二次函数解析式的确定(10种)
二次函数的几种解析式及求法
1、已知:抛物线图像与X轴交于(2,0)(3,0)且函数最小值是-3，
求抛物线的解析式.
2、已知：抛物线y=ax2+bx+c过直线y=
3 - 2 x 3 与x轴、y轴的交
点，且过（1，1），求抛物线的解析式. 3、抛物线的顶点为（－1，－4），它与x轴的两个交点间的距离为4， 求此抛物线的解析式.
小结
一般式
1、二次函数常用解析式
2、求二次函数解析式的一般方法：
.已知图象上三点坐标，通常选择一般式。
顶点式 两根式
.已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。 .已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2， 通常选择交点式。
3. 确定二次函数的解析式的关键是根据条件的特 点，恰当地选择一种函数表达式，灵活应用。
二次函数的 几种解析式及求法
求解二次函数解析式的基本思想 方法是待定系数法，根据题目给出 的具体条件，设出不同形式的解析 式，找出满足解析式的点，求出相 应的系数．
一、二次函数常用的几种解析式的确定
1、一般式 已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。 2、顶点式 已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。 3、交点式 已知抛物线与x轴的交点坐标或对称轴，选择交点式。
根据下面的条件，求二次函数的解析式：
1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）
2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5（4，0）两点，且过（1，- ）
1、已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（2，1）、 （1，-2 ）（0，5）三点，求抛物线的解析式. 2. 已知抛物线顶点是(2,-1)且过点(-1,2)， 求抛物线的解析式. 3. 图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)， 求抛物线的解析式.
怎样确定二次函数的解析式
确定二次函数的解析式一、一般方法（1）已知抛物线上三个点的坐标，最好选用一般式．例1已知抛物线经过A（0，4），B（1，3）和C（2，6）三点，求二次函数的解析式．（2）若已知条件与抛物线的顶点有关，则用顶点式比较恰当．例2已知二次函数的图象顶点为（2，3），且经过点（3，1），求这个二次函数的解析式．（3）已知抛物线与x轴两个交点的坐标，选用交点式比较简便．例3已知A（2，0），B（－1，0），C（1，－3）三个点在抛物线上，求二次函数的解析式．例4已知二次函数的图象经过点A（3，—2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式．二、利用抛物线与x轴交点间的距离求二次函数的解析式例1 已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x轴两交点间的距离为4．求二次函数的解析式．例2 已知二次函数的图象经过⎪⎭⎫⎝⎛-25,0A和)6,1(--B两点，且图象与x轴的两个交点间的距离为4．求二次函数的解析式．三、其它已知条件，灵活运用不同方法求解1、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－7x+12形状相同，顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为3，求此抛物线解析式2、.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，有最大值2，其图象在x轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
3、.如图，抛物线y=ax 2+bx+c(a>0)与x 轴交于A(1,0),B(5,0)两点，与y 轴交于M ，抛物线顶点为P ，且PB=25（1）求这条抛物线的顶点P 的坐标和它的解析式（2）△MOP （O 为坐标原点）的面积。
4、已知抛物线y=x 2－(2m －1)x+m 2－m －2 （重要提示：三角形的高要加绝对值）（1）证明抛物线与x 轴有两个不同的交点（2）分别求出抛物线与x 轴的交点A 、B 的横坐标x A ,x B ,以及与y 轴的交点C 的纵坐标y C （用含m 的代数式表示）（3）设△ABC 的面积为6，且A 、B 两点在y 轴的同侧，求抛物线的解析式。
二次函数的几种解析及求法
又 抛物线经过点B（1.5，3.05），得
a=-0.2
y 即所求抛物线为y=-0.2x²＋3.5 当x=-2.5时,代入得y=2.25
C
又2.25-1.9-0.15=0.2m
h
所以,他跳离地面的高度
为0.2m
o
x
6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如 果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．
(2)、分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时， 船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。
解： ∵
P
∴
Q
∴顶点（-6，3.6）, PQ是对称轴。
当水位为2.5米时， y = 水位+船高 =2.5+1.4 =3.9 ＞ 3.6
∴ 船不能通过拱桥。
三、应用举例
例3、将抛物线
向左平移4个单位，
再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。
解法二：顶点式 设解析式为
∵顶点C（1，4） ∴ h=1, k=4.
∴ 又∵A(-1,0)在抛物线上， ∴
∴ a = -1 ∴
即：
的图像如图所示，
三、应用举例
例1、已知二次函数
求其解析式。 解法三：交点式 设解析式为
∵抛物线与x 轴的两个交点坐标
为 A (-1,0)、B（3，0）
的图像如图所示，
∴ y = a (x+1) (x- 3) 又 C（1，4）在抛物线上
即当x= OC=1.6÷2=0.8米时， 过C点作CD⊥AB交抛物线于D点， 若y=CD≥3米，则卡车可以通过。
四、尝试练习
3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大 高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车高3米，宽1.6米， 它能否通过隧道？
九年级数学二次函数解析式的确定
的解析式。
讲例：
3、 已知：抛物线y=ax2+c的图象如图所示： y （1）求此抛物线的解析式；
（2）当x取何值时，y>0？
（3）将抛物线作怎样的一次 A -1 o -2.5 D C B 5 x
平移,才能使它与坐标轴仅有
两个交点,并写出此时抛物线
的解析式。
讲例：
3、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示： y （1）求此抛物线的解析式；
m 3 n 1
∴y=a（x-3）2+1=ax2-6ax+9a+1 ∴a-6a+9a+1=0 ……
讲例：
3、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示： y （1）求此抛物线的解析式；
（2）当x取何值时，y>0？
（3）将抛物线作怎样的一次 A -1 o -2.5 D C B 5 x
试一试：
2、把抛物线y=ax2+bx+c向下平移1个单位， 再向左平移5个单位时的顶点坐标为（-2，0）， 且a+b+c=0，求a、b、c的值。 点拔： 设原抛物线的解析式为y=a（x+m）2+n 则平移后抛物线的解析式为y=a（x+m+5）2+n-1
根据题意得： (m 5) 2
n 1 0
16 a 4b c 8 c 0
A
o C x
∴y=-x2+6x
4、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相交 于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点
及C点，（1）求直线和抛物线的解析式；（2） 3 在抛物线上是否存在点D，使S△OCD= S△OCB， 2 若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。 y （1）y=x+4 y=-x2+6x B （ 4， 8） A
十种二次函数解析式求解方法
十种二次函数解析式求解方法二次函数是一个形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a不为0。
解析式是一种表示函数的方式，它可以用来求解函数的性质和方程的解。
下面是十种二次函数解析式求解方法：1. 一般式：二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c。
通过将函数写成一般式，可以快速识别出a、b和c的值，进而求解一些重要的性质，如顶点、轴对称线、开口方向等。
2.标准式：二次函数的标准式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
通过将一般式转化为标准式，可以直观地找出顶点的坐标及与x轴的交点。
3.因式分解：有时候，二次函数的解析式可以通过因式分解的方式得到。
例如，对于函数y=x^2-5x+6，我们可以将其因式分解为y=(x-2)(x-3)，从而得到x=2和x=3是方程的解。
4.完全平方：如果二次函数的解析式可以表示为一个完全平方的形式，那么我们可以通过提取出完全平方的方式得到方程的解。
例如，对于函数y=x^2-4x+4，我们可以将其写成y=(x-2)^2的形式，从而得到x=2是方程的解。
5. 配方法：对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。
通过配方法，我们可以找到一个常数k使得ax^2 + bx + c = a(x + p)^2 + k，从而得到方程的解析式。
6.求导方法：通过对二次函数求导，我们可以得到函数的导数。
导数可以帮助我们找到函数的最值点和切线，进而求解其他问题。
7.顶点公式：二次函数的顶点公式为(h,k)，其中h=-b/(2a)，k=f(h)。
通过顶点公式，我们可以快速找到二次函数的顶点，进而求解一些重要的性质。
8. 零点公式：二次函数的零点公式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。
通过零点公式，我们可以求解二次函数的零点或解方程。
9. 判别式：二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac。
二次函数图像的变换及解析式的确定(必考)
2，解得a=2,∴抛物线的解析式为 = ሺ − ሻ − = − + .
>
/m
<
解法2：∵抛物线 = + + 的对称轴为x=2，且与x轴交于点(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴抛物线的解析式为 = ሺ −
+ ሻሺ − ሻ，把(0,3)代入，得a·3×(-1)=3，解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为 = −ሺ + ሻሺ − ሻ，
即 = − − + .
>
m
<
>
/m
<
类型8 利用平移变换求抛物线解析式
（人教九上P35例3改编）将二次函数 = 22 + 4 + 1 的图象向右平移2个
<
>
/m
<
>
m
<
>
/m
<
续表
变换形式
图象关系
点坐标变化
横坐标 互
>
m
<
关于 轴
>
m
<
>
m
<
>
/m
<
>
/m
<
为相反数，
>
/m
<
系数关系
不变
______
本质
相同
开口方向______
相 − 值______，
变号
互为____
2
反数
二次函数的解析式的确定
二次函数的解析式的确定二次函数解析式的确定二次函数的研究必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环。
本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法。
重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确地确定二次函数的解析式。
一般式y=ax^2+bx+c(a≠0)任何二次函数都可以整理成一般式y=ax^2+bx+c(a≠0)的形式。
如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式。
模块一：一般式y=ax^2+bx+c(a≠0)例1：已知二次函数的图像经过点A（-1，-5）、B（0，-4）和C（1，1）。
求这个二次函数的解析式。
解析：设二次函数为y=ax^2+bx+c，把A、B、C代入二次函数解析式，可得：a-b+c=-5a+b+c=-4a+b+c=1解得a=2，b=3，c=-4.所以这个二次函数的解析式：y=2x^2+3x-4.例2：已知二次函数y=ax^2+bx+c图像经过点（1，3）、（3，-5）和（-2，-5）。
1）求这个二次函数的解析式；2）求这个二次函数的最值。
解析：（1）把（1，3）、（3，-5）和（-2，-5）代入二次函数解析式，可得：a-b+c=39a+3b+c=-54a-2b+c=-5解得a=-1，b=2，c=3.所以这个二次函数的解析式：y=-x^2+2x+3；2）y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4，则当x=1时，函数有最大值，最大值为y=4.例3：已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点A（2，3）、B（0，3）和C（4，-5）。
1）求该抛物线的解析式；2）当x为何值时，y>3？解析：（1）把A（2，3）、B（0，3）和C（4，-5）代入二次函数解析式，可得：a+b+c=3c=316a+4b+c=-5解得a=-1，b=2，c=3.所以这个二次函数的解析式：y=-x^2+2x+3；2）将y>3代入解析式，得到-x^2+2x>0，解得13.已知二次函数的图像经过点（0，3）、（-3，-5）、（2，-3），且与x轴交于A、B两点。
确定二次函数解析式的常用方法
确定二次函数解析式的常用方法求二次函数的解析式是初中函数学习的重点,其常用方法就是待定系数法,选择什么样形式的解析式来求解,要根据题目的条件而定,下面介绍求二次函数解析式的三种常用方法：一、已知三点坐标，通常选择一般式：y=ax2+bx+c：例1、已知二次函数的图象经过三点（1，1），（-1，7），（2，4），求其解析式。
解：设二次函数的解析式y=ax2+bx+c,把三点坐标代入得：a+b+c=1 a=2a-b+c=7 解得 b=-34a+2b+c=4 c=2∴二次函数的解析式为：y=2x2-3x+2。
二、已知顶点和另一点，通常选择顶点式：y=a(x-h)2+k。
例2、已知抛物线的顶点为（-1，-3），与y轴交点为（0，-5），求此抛物线的解析式。
解：∵抛物线的顶点为(-1,-3)。
∴设其解析式为y=a(x+1)2-3。
把(0,-5)代入上式得：-5=a-3, 则a =-2∴抛物线的解析式为y=-2(x+1)2-3即：y=-2x2-4x-5，（最后要化为一般式）三、已知抛物线与x轴的两个交点A（x1,0）,B(x2,0) 和另一条件时，通常选用交点式：y=a(x-x1)(x-x2)。
例3、已知抛物线与y轴交于点A（0，3），与X轴分别交于B（1，0），C（5，0）两点，求此抛物线的解析式。
解：∵点B（1，0），C（5，0）是抛物线与X轴的交点。
∴可设其解析式为y=a(x-1)(x-5)。
把点A（0，3）坐标代入上式得：3=a(0-1)(0-5), 解得a=3/5∴所求抛物线的解析式为y=3/5（x-1 ）（x-5）即：y=3/5 x2-18/5 x+3，（最后要化为一般式）由此可以看出，求二次函数的解析式要根据题目不同条件，灵活的采用不同类型的分析式作为解题模型，这样才能提高解题效率，另外所求的解析式最后要化为一般式。
二次函数解析式的8种求法
二次函数解析式的8种求法二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉：一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ．解：由m 2+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1由m 2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3∴ m = 3 ．二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、(1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ．分析：根据给出的条件，点A 在y 轴上，所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2中的C =3，且a ≠0即可∴32++=χχy （注：答案不唯一）三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的．解：Θ253212++=χχy = ()23212-+χ， ∴二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的．这两类题目多出现在选择题或是填空题目中四、一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值；五、顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数；六、两根式已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值．例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式：1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－29） 解：1、设二次函数的解析式为：c b a ++=χχγ2，依题意得：40542a b c a b c a b c -=++⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩ 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴322--=x x y2、设二次函数解析式为：y = a ( x – h )2 + k ，Θ 图象顶点是（－2，3）∴h =－2，k =3，依题意得：5=a ( －1 + 2)2+3，解得：a =2∴y = 2( x +2)2 + 3=11822++x x3、设二次函数解析式为：y = a ( x – 1χ) ( x – 2χ)．Θ图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，∴1χ=－2，2χ=4依题意得：－29= a ( 1 +2) ( 1– 4) ∴a =21 ∴ y = 21 ( x +1) ( x – 4)=223212--x χ． 七、翻折型（对称性）：已知一个二次函数c b a ++=χχγ2，要求其图象关于x 轴对称（也可以说沿x 轴翻折）；y 轴对称及经过其顶点且平行于x 轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y = a ( x – h )2 + k 的形式．（1）关于x 轴对称的两个图象的顶点关于x 轴对称，两个图象的开口方向相反，即a 互为相反数．（2）关于y 轴对称的两个图象的顶点关于y 轴对称，两个图象的形状大小不变，即a 相同．（3）关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即a 互为相反数．例6 已知二次函数5632+-=x x y ，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于x 轴对称；（2）图象关于y 轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称．解：5632+-=x x y 可转化为2)1(32+-=x y ，据对称式可知 ①图象关于x 轴对称的图象的解析式为2)1(32---=x y ，即：5632-+-=x x y ． ②图象关于y 轴对称的图象的解析式为：2)1(32++=x y ，即：5632++=x x y ；③图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称的图象的解析式为2)1(32+--=x y ，即1632++-=x x y ．八、数形结合数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转化为几何问题，充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题，只要充分运用有关几何知识求出解析式中的待定系数，以达到目的．例7、如图，已知抛物线c b y ++-=χχ271和x 轴正半轴交与A 、B 两点，AB =4，P 为抛物线上的一点，他的横坐标为－1，∠PAO =45ο，37cot =∠PBO ．()1求P 点的坐标；()2求抛物线的解析式．解: 设P 的坐标为(－1，y )， ∵P 点在第三象限∴y ＜0，过点P 作PM ⊥X 轴于点M ． 点M 的坐标为(－1，0)|BM| = |BA |+ |AM|∵∠PAO =45ο∴ |PM | = |AM| = |y | =－y∵374cot =--==∠y y PM BM PBO ∴y = －3 ∴P 的坐标为(－1，－3)∴A 的坐标为(2，0)将点A 、点P 的坐标代如函数解析式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=-++-=c b c b 7132740 解得：87b = ； 127c =- ∴抛物线的解析式为：21812777y χχ=-+-．。
第06讲二次函数解析式的确定(5种解题方法)(原卷版)
第06讲二次函数解析式的确定（5种解题方法）1.一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠），转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值； 2.顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴直线x = h ，最值为当x = h 时，y 最值=k 来求出相应的系数. 3.交点式已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值． 4.平移变换型将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2+ k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变． 5.对称变换型根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．解法一：一般式1.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式．2.已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它考点精讲考点考向的开口方向、对称轴和顶点坐标．3.二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式．4.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式．解法二：顶点式1.设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．2.已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式．解法三：交点式1.抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（）A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣42.如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函数表达式．3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．求过A，B，C三点的抛物线的表达式；4.已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，求该二次函数的解析式．解法四：平移变换型1.将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式．2.将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．3.已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式．4.抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点，M（﹣2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移√2个单位，求平移后的解析式．解法五：对称变换型1.已知抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7．（1）二次函数的图象与已知抛物线关于y轴对称，求它的解析式；（2）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与已知抛物线关于原点对称，求a，b，c的值．2.已知二次函数y=12x2﹣3x+1（1）若把它的图象向右平移1个单位，向下平移3个单位，求所得图象的函数表达式．（2）若把它的图象绕它的顶点旋转180°，求所得图象的函数表达式．（3）若把它绕x轴翻折，求所得图象的表达式．3.已知抛物线C1:y=59(x+2)2−5的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式．4.将抛物线C1：y=18（x+1）2﹣2绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式．一、单选题1．（2021·上海杨浦·九年级三模）将抛物线2y x 向左平移2个单位后，所得新抛物线的解析式是（ ）A ．22y x =-B ．22y x =+C ．2(2)y x =-D ．2(2)y x =+2．（2021·上海九年级专题练习）将二次函数2y x 的图象向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ） A ．21y x =-B ．21y x =+C ．2(1)y x =-D ．2(1)y x =+3．（2021·上海）抛物线2(5)1y x =+-先向右平移4个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A ．21884y x x =++B ．224y x x =++C ．21876y x x =++D ．222y x x =+-4．（2021·上海静安·九年级一模）将抛物线22(1)3y x =+-平移后与抛物线22y x =重合，那么平移的方法可以是（ ）A ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位5．（2021·上海）如果将抛物线y ＝x 2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式为（ ） A ．y ＝（x ﹣1）2+2B ．y ＝（x+1）2+2C ．y ＝x 2+1D ．y ＝x 2+36．（2010·上海浦东新·七年级竞赛）如表所示，则x 与y 的关系式为（ ） x 1 2 345y 3 7 13 21 31 A ．y=4x1B ．y=x 2+x+1C ．y=（x 2+x+1）（x1）D ．非以上结论巩固提升7．（2021·上海九年级专题练习）如果A(2，n)，B(2，n),C(4，n+12)这三个点都在同一个函数的图像上，那么这个函数的解析式可能是 ( ) A ．2y x = B ．2y x=-C ．2y x =-D ．2y x二、填空题8．（2011·上海浦东新区·中考模拟）请写出一个图像的对称轴为y 轴，且经过点(2，－4)的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是____________9．（2021·上海九年级专题练习）用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图像时，列出了如下的表格：x… 0 1 2 3 4 … 2y ax bx c =++…3- 013-…那么当5x =时，该二次函数y 的值为___________．10．（2020·崇明县大同中学九年级月考）已知二次函数的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣6），并且该图象经过点（2，3）表达式为_______．11．（2020·上海市静安区实验中学）若函数2(1)y m x =+过点(1，4)，则m=_______．12．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知抛物线的顶点为()1,3-，且与y 轴交于点()0,1，则抛物线的解析式为______.13．（2021·上海九年级专题练习）如果抛物线()24y m x m =++经过原点，那么该抛物线的开口方向______．（填“向上”或“向下”）14．（2021·上海九年级专题练习）如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线1C ：2(1)1y x =--向右平移得到新抛物线2C ，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线2C 的表达式为______．15．（2021·上海青浦·九年级二模）如果将抛物线y ＝﹣x 2向下平移，使其经过点（0，﹣2），那么所得新抛物线的表达式是__________．16．（2021·上海崇明·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形OAB 的斜边OA 在x 轴上，且OA ＝4，如果抛物线y ＝ax 2+bx +c 向下平移4个单位后恰好能同时经过O 、A 、B 三点，那么a +b +c ＝_____．三、解答题17．（2021·上海宝山·九年级期中）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =+-≠经过点()()2,0,1,0A B -和点()3,D n -，与y 轴交于点C ，（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）将抛物线平移，使点C 落在点B 处，点D 落在点E 处，求ODE 的面积； （3）如果点P 在y 轴上，PCD 与ABC 相似，求点P 的坐标．18．（2021·上海宝山区·九年级三模）如图，在直角坐标平面xOy 内，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限内，且∠OAB ＝90°，∠BOA ＝30°，OB ＝4.，二次函数y ＝﹣x 2＋bx 的图象经过点A ，顶点为点C ． （1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C 的坐标；（2）设这个二次函数图象的对称轴l 与OB 相交于点D ，与x 轴相交于点E ，求DEDC的值； （3）设P 是这个二次函数图象的对称轴l 上一点，如果△POA 的面积与△OCE 的面积相等，求点P 的坐标．19．（2021·上海）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()4,0A -和点()2,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标：（2）如果点D 的坐标为()8,0-，联结AC 、DC ，求ACD ∠的正切值；（3）在（2）的条件下，点P 为抛物线上一点，当OCD CAP ∠=∠时，求点P 的坐标．20．（2017·上海杨浦区·九年级一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ． （1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值．21．（2021·上海普陀区·）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝12x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E．（1）求b、c的值和直线BC的表达式；（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．22．（2021·上海青浦·九年级二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO＋∠PEO）＝52时，求OE的长．23．（2021·上海中考真题）已知抛物线2(0)y ax c a =+≠过点(3,0),(1,4)P Q ．（1）求抛物线的解析式；轴于B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角ABC．（2）点A在直线PQ上且在第一象限内，过A作AB x①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；②若C落在抛物线上，求C的坐标．。
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二次函数解析式的确定2
〈一〉三点式。
1， 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点， 求抛物线的解析式。
2， 已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。
〈二〉顶点式。
1， 已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。
2， 已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。
〈三〉交点式。
1， 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2， 已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=2
1a(x-2a)(x-b)的解析式。
〈四〉定点式。
1， 在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线222
5212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ， 直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。
2，抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。
〈五〉平移式。
1，把抛物线y= -2x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。
2，抛物线3
2-
x
y向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.
-
=x
+
〈六〉距离式。
1，抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
2，已知抛物线y=m x2+3mx-4m(m﹥0)与x轴交于A、B两点，与轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。
〈七〉对称轴式。
1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距
离的2倍，求抛物线的解析式。
2、已知抛物线y=-x2+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交y轴于点
3OC，求此抛物线的解析式。
C,且OB-OA=
4
〈八〉对称式。
1，平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。
AD交y 轴于E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。
2，求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。
〈九〉切点式。
1，已知直线y=ax-a2(a≠0) 与抛物线y=mx2有唯一公共点，求抛物线的解析式。
2，直线y=x+a 与抛物线y=ax2 +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。
〈十〉判别式式。
1、已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，
求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。