专题09 一元二次函数的三种表示方式(解析版)

专题09 一元二次函数的三种表示方式
一、知识点精讲
通过上一小节的学习，我们知道，一元二次函数可以表示成以下三种形式：
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，
我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．
当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①
并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac 存在下列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，
则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝
b
a
-，x1x2＝
c
a
，即
b
a
＝－(x1＋x2)，
c
a
＝x1x2．所
以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b c
x x
a a
++)
= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：
若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．
二、典例精析
【典例1】已知某一元二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），
求该一元二次函数的解析式．
【答案】见解析
【分析】：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．
【解析】∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上，所以，2＝x ＋1，∴x ＝1．
∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(1)2(0)y a x a =-+<，
∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴21(31)2a -=-+，解得a ＝－34
． ∴二次函数的解析式为23(1)24
y x =--+，即y ＝－34x 2＋32x+54． 【说明】：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．
【典例2】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
【答案】见解析
【分析一】：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
【解析一】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)，展开得 y ＝ax 2＋2ax －3a ， 顶点的纵坐标为 22
12444a a a a
--=-， 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，∴|－4a |＝2，即a ＝12
±
． 所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+． 【分析二】：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．
【解析二】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1．
又顶点到x 轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．
于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，
由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－
12，或a ＝12． 所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12
(x ＋1)2－2． 【说明】：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．
【典例3】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
【答案】见解析
【解析】设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，
(2，8)，可得22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩
解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．
所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．
【说明】通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？
三、对点精练
1．选择题:
（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是 （ ）
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定
【答案】A
【解析】214(1)(1)30=-⨯-⨯-=-<，∴函数y ＝－x2＋x －1图象与x 轴的交点个数
是0个。

故选A
（2）函数y ＝－12
(x ＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ） （A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2)
【答案】C
【解析】据二次函数的顶点式方程可得函数y ＝－12
(x ＋1)2＋2的顶点坐标是(－1，2) 故选C 2．填空：
（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝ ．
【答案】(1)(2),(0)y a x x a =+-≠
【解析】据二次函数的交点式方程可得该二次函数的解析式可设为(1)(2),(0)y a x x a =+-≠ ．
（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ．
【答案】4
【解析】设二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点横坐标分别为12,x x ，
则12121x x x x +==-
，214x x -
3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；
（2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；
（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．
【答案】见解析
【解析】
（1）设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(1，－2)，(0，－3)，
(-1，-6)，可得213
263a b c a c b a b c c ++=-=-⎧⎧⎪⎪=-⇒=⎨⎨⎪⎪-+=-=-⎩⎩
所以，所求的二次函数为y ＝－x 2＋2x －3．
（2）设二次函数为2(3)5,(0)y a x a =-+>，则2311(13)52
a a =-+⇒=，所以，所求的二次函数为23(3) 5.2
y x =-+． （3）
设二次函数为(110)y a x x a =-+-≠
，则2(0112a a -=--⇒=，所以，所
求的二次函数为2(11y x x =---+
4.设二次函数的图像的顶点式3(2,)2
-，与x 轴的两个交点间的距离为6，求该二次函数的表达式。

【答案】见解析
【解析】据题意对称轴为2x =-，又与x 轴的两个交点间的距离为6，∴x 轴的两个交点分别为(5,0),(1,0)-，设二次函数为(5)(1),(0)y a x x a =+-≠，则31(25)(21)26
a a =-+--⇒=- 所以，所求的二次函数为21125(5)(1).6636
y x x x x =-+-=--+。