第十八讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理课件ppt课件

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L-积分的极限定理

(ii) f m ( x) f m1 ( x) ( x E), m 1,2,.
L-积分的极限定理
显然 { f m ( x)} 有极限，记为
f ( x) lim f m ( x) a.e.[ E ],
m
对这样的函数列，下式
f ( x)dx lim f
m E E
L-积分的极限定理
于是得到下面的 Fatou引理：设{fn}是可测集E上的非负可测函数，则 ∫Elimfn(x)dx ≤ lim∫Efn(x)dx
L-积分的极限定理
问题4：对非负可测函数列 { fn }，上述不等式中严格不等式能否成立？举例说明。
L-积分的极限定理
y
1/xn
xn 0, f n ( x)
n

1/ xn , 0 x xn 0, xn x 1
(1). lim f n ( x ) 0, x (0,1)
Sn (2).S n
(3).
f
( 0 ,1) n
n
( x)dx 1
n ( 0 ,1)
lim f
1
( x) dx 0
0
xn x0
x
L-积分的极限定理

L-积分的极限定理
因此 lim
m

E
f m ( x)dx f ( x)dx ，由
m
的任意性便知 lim

E
f m ( x)dx f ( x)dx。
E
E
另一方面，由于对任意 m，显然有
f m ( x) f ( x) (x E ) ，
L-积分的极限定理
一个重要定理。

《高等数学极限》课件

THANK YOU
无穷级数与无穷积分的收敛性
总结词
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。收敛性的判定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧。
详细描述
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。如果一个无穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的，否则就是发散的。收敛性的判定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等。对于不同的级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性的判定。
03
导数与连续性
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的极限，表示函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质，这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的几何特性等方面具有重要应用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。
限的。
无穷积分的定义与性质
总结词
无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个定积分的和组成的积分。无穷积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性等。
详细描述
无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定积分可以是积分限不同的积分。无穷积分在数学中也有着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等。无穷积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性等。其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行运算和求导。

微积分基本定理PPT课件

π 0
sinx dx = -cosx
π 0
= -cosπ - -cos0 = -cos2π - -cosπ = -cos2π - -cos0
=2
2π π
sinx dx = -cosx
2π π
= -2
2π 0
sinx dx = -cosx
2π 0
接下来让我们练一练吧
定积分的基本公式,又称牛顿 ----莱布尼兹公式.常表示为

b
a
f(x)dx = F(x) = F b - F a .
b a
例1. 计算 -1
3
1 解: 因为 arctanx = 1 + x2 由微积分基本定理得：
'
dx . 2 1+ x
dx 3 = arctanx -1 -1 1 + x2 = arctan 3 - arctan -1
从几何意义上看，设曲线y=y(t) 上与 t i-1 对应的点为P，PD是P点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD的斜率等于y' ti-1 ，于是
Δs i ≈ h i = tan∠DPCgΔt = y t i-1 Δt
'
物体的总位移s
s = Δsi ≈ hi = v t i-1 Δt
教学目标
知识与能力
了解微积分的概念和推导过程以及基本思想，并能利用微积分的定义解决实际问题.
过程与方法
通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义．
情感态度与价值观
微积分是大学阶段的数学必修，是高等数学的基础组成部分.高中阶段的导数是其基础.

微积分的基本定理PPT课件

所以F( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
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定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t )dt 就是
f
( x) 在[a,b] 上的一个
原函数.
定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.
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三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
如果F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上
的一个原函数，则ab f ( x)dx F (b) F (a).
证已知F( x)是 f ( x)的一个原函数，
又
( x)
x
a
f (t )dt 也是 f ( x) 的一个原函数,
三、 1、2 5 ； 2、； 3、 1 ； 4、4.
8
3
4
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四、1、0；
2、1 . 10
六、 5 , 0. 33
0 , x 0
七、( x)
1 2
(1
cos
x)
,
0
x
.
1 , x
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感谢您的欣赏
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原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
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例6 求 2 max{x, x2 }dx. 2
y
解
由图形可知
y x2
f ( x) max{x, x2 }
y x

有界闭集上(r)积分的极限定理

有界闭集上(r)积分的极限定理
积分极限定理，也称作“微积分极限定理”，是一系列积分性质的普遍性定理，可以用来表示一个积分表达式上一类参数的极限情况。

积分极限定理可以用来代替实际求积分，简化计算。

积分极限定理的一般形式是：在一个定义在限制性区间[a,b] 上的积分k(x) 的极限值为L，如果K(x)在[a,b]上的函数连续，那么积分的极限定理就能够应用：
limk(x)dx=L
积分极限定理可以用来阐明一些复杂的积分表达式变化情况，也就是说当参数不断变化时，可以迅速回到极限表达式，从而实现快速求解。

这样就避免了通过实际计算来求得积分，节省了大量时间和精力。

积分极限定理提供的灵活性，可以用来解决许多热点科学问题，比如物理中力学、化学中关于化学反应速度的问题，都可以用积分极限定理表达出来，另外几何中的复杂几何形状也可以表达出来。

因此，积分极限定理在各个领域有着广泛的应用，它可以帮助我们对许多问题有更深入地认识和把握，从而更加有效的分析和解决各种实际问题。

《定积分的性质》课件

详细描述
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
函数可加性
总结词
函数可加性是指定积分具有函数可加性，即对于任意分割的两个子区间[a,c]和 [c,b]，其上的定积分之和等于整个区间[a,b]上的定积分。
定积分的几何意义
面积
01
定积分表示曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的区域面积。
体积
02
对于二维平面上的曲线，定积分表示的是面积；对于三维空间
中的曲面，定积分则表示的是体积。
物理应用
03
定积分在物理中有广泛的应用，如计算力矩、功、速度等物理量。Βιβλιοθήκη 定积分的性质线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对每个函数进行积分后再求和或求差。
详细描述
积分第二中值定理说明了一个函数在两个闭区间上的定积分值相等时，该函数在这两个区间上必须满足的条件。这个定理在解决一些等式问题时非常有用，因为它提供了一种将两个区间的积分等式转化为函数性质的途径。
积分第三中值定理
总结词
该定理表明如果一个函数在一个闭区间上的定积分值为零，那么该函数在该区间内至少存在两个点，使得在这些点的函数值等于零。
详细描述
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则 ∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
03
定积分的比较性质
无穷区间上的比较性质
总结词
定积分在无穷区间上的比较性质是指，如果函数在无穷区间上的积分值与其在有限区间上的积分值相等，则函数在无穷区间上的积分值也相等。

Riemann积分 Lebesgue积分

从Riemann 积分到Lebesgue 积摘要积分是整个分析数学中最基本的概念，黎曼积分与勒贝格积分是两种非常重要的积分，它们之间既有区别又有联系。

本文主要通过对黎曼积分和勒贝格积分定义的分析与比较，归纳总结出二者的区别与联系. 关键词黎曼积分;勒贝格积分;区别;联系一、Lebesgue 积分的引入1、R 积分的定义设()f x 是定义在[],a b 上的有界函数，任取区间的一个划分T012n a x x x x b =<<<<=将区间[],a b 分成n 部分，在每个小区间1,i i x x -⎡⎤⎣⎦上任取一点ζi ,i =1,2,3,….作和11(ζ)()ni i i i S f x x -==-∑令11max()i i i nr x x -≤≤=-，如果对任意的分发与ζi 的任意取法，当0r →时，S 趋于有限的极限，则称它为()f x 在[],a b 上的黎曼积分，记为()baI R f x dx=⎰如果设=sup{f(x):};=inf{f(x):}则有f （x ）在[a,b]上Riemann 可积1()lim n bi i ar i f x dx M x →=⇔=∆∑⎰=01lim ()nbi i ar i m x f x dx →=∆=∑⎰⇔对任意的ε,η>0,总存在一个划分T ，使得对任意的划分，只要比T 更精细，则有所有振幅≥ε的小区间的长度之和小于ε。

注：振幅为区间内任意两点距离的上确界。

2、Riemann 积分的局限性a 、从Riemann 可积的充分必要条件可看出, 可积性涉及到分割小区间（1,i i x x -⎡⎤⎣⎦）的长度以及函数在其上的振幅（）。

若要函数可积, 则在r 趋于0的过程中（）不能缩小的那些对应项子区间的长度必须是无穷小。

也就是说, Riemann 函数的不连续点可用长度为任意小的区间簇覆盖, 粗略地说, Riemann 可积函数必须是“ 基本上是连续的”b 、积分运算不完全是微分运算的逆运算（微积分基本定理的条件太严）微积分基本定理在微积分理论中起的重要作用是不言而喻的。

《定积分的基本性质》课件

3 取值不变性
函数在积分区间上整体移动、翻转或缩放，并不影响定积分的值。
定积分的几何意义
几何上，定积分表示曲线下面积的计算。通过对函数曲线下不同区间的积分，我们可以计算出曲线所包围的面积。
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式将定积分与原函数联系起来，它表达了函数定积分与原函数之间的关系。这个公式是微积分的重要工具之一。
变限积分的定义和计算
变限积分是对函数在不同积分区间上的积分进行求解。在变限积分的计算中，积分的上限和下限可以是任意数值。求解变限积分多使用牛顿-莱布尼茨公式和基本定理。
变限积分的基本定理
1
积分上限的导数
2
基本定理还告诉我们，对变限积分求导
将得到被积函数的原函数，并通过差值
计算积分的上限处的导数。
《定积分的基本性质》PPT课件
欢迎大家来到本次关于《定积分的基本性质》的PPT课件。在这个课程中，我们将深入探讨积分的概念、性质以及几何意义。让我们一起开始这个美妙的数学之旅吧！
积分的意义
积分是微积分的重要概念之一，它描述了曲线下的面积、物理量的累积和连续变化的过程。通过积分，我们可以理解某一过程的总体效应。
3
求导与积分的关系
变限积分的基本定理指出，连续函数的积分与原函数之间的关系可以通过求导操作来体现。
积分下限的导数
类似地，基本定理还可以用于计算变限积分下限的导数，通过差值计算积分的下限处的导数。
Hale Waihona Puke 定积分的定义和计算公式定积分是将函数在一个闭区间上的取值进行求和的过程。数学上，定积分的计算使用黎曼和、定积分公式以及牛顿-莱布尼茨公式。
定积分的性质
1 线性性质
定积分具有线性运算的性质，可以分解为多个函数的积分之和。

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第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
注意到 f , f 都是有界可测的，所以
f f 是非负Lebesgue可积函数，从而
[ a ,b ]
( f f )dx
f dx
[ a ,b ]
[ a ,b ]
f dx 0.
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
定理的叙述（L-可积函数何时Riemann可积）如果有界函数在闭区间[a,b]上是Riemann可积的，则在[a,b]上也是Lebesgue可积的，且
[ a ,b ]
f ( x)dx
b
a
f ( x)dx,
此处

b
[ a ,b ]

f ( x)dx 表示在[a,b]上的Lebesgue积分，
(1) Levi定理问题3：从定理的条件，函数序列的极限与函数序列可否比较大小？问题4：定理中并未假定集合的测度有限，也未假定函数序列有界，如何克服这一困难？
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
问题5：定理的条件中，假定了函数序列的单调性，这说明函数序列至少是几乎处处收敛的，单几乎处处收敛的函数序列的积分与极限必可交换顺序吗？如何克服这一困难？
( m) im
b, Dm1
( Dm ) max{x
1i im
x } 0,
( m) i 1
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
记
mi( m ) , M i( m )
im
分别为 f 在 [ x ( m) , x ( m) ] 下的 i i 1
( m) i 1
则
f ( x)dx lim f
E m E
m
m ( x)dx.
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
下确界和上确界，由Riemann积分的定义知
m
lim
m
i 1
( m) i
( x x ) lim
( m) i
m
M
i 1
im
( m) i
(x x )
( m) i ( m) i 1

b
a
f ( x)dx
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
令 m , m 为如下的函数列：
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
目的：了解Riemann 可积性与Lebesgue可积性之间的关系，熟练掌握Lebesgue积分的极限定理，并能熟练运用这些定理。重点与难点：L-积分极限定理及其应用。
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
基本内容：一．R-积分与 L-积分的关系
问题1：回忆 f 的Riemann可积性与| f |
的Riemann可积性是否等价。对
常义Riemann积分而言，情形又
如何？
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
我们曾经提到Lebesgue积分是Riemann积分的推广，然而对广义Riemann积分来说， Riemann可积性并不意味着Lebesgue可积性，这从前面的例子已经看到。
a b
M
(x
( m) i
x
( m) i 1
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
这说明 f ( x)dx f ( x)dx
故
[ a ,b ] a
[ a ,b ]
b
( f ( x) f ( x)) dx 0。
[ a ,b ]
Hale Waihona Puke f ( x)dx，则因 Dm Dm1，故当区间长度缩小时，上确界不增，下确界不减，所以
1 2 3 m f 1 2 m f
于是 lim m f f , lim m f f，即
m m
f f f.
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
那么，通常意义下的 Riemann 可积性是否意味着Lebesgue可积性呢？如果不是的话，则就不能认为 Lebesgue 积分是 Riemann 积分的自然推广，幸运的是，答案是肯定的。
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
又
[ a ,b ] im
i 1
f ( x)dx
[ a ,b ]
( m) i
m
( x)dx
) f ( x)dx
a b
m
[ a ,b ] im
i 1
(x
( m) i
x
( m) i 1
f ( x)dx
[ a ,b ]
( m) i
m
( x)dx
) f ( x)dx
m , x ( x , x ] m ( x) , f (a), x a
( m) i ( m) i 1 ( m) i
M , x ( x m ( x) f (a), x a
( m) i
( m) i 1
,x
( m) i
]
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
由本节定理3知 f f a. e.，进一步
f f f a.e.[a, b]，因此 f 在[a,b]上可测，
证毕。
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
二．Levi定理
问题2：回忆Riemann积分中，积分
与极限交换顺序的条件？
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
勒维Levi定理设
(i) f m ( x), m 1,2, 是E上的非负可测函数序列，
(ii) f m ( x) f m1 ( x) ( x E ), m 1,2,,
(iii ) f ( x) lim f m ( x) a.e.[ E ],
a
f ( x)dx 表示在[a,b]上的Riemann积分。
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
证明：显然，由本节定理1，只需证明是[a,b]上的可测函数。由于 f Riemann可积，取[a,b]的分点组
Dm : a x
( m) 0
x
( m) 1
x
( m) i