怎样确定二次函数的解析式
怎样确定二次函数的解析式
确定二次函数的解析式一、一般方法（1）已知抛物线上三个点的坐标，最好选用一般式．例1已知抛物线经过A（0，4），B（1，3）和C（2，6）三点，求二次函数的解析式．（2）若已知条件与抛物线的顶点有关，则用顶点式比较恰当．例2已知二次函数的图象顶点为（2，3），且经过点（3，1），求这个二次函数的解析式．（3）已知抛物线与x轴两个交点的坐标，选用交点式比较简便．例3已知A（2，0），B（－1，0），C（1，－3）三个点在抛物线上，求二次函数的解析式．例4已知二次函数的图象经过点A（3，—2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式．二、利用抛物线与x轴交点间的距离求二次函数的解析式例1 已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x轴两交点间的距离为4．求二次函数的解析式．例2 已知二次函数的图象经过⎪⎭⎫⎝⎛-25,0A和)6,1(--B两点，且图象与x轴的两个交点间的距离为4．求二次函数的解析式．三、其它已知条件，灵活运用不同方法求解1、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－7x+12形状相同，顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为3，求此抛物线解析式2、.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，有最大值2，其图象在x轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
3、.如图，抛物线y=ax 2+bx+c(a>0)与x 轴交于A(1,0),B(5,0)两点，与y 轴交于M ，抛物线顶点为P ，且PB=25（1）求这条抛物线的顶点P 的坐标和它的解析式（2）△MOP （O 为坐标原点）的面积。
4、已知抛物线y=x 2－(2m －1)x+m 2－m －2 （重要提示：三角形的高要加绝对值）（1）证明抛物线与x 轴有两个不同的交点（2）分别求出抛物线与x 轴的交点A 、B 的横坐标x A ,x B ,以及与y 轴的交点C 的纵坐标y C （用含m 的代数式表示）（3）设△ABC 的面积为6，且A 、B 两点在y 轴的同侧，求抛物线的解析式。
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种基本方法四川 倪先德二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式： 1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
二次函数解析式的8种求法
二次函数解析式的8种求法河北 高顺利二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉：一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ．解：由m 2+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1由m 2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3∴ m = 3 ．二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、(1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ．分析：根据给出的条件，点A 在y 轴上，所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2中的C =3，且a ≠0即可∴32++=χχy （注：答案不唯一）三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的．解： 253212++=χχy = ()23212-+χ， ∴二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的．这两类题目多出现在选择题或是填空题目中四、一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值；五、顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数；六、两根式已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值．例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式：1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－29） 解：1、设二次函数的解析式为：c b a ++=χχγ2，依题意得：40542a b c a b c a b c -=++⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩ 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴322--=x x y2、设二次函数解析式为：y = a ( x – h )2 + k ， 图象顶点是（－2，3）∴h =－2，k =3， 依题意得：5=a ( －1 + 2)2+3，解得：a =2∴y = 2( x +2)2 + 3=11822++x x3、设二次函数解析式为：y = a ( x – 1χ) ( x – 2χ)．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，∴1χ=－2，2χ=4依题意得：－29= a ( 1 +2) ( 1– 4) ∴a =21 ∴ y = 21 ( x +1) ( x – 4)=223212--x χ． 七、翻折型（对称性）：已知一个二次函数c b a ++=χχγ2，要求其图象关于轴对称（也可以说沿轴翻折）；轴对称及经过其顶点且平行于轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y = a ( x – h )2 + k 的形式．（1）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的开口方向相反，即互为相反数．（2）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的形状大小不变，即相同．（3）关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即互为相反数．例6 已知二次函数，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于轴对称；（2）图象关于轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称．x x y x x x a y y ax a 5632+-=x x y x y x解：可转化为，据对称式可知 ①图象关于轴对称的图象的解析式为， 即：． ②图象关于轴对称的图象的解析式为：，即：；③图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的图象的解析式为，即．八、数形结合数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转化为几何问题，充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题，只要充分运用有关几何知识求出解析式中的待定系数，以达到目的．例7、如图，已知抛物线c b y ++-=χχ271和x 轴正半轴交与A 、B 两点，AB =4，P 为抛物线上的一点，他的横坐标为－1，∠PAO =45 ，37cot =∠PBO ．()1求P 点的坐标；()2求抛物线的解析式．解: 设P 的坐标为(－1，y )， ∵P 点在第三象限∴y ＜0，过点P 作PM ⊥X 轴于点M ． 点M 的坐标为(－1，0)|BM| = |BA |+ |AM|5632+-=x x y 2)1(32+-=x y x 2)1(32---=x y 5632-+-=x x y y 2)1(32++=x y 5632++=x x y x 2)1(32+--=x y 1632++-=x x y∵∠PAO =45∴ |PM | = |AM| = |y | =－y ∵374cot =--==∠y y PM BM PBO ∴y = －3∴P 的坐标为(－1，－3)∴A 的坐标为(2，0)将点A 、点P 的坐标代如函数解析式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=-++-=c b c b 7132740 解得：87b = ； 127c =- ∴抛物线的解析式为：21812777y χχ=-+-．。
二次函数三种解析式的求法
二次函数三种解析式的求法二次函数是高中数学中的重要概念，它的解析式有三种常见的求法。
本文将分别介绍这三种求法，并且给出相应的例题加以说明。
第一种求法是通过顶点坐标和另一点坐标来确定二次函数的解析式。
二次函数的标准形式为f(x) = a(x-h)² + k，其中(h,k)为顶点坐标。
假设已知顶点坐标为(h,k)，另一个已知点的坐标为(x₁,y₁)，我们可以将这两个点的坐标代入二次函数的标准形式，得到两个方程：k = a(x-h)²y₁ = a(x₁-h)² + k通过解方程组，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。
例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，我们可以代入上述方程组进行求解。
将顶点坐标代入第一个方程，可得：3 = a(2-(-1))²解得a = 1/3。
然后将a的值代入第二个方程，可得：5 = (1/3)(2-(-1))² + 3化简后得到二次函数的解析式为f(x) = (1/3)(x+1)² + 3。
第二种求法是通过顶点坐标和对称轴与顶点的距离来确定二次函数的解析式。
对称轴与顶点的距离等于顶点的纵坐标的绝对值，即|k|。
假设已知顶点坐标为(h,k)，对称轴与顶点的距离为|k|，我们可以将这些信息代入二次函数的标准形式，得到方程：f(x) = a(x-h)² + k代入|k|，可得：f(x) = a(x-h)² + |k|通过解这个方程，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。
例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，对称轴与顶点的距离为3。
我们可以代入上述方程进行求解。
将顶点坐标代入方程，可得：5 = a(2-(-1))² + 3化简后得到a = 1/3。
然后将a的值代入方程，可得：f(x) = (1/3)(x+1)² + 3这就是二次函数的解析式。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。
下面将详细介绍这四种方法。
方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。
对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。
1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。
其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。
所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。
方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。
1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
二次函数的解析式
二次函数的解析式二次函数的解析式是一个用来表示二次函数的数学公式。
二次函数是一种具有二次项的函数，通常表示为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c是实数且a≠0。
二次函数的解析式是一个多项式，含有x的各次方和常数项。
它可以通过不同方法得到，如配方法、公式法、图像法等。
一、配方法通过将二次函数展开成平方完成的形式，即将二次项与线性项配对，来得到解析式。
假设有二次函数f(x) = ax² + bx + c，通过配方法可以将其转化为完全平方的形式，即f(x) = a(x + p)² + q，其中p、q是实数。
要使用配方法，首先要考虑二次项的系数a。
如果a=1或-a=1，则可以通过找到一个常数p使得线性项系数等于2*p*常数项系数来实现配对。
例如，当a=1时，二次函数可以表示为f(x) = x² + bx + c，我们可以令p = b/2，得到f(x) = (x + b/2)² - (b/2)² + c。
当a≠1时，我们可以通过将二次函数中的a因式提取出来，再利用配对方法得到解析式。
二、公式法二次函数的解析式还可以通过应用求根公式来得到。
求根公式是指利用二次函数的系数计算出它的两个解的公式。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，我们可以使用求根公式x = (-b ±√(b² - 4ac))/(2a) 来求解。
以解析式的形式表达，可以分为两种情况：1. 当二次函数有两个不相等的实数解时，解析式可以表示为f(x) =a(x - x₁)(x - x₂)，其中x₁和x₂是函数的两个实数解。
2. 当二次函数有一个实数解时，解析式可以表示为f(x) = a(x - x₁)²，其中x₁是函数的实数解。
三、图像法我们也可以通过观察二次函数的图像来得到解析式。
图像法可以通过观察二次函数的顶点、开口方向以及与x轴的交点等信息来确定解析式。
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
二次函数解析式的方法
二次函数解析式的方法
二次函数是高中数学中的一个重要概念。
它是一种二次方程，通常用y=ax+bx+c的形式表示。
其中，a、b、c是常数，a不等于0。
求解二次函数的解析式可以使用以下方法：
1. 完全平方公式：将二次函数的一般式y=ax+bx+c转化为顶点式y=a(x-h)+k，其中(h,k)为顶点坐标。
这个转化可以使用完全平方公式完成，即将x+bx部分平方，得到(x+ b/2a)- (b-4ac)/4a，再乘以a后，得到y=a(x+ b/2a)- (b-4ac)/4a。
2. 配方法：当二次函数的a不为1时，可以使用配方法将其转化为一个完全平方的形式。
具体来说，对于y=ax+bx+c，我们可以先将a提出来，得到y=a(x+ bx/a+c/a)，然后将x+ bx/a部分配方，即将它写成(x+b/2a)- (b-4ac)/4a的形式。
这样，原来的二次函数就可以表示为y=a(x+b/2a)- (b-4ac)/4a+c。
3. 公式法：对于已知二次函数的解析式y=ax+bx+c，我们可以使用求根公式来求解它的两个解。
根据二次方程的求根公式，
y=ax+bx+c的解析式可以表示为x=(-b±√(b-4ac))/2a。
以上三种方法都可以求解二次函数的解析式，具体使用哪种方法取决于具体情况。
在解决实际问题时，可以根据需要选择合适的方法，以便更准确地求解问题。
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怎样确定二次函数的解析式
作者：赵春祥
来源：《初中生(三年级)》2006年第12期
数学思想和方法是数学的灵魂，是知识转化为能力的桥梁. 信息社会越来越多地要求人们自觉运用数学思想提出问题和解决问题．近几年的中考数学试题，越来越注重数学思想和数学方法的考查．为了更好地理解和掌握常用的数学思想和数学方法，特用一道抛物线中考题说明．
例 (2006年烟台市中考题)如图，已知抛物线l1：y = x2-4的图像与x有交于A、C两点．
(1)若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；
(2)若点B是抛物线l1上的一动点(B不与A、C重合)，以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；
(3)探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由．
解：(1)设l2的解析式为y = a(x－h)2＋k，
∵l1与x轴的交点A(－2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(0，－4)，l1与l2关于x轴对称，
∴l2过A(－2，0)，C(2，0)，顶点坐标是（0，4），
∴y = ax2＋4.
∴0 = 4a＋4，解得a =－1.
∴l2的解析式为y=－x2＋4．
(2)设B(x1，y1)，
∵点B在l1上，∴B(x1 ，x21－4).
∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称，
∴B、D关于O对称.
∴D(－x1，－x21＋4)．
将D(－x1，－x21＋4)的坐标代入l2：y =－x2＋4，左边=右边，
∴点D在l2上．
(3)设平行四边形ABCD的面积为S，则S=2×S△ABC=AC·|y1|= 4|y1|．
①当点B在x轴上方时，y1＞0，S = 4y1，
它是关于y的正比例函数，且S随y的增大而增大，
∴S既无最大值也无最小值．
②当点B在x轴下方时，－4≤y1＜0，
∴S =－4y1，它是关于y的正比例函数，且S随y1的增大而减小，
∴当y1=－4时，S有最大值16，但没有最小值．
此时B(0，－4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上．
∴AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，此时S的最大值为16．
评点：（1）函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析式，那么这个表达式就可看作一个方程，这样，许多函数的问题可以用方程的方法来解决. 此例的⑴求参数a的过程，就是典型的函数与方程思想．函数与方程思想是初中数学中最基本的却又是最重要的思想之一，在中考考查中占有非常重要的地位．
（2）在解题过程中，解到某一步时(比如此例中(3)的y1)，不能再以统一的方法、统一的形式继续进行，因为这时被研究的问题中包含了多种可能情形，必须确定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使大问题得到解决，这就是分类讨论的思想．
（3）对于(3)，它以“是否存在”的形式出现，在假设存在的前提下，根据题设条件和结论进行推理，若得到合理的结果，即予肯定；若出现矛盾，可否定假设，得出相应的结论．对于结论不确定的问题，常以适合某种性质的结论“是否存在”的形式出现．“存在”就是有适合某种条件或符合某种性质的对象［比如此例(3)中，当点B在x轴下方时，－4≤y1＜0］．“不存在”就是无论用什么方法都找不出一个适合某种已知条件或性质的对象，这类问题一般需要推理论
证［比如此例(3)中，当点B在x轴上方时，y1＞0］．“是否存在”结论有两种：一种是可能存在；另一种是不存在，则需要说明理由．作为开放型问题，必须用探索思想去处理它．
一道考题考查了三种数学思想与方法，可见数学思想与方法在中考试卷中的地位．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。