运筹学习题集
运筹学习题集(第五章)
判断题判断正误，如果错误请更正第五章运输与指派问题1.运输问题中用位势法求得的检验数不唯一。
2.产地数为3，销地数围的平衡运输中，变量组｛X11，X13，X22，X33，X34｝可作为一组基变量。
3.不平衡运输问题不一定有最优解。
4.m+n-1个变量构成基变量组的充要条件是它们不包含闭合回路。
5.运输问题中的位势就是其对偶变量。
6.含有孤立点的变量组不包含有闭回路。
7.不包含任何闭回路的变量组必有孤立点。
8.产地个数为m销地个数为 n的平衡运输问题的对偶问题有m+n个约束。
9.运输问题的检验数就是对偶问题的松弛变量的值。
10.产地个数为m销地个数为 n的平衡运输问题的系数矩阵为A，则有r(A)〈=m+n-1。
11.用一个常数k加到运价C的某列的所有元素上，则最优解不变。
12.令虚设的产地或销地对应的运价为一任意大于0的常数C（C>0），则最优解不变。
13.若运输问题中的产量或销量为整数则其最优解也一定为整数。
14.运输问题中的单位运价表的每一行都分别乘以一个非0常数，则最优解不变。
15.按最小元素法求得运输问题的初始方案，从任一非基格出发都存在唯一一个闭回路。
16.在指派问题的效率表的某行乘以一个大于零的数最优解不变。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第五章运输与指派问题1.下列变量组是一个闭回路的有A{x21,x11,x12,x32,x33,x23} B{x11,x12,x23,x34,x41,x13} C {x21,x13,x34,x41,x12} D{x12,x32,x33,x23,x21,x11} D{x12,x22,x32,x33,x23,x21}2.具有M个产地N个销地的平衡运输问题模型具有特征A有MN个变量M+N个约束B有M+N个变量MN个约束C 有MN个变量M+N-1个约束D 有M+N-1个基变量MN-M-N+1个非基变量E 系数矩阵的秩等于M+N-13.下列说法正确的有A 运输问题的运价表第r行的每个cij 同时加上一个非0常数k，其最优调运方案不变。
运筹学习题集(第五章)
判断题判断正误，如果错误请更正第五章运输与指派问题1.运输问题中用位势法求得的检验数不唯一。
2.产地数为3，销地数围的平衡运输中，变量组｛X11，X13，X22，X33，X34｝可作为一组基变量。
3.不平衡运输问题不一定有最优解。
4.m+n-1个变量构成基变量组的充要条件是它们不包含闭合回路。
5.运输问题中的位势就是其对偶变量。
6.含有孤立点的变量组不包含有闭回路。
7.不包含任何闭回路的变量组必有孤立点。
8.产地个数为m销地个数为n的平衡运输问题的对偶问题有m+n个约束。
9.运输问题的检验数就是对偶问题的松弛变量的值。
10.产地个数为m销地个数为n的平衡运输问题的系数矩阵为A，则有r(A)〈=m+n-1。
11.用一个常数k加到运价C的某列的所有元素上，则最优解不变。
12.令虚设的产地或销地对应的运价为一任意大于0的常数C（C>0），则最优解不变。
13.若运输问题中的产量或销量为整数则其最优解也一定为整数。
14.运输问题中的单位运价表的每一行都分别乘以一个非0常数，则最优解不变。
15.按最小元素法求得运输问题的初始方案，从任一非基格出发都存在唯一一个闭回路。
16.在指派问题的效率表的某行乘以一个大于零的数最优解不变。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第五章运输与指派问题1.下列变量组是一个闭回路的有A{x21,x11,x12,x32,x33,x23} B {x11,x12,x23,x34,x41,x13}C {x21,x13,x34,x41,x12} D{x12,x32,x33,x23,x21,x11} D{x12,x22,x32,x33,x23,x21}2.具有M个产地N个销地的平衡运输问题模型具有特征A有MN个变量M+N个约束B有M+N个变量MN个约束 C 有MN个变量M+N-1个约束 D 有M+N-1个基变量MN-M-N+1个非基变量E 系数矩阵的秩等于M+N-13.下列说法正确的有A 运输问题的运价表第r行的每个cij 同时加上一个非0常数k，其最优调运方案不变。
运筹学习题集(第二章)
判断题判断正误，如果错误请更正第二章线形规划的对偶理论1.原问题第i个约束是<=约束,则对偶变量yi>=0.2.互为对偶问题,或则同时都有最优解,或则同时都无最优解.3.原问题有多重解,对偶问题也有多重解.4.对偶问题有可行解,原问题无可行解,则对偶问题具有无界解.5.原问题无最优解,则对偶问题无可行解.6.设X,Y分别为｛minZ=CX｜AX>=b,X>=0｝和｛maxw=Yb｜YA<=C,Y>=0｝的可行解,则有(1)CX<=Yb;(2)CX是w的上界;(3)当X,Y为最优解,CX=Yb;(4)当CX=Yb 时,有YXs+YsX=0;(5)X为最优解且B是最优基时,则Y=C B B-1是最优解;(6)松弛变量Ys的检验数是λs,则X=-λs是基本解,若Ys是最优解, 则X=-λs是最优解.7.原问题与对偶问题都可行,则都有最优解.8.原问题具有无界解,则对偶问题可行.9.若X,Y是原问题与对偶问题的最优解.则X=Y.10.若某种资源影子价格为0,则该资源一定有剩余.11影子价格就是资源的价格.12.原问题可行对偶问题不可行,可用对偶单纯形法计算.13.对偶单纯形法比值失效说明原问题具有无界解.14.对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种解法.15.减少一个约束,目标值不会比原来变差.16.增加一个约束,目标值不会比原来变好.17增加一个变量, 目标值不会比原来变差.18.减少一个非基变量, 目标值不变.19.当Cj(j=1,2,3,……，n)在允许的最大范围内同时变化时，最优解不变。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第二章线性规划的对偶理论1.如果决策变量数列相等的两个线规划的最优解相同，则两个线性规划A约束条件相同B目标函数相同C最优目标函数值相同D以上结论都不对2.对偶单纯形法的最小比值规则是为了保证A使原问题保持可行B使对偶问题保持可行C逐步消除原问题不可行性D逐步消除对偶问题不可行性3.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系A若最优解存在，则最优解相同B原问题无可行解，则对偶问题也无可行解C对偶问题无可行解，原问题可能无可行解D一个问题无界，则另一个问题无可行解E一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解4.已知规范形式原问题（max）的最优表中的检验数为（λ1，λ2，……λn），松弛变量的检验数为（λn+1,λn+2,……λn+m）,则对偶问题的最优解为A—（λ1，λ2，……λn）B （λ1，λ2，……λn）C —（λn+1,λn+2,……λn+m）D（λn+1,λn+2,……λn+m）5.原问题与对偶问题都有可行解，则A原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解B原问题与对偶问题可能都没有最优解C可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解D原问题与对偶问题都有最优解计算题线性规划问题和对偶问题2.1 对于如下的线性规划问题min z = 3x1 + 2x2 +x3s.t. x1+ x2+ x3 ≤15 (1)2x1- x2+ x3≥9 (2)-x1+ 2x2+2x3≤8 (3)x1x2x3 ≥01、写出题目中线性规划问题的对偶问题；2、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解答：1、写出题目中线性规划问题的对偶问题；解：max w = 15y1 + 9y2 + 8y3s.t. y1+ 2y2- y3 ≤ 3 (1)y1- y2+ 2y3≤ 2 (2)y1+ y2+ 2y3≤ 1 (3)y1≤0、y2 ≥0、y3 ≤02、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解：先将原问题化成以下形式，则有mi n z = 3x1 + 2x2 + x3s.t. x1+ x2+ x3 + x4 = 15 (1)-2x1+ x2- x3+ x5= -9 (2)-x1+ 2x2+2x3+x6 = 8 (3)原始问题的最优解为（X1 X2 X3 X4 X5 X6）=（2，0，5，8，0，0），minz=11对偶问题的最优解为（y1 y2 y3 y4 y5 y6）=（0，7/5，-1/5，0，19/5，0），maxw=11 2.2 对于以下线性规划问题max z = -x1 - 2x2s.t. -2x1 + 3x2≤12 (1)-3x1 + x2≤ 6 (2)x1 + 3x2≥ 3 (3)x1≤0，x2≥01、写出标准化的线性规划问题；2、用单纯形表求出这个线性规划问题的最优解和最优的目标函数值；3、写出这个（极大化）线性规划问题的对偶问题；4、求出对偶问题的最优解和最优解的目标函数值；5、第（2）个约束右端常数b2=6在什么范围内变化，最优解保持不变。
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第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
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销地
产地
1
2
3
产量
1
5
1
8
12
2
2
4
1
14
3
3
6
7
4
销量
9
10
11
表3-4
销地
产地
1
2
3
4
5
产量
1
10
2
3
15
9
25
2
5
20
15
2
4
30
3
15
5
14
7
15
20
4
20
15
13
M
8
30
销量
20
20
30
10
25
解：
（1）在表3-3中分别计算出各行和各列的次最小运费和最小运费的差额，填入该表的最右列和最下列。得到：
+ = + +
+ =
建立数学模型：
Max z=(1.25-0.25)*( + )+(2-0.35)*( + )+(2.8-0.5) -(5 +10 )300/6000-(7 +9 +12 )321/10000-(6 +8 )250/4000-(4 +11 )783/7000-7 *200/4000
s.t
2.确定 的范围,使最优解不变;取 ,求最优解;
3.确定 的范围,使最优基不变,取 求最优解;
4.引入 求最优解;
解1.由单纯形方法得
即,原问题的最优解为
例求下面运输问题的最小值解：
1
运筹学习题集
二、填空选择题：（每空格2分，共16分）1、线性规划的解有划的唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种。
2、在求运费最少的调度划的运划的输问题中，如划的果某划的一非基变量的检验数为4，则说明如果在该空格中增加一个运量运费将增加划的4 。
3、“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对划的偶问题一定存在可行解”，这句话对还是划的错？错4、如果某一整数规划：MaxZ=X划的1+X2划的X1+9/1划的2≤1/3X1,X2≥0且均为整数所对应的线性规划（松弛问题）的最优划的解为X1=3/2，X2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在划的要对X1进行分枝，划的应该分为X1≤1和X1≥2。
5、在用逆向解法求动态规划时，f k(s k)的含义是：从第k个阶段到第n个阶段的最优解。
6.假设某线性规划的可行解的集合为D，而其所对应的整数规划的可行解集合为B，那么D 和B的关系为 D 包含 B7.已知下表是制订生产计划问题的一张LP最优单纯形表（极大化问题，约束条问：（1）写出B-1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---13/20.3/1312(2)对偶问题的最优解： Y＝（5，0，23，0，0）T8. 线性规划问题如果有无穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有___某一个非基变量的检验数为0______；9. 极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问题_无解_________；10. 若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设Xi =bi不符合整数要求，INT（bi ）是不超过bi的最大整数，则构造两个约束条件：Xi≥INT（bi）＋1 和 Xi≤INT（bi），分别将其并入上述松驰问题中，形成两个分支，即两个后继问题。
11. 知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条问：(1)对偶问题的最优解： Y ＝(4,0,9,0,0,0)T （2）写出B -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛611401102二、计算题（60分）1、已知线性规划（20分）MaxZ=3X 1+4X 2 1+X 2≤5 2X 1+4X 2≤12 3X 1+2X 2≤81,X 2≥02）若C 2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？3）若b 2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？4）如果增加一种产品X 6，其P 6=(2,3,1)T ，C 6=4该产品是否应该投产？为什么？ 解：1)对偶问题为Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y 3≥3y1+4y2+2y 3≥4 y1,y2≥02)当C 2从4变成5时， σ4=-9/8 σ5=-1/4由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。
运筹学习题集（第一章）
运筹学习题集（第一章）判断题判断正误，如果错误请更正第1章线性规划1.任何线形规划一定有最优解。
2.若线形规划有最优解，则一定有基本最优解。
3.线形规划可行域无界，则具有无界解。
4.在基本可行解中非基变量一定为0。
5.检验数λj表示非基变量Xj增加一个单位时目标函数值的改变量。
6.minZ=6X1+4X2｜X1-2X｜︳<=10 是一个线形规划模型X1+X2=100X1>=0,X2>=07.可行解集非空时,则在极点上至少有一点达到最优解.8.任何线形规划都可以化为下列标准型Min Z=∑C j X j∑a ij x j=b1, i=1,2,3……，mX j>=0,j=1,2,3,……，n:b i>=0,i=1,2,3,……m9.基本解对应的基是可行基.10.任何线形规划总可用大M 单纯形法求解.11.任何线形规划总可用两阶段单纯形法求解。
12.若线形规划存在两个不同的最优解，则必有无穷多个最优解。
13.两阶段中第一阶段问题必有最优解。
14.两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量，则原问题有最优解。
15.人工变量一旦出基就不会再进基。
16.普通单纯形法比值规则失效说明问题无界。
17.最小比值规则是保证从一个可行基得到另一个可行基。
18.将检验数表示为λ=C B B-1A-的形式，则求极大值问题时基本可行解是最优解的充要条件为λ》=0。
19.若矩阵B为一可行基，则｜B｜≠0。
20.当最优解中存在为0的基变量时，则线形规划具有多重最优解。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第1章线性规划1.线形规划具有无界解是指：A可行解集合无界B有相同的最小比值C存在某个检验数λk>0且a ik<=0（i=1，2，3，……，m） D 最优表中所有非基变量的检验数非0。
2.线形规划具有多重最优解是指：A 目标函数系数与某约束系数对应成比例B最优表中存在非基变量的检验数为0 C 可行解集合无界 D 存在基变量等于03. 使函数Z=-X1+X2-4X3增加的最快的方向是：A （-1，1，-4）B （-1，-1，-4）C （1，1，4）D （1，-1，-4-）4. 当线形规划的可行解集合非空时一定A 包含原点X=（0，0，0……） B 有界C 无界D 是凸集5. 线形规划的退化基本可行解是指 A 基本可行解中存在为0的基变量 B 非基变量为C非基变量的检验数为0 D 最小比值为06. 线形规划无可行解是指 A 进基列系数非正 B 有两个相同的最小比值 C 第一阶段目标函数值大于0 D 用大M 法求解时最优解中含有非0的人工变量 E可行域无界7. 若线性规划存在可行基，则 A 一定有最优解 B 一定有可行解 C 可能无可行解 D 可能具有无界解 E 全部约束是〈=的形式8. 线性规划可行域的顶点是 A 可行解 B 非基本解 C 基本可行解 D 最优解 E 基本解9. minZ=X1-2X2，-X1+2X2〈=5，2X1+X2〈=8，X1，X2〉=0，则 A 有惟一最优解 B 有多重最优解 C 有无界解 D 无可行解 E 存在最优解10.线性规划的约束条件为 X1+X2+X3=32X1+2X2+X4=4X1，X2，X3，X4〉=0 则基本可行解是 A （0，0，4，3）B （0，0，3，4）C （3，4，0，0）D （3，0，0，-2）计算题1.1 对于如下的线性规划问题MinZ= X 1+2X 2s.t. X 1+ X 2≤4-X 1+ X 2≥1X 2≤3X 1, X 2≥0的图解如图所示。
运筹学习题集
2x2≥4 x1, x2≥0
x1, x2≥0
(5) max z ＝3x1＋9x2 (6) max z ＝3x1＋4x2
st. x1＋3x2≤22 st. －x1＋2x2≤8
1.11.某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。
问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立此问题的线性规划的数学模型。
甲 乙 丙 原料成本(元/千克) 每月限量（千克）
x1，x3≥0，x2，x4无约束
(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4 (4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3
st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3 ≥15
x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3 ≤20
5
6 8 7
3 5
1.9. 某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需司机和乘务人员数如下：
班 次 时 间 所需人数
1 6:00-10:00 60
2 10:00-14:00 70
3 14:00-18:00 60
4 18:00-22:00 50
5 22:00-2:00 20
6 2:00-6:00 30
st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋2x2＋3x3＝15
4x1＋6x2≥－12 2x1＋ x2＋5x3＝20
2x2≥4 x1＋2x2＋ x3＋ x4＝10
x1, x2≥0 xj ≥0 （j＝1,…,4）
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数学建模1、某织带厂生产A 、B 两种纱线和C 、D 两种纱带，纱带由专门纱线加工而解：设A 的产量为x 1，B 的产量为x 2，C 的产量为x 3，D 的产量为x 4，则有线性规划模型如下：max f (x )=(168-42)x 1 +(140-28)x 2 +(1050-350)x 3 +(406-140)x 4=126 x 1 +112 x 2 +700 x 3 +266 x 4s.t. ⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤+≤+++4,3,2,1 ,012005.02 720041023434321i x x x x x x x i2、靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两个工厂之间有一条流量为200万m 3的支流。
两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m 3和1.4万m 3。
从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。
环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。
两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m 3和800元/万m 3。
现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。
列出线性规划模型。
解：设x 1、2标可描述为min z =1000x 1+800x 2 x 1 ≥1 0.8x 1 + x 2 ≥1.6 x 1 ≤2 x 2≤1.4 x 1、x 2≥03、红旗商场是个中型的百货商场，它对售货人员的需求经过统计分析如表所示。
为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该如何安排售货人员的作息，既满足了工作需127星期日开始上班的人数。
min x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7x 3+x 4+x 5+x 6+x 7≥28 x 4+x 5+x 6+x 7+x 1≥15 x 5+x 6+x 7+x 1+x 2≥24 x 6+x 7+x 1+x 2+x 3≥25 x 7+x 1+x 2+x 3+ x 4≥19 x 1+x 2+x 3+x 4+x 5≥31 x 2+x 3+x 4+x 5+x 6≥28x 1、x 2、x 3、x 4、x 5、x 6、x 7≥04、一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等，每种物品的重量及重要性系数见表所示，能携带的i ⎩⎨⎧=ii i x x x 不携带物品携带物品01 （i ＝1， (7)则0－1规划模型为：max z ＝20x 1＋15x 2＋16x 3＋14x 4＋8x 5＋14x 6＋9x 7 s.t. 5x 1＋5x 2＋2x 3＋5x 4＋10x 5＋2x 6＋3x 7≤25x i ＝0或1，i ＝1，0，…，7标准化问题1、将下列线性规划化为标准形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±≤≥≤-+=+--≥-++-=不限321321321321321 ,0 ,019|1210|15736 10 ..235)(min x x x x x x x x x x x x t s x x x x f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥''''≤+''-'+'+-≤+''+'-'-=''-'+'+≤+''-'+'+-''+-'--=-0,,,,,, 191210191210157736 10 ..2'235)](max[654332163321533213321433213321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x f 2、化下列线性规划为标准形 ma x z =2x 1+2x 2－4x 3 x 1 + 3x 2－3x 3 ≥30 x 1 + 2x 2－4x 3≤80 x 1、x 2≥0，x 3无限制解：按照上述方法处理，得该线性规划问题的标准形为 ma x z =2x 1+2x 2－4x 31+4x 32x 1 + 3x 2－3x 31 + 3x 32－x 4 = 30 x 1 + 2x 2－4x 31 + 4x 32 + x 5 = 80 x 1、x 2，x 31，x 32，x 4，x 5 ≥0图解法1、用图解法求解下面线性规划。
ma x z =2x 1+2x 2 x 1－x 2 ≥ 1 －x 1 + 2x 2≤ 0 x 1、x 2≥ 0解：图1—3中阴影部分就是该问题的可行域，显然该问题的可行域是无界的。
两条虚线为目标函数等值线，它们对应的目标值分别为2和4，可以看出，目标函数等值线向右移动，问题的目标值会增大。
但由于可行域无界，目标函数可以增大到无穷。
称这种情况为无界解或无最优解。
2、用图解法求解下述LP 问题。
121212max 2328416.. 4120,1,2j z x x x x x s t x x j =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩解：可知，目标函数在B(4, 2)处取得最大值，故原问题的最优解为*(4,2)TX =，目标函数最大值为*2*43*214z =+=。
3、 用图解法求解以下线性规划问题： （1）max z= x 1 +3x 2s.t. x 1 +x 2 ≤10 -2x 1 +2x 2 ≤12x 1≤ 7x 1, x 2≥0x 210(2,8)6x1 -6 0 7 10最优解为（x1,x2）=（2,8），max z=26(2) min z= x1-3x2s.t. 2x1-x2≤4x1+x2≥3x2≥5x1≤4x1最优解为（x1，x2）=（0，5），min z=-15（3）max z= x1+2x2s.t. x1-x2≤1x1+2x2≤4x1≤3x1, x2≥0x1多个最优解，两个最优极点为（x1，x2）=（2，1），和(x1，x2)=(0，2)，max z=5（4）min z= x1+3x2s.t. x1+2x2≥42x1+x2≥4x1, x2≥0x112单纯形法1、用单纯形法求解ma x z=50x1+100x2x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250x1、x2≥0j2、用单纯形法求解ma x z=2x1+x2－x1 + x2≤52x1－5x2≤10x1、x2≥0解：用单纯形表实现如表1—10223、用单纯形法（大M法）求解下列线性规划ma x z=3x1－2x2－x3x1－2x2 + x3≤11－4x1 + x2 + 2x3 ≥3－2x1+ x3= 1x1、x2、x3≥0解：化为标准形式ma x z=3x1－2x2－x3x1－2x2 + x3 + x4= 11－4x1+ x2 +2x3 －x5 = 3－2x1+x3= 1x1、x2、x3、x4、x5≥0在第二、三个约束方程中分别加入人工变量x6、x7，构造如下线性规划问题ma x z=3x1－2x2－x3－M x6－M x7x1－2x2 + x3 + x4= 11－4x1+ x2 +2x3 －x5 + x6= 3－2x1+x3+x7 = 1x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7≥0用单纯形进行计算，计算过程见表j4、用单纯形法（大M法）求解下列线性规划ma x z=3x1+2x22x1+ x2 ≤23x1 +4 x2 ≥12x1、x2≥0解:化为标准形式后引入人工变量x5得到ma x z=3x1+2x2－M x52x1+ x2 +x3= 23x1 +4 x2 －x4+x5 =12x1、…、x5≥0用单纯形法计算，过程列于表中。
从表中可以看出，虽然检验数均小于或等于零，但基变量中含有非零的人工变量2、用单纯形法求解下述LP 问题。
121212max 2328416.. 4120,1,2j z x x x x x s t x x j =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩解：首先将原问题转化为线性规划的标准型，引入松弛变量x 3, x 4,x 5，可得：121231425max 2328416.. 4120,1,2,,5j z x x x x x x x s t x x x j =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥=⎩构造单纯形表，计算如下：原问题的最优解为(4,2,0,0,4)X =，目标函数最大值为*2*43*214z =+=。
3、用单纯形法求解下述LP 问题。
12121212max 34240.. 330,0z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 解：首先将原问题转化为线性规划的标准型，引入松弛变量3x 、4x ，可得：121231241234max z 34240.. 330,,,0x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ 构造单纯形表，计算如下：X=，目标函数值为由此可得，最优解为*(18, 4, 0, 0)T*3*184*470z=+=。
4、用单纯形法求解下述LP 问题。
12121212max 2.53515.. 5210,0z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 解：引入松弛变量3x 、4x ，化为标准形式：121231241234max 2.53515.. 5210,,,0z x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩由单纯形表，可得两个最优解(2,0,9,0)X =、(2)(20/19,45/19,0,0)T X =，所以两点之间的所有解都是最优解，即最优解集合为：(1)(2)(1)X X αα+-，其中01α≤≤。
5、用单纯形法求解下述线性规划123123123123123max 232883104..48,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+-++≤⎧⎪-+≤⎪⎨--≤⎪⎪≥⎩解：引入松弛变量x 、x 和x ，列单纯形表计算如下：故，原问题的最优解为*3333(1011,27,,267,0,0)T X x x x x =+++，*6z =，其中30x ≥。
7、用单纯形法求解下述LP 问题。
121231241234min z 34240.. 330,,,0x x x x x s t x x x x x x x =--++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ 解：构造单纯形表计算如下：故，最优解为*(18, 4, 0, 0)T X =，目标函数值为*3*184*470z =--=-。
8、用大M 法求解下述LP 问题123123123123max 2357..2510,,0z x x x x x x s t x x x x x x =+-++=⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩ 解：先将原问题化为标准型，引入松弛变量4x ，得：12312312341234max 2357..2510,,,0z x x x x x x s t x x x x x x x x =+-++=⎧⎪-+-=⎨⎪≥⎩ 再引入人工变量5x 、6x ，得：12356123512346123456max 2357..2510,,,,,0z x x x Mx Mx x x x x s t x x x x x x x x x x x =+---+++=⎧⎪-+-+=⎨⎪≥⎩构造单纯形表计算如下：由此得，原问题的最优解为*454(, , 0)77T X =，目标函数最优值为102/7。