第十八讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理 课件ppt课件

( m) im
b, Dm1
( Dm ) max{x
1i im
x } 0,
( m) i 1
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
记
mi( m ) , M i( m )
im
分别为 f 在 [ x ( m) , x ( m) ] 下的 i i 1
( m) i 1
则因 Dm Dm1，故当区间长度缩小时， 上确界不增，下确界不减，所以
1 2 3 m f 1 2 m f
于是 lim m f f , lim m f f，即
m m
f f f.
(1) Levi定理 问题3：从定理的条件，函数序列的极 限与函数序列可否比较大小？ 问题4：定理中并未假定集合的测度有 限，也未假定函数序列有界， 如何克服这一困难？
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问题5：定理的条件中，假定了函数序 列的单调性，这说明函数序列 至少是几乎处处收敛的，单几 乎处处收敛的函数序列的积分 与极限必可交换顺序吗？如何 克服这一困难？
a
f ( x)dx 表示在[a,b]上的Riemann积分。
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证明：显然，由本节定理1，只需证明 是[a,b]上的可测函数。 由于 f Riemann可积，取[a,b]的分点组
Dm : a x
( m) 0
x
( m) 1
x
( m) i
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目的：了解Riemann 可积性与Lebesgue可 积性之间的关系，熟练掌握Lebesgue积 分的极限定理，并能熟练运用这些定理。 重点与难点：L-积分极限定理及其应用。
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基本内容： 一．R-积分与 L-积分的关系
问题1：回忆 f 的Riemann可积性与| f |
的Riemann可积性是否等价。对
常义Riemann积分而言，情形又
如何？
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我们曾经提到Lebesgue积分是Riemann积 分的推广，然而对广义Riemann积分来说， Riemann可积性并不意味着Lebesgue可积 性，这从前面的例子已经看到。
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那么，通常意义下的 Riemann 可积性是 否意味着Lebesgue可积性呢？如果不是 的 话 ， 则 就 不 能 认 为 Lebesgue 积 分 是 Riemann 积分的自然推广，幸运的是， 答案是肯定的。
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则
f ( x)dx lim f
E m E
m
m ( x)dx.
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a b
M
(x
( m) i
x
( m) i 1
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这说明 f ( x)dx f ( x)dx
故
[ a ,b ] a
[ a ,b ]
b
( f ( x) f ( x)) dx 0。
[ a ,b ]
f ( x)dx，
下确界和上确界，由Riemann积分的定义知
m
lim
m
i 1
( m) i
( x x ) lim
( m) i
m
M
i 1
im
( m) i
(x x )
( m) i ( m) i 1


b
a
f ( x)dx
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令 m , m 为如下的函数列：
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勒维Levi定理 设
(i) f m ( x), m 1,2, 是E上的非负可测函数序列，
(ii) f m ( x) f m1 ( x) ( x E ), m 1,2,,
(iii ) f ( x) lim f m ( x) a.e.[ E ],
又
[ a ,b ] im
i 1
f ( x)dx
[ a ,b ]
( m) i
m
( x)dx
) f ( x)dx
a b
m
[ a ,b ] im
i 1
(x
( m) i
x
( m) i 1
f ( x)dx
[ a ,b ]
( m) i
m
( x)dx
) f ( x)dx
m , x ( x , x ] m ( x) , f (a), x a
( m) i ( m) i 1 ( m) i
M , x ( x m ( x) f (a), x a
( m) i
( m) i 1
,x
( m) i
]
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定理的叙述（L-可积函数何时Riemann可积） 如果有界函数在闭区间[a,b]上是Riemann可积 的，则在[a,b]上也是Lebesgue可积的，且
[ a ,b ]
f ( x)dx
b
a
f ( x)dx,
此处

b
[ a ,b ]

f ( x)dx 表示在[a,b]上的Lebesgue积分，
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由本节定理3知 f f a. e.，进一步
f f f a.e.[a, b]，因此 f 在[a,b]上可测，
证毕。
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二．Levi定理
问题2：回忆Riemann积分中，积分
与极限交换顺序的条件？
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第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
注意到 f , f 都是有界可测的，所以
f f 是非负Lebesgue可积函数，从而
[ a ,b ]
( f f )dx
f dx
[ a ,b ]
[ a ,b ]
f dx 0.
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