(横版)二次函数的几何变换和解析式的确定教案

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第18讲二次函数的解析式的确定(解析版)(1)

第18讲二次函数的解析式的确定【学习目标】二次函数的学习必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环．本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法，重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确的确定二次函数的解析式．【基础知识】一、一般式2y ax bx c =++（0a ¹）（1）任何二次函数都可以整理成一般式2y ax bx c =++（0a ¹）的形式；（2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式．二、顶点式：()2y a x m k =++（0a ¹）（1）任何二次函数经过配方都可以整理成()2y a x m k =++（0a ¹）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（m -，k ）为抛物线的顶点坐标；（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；（3）对于任意的二次函数2y ax bx c =++，都可以配方为：22424b ac b y a x a a -æö=++ç÷èø的形式．三、交点式()()12y a x x x x =--（0a ¹）（1）交点式：()()12y a x x x x =--（0a ¹），其中x 1 ，x 2为二次函数图像与x 轴的两个交点的横坐标；（2）已知二次函数与x 轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式；（3）已知二次函数与x 轴的交点坐标（x 1，0）、（x 2，0），可知其对称轴为122x x x +=；（4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x 1，a ）、（x 2，a ），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为122x x x +=；（52y ax =0=时，即20ax bx c ++=，根据一元二次方程的求根公式可得：1x =2x =（6）对称式：12()()y a x x x x k =--+（0a ¹），当抛物线经过点（x 1，k ）、（x 2，k ）时，可以用对称式来求解二次函数的解析式．四、二次函数2y ax bx c =++的平移（1）将二次函数2y ax bx c =++左右平移：向左平移m 个单位，函数解析式变为()()2y a x m b x m c =++++；向右平移m 个单位，函数解析式变为()()2y a x m b x m c =-+-+．（2）将二次函数2y ax bx c =++上下平移：向上平移n 个单位，函数解析式变为2y ax bx c n =+++；向下平移n 个单位，函数解析式变为2y ax bx c n =++-．（3）通常，在平移前，将二次函数2y ax bx c =++化成()2y a x m k =++的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．五、二次函数的轴对称1、关于x 轴对称：2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x m k =++关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x m k =-+-．2、关于y 轴对称：2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x m k =++关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x m k =-+六、二次函数的中心对称1、关于原点对称：2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x m k =++关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x m k =---．2、关于顶点对称：2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x m k =++关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x m k =-++．3、关于点（p ，q ）对称：()2y a x m k =++关于点（p ，q ）对称后，得到的解析式是()222y a x m p q k =---+-．【考点剖析】考点一：一般式2y ax bx c =++（0a ¹）例1．已知二次函数的图像经过点A （1-，5-）、B （0，4-）和C （1，1）．求这个二次函数的解析式．【难度】★【答案】2234y x x =+-．【解析】设二次函数为2y ax bx c =++，把A 、B 、C 代入二次函数解析式，可得：541a b c c a b c -+=-ìï=-íï++=î，解得234a b c =ìï=íï=-î．所以这个二次函数的解析式：2234y x x =+-．【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组．例2．已知二次函数2y ax bx c =++图像经过点（0，3）、（3，0）、（2-，5-）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的最值．【难度】★★【答案】（1）223y x x =-++；（2）函数有最大值，最大值为4y =．【解析】（1）把（0，3）、（3，0）、（2-，5-）代入二次函数解析式，可得：3930425c a b c a b c =ìï++=íï-+=-î，解得123a b c =-ìï=íï=î，所以这个二次函数的解析式：223y x x =-++；（2）2223(1)4y x x x =-++=--+，则当1x =时，函数有最大值，最大值为4y =．【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组．例3．已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （2，3）、B （0，3）、C （4，5-）．（1）求该抛物线的解析式；（2）当x 为何值时，3y >？【难度】★★【答案】（1）223y x x =-++；（2）03x <<．【解析】（1）把A （2，3）、B （0，3）、C （4，5-）代入二次函数解析式，可得：42331645a b c c a b c ++=ìï=íï++=-î，解得123a b c =-ìï=íï=î．所以抛物线的解析式为：223y x x =-++；方法二：也可以利用AB 关于直线1x =对称，设二次函数解析式为2(1)y a x k =-+求解．（2）利用图像性质可得，当抛物线与直线3y =交于点(03)(23)，，，，故03x <<时，3y >．【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组以及根据图像求自变量范围．例4．已知二次函数的图像经过点（0，3）、（3-，0）、（2，5-），且与x 轴交于A 、B 两点．（1）试确定该二次函数的解析式；（2）判定点P （2-，3）是否在这个图像上，并说明理由；（3）求PAB D 的面积．【难度】★★【答案】（1）223y x x =--+；（2）在；（3）6．【解析】（1）设二次函数为2y ax bx c =++，把（0，3）、（3-，0）、（2，5-）代入二次函数解析式，可得：4253930a b c c a b c ++=-ìï=íï-+=î，解得123a b c =-ìï=-íï=î．所以二次函数的解析式为：223y x x =--+；（2）把2x =-代入解析式，可得：222233y =-+×+=，所以点P （2-，3）在函数图像上．（3）(30)(10)A B -，、，，可得144362ABP AB S D ==´´=，．【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组和简单数形结合三角形面积求解．考点二：顶点式：()2y a x m k =++（0a ¹）例1．抛物线22y x bx c =++的顶点坐标是（1，2-），则b = ______，c = ______．【难度】★【答案】-4；0．【解析】设抛物线解析式为22()y x m k =++，因为顶点坐标为（1，2-），所以12m k =-=-，，所以222(1)2240y x x x =--=-+．故b = -4，c = 0．【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程．例2．已知抛物线的顶点坐标为（4，1-），与y 轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式．【难度】★【答案】21234y x x =-+．【解析】设抛物线解析式为2()y a x m k =++，因为顶点坐标为（4，1-），所以41m k =-=-，，所以2(4)1y a x =--，再把（0，3）代入，即得14a =．所以抛物线的解析式为：21234y x x =-+．【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程．例3．如果0a >，0b >，0c >，240b ac ->，那么抛物线2y ax bx c =++经过第__________象限．【难度】★★【答案】一二四．【解析】根据0a >，可得开口向上；根据0b >，可得对称轴在y 轴左侧，根据0c >，可得与y 轴交于正半轴，由240b ac ->，可得与x 轴有两个交点，所以大致图像如下：【总结】考查学生根据顶点式以及系数与0大小关系判断图像．例4．已知二次函数的图像过点（1，5），且当x =2时，函数有最小值3，求该二次函数的解析式．【难度】★★【答案】22811y x x =-+．【解析】∵当x = 2时，函数有最小值3，∴设二次函数解析式为2(2)3y a x =-+，把（1，5）代入函数解析式可得2a =．∴二次函数的解析式为：22811y x x =-+．【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程．例5．已知二次函数的图像的顶点坐标为A （2，1）且图像与x 轴的两个交点为B 、C （点B 在点C 的左侧），若ABC D 是等腰直角三角形，求这个二次函数的解析式．【难度】★★【答案】243y x x =-+-．【解析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，可得AH =1，∵ABC D 是等腰直角三角形，∴BH =AH =CH =1，即得B （1，0），C （3，0）；∵二次函数的图像的顶点坐标为A （2，1），∴设2(2)1y a x =-+，把B 或C 代入可得1a =-．所以二次函数的解析式为：243y x x =-+-．【总结】考查学生利用几何知识求解顶点坐标，再根据顶点式求解二次函数解析式，以及解方程．考点三：交点式()()12y a x x x x =--（0a ¹）例1．已知二次函数的图像经过点（2-，0）、（1，0），且与y 轴的交点的纵坐标为3，求这个二次函数的解析式．【难度】★【答案】233322y x x ==--+．【解析】∵二次函数的图像经过点（2-，0）、（1，0），∴设二次函数解析式为(2)(1)y a x x =+-，把（0，3）代入，可得32a =-．∴这个二次函数的解析式为：233322y x x ==--+．【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程．例2．已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点M （1-，0）、N （4，0）、P （1，12-）三点，求这个二次函数的解析式．【答案】2268y x x =--．【解析】∵二次函数的图像经过点M （1-，0）、N （4，0），∴设二次函数解析式为(1)(4)y a x x =+-，把P （1，12-）代入，可得2a =．∴这个二次函数的解析式为：2268y x x =--．【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程．例3．已知二次函数的图形与x 轴的交点坐标是（1，0），（3，0），且函数有最小值5-，求二次函数的解析式．【难度】★★【答案】252015y x x =-+．【解析】∵二次函数的图形与x 轴的交点坐标是（1，0），（3，0）， ∴设二次函数解析式为(1)(3)y a x x =--， ∵（1，0），（3，0）关于直线2x =对称， ∴函数顶点为(2,5)-，∴把(2,5)-代入，可得5a =．方法二：也可以使用顶点公式2(2)5y a x =--，把（1，0），（3，0）代入．【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程．例4．已知抛物线，当x=3时，抛物线有最高点，最高点的纵坐标为1，且图像与x轴的两个交点之间的距离为2，求这个抛物线的解析式．【难度】★★【答案】268y x x =-+-．【解析】∵当x = 3时，抛物线最高点的纵坐标为1，∴顶点坐标为(3,1)，又∵图像与x 轴的两个交点之间的距离为2，∴与x 轴的交点为(2,0)(4,0)， ∴设二次函数解析式为(2)(4)y a x x =--，∴把(3,1)代入，可得1a =-．方法二：也可设顶点式．【总结】考查学生如何求出与x 轴交点坐标，然后利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程．例5．抛物线2y ax bx c =++经过（0，3）、（12，3），其顶点的纵坐标为6，求这个抛物线的解析式．【答案】21312y x x =-++．【解析】∵抛物线2y ax bx c =++经过（0，3）、（12，3），∴对称轴为直线6x =，∵顶点的纵坐标为6，∴顶点坐标为(6,6)，∴设二次函数解析式为2(6)6y a x =-+， ∴把（0，3）代入，可得112a =-．所以抛物线的解析式为：21312y x x =-++．方法二：也可把解析式设成(0)(12)3y a x x =--+的形式再求解．【总结】考查学生根据交点式的特点，利用平移的特点设交点式求解二次函数解析式，以及解方程．考点四：二次函数2y ax bx c =++的平移例1．把抛物线2y ax bx c =++向右平移4个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式为212y x =-，求原来抛物线的解析式．【难度】★★【答案】21422y x x =---．【解析】根据平移法则即可，注意题目求的是原函数解析式，∴21(4)62y x =-++．【总结】主要考查二次函数的平移，注意看清楚谁是由谁平移的．例2．怎样平移抛物线234y x =-，才能使它经过点M （1-，2）和N （1，1-）两点？【难度】★★【答案】先向左平移1个单位，再向上平移2个单位．【解析】设抛物线向左平移m 个单位，向上k 个单位，可得解析式为23()4y x m k=-++把点M （1-，2）和N （1，1-）代入可得：2232(1)431(1)4m k m kì=--++ïïíï-=-++ïî，解得：12m k =ìí=î．【总结】主要考查二次函数的平移，综合性较强，注意审题．例3．已知二次函数的图象的顶点坐标为A （1，4-），且经过点（2，3-）．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数的图象向左平移几个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点？并求平移后图象对应的二次函数的解析式．【难度】★★【答案】（1）223y x x =--，（2）左平移3个单位，24y x x =+．【解析】（1）设抛物线解析式为2()y a x m k =++，因为顶点坐标为（1，4-），所以14m k =-=-，，所以2(1)4y a x =--，把（2，3-）代入，可得1a =．所以二次函数解析式为：223y x x =--．（2）图像经过坐标原点，设向左平移距离为d （d>0），2(1)4y x d =-+-经过（0，0），所以把原点代入可得3d =或1d =-（舍去）．【总结】主要考查顶点式求解析式，利用平移关系，待定系数法的运用．考点五：二次函数的轴对称例1．如果二次函数的图象与已知二次函数22y x x =-的图象关于y 轴对称，那么这个二次函数的解析式是（）A ．22y x x =-+B ．22y x x=+C ．22y x x=--D ．212y x x=-【难度】★★【答案】B【解析】开口方向不变，对称轴关于y 轴对称后为直线1x =-且与y 轴交点为原点．【总结】考查图像的对称变换．例2．二次函数()2231y mx m m x m =--+-的图象关于y 轴对称，则m 的值为（）A ．0B ．3C ．1D ．0或3【难度】★★【答案】B【解析】∵二次函数的图象关于y 轴对称，∴230m m -=，0m =（舍去），3m =．【总结】考查图像的对称变换．例3．已知一个二次函数23y x bx =-++的图象经过点A （1，4）．（1）求b 的值；（2）求抛物线关于x 轴对称的抛物线的解析式．【难度】★★【答案】（1）2b =；（2）223y x x =--．【解析】（1）∵二次函数的图象经过点A （1，4），∴把点A 代入可得2b =．（2）∵2(1)4y x =--+的顶点为点A （1，4），关于x 轴对称可得（1，-4），开口方向向上大小不变，∴2(1)4y x =--．【总结】代入求解解析式以及图像的对称变换．例4．已知二次函数()()13y x x =--与()()y x a x b =++的图象关于y 轴对称，求()()2211a b +++的值．【难度】★★【答案】20．【解析】二次函数()()13y x x =--与x 轴交于点（1，0）（3，0），其关于y 轴对称点为（-1，0）（-3，0），∴对称后的二次函数解析式为(1)(3)y x x =++， ∴13a b ==，；∴()()221120a b +++=．【总结】利用对称的特性求解点坐标，交点式的运用．考点六：二次函数的中心对称例1．函数2y x =与2y x =-的图象关于______轴对称，也可以认为2y x =是函数2y x =-的图象绕______旋转______得到的．【难度】★【答案】x 轴；原点；180°．【解析】如右图所示．【总结】利用图像对称的特征．例2．二次函数223y x x =--的图象关于原点O 对称的图象的解析式是__________．【难度】★★【答案】223y x x =--+．【解析】先配方成顶点式2(1)4y x =--可得顶点为(14)-，，其关于原点对称点为(14)-，，所以开口相反，大小不变可得223y x x =--+．【总结】利用点对称的特征，再根据顶点情况求解析式．例3．抛物线232y x x =++的图象关于其顶点对称的抛物线的解析式是__________．【难度】★★【答案】2532y x x =---．【解析】先配方成顶点式231(24y x =+-可得顶点为31(,24--，其关于顶点仍然为31(,)24--，所以开口相反，大小不变可得231(24y x =-+-．【总结】利用点对称的特征，再根据顶点情况求解析式．例4．二次函数21y x x =++的图象关于点A （2，0）对称的图象的解析式是_________．【难度】★★【答案】2921y x x =-+-．【解析】先配方成顶点式213(24y x =++，可得顶点坐标为13(24-，，其关于点A （2，0）对称为93()24-，，所以开口相反，大小不变可得293(24y x =---．【总结】利用点对称的特征，再根据顶点情况求解析式．【过关检测】一、单选题1．（2021·上海九年级专题练习）已知二次函数()221y x =--，那么该二次函数图像的对称轴是（）A ．直线2x =B ．直线2x =-C ．直线1x =D ．直线1x =-【答案】A【分析】根据顶点式坐标直接得到二次函数图象的对称轴．【详解】解：∵二次函数的顶点式是()221y x =--，∴函数图象的对称轴是直线2x =．故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象对称轴的求解方法．2．（2021·上海九年级专题练习）将抛物线22(1)y x =+先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（）A ．22(2)2y x =--B ．22(2)2y x =-+C ．22(4)2y x =+-D ．22(4)2y x =++【答案】A 【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得．【详解】将抛物线22(1)y x =+先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的表达式是22(13)2y x =+--，即22(2)2y x =--，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．3．（2021·上海九年级专题练习）把二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图像先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到二次函数2231y x x =++，则a b c 、、的值分别为（）A ．2,1,2a b c ===B ．2=12a b c =-=,,C ．2,1,2a b c =-==-D ．212a b c =-=-=-，，【答案】B【分析】将新抛物线2231y x x =++向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到原抛物线的顶点式解析式，再化为一般式即可得出结论．【详解】解：∵将新二次函数2231y x x =++向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的解析式为()()2213112y x x =-+-++=222x x -+，则a ，b ，c 的值分别为a =2，b =-1，c =2，故选B ．【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．4．（2021·上海九年级专题练习）二次函数y ＝x 2+6x +1图象的对称轴是（）A ．x ＝6B ．x ＝﹣6C ．x ＝﹣3D ．x ＝42【答案】C【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数图象的对称轴．【详解】解：∵y =x 2+6x +1=（x +3）2-8，∴该函数图象的对称轴是直线x =-3，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，解题关键是熟练运用配方法把二次函数解析式化为顶点式．5．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）抛物线2(1)(3)y x x =+-的顶点坐标是（）A ．(-1，8)B ．(1，-8)C ．(-1，-3)D ．(1，3)【答案】B【分析】根据题意可得抛物线与x 轴的交点坐标，进而可得抛物线的对称轴，然后代入抛物线解析式即可得顶点坐标．【详解】Q 2(1)(3)y x x =+-\抛物线的图像与x 轴的交点是()30，、()0-1，\对称轴是直线x=1，\当x=1时，y=-8，顶点坐标是()1，-8．故选B ．【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像与性质，关键是根据题意得到抛物线的对称轴，然后由对称轴得到抛物线的顶点坐标．6．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）二次函数(2)(4)y x x =+-的对称轴是（）A ．直线x=-2B ．直线x=-4C ．直线x=1D ．直线x=-1【答案】C【分析】先根据抛物线的解析式求出此抛物线与x 轴的交点，再根据两交点关于对称轴对称即可得出其对称轴．【详解】解：∵抛物线的解析式为：y ＝（x ＋2）（x−4），∴此抛物线与x 轴的交点为，（−2，0），（4，0）∴其对称轴为：直线x ＝242-+＝1．故选：C ．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，熟知抛物线与x 轴的两交点坐标关于对称轴对称是解答此题的关键．二、填空题7．（2021·上海九年级一模）已知二次函数图像经过点()3,4和()7,4，那么该二次函数图像的对称轴是直线________．【答案】x=5【分析】根据抛物线的对称性可知：点()3,4和()7,4关于抛物线的对称轴对称，从而求出结论．【详解】解：∵二次函数图像经过点()3,4和()7,4，∴该二次函数图像的对称轴是直线x=3+72=5故答案为：x=5．【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线上两点关于抛物线的对称轴对称，求抛物线对称轴是解题关键．8．（2021·上海九年级专题练习）已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y 轴左侧的部分，图像上升，在y 轴右侧的部分，图像下降；试写出一个符合要求的抛物线的表达式：______．【答案】2y x =-（答案不唯一）【分析】设出符合条件的函数解析式，再根据二次函数的图象在y 轴左侧部分是上升的，在y 轴右侧部分是下降的可知该函数图象的开口向下，对称轴为y 轴，即0a <，0b =，再把()0,0A 代入，得出符合条件的函数解析式即可．【详解】解：设出符合条件的函数解析式为：()20y ax bx c a =++¹，∵二次函数的图象在y 轴左侧部分是上升的，在y 轴右侧部分是下降的，∴该函数图象的开口向下，对称轴为y 轴，即0a <，0b =，∵函数图象经过()0,0A ，∴0c =，∴符合条件的二次函数解析式可以为：2y x =-（答案不唯一）．故答案为：2y x =-（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，先根据题意设出函数解析式，再根据二次函数的性质判断出a 的符号及对称轴是解答此题的关键，此题属开放性题目，答案不唯一．9．（2021·上海九年级专题练习）二次函数24y x x =+图像的对称轴是直线__________．【答案】2x =-【分析】根据二次函数对称轴的公式可直接求解出结果．【详解】二次函数的对称轴为直线2b x a=-，14a b ==Q ，，\对称轴为直线4221x =-=-´，故答案为：2x =-．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，属于基础题，熟练掌握二次函数对称轴的公式是解题的关键．10．（2020·上海九年级专题练习）抛物线2(0)y ax a =¹沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线2y x =沿直线y x =时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是_____．【答案】()211y x =-+【分析】沿直线y=x 则相当于抛物线y=ax 2(a≠0)向右平移1个单位，向上平移1个单位，即可得到平移后抛物线的表达式．【详解】解:∵抛物线2y x =沿直线y x =，相当于抛物线()2y axa 0=¹向右平移1个单位，向上平移1个单位，∴根据平移的规律得到:“同簇抛物线”的表达式是()2y x 11=-+．故答案为:()2y x 11=-+．【点睛】本题考查了二次函数的几何变换:由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．11．（2021·上海九年级二模）抛物线y ＝ax 2+ax +2（a ≠0）的对称轴是直线_____．【答案】12x =-【分析】依据抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴方程x ＝2b a-，可以得出结论．【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴方程x ＝2b a-，∴抛物线y ＝ax 2+ax +2（a ≠0）的对称轴是x ＝1=22a a --．即对称轴是x ＝12- ．故答案为：x ＝12-．【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数的对称轴的求法是解题的关键．12．（2021·上海九年级专题练习）二次函数y ＝x 2－4x ＋1图象的对称轴是直线______________．【答案】2x =【分析】根据抛物线的对称轴公式可求出对称轴方程．【详解】解：由抛物线的解析式可得对称轴为：4222b x a -=-=-=，故答案为：2x =．【点睛】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数()20y ax bx c a =++¹的对称轴为直线2b x a=-是解题的关键．13．（2021·上海九年级专题练习）如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线1C ：2(1)1y x =--向右平移得到新抛物线2C ，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线2C 的表达式为______．【答案】()25 1.y x =--【分析】先求抛物线1C ：2(1)1y x =--向右平移k （k ＞0）个单位的函数解析式，再把()3,3代入平移后的解析式，求解k 即可得到答案．【详解】解：抛物线1C ：2(1)1y x =--向右平移k （k ＞0）个单位可得：2C ：()211,y x k =---把()3,3代入()211,y x k =---()23311,k \=---()224,k \-=22k \-=或22,k -=- 0k \=或4,k =经检验：0k =不合题意，取 4.k =()225 1.C y x \=--：故答案为：()25 1.y x =--【点睛】本题考查的是抛物线的平移，抛物线上的点的坐标特点，利用待定系数法求解二次函数的解析式，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题14．（2021·上海九年级专题练习）已知一个二次函数2y x bx c =++的图像经过点（4，1）和（1-，6）．求这个二次函数的解析式．【答案】241y x x =-+【分析】利用待定系数法确定二次函数的解析式．【详解】解：由题意，得()224+411(1)6b c b c ì×+=ïí-+×-+=ïî 解这个方程组，得41b c =-ìí=î∴所求二次函数的解析式是241y x x =-+．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式．解答该题的方程组时，采用了“加减消元法”来解方程组．15．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知抛物线y ＝－x 2＋4x ＋m 与x 轴交于A ，B 两点，AB ＝2，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若P 为对称轴上一点，要使PA ＋PC 最小，求点P 的坐标．【答案】（1）243y x x =-+-；（2）P 点坐标为（2，－1）【分析】（1）设点A 的坐标为()1,0x ，点B 的坐标为()2,0x ，然后根据AB=2及抛物线的对称轴可求解A 、B 的坐标，进而抛物线解析式可求；（2）连接BC ，交直线x ＝2于点P ，则PA ＝PB ，则有PA ＋PC ＝PB ＋PC ＝BC ，所以此时PA ＋PC 最小，然后求出直线BC 的解析式，进而问题可求．【详解】解：（1）设点A 的坐标为()1,0x ，点B 的坐标为()2,0x ，2121222x x x x +ì=ïíï-=î，∴1213x x =ìí=î，把点A 的坐标（1，0）代入24y x x m =-++得3m =-，所以抛物线的解析式为243y x x =-+-；（2）解：连接BC ，交直线x ＝2于点P ，则PA ＝PB ，如图所示：∴PA ＋PC ＝PB ＋PC ＝BC ，∴此时PA ＋PC 最小，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把C （0，－3），B （3，0）代入得330b k b =-ìí+=î，解得31b k =-ìí=î，∴直线BC 的解析式为y ＝x －3，当x ＝2时，y ＝x －3＝2－3＝－1，∴P 点坐标为（2，－1）．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知函数()()27322m y m x m -=-++-是二次函数．（1）求m 的值；（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．【答案】（1）-3；（2）()2625y x =-+-，开口方向向下，对称轴是直线2x =-，顶点坐标是（-2，-5）【分析】（1）根据二次函数的概念，二次项次数为2，可以求出m 的值，再结合二次项系数不等于0，即可最终确定m 的值；（2）将m 代入解析式中，即可得到二次函数的顶点式，根据a 的正负，对称轴为直线x=-h 以及顶点坐标为（-h ，k ），即可解决本题．【详解】解：（1）∵ 272m -=∴3m =±∵30m -¹∴m≠3∴3m =-（2）将m=-3代入解析式中，得二次函数的解析式为()2625y x =-+-∵a=-6＜0∴开口方向向下∴对称轴是直线2x =-，顶点坐标是（-2，-5）．【点睛】本题主要考查了二次函数的概念以及二次函数的顶点式，熟练其概念以及顶点式的性质是解决本题的关键．17．（2018·上海格致中学九年级月考）把二次函数2'45y x x =---这个图像上下平移，使其顶点恰好落在正比例函数y x =-的图像上，求平移后二次函数的解析式【答案】2(2)2y x =-++【分析】把这个二次函数的图象上、下平移，顶点恰好落在正比例函数y=-x 的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数，而平移时，顶点的横坐标不变，即可求得函数解析式．【详解】∵22'45(2)1y x x x =---=-+-，∴顶点坐标为(-2，-1)∵这个二次函数的图象只上、下平移，且顶点恰好落在正比例函数y x =-的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数，∴顶点的横坐标不变为-2，纵坐标为2，∴顶点坐标为(-2，2)，∴函数解析式是：2(2)2y x =-++．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律，上下平移时，点的横坐标不变；左右平移时，点的纵坐标不变．同时考查了二次函数的性质，正比例函数y=-x 的图象上点的坐标特征．18．（2020·崇明县大同中学九年级月考）如图已知在直角坐标系中，一条抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中B （3，0），C （0，4），点A 在x 轴的负半轴上，OC ＝4OA ．（1）求点A 坐标；（2）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标．【答案】（1）点A 的坐标为（﹣1，0）；（2）y ＝24833x x -++4，顶点坐标是（1，163）．【分析】（1）根据B （3，0），C （0，4），点A 在x 轴的负半轴上，OC ＝4OA ，可以求得OA 的长，从而可以得到点A 的坐标；（2）根据点A 和点B 的坐标可以设出该抛物线的解析式，然后根据抛物线经过点C 可以求得该抛物线的解析式，再将解析式化成顶点式可得抛物线的顶点坐标．【详解】解：（1）∵B （3，0），C （0，4），点A 在x 轴的负半轴上，OC ＝4OA ，∴OC ＝4，∴OA ＝1，∴点A 的坐标为（﹣1，0）；（2）设这条抛物线的解析式为y ＝a （x+1）（x ﹣3），∵点C （0，4）在此抛物线上，∴4＝a （0+1）（0﹣3），解得，a ＝﹣43，∴y ＝﹣43（x+1）（x ﹣3）＝24833x x -++4＝﹣2416(1)33x -+，∴该抛物线的顶点坐标为（1，163），即这条抛物线的解析式为y ＝24833x x -++4，它的顶点坐标是（1，163）．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19．（2020·上海）已知：抛物线2y x bx c =-++，经过点A(-1,-2)，B(0,1).（1）求抛物线的关系式及顶点P 的坐标.（2）若点B′与点B 关于x 轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m 个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′.①求∠P′B B′的大小.②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M 处，设点N 在（1）中的抛物线上，当△MNB′的面积等于时，求点N 的坐标.【答案】（1）221y x x =-++，顶点坐标()12P ，；（2）①120P BB ¢¢Ð=o ，②当MNB S ¢D =时，点N 的坐标为()47N -，或()27N --，.【分析】（1）把点A （-1，-2）B （0,1）代入2y x bx c =-++即可求出解析式；（2）①设抛物线平移后为()2112y x m =--++，代入点B’(0,-1)即可求出m ，得出顶点坐标()2P ¢，连结P B ¢，P’B’，作P’H ⊥y 轴，垂足为H ，得P H ¢=,HB=1，P’B=2求出tan P H P BH BHÐ=¢=¢得60P BH Ð=¢o ,故可得P BB Ð¢¢的度数②根据题意作出图形，根据旋转的性质与MNB S ¢D =，解得三角形的高6h =；故设()7N a -，或()5N a ，分别代入221y x x =-++即可求出N 的坐标.【详解】（1）把点A （-1，-2）B （0,1）代入2y x bx c =-++得2=11b c c---+ìí=î解得=21b c ìí=î∴抛物线的关系式为：221y x x =-++，得y=-(x-1)2+2；∴顶点坐标为()12P ，.（2）①设抛物线平移后为()2112y x m =--++，代入点B’(0,-1)得，-1=-(m-1)2+2解得11m =+，21m =+（舍去）；∴(212y x =-++，得顶点()2P ¢连结P B ¢，P’B’，作P’H ⊥y 轴，垂足为H ，得P H ¢=,HB=1，=2∵tan P HP BH BH Ð=¢=¢,∴60P BH Ð=¢o ,∴18060120P BB o o o Ð=-=¢¢.②∵2BB ¢=,2P B ¢=即BB P B ¢=¢,∴30BP B P B B ¢¢¢¢Ð=Ð=o ;∵线段P B ¢¢以点B ¢为旋转中心顺时针旋转120o ，点P ¢落在点M 处;∴90OB M Ð=¢o ,B M B P ¢=¢¢∴//MB x ¢轴，B M B P ¢¢=¢=。

《二次函数与图形变换》教案

《二次函数与图形变换》教案《二次函数与图形变换》教案一、学生知识状况分析学生在前面已经学习了二次函数的图像及其性质，会确定二次函数的表达式，配方法，平移旋转轴对称的性质等知识。

九年级的学生也有了一定的看图能力和理解能力。

二、教学任务分析二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用.为此，本课时的教学目标是：1．理解二次函数图形变换就是a的变化和顶点坐标的变化。

体会把函数图像变换问题转化为顶点坐标的变换问题。

2．能够熟练求出二次函数图形变换后的函数表达式3．感受数形结合思想。

三、教学过程分析通过本课时的学习，学生可以体会二次函数图形变换就是a 的变化和顶点坐标的变化。

体会把函数图像变换问题转化为顶点坐标的变换问题。

所以本课时设计了五个教学环节：复习回顾、新课、例题精炼、课堂小结、布置作业.第一环节复习回顾1已经学过的图形变换有哪些？2二次函数的图像是什么，决定抛物线的形状是谁的系数，开口方向呢？3如果已知a，要确定抛物线的解析式，至少需要几个点？第二环节新课教学内容：探究规律通过：1、平移问题；2、轴对称问题；3、旋转问题。

理解二次函数的变换的实质，能够熟练运用变换规律解决问题。

（一）探究规律教学目的：从一般情况出发进行推导，得出规律。

发展有条理地进行思考和语言表达的能力，运用点的变换来推理想象抛物线的变换情况．(二)学以致用将抛物线：1. 向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线函数表达式-----------------------------2. 关于Y轴对称所得抛物线函数表达式为------------------3. 关于X轴对称所得抛物线函数表达式为------------------4关于原点O对称所得抛物线函数表达式为------------------5关于直线y=1对称所得抛物线函数表达式为------------------6关于直线x=1对称所得抛物线函数表达式为----------------7.绕点p(1,0)旋转180°所得抛物线函数表达式为--------------。

专题(教案)13二次函数(教案)

-重点讲解a、b、c的物理意义及其对函数图像的影响。
-二次函数图像与性质
-强调开口方向、顶点、对称轴、最小（大）值等关键特征。
-二次函数的顶点式：y=a(x-h)²+k
-突出顶点式在图像平移和伸缩中的应用。
-二次函数与一元二次方程的关系
-详解抛物线与x轴交点与一元二次方程解的关系。
2.教学难点
-二次函数图像的绘制
5.二次函数与一元二次方程的关系：求解抛物线与x轴的交点
6.实际问题中的应用：结合生活实例，运用二次函数模型解决简单问题
本节课将以上述内容为基础，结合学生实际，设计具有实用性的教学活动，帮助学生深入理解二次函数的概念和性质，提高解决问题的能力。
二、核心素养目标
《二次函数》章节的核心素养目标如下：
1.培养学生运用数学语言进行描述、分析和解决问题的能力，提高数学表达与交流的水平。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体抛射运动的情况？”比如扔篮球时的抛物线轨迹。这个问题与我们将要学习的二次函数密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于二次函数的概念和图像性质有了初步的理解，但在具体应用和难点掌握上还存在一些问题。通过观察学生的反应和作业完成情况，我想谈谈我的几点思考。
首先，我觉得在导入新课环节，通过日常生活中的实例来激发学生的兴趣，这一做法收到了良好的效果。学生们对物体抛射运动的例子产生了好奇，这为后续的学习打下了基础。在今后的教学中，我将继续寻找更多贴近生活的案例，让学生感受到数学知识在实际中的应用。

教案范例丨初中数学《二次函数解析式》

教案范例丨初中数学《二次函数解析式》参考范例《二次函数解析式》1. 题目：《二次函数解析式》2. 内容：3. 基本要求：（1）根据教学内容有合理的板书；（2）学生能够理解二次函数解析式，并表示简单变量之间的二次函数关系；（3）试讲时间不超过十分钟；（4）条理清晰，重点突出，体现师生互动，要适当的提问。

一、教学目标【知识与技能目标】结合具体情境了解二次函数的一般表达式，并能表示简单变量之间的二次函数关系。

【过程与方法目标】通过具体问题情境，学生经历探索分析和建立两个变量之间二次函数关系的过程，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力。

【情感态度与价值观目标】养成自主探索，合作探究的良好学习习惯。

体会学习数学知识的价值，提高学习数学知识的兴趣。

二、教学重难点【教学重点】二次函数概念及解析式。

【教学难点】能表示简单变量之间的二次函数关系。

三、教学方法讲授法、提问法、讨论法、练习法。

四、教学过程（一）激趣导入出示一正方体，提出问题：设正方体的棱长为x，表面积为y，y 是x的函数吗？学生思考作答，给出具体关系式为y=6x2。

引导学生思考这类函数，导入新课。

（二）讲授新课环节一：讨论交流问题1、2出示书中问题1、2，提出问题：你发现了什么？由此你能得到什么结论？提问学生分享答案，教师加以总结，准确概括出两个数学问题中揭示的变量之间的关系。

环节二：概括得出二次函数解析式及定义教师继续提出问题：观察导入中的问题及书中问题1、2得出的三个式子，有什么共同点呢？引导学生们小组讨论，学生思考后回答，教师或学生相互评价，最后总结二次函数解析式及定义。

（三）运用新知教师引导学生做一做多媒体上出示的题目。

学生思考作答，针对结果给予评价并总结。

（四）归纳总结教师引导学生对本节课知识进行小结，学生畅谈本节课的收获，教师给予点评和补充。

（五）布置作业完成书中剩余习题。

布置思考题。

五、板书设计二次函数解析式1. 二次函数解析式的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）2. 注意事项：①二次函数最高次必须为二次，a为二次项系数，a≠0；②b为一次项系数，c常数项。

二次函数的变换教案

个性化辅导授课案教师：学生：时间：年月日段第次课授课内容：二次函数图象的几何变换教学目标:1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；3．能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；4．能从函数图像上认识函数的性质；5．会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；6．会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；重点难点: 1．能用二次函数解决简单的实际问题；2．能解决二次函数与其他知识结合的有关问题教学过程：一、二次函数图象的平移变换先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.“上加下减”【例1】函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（）A. 右移两个单位，下移一个单位B. 右移两个单位，上移一个单位C. 左移两个单位，下移一个单位D. 左移两个单位，上移一个单位【巩固】函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤是（）A. 右移三个单位，下移四个单位B. 右移三个单位，上移四个单位C. 左移三个单位，下移四个单位D. 左移四个单位，上移四个单位【例2】将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A ．()221y x =+B ．()221y x =-C ．221y x =+D ．221y x =- 【巩固】把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（） A ．()213y x =--- B ．()213y x =-+-C ．()213y x =--+D ．()213y x =-++【例3】把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x =-+，则a b c ++=________________．【巩固】一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析式为________________．【例4】如图，ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c =++经过x 轴上的点A ，B ．⑴ 求点A ，B ，C 的坐标．⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．D CBA O【巩固】抛物线254y ax x a =-+与x 轴相交于点A B 、，且过点()54C ，． ⑴ 求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标．⑵ 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称 2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．【例5】函数2y x =与2y x =-的图象关于______________对称，也可以认为2y x =是函数2y x =-的图象绕__________旋转得到．【例6】已知抛物线265y x x =-+，求⑴ 关于y 轴对称的抛物线的表达式；⑵ 关于x 轴对称的抛物线的表达式；⑶ 关于原点对称的抛物线的表达式．【巩固】已知二次函数221y x x =--，求：⑴关于x 轴对称的二次函数解析式；⑵关于y 轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．【例7】已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1c ．⑴ 求1c 关于()10R ，成中心对称的图象2c 的函数解析式； ⑵ 设曲线12c c 、与y 轴的交点分别为A B ，，当18AB =时，求a 的值．【巩固】设曲线C 为函数()20y ax bx c a =++≠的图象，C 关于y 轴对称的曲线为1C ，1C关于x 轴对称的曲线为2C ，则曲线2C 的函数解析式为________________．。

(横版)二次函数的几何变换和解析式的确定学案

教学过程一、复习预习我们逐步地学习了二次函数的特殊形式和一般形式的解析式以及图像和性质：1. 二次函数基本形式：2=（b、c为0 时）的性质：y ax2. 2=+的性质：上加下减。

y ax c3. ()2y a x h=-的性质：左加右减。

4. ()2=-+的性质：y a x h k二次函数2=++y ax bx c今天学习二次函数图像的变换以及解析式的确定二、知识讲解考点1 二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”；“上加下减”。

考点2 二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．考点3 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．三、例题精析【例题1】【题干】抛物线y=﹣2x2经过平移到y=﹣2x2﹣4x﹣5，平移方法是（）A．向左平移1个单位，再向上平移3各单位B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位【答案】B【解析】试题分析：把y=﹣2x2﹣4x﹣5转化为顶点式形式并写出顶点坐标，然后根据顶点的变化确定出平移方法是解题的关键．∵y=﹣2x2﹣4x﹣5=﹣2（x+1）2﹣3，∴y=﹣2x2﹣4x﹣5的顶点坐标为（﹣1，﹣3），∴抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到y=﹣2x2﹣4x﹣5．故选B．考点: 二次函数图象与几何变换.【例题2】【题干】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】试题分析：如图，过点C作CA⊥y，∵抛物线y=x2−2x=（x2-4x）=（x2-4x+4）-2=（x-2）2-2，∴顶点坐标为C（2，-2），对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4，考点：二次函数图象与几何变换．【例题3】【题干】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，其中A•点坐标为（－1，0），点C （0，5），点D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．求（1）抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．【答案】（1）y=-x2+4x+5．（2）15．【解析】试题分析：（1）由A、C、D三点在抛物线上，根据待定系数可求出抛物线解析式；（2）把BC边上的高和边长求出来，就可以得出面积．（1）∵A（-1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线y=ax2+bx+c上，则有0=a-b+c 5=c 8=a+b+c解方程得a=-1，b=4，c=5所以抛物线解析式为y=-x2+4x+5．（2）∵y=-x2+4x+5=-（x-5）（x+1）=-（x-2）2+9∴M（2，9），B（5，0）即BC=．由B、C两点坐标得直线BC的解析式为：l：x+y-5=0，则点M到直线BC的距离为d=，则S△MCB=×BC×d=15．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数图象与系数的关系；3．待定系数法求二次函数解析式【例题4】【题干】如图，抛物线y=x2通过平移得到抛物线m，抛物线m经过点B（6，0）和O（0，0），它的顶点为A，以O为圆心，OA为半径作圆，在第四象限内与抛物线y=x2交于点C，连接AC，则图中阴影部分的面积为【答案】﹣12．【解析】试题分析：先求出抛物线m的解析式，得到顶点A的坐标，求出OA的长度，根据抛物线的对称性，可知阴影部分的面积=半圆的面积﹣△AOC的面积．试题解析：∵抛物线m经过点B（6，0）和O（0，0），∴抛物线m的对称轴为直线x=3，∵抛物线y=x2通过平移得到抛物线m，∴设抛物线m的解析式为y=（x﹣3）2+k，将O（0，0）代入，得（0﹣3）2+k=0，解得k=4，∴抛物线m的解析式为y=（x﹣3）2+4，顶点A的坐标为（3，4），由勾股定理，得OA=5．连接OA、OC，由圆的对称性或垂径定理，可知C的坐标为（3，﹣4），阴影部分的面积=半圆的面积﹣△AOC的面积=•π•52﹣×8×3=﹣12．考点: 二次函数图象与几何变换．四、课堂运用【基础】1、在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=3（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2﹣2C．y=3（x﹣1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣22、将函数变形为的形式，正确的是（）A．B．C．D．3、.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值（）A．1 B．2 C．3 D．6【巩固】1、已知二次函数的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）观察函数图象，要使该二次函数的图象与轴只有一个交点，应把图象沿轴向上平移几个单位？2、若二次函数配方后为，则 .3、抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式是．【拔高】1、如图，已知抛物线与x轴分别交于O、A两点，它的对称轴为直线x=a，将抛物线向上平移4个单位长度得到抛物线，则图中两条抛物线、对称轴与y轴所围成的图形（图中阴影部分）的面积为A．4 B．6 C．8 D．162、在平面直角坐标系中，抛物线经过点（0，），（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点关于原点的对称点为，点是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点）．若直线与图象有公共点，结合函数图像，求点纵坐标的取值范围．3、已知关于x一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求k取值范围；（2）当k最小的整数时，求抛物线的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线有三个不同公共点时m值．课程小结二次函数图象的平移变换平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”；“上加下减”。

初中数学九年级《二次函数解析式的确定(复习课)》公开课教学设计

二次函数解析式的确定（复习课）知识目标：复习用待定系数法确定二次函数的解析式。

过程目标：根据题目所给条件，分析、选择适当的解析式形式，体会不同方法的优势，比较做出最优方法。

情感目标：在过程中相互讨论、合作、交流，培养参与意识、合作意识。

学情分析：学生已经具备用待定系数法确定二次函数的解析式的知识，但不够系统，不会灵活运用，进行复习帮助学生加深对知识的理解、运用教学重点：用待定系数法确定二次函数的解析式教学难点：用不同的方法解决问题教学过程：一、复习（1）二次函数解析式的三种形式①一般式: y=ax2+bx+c (a , b, c为常数，a≠0);②顶点式： y=a(x-h)2+k (a, h, k为常数，a≠0);③交点式： y=a(x-x1)(x-x2) (a, x1, x2为常数，a≠0).（2）待定系数法确定解析式的步骤①设，设立解析式②列，根据条件列出方程（组）③解，解方程（组）④还原，将求得的待定系数的值代回设立的解析式43)21(a 2+-x 二、例题讲解已知二次函数经过三点A( , )，B(-1,3),C(2,3)求二次函数的解析式。

分析：该怎样设立函数解析式？根据题目所给三个点的坐标条件，可以设函数解析式为一般式y=ax 2+bx+c(a ≠0) 解法一：设函数解析式y=ax 2+bx+c(a ≠0)， ∵图象经过三点A( , )，B(-1,3),C(2,3) ∴ 解得 a=1,b=-1,c=1 所以二次函数的解析式为y=x 2-x+1 拓展：还有其它的方法求解吗？相互讨论、合作、交流,，分析、选择适当的解析式形式,体会不同方法的优势,比较做出最优方法。

解法二：由图象过B （-1，3），C （2，3）得抛物线的对称轴为直线x= ,所以点A 是抛物线的顶点，设解析式为y= 再代入B （-1，3）或C （2，3）求出a 的值21432143213a b c -+=113424a b c ++=423a b c ++=解法三：点B（-1，3），C（2，3）向下平移3个单位得(-1,0),(2,0)，所以可以把抛物线看作是先向下平移3个单位，再向上平移3个单位设y=a(x+1)(x-2)+3,再把点A的坐标代入求出a三、练习：已知抛物线与x轴的交点坐标为A（-1,0），B(5,0),且过点C（2，9），求抛物线的解析式。

二次函数图像的变换及解析式的确定(必考)

（2，-2），设抛物线解析式为 = ሺ − ሻ −，将(1,0)代入，得0=a-
2，解得a=2,∴抛物线的解析式为 = ሺ − ሻ − = − + .
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解法2：∵抛物线 = + + 的对称轴为x=2，且与x轴交于点(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴抛物线的解析式为 = ሺ −
+ ሻሺ − ሻ，把(0,3)代入，得a·3×(-1)=3，解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为 = −ሺ + ሻሺ − ሻ，
即 = − − + .
>
m
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类型8 利用平移变换求抛物线解析式
（人教九上P35例3改编）将二次函数 = 22 + 4 + 1 的图象向右平移2个
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续表
变换形式
图象关系
点坐标变化
横坐标互
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关于轴
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为相反数，
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系数关系
不变
______
本质
相同
开口方向______
相 − 值______，
变号
互为____

2

反数

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教学过程一、复习预习我们逐步地学习了二次函数的特殊形式和一般形式的解析式以及图像和性质：1.二次函数基本形式：y =ax2 （b、c 为 0 时）的性质：2.y =ax2 +c 的性质：上加下减。

3.y=a(x-h)2 的性质：左加右减。

4.y=a(x-h)2 +k的性质：二次函数y =ax2 +bx +c今天学习二次函数图像的变换以及解析式的确定二、知识讲解考点1 二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成y =a(x -h)2 +k 的形式，确定其顶点(h, k ) ，然后做出二次函数y =ax2 的图像，将抛物线y =ax2 平移，使其顶点平移到(h, k ) .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”；“上加下减”。

2 考点 2 二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称y = ax 2 + bx + c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 - bx - c ；y = a (x - h )2 + k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2- k ； 2. 关于 y 轴对称y = ax 2 + bx + c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = ax 2 - bx + c ；y = a (x - h )2 + k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = a (x + h )2+ k ； 3. 关于原点对称y = ax 2 + bx + c 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 + bx - c ；y = a (x - h )2 + k 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h )2- k ； 4. 关于顶点对称= 2 + + 关于顶点对称后，得到的解析式是 = -2 - + - b ；y ax bx cy ax bx c 2a y = a (x - h )2 + k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2 + k ．5. 关于点(m ，n )对称y = a (x - h )2 + k 关于点(m ，n )对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h - 2m )2+ 2n - k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．考点3 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．三、例题精析【例题1】【题干】抛物线 y=﹣2x2 经过平移到 y=﹣2x2﹣4x﹣5，平移方法是（）A．向左平移 1 个单位，再向上平移 3 各单位B．向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位C．向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位D．向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位【答案】B【解析】试题分析：把 y=﹣2x2﹣4x﹣5 转化为顶点式形式并写出顶点坐标，然后根据顶点的变化确定出平移方法是解题的关键．∵y=﹣2x2﹣4x﹣5=﹣2（x+1）2﹣3，∴y=﹣2x2﹣4x﹣5 的顶点坐标为（﹣1，﹣3），∴抛物线 y=﹣2x2 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位得到 y=﹣2x2﹣4x﹣5．故选 B．考点: 二次函数图象与几何变换.【例题2】【题干】如图，在平面直角坐标系中，抛物经过平移得到抛物，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】试题分析：如图，过点 C 作CA⊥y，∵抛物线x2−2x=（x2-4x）=（x2-4x+4）-2=（x-2）2-2，∴顶点坐标为 C（2，-2），对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4，考点：二次函数图象与几何变换．【例题3】【题干】如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，其中 A 点坐标为（－1，0），点 C （0，5），点 D（1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点．求（1）抛物线的解析式；（2）求△MCB 的面积．【答案】（1）y=-x2+4x+5．（2）15．【解析】试题分析：（1）由 A、C、D 三点在抛物线上，根据待定系数可求出抛物线解析式；（2）把 BC 边上的高和边长求出来，就可以得出面积．（1）∵A（-1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线 y=ax2+bx+c 上，则有 0=a-b+c 5=c 8=a+b+c解方程得 a=-1，b=4，c=5 所以抛物线解析式为 y=-x2+4x+5．（2）∵y=-x2+4x+5=-（x-5）（x+1）=-（x-2）2+9∴M（2，9），B（5，0）即．由 B、C 两点坐标得直线 BC 的解析式为：l：x+y-5=0，则点 M 到直线 BC 的距离为，则×BC×d=15．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数图象与系数的关系；3．待定系数法求二次函数解析式【例题4】【题干】如图，抛物线x2 通过平移得到抛物线 m，抛物线 m 经过点 B（6，0）和 O（0，0），它的顶点为 A，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，在第四象限内与抛物线x2 交于点 C，连接 AC，则图中阴影部分的面积为【答案】﹣12．【解析】试题分析：先求出抛物线 m 的解析式，得到顶点 A 的坐标，求出 OA 的长度，根据抛物线的对称性，可知阴影部分的面积=半圆的面积﹣△AOC的面积．试题解析：∵抛物线 m 经过点 B（6，0）和 O（0，0），∴抛物线 m 的对称轴为直线 x=3，∵抛物线x2 通过平移得到抛物线 m，∴设抛物线 m 的解析式为（x﹣3）2+k，将 O（0，0）代入，（0﹣3）2+k=0，解得 k=4，∴抛物线 m 的解析式为（x﹣3）2+4，顶点 A 的坐标为（3，4），由勾股定理，得 OA=5．连接 OA、OC，由圆的对称性或垂径定理，可知 C 的坐标为（3，﹣4），阴影部分的面积=半圆的面积﹣△AOC的面积•π•52﹣×8×3=﹣12．考点: 二次函数图象与几何变换．四、课堂运用【基础】1、在平面直角坐标系中，将抛物线 y=3x2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=3（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2﹣2C．y=3（x﹣1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2【答案】C【解析】试题分析：∵抛物线 y=3x2 的对称轴为直线 x=0，顶点坐标为（0，0），∴抛物线 y=3x2 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到的抛物线的对称轴为直线 x=1，顶点坐标为（1，2），∴平移后抛物线的解析式为 y=3（x﹣1）2+2．故选 C．考点：二次函数图象的变换2、将函数变形为的形式，正确的是（）A．C．B．D．【答案】C.【解析】试题分析；故选 C.考点: 二次函数的三种形式.3、.在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x2-x-6 向上（下）或向左（右）平移 m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值（）A．1 B．2 C．3 D．6【答案】B.【解析】试题分析：当 x=0 时，y=-6，故函数图象与 y 轴交于点 C（0，-6），当 y=0 时，x2-x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，解得 x=-2 或 x=3，即 A（-2，0），B（3，0）；由图可知，函数图象至少向右平移 2 个单位恰好过原点，故|m|的最小值为 2．故选 B考点: 二次函数图象与几何变换．【巩固】1、已知二次函的图象经过点 A（2，－3），B（－1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）观察函数图象，要使该二次函数的图象轴只有一个交点，应把图象轴向上平移几个单位？【答案】(1) y=x2-2x-3；(2)4.【解析】试题分析：（1）把点 A、B 的坐标代入二次函数解析式求出 a、b 的值，即可得解；（2）先求出原二次函数图象的顶点点坐标，然后根据向上平移横坐标不变，纵坐标加解答．试题解析：（1）∵二次函数 y=ax2+bx-3 的图象经过点 A（2，-3），B（-1，0），∴，解，故二次函数解析式为 y=x2-2x-3；（2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）故要使该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，应把图象沿 y 轴向上平移 4 个单位. 考点: 1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数图象与几何变换.2、若二次函数【答案.【解析】试题分析：∵配方后为，则.，∴考点：配方法3、抛物关于 x 轴对称的抛物线的解析式是．【答案.【解析】试题分析：∵抛物的开口向上，顶点坐标为（0，），∴根据关于 x 轴对称的性质，抛物关于 x 轴对称的抛物线开口向下，顶点坐标为（0，1），∴抛物关于 x 轴对称的抛物线的解析式.考点：1.二次函数的性质；2.关于 x 轴对称的点的坐标特征【拔高】1、如图，已知抛物与 x 轴分别交于 O、A 两点，它的对称轴为直线 x=a，将抛物线向上平移 4 个单位长度得到抛物，则图中两条抛物线、对称轴与 y 轴所围成的图形（图中阴影部分）的面积为A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C.【解析】试题分析：先求出 l1的顶点坐标，再根据平移的性质求出 l2的顶点坐标，C 的坐标，求出平行四边形 OFEC 的面积即可．在抛物线x2-2x 中，l1的顶点 F 的坐标为（2，-4），由于抛物线l1向上平移4 个单位长度得到抛物线l2，故 E 点坐标为（2，0），C 点坐标为（0，4）．故平行四边形 OFEC 的面积为4×2=8．故选 C.考点: 二次函数图象与几何变换．2、在平面直角坐标中，抛物经过点（0，），（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设关于原点的对称点，是抛物线对称轴上一动点，记抛物线，之间的部分为图（包，两点）．若直与图有公共点，结合函数图像，求纵坐的取值范围．【答案】(1)抛物线的表达式，对称轴(2)t 的取值范围是【解析】试题分析：（1）将所给的点的坐标代入就可求得解析式，利用对称轴公式就可以（2）先确定点 C 的坐标，当 D 点为抛物线的顶点时，此时 t 最小，当 D 为 BC 与对称轴的交点时，此时的 t 最大试题解析经过点 A（0，-2），B（3，4）．代入得：∴抛物线的表达式为对称轴(2)由题意可知 C（-3，-4）二次函数的最小值为-4由图象可以看出 D 点纵坐标最小值即为-4，最大值即 BC 与对称轴交点直线 BC 的解析式为当 X=1 时所以 t 的取值范围是考点：1、二次函数；2、中心对称；3、数形结合3、已知关于 x 一元二次方有两个不相等的实数根（1）求 k 取值范围；（2）当 k 最小的整数时，求抛物的顶点坐标以及它与 x 轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直有三个不同公共点时 m 值．【答案】（1）k＞-1；（2）（1，-4）；（-1，0），（3，0）；（3）画图见解析，1 或．【解析】试题分析：（1）根据一元二次方有两个不相等的实数根，可知根的判别式△＞0，即可求出 k 的取值范围.（2）根据 k 的取值范围可得当 k=0 时，为 k 最小的整数，进而可求出顶点坐标以及它与 x 轴的交点坐标.（3）由（2）画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有 3 个交点，可以有两种情况：①直线经过原二次函数与 x 轴的交点 A（即左边的交点），可将 A 点坐标代入直线的解析式中，即可求出 m 的值；②原二次函数图象 x 轴以下部分翻折后，所得部分图象仍是二次函数，该二次函数与原函数开口方向相反、对称轴相同、与x 轴的交点坐标相同，可据此判断出该函数的解析式，若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于 x 的一元二次方程，那么该方程的判别式△=0，根据这一条件可确定 m 的取值．试题解析：（1）由题意，，∴k＞-1，∴k 的取值范围为 k＞-1.（2）∵k＞-1，且 k 取最小的整数，∴k=0．∴.则抛物线的顶点坐标为（1，-4）.∵的图象与 x 轴相交，∴，∴解得：x=-1 或 3.∴抛物线与 x 轴相交于 A（-1，0），B（3，0）；（3）翻折后所得新图象如图所示．平移直线 y=x+m 知：直线位于 l1 和 l2 时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于 l1时，此时 l1过点 A（-1，0），∴0=-1+m，即 m=1．②当直线位于 l2时，此时 l2与函的图象有一个公共点，∴方程 x+m=-x2+2x+3，即 x2-x-3+m=0 有两个相等实根.∴△=1-4（m-3）=0，即．当 m= 时，x1=x2= 满足-1≤x≤3，由①②知 m=1 或．考点：1.抛物线与 x 轴的交点；2.二次函数图象与几何变换；3.一元二次方程根的判别式；4.分类思想的应用．课程小结二次函数图象的平移变换平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”；“上加下减”。