的距离来确定二次函数的解析式。
对称轴与顶点的距离等于顶点的纵坐标的绝对值，即|k|。
假设已知顶点坐标为(h,k)，对称轴与顶点的距离为|k|，我们可以将这些信息代入二次函数的标准形式，得到方程：f(x) = a(x-h)² + k代入|k|，可得：f(x) = a(x-h)² + |k|通过解这个方程，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。
例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，对称轴与顶点的距离为3。
我们可以代入上述方程进行求解。
将顶点坐标代入方程，可得：5 = a(2-(-1))² + 3化简后得到a = 1/3。
然后将a的值代入方程，可得：f(x) = (1/3)(x+1)² + 3这就是二次函数的解析式。
初中数学-二次函数的解析式
∴a(2-1)2-2=3，得：a=5,
∴解析式为y=5(x- 1)2-2
注：此题运用了二次函数的顶点式
2.已知抛物线过三点：A（－1，2），B（0，1）， C（2，－7），求二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为： y ax bx 1
2
a b 1 2 由已知得： 4a 2b 1 7
∵抛物线过点C（1，2）
注：此题运用了
二次函数的双根式
解析式为: 1 y ( x 1)(x 3) 2
∴ a (1 1)(1 3) 2
4a 2 1 a 2
3 3.已知抛物线和y轴的交点（0，－ 2 ）
和x 轴的一个交点（-1，0），对称轴是x =1. （1）求图象是这条抛物线的二次函数的解析式； （2）判断这个二次函数是有最大值还是有最小值， 并求出这个最大值或最小值
2 2
y
A O
B
x
公式：AB | x2 x1 | |a|
b 2 4ac |a| |a|
y ax2 bx c, (a 0)
6.抛物线y=-2x2+4x+1 在 x轴上截得的线段长度
为
6
.
y
16 8 6 解: AB |a| 2
A O B
当x
b 1 1时 1 2a 2 2
y最小值
4ac b 2 4a
1 3 4 ( ) (1) 2 2 ＝ 2 ＝－2 1 4 2
b 1 当x 1时函数有最小值 1 2a 2 2 1 2 3 y最小值 1 1 2 2 2
x1, x2 为方程： a(x－x1)(x－x2)=0的两个 根，即抛物线与x的两个交点的横坐标，
二次函数的解析式的三种形式
二次函数的解析式的三种形式二次函数是一种标准形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为实数且a不等于零。
在数学中，为了研究和解答与二次函数相关的问题，有时会使用不同的解析式表达二次函数。
下面将详细介绍二次函数的三种常见解析式形式。
第一种形式：标准形式二次函数的标准形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a不等于零。
在标准形式中，a控制着二次曲线的开口方向和形状，b控制着二次曲线的位置和对称轴的斜率，c控制着二次曲线与y轴的交点。
通过标准形式，可以直观地根据a、b、c的值来了解二次函数的特征。
在二次函数的标准形式中，a的值决定了二次曲线的开口方向。
当a大于零时，二次曲线的开口朝上；当a小于零时，二次曲线的开口朝下。
当a的绝对值越接近于零时，二次曲线越趋近于直线。
接下来，我们将讨论二次函数标准形式中各系数的作用：1.系数a：控制二次曲线的开口方向和形状。
二次曲线开口向上或向下，其开口的角度与a的大小有关。
当a的值越接近于零时，二次曲线越趋近于直线。
2.系数b：控制二次曲线的位置和对称轴的斜率。
当b的值等于零时，二次曲线在y轴上对称；当b的值不等于零时，二次曲线发生平移。
3.系数c：控制二次曲线与y轴的交点。
当c的值等于零时，二次曲线过原点。
第二种形式：顶点形式二次函数的顶点形式是y=a(x-h)^2+k，其中a、h、k为实数且a不等于零。
在顶点形式中，顶点坐标为(h,k)，a控制二次曲线的开口方向和形状，h控制二次曲线沿x轴平移，k控制二次曲线沿y轴平移。
在二次函数的顶点形式中，a的值决定了二次曲线的开口方向。
当a 大于零时，二次曲线的开口朝上；当a小于零时，二次曲线的开口朝下。
当a的绝对值越接近于零时，二次曲线越趋近于直线。
顶点形式中，二次函数的顶点坐标为(h,k)。
顶点坐标(h,k)表示二次曲线的最低或最高点，也是对称轴与x轴的交点。
通过顶点形式，我们可以直观地了解二次函数的特征和性质。
用待定系数法求二次函数表达式的三种形式
例题1 已知抛物线过点（1，0）（3，-2）（5，0）， 求该抛物线所对应函数的表达式。
例题2 抛物线对称轴为直线x=-1，最高点的纵坐标为4， 且与x 轴两交点之间的距离是6，求次二次函x1 数的解 析式。
巩固练习
• 1.已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3， 0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
待定系数法求二次函数表达式常见 的三种形式 ：
一般式 • 1.
：y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，且a≠0）
• 2.顶点式：y=a（x+h）²+k
(a 0)顶点坐标（ h, k)
• 3.交点式： y a(x x1)(x x2 )
一、一般式 y ax2 bx c(a )
已知二次函数 y ax2 bx c 图象过某三
14.已知二次函数y=x²+2（n+3）x+16的顶点在坐标 轴上，求该二次函数表达式。
15.已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为P（2,-1）， 图象与x轴交于A，B两点。若△PAB的x1 面积为6， 求该抛物线所对应函数的解析式。
•谢谢
14
பைடு நூலகம்
• 3.二次函数y=ax²+bx+c，x=6时，y=0;x=4时， y有最大值为8，求此函数的解析式。
• 4.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大值是 2，图象经过点（-2,4）且顶点在直线y=-2x上， 试求ab+c的值
三、交点式 y a(x x1)(x x2 )
已知二次函数图象与x轴两交点坐标分别为 (x1,0),(x2,0) 通常选用交点式，再根据其他即可解出a值，从而求
二次函数三种解析式
对称轴在y轴的左侧 对称轴在y轴的右侧 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 C=0 经过原点
a , b同号
oC x y C o o
a , b异号
y
C＞0 C＜0
x
x
C
y
y
b 顶点在y轴上 0 2a
4 ac b 顶点在x轴上 0 4a
2
o
x
o
x
y
顶点在原点b=c=0
与x轴交点的求法： 令y=0,得到ax2+bx+c=0
A o 1 2 C 3 x y
B -3
（3）图象顶点是（-2，3），且经过点（-1，5） 解：∵图象顶点是（-2，3） ∴设其解析式为y=a（x+2）2+3 ∵经过点（-1，5） ∴5=a（-1+2）2+3 ∴a=2 ∴y=2（x+2）2+3
（4）图象和x轴交于（-2，0）、（4，0）两点且顶 点为（1，-9/2） 解：由于题中告诉了图象与x轴的交点坐标，又告诉 了顶点坐标，所以既可以用双根式又可以用顶点式 来设其解析式 设双根式为：y=a(x+2)(x-4) ∵顶点为（1，-9/2） ∴-9/2=a(1+2)(1-4) ∴a= -1/2 ∴y= -1/2(x+2)(x-4)
|a|
C x1 o x2 x
双根式y=a(x-x1)(x-x2)
y
二次函数图象与x轴的交点为
A(x1,0), B(x2,0); 对称轴
x x2 x 1 2
A x1
x1 x2 2
o P
B x2
x
AB=|x1-x2|
顶点横坐标=
x
1
二次函数的解析式三种方法
二次函数的解析式三种方法二次函数是一种常见的函数类型，在数学学习中，学生们需要对其进行深入的了解和掌握，以便于解决与二次函数相关的问题。
本文将介绍三种求解二次函数的解析式的方法，包括公式法、顶点法和描点法。
每种方法的步骤和注意事项都将被详细介绍。
一、公式法公式法是一种求解二次函数解析式的基本方法。
二次函数的标准形式可以表示为 y = ax²+bx+c，其中 a、b、c 都是实数常数，而 x 是自变量。
一个常见的二次函数的例子为y = x²。
1. 求取 a、b、c 的值在使用公式法求解二次函数的解析式之前，需要先计算出二次函数中的 a、b、c 值。
通常情况下，这些值可以从已知的条件中直接得到。
如果已知二次函数经过点 (2,4) 和 (−1,3)，则可以根据这些坐标计算出 a、b、c的值。
可以得到两个方程：4 = a(2)²+b(2)+c3 = a(−1)²+b(−1)+c然后，可以将这些方程化简为：4 = 4a+2b+c3 = a−b+c接下来，可以使用代数法或消元法来求解 a、b、c 的值。
可以将第二个方程中的 a解出来，然后带入第一个方程中，得到：a = 2b−14 = 8b−4+2b+cc = −8b+8可以得到二次函数的解析式为：y = (2b−1)x²+bx+8−8b2. 使用公式法求解二次函数一旦确定了二次函数中的 a、b、c 值，可以使用公式法求解二次函数的解析式。
具体而言，可以使用以下公式：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)这个公式可以得到二次函数的解析式中的两个根。
如果二次函数的解析式没有实数根，则说明这个二次函数不存在。
在上面的例子中，可以将 a、b、c 的值带入到公式中，得到：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)x = (-b ± √(b²-4(2b−1)(8−8b)))/(2(2b−1))根据这个公式，可以得到二次函数的解析式的两个实数根，也就是二次函数与 x 轴相交的点。
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种基本方法四川 倪先德二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0)又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈二次函数解析式的三种形式
【摘要】本文通过具体的实例讨论在初中数学解题中如何确定二次函数解析式。
【关键词】二次函数；解析式；初中数学教学
函数是数学中最重要的概念之一，是中学数学的核心内容，函数思想是最重要、最基本的数学思想，它具有其他数学思想所不及的作用，它是从大量的实际问题中抽象出来的。
在初中阶段，讲述了函数的一些最基本、最初步的知识，但是其中蕴含的数学思想和方法，对学生观察问题，研究问题和解决问题都是十分有益的。
这里，主要探讨的是针对于初中阶段有关二次函数解析式的求法。
一、利用一般形式y=ax?+bx+c （a≠0）
利用这种方法的，一般题目给出的条件是已知二次函数图象上的三点，或者是已知二次函数的三对函数对应值，或者已知抛物线与x轴交点的横坐标及与y轴交点的纵坐标。
例1：已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个函数的解析式。
分析：二次函数的一般形式是y=ax?+bx+c，问题是a，b，c由已知三个条件，可列出三个方程，进而求出a，b，c。
解：设所求的二次函数为y=ax?+bx+c，由已知，函数图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，得
a-b+c=10
a+b+c=4
4a+2b+c=7
解这个方程组得a=2，b=-3，c=5。
因此，所求二次函数是y=2x?-3x+5。
例2：一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2与?时，y=0，求这个二次函数的解析式。
分析：这道题已知的是三对函数对应值，实际上也相当于已知二次函数过（0，-1），（-2，0），（?，0）三点，求函数的解析式，从而又转化到了和例1类似的题目，用求例1的方法即可求得。
解：设所求的二次函数为y=ax?+bx+c，由已知，得
c=-1
4a-2b+c=0
?a+?b+c=0
解这个方程组得a=1，b=3/2，c=-1。
因此，所求的二次函数解析式是y=x?+x-1。
例3：已知一个二次函数的图象与x轴的的两个交点的横坐标是?，，与y轴交点的纵坐标是-5，求二次函数的解析式。
分析：知道了函数与x轴相交，意味着交点的纵坐标是0，与y 轴相交，交点的横坐标是0，所以这一题实际上也相当于图象经过（-1/2，0），（3/2，0），（0，-5）三点，从而也是转化到了和例1一样的题目了。
解：设所求的二次函数解析式为y=ax?+bx+c，由题意可知二次函数经过（-1/2，0），（3/2，0），（0，-5）三点，则有
1/4a-1/2b+c=0
9/4a+3/2b+c=0
c=-5
解这个方程组得a=20/3，b=-20/3，c=-5。
因此，所求的二次函数解析式为y=20/3x?-20/3x-5。
二、利用顶点式y= a（x-h）?+k （a≠0）确定二次函数的解析式。
利用顶点式求二次函数的解析式，一般已知的是二次函数的对称轴x = h，或是顶点（h，k）的位置，或最值来确定二次函数的解析式较简捷。
1、已知顶点坐标为（m，n），可设y= a（x- m）?+ n，再利用一个独立条件确定a；
例1、已知抛物线顶点坐标为（3，-1），在y轴上的截距为-4，求这个二次函数的解析式。
解：设这个二次函数的解析式为y= a（x-3）?-1，由题意知当
x=0时，y=-4，
所以由-4= a（0-3）?-1知，9 a=-3，a=-1/3；
这个二次函数的解析式为y= -1/3（x-3）?-1。
2、已知对称轴方程x = m，可设y= a（x- m）?+ k ，再利用两个独立条件确定a与k；
例2、已知二次函数的对称轴方程x =3，它的图象经过（3，4），（4，6），求这个二次函数的解析式。
解：设这个二次函数的解析式为y= a（x-3）?+ k，
由题意知a（3-3）?+ k=4，k=4，
而a（4-3）?+ 4=6，a=2
这个二次函数的解析式为y= 2（x-3）?+ 4
3、已知最大值或最小值为n，可设y= a（x+ h）?+ n，再利用两个独立条件确定a与h；
例3、二次函数有最大值5，图象经过（1，4）和（3，4），求它的解析式。
解：由二次函数图象经过（1，4）和（3，4）知，二次函数的对称轴为x=（1+3）/2，即x=2，所以设这个二次函数的解析式为y= a （x-2）?+5
由题意知a（3-2）?+ 5=4，a=-1，
这个二次函数的解析式为y= -（x-2）?+5
注：二次函数的图象经过（x1，a）和（x2，a）两点，那么它的对称轴为x=（x1+x2）/2
4、在二次函数的图象与x轴只有一个交点可设y= a（x+h）?，再利用两个独立条件确定a与h；
例4、已知二次函数的图象经过（1，9）和（2，4），且它与x轴只有一个交点，求这个二次函数的解析式。
解：由二次函数的图象与x轴只有一个交点知二次函数的图象与x轴相切，所以设这个二次函数的解析式为y=a（x+h）?，由题意知
a（1+h）?=9
a（2+h）?=4
两式相除，有（1+h）/（2+h）=9/4，即有
（1+h）/（2+h）=±3/2
所以h=-4或h=-8/5
当h=-4时，由a（2+h）?=4知a=1，这时二次函数的解析式为y=（x-4）?
当h=-8/5时，由a（2+h）?=4知a=25，这时二次函数的解析式为
y=25（x-8/5）?所以，二次函数的解析式为
y=（x-4）?或y=25（x-8/5）?
例5已知二次函数的顶点为（1，-2），图象与x轴的交点距离为4，求解析式。
解：如图设抛物线交x轴的横坐标分别为c，设所求二次函数为y= a（x- b）?+ k，由已知函数图象顶点为（1，-2），x1， x2间的距离为4，得
y= a（x-1）?-2
y=0
x1- x2=4 解得a=1/2
∴解析式为y=1/2（x-1）?-2
三、利用交点式y= a（x- x 1）（x- x2）（a≠0），其中x 1， x2是图象与x轴交点的横坐标。
二次函数y=ax?+bx+c （a≠0）与一元二次方程ax?+bx+c=0 （a ≠0）有密切的联系，二次函数y=ax?+bx+c的图象抛物线与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax?+bx+c=0 的根。
反之，若ax?+bx+c=0有两个不等实根，则抛物线y=ax?+bx+c与x轴有两个交点。
所以如果题目给出的是图象与x轴的两个交点，那么我们就可以利用交点式来求函数的解析式。
例1、已知抛物线的对称轴与y轴平行，它与x轴的两个交点是a（3，0）、b（-1，0），且顶点c到a点的距离是2√5，求此函数的解析式。
解：设抛物线的解析式为y= a（x- x 1）（x- x2）
∵抛物线与x轴的两个交点是a（3，0）、b（-1，0），
∴x 1=3， x2=-1
∴抛物线的解析式为y= a（x- 3）（x+1）
∵抛物线经过a（3，0）、b（-1，0）两点，对称轴平等于y轴∴抛物线的对称轴是直线x=[3+（-1）]/2即x=1
∵顶点c到a点的距离是2√5
∴c到坐标轴x轴的距离为cd=√ca?-da?=√（2√5）?-2?=4 ∴顶点c坐标为（1，4）或（1，-4）
即抛物线经过点（1，4）或（1，-4）
∴ a（1- 3）（1+1）=4或 a（1- 3）（1+1）=-4
即a=-1或a=1
∴抛物线的解析式为y=-（x- 3）（x+1）或y=（x- 3）（x+1）
即y=-x?+2x+3，或y=x?-2x+3，
例2、已知二次函数的顶点（2，1），且图象经过p（1，0），求解析式。
解：设所求的二次函数为y= a（x- x 1）（x- x2）
由已知，函数图象交于x轴于（1，0），（3，0），且过点（2，1）得
1= a（2- 1）（2- 3）
解得a=-1
∴解析式为y=-（x- 1）（x- 3）
求二次函数的解析式，应恰当地选用二次函数的解析式的形式，选择得当，解题简捷，选择不当，解题繁琐，解题时，应根据题目的特点，灵活选用二次函数的解析式形式。
参考文献
[1] 中国中学教学百科全书数学卷、沈阳出版社1991
[2] 教师教学用书，人民教育出版社中学数学室
[3] 中学生理科月刊1 -2，1999
[4] 中学数学教学参考，2004第五期
收稿日期：2013-02-24。