二次函数的图像及其三种表达式

二次函数的图像及其三种表达式
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学习目标
1熟悉常见的二次函数的图像；
2、理解二次函数的三种表达式
知识点分析
1、•二次函数的三种表达式
一般式：y=ax A2+bx+c (a, b, c 为常数，a老)
顶点式：y=a(x-h)A2+k [ 抛物线的顶点P (h, k)]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[ 仅限于与x轴有交点A (x1 , 0)和B (x2 , 0)的抛物线]
2、一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=axA2+bx+c (a, b, c为常数，a M),且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，lal还可以决定开口大小，lal越大开口就越小，lal越小开口就越大.) 则称y 为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

例题精讲
2
例题1已知函数y=x + bx +1的图象经过点(3, 2).
(1)求这个函数的表达式；
(2)画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
(3)当x > 0时，求使y》2的x的取值范围.
例题2、一次函数y=2x + 3，与二次函数y=ax2+ bx + c的图象交于A ( m 5)和B (3, n)两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9.
(1)求二次函数的表达式；
(2)在同一坐标系中画出两个函数的图象；
(3)从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大. (4)当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？
随堂练习
1.已知函数y=ax2+ bx+ c(a M0)的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是(
b b b b
——=1
2a 2
1 2
A. y= (x—1) +2
2 B.y=1 (x—1) 2+
2 2
1 2 1 2
C.y =丄(x — 1)2-3
D.y =l (x +2)2- 1
2 2
3. 抛物线y =- 2x 2-x +1的顶点在第 ______ 象限
A. 一
B. 二
C.三
D.四
4. 不论m 取任何实数，抛物线 y =a (x +m )2+m (a * 0)的顶点都
A.在y =x 直线上
B.在直线y =-x 上
C.在x 轴上
D.在y 轴上
2
5. 任给一些不同的实数 n ,得到不同的抛物线 y =2x +n ，如当n =0,± 2时，关于这些抛物线 有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判 断正确的个数是
A.1个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
6. 二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=O ,则它的图象必经过下列四点中
,-1)
C.(
-1,- 1) D.(1 , 1)
7. 下列说法错误的是
A. 二次函数y =— 2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0
B. 二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大
2 2 2 2 . . 2 . .
C. 在三条抛物线 y =2x , y =- 0.5 x , y =-x 中，y =2x 的图象开口最大，y =- x 的图象开 口最小
D. 不论a 是正数还是负数，抛物线
y =ax 2( a 工0)的顶点一定是坐标原点
8. 已知二次函数 y =x 2+(2k +1)x +k 2— 1的最小值是0,贝U k 的值是
2
1
9. 小颖在二次函数 y =2x +4x +5的图象上，依横坐标找到三点(—1, y"，( — , y 2),
(
-
2
1
3丄，y 3)，则你认为y 1, y 2,小的大小关系应为
2
A. y 1 >y 2>y 3
B.
y 2>y 3>y 1 C. y 3>y 1>y 2 D. y 3>y 2>y 1
1 2
10. 抛物线y =-(x +3)的顶点坐标是 __________ .
2
11. _____________________________________________________________ 将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是 ______________________________ .
4 2
12. 函数y =-x - 2- 3x 有最 ________ 值为 ____ .
3
13. 已知抛物线 y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(—2, 3)，且过(—1, 5)，则抛物线的表达式为 14. ________________________________________________________________ 二次函数
y =m )2+2x +m- 4n i 的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是 ______________________
15. 抛物线y=ax 2 + bx + c (c 丰0)如图②所示，回答：
(1) _______________________________________ 这个二次函数的表达式是 ; (2) 当 x= _____ 时，y=3;
16. 抛物线y=ax 2 + bx + c (c 丰0)如图②所示，回答：
(1) _______________________________________ 这个二次函数的表达式是 ; (2) 当 x= _____ 时，y=3;
A.( - 1, 1)
B.(1 B.
C.
D.
(3)根据图象回答：当x __________________ 时，y>0.
17. ____________________________ 已知抛物线y= - x2+( 6- 2k) x+ 2k- 1与y轴的交点位于(0, 5) 上方，则k的取值范围是__ .
18. —根长为100 m 的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为
19. ________________________________________________________________________ 若两个数的差为 3,若其中较大的数为 x ，则它们的积y 与x 的函数表达式为 __________________ _，它有最 _________ 值，即当 x= _________ 时，y= _________ . 20. 边长为12cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为 x 的小正方形铁片，剩下的四方框铁 片的面积y (cm )与x (cm )之间的函数表达式为 ______________________ . 21. 等边三角形的边长 2x 与面积y 之间的函数表达式为 .
22. ____________________________________________________________________ 抛物线y=x 2 + kx — 2k 通过一个定点，这个定点的坐标为 __________________________________ . 23. 已知抛物线 y=x 2 + x + b 2经过点(a , — 1 )和(一a , yj ,则y 1的值是 ________________ .
4
24. 如图，图①是棱长为 a 的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，按照这样的 方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n 层，第n 层的小正方体的个数记 为S,解答下列问题：
(1)按照要求填表:
n
1
2
3
4
s
1 3 6
(2) 写出当n=10时，S= __________ .
(3) 根据上表中的数据，把 S 作为纵坐标，n 作为横坐标，在平面直角坐标系中描出 相应的点.
(4) 请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该 函数的表达式.
25. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过 程.图中二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 S (万元)与销售时间
a
由
(D ②
(月)之间的关系(即前t个月的利润总和根据
图象提供的信息，解答下列问题：
(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润
式；
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到S与t之间的关系).
S (万元)与时间t (月)之间的函数表达30万元;
(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?
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