二次函数解析式的确定教案
求二次函数的解析式优秀教案
§26.2.3求二次函数解析式（一）一、教学目标知识与技能目标：1．通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，理解二次函数的三种表达式.2. 能根据不同的条件正确选择表达式,利用待定系数法求二次函数的表达式.方法与过程目标：让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法.情感、态度与价值观：通过学习，让学生养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。
从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣.二、教学重难点重点：求二次函数的函数关系式.难点：根据不同的条件正确选择表达式三、教学过程（一）问题引入1.问题：如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？2.揭示课题（二）温故而知新1.二次函数常见的几种表达方式①一般式②顶点式转化顶点坐标③交点式2.求函数表达式的常见方法是什么？用待定系数法求函数表达式的基本步骤有哪些？(三)探究新知例1．已知二次函数的图象过A（0，1），B（2，4），C（3，10）三点，求这个二次函数解析式.变式练习：已知某抛物线是由抛物线y=x2-x-2平移得到的，且该抛物线经过点A（1，1）， B（2，4），求其函数关系式.例2．已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的表达式．变式练习：已知某抛物线经过点（2， -1）和（ - 1，5）两点，且关于直线x= 1对称，求此二次函数的表达式.例 3.已知二次函数的图象与x轴交于(2,0) 、(-1,0)两点，且过点(0,-2)，求此二次函数的表达式.(四)能力提升抛物线的图像经过（0，0）与（12，0）两点，且顶点的纵坐标是3，求它的函数表达式.(五)课堂小结在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．（1）特殊的一般式：y=ax2，已知顶点经过原点.（2）一般式： y=ax2+bx+c ，已知三点坐标或三组值.（3）顶点式： y=a(x-h)2+k ，已知顶点坐标或对称轴或最值.（4）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，已知抛物线与x轴的两个交点坐标，并经过另外一个点.(六)解决问题如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？(七)巩固练习1.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的表达式．①已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）；②已知抛物线的顶点是(－1, －2),且过点（1，10）；③已知抛物线过三点：(0, －2), （1，0）,（2，3）．2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过三点：（－1，－1）、（0，－2）、（1，1）．①求这条抛物线所对应的二次函数表达式；②写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？3.将抛物线向下平移1个单位，再向右平移4个单位，求所得抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标.4.如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系.求（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高3米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？(八)布置作业1. 巩固练习2.书第16页4.5题(九)教学反思3212+--=xxy。
《确定二次函数的表达式》(优秀教案)
4.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考的能力、勇于创新的精神，以及良好的学习习惯。
重点
难点
1.学会用特定系数法确定二次函数的表达式。
2.灵活选用三种表达形式来确定二次函数的表达式，解决实际问题。
关键
问题
1.掌握二次函数解析式的三种不同表达形式。
2.学生能够在小组内畅所欲言，进行有序有效的交流，并在同伴交流时认真倾听，做好记录；
3.学科长组织组员围绕任务目标热烈讨论，及时进行修改，统一认识，做好展示准备
展示交流
规范评价
15---20
min
创设展示交流情境
1.每个小组上台，按问题顺序进行展示交流，解决问题；
2.要求学生规范上台讲解展示的语言，强调生生互动，激发学生质疑的热情；
《确定二次函数的表达式》课堂学习过程设计
上课
年级
九年级
学科：数学
主题
确定二次函数的表达式
指导教师
学生主持
第几
课时
1
课型
问题综合解决评价课
学习日期
学习
目标
知识技能：
1.掌握二次函数解析式的三种不同表达形式。
2.学会用特定系数法确定二次函数的表达式。
过程方法：
3.经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识。
1.学生主持呈现学习目标，学生展读学习目标；
2.学生主持呈现学生生成问题；
3.希望学生能积极进入状态，准备讨论问题。
自主学习
合作讨论
8---12
min
创设讨论
学习情境
1.教师巡回检查指导；
用待定系数法求二次函数的解析式教案
用待定系数法求二次函数的解析式教案用待定系数法求二次函数的解析式教案(1)年级九年级课题 26.1 用待定系数法求二次函数的解析式教学媒体多媒体教学目标知识技能会用待定系数法求二次函数解析式.过程方法根据条件恰当设二次函数解析式形式，体会二次函数解析式之间的转换.情感态度体会学习数学知识的价值，提高学生学习的兴趣.教学重点运用待定系数法求二次函数解析式.教学难点根据条件恰当设二次函数解析式形式.教学过程设计教学程序及教学内容一、情境引入已知一次函数图像上的两点的坐标，可以利用待定系数法求出它的解析式，要求二次函数的解析式，需要知道抛物线上几个点的坐标?应该怎样求出二次函数解析式?引出课题：用待定系数法求二次函数的解析式.二、探究新知1.二次函数中有几个待定系数?需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来?抛物线经过点(-1，10)，(1，4)，(2, 7)，求出这个二次函数的解析式。
得到：已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.二次函数中有几个待定系数?需要知道图像上几个点的坐标才能求出来?抛物线的顶点坐标为(1, 2)，点(1，-1)也在图像上，能求出它的函数解析式吗?得到：知道抛物线的顶点坐标，可以设函数解析式是先代入顶点坐标(1, 2)得到，再代入点(1，-1)即可得到的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫顶点式.用待定系数法求二次函数的解析式教案(2)《用待定系数法求二次函数解析式》教学案例《用待定系数法求二次函数解析式》，“待定系数法”是数学思想方法中的一种重要的方法，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.学生对于“待定系数法”的学习渗透在不同的学习阶段，在初中七、八年级学生学习了正比例函数、反比例函数、一次函数时已经初步学会了用待定系数法求函数解析式;.因此这节课的学习既是前面知识的延续和深化，又为后面的学习奠定基础，起着承前启后的作用.另外，待定系数法作为解决数学实际问题的基本方法和重要手段，在其他学科中也有着广泛的应用.一.教学目标：1、理解二次函数的三种不同形式，并选择恰当的形式用待定系数法确定其解析式。
2.3 确定二次函数的表达式 教案
一、情境导入一副眼镜镜片的下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y 轴对称，如图．AB ∥x 轴，AB ＝4cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1cm ，BD ＝2cm.你能确定右轮廓线DFE 所在抛物线的函数解析式吗？二、合作探究探究点：用待定系数法确定二次函数解析式 【类型一】 已知顶点坐标确定二次函数解析式已知抛物线的顶点坐标为M (1，－2)，且经过点N (2，3)，求此二次函数的解析式．解析：因为抛物线的顶点坐标为M (1，－2)，所以设此二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2－2，把点N (2，3)代入解析式解答．解：已知抛物线的顶点坐标为M (1，－2)，设此二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2－2，把点N (2，3)代入解析式，得a －2＝3，即a ＝5，∴此函数的解析式为y ＝5(x －1)2－2.方法总结：若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第9题 【类型二】 已知三个点确定二次函数解析式已知：抛物线经过A (－1，8)、B (3，0)、C (0，3)三点． (1)求抛物线的表达式；(2)写出该抛物线的顶点坐标．解析：(1)设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，再把A 、B 、C 三点坐标代入得到关于a 、b 、c 的方程组，然后解方程组求出a 、b 、c 即可；(2)把(1)中的解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝8，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3；(2)y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)．方法总结：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型三】 已知两交点或一交点和对称轴确定二次函数解析式已知下列抛物线满足以下条件，求各个抛物线的函数表达式． (1)抛物线经过两点A (1，0)，B (0，－3)，且对称轴是直线x ＝2；(2)抛物线与x 轴交于(－2，0)，(4，0)两点，且该抛物线的顶点为(1，－92)．解析：(1)可设交点式y ＝a (x －1)(x －3)，然后把B 点坐标代入求出a 即可；(2)可设交点式y ＝a (x ＋2)(x －4)，然后把点(1，－92)代入求出a 即可．解：(1)∵对称轴是直线x ＝2，∴抛物线与x 轴另一个交点坐标为(3，0)．设抛物线解析式为y ＝a (x －1)(x －3)，把B (0，－3)代入得a (－1)×(－3)＝－3，解得a ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝－(x －1)(x －3)＝－x 2＋4x －3；(2)设抛物线解析式为y ＝a (x ＋2)(x －4)，把(1，－92)代入得a (1＋2)×(1－4)＝－92，解得a ＝12，所以抛物线解析式为y ＝12(x ＋2)(x －4)＝12x 2－x －4.方法总结：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型四】 二次函数解析式的综合运用如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (－4，－3)，与y 轴交于点B ，对称轴是x ＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若和x 轴平行的直线与抛物线交于C ，D 两点，点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，求△BCD 的面积．解析：(1)把点A (－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，根据对称轴是x ＝－3，求出b ＝6，即可得出答案；(2)根据CD ∥x 轴，得出点C 与点D 关于x ＝－3对称，根据点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，求出点C 的横坐标和纵坐标，再根据点B 的坐标为(0，5)，求出△BCD 中CD 边上的高，即可求出△BCD 的面积．解：(1)把点A (－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，∴c －4b ＝－19.∵对称轴是x ＝－3，∴－b2＝－3，∴b ＝6，∴c ＝5，∴抛物线的解析式是y ＝x 2＋6x ＋5；(2)∵CD ∥x 轴，∴点C 与点D 关于x ＝－3对称．∵点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，∴点C 的横坐标为－7，∴点C 的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B 的坐标为(0，5)，∴△BCD 中CD 边上的高为12－5＝7，∴△BCD 的面积＝12×8×7＝28.方法总结：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象和性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 三、板书设计确定二次函数的表达式1．运用顶点式确定二次函数解析式 2．运用三点式确定二次函数解析式 3．运用交点式确定二次函数解析式。
确定二次函数的解析式
§5.7 确定二次函数的解析式高密市姜庄中学 曹桂芹一、教学目标：1、通过确定二次函数解析式的过程，让学生体会求二次函数表达式的思想方法，培养学生数学应用意识。
2、会利用待定系数法求二次函数的解析式。
二、教学重点:能够利用待定系数法求二次函数的解析式.三、教学难点:会根据已知条件，选择恰当的方法确定二次函数解析式四、教学过程:（一）知识回顾：二次函数的两种形式两种函数形式：{22(()(y ax bx c y a x h k =++=-+一般式）顶点式）（二）探索新知：例1：已知抛物线2y ax bx c =++过（-1,0），（3,0），（0，3-2）三点，求此抛物线的解析式。
分析：要求二次函数解析式，已知三个点的坐标，可是一般式，列出一个三元一次方程组求出a 、b 、c 的值即可。
教法：教师在黑板上完整的完成这个例题的解答过程，目的是为学生做好示范。
（三）练习：1 、二次函数的图像如图所示，这个函数的解析式为（ ）2222:-23-2-3:--23:-23A y x xB y x xC y x xD y x x =++==+=--： 2、二次函数2y x bx c =++的图像经过A(-2，-3)与B(2，5).求：①这个二次函数的解析式②这个二次函数图像对称轴方程。
例2：二次函数的图像的顶点坐标是（-1，-6），并且图像经过点（2,3），求这个函数的解析式。
分析：此题已知顶点坐标，可设顶点式，再代入求值即可。
教法：由学生上黑板板演，对照学生的解答过程，教师再补充完善，让学生清楚此类题目的解答方法。
（四）对应练习：1、已知二次函数y ax bx c =++2的图象的顶点为（1，-92），且经过点（－2，0），求该二次函数的函数关系式。
（五）拓展延伸：1、如图，抛物线2-y x sx n =++经过点A （1,0），与y 轴的交点为B ，①求抛物线的解析式；②P 是y 轴正半轴上一点，且ΔPAB 是以AB 为腰的等腰三角形，试求点P 的坐标。
九年级同步第18讲：二次函数解析式的确定(教案教学设计导学案)
二次函数的学习必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环．本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法，重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确的确定二次函数的解析式．1、一般式（）（1）任何二次函数都可以整理成一般式（）的形式；（2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式．【例1】已知二次函数的图像经过点A（，）、B（0，）和C（1，1）．求这个二次函数的解析式．【难度】★【答案】【解析】【例2】已知二次函数图像经过点（0，3）、（3，0）、（，）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的最值．【难度】★★【答案】【解析】【例3】已知抛物线经过点A（2，3）、B（0，3）、C（4，）．（1）求该抛物线的解析式；（2）当x为何值时，？【难度】★★【答案】【解析】【例4】已知二次函数的图像经过点（0，3）、（，0）、（2，），且与x轴交于A、B两点．（1）试确定该二次函数的解析式；（2）判定点P（，3）是否在这个图像上，并说明理由；（3）求的面积．【难度】★★【答案】【解析】1、顶点式（）（1）任何二次函数经过配方都可以整理成（）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（，k）为抛物线的顶点坐标；（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；（3）对于任意的二次函数，都可以配方为：的形式．【例5】抛物线的顶点坐标是（1，），则b = ______，c = ______．【难度】★【答案】【解析】【例6】已知抛物线的顶点坐标为（4，），与y轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式．【难度】★【答案】【解析】【例7】如果，，，，那么抛物线经过第__________象限．【难度】★★【答案】【解析】【例8】已知二次函数的图像过点（1，5），且当x= 2时，函数有最小值3，求该二次函数的解析式．【难度】★★【答案】【解析】【例9】已知二次函数的图像的顶点坐标为A（2，1）且图像与x轴的两个交点为B、C（点B在点C的左侧），若是等腰直角三角形，求这个二次函数的解析式．【难度】★★【答案】【解析】【例10】已知抛物线过点（3，2）、（0，5）两点，且以直线x = 2为对称轴，求此抛物线的解析式．【难度】★★★【答案】【解析】1、交点式（）（1）交点式：（），其中x1，x2为二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标；（2）已知二次函数与x轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式；（3）已知二次函数与x轴的交点坐标（x1，0）、（x2，0），可知其对称轴为；（4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x1，a）、（x2，a），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为；（5）对于任意二次函数，当时，即，根据一元二次方程的求根公式可得：、；（6）对称式：（），当抛物线经过点（x1，k）、（x2，k）时，可以用对称式来求解二次函数的解析式．【例11】已知二次函数的图像经过点（，0）、（1，0），且与y轴的交点的纵坐标为3，求这个二次函数的解析式．【难度】★【答案】【解析】【例12】已知二次函数的图像经过点M（，0）、N（4，0）、P（1，）三点，求这个二次函数的解析式．【难度】★★【答案】【解析】【例13】已知二次函数的图形与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0），且函数有最小值，求二次函数的解析式．【难度】★★【答案】【解析】【例14】已知抛物线，当x = 3时，抛物线有最高点，最高点的纵坐标为1，且图像与x 轴的两个交点之间的距离为2，求这个抛物线的解析式．【难度】★★【答案】【解析】【例15】抛物线经过（0，3）、（12，3），其顶点的纵坐标为6，求这个抛物线的解析式．【难度】★★【答案】【解析】【例16】已知二次函数的图像与x轴交于点A（，0）、B（4，0），与y轴交于点C，且，求二次函数的解析式．【难度】★★★【答案】【解析】1、几种特殊的二次函数解析式之间的平移关系：2、二次函数的平移（1）将二次函数左右平移：向左平移m个单位，函数解析式变为；向右平移m个单位，函数解析式变为．（2）将二次函数上下平移：向上平移n个单位，函数解析式变为；向下平移n个单位，函数解析式变为．（3）通常，在平移前，将二次函数化成的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．【例17】把抛物线向右平移4个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式为，求原来抛物线的解析式．【难度】★★【答案】【解析】【例18】怎样平移抛物线，才能使它经过点M（，2）和N（1，）两点？【难度】★★【答案】【解析】【例19】已知二次函数的图象的顶点坐标为A（1，），且经过点（2，）．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数的图象向左平移几个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点？并求平移后图象对应的二次函数的解析式．【难度】★★【答案】【解析】【例20】如图，已知经过原点的抛物线与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．（1）求点A的坐标，并判断的形状（不要求说明理由）；（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并求出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）设的面积为S，求S关于m的关系式．【难度】★★★【答案】【解析】【例21】如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线与x轴相交于点B，连结OA，抛物线从点O沿OA方向平移，与直线交于点P，当顶点M运动到点A时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m．○1用m的代数式表示点P的坐标；○2当m为何值时，线段PB最短．【难度】★★★【答案】【解析】1、关于x轴对称：关于x轴对称后，得到的解析式是；关于x轴对称后，得到的解析式是．2、关于y轴对称：关于y轴对称后，得到的解析式是；关于y轴对称后，得到的解析式是．【例22】如果二次函数的图象与已知二次函数的图象关于y轴对称，那么这个二次函数的解析式是（）A． B． C． D．【难度】★★【答案】【解析】【例23】二次函数的图象关于轴对称，则的值为（）A．0 B．3 C．1 D．0或3 【难度】★★【答案】【解析】【例24】已知一个二次函数的图象经过点A（1，4）．（1）求b的值；（2）求抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式．【难度】★★【答案】【解析】【例25】已知二次函数与的图象关于轴对称，求的值．【难度】★★【答案】【解析】1、关于原点对称：关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是．2、关于顶点对称：关于顶点对称后，得到的解析式是；关于y轴对称后，得到的解析式是．3、关于点（p，q）对称：关于点（p，q）对称后，得到的解析式是．【例26】函数与的图象关于______轴对称，也可以认为是函数的图象绕______旋转______得到的．【难度】★【答案】【解析】【例27】二次函数的图象关于原点O对称的图象的解析式是__________．【难度】★★【答案】【解析】【例28】抛物线的图象关于其顶点对称的抛物线的解析式是__________．【难度】★★【答案】【解析】【例29】二次函数的图象关于点A（2，0）对称的图象的解析式是_________．【难度】★★【答案】【解析】【例30】如图，已知抛物线：，抛物线与关于点（1，0）中心对称，与相交于A，B 两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且MNx轴．（1）求抛物线的表达式；（2）求线段MN长度的最大值．【难度】★★★【答案】【解析】【习题1】二次函数的图像经过（1，）、（，0）、（，5），求二次函数的解析式．【难度】★【答案】【解析】【习题2】已知抛物线的顶点为（，3），且过点（，5），求抛物线的解析式．【难度】★【答案】【解析】【习题3】已知二次函数的图像与x轴交于点（，0）和（4，0），且过点（1，），求二次函数的解析式．【难度】★【答案】【解析】【习题4】把二次函数的图象经过翻折、平移得到二次函数的图象，下列对此过程描述正确的是（）A．先沿y轴翻折，再向下平移6个单位B．先沿y轴翻折，再向左平移6个单位C．先沿x轴翻折，再向左平移6个单位D．先沿x轴翻折，再向右平移6个单位【难度】★★【答案】【解析】【习题5】把抛物线沿轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q（3，0），求平移后的抛物线的解析式．【难度】★★【答案】【解析】【习题6】已知二次函数与二次函数形状相同，开口方向相反，且其图像的对称轴为直线x = 1，且经过点（2，），求此二次函数的解析式．【难度】★★【答案】【解析】【习题7】二次函数图像的对称轴为直线x= 1，函数的最小值为，抛物线与x轴两个交点之间的距离为4，求函数的解析式（用三种不同的方法）．【难度】★★【答案】【解析】【习题8】在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知，，点A的坐标为（，1）．求：（1）点B的坐标；（2）图像经过A、O、B三点的二次函数的解析式和这个函数图像的顶点坐标．【难度】★★【答案】【解析】【习题9】如图，把抛物线（虚线部分）向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于y轴对称．点A、O、B分别是抛物线、与x轴的交点，D、C分别是抛物线、的顶点，线段CD交y轴于点E．（1）分别写出抛物线与的解析式；（2）设P是抛物线上与D、O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P、Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由．（3）在抛物线上是否存在点M，使得，如果存在，求出M点的坐标；如果不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】【习题10】如图，平行四边形ABCD中，AB= 4，点D的坐标是（0，8），以点C 为顶点的抛物线经过x轴上的点A、B．（1）求点A、B、C的坐标；（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．【难度】★★★【答案】【解析】【作业1】已知二次函数的图像经过点A（3，6）、B（，）、C（0，），求二次函数的解析式．【难度】★【答案】【解析】【作业2】已知抛物线的顶点为（1，），且与y轴交于点（0，），求抛物线的解析式．【难度】★【答案】【解析】【作业3】已知抛物线与x轴交于点（，0）和（5，0），且与y轴交点的纵坐标为，求抛物线的解析式．【难度】★【答案】【解析】【作业4】一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到抛物线，则平移前抛物线的解析式为_________________．【难度】★★【答案】【解析】【作业5】在平面直角坐标系中，先将抛物线关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A．B．C．D．【难度】★★【答案】【解析】【作业6】二次函数图像的顶点为（1，2），且与直线y = 2x + k相交于点（2，）．求：（1）二次函数的解析式；（2）该二次函数的图像与直线y = 2x + k的另一交点的坐标．【难度】★★【答案】【解析】【作业7】把抛物线向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到的抛物线经过点（1，3）和（4，9），求p、q的值．【难度】★★【答案】【解析】【作业8】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数的图像经过B、C两点．（1）求该二次函数的解析式；（2）求当时，x的取值范围．【难度】★★【答案】【解析】【作业9】已知二次函数的图象过A（2，0），且与直线相交于B、C两点，点B在x 轴上，点C在y轴上．（1）求二次函数的解析式；（2）如果P（m，n）是线段BC上的动点，O为坐标原点，试求的面积与m之间的函数关系式，并求自变量的取值范围．【难度】★★★【答案】【解析】【作业10】如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点A和点B分别在x轴的正、负半轴上），．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线l与抛物线交于点E、F（点F在点E的左边），如果四边形OBFE是平行四边形，求点E的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】。
初中数学_确定二次函数的解析式教学设计学情分析教材分析课后反思
3.5确定二次函数的解析式一、教材内容分析本节内容是义务教育课程标准实验教科书数学（鲁教版）九年级下册第三章第5节《确定二次函数的表达式》. 本节课是在学习二次函数的表达式和图像性质的基础上展现，目的为二次函数的的实际应用奠基，是本章学习的关键点.本节课既要承接上一节课的数形结合的数学思想，又要能够根据实际问题抽象数学模型，用待定系数法求解二次函数表达式，学生能够根据条件灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.二、教学目标本节课的教学目标知识与技能：能够根据二次函数的图像和性质建立合适的直角坐标系，确定函数关系式，并会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式.过程与方法：经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法.情感、态度与价值观：能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，培养学生积极参与的意识，加深学生在生活中学数学，将数学知识服务于生活的学习理念，养成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯，激发和调动学生学习的积极性和主动性，培养数学的应用意识.三．教学重难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.四、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：五、教学过程教师：欢迎大家走进今天的数学课堂。
这节课我们来学习确定二次函数的解析式，首先来看我们的学习目标。
（出示学习目标）第一环节 复习引入一．我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b (k,b 为常数，k ≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件；确定反比例函数xky (k ≠0)的关系式时，通常只需要 个条件. 如果要确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常又需要几个条件 ?(学生思考讨论后，回答)二．待定系数法求二次函数表达式常见的三种形式1.二次函数表达式的一般形式是什么?y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)2.二次函数表达式的顶点式是什么?k h x a y +-=2)( (a ≠0).3.若二次函数y=ax ²+bx+c(a ≠0)与x 轴两交点为(1x ,0),( 2x ,0)则其函数表达式可以表示成什么形式?)x -x (x -x 21）（a y = (a ≠0).第二环节 初步探究（出示课件）1、 已知抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)若经过点（1,0），则_____若经过点（-1,0），则___________若经过点（0,-3），则___________2、已知抛物线y=a(x-h)2+k (a ≠0)(h,k )若顶点坐标是（-3,4）, 则h=_____,k=______，若对称轴为直线x =1，则___________代入得y=______________3、求出下表中抛物线与x 轴的交点坐标，看看你有什么发现？ 分析：通过引入1、2、3让学生进一步理解二次函数常见的三种表达式形式，为下一步抽象实际问题打好基础.总结：用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。
求二次函数解析式教案
求二次函数解析式教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义和特点；2. 掌握二次函数的基本形式和一般形式的转化；3. 能够根据给出的关键点或者图形画出二次函数的图像；4. 能够运用二次函数解析式解决实际问题。
二、教学重点1. 理解二次函数的定义和特点；2. 掌握二次函数的基本形式和一般形式的转化；三、教学难点1. 能够根据给出的关键点或者图形画出二次函数的图像；2. 能够运用二次函数解析式解决实际问题。
四、教学方法1. 概念讲解法：通过生动形象的比喻，直观地给学生呈现二次函数的定义和特点；2. 案例分析法：通过实际例子，让学生深入理解二次函数的意义和应用；3. 对比分析法：通过对比常见的图形变化，让学生理解二次函数解析式的各项参数分别对函数的图像有什么影响。
五、教学过程1. 二次函数的定义和特点二次函数是一种形如f(x)=ax²+bx+c的函数。
以下是二次函数的一些特点：（1）图像是一个开口向上或向下的抛物线；（2）抛物线的顶点坐标为（-b/2a， f(-b/2a)）；（3）当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；（4）当a>0时，函数有最小值f(-b/2a)；当a<0时，函数有最大值f(-b/2a)；（5）当x轴与函数图像有交点时，方程ax²+bx+c=0的解即为交点的横坐标。
2. 二次函数的基本形式和一般形式的转化二次函数的基本形式为f(x)=x²，即抛物线的顶点在原点，开口向上。
一般形式为f(x)=ax²+bx+c。
将一般形式转化为基本形式的方法：（1）当a不等于1时，可通过配方法将一般形式变为a(x-h)²+k的形式，其中h=-b/2a，k=f(h)；（2）当a等于1时，可使用完全平方式将一般形式变为(x+h)²-k的形式，其中h=-b/2，k=f(-h)。
将基本形式转化为一般形式的方法：f(x)=a(x-h)²+k，将其展开得到f(x)=ax²-2ahx+ah²+k，与一般形式f(x)=ax²+bx+c比较可得b=-2ah，c=ah²+k。
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求该二次函数的函数关系式。
分析：由已知顶点为，故可设，再由点确定a的值即可
解：，则
•••图象过点，
即:
说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标，一般设，
再根据其他条件确定a的值。本题虽然已知条件中已设，但 我们可以不用这种形式而另设这种形式。因为在这种形式 中，我们必须求a、b、c的值，而在这种形式中，在顶点已 知的条件下，只需确定一个字母a的值，显然这种形式更能 使我们快捷地求其函数关系式。
解：依题意：
由①得
由②得：
所求函数式为
即:
例7.已知某抛物线是由抛物线经过平移而得到的，且该
抛物线经过点A，B,求其函数关系式。
分析：设所求抛物线的函数关系式为，则由于它是抛物 线经过平移而得到的，故a=2,再由已知条件列出b、c的 二元一次方程组可解本题。
解：设所求抛物线的函数关系式为， 则由已知可得a=2, 又它经过点A,B
例3.已知二次函数图象的对称轴是， 且函数有最大析：依题意，可知顶点坐标为，因此，可设解析式为 顶点式
解：设这个二次函数的解析式为
•••图象经过，
• •
•••所求这个二次函数的解析式为
即:
说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴， 或函数的最大，可设顶点式为解析式。
例4.已知二次函数的图象如图1所示，则这个二次函数 的关系式是。
图1
分析：可根据题中图中的信息转化为一般式。
方法一：由图象可知：该二次函数过，，三点
设解析式为
根据题意得：
•所求二次函数的解析式为
方法二：由图象可知，该二次函数图象的顶点坐标为
设解析式为
•••图象过，•••，•••
•••所求二次函数的解析式为
故：解得：
•••所求抛物线的函数表达式为：
说明：本题的关键是由所求抛物线与抛物线的平移关 系，得到
例8.如图2,已知点A和点B,第三象限内有一点P,
它的横坐标为-2，并且满足条
图2
求证：△PAB是直角三角形。
求过P、A、B三点的抛物线的解析式，并求顶点坐标。
分析：中须证，由已知条件：
应过P作Pc丄x轴
即
方法三：由图象可知，该二次函数图象与x轴交于点，
设解析式为
•••图象过
• •
• • • •
•••所求二次函数解析式为：
即:
说明：依题意后两种方法比较简便。
例5.已知：抛物线在x轴上所截线段为4,顶点坐标为， 求这个函数的关系式
分析：由于抛物线是轴对称图形，设抛物线与x轴的两
个交点为，，则有对称轴，利用这个对称性很方便地求二次 函数的解析式
可设，又抛物线过点P可求a值
解法3:由A,B
可知抛物线的对称轴为
可设，将A、B点的坐标代入解析式可求a，的值
例9.如图3所示，是某市一条高速公路上的隧道口， 在 平面直角坐标系上的示意图，点A和A1，点B和B1分别关 于y轴对称，隧道拱部分BcB1为一段抛物线，最高点c离 路面AA1的距离为8米，点B离地面AA1的距离为6米，隧 道宽AA1为16米
难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决 实际问题。
3.教学建议：
求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的 形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时， 应根据题目特点，灵活选用。
典型例题
例1.已知某二次函数的图象经过点A，B，c三点，求其 函数关系式。
分析：设，其图象经过点c，可得，再由另外两点建立
图3
求隧道拱抛物线BcB1的函数表达式；
现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米， 车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，问它能否安全
中已知P、A、B三点的坐标，且根据点的位置可用三种 不同的方法求出抛物线的解析式
解：过P作Pc丄x轴于点c,
由已知易知Ac=2,Bc=8
••.,解得：Pc=4
••• P点的坐标为
由勾股定理可求得：
又
• •
故AAPB是直角三角形
解法1,可设过P、AB三点的抛物线的解析式为：
则有
• •
•••顶点坐标
解法2:由抛物线与x轴交于A,B,
二次函数解析式的确定教案
0.3二次函数解析式的确定
1.知识要点
若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式求
解析式。
若已知二次函数图象的顶点坐标，则应用顶点式，其中 为顶点坐标。
若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点 式，其中为抛物线与x轴交点的横坐标
2.重点、难点：
重点：求二次函数的函数关系式
解：•••顶点坐标为
对称轴是直线x=2
•••抛物线与x轴两交点之间距离为4
•••两交点坐标为，
设所求函数的解析式为
•••图象过点
•••所求函数的解析式为
例6.已知二次函数的最大值是零，求此函数的解析式。
分析：依题意，此函数图象的开口应向下，则有，且顶 点的纵坐标的值为零，则有：。以上两个条件都应满足，可 求的值。
关于的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可。
解：设所求二次函数的解析式为
因为图象过点c,「・
又因为图象经过点A,B,故可得到：
•••所求二次函数的解析式为
说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系 式为，然后确定a、b、c的值即得，本题由c可先求出c的 值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简 便。