二次函数的表达式常见的三种形式
初中数学专题：二次函数的三种表达方式
专题：二次函数的三种表达方式一、知识要点1、一般式c bx ax y ++=2（三点式）；2、交点式))((21x x x x a y --=；3、顶点式h k x a y +-=2)(。
二、知识运用典型例题例1、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过A （0，6），B （1，0），C （3，0）；（1）求a ，b ，c 的值；（2）求抛物线的对称轴、顶点坐标；（3）当x 为何值时，函数值小于零？（4）求顶点和抛物线与x 轴两交点构成的三角形的面积；例2、（08临沂）如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。
(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由;(3)若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。
例3、（新疆06）二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于A 点．（1）根据图像确定a ，b ，c 的符号，并说明理由；（2）如果点A 的坐标为（0，－3），∠ABC ＝45°，∠ACB ＝60°，求这个二次函数的解析式．例4、（宁波07）已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点C )3,0(，O 是原点，(1)求这条抛物线的解析式；(2)设此抛物线与x 轴的交点为A ，B （A 在B 的左边），问在y 轴上是否存在点P ，使以O ，B ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，请求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由。
三、知识运用课堂训练1、已知抛物线c bx ax y ++=2过点（0，1-），且与x 轴只有一个交点（2-，0），求其解析式；2、已知一个二次函数的图象进如图所示的三个点； （1）求抛物线的对称轴； （2）平行于x 轴的直线l 的解析式为425=y ，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，在抛物线的对称轴上找点P ，使BP 的长等于直线l 与x 轴间的距离。
完整版)二次函数知识点复习
完整版)二次函数知识点复习二次函数知识点一、二次函数概念：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y=ax²的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
性质：a>0时，当x增大时，y增大；当x减小时，y减小；当x=0时，y有最小值。
a<0时，当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；当x=0时，y有最大值。
2.y=ax²+c的性质：上加下减。
a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
性质：a>0时，当x增大时，y增大；当x减小时，y减小；当x=0时，y有最小值c。
a<0时，当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；当x=0时，y有最大值c。
3.y=a(x-h)²的性质：左加右减。
a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，0），对称轴为x=h。
性质：a>0时，当x>h时，y增大；当x<h时，y减小；当x=h 时，y有最小值。
ah时，y减小；当x<h时，y增大；当x=h时，y有最大值。
4.y=a(x-h)²+k的性质：a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h。
性质：a>0时，当x>h时，y增大；当x<h时，y减小；当x=h 时，y有最小值k。
ah时，y减小；当x<h时，y增大；当x=h时，y有最大值k。
三、二次函数图象的平移平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k，确定其顶点坐标（h，k），具体平移方法如下：保持抛物线y=ax²的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位。
二次函数的三个表达式
二次函数的三个表达式
二次函数的三个表达式
二次函数是一个非常重要的函数，它有三种标准形式的表达式，分别
是一般型、完全型、标准型的表达式，它们可以应用于多学科，对于
任意二次函数都可以使用其中一种表达式来表示它。
一、一般型的表达式
一般型的表达式是指的是y=ax^2 + bx + c的形式，其中a，b，c为
实数，其中a不能等于0，这是一般型表达式的特点，这也是二次函数最基本的表达方式。
二、完全型的表达式
完全型表达式是一般型的扩展，它的表达式形式为y=ax^2 + bx + c + dx + e，其中a、d不能同时为0，其他的参数都可以为0，但是参数a不能为0.完全型的表达式是二次函数的一种重要形式，它可以很好
地表示一个函数的形状，起到了很重要的作用。
三、标准型的表达式
标准型的表达式是二次函数最常用的表达式形式，它有一个标准的表
达式形式，即 y = a(x - h)^2 + k，参数a不能等于0，其中h为x
轴上的横坐标，k为y轴上的纵坐标。
标准型表达式最大的优点就是能够很容易地根据函数的图像来确定各参数的值，这个特点使得它在实
际应用中非常有用。
总结
以上就是二次函数的三个表达式的介绍，它们各有优缺点，在具体应
用中应根据具体情况来选择适合的表达式。
正确的使用三种表达式就可以很好地表达二次函数的特性。
二次函数的表达式常见的三种形式
二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，
当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）（，当已知抛物线的顶点坐标和抛
物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。
二次函数的三种表示方式(解析版)
二次函数的三种表示方式高中必备知识点1：一般式形如下面的二次函数的形式称为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；典型考题【典型例题】已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）． （1）求抛物线的表达式．（2）已知点（m ，k ）和点（n ，k ）在此抛物线上，其中m ≠n ，请判断关于t 的方程t 2+mt +n ＝0是否有实数根，并说明理由．【答案】（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）方程有两个不相等的实数根． 【解析】（1）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，3） 9a ﹣3b +c ＝0930312a b c c b a⎧⎪-+=⎪=-⎨⎪⎪-=-⎩ 解得a ＝1，b ＝2，c ＝﹣3 ∴抛物线y ＝x 2+2x ﹣3；（2）∵点（m ，k ），（n ，k ）在此抛物线上， ∴（m ，k ），（n ，k ）是关于直线x ＝﹣1的对称点， ∴+2m n＝﹣1 即m ＝﹣n ﹣2 b 2﹣4ac ＝m 2﹣4n ＝（﹣n ﹣2）2﹣4n ＝n 2+4＞0∴此方程有两个不相等的实数根．【变式训练】抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。
(结果化成一般式)【答案】【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4把点（3，0）代入解析式，得：4a+4，即a=-1所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4故答案是y=-x2+2x+3．【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线. （1）求抛物线的解析式（化为一般式）；（2）直接写出抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.【答案】(1) ;(2)4.【解析】 （1）抛物线的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为，抛物线的解析式为；（2）顶点坐标为，且抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积，抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.高中必备知识点2：顶点式形如下面的二次函数的形式称为顶点式：y ＝a (x -h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(h ，k )．典型考题【典型例题】已知二次函数21322y x x =-++． ⑴用配方法将此二次函数化为顶点式； ⑵求出它的顶点坐标和对称轴方程．【答案】（1）()21122y x =--+；（2）（1，2），直线1x = 【解析】 （1）21322y x x =-++()21232y x x =--- ()2121132y x x =--+--()212142y x x ⎡⎤=--+-⎣⎦ ()21142y x ⎡⎤=---⎣⎦()21122y x =--+（2）∵()21122y x =--+∴顶点坐标为（1，2），对称轴方程为直线1x =.【变式训练】已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），且经过（1，﹣6），求这个二次函数的解析式． 【答案】二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2． 【解析】∵二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），∴设抛物线顶点式解析式y=a （x+1）2+2，将（1，﹣6）代入得，a （1+1）2+2=﹣6， 解得a=﹣2，所以，这个二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．【能力提升】二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．【答案】（1）322--=x x y ；（2）（1，-4）；（3）5【解析】（1）设c bx ax y ++=2，把点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，代入得 ⎪⎩⎪⎨⎧=---=++-=03343b a c b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴322--=x x y ；（2）∵4)1(3222--=--=x x x y∴函数的顶点坐标为（1，-4）； （3）∵|1-0|+|-4-0|=5∴二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点．高中必备知识点3：交点式形如下面的二次函数的形式称为交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．典型考题【典型例题】已知在平面直角坐标系中，二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的图象与 x 轴有两个交点． （1）求 k 的取值范围；（2）当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标．【答案】（1）k ＜；（2）（﹣2，0）和（0,0）.【解析】（1）∵图象与x轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴解得（2）∵k 为正整数，∴k=1．∴令y=0，得解得∴交点为（﹣2，0）和（0，0）.【变式训练】已知二次函数的图象经过点(3，－8)，对称轴是直线x＝－2，此时抛物线与x轴的两交点间距离为6.(1)求抛物线与x轴两交点坐标；(2)求抛物线的解析式．【答案】(1)(－5，0)，(1，0)；（2）y＝－x2－2x＋.【解析】(1) ∵因为抛物线对称轴为直线x=-2，且图象与x轴的两个交点的距离为6，∴点A、B到直线x=-2的距离为3，∴A为（-5，0），B为（1，0）；(2)设y＝a(x＋5)(x－1)．∵点(3，－8)在抛物线上，∴－8＝a(3＋5)(3－1)，a＝－，∴y＝－x2－2x＋.【能力提升】已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．【答案】（1）二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0），抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）图见详解；当y＜0时，1＜x＜3．【解析】（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）函数图象如图：由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．专题验收测试题1．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+1 B．y＝﹣2（x+3）2﹣5C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣5 D．y＝﹣2（x+3）2+1【答案】B【解析】解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为：y＝﹣2（x+3）2﹣5．故选：B．2．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【答案】A【解析】解：二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标为（1，3）．故选：A．3．若二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，则k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】D【解析】∵二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，∴△＝b2﹣4ac＝0，即8﹣4k（k+1）＝0，解得：k1＝1，k2＝﹣2，当k＝1时，k+1＞0，此时图象有最低点，不合题意舍去，则k的值为：﹣2．故选：D．4．已知二次函数为常数，且），（）A．若，则的增大而增大；B．若，则的增大而减小；C．若，则的增大而增大；D．若，则的增大而减小；【答案】C【解析】解：∵y=ax2+（a+2）x-1对称轴直线为，x=-=-．由a＜0得，-＞0．∴-＞-1．又∵a＜0∴抛物线开口向下．故当x＜-时，y随x增大而增大．又∵x＜-1时，则一定有x＜-．∴若a＜0，则x＜-1，y随x的增大而增大．故选：C．5．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）【答案】B【解析】解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；B、顶点坐标是（1，2），正确；C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；故选：B．6．将抛物线y＝x2﹣x+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．y＝x2+3x+6 B．y＝x2+3x C．y＝x2﹣5x+10 D．y＝x2﹣5x+4【答案】A【解析】，当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得.故选A．7．把抛物线y＝ax2+bx+c图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y＝x2+5x+6，则a﹣b+c的值为（）A．2 B．3 C．5 D．12【答案】B【解析】y＝x2+5x+6＝（x+）2﹣．则其顶点坐标是（﹣，﹣），将其右左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到（﹣）．故原抛物线的解析式是：y＝（x+）2+＝x2+x+3．所以a＝b＝1，c＝3．所以a﹣b+c＝1﹣1+3＝3．故选B．8．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（）A．若k≠1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0B．若k＜1，m＞0，则二次函数y的最大值大于0C．若k＝1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0D．若k＞1，m＜0，则二次函数y的最大值大于0【答案】B【解析】∵y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m＝﹣（x+1）2+（k﹣1）2+m，∴当x＝﹣1时，函数最大值为y＝（k﹣1）2+m，则当k＜1，m＞0时，则二次函数y的最大值大于0．故选：B．9．关于抛物线，下列说法错误．．的是（）．A．开口向上B．与轴只有一个交点C．对称轴是直线D．当时，的增大而增大【答案】B【解析】解：A、，抛物线开口向上，所以A选项的说法正确；B、当时，即，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点，所以B选项的说法错误；C、抛物线的对称轴为直线，所以C选项的说法正确；D、抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，所以D选项的说法正确．故选：B．10．将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣3（x﹣2）2+4 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣2C．y＝﹣3（x+2）2+4 D．y＝﹣3（x+2）2﹣2【答案】D【解析】将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝﹣3（x+2）2+1；再向下平移3个单位为：y＝﹣3（x+2）2+1﹣3，即y＝﹣3（x+2）2﹣2．故选D．11．已知抛物线经过点，则该抛物线的解析式为__________．【答案】【解析】解：将A、O两点坐标代入解析式得：，解得：，∴该抛物线的解析式为：y=.12．二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，则a的值为______．【答案】-1【解析】解：∵二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，∴a2-1=0，∴a=±1，∵a-1≠0，∴a≠1，∴a的值为-1．故答案为：-1．13．将二次函数y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位，得到新的二次函数的顶点式为______．【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：将抛物线y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位后，得到的抛物线的表达式为y=（x-2）2+1，故答案为：y=（x-2）2+1．14．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．【答案】y＝2（x+3）2+1【解析】抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2+1．故答案为：y＝2（x+3）2+115．在平面直角坐标系xOy 中，函数y = x2的图象经过点M (x1 , y1 ) ，N (x2 , y2 ) 两点，若- 4< x1<-2，0< x2<2 ，则y1 ____ y2 . （用“ <”，“=”或“>”号连接）【答案】>【解析】解：抛物线y=x2的对称轴为y轴，而M（x1，y1）到y轴的距离比N（x2，y2）点到y轴的距离要远，所以y1＞y2．故答案为：＞．16．小颖从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下列信息：；；；；．你认为其中正确信息的个数有______．【答案】【解析】解：抛物线的对称轴位于y轴左侧，则a、b同号，即，抛物线与y轴交于正半轴，则，所以，故错误；如图所示，当时，，所以，故正确；对称轴，，则如图所示，当时，，，，故正确；如图所示，当时，，故错误；综上所述，正确的结论是：．故答案是：．17．已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴的交点坐标为（m﹣2，0）和（2m+1，0）．（1）若x＜0时，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若y ＝1时，自变量x 有唯一的值，求二次函数的解析式． 【答案】（1）31=m （2）y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3和y ＝﹣x 2﹣16x ﹣63． 【解析】解：（1）由题意可知，二次函数图象的对称轴为x ＝2213122m m m -++-=，∵a ＝﹣1＜0，∴二次函数的图象开口向下， ∵x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴312m -≥0， 解得m ≥13，（2）由题意可知，二次函数的解析式为y ＝﹣（x ﹣312m -）2+1， ∵二次函数的图象经过点（m ﹣2，0）， ∴0＝﹣（m ﹣2﹣312m -）2+1， 解得m ＝﹣1和m ＝﹣5，∴二次函数的解析式为y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3和y ＝﹣x 2﹣16x ﹣63． 18．设二次函数y 1＝ax 2+bx +a ﹣5（a ，b 为常数，a ≠0），且2a +b ＝3． （1）若该二次函数的图象过点（﹣1，4），求该二次函数的表达式；（2）y 1的图象始终经过一个定点，若一次函数y 2＝kx +b （k 为常数，k ≠0）的图象也经过这个定点，探究实数k ，a 满足的关系式；（3）已知点P （x 0，m ）和Q （1，n ）都在函数y 1的图象上，若x 0＜1，且m ＞n ，求x 0的取值范围（用含a 的代数式表示）．【答案】（1）y ＝3x 2﹣3x ﹣2；（2）k ＝2a ﹣5；（3）x 0<．【解析】解：（1）∵函数y 1＝ax 2+bx +a ﹣5的图象经过点（﹣1，4），且2a +b ＝3 ∴，∴，∴函数y 1的表达式为y ＝3x 2﹣3x ﹣2； （2）∵2a +b ＝3∴二次函数y1＝ax2+bx+a﹣5＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，整理得，y1＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2∴当x＝1时，y1＝﹣2，∴y1恒过点（1，﹣2）∴代入y2＝kx+b得∴﹣2＝k+3﹣2a得k＝2a﹣5∴实数k，a满足的关系式：k＝2a﹣5（3）∵y1＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5∴对称轴为x＝﹣，∵x0＜1，且m＞n∴当a＞0时，对称轴x＝﹣，解得，当a＜0时，对称轴x＝﹣，解得（不符合题意，故x0不存在）故x0的取值范围为：19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A和点B（1）求该二次函数的解析式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．【答案】(1) y＝x2﹣4x﹣6；（2）对称轴为x＝2；顶点坐标是（2，﹣10）．【解析】（1）根据题意，得，解得，∴所求的二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣6．（2）又∵y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10，∴函数图象的对称轴为x＝2；顶点坐标是（2，﹣10）．20．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），C为抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）【解析】（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）．将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：解得：b＝2，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．（2）∵将x＝0代y＝x2+2x﹣3入，得y＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．∴OC＝3．∵点B的坐标为（1，0），∴OB＝1．设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．∵S△POC＝2S△BOC，∴12OC•|a|＝12OC•OB，即12×3×|a|＝2×12×3×1，解得a＝±2．当a＝2时，点P的坐标为（2，5）；当a＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，﹣3）．∴点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）．21．已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≠0）．（1）直接写出该抛物线的对称轴．（2）试说明无论a为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．【答案】（1）；（2）抛物线一定经过点.【解析】解：（1）该抛物线的对称轴为x=-;（2）可化为，当，即时，，抛物线一定经过点.22．如图，已知点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，)在抛物线y=ax2+bx+c 上.(1)求抛物线解析式；(2)在第一象限的抛物线上求一点P，使△PBC的面积为.【答案】(1)；(2)点P的坐标为(1，2)或(2，).【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将C(0，)代入，得-3a=，解得∴抛物线的解析式为(2)过点P作PD⊥x轴于D.设点，∴S四边形ACOB=S梯形PDOC+S△PBD =(=∴S△PBC=S四边形PCOB- S△BOC=整理得，解得x=1或x=2.∴点P的坐标为(1，2)或(2，)。
二次函数与方程不等式的关系
二次函数与方程不等式的关系一、知识点梳理1、二次函数表达式的几种常见方法（1）三点式（或一般式）：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数且，表达式的右边是二次三项式的一般形式，当已知抛物线上不共线的三点坐标时，通常把三点坐标代入表达式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解.（2）顶点式：k h x a y +-=2)()0,,(≠a k h a 为常数且由抛物线的表达式右边可知，抛物线的顶点坐标为),(k h ，当已知抛物线的顶点和抛物线上另一点时，通常设函数表达式为顶点式，然后代入另一个点的坐标，解关于a 的一次方程来求。
当已知两点的坐标和对称轴时，亦可将其代入k h x a y +-=2)(中求解.2、二次函数 c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 的关系抛物线：c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，恰为一元二次方程02=++c bx ax 的实根. 因为x 轴上的点的纵坐标都为0,所以求抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，可利用函数表达式c bx ax y ++=2来求，只需令0=y ,得一元二次方程02=++c bx ax ,方程的解即为交点的横坐标.抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点有三种情况：（1）当042＞ac b -时，方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根21,x x ，拋物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点)0,(),0,(21x x ；（2）当042=-ac b 时，方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根2a -21b x x ==， 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点)0,2(ab -; （3）当042＜ac b -时，方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线与x 轴没有交点.3、二次函数的图像与一次函数图像的交点一次函数()0≠+=k n kx y 的图像L 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y ,n kx y 2的解的个数来确定： （1）方程组有两组不同的解-----L 与G 有两个交点；（2）方程组只有一组解-----L 与G 只有一个交点；（3）方程组无解-----L 与G 没有交点。
二次函数的定义表达式
二次函数的定义表达式
二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、
b和c是实数且a不等于0。
这里，a决定了抛物线的开口方向（向
上或向下）、b决定了抛物线的位置（左右移动）以及c决定了抛
物线与y轴的交点位置（上下移动）。
二次函数也可以写成标准形
式f(x) = a(x h)^2 + k，其中(h, k)是抛物线的顶点坐标。
另外，二次函数的图像是一个抛物线，可以是开口向上或开口向下的。
当
a大于0时，抛物线开口向上，当a小于0时，抛物线开口向下。
这就是二次函数的定义和表达式。
希望这个回答能够满足你的要求。
2.3 二次函数表达式的三种形式 课件(共21张PPT)
轴（交其点中的x1横, 坐x2标是）抛，物选线交与点x式轴：交y 点 (的x 横x坐1)(标x ）x2 )
但不论何种形式，最后都化为一般形x1 式。
2.抛物线y=ax²+bx+c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点， 求抛物线的解析式．
3.二次函数y=ax²+bx+c的图象过点A(－2，5)，且当 x＝2时，y＝－3，求这个二次函数的解析式，并 判断点B(0，3)是否在这个函数的图象上．
4.抛物线y=ax²+bx+c经过(0，0)，(12，0)两点，其 顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解x1 析式．(要 求用多种方法)
• 求二次函数表达式的方法有很多，今 天主要学习用待定系数法来求二次函 数的表达式（解析式）
• 2015已知二次函数的图象与y轴的交点为C， 与x轴正半轴的交点为A．且．tan ACO 1
4
• (1)求二次函数的解析式；
课后练习
1.抛物线y=ax²+bx+c过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式
• 3.交点式：y a(x x1)(x x2 ) (a 0)
一般式 y ax2 bx c(a )
例题1 (1) 已知二次函数图象经过点A(-1,0), B（4，5），C（0，－3），求该二次函
数的表达式．
(2) (2015牡丹江)抛物线y=x²+bx+c经过 点A(1,-4),B(3,0).求此抛物线的解析式.
二、顶点式 y a(x h)2 k
例题1 (1)(2013绥化)若二次函数图像的顶点坐 标为(-2,3），且过点（－3,5）,求此二次 函数的解析式。
二次函数的几种形式
y=a(x-h)2+k
(a≠0)
(h,k)
x=h
已知抛物线的顶点坐标(h,k)
a＜0
向下
（ , ）
x=
x＞ 时，y随x的增大而减小；x＜ 时，y随x的增大而增大；x= 时，y有最大值
·
3、二次函数的几种表达方式
名称
函数表达式
顶点
对称轴
备注
一般式（标准式）
y=ax2+bx+c
(a≠0)
（ , ）
.
x=
两点式
y=a(x-m)(x-n)
(a≠0)
已知抛物线与X轴的两个
交点坐标（m,0）、(n,0)
向下
（0,0)
y轴
x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0
y=ax2+ c
(上加下减)
a＞0
&
向上
(0,c)
y轴
x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c
a＜0
向下
(0,c)
y轴
x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值cy=a(x-h)2；源自(左加右减)a＞0
向上
（h,0）
x=h
x＞h时，y随x的增大而增大；x＜h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0
a＜0
向下
（h,0）
x=h
}
x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0
y=a(x-h)2+k
(左加右减)
a＞0
向上
九年级上数学专题复习一：待定系数法求二次函数表达式(含答案)
专题复习一 待定系数法求二次函数表达式二次函数表达式的三种形式：①一般式y=ax 2+bx+c(a ≠0);②顶点式y=a(x-m)2+k(a ≠0);③交点式(分解式)y=a(x-x 1)(x-x 2),求函数表达式时要根据已知条件合理选择表达式形式.1.一抛物线和抛物线y=-2x 2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(-1，3)，则该抛物线的函数表达式为(B ).A.y=-2(x-1)2+3B.y=-2(x+1)2+3C.y=-(2x+1)2+3D.y=-(2x-1)2+32.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象顶点为点A(-2，-2)，且过点B(0，2)，则y 关于x 的函数表达式为(D ).A.y=x 2+2B.y=(x-2)2+2C.y=(x-2)2-2D.y=(x+2)2-2(第2题) (第3题) （第4题） (第8题)3.如图所示为抛物线的图象，根据图象可知，抛物线的函数表达式可能为(A ). A.y=-x 2+x+2 B.y=-21x 2-21x+2 C.y=-21x 2-21x+1 D.y=x 2-x-2 4.如图所示，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点B(0，-2).该二次函数的图象与反比例函数y=-x8的图象交于点A(m ，4)，则这个二次函数的表达式为(A ).A.y=x 2-x-2B.y=x 2-x+2C.y=x 2+x-2D.y=x 2+x+2 5.抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)经过(1，2)和(-1，-6)两点，则a+c= -2 ．6.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于点C(0，3)，则二次函数的表达式为 y=x 2-4x+3 ．7.老师给出一个函数，四位同学各指出了这个函数的一个性质：①函数的图象不经过第三象限；②函数的图象经过第一象限；③当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；④当x ＜2时，y ＞0． 已知这四位同学的叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数： y=（x-2）2（不唯一） ． 8.如图所示，将Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△A1OB1，若点A 的坐标为(2，1)，过点A ，O ，A1的抛物线的函数表达式为 y=65x 2-67x ． 9.根据下列条件求二次函数的表达式.(1)二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点的横坐标是-21,23,与y 轴交点的纵坐标是-5，求这个二次函数的表达式．(2)二次函数图象的顶点在x 轴上，且图象过点(2，-2)，(-1，-8)，求此函数的表达式．【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y=a （x+21）（x-23）.把点（0，-5）代入，得a ×21×（-23）=-5，解得a=320.∴抛物线的函数表达式为y=320（x+21）（x-23）=320x 2-320x-5.(2)设抛物线的函数表达式为y=a （x-k ）2.把点（2，-2）,（-1，-8）代入，得()()⎪⎩⎪⎨⎧-=---=-812222k a k a ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=592k a ,或⎩⎨⎧=-=12k a .∴抛物线的函数表达式为y=-92（x-5）2或y=-2（x-1）2.（第10题）10.在平面直角坐标系中，抛物线y=2x 2+mx+n 经过点A(0，-2)，B(3，4). (1)求抛物线的函数表达式及对称轴.(2)设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，且点D 的纵坐标为t ，记抛物线在A ，B 两点之间的部分为图象G(包含A ，B 两点).若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图象，求点D 纵坐标t 的取值范围.【答案】(1)把点A(0，-2)，B(3，4)代入抛物线y=2x 2+mx+n ，得⎩⎨⎧=++-=43182n m n ,解得⎩⎨⎧-=-=24n m .∴抛物线的函数表达式为y=2x 2-4x-2，对称轴为直线x=1.（第10题答图）(2)如答图所示，作出抛物线在A ，B 两点之间的图象G.由题意得C(-3，-4)，二次函数y=2x 2-4x-2的最小值为-4，由函数图象得出点D 纵坐标的最小值为-4.设直线BC 的表达式为y=kx+b ，将点B ，C 的坐标代入得⎩⎨⎧-=+-=+4343b k b k ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==034b k .∴直线BC 的表达式y=34x.当x=1时，y=34，∴t 的取值范围是-4≤t ≤34.11.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象经过点A(1，0)，B(0，-3)，且对称轴为直线x=2，则这条抛物线的顶点坐标为(B ).A.(2，3)B.(2，1)C.(-2，1)D.(2，-1)12.若一次函数y=x+m 2与y=2x+4的图象交于x 轴上同一点，则m 的值为(D ). A.2 B.±2 C.2 D.±213.若所求的二次函数图象与抛物线y=2x 2-4x-1有相同的顶点，且在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，则所求二次函数的表达式为(D ). A.y=-x 2+2x-5 B.y=ax 2-2ax+a-3(a ＞0) C.y=-2x 2-4x-5 D.y=ax 2-2ax+a-3(a ＜0)14.如图所示，已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，该图象与x 轴的另一个交点为点C ，则AC 长为 3 ．(第14题) (第16题)15.已知二次函数的图象经过原点及点(-2，-2)，且图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的表达式为 y=21x 2+2x 或y=-61x 2+32x ． 16.如图所示，直线y=x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，AB ⊥BC ，且点C 在x 轴上.若抛物线y=ax 2+bx+c 以点C 为顶点，且经过点B ，则这条抛物线的函数表达式为 y=21x 2-2x+2 ．（第17题）17.如图所示，Rt △AOB 的直角边OA 在x 轴上，OA=2，AB=1，将Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt △COD ，抛物线y=-65x 2+bx+c 经过B ，D 两点. (1)求二次函数的表达式.(2)连结BD ，点P 是抛物线上一点，直线OP 把△BOD 的周长分成相等的两部分，求点P 的坐标.【答案】(1)∵Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt △COD ，∴CD=AB=1，OC=OA=2.则点B(2，1)，D(-1，2)，代入y=-65x 2+bx+c ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=++-26512310c b c b ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==31021c b .∴二次函数的表达式为y=-65x 2+21x+310.（第17题答图） (2)如答图所示，∵OA=2，AB=1，∴B(2，1).∵直线OP 把△BOD 的周长分成相等的两部分，且OB=OD ，∴DQ=BQ ，即点Q 为BD 的中点，D(-1，2).∴点Q 坐标为（21，23）.设直线OP 的表达式为y=kx ，将点Q 坐标代入，得21k=23，解得k=3.∴直线OP 的表达式为y=3x.由⎪⎩⎪⎨⎧++-==310216532x x y xy 得⎩⎨⎧==3111y x ,⎩⎨⎧-=-=12422y x .∴点P 的坐标为(1，3)或(-4，-12).（第18题）18.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+2过B(-2，6)，C(2，2)两点. (1)试求抛物线的函数表达式.(2)记抛物线的顶点为D ，求△BCD 的面积. (3)若直线y=-21x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B ，C)部分有两个交点，求b 的取值范围.【答案】(1)由题意⎩⎨⎧=++=+-22246224b a b a ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==121b a .∴抛物线的函数表达式为y=21x 2-x+2.(2)如答图所示，∵y=21x 2-x+2=21(x-1)2+23.∴顶点D 的坐标为（1，23），对称轴为直线x=1.设直线BC 的函数表达式为y=kx+b.将B （-2，6），C （2，2）代入，得⎩⎨⎧=+=+-2262b k b k ,解得⎩⎨⎧=-=41b k .∴直线BC 的函数表达式为y=-x+4，∴对称轴与BC 的交点H(1，3).∴S △BDC=S△BDH+S △DHC =21×23×3+21×23×1=3. (3)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=221212x x y b x y 消去y 得x 2-x+4-2b=0，当Δ=0时，直线与抛物线相切，1-4(4-2b)=0，解得b=815.当直线y=-21x+b 经过点C 时，b=3，当直线y=-21x+b 经过点B 时，b=5.∵直线y=-21x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B ，C)部分有两个交点，∴815＜b ≤3.（第19题）19.【贵港】将如图所示的抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数表达式为(A ).A.y=(x-1)2+1B.y=(x+1)2+1C.y=2(x-1)2+1D.y=2(x+1)2+120.【广州】已知抛物线y1=-x 2+mx+n ，直线y 2=kx+b ，y 1的对称轴与y 2交于点A(-1，5)，点A 与y 1的顶点B 的距离是4. (1)求y 1的函数表达式.(2)若y 2随着x 的增大而增大，且y 1与y 2都经过x 轴上的同一点，求y 2的函数表达式. 【答案】(1)∵抛物线y1=-x 2+mx+n ，直线y 2=kx+b ，y 1的对称轴与y 2交于点A(-1，5)，点A与y 1的顶点B 的距离是4.∴B(-1，1)或(-1，9).∴-()12-⨯m=-1，()()14142-⨯--⨯m n =1或9，解得m=-2，n=0或8.∴y1=-x 2-2x 或y1=-x 2-2x+8.(2)①当y1=-x 2-2x 时，抛物线与x 轴的交点是(0，0)和(-2，0).∵y 1的对称轴与y 2交于点A(-1，5)，∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(-2，0).把(-1，5)，(-2，0)代入得⎩⎨⎧=+-=+-025b k b k ,解得⎩⎨⎧==105b k .∴y 2=5x+10.②当y1=-x 2-2x+8时，令-x 2-2x+8=0，解得x=-4或2.∵y 2随着x 的增大而增大，且过点A(-1，5)，∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(-4，0).把(-1，5)，(-4，0)代入得⎩⎨⎧=+-=+-045b k b k ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==32035b k .∴y 2=35x+320.综上可得y 2=5x+10或y 2=35x+320.21.如图所示，直线y=-21x+2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B ，C 和点A(-1，0)． (1)求B ，C 两点的坐标． (2)求该二次函数的表达式．(3)若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． (4)点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标．(第21题) 图1 图2（第21题答图）【答案】(1)令x=0，可得y=2;令y=0，可得x=4，∴B,C 两点的坐标分别为B （4，0），C （0，2）.(2)设二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c ，将点A ，B ，C 的坐标代入表达式得⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-204160c c b a c b a ,解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=22321c b a .∴该二次函数的表达式为y=-21x 2+23x+2.(3)存在.∵y=-21x 2+23x+2=-21(x-23)2+825，∴抛物线的对称轴是直线x=23.∴OD=23.∵C （0，2），∴OC=2.在Rt △OCD 中，由勾股定理得CD=25.∵△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，∴CP 1=DP 2=DP 3=CD.如答图1所示，作CH ⊥对称轴直线x=23于点H ，∴HP 1=HD=2，∴DP 1=4.∴P 1(23，4)，P 2(23，25)，P 3(23，-25). (4)如答图2所示，过点C 作CM ⊥EF 于点M ，设E （a ，-21a+2），F （a ，-21a 2+23a+2），∴EF=-21a 2+23a+2-（-21a+2）=-21a 2+2a （0≤a ≤4）.∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =21BD·OC+21EF·CM+21EF·BN=25+21a （-21a 2+2a ）+21（4-a ）（-21a 2+2a ）=-a 2+4a+25=-（a-2）2+213，∴当a=2时，四边形CDBF 的面积最大，最大面积为213，此时点E 坐标为（2，1）.。
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二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）（，当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。