《应用离散数学》方景龙版3.4 等价关系与划分
离散数学中关系的等价类划分方法
离散数学中关系的等价类划分方法在离散数学中，关系是描述元素之间具有某种联系或性质的数学概念。
而等价关系是其中一种重要的关系类型，它可以将元素分为相互等价的类别。
本文将介绍离散数学中关系的等价类划分方法，并探讨其应用。
一、等价关系的定义在离散数学中，等价关系是一种具有以下三个性质的二元关系：1. 自反性（Reflexivity）：对于集合中的任意元素a，a与自身是等价的。
2. 对称性（Symmetry）：对于集合中的任意元素a和b，如果a与b是等价的，则b与a也是等价的。
3. 传递性（Transitivity）：对于集合中的任意元素a、b和c，如果a与b是等价的，b与c也是等价的，则a与c是等价的。
基于上述定义，我们可以利用等价关系将集合划分为若干个等价类，每个等价类包含具有相同性质或联系的元素。
二、等价类划分方法在离散数学中，常用的等价类划分方法有以下几种：1. 等价关系的特征矩阵法：特征矩阵法是一种基于矩阵运算的等价类划分方法。
首先，我们可以通过矩阵来表示给定的等价关系，其中矩阵的行和列表示集合中的元素，而矩阵的元素表示对应元素之间的关系。
例如，对于集合{1,2,3,4,5}，若等价关系R定义为{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)}，则对应的特征矩阵为：```1 1 0 0 01 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 10 0 0 1 1```接下来，我们可以通过矩阵的幂运算来判断两个元素是否属于同一个等价类。
具体而言，对于矩阵的幂运算A^n（n为正整数），若矩阵A的第i行第j列元素为1，则A^n的第i行第j列元素也为1；若矩阵A的第i行第j列元素为0，则A^n的第i行第j列元素仍为0。
通过不断进行矩阵的幂运算，直到得到的矩阵不再发生变化，我们可以确定出所有的等价类。
2. 等价类的划分法：等价类的划分法是一种基于划分操作的等价类划分方法。
离散数学
等价关系及其应用离散数学中等价关系的概念定义1：设R 是集合A 上的二元关系，如果R 是自反的、对称的、传递的，那么称R 是A 上的等价关系。
如果aRb ，那么称a 与b 等价。
定义2：设R 是A 上的等价关系，对于每个A a ∈，与等价的元素全体所组成的集合称为由a 生成的关于R 的等价类，记为R a ][,即R a ][=},|{xRa A x x ∈。
定义3：设R 是A 上的一个等价关系，关于R 的等价类全体所组成的集合族称为A 上的关于R 的商集，记为A /R ，即R A /=}|]{[A a a ∈。
定理1：设R 是A 上的等价关系，那么（1）对任一A a ∈，有a ∈][a（2）对则如果,,,aRb A b a ∈][a =][b（3）对则如果,,,aRb A b a ∈][a ][b =Ø（4）A a A a =∈][证明（1）由于R 是自反的，即aRa ，所以∈a ][a（2）对任一][a c ∈，有cRa ，又由假设aRb ，根据R 是传递的，必有cRb ，即][b c ∈，从而][a ⊆][b 。
对任意][b c ∈，有c Rb ，由a R b 和R 是传递和对称的，必有cRa ，即][ac ∈，从而][b ⊆][a ，因此][a =][b （3）反证法。
设R a 不b ，如果][][b a ≠Ø，假设][][b a c ∈，则][a c ∈且][b c ∈，从定义可知cRa ，cRb 。
由于R 的对称性和传递性，必然有aRb ，矛盾。
所以][][b a =Ø。
（4）对任一][a c A a ∈∈ ，存在b 使得][b c ∈。
而A b ⊆][，从而A c ∈，所以A a A a ⊆∈][ 反之任一A a ∈，则][][a a a A a ∈⊆∈ ，所以][a A A a ∈⊆ 。
因此A a A a =∈][ 。
（1）可知，A 中每个元素所产生的等价类都是非空的。
等价关系与划分ppt课件
对R求三种闭包共有6种顺序，问每种顺序的运算结 果是否一定为等价关系？
不一定。 由于对称闭包不一定保持关系的传递性，因此先求 传递闭包后求对称闭包得到的关系不一定是等价关系 例 A={1,2,3}，A上的关系R={<1,2>,<3,2>}
str(R)=IA{<1,2>,<2,1>,<3,2>,<2,3>} 显然str(R)不是等价关系 用闭包运算去构造等价关系时，传递闭包运算应该 放在对称闭包运算的后面
3
例 设AN，R={<x, y>|x, yA∧x≡y (mod 3)} 为A上的 关系，其中x≡y (mod 3)叫做x与y模3相等，其含义为x 除以3的余数与y除以3的余数相等。证明R为A上的等 价关系。 证明:
xA，有x≡x (mod 3)，即<x, x>R，所以R是自 反的。
x,yA，若x≡y (mod 3)，则有y≡x (mod 3)。所以 R是对称的。
π1={ { a，b，c }，{ d } } π2={ { a，b }，{ c }，{ d } } π3={ { a }，{ a，b，c，d } } π4={ { a，b }，{ c } } π5={ ，{ a，b }，{ c，d } } π6={ { a，{ a }}，{ b，c，d } } 其中π1,π2是A的划分，π3,π4,π5,π6不是A的划分
例 集 合 A={1,2,…,8} 上 的 等 价 关 系 R={<x, y>|x, yA∧x≡y（mod 3）}等价类是{1, 4, 7}、{2, 5, 8}、{3, 6}。
所以A在R下的商集为{{1, 4, 7}, {2, 5, 8}, {3, 6}}。 A在R下的商集也可写成{[1], [2], [3]}。 整数集Z在模n等价关系下的商集是 {{nz+i|zZ} | i=0,1,…n-1} 或{[0], [1], ..., [n-1]}
《离散数学(第三版)》方世昌 的期末复习知识点总结
《离散数学》期末复习提要《离散数学》是中央电大“数学与数学应用专业”（本科）的一门选修课。
该课程使用新的教学大纲，在原有离散数学课程的基础上削减了教学内容（主要是群与环、格与布尔代数这两章及图论的后三节内容）,使用的教材为中央电大出版的《离散数学》（刘叙华等编）和《离散数学学习指导书》(虞恩蔚等编)。
离散数学主要研究离散量结构及相互关系，使学生得到良好的数学训练，提高学生抽象思维和逻辑推理能力,为从事计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。
其先修课程为：高等数学、线性代数；后续课程为:数据结构、数据库、操作系统、计算机网络等。
课程的主要内容1、集合论部分（集合的基本概念和运算、关系及其性质)；2、数理逻辑部分(命题逻辑、谓词逻辑)；3、图论部分（图的基本概念、树及其性质）。
学习建议离散数学是理论性较强的学科，学习离散数学的关键是对离散数学(集合论、数理逻辑和图论）有关基本概念的准确掌握，对基本原理及基本运算的运用,并要多做练习。
教学要求的层次各章教学要求的层次为了解、理解和掌握。
了解即能正确判别有关概念和方法；理解是能正确表达有关概念和方法的含义;掌握是在理解的基础上加以灵活应用。
一、各章复习要求与重点第一章集合［复习知识点］1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、De Morgan 律等）,文氏（Venn）图3、序偶与迪卡尔积本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明[复习要求］1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。
3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。
4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。
[本章重点习题］P5~6，4、6； P14～15，3、6、7； P20，5、7. [疑难解析］1、集合的概念因为集合的概念学生在中学阶段已经学过，这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2n .2、集合恒等式的证明通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握;又可以为第三章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。
离散数学 等价关系与偏序关系共46页
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
离散数学 等价关系与偏序系
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
杭州电子科技大学2023年《离散数学》考研专业课同等学力加试大纲
杭州电子科技大学
硕士研究生复试同等学力加试科目考试大纲
学院：网络空间安全学院加试科目：离散数学
一、命题逻辑
1、命题及逻辑连接词的概念，自然语言的命题符号化。
2、真值表、命题公式与赋值、命题公式的类型。
3、命题的等价演算。
4、范式。
5、命题公式的推理演算。
二、谓词逻辑
1、个体词、谓词、量词及自然语言命题符号化。
2、谓词公式的解释。
3、谓词公式的等价演算。
4、谓词公式的推理规则及演绎推理。
三、集合和关系
1、集合的概念及集合之间的关系。
2、集合的运算。
3、集合的基本等价式。
4、序偶的概念及笛卡儿积。
5、关系的定义及运算。
6、关系的性质。
7、关系的闭包。
8、等价关系与划分。
9、函数的概念与类型。
10、复合函数和逆函数及相关结论。
四、代数结构
1、代数系统的概念。
2、半群、有幺半群、群的概念及性质。
3、循环群、交换群、子群、正规子群等重要概念以及这些代数结构的特性。
4、陪集及拉格朗日定理的应用。
五、图论
1、图、子图、顶点的度等图论基本概念。
2、路、回路的概念，图的连通性及割集的概念。
3、最短通路。
4、树与生成树。
5、欧拉图和哈密尔顿图。
6、有向图的概述。
7、根树与最优二叉树。
参考书目：《应用离散数学》，方景龙、周丽编著，人民邮电出版社，2014.09。
离散数学等价偏序函数
x≺y(或y≺x), x＝y, x与y不是可比的.
定义7.21 R为非空集合A上的偏序关系, x,y∈A, x与y都是可比的，则称R为全序（或线序）
实例：数集上的小于或等于关系是全序关系 整除关系不是正整数集合上的全序关系
{a,b,c}
{a,c}
{a,b}
{b}
{b,c}
{a}
{c}
由图可知： 为P({a,b,c})的最小元，{a,b,c}为它的
最大元；同时，{a,b,c}也分别为它们
的极小元和极大元、下确界和上确界。
例 已知偏序集< A， ≼ >的哈斯图如下：
e
c
d
a
b
g fh
试写出对应的A和A上的偏序关系R，
性质：下界、上界、下确界、上确界不一定存在 下界、上界存在不一定惟一 下确界、上确界如果存在，则惟一 集合的最小元就是它的下确界，最大元就是它的
上确界；反之不对.
例 画出<{1,2,…,12},R整除>和<P({a,b,c}),R>的哈 斯图，并指出其中的特殊元。
解： (1) <{1,2,…,12}, R整除>
实例 设A={1,2,…,8}, 如下定义A上的关系R： R={<x,y>| x,y∈A∧x ≡ y(mod 3)}
其中x ≡ y(mod 3)叫做x与y模3相等, 即x除以3的余数与y 除以3的余数相等. 不难验证R为A上的等价关系, 因为 x∈A, 有x ≡ x(mod 3) x,y∈A, 若x ≡ y(mod 3), 则有y ≡ x(mod 3) x,y,z∈A, 若x ≡ y(mod 3), y ≡ z(mod 3), 则有x ≡ z(mod 3)
离散数学等价关系
离散数学：离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。
离散的含义是指不同的连接在一起的元素，主要是研究基于离散量的结构和相互间的关系，其对象一般是有限个或可数个元素。
离散数学在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
等价类：在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。
设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。
等价类应用十分广泛，如在编程语言中，我们使用等价类来判定标识符是不是表示同一个事物。
定义：在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。
设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。
A的关于R的等价类记作。
当只考虑一个关系时，我们省去下表R并把这个等价类写作[a]。
在软件工程中，是把所有可能输入的数据，即程序的输入域划分成若干部分（子集），然后从每一个子集中选取少数具有代表性的数据作为测试用例，从而减少了数据输入量从而提高了效率，称之为等价类方法，该方法是一种重要的、常用的黑盒测试用例设计方法。
在软件工程中等价类划分及标准如下：划分等价类等价类是指某个输入域的子集合。
在该子集合中，各个输入数据对于揭露程序中的错误都是等效的，并合理地假定：测试某等价类的代表值就等于对这一类其他值的测试，因此，可以把全部输入数据合理划分为若干等价类，在每一个等价类中取一个数据作为测试的输入条件就可以用少量代表性的测试数据取得较好的测试结果。
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§3.4 等价关系与划分
习题3.4
1. 对于给定的集合A 和其上的二元关系R ，判断R 是否为等价关系。
（1）A 为实数集，A y x ∈∀，，2=-⇔y x xRy 。
（2）}321{，，=A ，A y x ∈∀，，3≠+⇔y x xRy 。
（3）+=Z A ，即正整数集，A y x ∈∀，，是奇数xy xRy ⇔。
（4）)(X P A =，集合X 的基数2||≥X ，A y x ∈∀，，x y y x xRy ⊆∨⊆⇔。
（5）)(X P A =，集合X 和C 满足X C ⊆，A y x ∈∀，，C y x xRy ⊆⊕⇔。
解 略
2. 设}{d c b a A ，，，=，对于A 上的等价关系
A I c d d c a b b a R }{><><><><=，，，，，，，
画出R 的关系图，并求出A 中各元素关于R 的等价类。
解 R 的关系图如下：
A 中各元素关于R 的等价类分别为：
},{][][b a b a ==，},{][][d c d c ==
3. 考虑单词的集合}{sit wind wash sky last sheet W ，，，，，=。
1R 和2R 分别是由“具有同样多的字母”和“具有相同的开头字母”定义的等价关系。
求由1R 和2R 确定的商集1/R W 和2/R W 。
解 略
4. 给出模6同余关系，并求出所有的模6同余类。
解 模6同余关系)}6(mod |{b a b a b a R ≡∧∈><=Z ，，
所有的模6同余类为：
510}|5{][，，，， =∈+=i z i z i Z
即
},20,15,10,5,0,5,10,15,20,{]0[ ----=
},21,16,11,6,1,4,9,14,19,{]1[ ----=
},22,17,12,7,2,3,8,13,18,{]2[ ----=
},23,18,13,8,3,2,7,12,17,{]3[ ----=
},24,19,14,9,4,1,6,11,16,{]4[ ----=
5. 设}656443422120{ ，，，，，，，，，，，
，><><><><><><=A ，判断下列关系是否等价关系，若是等价关系，试给出它的等价类。
（1）}|{122121212121y x y x A y y x x y y x x R +=+∧>∈<><>><><<=，，，，，，
（2）}|{221121212121y x y x A y y x x y y x x R +=+∧>∈<><>><><<=，，，，，， 解 略
6. 假如R 和S 是集合A 上的等价关系，问下面的关系是否一定是等价关系，是的给予证明，不是的举出反例。
（1）S R
（2）S R （3）c R
（4）S R - （5）S R
（6）1-R 解 （1）、（2）、（3）、（4）略
（5）S R 不一定是等价关系，例如：取集合}{c b a A ，，=及其上的等价关系
},,,,,,,,,{><><><><><=c c b b a b b a a a R
},,,,,,,,{><><><><><=c c b c c b b b a a S ，
有},,,,,,,,,,,,,,,{><><><><><><><><=c c b c c b b b a b c a b a a a S R ，它不是对称的，从而不是等价关系。
（6）1-R 一定是等价关系，证明如下：
A x ∈∀，因为R 是自反的，所以R x x >∈<,，从而1,->∈<R x x ，即1-R 是自反的；
1,->∈<∀R y x ，有R x y >∈<,，因为R 是对称的，所以R y x >∈<,，从而1,->∈<R x y ，即1-R 是对称的；
1,,,->∈<><∀R z y y x ，有R y z x y >∈<><,,,，因为R 是传递的，所以R x z >∈<,，从而1,->∈<R z x ，即1-R 是传递的；
综上所述，若R 是集合A 上的等价关系，则1
-R 一定是等价关系。
7. 当我们构造一个关系的自反闭包的对称闭包的传递闭包时，一定得到一个等价关系吗？是的请证明，不是的请举出反例。
解 略
8. 假如1R 和2R 是集合A 上的等价关系，1π和2π分别是对应于1R 和2R 的划分。
证明
21R R ⊆当且仅当1π是2π的加细。
（如果在划分1π中的每个集合都是划分2π中某个集合的子集，则1π叫做2π的加细）
证明 （1）由21R R ⊆推出1π是2π的加细，这就是要证明对于1π中的任何集合1A ，在2π中都存在集合2A ，使得21A A ⊆。
因为1π中的任何集合1A 是A 中的某个元素a 关于等价关系1R 的等价类，即
}
,|{][111R b a b a A R >∈<==
现构造 }
,|{][222R b a b a A R >∈<== 它是A 中元素a 关于等价关系2R 的等价类，从而是2π中的一个集合。
又由于21R R ⊆，所
以有21A A ⊆。
（2）由1π是2π的加细推出21R R ⊆，这就是要证明如果对于1π中的任何集合1A ，在2π中都存在集合2A ，使得21A A ⊆，那么21R R ⊆。
1,R b a >∈<∀，有11][][R R b a =，所以在1π中存在集合=1A 11][][R R b a =，使得1,A b a ∈。
根据条件，在2π中存在集合2A 使得21A A ⊆，从而2,A b a ∈。
由于2A 是A 中某个元素关于等价关系2R 的等价类，根据等价类的定义，有2,R b a >∈<。
所以21R R ⊆。