(精品)数学讲义六年级春季班第1讲：有理数-教师版
有理数是初中数学六年级下学期第一章第一节的内容．重点是有理数的相关概念辨析，利用对数轴的理解对有理数进行大小比较，绝对值的化简等．难点是绝对值的化简及运算．本讲会在讲解有理数的意义和数轴的知识之后，学习一些绝对值的基础知识，并会在下一讲中，着重讲解绝对值相关的化简及运算．1、正数和负数在现实生活中，用正数和负数表示具有相反意义的量．2、有理数的概念整数和分数统称为有理数．3、有理数的分类按意义分：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数；按符号分：⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数．注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．有理数内容分析知识结构模块一：有理数的意义知识精讲例题解析【例1】下列说法错误的是（）A．盈利2000元和亏损100元是相反意义的量B．向西走5千米和向北走5千米是相反意义的量C．增加20人和减少10人是相反意义的量D．支出600元和收入800元是相反意义的量【难度】★【答案】B【解析】B答案错误，向西走5千米和向东走5千米是相反意义的量．【总结】考察正数、负数表示的意义．【例2】如果5-米表示向南走5米，那么下列各数分别表示什么意义？（1）8+米；（2）3-米；（3）0米；（4）6米．【难度】★【答案】（1）向北走8米；（2）向南走3米；（3）停留在原地；（4）向北走6米．【解析】向南为负数，则向北为正数．【总结】考察正数、负数表示的意义．【例3】下列说法错误的是（）A．正整数、0、负整数统称整数B．0既不是正数，也不是负数C．有理数包括正数和负数D．有理数包括整数和分数【难度】★【答案】C【解析】C答案错误，有理数包括正数和负数和0．【总结】考察有理数的分类．2/ 16【例4】判断题：（1）小数都是有理数；（）（2）大于负数的数是正数；（）（3）有理数中不是正数就是负数．（）【难度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）×【解析】（1）小数分为有限小数和无限小数，而无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为有理数，无限不循环小数为无理数；（2）大于负数的数也可以是0；（3）有理数分为正数、负数、0．【总结】考察有理数的分类，注意0既不属于正数也不属于负数．【例5】若人口增加2万人，记作+2万人，那么人口减少1万人，记作______．【难度】★【答案】-1万人．【解析】增加为+，则减少为-．【总结】考察正负数的意义．【例6】若盈利100元记作+100元，则50-元表示______．【难度】★【答案】亏损50元【解析】盈利为+，则亏损为-．【总结】考察正负数的意义．【例7】把下列各数填入它所属的圈内：11，18-，5-，215，158-，0.3， 5.67-，π，0，5.5555，20-，0.3，567．【难度】★★【答案】正整数：11，567；负数：18-，5-，158-， 5.67-，20-；正分数：215，0.3，5.5555，0.3；非负数：11，215，0.3，π，0，5.5555，0.3，567；有理数：11，18-，5-，215，158-，0.3， 5.67-，0，5.5555，20-，0.3，567；非负有理数：11，215，0.3，0，5.5555，0.3，567．【解析】有理数分为整数和分数，注意无限不循环小数属于无理数．【总结】考察实数的分类．【例8】六（2）班在一次期中测验中，数学平均分为87分，若把高于平均分的部分记为正数，小智得93分，应记为多少？小方被记为9-分，他实际得分是多少？【难度】★★【答案】+6；78．【解析】小智得93分，记为93-87=6；小方记作-9分，则他实际得分为87-9=78分．【总结】考察正负数的意义及简单运算．【例9】a-表示的数一定是（）A．负数B．正数C．正数或负数D．正数或负数或0【难度】★★★【答案】D【解析】因为a有可能为正数、负数、0，则a-可能是正数或负数或0．【总结】考察正负数的意义．【例10】按照一定的规律填数：（1）1，2-，4，8-，16，______，______，______；（2）1，2-，3，4，5-，6，7，8-，9，______，______，…，______（第2017个数）．【难度】★★★【答案】（1）-32，64，-128；（2）10，-11，2017．【解析】（1）可找出规律：后面的数字是前面的数字的2倍，第奇数个数字为正数，第偶数个数字为负数．则可得答案．（2）可找出规律：除了1之外，后面的符号规律是一负两正．()67232016312017=÷=÷-则第2017个数正数，为2017．【总结】考察数字找规律．4/ 16ABCDE0 1 21、 数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示． 在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 2、 相反数只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．互为相反数的两个数的和为零． 零的相反数是零．在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等．【例11】 填空：（1）数轴的三要素是______、______、______；（2）在数轴上表示的两个数，______边的数总比______边的数小；（3）正数都_____0，负数都______0，正数______负数．（填“>”、“ < ”或“=”） 【难度】★【答案】（1）原点、正方向、单位长度；（2）左，右；（3）>；< ；>． 【解析】考察数轴的基本要素．【例12】 在下图所示的数轴上，写出A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数． 【难度】★【答案】10.50 1.5 1.25A B C D E ==-===-，，，，． 【解析】考察数轴上数字的表示方法．例题解析模块二：数轴知识精讲【例13】下列说法正确的是（）A．任何有理数一定都有相反数，但不一定都有倒数B．任何有理数一定都有倒数，但不一定都有相反数C．任何有理数一定既有相反数，也有倒数D．任何一个正有理数的倒数都比1小【难度】★【答案】A【解析】任何有理数一定有相反数，但是除了0之外都有倒数．D答案错误，如0.5的倒数为2，比1大．【总结】考察相反数和倒数的意义．【例14】判断题：（1）数轴上原点及原点右边的点表示的是非负数．（）（2）一个数的相反数的相反数是它本身．（）（3）正数和负数互为相反数．（）【难度】★【答案】（1）√；（2）√；（3）×【解析】0和正数统称为非负数；1（正数）和-2（负数）不是互为相反数．【总结】考察相反数的意义．【例15】7的相反数是______， 3.2-是______的相反数．【难度】★【答案】-7；3.2【解析】正数的相反数是在数字前面加负号，负数的相反数是去掉数字前面的负号．【总结】考察相反数的表示方法．【例16】先画出数轴，然后在数轴上画出表示3-、32-、0、2及它们的相反数的点，并将它们从小到大排列起来．【难度】★★【答案】A、B、C、D、E、F、G所代表的数字分别为3-、32-、0、2、3、32、-2它们从小到大排列为3-<-2<32-<0<32<2<3．【解析】考察数轴上有理数的表示方法．6/ 16abO【例17】 数轴上到原点距离为2个单位的点表示的数有______，是______； 数轴上到表示1的点的距离为2个单位的点表示的数为______． 【难度】★★【答案】2个；2和-2；3和-1 【解析】可利用画数轴得到答案．【总结】考察对绝对值几何意义的理解及运用，注意两解的讨论．【例18】 到原点距离不大于1的数有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个【难度】★★ 【答案】D【解析】数轴上-1到1之间的实数有无数个． 【总结】考察实数比较大小．【例19】 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？【难度】★★★ 【答案】12．【解析】设A 点表示的有理数为x ，B 点表示的有理数为y ．因为A 点与原点O 的距离为3，则3=x ，∴3=x 或-3 又因为A 、B 两点之间的距离为1，则1=-x y ，即1±=-x y ，因为3=x 或-3，所以B 点表示的有理数有四种情况：4-=y 或-2或2或4. 所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和为124224=+-++- 【总结】考察数轴上有理数的表示和有理数的加法．【例20】 a 、b 在数轴上的位置如图所示，M a b =+，N a b =-+，H a b =-，G a b =--，求它们的大小关系．（用“>”连接） 【难度】★★★【答案】M N H G >>>． 【解析】由数轴可得：0<<a b ，则0>--=b a G ，0<+=b a M ，0<+-=b a N ，0>-=b a H 【总结】考察数轴上有理数的大小比较．8 / 16ABCD【例21】 数轴上表示的数是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的有多少个？ 【难度】★★★【答案】2018个或2017个【解析】当A 、B 为整点时，线段AB =2017盖住的整点个数是2018个； 当A 、B 分别不是整点时，线段AB =2017盖住的整点个数是2017个． 【总结】考察数轴上有理数的表示，综合性较强，注意分类讨论．【例22】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是哪个点？【难度】★★★ 【答案】B【解析】若原点为A ，则07a d ==，，此时72=-a d ，和已知不符，排除； 若原点为B ，则34a d =-=，，此时102=-a d ，和已知相符，正确． 【总结】考察数轴上有理数的表示．1、 绝对值的概念一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． 2、 绝对值的数学表达用符号a 表示数a 的绝对值． ()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩3、 有理数的比较大小正数大于零，零大于负数，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小．模块三：绝对值基础知识精讲【例23】 5的绝对值是______，记作_______；3-的绝对值是______，记作______． 【难度】★【答案】5；5；3；3-．【解析】考察绝对值的求法和记法．【例24】 5.3=______，213=______，0=______， 2.6-=_______． 【难度】★【答案】5.3；321；0；2.6．【解析】考察绝对值的求法．【例25】 3-的倒数的绝对值是______． 【难度】★【答案】31．【解析】-3的倒数是31-，则其绝对值是31．【总结】考察绝对值和倒数的求法．【例26】 判断题：（1）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或1．（ ） （2）如果说“一个数的绝对值是负数”，那么这句话是错的．（ ） （3）如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数．（ ） 【难度】★★【答案】（1）×；（2）√；（3）×．【解析】（1）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或正数．（3）如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数或0． 【总结】考察绝对值的求法．例题解析10 / 16【例27】 绝对值等于12的数是______，绝对值小于3的整数是______，绝对值不大于4的非负整数有______个． 【难度】★★【答案】12±；210±±，，；5【解析】绝对值不大于4的非负整数有0、1、2、3、4，共5个． 【总结】考察绝对值的求法，注意对非负整数的理解．【例28】 当3x =时，7x -一定等于4-吗？ 【难度】★★ 【答案】不一定．【解析】由题意可得：x 为3或-3．当x =3时，47-=-x ；当3-=x 时，107-=-x ． 【总结】考察绝对值的求法．【例29】 若0a b +=，则a 与b 的关系是（ ） A ．不相等 B ．异号 C ．互为倒数 D ．0a b ==【难度】★★★ 【答案】D【解析】两个非负数相加等于0，则这两个数都需为0． 【总结】考察绝对值的非负性．【例30】 数a 在数轴上的位置如图所示，试把a ，a 的相反数，a 的倒数和a 的倒数的绝对值用“<”联结起来． 【难度】★★★【答案】aa a a 11-<-<<．【解析】∵01<<-a ， ∴10<-<a ，11-<a，11>-a∴aa a a 11-<-<< 【总结】考察实数比较大小．0 1a【习题1】 任意写出5个正数与5个负数，分别把它们填入相应的大括号里．正数：{ } 负数：{}【难度】★【答案】正数：1、3.5、4.2、6、7.8等，负数：5 3.26110.8-----、、、、等． 【解析】考察有理数的分类．【习题2】 关于数字0，下面说法中，错误的是（ ） A ．是整数，也是有理数 B ．既不是正整数，也不是负整数 C ．是整数，也是自然数D ．既不是自然数，也不是有理数 【难度】★ 【答案】D【解析】0属于有理数，也属于整数，也属于自然数． 【总结】考察有理数的分类．【习题3】 写出小于5的所有非负整数______________________________；写出大于162-的所有负数________________________________．【难度】★【答案】0、1、2、3、4； -6、-5、-4、-3、-2、-1【解析】考察有理数比较大小，注意准确理解题目中的要求．【习题4】 填空：223+=______， 4.3-=______，6--=______． 【难度】★【答案】322；4.3；-6．【解析】考察绝对值的求法．随堂检测12 / 16A BC D 0 【习题5】 如果a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，则a b +=______． 【难度】★★ 【答案】1【解析】由题意可得：1=a ，0=b ，则1=+b a 【总结】考察有理数比较大小．【习题6】 比较大小：（1）37-和25-；（2）311-和0.273-． 【难度】★★ 【答案】（1）5273-<-；（2）273.0113->-． 【解析】（1）因为5273>，所以5273-<-； （2）因为273.0113<，所以273.0113->-． 【总结】考察有理数比较大小．【习题7】 如图，数轴上A 、B 、C 、D 四个点分别表示数a 、b 、c 、d ，用“<”连接：1a 、1b 、1c 、1d ：_____________________． 【难度】★★【答案】ab dc 1111<<<．【解析】因为b a c d <<<<0， 所以011<<d c ，011>>ba ， 所以ab dc 1111<<<． 【总结】考察有理数的比较大小．【习题8】 计算：111111201720162016201520172015-+---． 【难度】★★★【答案】0．【解析】111111201720162016201520172015-+---0201712015120161201512017120161201712015120161201512017120161=+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-= 【总结】考察有理数的大小比较及有理数的绝对值的求法．【习题9】 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值等于2，求a b c d m +++的值． 【难度】★★★ 【答案】3或-1．【解析】由题意可得：0=+b a ，1=cd ，2±=m 所以()13210-=±++=+++或m cd b a【总结】考察相反数、倒数、绝对值的定义，注意分类讨论．【习题10】 已知4x =，5y =，且x > y ，则x + y =______． 【难度】★★★ 【答案】-1或-9．【解析】由题意可得：45x y ==-，或45x y =-=-，， 所以91--=+或y x ．【总结】考察绝对值的求法和有理数比较大小．14 / 16【作业1】 关于 2.2-，下面说法正确的是（ ）A ．是负数，不是有理数B ．不是分数，是有理数C ．是负数，也是分数D ．是负数，不是分数【难度】★ 【答案】C【解析】有限小数属于分数，也属于有理数 【总结】考察有理数分类．【作业2】 把下列各数分别填到相应的横线上：1-，0.3505-，0，2，56-，33.33%．正数：____________________________； 负数：____________________________； 非负数：____________________________； 非正有理数数：____________________________． 【难度】★【答案】正数：2，33.33%；负数：1-，0.3505-，56-；非负数：0，2，33.33%；非正有理数数：1-，0.3505-，0，56-．【解析】考察有理数的分类．【作业3】 3π-的倒数是_______，相反数是______，绝对值是______． 【难度】★【答案】π-31；3-π；3-π．【解析】考察倒数、相反数、绝对值的求法．课后作业【作业4】 若x < 0，则23x x x-=______．【难度】★★ 【答案】-1．【解析】因为0<x ，所以223313333x x x x x xxxxx -----====-．【总结】考察绝对值的求法．【作业5】 比较大小，用“<”连接：89-、1112-、1415-．【难度】★★【答案】1411815129-<-<-．【解析】因为•=8.098，•=691.01211，•=39.01514， 所以1514121198<<， 所以1411815129-<-<-．【总结】考察负数的比较大小，绝对值大的反而小．【作业6】 绝对值大于10且不大于15的负整数的和是_______． 【难度】★★ 【答案】-65．【解析】绝对值大于10且不大于15的负整数有-11、-12、-13、-14、-15，则其和为-65. 【总结】考察绝对值的运用．【作业7】 填空（填“>”，“<”或“=”）：（1）若1aa=-，则a ______0；（2）若0a >，0b >，a b ->-，则a ______b ． 【难度】★★【答案】（1）<；（2）<．【解析】（1）当0<a 时，1-=-=a aa a ； （2）因为ab ->-，所以0a b <<，所以b a <．【总结】考察有理数比较大小和绝对值运算．16 / 16B C 0 【作业8】 如图，数轴上A 、B 、C 四个点分别表示数a 、b 、c ， 化简：b a b c a b c -++---． 【难度】★★ 【答案】b 3-．【解析】由题意可得：0>a ，0<b ，0<c ，0>+b a ，0<-a c ，0>-c b 所以b a b c a b c -++---()()()b a b c a b c =--+----3b a b c a b c b =----+-+=-．【总结】考察绝对值的化简．【作业9】 解方程：931x --=． 【难度】★★★【答案】13=x 或5x =．【解析】49=-x ，则49=-x 或4-， 所以13=x 或5x =． 【总结】考察含绝对值的方程的求法，综合性较强，注意分类．【作业10】 比较大小：（提示：分类讨论）． （1）a 与a -；（2）a 与1a． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）当0=a 时，a a -=； 当0<a 时，a a -<； 当0>a 时，a a ->．（2）令a a 1=，则1±=a ，当1-<a 时，a a 1<； 当1-=a 时，a a 1=； 当01<<-a 时，a a 1>； 当10<<a 时，a a 1<； 当1=a 时，a a 1=； 当1>a 时，aa 1>． 【总结】考察有理数比较大小，综合性较强，注意分类讨论．。
《认识有理数》 讲义
《认识有理数》讲义一、有理数的定义在数学的世界里，有理数是一个非常基础且重要的概念。
那什么是有理数呢？有理数是能够表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。
比如说，整数 5 可以写成 5/1，－3 可以写成－3/1；有限小数 025可以写成 1/4，07 可以写成 7/10；无限循环小数 0333 可以写成 1/3。
这里要注意的是，像圆周率π（约等于 314159）和自然常数 e（约等于 271828）这样的无限不循环小数就不是有理数，它们被称为无理数。
二、有理数的分类有理数可以分为正有理数、零和负有理数三大类。
正有理数包括正整数和正分数。
正整数就是我们平常说的1、2、3、4、5……正分数则是大于 0 的分数，比如 1/2、3/4 等等。
零是一个特殊的有理数，它既不是正数也不是负数。
负有理数包括负整数和负分数。
负整数是像－1、－2、－3 这样的数，负分数则是小于 0 的分数，比如－1/2、－3/4 等等。
我们可以用下面这个图来更直观地表示有理数的分类：（此处可以插入一个简单的分类图）三、有理数的性质1、有理数的运算性质有理数的加、减、乘、除运算都有明确的规则。
加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
2、有理数的大小比较在数轴上，右边的数总比左边的数大。
正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数。
两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
四、有理数在生活中的应用有理数在我们的日常生活中有着广泛的应用。
比如，在购物时，商品的价格就是有理数。
如果一件商品的价格是155 元，这就是一个有理数。
在计算路程和速度时，比如汽车以每小时 60 千米的速度行驶了 25 小时，我们通过计算 60×25 ＝ 150 千米，这里的速度、时间和路程都是有理数。
著名机构六年级数学讲义寒假01-预初基础版-有理数-教师版
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学科数学课题名称有理数有理数知识模块Ⅰ：有理数的意义（一）相反意义的量在人们的生活和生产实践中，存在大量的相反意义的量，如温度是零上5℃和零下10℃；汽车前进5米和后退3米；盈利300元和亏本200元；珠穆朗玛峰高出海平面8844米和吐鲁番盆地低于海平面155米；…如果只用原来所学过的数很难区分具有相反意义的量，为了解决这个问题，就必须引入一种新的数一一负数，一般情况下，规定收人、增加、上升、零上高于海平面等为正，另一相反意义的量支出、减少、下降、零下、低于海平面 等规定为负；但也可随意规定． （二）正数、负数的概念像25,, 1.33+等这样比0大的数叫做正数；像370,, 1.74---等，在正数前面加上“-”号的数叫做负数。
零既不是正数，也不是负数。
（三）有理数的概念（1） 正整数、0和负整数统称为整数；正分数负分数统称为分数，整数和分数统称为有理数。
（2）有理数的分类：按意义分：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数；按符号分：⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数． 【例1】⑴如果收入2000元，可以记作2000+元，那么支出5000元，记为 . ⑵高于海平面300米的高度记为海拔300+米，则海拔高度为600-米表示 .⑶某地区5月平均温度为20C ︒，记录表上有5月份5天的记录分别为 2.7+，0， 1.4+，3-， 4.7-，那么这5项记录表示的实际温度分别是 . ⑷ 向南走200-米，表示 .【答案】⑴5000-元；⑵低于海平面600米的高度；⑶22.7C ︒，20C ︒，21.4C ︒，17C ︒，15.3C ︒； ⑷ 向北走200米.【例2】把下列各数填入它所属的圈内： 10-，69， 1.7-，45，279，0，46%，0．76，23-，158．【答案】正数：69、45、279、46%、0.76、158；负数：10-、 1.7-、23-．【例3】回答问题：（1）有没有最小的正数？有没有最大的正数？有没有最小的负数？有没有最大的负数？有没有最小的有理数？有没有最大的有理数？（2）有没有最小的非负数？有没有最大的非负数？有没有最小的非正数？有没有最大的非正数？（3）有没有这样的有理数，它既是正数也是负数？有没有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数？【答案】（1）没有，没有，没有，没有，没有，没有；（2）有，没有，没有，有；（3）没有，有．【例4】把下列各数填入它所属的圈内：11，18-，5-，215，158-，0.3， 5.67-，π，0，5.5555，20-，0.3g，567．【答案】正整数：11，567；负数：18-，5-，158-， 5.67-，20-；正分数：215，0.3，5.5555，0.3&；非负数：11，215，0.3，π，0，5.5555，0.3&，567；有理数：11，18-，5-，215，158-，0.3， 5.67-，0，5.5555，20-，0.3&，567；非负有理数：11，215，0.3，0，5.5555，0.3&，567．知识模块Ⅱ：数轴（一）数轴的概念及画法1、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴2、数轴的定义包括3层含义（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸A B C D 012345（2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；（3）原点位置的选择，单位长度大小的确定都是根据实际而定的，一般取向右的方向为正方向 3、数轴的画法则是先画一条水平的直线，再在这条直线上画出数轴的三要素即可． （二）数轴的性质1、数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数。
初中数学_鲁教版六年级上册第二章第一节《有理数》教学课件设计
课后复习巩固作业
• 1.综合能力训练2.1. • 2.课本习题2.1 2题、3题.
情景导入
月球表面白天气温可高达123℃， 夜晚可低至－233℃. 图中阿波罗 11号的宇航员登上月球后不得不 穿着既防寒又御热的太空服。
1、你知道上面123℃和－233℃这 两个量分别表示什么吗？
2、你还在哪些地方见到过用带“－”号的数来 表示某一种量？
课前预习延伸
1.用正负数表示下列具有相反意义的量：
为0，28应计为 +1 。
3．如果向东走12米记作+12米，则向西走120米记作_—__1__2_0米。
4．如果向东走12米记作—12米，则向西走120米记作_+__1_2_0米。
练习3
1、一种零件的内径尺寸在图纸上是30±0.05(单位：毫米)，表 示这种零件的标准尺寸是30毫米加工要求最大不超过_3_0_.0_5__毫米， 最小不低于_2_9_.9_5__毫米．
（1）高于海平面3m记为+3m，则低于海平面88m，
记为
。-88m
（2）如果向南走5km记为-5km，那么向北走10km 记为+10km 。
2.如果粮食增产500吨记作+500吨，那么-500吨表 示什么意义? 粮食减产500吨 。
课内学习探究
学习目标
1.在具体情景中，进一步认识负数，理解有 理数的意义。
则早晨6时温度为___4__℃，若早晨4时气温比中午11时低13℃， 则早晨4时温度为___—__2__℃。
1、如果全班某次数学测试的平均成绩为83分，某同学考
了85分，记作+2分，得90分应记作_+_7__分__，得80分应 记作_—___3_分_ 。
六年级春季班第1讲：有理数-教师版
有理数是初中数学六年级下学期第一章第一节的内容．重点是有理数的相关概念辨析，利用对数轴的理解对有理数进行大小比较，绝对值的化简等．难点是绝对值的化简及运算．本讲会在讲解有理数的意义和数轴的知识之后，学习一些绝对值的基础知识，并会在下一讲中，着重讲解绝对值相关的化简及运算．1、正数和负数在现实生活中，用正数和负数表示具有相反意义的量．2、有理数的概念整数和分数统称为有理数．3、有理数的分类按意义分：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数；按符号分：⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数．注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．有理数内容分析知识结构模块一：有理数的意义知识精讲例题解析【例1】下列说法错误的是（）A．盈利2000元和亏损100元是相反意义的量B．向西走5千米和向北走5千米是相反意义的量C．增加20人和减少10人是相反意义的量D．支出600元和收入800元是相反意义的量【难度】★【答案】B【解析】B答案错误，向西走5千米和向东走5千米是相反意义的量．【总结】考察正数、负数表示的意义．【例2】如果5-米表示向南走5米，那么下列各数分别表示什么意义？（1）8+米；（2）3-米；（3）0米；（4）6米．【难度】★【答案】（1）向北走8米；（2）向南走3米；（3）停留在原地；（4）向北走6米．【解析】向南为负数，则向北为正数．【总结】考察正数、负数表示的意义．【例3】下列说法错误的是（）A．正整数、0、负整数统称整数B．0既不是正数，也不是负数C．有理数包括正数和负数D．有理数包括整数和分数【难度】★【答案】C【解析】C答案错误，有理数包括正数和负数和0．【总结】考察有理数的分类．【例4】判断题：（1）小数都是有理数；（）（2）大于负数的数是正数；（）（3）有理数中不是正数就是负数．（）【难度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）×【解析】（1）小数分为有限小数和无限小数，而无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为有理数，无限不循环小数为无理数；（2）大于负数的数也可以是0；（3）有理数分为正数、负数、0．【总结】考察有理数的分类，注意0既不属于正数也不属于负数．【例5】若人口增加2万人，记作+2万人，那么人口减少1万人，记作______．【难度】★【答案】-1万人．【解析】增加为+，则减少为-．【总结】考察正负数的意义．【例6】若盈利100元记作+100元，则50-元表示______．【难度】★【答案】亏损50元【解析】盈利为+，则亏损为-．【总结】考察正负数的意义．【例7】把下列各数填入它所属的圈内：11，18-，5-，215，158-，0.3， 5.67-，π，0，5.5555，20-，0.3，567．【难度】★★【答案】正整数：11，567；负数：18-，5-，158-， 5.67-，20-；正分数：215，0.3，5.5555，0.3；非负数：11，215，0.3，π，0，5.5555，0.3，567；有理数：11，18-，5-，215，158-，0.3， 5.67-，0，5.5555，20-，0.3，567；非负有理数：11，215，0.3，0，5.5555，0.3，567．【解析】有理数分为整数和分数，注意无限不循环小数属于无理数．【总结】考察实数的分类．【例8】六（2）班在一次期中测验中，数学平均分为87分，若把高于平均分的部分记为正数，小智得93分，应记为多少？小方被记为9-分，他实际得分是多少？【难度】★★【答案】+6；78．【解析】小智得93分，记为93-87=6；小方记作-9分，则他实际得分为87-9=78分．【总结】考察正负数的意义及简单运算．【例9】a-表示的数一定是（）A．负数B．正数C．正数或负数D．正数或负数或0【难度】★★★【答案】D【解析】因为a有可能为正数、负数、0，则a-可能是正数或负数或0．【总结】考察正负数的意义．【例10】按照一定的规律填数：（1）1，2-，4，8-，16，______，______，______；（2）1，2-，3，4，5-，6，7，8-，9，______，______，…，______（第2017个数）．【难度】★★★【答案】（1）-32，64，-128；（2）10，-11，2017．【解析】（1）可找出规律：后面的数字是前面的数字的2倍，第奇数个数字为正数，第偶数个数字为负数．则可得答案．（2）可找出规律：除了1之外，后面的符号规律是一负两正．()67232016312017=÷=÷-则第2017个数正数，为2017．【总结】考察数字找规律．A BC DE122-1、 数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示． 在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 2、 相反数只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．互为相反数的两个数的和为零． 零的相反数是零．在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等．【例11】 填空：（1）数轴的三要素是______、______、______；（2）在数轴上表示的两个数，______边的数总比______边的数小；（3）正数都_____0，负数都______0，正数______负数．（填“>”、“ < ”或“=”） 【难度】★【答案】（1）原点、正方向、单位长度；（2）左，右；（3）>；< ；>． 【解析】考察数轴的基本要素．【例12】 在下图所示的数轴上，写出A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数． 【难度】★【答案】10.50 1.5 1.25A B C D E ==-===-，，，，． 【解析】考察数轴上数字的表示方法．例题解析模块二：数轴知识精讲【例13】下列说法正确的是（）A．任何有理数一定都有相反数，但不一定都有倒数B．任何有理数一定都有倒数，但不一定都有相反数C．任何有理数一定既有相反数，也有倒数D．任何一个正有理数的倒数都比1小【难度】★【答案】A【解析】任何有理数一定有相反数，但是除了0之外都有倒数．D答案错误，如0.5的倒数为2，比1大．【总结】考察相反数和倒数的意义．【例14】判断题：（1）数轴上原点及原点右边的点表示的是非负数．（）（2）一个数的相反数的相反数是它本身．（）（3）正数和负数互为相反数．（）【难度】★【答案】（1）√；（2）√；（3）×【解析】0和正数统称为非负数；1（正数）和-2（负数）不是互为相反数．【总结】考察相反数的意义．【例15】7的相反数是______， 3.2-是______的相反数．【难度】★【答案】-7；3.2【解析】正数的相反数是在数字前面加负号，负数的相反数是去掉数字前面的负号．【总结】考察相反数的表示方法．【例16】先画出数轴，然后在数轴上画出表示3-、32-、0、2及它们的相反数的点，并将它们从小到大排列起来．【难度】★★【答案】A、B、C、D、E、F、G所代表的数字分别为3-、32-、0、2、3、32、-2它们从小到大排列为3-<-2<32-<0<32<2<3．【解析】考察数轴上有理数的表示方法．【例17】 数轴上到原点距离为2个单位的点表示的数有______，是______； 数轴上到表示1的点的距离为2个单位的点表示的数为______． 【难度】★★【答案】2个；2和-2；3和-1 【解析】可利用画数轴得到答案．【总结】考察对绝对值几何意义的理解及运用，注意两解的讨论．【例18】 到原点距离不大于1的数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个【难度】★★ 【答案】D【解析】数轴上-1到1之间的实数有无数个． 【总结】考察实数比较大小．【例19】 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？【难度】★★★ 【答案】12．【解析】设A 点表示的有理数为x ，B 点表示的有理数为y ．因为A 点与原点O 的距离为3，则3=x ，∴3=x 或-3 又因为A 、B 两点之间的距离为1，则1=-x y ，即1±=-x y ，因为3=x 或-3，所以B 点表示的有理数有四种情况：4-=y 或-2或2或4. 所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和为124224=+-++- 【总结】考察数轴上有理数的表示和有理数的加法．【例20】 a 、b 在数轴上的位置如图所示，M a b =+，N a b =-+，H a b =-，G a b =--，求它们的大小关系．（用“>”连接） 【难度】★★★【答案】M N H G >>>． 【解析】由数轴可得：0<<a b ，则0>--=b a G ，0<+=b a M ，0<+-=b a N ，0>-=b a H 【总结】考察数轴上有理数的大小比较．ABCD【例21】 数轴上表示的数是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的有多少个？ 【难度】★★★【答案】2018个或2017个【解析】当A 、B 为整点时，线段AB =2017盖住的整点个数是2018个； 当A 、B 分别不是整点时，线段AB =2017盖住的整点个数是2017个． 【总结】考察数轴上有理数的表示，综合性较强，注意分类讨论．【例22】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是哪个点？【难度】★★★ 【答案】B【解析】若原点为A ，则07a d ==，，此时72=-a d ，和已知不符，排除； 若原点为B ，则34a d =-=，，此时102=-a d ，和已知相符，正确． 【总结】考察数轴上有理数的表示．1、 绝对值的概念一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． 2、 绝对值的数学表达用符号a 表示数a 的绝对值． ()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩3、 有理数的比较大小正数大于零，零大于负数，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小．模块三：绝对值基础知识精讲【例23】 5的绝对值是______，记作_______；3-的绝对值是______，记作______． 【难度】★【答案】5；5；3；3-．【解析】考察绝对值的求法和记法．【例24】 5.3=______，213=______，0=______， 2.6-=_______． 【难度】★【答案】5.3；321；0；2.6．【解析】考察绝对值的求法．【例25】 3-的倒数的绝对值是______． 【难度】★【答案】31．【解析】-3的倒数是31-，则其绝对值是31．【总结】考察绝对值和倒数的求法．【例26】 判断题：（1）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或1．（ ） （2）如果说“一个数的绝对值是负数”，那么这句话是错的．（ ） （3）如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数．（ ） 【难度】★★【答案】（1）×；（2）√；（3）×．【解析】（1）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或正数．（3）如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数或0． 【总结】考察绝对值的求法．例题解析【例27】 绝对值等于12的数是______，绝对值小于3的整数是______，绝对值不大于4的非负整数有______个． 【难度】★★【答案】12±；210±±，，；5【解析】绝对值不大于4的非负整数有0、1、2、3、4，共5个． 【总结】考察绝对值的求法，注意对非负整数的理解．【例28】 当3x =时，7x -一定等于4-吗？ 【难度】★★ 【答案】不一定．【解析】由题意可得：x 为3或-3．当x =3时，47-=-x ；当3-=x 时，107-=-x ． 【总结】考察绝对值的求法．【例29】 若0a b +=，则a 与b 的关系是（ ） A ．不相等 B ．异号 C ．互为倒数 D ．0a b ==【难度】★★★ 【答案】D【解析】两个非负数相加等于0，则这两个数都需为0． 【总结】考察绝对值的非负性．【例30】 数a 在数轴上的位置如图所示，试把a ，a 的相反数，a 的倒数和a 的倒数的绝对值用“<”联结起来． 【难度】★★★【答案】aa a a 11-<-<<．【解析】∵01<<-a ， ∴10<-<a ，11-<a，11>-a∴aa a a 11-<-<< 【总结】考察实数比较大小．【习题1】 任意写出5个正数与5个负数，分别把它们填入相应的大括号里．正数：{ } 负数：{}【难度】★【答案】正数：1、3.5、4.2、6、7.8等，负数：5 3.26110.8-----、、、、等． 【解析】考察有理数的分类．【习题2】 关于数字0，下面说法中，错误的是（ ） A ．是整数，也是有理数 B ．既不是正整数，也不是负整数 C ．是整数，也是自然数D ．既不是自然数，也不是有理数 【难度】★ 【答案】D【解析】0属于有理数，也属于整数，也属于自然数． 【总结】考察有理数的分类．【习题3】 写出小于5的所有非负整数______________________________；写出大于162-的所有负数________________________________．【难度】★【答案】0、1、2、3、4； -6、-5、-4、-3、-2、-1【解析】考察有理数比较大小，注意准确理解题目中的要求．【习题4】 填空：223+=______， 4.3-=______，6--=______． 【难度】★【答案】322；4.3；-6．【解析】考察绝对值的求法．随堂检测A BC D 0 【习题5】 如果a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，则a b +=______． 【难度】★★ 【答案】1【解析】由题意可得：1=a ，0=b ，则1=+b a 【总结】考察有理数比较大小．【习题6】 比较大小：（1）37-和25-；（2）311-和0.273-． 【难度】★★ 【答案】（1）5273-<-；（2）273.0113->-． 【解析】（1）因为5273>，所以5273-<-； （2）因为273.0113<，所以273.0113->-． 【总结】考察有理数比较大小．【习题7】 如图，数轴上A 、B 、C 、D 四个点分别表示数a 、b 、c 、d ，用“<”连接：1a 、1b 、1c 、1d ：_____________________． 【难度】★★【答案】ab dc 1111<<<．【解析】因为b a c d <<<<0， 所以011<<d c ，011>>ba ， 所以ab dc 1111<<<． 【总结】考察有理数的比较大小．【习题8】 计算：111111201720162016201520172015-+---． 【难度】★★★【答案】0．【解析】111111201720162016201520172015-+---0201712015120161201512017120161201712015120161201512017120161=+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-= 【总结】考察有理数的大小比较及有理数的绝对值的求法．【习题9】 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值等于2，求a b c d m +++的值． 【难度】★★★ 【答案】3或-1．【解析】由题意可得：0=+b a ，1=cd ，2±=m 所以()13210-=±++=+++或m cd b a【总结】考察相反数、倒数、绝对值的定义，注意分类讨论．【习题10】 已知4x =，5y =，且x > y ，则x + y =______． 【难度】★★★ 【答案】-1或-9．【解析】由题意可得：45x y ==-，或45x y =-=-，， 所以91--=+或y x ．【总结】考察绝对值的求法和有理数比较大小．【作业1】 关于 2.2-，下面说法正确的是（ ）A ．是负数，不是有理数B ．不是分数，是有理数C ．是负数，也是分数D ．是负数，不是分数【难度】★ 【答案】C【解析】有限小数属于分数，也属于有理数 【总结】考察有理数分类．【作业2】 把下列各数分别填到相应的横线上：1-，0.3505-，0，2，56-，33.33%．正数：____________________________； 负数：____________________________； 非负数：____________________________； 非正有理数数：____________________________． 【难度】★【答案】正数：2，33.33%；负数：1-，0.3505-，56-；非负数：0，2，33.33%；非正有理数数：1-，0.3505-，0，56-．【解析】考察有理数的分类．【作业3】 3π-的倒数是_______，相反数是______，绝对值是______． 【难度】★【答案】π-31；3-π；3-π．【解析】考察倒数、相反数、绝对值的求法．课后作业【作业4】 若x < 0，则23x x x-=______．【难度】★★ 【答案】-1．【解析】因为0<x ，所以223313333x x x x x xxxxx -----====-．【总结】考察绝对值的求法．【作业5】 比较大小，用“<”连接：89-、1112-、1415-．【难度】★★【答案】1411815129-<-<-．【解析】因为•=8.098，•=691.01211，•=39.01514， 所以1514121198<<， 所以1411815129-<-<-．【总结】考察负数的比较大小，绝对值大的反而小．【作业6】 绝对值大于10且不大于15的负整数的和是_______． 【难度】★★ 【答案】-65．【解析】绝对值大于10且不大于15的负整数有-11、-12、-13、-14、-15，则其和为-65. 【总结】考察绝对值的运用．【作业7】 填空（填“>”，“<”或“=”）：（1）若1aa=-，则a ______0；（2）若0a >，0b >，a b ->-，则a ______b ． 【难度】★★【答案】（1）<；（2）<．【解析】（1）当0<a 时，1-=-=a aa a ； （2）因为ab ->-，所以0a b <<，所以b a <．【总结】考察有理数比较大小和绝对值运算．【作业8】 如图，数轴上A 、B 、C 四个点分别表示数a 、b 、c ， 化简：b a b c a b c -++---． 【难度】★★ 【答案】b 3-．【解析】由题意可得：0>a ，0<b ，0<c ，0>+b a ，0<-a c ，0>-c b 所以b a b c a b c -++---()()()b a b c a b c =--+----3b a b c a b c b =----+-+=-．【总结】考察绝对值的化简．【作业9】 解方程：931x --=． 【难度】★★★【答案】13=x 或5x =．【解析】49=-x ，则49=-x 或4-， 所以13=x 或5x =． 【总结】考察含绝对值的方程的求法，综合性较强，注意分类．【作业10】 比较大小：（提示：分类讨论）． （1）a 与a -；（2）a 与1a． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）当0=a 时，a a -=； 当0<a 时，a a -<； 当0>a 时，a a ->．（2）令a a 1=，则1±=a ，当1-<a 时，a a 1<； 当1-=a 时，a a 1=； 当01<<-a 时，a a 1>； 当10<<a 时，a a 1<； 当1=a 时，a a 1=； 当1>a 时，aa 1>． 【总结】考察有理数比较大小，综合性较强，注意分类讨论．。
第一章有理数-有理数(教案)
-难点解释：分数乘除时，分子分母的交叉相乘相除，以及结果的符号判定。
-数轴上的有理数比较：特别是负数的大小比较。
-难点解释：在数轴上，负数的绝对值越大，其值越小，对于学生来说是思维上的一个转换点。
-应用题的建模：如何将实际问题抽象为有理数运算问题。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与有理数相关的实际问题，如购物时如何计算总价。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，使用数轴来表示不同的有理数，并观察它们之间的关系。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“有理数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
在讲授新课内容时，我尽量用简洁明了的语言解释有理数的性质和运算规则，并通过案例分析让学生们看到有理数在实际中的应用。然而，我也发现，仅仅依靠讲解和案例可能还不够，学生们需要更多的实践活动来加深理解。因此，在实践活动中，我安排了分组讨论和实验操作，让学生们亲自动手去解决问题，这样能够更好地帮助他们消化吸收所学知识。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了有理数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对有理数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
六年级第二学期数学第一课 有理数
预备年级第二学期数学第一课 有理数知识要点：1、有理数：整数和分数统称为有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负分数零正整数整数有理数 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。
零是正数和负数的分界有理数就是分数认为的分数，那么我们可以当把整数看成是分母为.1 2、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。
3、只有符号不同的两个数，我们把其中的一个数叫做另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
零的相反数是零。
4、在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。
5、一个数在数值上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
a 的绝对值用符号a 表示，根据数的绝对值的意义可知0≥a ，当a>0时，a a =；当a<0时，a a -=；当a=0时，0=a 。
6、正数大于零，零大于负数。
两个正数，绝对值大的数大。
两个负数，绝对值大的那个数反而小。
例题与练习：例1 已知数 ,23.0,57,0,2138.2,71,12---其中 正数为 ；负数为 。
例2 用数轴上的点分别表示数3;5.1;0;34;2--和它们的相反数。
例3 把+30米表示向东走30米，那么-30表示的意义是什么？例4判断下列说法是否正确，若不正确说明理由。
（1） 整数就是正整数和负整数的统称。
（2）-a 一定是负数。
例5比较-3.5和49-的大小。
例6解方程：（1）2=x （2）21=+x （3）x x 231-=+练习：1、有理数是 的统称。
2、+3千克表示体重增加3千克，那么-2千克表示 。
3、某盆地比海平面低155米，我们记作海拔-155米，那么珠穆朗玛峰高出海平面8844.43米，记作 。
4、存入银行10000元，记作+10000元，那么从银行取出800元，记作5、一种零件的长度在图纸上标注是1002.0±（单位：mm ），表示这种零件的标准尺寸是10mm ，加工要求最大不超过标准尺寸 mm 。
(完整word)沪教版六年级下册第1讲-(教师版)-有理数的意义、数轴、绝对值
有理数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧绝对值计算绝对值性质绝对值概念绝对值相反数数轴概念、三要素数轴有理数分类正数和负数有理数意义模块一: 有理数的意义1.负数a)（1）正数: 大于0的数叫做正数。
b)（2）负数: 在正数前面加上“-”的数叫做负数。
c)“-”读作负号。
d)一个数前面的“+”、“-”叫做这个数的符号（3）0: 既不是正数也不是负数。
取一个基准量, 记为0；大于（高于）基准量的数为正数, 小于（低于）基准量的数为负数；2.有理数按定义分: 按性质符号分: 有理数注意:1.数０既不是正数也不是负数, ０是正数与负数的分界；2、对于正数和负数, 不能简单理解为带“+”号的数是正数, 带“—”号的数是负数；a一定是正数吗？-a不一定是负数, +a也不一定是正数；(不是有理数；第1讲：有理数3.正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数；负整数和零统称为非正整数；4、0非正非负, 0是整数, 0是自然数；小数可以化为分数, 所以小数属于分数。
【例1】: 向北走2000米与向南走1000米, 若规定向北走为正, 则向北走2000米可记作, 向南走1000米, 可记作, 原地不动可记作。
【答案】: +2000m；-1000m；0m【例2】：某零件的直经尺寸在图纸上是10 0．05 （mm）, 表示这种零件的标准尺寸是______ （mm）, 合格产品的零件尺寸范围是（mm）。
【答案】: 10; 9,95-10.05【例3】: 在北京2008奥运会召开的前夕, 为了相应绿色奥运的号召, 小莉同学调查了她所在居民楼一个月内扔垃圾袋的数量, 如以每户每个月扔30个垃圾袋为基准, 超出此基数用正数表示, 不足此基数用负数表示, 其中10户居民某个月扔垃圾袋的个数如下:＋1, －4, ＋4, －7, ＋2, －2, 0, －3, ＋6, ＋3求这10户居民这个月共扔掉多少个垃圾袋？【答案】: 300【例4】: 把下列各数填在相应的集合内:π, /, -3, 2, -1, -0.58, 0, -3.14, /, 0.618, 10整数集合: ｛…｝分数集合: ｛…｝非负数集合: ｛…｝【答案】：-3,2, -1, 0,10 / , -0.58, -3.14, , 0,618 / π, 2,0,0.618,10【例5】: 下列说法正确的是（）A 有理数分为正数和负数B 有理数-a一定表示负数C 正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数D 有理数包括整数和分数【答案】: D相等, 实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的为正数, 减少的为负数）：星期增减/辆－1+3－2+4+7－5－10（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了辆.（2）本周总生产量是多少？是增加了还是减少了？增减数为多少？【答案】：（1）：17 (2):696,减少了, 减数为4【巩固1】:（1）如果80m表示向东走80m, 那么-6表示。
六年级数学讲义一：有理数
1、 六年级数学讲义一：有理数复习姓名【知识梳理】1、正数，负数在正数的前面加上“-”号的数叫做负数.零既不是正数也不是负数．零和正数又可以称为非负数．⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数2、数轴三要素：原点 正方向 单位长度任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示．3、相反数：只有符号不同的两个数，我们称其中一个为另一个的相反数（opposite number ）．也称这两个数互为相反数．一个数a 的相反数记作“-a ” ． 零的相反数是零．互为相反数的两个数和为0.几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等． 4、绝对值：一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值． 注意：①以原点作为参照； ②是距离． 绝对值的表示：数a 的绝对值记作：a ，读作：a 的绝对值．⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数任何数的绝对值都是非负数零的绝对值是零 、字母表示：=a6、有理数大小的比较（1）正数大于零，零大于负数，正数大于负数.（2）两个正数，绝对值大的那个数大，两个负数，绝对值大的反而小。
（3）数轴上，左边的数小于右边的数。
(0)0(0)(0)> =-<a a a a a7、乘方及相关概念：一般地，我们将n 个相同因数a 相乘，记作na .即nan a a a a a =⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯个 求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方. 乘方的结果叫做幂. 在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数（ex . na 读作a 的n 次方.n a 看作是a 的n 次方的结果时，读作a 的n 次幂.特别地,00,11==n n （n 是正整数）乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶次幂是正数.例1：(有理数的分类)把下列各数分别填在相应的大括号内： -7, 0，3.5，－43，6，54-，4，0，8- 整数: ｛ ｝；分数：｛ ｝； 正数：｛ ｝； 有理数：｛ ｝； 非正数：｛ ｝； 非负数：｛ ｝； 非负整数：｛ ｝.例2：(数轴和有理数) (1) 指出数轴上A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数。
《有理数一》逐字稿
有理数一同学们，今天我们来学习有理数，大家看到有理数这三个字有什么感觉？是不是有疑问有理数是什么数，难道是有道理的数吗？俗话说有理走遍天下，无理寸步难行，难道数字也讲这个理儿？当然不是了，那什么是有理数，有理数都是些什么数呢，要知道这些，我们就要先认识下面这两个数，正数和负数。
同学们，我们在看天气预报的时候，主持人会说明天某地的气温是零下3度到零上4度，零上和零下是不是一组反义词，（不是，那我们就换一种说法，零上和零下是不是一组具有相反意义的词？）那零上4度和零下3度他们就是一组相反意义的量；我们在看电视剧的时候，如果某人被说他怕老婆，那这个人就会反驳说，我怎么会怕老婆，我让她往西，她就绝不敢往东，往东走和往西走是不是具有相反的意义，往东走2米和往西走5米就是一组相反意义的量。
那么我们用什么来表示和区分这种具有相反意义的量呢？（对）这就需要用到这两个玩意儿了，正数和负数。
正和负是不是具有相反意义，那么零上4度，我们就可以记作+4度，零下3度就可以记作-3度，不知道大家在乘坐电梯时有没有注意到电梯上的按钮，地上的楼层按钮上标注的是不是都是1,2,3这种数，地下的层数标注的就是-1，-2这种数了。
我们看这里，地上3层，我们就可以记作+3层，地下2层，我们就可以记作-2层。
我们看，地上3层和地下两层是不是具有相反意义的量。
那么我们来总结一下，要成为相反意义的量，需要具备什么要素呢？我们看，楼上和楼下，零上和零下，向东和向西，是不是都是具有相反意义，那么我们就得出了第一个要素，要具有相反意义；我们再来看这里，零上4度和零下3度是具有相反意义的量，那么零上4度和地下2层是具有相反意义的量吗？很明显不是，因为什么不是？是不是因为他们不是相同类型的量啊，零上4度和零下3度是相同类型的数量，地上3层和地下2层是相同类型的数量，那么我们就能总结出第二个要素，都是同类数量。
只有同时具备这两个要素，才能称之为具有相反意义的量。
上海六年级数学讲义-有理数-教师 (学生版)-数学
课题：有理数知识精要：一、有理数的意义1、正数、负数的概念：正数：象3、2.5、23、12%等数，称为正数，有时会在正数前加上“+”，通常省略不写。
负数：在3、2.5、23、12%前加上“-”，则这样的数称为负数，注意负号不能省略。
在现实生活中存在一些具有相反意义的量：盈利与亏损、收入与支出、增加与减少、上升与下降。
就可以用正负数来表示。
注意：零既不是正数也不是负数。
零和正数又称为非负数；零和负数又称为非正数。
2、有理数的分类：整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数与负分数；整数与分数统称为有理数（rational number）。
注意：rational number实际上的意思是：可以化成两个整数比的数二、数轴与相反数1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。
2、相反数的概念：数字相同而符号不同的两个数，我们称这两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数。
零的相反数是零。
a的相反数是a。
几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等。
在数轴上，右边的点表示的数总是大于左边的点表示的数。
正数大于0，0大于一切负数。
三、绝对值1、定义：一个数a在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数a的绝对值。
记为：a。
2、性质：（1）正数的绝对值等于它本身；（2）0的绝对值等于0；（3）负数的绝对值等于它的相反数（4）非负数的绝对值等于它本身；反之，如果一个数的绝对值等于它本身，这个数是非负数；（5）非正数的绝对值等于它的相反数。
反之，如果一个数的绝对值等于它的相反数，这个数是非正数。
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