解决排列问题的常用方法

（八）实验 题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐步寻求 规律有时也是行之有效的方法。 [例7]将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方 格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字 均不相同的填法种数有（ ） A.6 B.9 C.11 D.23 分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难， 可用实验法逐步解决。 第一方格内可填2或3或4。如填2，则第二方格中内可填1或3或4。 若第二方格内填1，则第三方格只能填4，第四方格应填3。 若第二方格内填3，则第三方格只能填4，第四方格应填1。 同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填1，第四方格应 填3。因而，第一格填2有3种方法。 不难得到，当第一格填3或4时也各有3种，所以共有9种。
解决排列问题的常 用方法
复习引入： 复习引入：
什么叫做从 个不同元素中取出m个元素的一个排列？ ①什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列？ 个不同元素中取出m（ 从n个不同元素中取出 （m≤n）个元素，按照一定的 个不同元素中取出 ）个元素， 顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出 个元素的 顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出m个元素的 个不同元素中取出 一个排列. 一个排列. 什么叫做从 个不同元素中取出m个元素的排列数？ ②什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数？ 从n个不同的元素中取出 （m≤n)个元素的所有排列的个 个不同的元素中取出m（ 个不同的元素中取出 个元素的所有排列的个 叫做从n个不同元素中取出 个元素的排列数 个不同元素中取出m个元素的排列数. 数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的排列数 m 用符号 A n 表示 排列数的两个公式是什么？ ③排列数的两个公式是什么？
解:将问题分步 将问题分步 第一步:甲乙站两端有 2 第一步 甲乙站两端有 A2种 第二步:其余 名同学全排列有 A5 种 第二步 其余5名同学全排列有 其余
5
∴ 共有A A ＝2400种
2 2 5 5
种不同的排列方法。 答：共有2400种不同的排列方法。 共有 种不同的排列方法
单三步
(5) 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排 位同学站成一排， 位同学站成一排 头和排尾的排法共有多少种？ 头和排尾的排法共有多少种？
单三步
5 3 法共有： A 5 A 3 = 7 2 0 （种）。
变式1：七个家庭一起外出旅游， 变式 ：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是 一个男孩，三家是一个女孩， 一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩 站成一排照相留念。 站成一排照相留念。 若三个女孩要站在一起， 若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一 有多少种不同的排法？ 起，有多少种不同的排法？
[例5]五人排队，甲在乙前面的排法有几种？
分析：若不考虑限制条件，则有A 5种排法，而甲，乙之间 5 2 排法有A 2种，故甲在乙前面的排法只有一种符合条件，故 A5 5 符合条件的排法有 2种. A2
（七）分排问题用“直排法” 分排问题用“直排法” 把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可 采用统一排成一排的方法来处理. [例6]七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则 有多少种不同的坐法？ 分析：7个人，可以在前后排随意就坐，再无其他限 7 制条件，故两排可看作一排处理，所以不同的坐法有A 7 种.
5 5 种;
种不同的排列方法。 答：共有2400种不同的排列方法。 共有 种不同的排列方法
单三步
(5) 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排 位同学站成一排， 位同学站成一排 头和排尾的排法共有多少种？ 头和排尾的排法共有多少种？
解法二:(特殊元素法 解法二 特殊元素法) 特殊元素法 第一步:将甲乙安排在除排头和排尾的 个 第一步 将甲乙安排在除排头和排尾的5个 将甲乙安排在除排头和排尾的 位置中的两个位置上,有 2 位置中的两个位置上 有 A5种; 第二步:其余同学全排列 有 5 第二步 其余同学全排列,有 A5 种; 其余同学全排列
变式2：七个家庭一起外出旅游， 变式 ：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是 一个男孩，三家是一个女孩， 一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩 站成一排照相留念。 站成一排照相留念。 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？ 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
插空法
种排法， 解：先把四个男孩排成一排有A 44 种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入 ）， 空档中有A 53种方法，所以共有： A44 A53 = 1440 （种） 种方法，所以共有： 排法。 排法。
7 7
甲或乙站排尾的有 2A6 种,甲乙分别站在排头和7 − 4 A6 + A2 A5＝2400种
6
2 2
5 5
种不同的排列方法。 答：共有2400种不同的排列方法。 共有 种不同的排列方法
单三步
（二）总体淘汰法 对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符 合要求的除去，此时应注意即不能多减又不能少减， 例如在例1中，也可以用此方法解答。五个数组成三位 3 数的全排列有 A 5 个，排好后发现0不能排在首位，而且 3，1不能排在末尾，这两种不合条件的排法要除去， 故有30个偶数。
分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优 先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类； 1) 0排在末尾时，有A2 个 4 2) 0不排在末尾时，有A1 A1 A1个 2 3 3 由分类计数原理，共有偶数30个.
：（1） 位同学站成一排 位同学站成一排， 例2：（ ）7位同学站成一排，共有多少种 ：（ 不同的排法？ 不同的排法？
An = n(n −1)(n − 2)L(n − m +1)
m
n! A = （n，m∈N*，m≤n） ， ∈ ， ） (n − m)!
m n
（一）特殊元素的“优先安排 一 特殊元素的“ 特殊元素的 法” 对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元 素，再考虑其他元素。 [例1]用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字 的三位数，其中偶数共有（ A.24 B.30 C.40 ） D.60
（三）合理分类和准确分步 解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进 行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明 确，分步层次清楚，不重不漏。 例2.五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站 第二个位置，那么不同的站法有（ ） A.120 B.96 C.78 D.72 分析：由题意，可先安排甲，并按其进行分类讨论： 1) 若甲在第二个位置上，则剩下的四人可自由安排， 有A 4种方法. 4 2) 若甲在第三或第四个位置上，则根据分布计数原理，不同 的站法有A1 A1 A 3种站法。 3 3 3 再根据分类计数原理，不同的站法共有
4 + 1 1 3 = 78种 A 4 A 3A 3A 3
（四）想邻问题——捆绑法 想邻问题 捆绑法 对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元 素“捆绑”在一起，看作一个“大”的元素，与其它元素排 列，然后再对相邻的元素内部进行排列。 例3）7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有 多少种站法？ 分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，与其余 4人共有5个元素做全排列，有A 5种排法，然后对甲，乙，丙三 5 人进行全排列 由分步计数原理可得：
(3) 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位 位同学站成一排， 位同学站成一排 共有多少种不同的排法？ 置,共有多少种不同的排法？ 共有多少种不同的排法
分析:可看作甲固定 其余全排列 分析 可看作甲固定,其余全排列 可看作甲固定
A = 720
6 6
(4) 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两 位同学站成一排， 位同学站成一排 端的排法共有多少种？ 端的排法共有多少种？
变式4：七个家庭一起外出旅游， 变式 ：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是 一个男孩，三家是一个女孩， 一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩 站成一排照相留念。 站成一排照相留念。 乙两人的两边必须有其他人， 甲、乙两人的两边必须有其他人，有多少种不 同的排法？ 同的排法？
插空法
解：先把其余五人排成一排有A 55种排法，在每一排 列中有四个空档（不包括两端），再把甲、乙插入 5 2 2 A5 A4 = 1440 （种） 空档中有A 4 种方法，所以共有： 排法。
变式3：七个家庭一起外出旅游， 变式 ：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是 一个男孩，三家是一个女孩， 一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩 站成一排照相留念。 站成一排照相留念。 男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？ 男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？
插空法
种排法， 解：先把四个男孩排成一排有A 44 种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入 ）， 空档中有A 33种方法，所以共有： A44 A33 = 144 （种） 种方法，所以共有： 排法。 排法。
不同的排法有： 不同的排法有：
2 3 4 A2 A3 A4 = 288 （种）
说一说
单三步
问题的处理。 捆绑法一般适用于 相邻 问题的处理。
捆绑法: 捆绑法
对于相邻问题,常常先将要相邻的元素 对于相邻问题 常常先将要相邻的元素 相邻问题 捆绑在一起 视作为一个元素,与其余 在一起,视作为一个元素 捆绑在一起 视作为一个元素 与其余 元素全排列,再松绑后它们之间进行全 元素全排列 再松绑后它们之间进行全 排列.这种方法就是捆绑法. 这种方法就是捆绑法 排列 这种方法就是捆绑法
解法一:(特殊位置法 解法一 特殊位置法) 特殊位置法 第一步:从其余 位同学中找 人站排头和排尾, 第一步 从其余5位同学中找 人站排头和排尾 从其余 位同学中找2人站排头和排尾 2 A5 种; 有 第二步:剩下的全排列 有 第二步 剩下的全排列,有 A 剩下的全排列