用待定系数法求二次函数表达式的三种形式
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法二次函数解析式是高中数学中最基本的概念，其表示的是简单的直线、抛物线或是曲线的方程。
它的复杂性使得学生更易于弄清楚，并且在数学知识的建立上也有较大的作用。
本文将介绍用待定系数法求二次函数解析式的几种方法。
首先，用待定系数法求二次函数解析式也称为求因式分解法，是一种求解二次函数解析式的有效方法。
它所给出的解析式可以使用此解析式求解函数的最大值、最小值以及极值点，有助于研究函数的拓展和深入分析。
求解二次函数解析式的待定系数法通常包括以下几个步骤：首先，将二次函数解析式以下式形式表达：ax + bx + c = 0；其次，求解ax + bx + c的系数a、b、c的解，即a、b、c的值，这样就可以得到完整的二次函数解析式；最后，根据完整的二次函数解析式，可以进行函数曲线的画法，以便对函数特征进行更深入的分析。
这种求解二次函数解析式的待定系数法还可以用来求二次不等式的解。
这些不等式的解也可以用上述的方法求出，只需将其表示成ax + bx + c 不等式的形式，并根据所给的条件来解系数a、b、c，从而得到最终的不等式解。
此外，学生也可以使用特殊的因式分解法，通过将二次函数解析式表示成ax+bx+c=f(x)形式，通过求出形式系数a、b、c来求解因式分解法。
这种方法可以用来求解多项式方程，从而得到多项式函数的解析式。
在求解二次函数时，还有一种简便而又实用的方法，即通过图表的方法，根据函数图象的特点求出函数的解析式，从而更加简单、快捷地求解二次函数。
通过以上介绍，用待定系数法求二次函数解析式的几种方法已经清楚地展示出来。
由此可见，求解二次函数解析式使用待定系数法可以得到准确、完整的解析式，从而有助于学生更好地理解函数的拓展及应用，进而深入认识数学知识，受益匪浅。
待定系数法求二次函数解析式
待定系数法求二次函数解析式一、用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）例题分析例1 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．例3 已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．二、应用迁移 巩固提高1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。
2.二次函数，=－2时=－6, =2时=10, =3时=24,求此函数的解析式。
3.已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求此抛物线解析式。
4.已知抛物线的顶点坐标为（4，－1），与轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式5.二次函数的对称轴为=3，最小值为－2，且过（0，1），求此函数的解析式。
6.抛物线的对称轴是=2，且过（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式。
7.已知二次函数的图象与轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式8.抛物线的顶点为（－1，－8），它与轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。
9. 二次函数，当x＜6时随的增大而减小，＞6时随的增大而增大，其最小值为－12，其图象与轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。
10、已知直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象经过A、B两点，且对称轴方程为x=1，求这个二次函数的解析式。
11、 已知二次函数y1= ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象交于两点A（-2，－5）和B（1，4），且二次函数图象与y轴的交点在直线y=2x+3上，求这两个函数的解析式。
九年级数学二次函数第23课时用待定系数法求二次函数的解析式(2)顶点式与交点式
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典型 例题 (diǎnxíng)
知识点2：利用交点(jiāodiǎn)式求抛物线的解析式 【例3】 已知抛物线经过点A（-4，0），B（-2，6），C（1， 0），求这条抛物线的解析式.
解:y=-x2-3x+4.
11. 已知二次函数的图象经过点（0，-3），顶点坐标为（-1，4）. （1）求这个二次函数的解析式； （2）求图象与x轴的交点(jiāodiǎn)A，B两点的坐标； （3）若图象与y轴的交点为点C，求△ABC的面积.
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拓展 提升 (tuò zhǎn)
解:（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）2-4，把点（0， -3）代入,得a-4=-3. 解得a=1. 所以函数解析式y=（x+1）2-4或y=x2+2x-3. （2）当y=0时，x2+2x-3=0，解得x1=1，x2=-3.所以 A（3，0），B（1，0）. （3）∵C（0，-3）， ∴△ABC的面积= ×（1+3）×3=6.
解:（1）A（0，1），B（0，-1），
C（4，-1），D（4，1），E（2，1）.
（2）y= 2021/12/10
（x－2）2+1.
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拓展 提升 (tuò zhǎn)
9. 已知抛物线过点A（2，0），B（-1，0），与y轴交于点C，
且OC=2. 则这条抛物线的解析式为（
）
C
A. y=x2-x-2
No （3）若图象与y轴的交点为点C，求△ABC的面积.。（1）求此抛物线的解析式。（2）当PB+PC的值最小
用待定系数法求二次函数表达式的三种形式
例题1 已知抛物线过点（1，0）（3，-2）（5，0）， 求该抛物线所对应函数的表达式。
例题2 抛物线对称轴为直线x=-1，最高点的纵坐标为4， 且与x 轴两交点之间的距离是6，求次二次函x1 数的解 析式。
巩固练习
• 1.已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3， 0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
待定系数法求二次函数表达式常见 的三种形式 ：
一般式 • 1.
：y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，且a≠0）
• 2.顶点式：y=a（x+h）²+k
(a 0)顶点坐标（ h, k)
• 3.交点式： y a(x x1)(x x2 )
一、一般式 y ax2 bx c(a )
已知二次函数 y ax2 bx c 图象过某三
14.已知二次函数y=x²+2（n+3）x+16的顶点在坐标 轴上，求该二次函数表达式。
15.已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为P（2,-1）， 图象与x轴交于A，B两点。若△PAB的x1 面积为6， 求该抛物线所对应函数的解析式。
•谢谢
14
பைடு நூலகம்
• 3.二次函数y=ax²+bx+c，x=6时，y=0;x=4时， y有最大值为8，求此函数的解析式。
• 4.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大值是 2，图象经过点（-2,4）且顶点在直线y=-2x上， 试求ab+c的值
三、交点式 y a(x x1)(x x2 )
已知二次函数图象与x轴两交点坐标分别为 (x1,0),(x2,0) 通常选用交点式，再根据其他即可解出a值，从而求
九年级数学上(人教版)课件：22.1 第2课时 用待定系数法求二次函数y=ax2+bx+c的解析式
(2)求抛物线的顶点D的坐标和对称轴； (3)求四边形ABDE的面积．
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，自变量x和函数值y的部分对应值如下表： 则该二次函数y＝ax2＋bx＋c在x＝3时，y＝___-_4_____．
知识点二：用顶点式求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式 例2 已知对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为(1，－4)，且与直线y ＝x＋1交于点(m，5)．求抛物线的解析式．
(2)若抛物线的顶点为D，对称轴所在直线交x 轴于点E，连接AD， 点F为AD的中点，求出线段EF的长．
13．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，它的中心与坐标原点O重合，对角线 BE在x轴上，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0，b＞0)经过正六边形的三个顶点，求 该抛物线的解析式．
9．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B(－1，0)和点C(2，3)． (1)求此抛物线的解析式；
(2)如果此抛物线上下平移后过点(－2，－1)，试确定平移的方向和平移的距离．
【解】 在y＝－x2＋2x＋3中，当x＝－2时，y＝－4－4＋3＝－5， 若点(－2，－5)平移后的对应点为(－2，－1)， 则需将抛物线向上平移4个单位长度．
则该二次函数的解析式为__y_＝__x_2_＋__x_－__2____________．
知识点三：用交点式求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式 例3 (新乡)已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且 OC＝2.则这条抛物线的解析式是( C ) A．y＝x2－x－2 B．y＝－x2＋x＋2 C．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2 D．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2
【解】 ∵直线y＝x＋1过点(m，5)， ∴5＝m＋1，即m＝4， ∴抛物线与直线交于点(4，5)． 又∵对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为(1，－4)，∴令y＝ a(x－1)2－4.
用待定系数法求二次函数解析式(专题复习)
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3.交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 知道抛物线与x轴的两个交点的坐
标,或一个交点的坐标及对称轴方程或顶 点的横坐标时选用两根式比较简便. (1)当△=b2- 4ac≥0 ,抛物线与x轴相交
y=ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) △=b2- 4ac＞0 ，交点有两个， 分别是: (x1, 0)和(x2, 0) △=b2- 4ac =0,交点只有一个 即顶点[-b/2a,(4ac-b2)/4a] △=b2- 4ac <0 ,无交点
解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c ∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2
2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 ∴ 函数的解析式为：
y=-x2-x+2
2. 顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)已知对称轴
y=a(x-1)2+4 ∵抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1
∴ 函数的解析式为： y= -1(x-1)2+4= -x2+2x+3
解法3:（交点式） 由题意可知两根为x1=-1、x2=3 设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2) 则有： y=a(x+1)(x-3) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a(1+1)(1-3) 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为：
九年级上数学专题复习一：待定系数法求二次函数表达式(含答案)
专题复习一 待定系数法求二次函数表达式二次函数表达式的三种形式：①一般式y=ax 2+bx+c(a ≠0);②顶点式y=a(x-m)2+k(a ≠0);③交点式(分解式)y=a(x-x 1)(x-x 2),求函数表达式时要根据已知条件合理选择表达式形式.1.一抛物线和抛物线y=-2x 2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(-1，3)，则该抛物线的函数表达式为(B ).A.y=-2(x-1)2+3B.y=-2(x+1)2+3C.y=-(2x+1)2+3D.y=-(2x-1)2+32.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象顶点为点A(-2，-2)，且过点B(0，2)，则y 关于x 的函数表达式为(D ).A.y=x 2+2B.y=(x-2)2+2C.y=(x-2)2-2D.y=(x+2)2-2(第2题) (第3题) （第4题） (第8题)3.如图所示为抛物线的图象，根据图象可知，抛物线的函数表达式可能为(A ). A.y=-x 2+x+2 B.y=-21x 2-21x+2 C.y=-21x 2-21x+1 D.y=x 2-x-2 4.如图所示，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点B(0，-2).该二次函数的图象与反比例函数y=-x8的图象交于点A(m ，4)，则这个二次函数的表达式为(A ).A.y=x 2-x-2B.y=x 2-x+2C.y=x 2+x-2D.y=x 2+x+2 5.抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)经过(1，2)和(-1，-6)两点，则a+c= -2 ．6.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于点C(0，3)，则二次函数的表达式为 y=x 2-4x+3 ．7.老师给出一个函数，四位同学各指出了这个函数的一个性质：①函数的图象不经过第三象限；②函数的图象经过第一象限；③当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；④当x ＜2时，y ＞0． 已知这四位同学的叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数： y=（x-2）2（不唯一） ． 8.如图所示，将Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△A1OB1，若点A 的坐标为(2，1)，过点A ，O ，A1的抛物线的函数表达式为 y=65x 2-67x ． 9.根据下列条件求二次函数的表达式.(1)二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点的横坐标是-21,23,与y 轴交点的纵坐标是-5，求这个二次函数的表达式．(2)二次函数图象的顶点在x 轴上，且图象过点(2，-2)，(-1，-8)，求此函数的表达式．【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y=a （x+21）（x-23）.把点（0，-5）代入，得a ×21×（-23）=-5，解得a=320.∴抛物线的函数表达式为y=320（x+21）（x-23）=320x 2-320x-5.(2)设抛物线的函数表达式为y=a （x-k ）2.把点（2，-2）,（-1，-8）代入，得()()⎪⎩⎪⎨⎧-=---=-812222k a k a ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=592k a ,或⎩⎨⎧=-=12k a .∴抛物线的函数表达式为y=-92（x-5）2或y=-2（x-1）2.（第10题）10.在平面直角坐标系中，抛物线y=2x 2+mx+n 经过点A(0，-2)，B(3，4). (1)求抛物线的函数表达式及对称轴.(2)设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，且点D 的纵坐标为t ，记抛物线在A ，B 两点之间的部分为图象G(包含A ，B 两点).若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图象，求点D 纵坐标t 的取值范围.【答案】(1)把点A(0，-2)，B(3，4)代入抛物线y=2x 2+mx+n ，得⎩⎨⎧=++-=43182n m n ,解得⎩⎨⎧-=-=24n m .∴抛物线的函数表达式为y=2x 2-4x-2，对称轴为直线x=1.（第10题答图）(2)如答图所示，作出抛物线在A ，B 两点之间的图象G.由题意得C(-3，-4)，二次函数y=2x 2-4x-2的最小值为-4，由函数图象得出点D 纵坐标的最小值为-4.设直线BC 的表达式为y=kx+b ，将点B ，C 的坐标代入得⎩⎨⎧-=+-=+4343b k b k ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==034b k .∴直线BC 的表达式y=34x.当x=1时，y=34，∴t 的取值范围是-4≤t ≤34.11.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象经过点A(1，0)，B(0，-3)，且对称轴为直线x=2，则这条抛物线的顶点坐标为(B ).A.(2，3)B.(2，1)C.(-2，1)D.(2，-1)12.若一次函数y=x+m 2与y=2x+4的图象交于x 轴上同一点，则m 的值为(D ). A.2 B.±2 C.2 D.±213.若所求的二次函数图象与抛物线y=2x 2-4x-1有相同的顶点，且在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，则所求二次函数的表达式为(D ). A.y=-x 2+2x-5 B.y=ax 2-2ax+a-3(a ＞0) C.y=-2x 2-4x-5 D.y=ax 2-2ax+a-3(a ＜0)14.如图所示，已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，该图象与x 轴的另一个交点为点C ，则AC 长为 3 ．(第14题) (第16题)15.已知二次函数的图象经过原点及点(-2，-2)，且图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的表达式为 y=21x 2+2x 或y=-61x 2+32x ． 16.如图所示，直线y=x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，AB ⊥BC ，且点C 在x 轴上.若抛物线y=ax 2+bx+c 以点C 为顶点，且经过点B ，则这条抛物线的函数表达式为 y=21x 2-2x+2 ．（第17题）17.如图所示，Rt △AOB 的直角边OA 在x 轴上，OA=2，AB=1，将Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt △COD ，抛物线y=-65x 2+bx+c 经过B ，D 两点. (1)求二次函数的表达式.(2)连结BD ，点P 是抛物线上一点，直线OP 把△BOD 的周长分成相等的两部分，求点P 的坐标.【答案】(1)∵Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt △COD ，∴CD=AB=1，OC=OA=2.则点B(2，1)，D(-1，2)，代入y=-65x 2+bx+c ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=++-26512310c b c b ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==31021c b .∴二次函数的表达式为y=-65x 2+21x+310.（第17题答图） (2)如答图所示，∵OA=2，AB=1，∴B(2，1).∵直线OP 把△BOD 的周长分成相等的两部分，且OB=OD ，∴DQ=BQ ，即点Q 为BD 的中点，D(-1，2).∴点Q 坐标为（21，23）.设直线OP 的表达式为y=kx ，将点Q 坐标代入，得21k=23，解得k=3.∴直线OP 的表达式为y=3x.由⎪⎩⎪⎨⎧++-==310216532x x y xy 得⎩⎨⎧==3111y x ,⎩⎨⎧-=-=12422y x .∴点P 的坐标为(1，3)或(-4，-12).（第18题）18.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+2过B(-2，6)，C(2，2)两点. (1)试求抛物线的函数表达式.(2)记抛物线的顶点为D ，求△BCD 的面积. (3)若直线y=-21x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B ，C)部分有两个交点，求b 的取值范围.【答案】(1)由题意⎩⎨⎧=++=+-22246224b a b a ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==121b a .∴抛物线的函数表达式为y=21x 2-x+2.(2)如答图所示，∵y=21x 2-x+2=21(x-1)2+23.∴顶点D 的坐标为（1，23），对称轴为直线x=1.设直线BC 的函数表达式为y=kx+b.将B （-2，6），C （2，2）代入，得⎩⎨⎧=+=+-2262b k b k ,解得⎩⎨⎧=-=41b k .∴直线BC 的函数表达式为y=-x+4，∴对称轴与BC 的交点H(1，3).∴S △BDC=S△BDH+S △DHC =21×23×3+21×23×1=3. (3)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=221212x x y b x y 消去y 得x 2-x+4-2b=0，当Δ=0时，直线与抛物线相切，1-4(4-2b)=0，解得b=815.当直线y=-21x+b 经过点C 时，b=3，当直线y=-21x+b 经过点B 时，b=5.∵直线y=-21x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B ，C)部分有两个交点，∴815＜b ≤3.（第19题）19.【贵港】将如图所示的抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数表达式为(A ).A.y=(x-1)2+1B.y=(x+1)2+1C.y=2(x-1)2+1D.y=2(x+1)2+120.【广州】已知抛物线y1=-x 2+mx+n ，直线y 2=kx+b ，y 1的对称轴与y 2交于点A(-1，5)，点A 与y 1的顶点B 的距离是4. (1)求y 1的函数表达式.(2)若y 2随着x 的增大而增大，且y 1与y 2都经过x 轴上的同一点，求y 2的函数表达式. 【答案】(1)∵抛物线y1=-x 2+mx+n ，直线y 2=kx+b ，y 1的对称轴与y 2交于点A(-1，5)，点A与y 1的顶点B 的距离是4.∴B(-1，1)或(-1，9).∴-()12-⨯m=-1，()()14142-⨯--⨯m n =1或9，解得m=-2，n=0或8.∴y1=-x 2-2x 或y1=-x 2-2x+8.(2)①当y1=-x 2-2x 时，抛物线与x 轴的交点是(0，0)和(-2，0).∵y 1的对称轴与y 2交于点A(-1，5)，∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(-2，0).把(-1，5)，(-2，0)代入得⎩⎨⎧=+-=+-025b k b k ,解得⎩⎨⎧==105b k .∴y 2=5x+10.②当y1=-x 2-2x+8时，令-x 2-2x+8=0，解得x=-4或2.∵y 2随着x 的增大而增大，且过点A(-1，5)，∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(-4，0).把(-1，5)，(-4，0)代入得⎩⎨⎧=+-=+-045b k b k ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==32035b k .∴y 2=35x+320.综上可得y 2=5x+10或y 2=35x+320.21.如图所示，直线y=-21x+2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B ，C 和点A(-1，0)． (1)求B ，C 两点的坐标． (2)求该二次函数的表达式．(3)若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． (4)点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标．(第21题) 图1 图2（第21题答图）【答案】(1)令x=0，可得y=2;令y=0，可得x=4，∴B,C 两点的坐标分别为B （4，0），C （0，2）.(2)设二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c ，将点A ，B ，C 的坐标代入表达式得⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-204160c c b a c b a ,解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=22321c b a .∴该二次函数的表达式为y=-21x 2+23x+2.(3)存在.∵y=-21x 2+23x+2=-21(x-23)2+825，∴抛物线的对称轴是直线x=23.∴OD=23.∵C （0，2），∴OC=2.在Rt △OCD 中，由勾股定理得CD=25.∵△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，∴CP 1=DP 2=DP 3=CD.如答图1所示，作CH ⊥对称轴直线x=23于点H ，∴HP 1=HD=2，∴DP 1=4.∴P 1(23，4)，P 2(23，25)，P 3(23，-25). (4)如答图2所示，过点C 作CM ⊥EF 于点M ，设E （a ，-21a+2），F （a ，-21a 2+23a+2），∴EF=-21a 2+23a+2-（-21a+2）=-21a 2+2a （0≤a ≤4）.∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =21BD·OC+21EF·CM+21EF·BN=25+21a （-21a 2+2a ）+21（4-a ）（-21a 2+2a ）=-a 2+4a+25=-（a-2）2+213，∴当a=2时，四边形CDBF 的面积最大，最大面积为213，此时点E 坐标为（2，1）.。
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种基本方法四川 倪先德二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0)又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
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求出一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
∵y=kx+b的图象过点（2，5）与（1，3）.
2k+b=5
k=2
解得, b=1
k+b=3
把k=2，b=1代入y=kx+b中，
一次函数解析式为y＝2x+1
用待定系数法求二次函数表达式
x o
得 ： a=-1
故所求的抛物线为 y=- (x＋1)(x-1)
即：y=-x2+1
思考： 用一般式怎么解？
总结归纳
用待定系数法求二次函数的解析式常用三种形式： 1．已知抛物线过三点，选一般式y=ax²+bx+c． 2．已知抛物线顶点坐标及另一点，
选顶点式y=a（x-h）²+k
3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x
• 求二次函数表达式的方法有很多，今 天主要学习用待定系数法来求二次函 数的表达式（解析式）
待定系数法求二次函数表达式常见 的三种形式 ：
• 1.一般式：y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，且a≠0）
• 2.顶点式：y=a(x-h)²+k
120 100
80 60 40 20
0 一月
二月
三月
亚洲区 欧洲区 北美区
3.一条抛物线y=x²+bx+c经过点(-6,4),(0,4)与.求这条 抛物线的解析式.
x1
•谢谢
16
轴交点的横坐标），选交点式：y(xx1)(xx2)
（其中 x1 , x 2 是抛物线与x轴交点的横坐标）
但不论何种形式，最后都化为一般形x 1 式。
课后练习
1.抛物线y=ax²+bx+c过(－3，0)，(1，0)两点,与y轴 的交点为(0，4)，求抛物线的解析式
2.抛物线y=ax²+bx+c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点， 求抛物线的解析式．
已知二次函数图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1,0),(x2,0) 通常
选用交点式，再根据其他即可解出a值，从而求出该函数表达式。
例3、已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0）
并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？
解：设所求的二次函数为y=a(x＋1)(x－1） y
因为M（0,1）在抛物线上， 所以：a(0+1)(0-1)=1
解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c 由条件得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
解方程得：a=2, b=-3, c=5
因此所求二次函数是： y=2x2-3x+5
二、顶点式 y=a(x-h)²+k
若已知二次函数图象顶点坐标（-h，k），通常选用顶点
式，另一条件代入即可解出a值，从而求出该函数表达式。
四月
(0)顶点坐标 h,（ k)
• 3.交点式： y a (x x 1 )(x x2)
一、一般式 ya x2 b x c(a )
已知二次函数 yax2bxc图象过某三点（一般有一点在y轴上）,通常选 用一般式，将三点坐标代入即可解出a，b，c的值，从而求出该函数表达式。
• 例1：已知一个二次函数的图象过点（－1,10） （1,4）（2,7）三点，求这个函数的解析式？
例2：已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交 点为（0，－5）求抛物线的解析式？ 解：设所求的二次函数为 y=a(x＋1)2-3 由条件得：点( 0,-5 )在抛物线上 a-3=-5, 得a=-2
故所求的抛物线解析式为：y=-2(x＋1)2-3 即：y=-2x2-4x-5
三、交点式 y a (x x 1 )(x x2)