2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题第3课时定点定值探索性问题课件文
x2 y2 故所求椭圆方程为 4 ＋ 3 ＝1.
(2)直线l：x＝2 2 与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1，A2的动点，直线 A1P，A2P分别交直线l于E，F两点，求证：DE· DF为定值.
证明
题型三 探索性问题
例3 x2 y2 2 (2015· 四川)如图，椭圆 E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率是 2 ，
证明
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2
3
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5
x2 y2 3 3.椭圆 E：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 ，点( 3， 2)为椭圆上的一点.
(1)求椭圆E的标准方程； 解答
3 3 3 2 2 2 因为 e＝ 3 ，所以 c＝ 3 a，a ＝b ＋( 3 a) . 3 2 又椭圆过点( 3， 2)，所以a2＋b2＝1. 由①②，解得a2＝6，b2＝4， ①
证明
思维升华
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式， 代入代数式、化简即可得出定值. (2)求点到直线的距离为定值 .利用点到直线的距离公式得出距离的解 析式，再利用题设条件化简、变形求得. (3)求某线段长度为定值 .利用长度公式求得解析式，再依据条件对解 析式进行化简、变形即可求得.
解答
题型二 定值问题
x2 y2 例2 如图，已知椭圆C： ＋ ＝1 ，点B是其下顶点，过点B的直线交 12 4 椭圆C于另一点A(点A在x轴下方)，且线段AB的中点E在直线y＝x上.
(1)求直线AB的方程； 解答
(2)若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线y＝x 于点M，N，证明：OM· ON为定值.
解决探索性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存 在，若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论. (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件. (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采 取另外合适的方法.
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连结PF1，PF2，设∠F1PF2的角平
分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共 1 1 点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k2≠0，证明 ＋ 为定值，并 kk1 kk2 求出这个定值.
跟踪训练 1
(2016· 河北衡水中学调研)如图，已知椭圆 C 的中心在原点，
2 焦点在 x 轴上， 离心率 e＝ 2 ， F 是右焦点， A 是右顶点， B 是椭圆上一点， 2 BF⊥x 轴，BF＝ 2 .
(1)求椭圆C的方程；
解答
几何画板展示
(2)设直线 l： x＝ty＋λ 是椭圆 C 的一条切线， 点 M(－ 2， y1)， 点 N( 2， y2)是切线 l 上两个点，证明：当 t，λ 变化时，以 MN 为直径的圆过 x 轴上的定点，并求出定点坐标.
椭圆C于另一点E，证明：直线AE与x轴相交于定点. 证明
1
2
3
4
5
*5.已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为
原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：
x
y
3
－2 3
－2
0
4
4
2
2 2
(1)求C1，C2的标准方程；
解答
1
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3
4
5
(2)是否存在直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱl满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M，
§9.8 圆锥曲线的综合问题
第3课时 定点、定值、探索性问题
内容索引
题型分类 课时作业
深度剖析
题型分类
深度剖析
题型一 定点问题
例 1 x2 y2 (2016· 镇江模拟)已知椭圆a2＋b2＝1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、
焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交 → → 于点 Q、P，与椭圆分别交于点 M、N，各点均不重合且满足PM＝λ1MQ， → → PN＝λ2NQ.
②
x2 y2 所以椭圆 E 的标准方程为 6 ＋ 4 ＝1.
1 2 3 4 5
(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1)，且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E 的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值.
证明
1
2
3
4
5
x y 4.(2017· 江苏命题专家原创)已知椭圆 C：a2＋b2＝1 (a>b>0)的左，右焦 点分别为 F1，F2，椭圆 C 过点 M(0， 3)，且△MF1F2 为正三角形.
→ → 点 P(0,1)在短轴 CD 上，且PC· PD＝－1.
(1)求椭圆E的方程； 解答
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点.是否存在常
→ → → → 为定值？若存在，求 λ 的值；若不存在， 数λ，使得 OA · OB＋λPA· PB
请说明理由.
解答
几何画板展示
思维升华
证明
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2
3
4
5
2.(2016· 云南师范大学附属中学月考)已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，离心 2 5 2 5 率等于 5 ，且过点(1， 5 ).
(1)求椭圆C的标准方程； 解答
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3
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(2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点， 交 y 轴于点 M， → → → → 若MA＝λ1AF，MB＝λ2BF，求证：λ1＋λ2 为定值.
→ → ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明 N，且满足 OM ⊥ON
理由.
解答
1
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3
4
5
跟踪训练 2
x2 y2 (2016· 大庆第二次教学质量检测)已知椭圆 C： a2＋b2＝1(a>b>0)
1 的离心率是2，其左，右顶点分别为 A1，A2，B 为短轴的一个端点，△A1BA2 的面积为 2 3.
(1)求椭圆C的方程； 解答
c 1 e＝ ＝ ， a 2 由已知，可得ab＝2 3， 解得 a＝2，b＝ 3. a2＝b2＋c2，
思想方法指导 规范解答
课时作业
x2 y2 3 1.已知椭圆a2＋b2＝1 (a>b>0)的离心率为 2 ，且过点 A(0,1).
(1)求椭圆的标准方程； 解答
3 c 由题意知，e＝a＝ 2 ，b＝1，
所以a2－c2＝1，解得a＝2，
x2 2 所以椭圆的标准方程为 4 ＋y ＝1.
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(2)过点 A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 M，N 两点.求证：直线 3 MN 恒过定点 P(0，－5).
(1)求椭圆的标准方程； 解答
几何画板展示
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点. 证明
思维升华
圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研 究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定 点与变量无关.
2
2
(1)求椭圆C的方程； 解答
∵椭圆 C 过点 M(0， 3)，∴b＝ 3，
又△MF1F2为正三角形，且MF1＝MF2＝a， 1 b ∴a＝sin 60° ＝2，c＝2a＝1， x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 4 ＋ 3 ＝1.
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(2)垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，过点P(4，0)的直线PB交
跟踪训练3 (2016· 苏锡常镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知 2 2 x y 椭圆C： 2＋ 2＝1 (a>b>0) 的左，右焦点分别为 F1 ， F2 ，右顶点，上顶 a b 点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab. (1)若椭圆C的离心率等于 6 ，求椭圆C的方程； 3
解答
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(2) 若过点 (0,1) 的直线 l 与椭圆有且只有一个公共点 P ，且 P在第二象限， 直线PF2交y轴于点Q.试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说 明理由．
解答
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思想与方法系列20
设而不求，整体代换
x2 y2 典例 (16分)椭圆C： 2＋ 2＝1 (a>b>0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ，离心率 a b 为 3 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. 2 (1)求椭圆C的方程；
2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题 第1课时 直线与
2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线教师用书文北师大版1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c ＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2 |x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 C解析 结合图形(图略)分析可知， 满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．2．(2016·青岛模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 答案 C解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23.4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________. 答案 16解析 直线l 的方程为y ＝3x ＋1， 由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝14，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________． 答案 4解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝m ， 代入x 24－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝＋m2＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2， 所以|AB |＝41＋m 2≥4， 即当m ＝0时，|AB |有最小值4.第1课时 直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 (2016·烟台模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ， 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点． 题型二 弦长问题例2 (2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积． (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.(1)解 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0，由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明 将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， 由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k2，得x 1＝－4k23＋4k2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k23＋4k 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k23k 2＋4. 由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k 3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0， 设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点，f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2. 思维升华 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程． 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－b2a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2]，即43a ＝4ab2a 2＋b2，故a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3. 由|PA |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.题型三 中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________． 答案 (1)D (2)x ＋2y －8＝0解析 (1)因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D.(2)设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2.又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.命题点2 由中点弦解决对称问题例4 (2015·浙江)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． 解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2＞0，①将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，②由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22.当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直直线AB 且A ，B的中点在直线l 上的应用．已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________． 答案 0或－8解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1， ①x 22－y223＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2.∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3，∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称， ∴k MN ＝－1， ∴y 0＝－3x 0.又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4，3m 4，代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4， 解得m ＝0或－8，经检验都符合．1．(2016·泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，3) D ．(3，＋∞) 答案 B解析 要使直线与双曲线恒有两个公共点， 则渐近线的斜率的绝对值应大于3，所以|ba|>3，所以e ＝1＋b 2a2>2， 即e ∈(2，＋∞)，故选B.2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94 D ．4 答案 C解析 易知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)，∴|AB |为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB 中点N (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，∴x 1＋x 22＝74. ∴AB 中点到直线x ＋12＝0的距离为74＋12＝94.3．(2016·青岛模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)与直线ax ＋y －4＝0相交于A ，B 两点，其中A 点的坐标是(1,2)．如果抛物线的焦点为F ，那么|FA |＋|FB |等于( )A ．5B ．6C ．3 5D ．7 答案 D解析 把点A 的坐标(1,2)分别代入抛物线y 2＝2px 与直线方程ax ＋y －4＝0，得p ＝2，a ＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，2x ＋y －4＝0消去y ，得x 2－5x ＋4＝0， 则x A ＋x B ＝5.由抛物线定义得|FA |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ＝7，故选D.4．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0答案 A解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点，故选A. 5．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52D. 5 答案 D解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b ax ， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，y ＝x 2＋1消去y ， 得x 2－b a x ＋1＝0有唯一解， 所以Δ＝(ba )2－4＝0，ba ＝2， e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝ 1＋b a 2＝ 5. 6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在答案 D解析 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则A ，B 到直线x ＝－1的距离之和为x 1＋x 2＋2.设直线方程为x ＝my ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，则y 2＝4(my ＋1)，即y 2－4my －4＝0，∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2.∴x 1＋x 2＋2＝4m 2＋4≥4.∴A ，B 到直线x ＝－2的距离之和为x 1＋x 2＋2＋2≥6>5.∴满足题意的直线不存在．7．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若使得|AB |＝λ的直线l 恰有三条，则λ＝________.答案 4解析 ∵使得|AB |＝λ的直线l 恰有三条．∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直．此时A ，B 的横坐标为3，代入双曲线方程，可得y ＝±2，故|AB |＝4.∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，综上可知，|AB |＝4时，有三条直线满足题意．∴λ＝4.8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________． 答案 6解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取得最大值6.9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________． 答案 3x ＋4y －13＝0解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得 x 1＋x 2x 1－x 216＋y 1＋y 2y 1－y 24＝0.又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)． 即3x ＋4y －13＝0.10．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C 交于A ，B 两点，记直线FA ，FB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2＝________.答案 0解析 由y 2＝4x ，得抛物线焦点F (1,0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4－2k 2k 2，x 1x 2＝1. k 1＋k 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1＝k x 1＋x 2－＋k x 2＋x 1－x 1－x 2－ ＝2k x 1x 2－x 1－x 2－＝2k －x 1－x 2－＝0.11．(2016·郑州模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6，圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6. 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝8，b 2＝4.所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1.(2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2(2,0)，|F 2C |＝－2＋＋22＝2< 6.所以F 2在C 内，故过F 2没有圆C 的切线，设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.点C (2，－2)到直线l 的距离d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k2， 由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k 2＝ 6. 解得k ＝25或k ＝－2， 故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.12．(2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．(1)解 由题意得a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b 2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k， 即k OM ·k ＝－12. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．13.(2016·广州联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设点M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又PQ ⊥y 轴，∴P (x 2，y )． ∵点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点，∴(x 2)2＋y 2＝1， 即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知直线l 不与y 轴垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1.① 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，消去x ， 得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0. 其中Δ＝(2mt )2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝16(t 2－m 2)＋64＝48>0.∴y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.② ∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22 ＝[t y 1－y 22＋y 1－y 22 ＝t 2＋1y 1＋y 22－4y 1y 2.将①②代入上式得|AB |＝t 2＋1 4m 2t2t 2＋2－m 2－t 2＋4＝43|m |m 2＋3，|m |≥1，∴S △AOB ＝12|AB |·1 ＝12×43|m |m 2＋3＝23|m |＋3|m |≤2323＝1， 当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立． ∴(S △AOB )max ＝1.。
2018版高考数学理人教大一轮复习讲义教师版文档第九章
1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的基本步骤【知识拓展】1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( √ ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( × ) (5)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )1．(教材改编)已知点F (14，0)，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线答案 D解析 由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知， 点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．2．(2017·广州调研)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线答案 D解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．3．(2016·南昌模拟)已知A (－2,0)，B (1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则P 点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≠0) B ．(x ＋1)2＋y 2＝1(y ≠0) C ．(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0) D ．(x －1)2＋y 2＝1(y ≠0) 答案 C解析 由角的平分线性质定理得|P A |＝2|PB |， 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，整理得(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)，故选C.4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨迹方程是________________． 答案 x 2a 2＋4y 2b2＝1解析 设MN 的中点为P (x ，y )， 则点M (x,2y )在椭圆上，∴x 2a 2＋(2y )2b 2＝1，即x 2a 2＋4y 2b2＝1(a >b >0)． 5．(2016·唐山模拟)设集合A ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝45}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝165}，C ＝{(x ，y )|2|x －3|＋|y －4|＝λ}．若(A ∪B )∩C ≠∅，则实数λ的取值范围是________． 答案 [255，4]解析 由题意可知，集合A 表示圆(x －3)2＋(y －4)2＝45上的点的集合，集合B 表示圆(x －3)2＋(y －4)2＝165上的点的集合，集合C 表示曲线2|x －3|＋|y －4|＝λ上的点的集合，这三个集合所表示的曲线的中心都在(3,4)处，集合A 、B 表示圆，集合C 则表示菱形，可以将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，可求得λ的取值范围是[255，4]．题型一 定义法求轨迹方程例1 如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)；由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线． 解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－|MO 1|＝3<4＝|O 1O 2|.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－32)．题型二 直接法求轨迹方程例2 (2016·广州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解 (1)依题意得，c ＝5，e ＝c a ＝53，因此a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 24＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0， 则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，x 29＋y 24＝1，得x 29＋[k (x －x 0)＋y 0]24＝1， 即(9k 2＋4)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2－4]＝0， Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－36(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0，整理得(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0.又所引的两条切线相互垂直， 设两切线的斜率分别为k 1，k 2， 于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4x 20－9＝－1，即x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在，则易得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－2， 经检验知均满足x 20＋y 20＝13.因此，动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2＋y 2＝13.思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即(a －c )2＋b 2＝2c ， 整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0， 得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝⎛⎭⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是AM →＝⎝⎛⎭⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2， 即⎝⎛⎭⎫8315y －35x ·x ＋⎝⎛⎭⎫85y －335x ·3x ＝－2. 化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0.所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)． 题型三 相关点法求轨迹方程例3 (2016·大连模拟)如图所示，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以点A 的坐标为(－1，14)，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14.因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上， 所以y 0＝－12×(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p .②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，x 1≠x 2.由N 为线段AB 的中点，知 x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④所以切线MA ，MB 的方程分别为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ， AB 的中点N 为点O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 的中点N 的轨迹方程是x 2＝43y .思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程． 解 设△ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax ，消去y 并整理得 x 2－12ax ＋16a 2＝0. ∴x 1＋x 2＝12a ，y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a .∵G (x ，y )为△ABC 的重心， ∴⎩⎨⎧x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a 3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a . 又点C (x 0，y 0)在抛物线上，∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得 (3y －4a )2＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )．又点C 与A ，B 不重合，∴x 0≠(6±25)a ， ∴△ABC 的重心的轨迹方程为 (y －4a 3)2＝4a 3(x －4a )(x ≠(6±253)a )．22．分类讨论思想在曲线方程中的应用典例 (12分)已知抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP ||OQ |＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹．思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x 2，y 2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论． (2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程． (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题． 规范解答解 (1)因为抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)， 所以(－22)2＝4p ，解得p ＝2. 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1. 又椭圆的离心率为12，所以a ＝2，可得b 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为 x 24＋y 23＝1. [3分](2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]， 设P (x ，y 0)，因为P 为椭圆上一点，所以x 24＋y 23＝1，解得y 20＝3－34x 2. 由|OP ||OQ |＝λ可得|OP |2|OQ |2＝λ2， 故x 2＋3－34x 2x 2＋y2＝λ2，得(λ2－14)x 2＋λ2y 2＝3，x ∈[－2,2]．[6分]当λ2＝14，即λ＝12时，得y 2＝12，点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈[－2,2]， 此轨迹是两条平行于x 轴的线段；[8分] 当λ2<14，即0<λ<12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1，此轨迹表示实轴在y 轴上的双曲线满足x ∈[－2,2]的部分；[10分] 当λ2>14，即λ>12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1.此轨迹表示长轴在x 轴上的椭圆满足x ∈[－2,2]的部分．[12分]1．(2017·宜春质检)设定点M 1(0，－3)，M 2(0,3)，动点P 满足条件|PM 1|＋|PM 2|＝a ＋9a (其中a是正常数)，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．椭圆或线段 D ．不存在答案 C解析 ∵a 是正常数，∴a ＋9a≥29＝6.当|PM 1|＋|PM 2|＝6时，点P 的轨迹是线段M 1M 2； 当a ＋9a >6时，点P 的轨迹是椭圆，故选C.2．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y答案 B解析 ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ>0，满足题意．3．(2016·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0 D ．2x －y ＋5＝0 答案 D解析 由题意知，M 为PQ 中点， 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )， 代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.4．(2016·太原模拟)已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 B解析 ∵e 是方程2x 2－5x ＋2＝0的根， ∴e ＝2或e ＝12.mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 24＋y 2m＝1，当它表示焦点在x 轴上的椭圆时， 有4－m 2＝12，∴m ＝3； 当它表示焦点在y 轴上的椭圆时， 有m －4m＝12，∴m ＝163； 当它表示焦点在x 轴上的双曲线时， 可化为x 24－y 2－m ＝1，有4－m2＝2，∴m ＝－12. ∴满足条件的圆锥曲线有3个．5．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为( ) A ．y ＝－2x B ．y ＝2x C ．y ＝2x －8 D ．y ＝2x ＋4答案 B解析 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎨⎧x ＋x12＝1，y ＋y12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y . ∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x .6．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线 答案 A解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．7．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，且a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，所以③正确．8．(2017·西安月考)已知△ABC 的顶点A ，B 坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ，则C 点的轨迹方程为________________．答案 x 225＋y 29＝1(x ≠±5)解析 由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10，则|AC |＋|BC |＝10>8＝|AB |，∴满足椭圆定义． 令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3，则轨迹方程为 x 225＋y 29＝1(x ≠±5)． 9.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．答案 x 24a 2＋y 24b2＝1解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝(－x 2，－y 2)，即P 点坐标为(－x 2，－y2)，又P 在椭圆上，则有(－x 2)2a 2＋(－y2)2b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.10．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________________． 答案 x 24＋y 23＝1(y ≠0)解析 设抛物线的焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1， 则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，∴|F A |＋|FB |＝4>2＝|AB |，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点， 长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．11．已知实数m >1，定点A (－m,0)，B (m,0)，S 为一动点，点S 与A ，B 两点连线斜率之积为－1m 2. (1)求动点S 的轨迹C 的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)若m ＝2，问t 取何值时，直线l ：2x －y ＋t ＝0(t >0)与曲线C 有且只有一个交点？ 解 (1)设S (x ，y )，则k SA ＝y －0x ＋m ，k SB ＝y －0x －m. 由题意，得y 2x 2－m 2＝－1m 2， 即x 2m2＋y 2＝1(x ≠±m )． ∵m >1，∴轨迹C 是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去x 轴上的两顶点)，其中长轴长为2m ，短轴长为2.(2)m ＝2，则曲线C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋t ＝0，x 22＋y 2＝1， 消去y ，得9x 2＋8tx ＋2t 2－2＝0. 令Δ＝64t 2－36×2(t 2－1)＝0，得t ＝±3. ∵t >0，∴t ＝3.此时直线l 与曲线C 有且只有一个交点．12．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过左焦点且倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为423.(1)求椭圆E 的方程；(2)若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点M (1，0)作l 的垂线，垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程．解 (1)因为椭圆E 的离心率为22， 所以a 2－b 2a ＝22.解得a 2＝2b 2，故椭圆E 的方程可设为 x 22b 2＋y 2b 2＝1， 则椭圆E 的左焦点坐标为(－b,0)，过左焦点且倾斜角为45°的直线方程为l ′：y ＝x ＋b . 设直线l ′与椭圆E 的交点为A ，B ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝x ＋b消去y ， 得3x 2＋4bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－4b 3.因为|AB |＝1＋12|x 1－x 2| ＝42b 3＝423， 解得b ＝1.故椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，联立直线l 和椭圆E 的方程， 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，消去y 并整理， 得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 和椭圆E 有且只有一个交点， 所以Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0. 化简并整理，得m 2＝2k 2＋1.因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为y ＝－1k (x －1)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k (x －1)，y ＝kx ＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－km1＋k 2，y ＝k ＋m1＋k 2，所以x 2＋y 2＝(1－km )2＋(k ＋m )2(1＋k 2)2＝k 2m 2＋k 2＋m 2＋1(1＋k 2)2＝(k 2＋1)(m 2＋1)(1＋k 2)2＝m 2＋11＋k 2， 把m 2＝2k 2＋1代入上式得x 2＋y 2＝2.(*) ②当切线l 的斜率为0时，此时Q (1,1)或Q (1，－1)，符合(*)式．③当切线l 的斜率不存在时，此时Q (2，0)或Q (－2，0)符合(*)式． 综上所述，点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.*13.(2016·河北衡水中学三调)如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于点Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)设直线l 与(1)中轨迹Γ相交于A ，B 两点，直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2(其中k >0)，△OAB 的面积为S ，以OA ，OB 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2，若k 1，k ，k 2恰好构成等比数列，求S 1＋S 2S 的取值范围．解 (1)连接QF ，根据题意，|QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP | ＝4>|EF |＝23，故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点， 长轴长为4的椭圆．设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，可知a ＝2，c ＝a 2－b 2＝3，则b ＝1， ∴点Q 的轨迹Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，整理得， (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0，x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2.∵k 1，k ，k 2构成等比数列， ∴k 2＝k 1k 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2，整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0，解得k 2＝14. ∵k >0，∴k ＝12.此时Δ＝16(2－m 2)>0， 解得m ∈(－2，2)．又由A ，O ，B 三点不共线得m ≠0， 从而m ∈(－2，0)∪(0，2)． 故S ＝12|AB |d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·|m |1＋k 2＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2·|m | ＝2－m 2|m |.又x 214＋y 21＝x 224＋y 22＝1， 则S 1＋S 2＝π4(x 21＋y 21＋x 22＋y 22)＝π4(34x 21＋34x 22＋2) ＝3π16[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋π2＝5π4为定值． ∴S 1＋S 2S ＝5π4×1(2－m 2)m2≥5π4， 当且仅当m ＝±1时等号成立． 综上，S 1＋S 2S ∈[5π4，＋∞)．。
2018版高考数学(理)(人教)大一轮复习讲义第九章平面解析几何9.2
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × ) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × ) (3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、 A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( √ )
思想方法指导 规范解答
因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y ＋c＝0(c≠1).
二、垂直直线系 由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋ B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系.可以 考虑用直线系方程求解. 典例2 求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.
跟踪训练2 (1)如图，设一直线过点 (－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝ 0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在 直线l3：x－y－1＝0上，求其方程. 解答
(2)(2016·济南模拟)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5 ＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值 是 答案 解析
得关于 l 的对称直线方程为
5
－ 5 －2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0.
(3)直线l关于(1,2)的对称直线. 解答
在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，
x′＋0
y′＋3
∴ 2 ＝1，x′＝2， 2 ＝2，y′＝1，∴M′(2,1).
l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，
(北京专用)高考数学一轮复习第九章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题课件文
S= 1 |AN|·|BM|
2
=
1 2
2
x0 y0
1
1
2 x0
y0 2
= x02 4 y02 4x0 y0 4x0 8 y0 4
2(x0 y0 x0 2 y0 2)
= 2x0 =y02. 2x0 4 y0 4
x0 y0 x0 2 y0 2
从而四边形ABNM的面积为定值.
②试探究k1+k2是否为定值,并说明理由.
第十四页，共24页。
解析 (1)由椭圆过点(0, 2),得b= .2 因为a+b=3 2, 故a=2 2.
所以椭圆C的方程为 x2 +y2 =1.
82
(2)①若直线过椭圆的左顶点,
则直线的方程是l:y= 1 x+ 2,
2
由
y 1x 2
2解得
x2 y2 1,
因为点A在y轴的右侧,所以 m =1 ,解得m4= ,
43
3
由点A在椭圆上,解得n=±1 ,
3
于是存在点A
4 3
,,使13得 S△ABP=
S△1ABM.
2
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1-1 (2017北京朝阳一模)过点A(1,0)的直线l与椭圆C: x2 +y2=1相交于E,
3
F两点,自E,F分别向直线x=3作垂线,垂足分别为E1,F1. (1)当直线l的斜率为1时,求线段EF的中点坐标; (2)记△AEE1,△AFF1的面积分别为S1,S2.设λ=S1S2,求λ的取值范围.
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2-1
(2016北京东城期末)已知椭圆C:
x a
2 2
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高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 第3课时 定点、定值、探索性问
2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9 圆锥曲线的综合问题第3课时定点、定值、探索性问题教师用书理新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9 圆锥曲线的综合问题第3课时定点、定值、探索性问题教师用书理新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第3课时定点、定值、探索性问题题型一定点问题例1 (2017·长沙联考)已知椭圆错误!＋错误!＝1(a>0，b〉0)过点（0,1），其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足错误!＝λ1错误!，错误!＝λ2错误!.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．(1)解设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且（2a）2＋(2b)2＝2（2c)2，又a2＝b2＋c2，∴a2＝3。
∴椭圆的方程为错误!＋y2＝1。
(2）证明由题意设P（0，m），Q（x0，0)，M(x1，y1），N（x2,y2）,设l方程为x＝t(y－m），由错误!＝λ1错误!知（x1,y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝错误!－1.同理由错误!＝λ2错误!知λ2＝错误!－1。
∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m（y1＋y2）＝0，①联立错误!得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3）〉0，②且有y1＋y2＝2mt2t2＋3，y1y2＝错误!,③③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴（mt）2＝1,由题意mt<0，∴mt＝－1,满足②,得直线l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0），即Q为定点．思维升华圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．（2）特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关．(2016·河北衡水中学调研)如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝错误!,F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴,|BF｜＝错误!。
2018年高考数学总复习教师用书第九章 平面解析几何 第9讲 圆锥曲线的综合问题 Word版含答案
第讲圆锥曲线的综合问题最新考纲.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；.了解圆锥曲线的简单应用；.理解数形结合的思想.知识梳理.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程＋＋＝(，不同时为)代入圆锥曲线的方程(，)＝，消去(也可以消去)得到一个关于变量(或变量)的一元方程，即消去，得＋＋＝.，设一元二次方程＋＋＝的判别式为时当Δ()≠则相交，直线与圆锥曲线⇔；Δ＞＝Δ⇔；直线与圆锥曲线相切⇔Δ＜.相离直线与圆锥曲线()当＝，≠时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为则直线与双曲线的渐近线的位置关系是双曲线平行，；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴平行或重合的位置关系是..圆锥曲线的弦长设斜率为(≠)的直线与圆锥曲线相交于，两点，(，)，(，)，则＝－＝·＝·.－＝·诊断自测.判断正误(在括号内打“√”或“×”) ()直线与椭圆相切的充要条件是：直线与椭圆只有一个公共点.( ) ()直线与双曲线相切的充要条件是：直线与双曲线只有一个公共点.( )()直线与抛物线相切的充要条件是：直线与抛物线只有一个公共点.( ) ()如果直线＝＋与圆锥曲线相交于(，)，(，)两点，则弦长＝－.( ) ()若抛物线上存在关于直线对称的两点，则需满足直线与抛物线的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ＞.( )解析()因为直线与双曲线的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.()因为直线与抛物线的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切. ()应是以为垂直平分线的线段所在的直线′与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式Δ＞.答案()√()×()×()√()×.直线＝－＋与椭圆＋＝的位置关系为( ).相交.相切 .相离 .不确定解析直线＝－＋＝(－)＋恒过定点(，)，又点(，)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.答案.若直线＝与双曲线－＝相交，则的取值范围是( )∪解析双曲线－＝的渐近线方程为＝±，若直线与双曲线相交，数形结合，得∈.答案.过点(，)作直线，使它与抛物线＝仅有一个公共点，这样的直线有( )条条条条解析过(，)与抛物线＝相切的直线有条，过(，)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点.答案.已知，是椭圆＋＝的两个焦点，是椭圆上一点，且⊥，则△的面积为.解析由题意可得＋＝＝，＋＝＝＝＝(＋)－·＝－·，解得·＝，所以△的面积为·＝×＝.答案.(·嘉兴七校联考)椭圆＋＝的左焦点为，直线＝与椭圆相交于点，，当＝时，△的周长最大，此时△的面积是.解析设椭圆＋＝的右焦点为′，则(－，)，′(，).由椭圆的定义和性质易知，当直线＝过′(，)时△的周长最大，此时＝，把＝代入＋＝得＝，＝±，△＝＝××＝.答案第课时直线与圆锥曲线考点一直线与圆锥曲线的位置关系【例】在平面直角坐标系中，已知椭圆：＋＝(＞＞)的左焦点为(－，)，且点(，)在上.()求椭圆的方程；()设直线同时与椭圆和抛物线：＝相切，求直线的方程.解()椭圆的左焦点为(－，)，∴＝，又点(，)在曲线上，∴＋＝，得＝，则＝＋＝，所以椭圆的方程为＋＝.。
2018版高考数学理北师大版大一轮复习讲义教师版文档
1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F 叫作抛物线的焦点，直线l 叫作抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的2．y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4. 3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )1．(2016·四川)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0)答案 D解析 ∵对于抛物线y 2＝ax ，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0， ∴对于y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．2．(2016·张掖一诊)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 准线方程为x ＝－1.根据题意，可得|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]答案 C解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________． 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0)．将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .5．(2017·合肥月考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________． 答案 2解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，圆x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，所以3＋p2＝4，解得p ＝2.题型一 抛物线的定义及应用例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．答案 4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.引申探究1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝16＋4＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．(2016·西安市铁一中学模拟)已知点P是抛物线y2＝－8x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x＋y－10＝0的距离是d2，则d1＋d2的最小值是()A. 3 B．2 3 C．6 2 D．3答案 C解析 ∵抛物线方程是y 2＝－8x ，∴抛物线的焦点为F (－2,0)，准线方程是x ＝2(如图)，∴d 1＋d 2的最小值是焦点F 到直线x ＋y －10＝0的距离，即(d 1＋d 2)min ＝|－2＋0－10|1＋1＝6 2.题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y答案 D解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，ba＝ 3. x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x .由题意得p 21＋(3)2＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y . 命题点2 抛物线的几何性质例3 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)．由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫my ＋p2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p(定值)． (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．(1)(2016·全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)(2016·昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( ) A.33 B ．1 C.233D ．2 答案 (1)B (2)A解析 (1)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0,22)， D ⎝⎛⎭⎫－p2，5， 点A (x 0,22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，①点A (x 0,22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝⎛⎭⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上， ∴5＋⎝⎛⎭⎫p 22＝r 2，③联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B. (2)设|AF |＝a ，|BF |＝b ，分别过A 、B 作准线的垂线，垂足分别为Q 、P ， 由抛物线的定义知，|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |， 在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b . |AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120° ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab . 又ab ≤(a ＋b 2)2，所以(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－14(a ＋b )2＝34(a ＋b )2，得到|AB |≥32(a ＋b )，所以|MN ||AB |≤12(a ＋b )32(a ＋b )＝33，即|MN ||AB |的最大值为33. 题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16. 因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2) ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． (1)证明 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ， R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－aba ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)． 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)， 所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1(x ≠1)．思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．(2016·北京东城区质检)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程． 解 (1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p .所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x . (2)依题意知l 与坐标轴不垂直， 故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为E (2m 2＋2m 2＋3，－2m )，|MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4(m 2＋1)2m 2＋1m 2， 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋(2m ＋2m )2＋(2m 2＋2)2＝4(m 2＋1)2(2m 2＋1)m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.7．直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．思维点拨 (3)中证明QA →·QB →＝0. 规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m )．[2分](2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分] (3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.[6分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m)．[8分]得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m )，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)， 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m )＝0，[10分] 结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．[12分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．1．(2017·昆明质检)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝－12，那么抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x答案 C解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋p 2)(my 2＋p 2)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2答案 B解析 ∵y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.3．(2016·上饶四校联考)设抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C解析 ∵抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F (3p4，0)，∴|OF |＝3p 4， ∵以MF 为直径的圆过点(0,2)，设A (0,2)，连接AF ，AM ，可得AF ⊥AM ，在Rt △AOF 中，|AF |＝4＋9p 216，∴sin ∠OAF ＝|OF ||AF |＝3p 44＋9p 216， 根据抛物线的定义，得直线AO 切以MF 为直径的圆于点A ，∴∠OAF ＝∠AMF ， 可得在Rt △AMF 中，sin ∠AMF ＝|AF ||MF |＝3p 44＋9p 216， ∵|MF |＝5，|AF |＝4＋9p 216，∴ 4＋9p 2165＝3p 44＋9p 216，整理得4＋9p 216＝15p 4，解得p ＝43或p ＝163，∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( ) A ．－4 B ．4 C ．p 2 D ．－p 2答案 A解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，∴x 1x 2＝p 24；∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设AB 的直线方程为y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.∴y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4.5．(2016·江西南昌第一次模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是线段PF 与C 的一个交点，若|FP |＝3|QF |，则|QF |等于( ) A.83 B.52 C ．3 D ．2 答案 A解析 如图所示，过点Q 作QM ⊥l ，设l 与x 轴交于点K ，由抛物线定义知，|MQ |＝|QF |， 由△PMQ ∽△PKF ，得|MQ |：|KF |＝|PQ |∶|PF |＝2∶3，所以|QF |＝|MQ |＝23|KF |＝23×4＝83， 故选A.6．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，则|PF ||P A |的最小值是( )A.12B.22C.32D.223 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1， 如图，过P 作PN 垂直直线x ＝－1于N ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PN |，连接P A ， 在Rt △P AN 中，sin ∠P AN ＝|PN ||P A |， 当|PN ||P A |＝|PF ||P A |最小时，sin ∠P AN 最小， 即∠P AN 最小，即∠P AF 最大，此时，P A 为抛物线的切线，设P A 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1，所以∠P AF ＝∠NP A ＝45°， |PF ||P A |＝|PN ||P A |＝cos ∠NP A ＝22，故选B. 7．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案 12解析 焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，0，方法一 直线AB 的斜率为33， 所以直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.方法二 由抛物线焦点弦的性质可得 |AB |＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12.8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝MB →，则p ＝________. 答案 2解析 如图， 由AB 的斜率为3，知∠α＝60°，又AM →＝MB →， ∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ， 则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°， ∴|BP |＝12|AB |＝|BM |.∴M 为焦点，即p2＝1，∴p ＝2.9．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________. 答案 6解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， 准线方程为x ＝－2.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，c ＝2，c a ＝12，可得a ＝4，b 2＝16－4＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.把x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3. 从而|AB |＝6.10.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________． 答案 (2,4) 解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条． 当k 存在时，x 1≠x 2， 则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2. 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1，即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上．将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23<y 0<2 3. 因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2，故r 2＝y 20＋4<12＋4＝16.又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)， 所以4<r 2<16，即2<r <4.11．(2016·沈阳模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0.所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x . (2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而B (4,42)．设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.12．设P ，Q 是抛物线y 2＝2px (p >0)上相异两点，P ，Q 到y 轴的距离的积为4，且OP →·OQ →＝0. (1)求该抛物线的标准方程；(2)过点Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．解 (1)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， ∵OP →·OQ →＝0，则x 1x 2＋y 1y 2＝0.又点P ，Q 在抛物线上，∴y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，代入得y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0，y 1y 2＝－4p 2， ∴|x 1x 2|＝(y 1y 2)24p 2＝4p 2. 又|x 1x 2|＝4， ∴4p 2＝4，p ＝1，∴抛物线的标准方程为y 2＝2x .(2)设直线PQ 过点E (a,0)且方程为x ＝my ＋a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋a ，y 2＝2x ，消去x 得y 2－2my －2a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2a ，① 设直线PR 与x 轴交于点M (b,0)， 则可设直线PR 的方程为x ＝ny ＋b ，并设R (x 3，y 3)，同理可知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 3＝2n ，y 1y 3＝－2b ，②由①②可得y 3y 2＝ba.由题意得，Q 为线段RT 的中点， ∴y 3＝2y 2，∴b ＝2a .又由(1)知，y 1y 2＝－4，代入①， 可得－2a ＝－4，∴a ＝2， ∴b ＝4，y 1y 3＝－8， ∴|PR |＝1＋n 2|y 1－y 3| ＝1＋n 2·(y 1＋y 3)2－4y 1y 3 ＝21＋n 2·n 2＋8≥4 2.当n ＝0，即直线PR 垂直于x 轴时， |PR |取最小值4 2.13.如图，由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m >0，x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C ”，若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)和(－12，32)．(1)求“黄金抛物线C ”的方程；(2)设P (0,1)和Q (0，－1)，过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ，P ，B 三点，问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和(－12，32)，∴r 2＝(－12)2＋(32)2＝1,4＝3m ＋1，∴m ＝1.∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)．(2)假设存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ，显然直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝x ＋1，消去y ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0， ∴x B ＝1－2k k 2，y B ＝1－kk ，即B (1－2k k 2，1－kk)，∴k BQ ＝k 1－2k， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＝1， 消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0，∴x A ＝－2k k 2＋1，y A ＝1－k 2k 2＋1，即A (－2k k 2＋1，1－k 2k 2＋1)， ∴k AQ ＝－1k， ∵QP 平分∠AQB ，∴k AQ ＋k BQ ＝0，∴k 1－2k －1k＝0，解得k ＝－1±2， 由图形可得k ＝－1－2应舍去，∴k ＝2－1，∴存在直线l ：y ＝(2－1)x ＋1，使得QP 平分∠AQB .。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题课件2018052313
①
①当 k＝0 时，此时 y＝1.把 y＝1 代入轨迹 C 的方程，得 x＝14.
故此时直线 l：y＝1 与轨迹 C 恰好有一个公共点14，1. ②当 k≠0 时，方程①的 Δ＝－16(2k2＋k－1)＝－16(2k－1)(k＋
1)，
②
设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0)，则
由 y－1＝k(x＋2)，令 y＝0，得 x0＝－2k＋ k 1.
第九 节
圆锥曲线的综合问题
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
必过 教材 关
1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x， y)＝0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的 一元方程．
答案：y2＝12x 或 y2＝－4x
必过易错关
1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切， 事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时， 直线与双曲线相交于一点．
2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视 直线与对称轴平行时也相交于一点．
[小题纠偏]
1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x 仅有一个公共点，这样
关系为
()
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1 恒过定点(1,1)，又点
【K12教育学习资料】2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第3课时
第3课时 定点、定值、探索性问题题型一 定点问题例1 (2016·镇江模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点．(1)解 设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2， 又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝3. ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)证明 由题意设P (0，m )，Q (x 0,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝m y 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t y －m 得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③将③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0， ∴(mt )2＝1，由题意mt <0，∴mt ＝－1，满足②，得直线l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1,0)，即Q 为定点． 思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．(2016·河北衡水中学调研)如图，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝22，F 是右焦点，A 是右顶点，B 是椭圆上一点，BF ⊥x 轴，BF ＝22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：x ＝ty ＋λ是椭圆C 的一条切线，点M (－2，y 1)，点N (2，y 2)是切线l 上两个点，证明：当t ，λ变化时，以MN 为直径的圆过x 轴上的定点，并求出定点坐标．解 (1)由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，①焦点F (c,0)，因为c a ＝22，② 将点B (c ，22)的坐标代入方程①得c 2a 2＋12b 2＝1.③由②③结合a 2＝b 2＋c 2，得a ＝2，b ＝1. 故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，x ＝ty ＋λ得(2＋t 2)y 2＋2t λy ＋λ2－2＝0.因为l 为切线，所以Δ＝(2t λ)2－4(t 2＋2)(λ2－2)＝0， 即t 2－λ2＋2＝0.④设圆与x 轴的交点为T (x 0,0)，则TM →＝(－2－x 0，y 1)，TN →＝(2－x 0，y 2)． 因为MN 为圆的直径， 故TM →·TN →＝x 20－2＋y 1y 2＝0.⑤ 当t ＝0时，不符合题意，故t ≠0. 因为y 1＝－2－λt ，y 2＝2－λt，所以y 1y 2＝λ2－2t2，代入⑤结合④得TM →·TN →＝x 20－t 2＋λ2－2t 2t 2要使上式为零，当且仅当x 20＝1，解得x 0＝±1.所以T 为定点，故动圆过x 轴上的定点(－1,0)与(1,0)， 即椭圆的两个焦点． 题型二 定值问题例2 如图，已知椭圆C ：x 212＋y 24＝1，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A (点A 在x 轴下方)，且线段AB 的中点E 在直线y ＝x 上．(1)求直线AB 的方程；(2)若点P 为椭圆C 上异于A ，B 的动点，且直线AP ，BP 分别交直线y ＝x 于点M ，N ，证明：OM ·ON 为定值．(1)解 由已知得B (0，－2)． 设E (λ，λ)，则A (2λ，2λ＋2)． 把A 的坐标代入椭圆方程，得 λ23＋(λ＋1)2＝1， 即43λ2＋2λ＝0. 则λ＝－32(λ＝0舍去)，得A (－3，－1)．由k AB ＝－2－－0－－＝－13，得直线AB 的方程为y ＝－13x －2，即x ＋3y ＋6＝0.(2)证明 设M (m ，m )，N (n ，n )，P (x 0，y 0)， 则x 20＋3y 20＝12.由A ，P ，M 共线，即AP →∥AM →， 得(x 0＋3)(m ＋1)＝(y 0＋1)(m ＋3)， 则m ＝3y 0－x 0x 0－y 0＋2.由B ，P ，N 共线，即BP →∥BN →，得x 0(n ＋2)＝(y 0＋2)n ，x 0－y 0－2所以mn ＝2x 20－6x 0y 0x 20－2x 0y 0＋y 20－4＝2x 20－6x 0y 0x 20－2x 0y 0－13x 20＝x 20－3x 0y 023x 20－3x 0y 0＝3.从而OM ·ON ＝2|m |·2|n |＝6为定值．思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．(2016·扬州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点F (12，0)，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长TS 是否为定值？请说明理由．解 (1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．∵点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴PQ ＝QF ， 又PQ 是点Q 到直线l 的距离，故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x >0)． (2)弦长TS 为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝MA ＝x 0－2＋y 20，则TS ＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， ∵点M 在曲线C 上，∴x 0＝y 202，∴TS ＝2y 20－y 20＋1＝2是定值． 题型三 探索性问题例3 (2015·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )， 又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1， 从而，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－2λ－k 2＋－2λ－2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3，此时OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－3. 思维升华 解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．(2016·苏锡常镇四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，右顶点，上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab .(1)若椭圆C 的离心率等于63，求椭圆C 的方程； (2)若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P 在第二象限，直线PF 2交y 轴于点Q .试判断以PQ 为直径的圆与点F 1的位置关系，并说明理由．解 (1)由题意，得点A (a,0)，B (0，b )，直线AB 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 由题设，得|ab |a 2＋b2＝ab ，化简得a 2＋b 2＝1.①∵e ＝c a ＝63，∴a 2－b 2a 2＝23，即a 2＝3b 2.② 由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝34，b 2＝14.∴椭圆C 的方程为4x 23＋4y 2＝1.(2)点F 1在以PQ 为直径的圆上．由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝kx ＋1，得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，(*) 则Δ＝(2ka 2)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 2－a 2b 2)＝0， 化简得1－b 2－a 2k 2＝0，∴k 2＝1－b2a2＝1，∵点P 在第二象限，∴k ＝1.把k ＝1代入方程(*)，得x 2＋2a 2x ＋a 4＝0， 解得x ＝－a 2，从而y ＝b 2，∴P (－a 2，b 2)．从而直线PF 2的方程为y －b 2＝b 2－a 2－c(x ＋a 2)，令x ＝0，得y ＝b 2c a 2＋c ，∴Q (0，b 2ca 2＋c)．从而F 1P →＝(－a 2＋c ，b 2)，F 1Q →＝(c ，b 2ca 2＋c)，又a 2＋b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，从而F 1P →·F 1Q →＝c (－a 2＋c )＋b 4ca 2＋c＝c －a 4＋c 2＋b 4a ＋c ＝c －a 4＋b 4＋c 2a ＋c＝c b 2－a 2b 2＋a 2＋c 2]a 2＋c＝0，∴F 1P →·F 1Q →＝0.∴点F 1在以PQ 为直径的圆上．23．设而不求，整体代换典例 (16分)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连结PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，若k 2≠0，证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．思想方法指导 对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值． 规范解答解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.由题意知2b 2a＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.[4分](2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)， 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为1RF l ：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0，2RF l ：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋x 0＋32＝|my 0－3y 0|y 2＋x 0－32.由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1.所以|m ＋3|⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0－22.[8分]因为－3<m <3，－2<x 0<2， 可得m ＋332x 0＋2＝3－m2－32x 0，所以m ＝34x 0，因此－32<m <32.[10分](3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k x －x 0.整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.[12分] 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0. 又x 204＋y 20＝1， 所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0.由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 1＋1k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4y 0x 0·2x 0y 0＝－8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.[16分]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为32，且过点A (0,1)．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 恒过定点P (0，－35)． (1)解 由题意知，e ＝c a ＝32，b ＝1， 所以a 2－c 2＝1，解得a ＝2， 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，解得x 1＝－8k4k 2＋1，x 2＝0， 所以x M ＝－8k 4k 2＋1，y M ＝1－4k24k 2＋1.同理可得x N ＝8k k 2＋4，y N ＝k 2－4k 2＋4.则k MP ＝1－4k 24k 2＋1＋35－8k 4k 2＋1＝－8k 25＋85－8k ＝k 2－15k ，k NP ＝k 2－4k 2＋4＋358k k 2＋4＝8k 25－858k ＝k 2－15k ，所以k MP ＝k NP ，故直线MN 恒过定点P (0，－35)．2．(2016·云南师范大学附属中学月考)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，离心率等于255，且过点(1，255)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求证：λ1＋λ2为定值．(1)解 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝255，1a 2＋2552b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝5，b 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.(2)证明 设点A ，B ，M 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)，点F 的坐标为(2,0)． 显然直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程是y ＝k (x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －，x 25＋y 2＝1， 得(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0，∴x 1＋x 2＝20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k 2. 又∵MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，将各点坐标代入，得λ1＝x 12－x 1，λ2＝x 22－x 2， ∴λ1＋λ2＝x 12－x 1＋x 22－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 24－x 1＋x 2＋x 1x 2＝20k 21＋5k 2－20k 2－51＋5k 24－2·20k 21＋5k ＋20k 2－51＋5k＝－10.故λ1＋λ2为定值． 3．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，点(3，2)为椭圆上的一点． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若斜率为k 的直线l 过点A (0,1)，且与椭圆E 交于C ，D 两点，B 为椭圆E 的下顶点，求证：对于任意的k ，直线BC ，BD 的斜率之积为定值．(1)解 因为e ＝33，所以c ＝33a ，a 2＝b 2＋(33a )2.① 又椭圆过点(3，2)，所以3a 2＋2b2＝1.② 由①②，解得a 2＝6，b 2＝4，所以椭圆E 的标准方程为x 26＋y 24＝1. (2)证明 设直线l ：y ＝kx ＋1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 26＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，得(3k 2＋2)x 2＋6kx －9＝0.x 1＋x 2＝－6k 3k 2＋2，x 1x 2＝－93k 2＋2， 易知B (0，－2)，故k BC ·k BD ＝y 1＋2x 1·y 2＋2x 2 ＝kx 1＋3x 1·kx 2＋3x 2＝k 2x 1x 2＋3k x 1＋x 2＋9x 1x 2＝k 2＋3k x 1＋x 2x 1x 2＋9x 1x 2＝k 2＋3k ·2k 3－(3k 2＋2) ＝－2.所以对于任意的k ，直线BC ，BD 的斜率之积为定值．4．(2017·江苏命题专家原创)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 过点M (0，3)，且△MF 1F 2为正三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，过点P (4，0)的直线PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．(1)解 ∵椭圆C 过点M (0，3)，∴b ＝3，又△MF 1F 2为正三角形，且MF 1＝MF 2＝a ，∴a ＝b sin 60°＝2，c ＝12a ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 由题意知，直线PB 的斜率存在，且过点P (4,0)．设直线PB 的方程为y ＝k (x －4)， B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则A (x 1，－y 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －，3x 2＋4y 2＝12，得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2，x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2，① 直线AE 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)，令y ＝0，得x ＝x 2－y 2x 2－x 1y 1＋y 2，② 将y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)，代入②式，得x ＝2x 1x 2－x 1＋x 2x 1＋x 2－8，③ 将①式代入③式，整理得x ＝1.∴直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)． *5.(2016·南京模拟)已知半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x <0)组成的曲线称为“果圆”，其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0.如图，设点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点，A 1，A 2和B 1，B 2是“果圆”与x ，y 轴的交点．(1)若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；(2)若A 1A 2>B 1B 2，求b a的取值范围；(3)一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k ，使得斜率为k 的直线交果圆于两点，得到的弦的中点M 的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k 的值；若不存在，说明理由．解 (1)∵F 0(c,0)，F 1(0，－b 2－c 2)，F 2(0，b 2－c 2)，∴F 0F 2＝b 2－c 2＋c 2＝b ＝1，F 1F 2＝2b 2－c 2＝1，∴c 2＝34，a 2＝b 2＋c 2＝74， ∴所求“果圆”的方程为⎩⎪⎨⎪⎧ 47x 2＋y 2＝1，x ≥0，y 2＋43x 2＝1，x <0.(2)由题意，得a ＋c >2b ， 即a 2－b 2>2b －a ， ∴a 2－b 2>(2b －a )2，得b a <45.又b 2>c 2＝a 2－b 2，∴b 2a 2>12. ∴b a ∈(22，45)． (3)设“果圆”C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2＋y 2b 2＝1，x ≥0，y 2b 2＋x 2c 2＝1，x <0，记平行弦的斜率为k ，当k ＝0时，直线y ＝t (－b ≤t ≤b )与半椭圆x 2a ＋y 2b＝1(x ≥0)的交点是P (a 1－t 2b 2，t )，与半椭圆y 2b ＋x 2c ＝1(x <0)的交点是Q (－c 1－t 2b2，t )． ∴P ，Q 的中点M (x ，y )满足x ＝a －c2·1－t 2b2，y ＝t ，得 x 2a －c22＋y 2b 2＝1. ∵a 2＝b 2＋c 2<2b 2，∴a <2b ，∴(a －c2)2－b 2＝a －c －2b 2·a －c ＋2b2<0.综上所述，当k ＝0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k >0时，过B 1的直线l 与半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)的交点是(2ka 2b k 2a 2＋b 2，k 2a 2b －b 3k 2a 2＋b 2)． 因此，在直线l 右侧，以k 为斜率的平行弦的中点为(ka 2b k 2a 2＋b 2，－b 3k 2a 2＋b 2)， 轨迹在直线y ＝－b 2ka2x 上，即不在某一椭圆上． 当k <0时，可类似讨论得到平行弦的中点的轨迹不在某一椭圆上．。
2018届高三数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第九节 圆锥曲线的综合问题夯基提能作业本 文
第九节圆锥曲线的综合问题A组基础题组1.(2015课标Ⅱ,20,12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.2.(2016山西太原模拟)已知椭圆M:+=1(a>0)的一个焦点为F(-1,0),左,右顶点分别为A,B.经过点F 的直线l与椭圆M交于C,D两点.(1)当直线l的倾斜角为45°时,求线段CD的长;(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值.3.(2016吉林长春模拟)设F1、F2分别是椭圆E:+=1(b>0)的左、右焦点,若P是该椭圆上的一个动点,且·的最大值为1.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=ky-1与椭圆E交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(O为坐标原点),求k的取值范围.B组提升题组4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,证明直线AE过定点,并求出定点坐标.5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F2(2,0),点P在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在斜率为-1的直线l与椭圆C相交于M,N两点,使得|F1M|=|F1N|(F1为椭圆的左焦点)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.答案全解全析A组基础题组1.解析(1)由题意有=,+=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为+=1.(2)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入+=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故x M==,y M=k·x M+b=.于是直线OM的斜率k OM==-,即k OM·k=-.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.2.解析(1)由题意知c=1,b2=3,所以a2=4,所以椭圆M的方程为+=1,易求得直线方程为y=x+1,联立方程,得消去y,得7x2+8x-8=0,Δ=288>0,设C(x1,y1),D(x2,y2),所以x1+x2=-,x1x2=-,所以|CD|=|x1-x2|=.(2)当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=-1,此时△ABD与△ABC的面积相等,|S1-S2|=0;当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x+1)(k≠0),联立方程,得消去y,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,Δ=(8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12)=144k2+144>0,故x1+x2=-,x1x2=, 此时|S1-S2|=2||y2|-|y1||=2|y2+y1|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|=,因为k≠0,所以|S1-S2|=≤==k=±时等号成立,所以|S1-S2|的最大值为.3.解析(1)解法一:易知a=2,c=,0<b2<4,所以F1(-,0),F2(,0),设P(x,y),则·=(--x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-4+b2=x2+b2--4+b2=x2+2b2-4.因为x∈[-2,2],所以当x=±2,即点P为椭圆长轴端点时,·有最大值1,即1=×4+2b2-4,解得b2=1.故所求椭圆E的方程为+y2=1.解法二:由题意知a=2,c=,0<b2<4,所以F1(-,0),F2(,0),设P(x,y),则·=||·||·cos∠F1PF2=||·||·=[(x+)2+y2+(x-)2+y2 -16+4b2]=x2+2b2-4.因为x∈[-2,2],所以当x=±2,即点P为椭圆长轴端点时,·有最大值1,即1=×4+2b2-4,解得b2=1.故所求椭圆E的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+4)y2-2ky-3=0,Δ=(-2k)2+12(4+k2)=16k2+48>0,故y1+y2=,y1·y2=.又∠AOB为锐角,故·=x1x2+y1y2>0,又x1x2=(ky1-1)(ky2-1)=k2y1y2-k(y1+y2)+1,所以x1x2+y1y2=(1+k2)y1y2-k(y1+y2)+1=(1+k2)·-+1==>0,所以k2<,解得-<k<,故k的取值范围是.B组提升题组4.解析(1)由题意知F.设D(t,0)(t>0),则FD的中点坐标为.又|FA|=|FD|,则由抛物线的定义知,当点A的横坐标为3时,有3+=,解得t=3+p或t=-3(舍去).此时,由题意得=3,可得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)由(1)知F(1,0),设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(x D,0)(x D>0),因为|FA|=|FD|,所以x0+1=|x D-1|,结合x D>0,x0>0得x D=x0+2,故D(x0+2,0).故直线AB的斜率k AB=-.因为直线l1和直线AB平行,所以可设直线l1的方程为y=-x+b,与抛物线方程联立,消去x得y2+y-=0,由题意可知Δ=+=0,得b=-.设E(x E,y E),则y E=-,x E=,当≠4时,k AE==-=,可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0),结合=4x0,整理可得y=(x-1),则直线AE恒过点F(1,0).当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0).所以直线AE过定点F(1,0).5.解析(1)解法一:∵椭圆C的右焦点为F 2(2,0),∴c=2,椭圆C的左焦点为(-2,0). 由于点P在椭圆上,故由椭圆的定义可得2a=+=+=2,解得a=,∴b2=a2-c2=6-4=2,∴椭圆C的标准方程为+=1.解法二:∵椭圆C的右焦点为F2(2,0),∴c=2,故a2-b2=4,又点P在椭圆C上,则+=1,故+=1,化简得3b4+4b2-20=0,得b2=2,所以a2=6,∴椭圆C的标准方程为+=1.(2)不存在.理由如下:假设存在满足条件的直线l,设直线l的方程为y=-x+t,由得x2+3(-x+t)2-6=0,即4x2-6tx+(3t2-6)=0,由Δ=(-6t)2-4×4×(3t2-6)=96-12t2>0,解得-2<t<2.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,设线段MN的中点为E,由于|F1M|=|F1N|,则F1E⊥MN,故=-=1,又F1(-2,0),E,即E, ∴==1,解得t=-4.不满足-2<t<2,∴不存在满足条件的直线l.。