2014年高考数学江苏卷答案word版

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）理科数学试题答案与解析1. 解析 由集合的交集定义知{}1,3A B =-.2. 解析 ()252i2120i z =+=+，故z 的实部为21.3. 解析 1n =，1220<，N ；2n =，2220<，N ；3n =，3220<，N ；4n =，4220<，N ；5n =，5220>，Y ，故输出5n =.4. 解析 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，由()1,2，()1,3，()1,6，()2,3，()2,6，()3,6，共6种情况.满足条件的有()2,3，()1,6，共2种情况.故2163p ==.5. 解析 显然交点为π1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭，故有2π1sin 32ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππ2π36k ϕ+=+，k ∈Z ，或2π5π2π36k ϕ+=+，k ∈Z ，所以π2π2k ϕ=-或π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，又0πϕ<…，故π6ϕ=. 6. 解析 ()600.0150.0251024⨯+⨯=. 7. 解析 由8642a a a =+，两边都除以4a ，得422q q =+，即()()422220210q q q q --=⇔-+=，所以22q =.因为21a =，所以4264124a a q ==⨯=. 8. 解析 设圆柱甲的底面半径为1r ，高为1h ，圆柱乙的底面半径为2r ，高为2h .由题意得211222πr 9π4S S r ==，所以1232r r =.又因为=S S 甲侧乙侧，即11222π=2πr h r h ，所以11222==3h r h r ，故1111122222923432V S h S h V S h S h ==⋅=⨯=. 评注 考查立体几何中侧面积、体积公式，考查运算和恒等变形的能力.9. 解析 易知圆心()21-，，2r =，故圆心到直线的距离d==，所以弦长为=. 10. 解析 要满足()210f x x mx =+-<对于任意[],1x m m ∈+恒成立，只需()()0,10,f m f m ⎧<⎪⎨+<⎪⎩即()()22210,1110,m m m m ⎧-<⎪⎨+++-<⎪⎩解得0m <<. 评注 考查数形结合的思想，解题关键是开口向上的抛物线的某一段恒在x 轴下方，只需两个端点在x 轴下方即可.11. 解析 因为2b y ax x =+，所以22b y ax x '=-，由题意可得45,274,42b a b a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得1,2.a b =-⎧⎨=-⎩所以3a b +=-.12. 解析 ()()1344AP BP AD DP BC CP AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2231331256421644162AD AB AB AD AB AD ⎛⎫-+-⋅=-⨯-⋅= ⎪⎝⎭，故22AB AD ⋅=. 13. 解析 当[)0,3x ∈时，()()22112122f x x x x =-+=--，由()f x 是周期为3的函数，作出()f x 在[]3,4-上的图像，如图.由题意知方程()a f x =在[]3,4-上有10个不同的根.由图可知10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.评注 考查函数零点及周期性等知识，解题关键是正确地作出函数()f x 在[]3,4-上的图像.考查数形结合思想，有一定的难度.14. 解析因为sin 2sin A B C =，由正弦定理得2a c +=，所以222cos 2a b c C ab +-==()()2222224444288a b a a b c abab+-++-==22328a b ab +-==时等号成立，故cos C .评注 考查正弦、余弦定理及基本不等式等知识的灵活运用，对运算及恒等变形能力有较高的要求.15. 解析 （1）因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α=，所以cos α==故πππsin sin cos cos sin 444ααα⎛⎛⎫+=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭（2）由（1）知4sin 22sin cos 25ααα⎛===- ⎝⎭， 223os 212sin 125αα=-=-⨯=⎝⎭，所以5π5π5πcos 2cos cos2sin sin 2666ααα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭314525⎛⎛⎫⨯+⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 评注 本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力.16. 解析 （1）因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以//DE PA .又因为PA ⊄平面DEF ，D E ⊂平面DEF ，所以直线//PA 平面DEF .（2）因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，6PA =，8BC =，所以//DE PA ，132DE PA ==，142EF BC ==.又因为5DF =，故222D F D E E F =+，所以90DEF ∠=，即DE EF ⊥.又PA AC ⊥，//DE PA ，所以DE AC ⊥.因为AC EF E =，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .又D E ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .PDCA评注 本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.17. 解析 设椭圆的焦距为2c ，则()1,0F c -，()2,0F c .（1）因为()0,B b，所以2BF a =.又2BF =a =因为点41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以22161991a b+=，解得21b =.故所求椭圆的方程为2212x y +=. （2）因为()0,B b ，()2,0F c 在直线AB 上，所以直线AB 的方程为1x yc b+=.解方程 组22221,1,x y c bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2122221222,,a c x a c b c a y a c ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，220,.x y b =⎧⎨=⎩所以A 的坐标为()22222222,b c a a c a c a c ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为()22222222,b a c a c a c a c ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭.因为直线1F C 的斜率为()()()2222222232223b a c b a c a c a c a c c c a c ---+=+--+，直线AB 的斜率为b c-，且1FC AB ⊥， 所以()222313b a c b a c c c -⎛⎫⋅-=- ⎪+⎝⎭.又222b a c =-，整理得225a c =.故215e =.因此e =. 评注 本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.18. 解析 （1）解法一：如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知()0,60A ，()170,0C ，直线BC 的斜率4tan 3BC k BCO =-∠=-. 因为AB BC ⊥，所以直线AB 的斜率34AB k =.设点B 的坐标为(),a b ，则041703BC b k b -==--，60304AB b k a -==-.解得80a =，120b =.所以150BC ==.因此新桥BC 的长是150m .（2）设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM d =m ()060d 剟.由条件知，直线BC 的方程为()41703y x =--，即436800x y +-=.由于圆M 与直线BC 相切，故点()0,M d 到直线BC 的距离是r ，即68035dr -=.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80m ，所以()80,6080,r d r d -⎧⎪⎨--⎪⎩……即()680380,568036080.5dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩……解得1035d 剟.故当10d =时，68035dr -=最大，即圆面积最大.所以当10OM =m 时，圆形保护区的面积最大.解法二：如图，延长OA ，CB 交于点F .因为4tan 3FCO ∠=，所以4sin 5FCO ∠=，3cos 5FCO ∠=.因为60OA =，170OC =，所以680tan 3OF OC FCO =∠=， 850cos 3OC CF FCO ==∠，从而5003AF OF OA =-=.因为OA OC ⊥，所以 4cos sin 5AFB FCO ∠=∠=.又因为AB BC ⊥，所以400cos 3BF AF AFB =∠=，从 而150BC CF BF =-=.因此新桥BC 的长是150m .（2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD BC ⊥，且MD 是圆M 的半径，并设M D =r m ，OM =d m()060d 剟.因为O AO C ⊥，所以s i n c o s C F O F C O ∠=∠.故由（1）知3sin 68053MD MD r CFO MF OF OM d ∠====--，所以 68035dr -=.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80m ，所以()80,6080,r d r d -⎧⎪⎨--⎪⎩……即()680380,568036080.5dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩……解得1035d 剟.故当10d =时，68035dr -=最大，即圆面积最大.所以当10OM =m 时，圆形保护区的面积最大. 评注 本题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.19. 解析 （1）证明：因为对任意x ∈R ，都有()()()e ee e x x x xf x f x -----=+=+=，所以()f x 是R 上的偶函数.（2）由条件知()e e 1e 1x x x m --+--…在()0,+∞上恒成立，令()e 0x t x =>，则1t >，所以21111111t m t t t t --=--+-++-…对任意1t >成立.因为111131t t -++=-…，所以1113111t t ---++-…，当且仅当2t =，即ln 2x =时等号成立.因此实数m 的取值范围1,3⎛⎤-∞-⎥⎝⎦. （3）令函数()()31e 3e x x g x a x x =+--+，则()()21e 31ex xg x a x '=-+-.当1x …时，1e 0ex x ->，210x -…，又0a >，故()0g x '>，所以()g x 是[)1,+∞上的单调增函数，因此()g x 在[)1,+∞上的最小值是()11e e 2g a -=+-.由于存在[)01,x ∈+∞，使()0030e e 30x x a x x -+--+<成立，当且仅当最小值()10g <，故1e e 20a -+-<，即1e e 2a -+>.令函数()()e 1ln 1h x x x =---，则()e 11h x x-'=-.令()0h x '=，得e 1x =-.当()0,e 1x ∈-时，()0h x '<，故()h x 是()0,e 1-上的单调减函数；当()e 1,x ∈-+∞时，()0h x '>，故()h x 是()e 1,-+∞上的单调增函数.所以()h x 在()0,+∞上的最小值是()e 1h -.注意到()1h =()e 0h =，所以当()()1,e 10,e 1x ∈-⊆-时，()()()e 110h h x h -<=…；当()()e 1,e e 1,x ∈-⊆-+∞时，()()e 0h x h <=.所以()0h x <对任意的()1,e x ∈成立.①当()1e e ,e 1,e 2a -⎛⎫+∈⊆ ⎪⎝⎭时，()0h a <，即()1e 1l n a a -<-，从而1e 1e a a --<；②当e a =时，1e 1e a a --=；③当()()e,e 1,a ∈+∞⊆-+∞时，()()e =0h a h >，即()1e 1ln a a ->-，故1e 1e a a -->.综上所述，当1e e ,e 2a -⎛⎫+∈⎪⎝⎭时，1e 1e a a --<；当e a =时，1e 1e a a --=；当()e,a ∈+∞时，1e 1e a a -->.评注 本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.20. 解析 （1）证明：由已知，当时，.于是对任意的正整数，总存在正整数，使得. 所以是“数列”.（2）由已知，得.因为是“数列”，所以存在正整数，使得，即，于是.因为，所以，故.从而.当时，是小于的整数，.于是对任意的正整数，总存在正整数，使得，所以是“数列”.因此的值为.（3）证明：设等差数列的公差为，则..令，，则，下证是“数列”. 设的前项和为，则.于是对任意的正整数，总存在正整数，使得.所以是“数列”. 同理可证也是“数列”.所以，对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得.评注 数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力.1n …111222n n n n n n a S S +++=-=-=n 1m n =+2n n m S a =={}n a H 2122S a d d =+=+{}n a H m 2m S a =()211d m d +=+-()21m d -=0d <20m -<1m =1d =-1d =-2n a n =-()32n n n S -=2*n ∈N n ()3222n n n m S -=-=-2n m S m a =-={}n a H d 1-{}n a d ()()()11111n a a n d na n d a =+-=+--()*n ∈N 1n b na =()()11n c n d a =--n n n a b c =+()*n ∈N {}n b H {}n b n n T ()112n n n T a +=()*n ∈N n ()12n n m +=n m T b ={}n b H {}n c H {}n a H {}n b {}n c n n na b c =+()*n ∈N数学II （附加题）21. A .解析 证明：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB OC =.故OCB B ∠=∠.又因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故B ∠，D ∠为同弧所对的两个圆周角，所以B D ∠=∠.因此OCB D ∠=∠.B .解析 由已知，得 1 22221 2y x y xy --+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦A α， 1 1222 -1 4y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦B α.因为=A αB α，所以22224y y xy y -++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦.故222,24.y y xy y -+=+⎧⎨+=-⎩解得1,24.x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以72x y +=. C .解析 将直线l的参数方程1,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入抛物线方程24y x =，得2241x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得10t =，2t =-所以12AB t t =-=D .解析 证明：因为0x >，0y >，所以210x y ++>…，21x y ++…故()()22119x y x y xy ++++=….22. 解析 （1）取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以22243229C C C 6315C 3618P ++++===. （2）随机变量X 所有可能取值为2，3，4.{}4X =表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故()()()13111213416312614P X P X P X ==-=-==--=. 所以随机变量X因此随机变量X 的数学期望()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=.评注 本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.23. 解析 （1）由已知，得()()102sin cos sin x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭， 于是()()21223cos sin sin 2cos 2sin x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1223π4π2162π2ππf f ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故12πππ21222f f ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）证明：由已知，得()0sin xf x x =，等式两边分别对x 求导，得()()00cos f x xf x x '+=，即()()01πcos sin 2f x xf x x x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，类似可得()()()122sin sin πf x xf x x x +=-=+，()()233π3cos sin 2f x xf x x x ⎛⎫+=-=+ ⎪⎝⎭，()()()344sin sin 2πf x xf x x x +==+.下面用数学归纳法证明等式()()1n πsin 2n n nf x xf x x -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭对所有的*n ∈N 都成立.（i ）当1n =时，由上可知等式成立.（ii ）假设当n k =时等式成立，即()()1k πsin 2k k kf x xf x x -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.因为()()()()()()()()1111k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x xf x --+'''⎡+⎤=++=++⎣⎦，()1πk πk πk πsin cos sin 2222k x x x x ''⎡+⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以()()()()11π1sin 2k k k k f x xf x x +⎡+⎤++=+⎢⎥⎣⎦.因此当1n k =+时，等式也成立.综合（i ），（ii ）可知等式()()1n πsin 2n n nf x xf x x -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，对所有的*n ∈N 都成立.令π4x =，可得()*1ππππn πsin 44442n n nf f n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N .所以1πππ444n n nf f -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()*n ∈N . 评注 本题主要考查简单地复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.。