数学-最新16、第三章 因式分解-公式法和十字相乘法--唐锦华
初中数学：因式分解有哪些方法？十字相乘法因式分解4道例题全解
初中数学：因式分解有哪些方法？十字相乘法因式分解4道例题全解因式分解方法步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。
十字相乘试一试，分组分解要相对合适。
”分组分解法分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。
能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几道例题：1．5ax+5bx+3ay+3by解法：原式=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2．x2-x-y2-y解法：原式=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。
三一分法，例：a2-b2-2bc-c2原式=a2-(b+c)2=(a-b-c)(a+b+c)十字相乘法十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。
这种方法有两种情况。
①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。
因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．例1：x2-2x-8=(x-4)(x+2)②kx2+mx+n型的式子的因式分解如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)．例2：分解7x2-19x-6图示如下：a=7 b=1 c=2 d=-3因为-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，所以，原式=(7x+2)(x-3)．十字相乘法口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。
因式分解公式十字相乘法
因式分解公式十字相乘法《因式分解公式之十字相乘法》嗨，同学们！今天咱们来好好唠唠因式分解里超级有趣的十字相乘法。
我记得有一次数学作业，有好多因式分解的题目，我看着那些式子就发愁。
这时候我同桌凑过来了，他眼睛亮晶晶的，说：“你知道十字相乘法不？学会了这个呀，这些题目就像小蚂蚁一样，轻轻松松就能解决。
”我就特别好奇，啥是十字相乘法呢？就比如说一个二次三项式ax² + bx + c（a≠0），咱们要把它分解因式。
这就好比是把一个复杂的小怪物给拆开，看看它到底是由哪些小零件组成的。
十字相乘法就像是一把神奇的钥匙。
咱们先把a拆成两个因数，假设是m和n，再把c拆成两个因数，假设是p和q。
然后呢，要让m×q + n×p等于中间的那个b。
这就像搭积木一样，得找到合适的块儿，组合起来才对。
我给你们举个例子哈。
就像x² + 5x + 6。
这里a = 1，那1就只能拆成1×1啦。
c = 6，可以拆成2×3。
这时候咱们就来凑一凑，看看能不能让十字相乘后的结果等于中间的5呢。
1×3+1×2 = 5，哈哈，正好！那这个式子就可以分解成(x + 2)(x + 3)啦。
是不是很神奇呢？就像把一个神秘的盒子打开，看到里面藏着的两个小宝贝。
我还遇到过更复杂一点的呢。
有一次考试，有个题目是2x² - 7x + 3。
a = 2，可以拆成2和1，c = 3，可以拆成-1和- 3或者1和3。
咱们得试试不同的组合呀。
要是用2×(-1)+1×(-3) = - 5，不对。
要是2×(-3)+1×(-1) = - 7，哈哈，找到了。
所以这个式子就可以分解成(2x - 1)(x - 3)。
我跟我后座的同学讨论这个方法的时候，他还不太明白。
他说：“这就像在迷宫里找路一样，我都晕头转向了。
”我就跟他说：“你看啊，这就跟你玩拼图似的。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
十字相乘法完整版
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十字相乘法完整版
目录
01
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02
十字相乘法的基本原理
03
十字相乘法的应用
04十字相乘法ຫໍສະໝຸດ 注意事项05十字相乘法的扩展应用
01
添加章节标题
02
十字相乘法的基本原理
定义与公式
定义：十字相乘法是一种解一元二次方程的方法，通过将方程的系数分解为两个因数的乘积，从而找到方程的解。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有括号时。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有分数时。
分解因式时要注意完全平方数的问题
分解因式时要注意完全平方数的问题，避免出现错误的结果。
分解因式时要注意符号问题，确保结果的正确性。
分解因式时要注意因式的分解是否彻底，避免出现不必要的错误。
应用场景：求解一元二次不等式时，当不等式的系数较大或较为复杂时，使用十字相乘法可以简化计算过程
注意事项：在使用十字相乘法时，需要确保分解后的两个一次项的乘积为正，否则会导致不等号方向错误
举例说明：通过具体的一元二次不等式实例，展示十字相乘法的应用和求解过程
求解一元二次函数极值
定义：一元二次函数极值是指函数在某点的导数为零，且该点两侧的函数值异号
代数方程：十字相乘法可用于解二次方程和一元高次方程
矩阵运算：十字相乘法在矩阵的乘法中也有应用
分式化简：十字相乘法可以用于化简分式，简化计算过程
在物理和工程领域的应用
线性代数方程组的求解
工程中的结构分析、流体动力学等领域
物理中的动力学方程求解
矩阵运算中的分块矩阵相乘
完整版)十字相乘法
完整版)十字相乘法在进行因式分解时，首先要考虑能否提取公因式，然后再考虑运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法。
对于还能继续分解的多项式因式，仍然要用这一步骤反复进行。
以上步骤可以用口诀来概括：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”。
二次三项式是指多项式ax+bx+c，其中a为二次项，b为一次项，c为常数项。
例如，x-2x-3和x+5x+6都是关于x的二次三项式。
在多项式x-6xy+8y中，如果把x看作常数，它就是关于y的二次三项式；如果把y看作常数，它就是关于x 的二次三项式。
同样地，在多项式2ab-7ab+3中，如果把ab 看作一个整体，它就是关于ab的二次三项式。
还有多项式(x+y)+7(x+y)+12，把x+y看作一个整体，就是关于x+y的二次三项式。
十字相乘法是一种分解二次三项式的方法。
对于二次项系数为1的二次三项式x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，方法的特征是“拆常数项，凑一次项”。
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。
例如，对于7x+(-8x)，我们可以得到原式=(x+7)(x-8)。
另外，对于x^2-10x+16，我们可以将其分解为(x-2)(x-8)。
对于二次项系数不是1的二次三项式ax^2+bx+c=a1x^2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)，它的特征是“拆两头，凑中间”。
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同。
例如，对于-2x+(-8x)，我们可以得到原式=-10x，而对于2x^2-11x-6，我们可以将其分解为(2x+1)(x-6)。
因式分解中的十字相乘法
因式分解中的十字相乘法《因式分解中的十字相乘法》嘿，你知道吗？在数学这个神奇的世界里，有一个特别有趣又超级有用的方法，那就是十字相乘法。
我呀，今天就想和你唠唠这个十字相乘法。
我先给你举个简单的例子吧。
就像有个二次三项式，比如说x²+5x + 6。
这时候十字相乘法就像一个超级侦探，来把它分解因式啦。
我们要把二次项系数和常数项分别拆成两个数相乘呢。
对于x²的系数1，那就是1×1啦。
对于常数项6呢，我们可以拆成2×3。
然后我们就像搭十字一样，把这些数字摆好。
1和2写在一边，1和3写在另一边，交叉相乘再相加，1×3 + 1×2刚好等于一次项系数5呢。
这样，这个式子就可以分解成(x + 2)(x+ 3)啦。
哇，是不是很神奇呢？我记得我刚开始学这个十字相乘法的时候，那可真是一头雾水啊。
我就想，这都是啥呀，为啥要这么拆数字呢？我就跑去问我的数学老师。
老师就笑着说：“你看啊，这就像是搭积木，每一块积木都有它合适的位置。
二次三项式就像一个待组装的大积木，你得找到合适的小积木块才能把它搭好呀。
”我当时似懂非懂的，不过老师这么一说，我就觉得好像这个方法也没那么难嘛。
有一次，我和我的同桌一起做数学作业。
碰到了一个比较难的二次三项式，好像是2x² - 7x + 3。
我就开始苦思冥想，按照十字相乘法的规则来拆数字。
我先把2x²拆成2x 和x，对于常数项3呢，我拆成- 1和- 3。
我试着搭十字，交叉相乘再相加，结果不对呢。
我就有点沮丧，哎呀，这可怎么办呀。
这时候我的同桌凑过来说：“你看，你把3拆成- 1和- 3不对呢。
你可以把2x²拆成2x和x不变，把3拆成- 1和- 3的话，那交叉相乘再相加就不是- 7x啦。
你应该把3拆成- 1和- 3，2x乘以- 1加上x乘以- 3就等于- 7x啦。
”我一听，眼睛一亮，原来是这样啊。
我就按照同桌说的方法做，果然就把这个式子分解成(2x - 1)(x - 3)啦。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
因式分解(十字相乘)课件
探索因式分解在其他学科中的应用， 如物理、化学等。
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十字相乘法是一种用于因式分解的数学方法，通过将一个多项式分解为两个因式的 乘积，从而简化问题。
它基于二次多项式的根与系数之间的关系，通过构造一个交叉相乘的方程组来找到 因式。
这种方法在代数、方程求解和数学竞赛等领域有广泛应用。
十字相乘法的应用
01
02
03
04
解决一元二次方程
通过十字相乘法，可以将一元 二次方程转化为两个一次方程
通过实例分析和练习，掌握十 字相乘法的运用。
结合实际问题和数学模型，加 深对因式分解的理解和应用。
课程安排
介绍因式分解的概念和意义 。
讲解因式分解的基本方法和 步骤。
02
01
重点介绍十字相乘法的原理
和应用。
03
通过实例演示和练习，巩固 所学知识。
04
05
总结课程重点和难点，提出 学习建议。
02
因式分解的基本概念
因式分解的步骤
总结词
因式分解通常按照一定的步骤进行。
详细描述
因式分解通常按照以下步骤进行：首先观察多项式的各项，尝试将其转化为整式的积的形式；然后提取公因式； 最后利用公式法或分组法进行因式分解。在每一步中，都需要仔细分析多项式的各项，并灵活运用数学规则和技 巧。
03
十字相乘法
什么是十字相乘法
因式分解(十字相乘)ppt 课件
目录 CONTENT
• 引言 • 因式分解的基本概念 • 十字相乘法 • 因式分解的实例解析 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
引言
课程目标
掌握因式分解的基本 原理和方法。
因式分解题型提公因式法公式法分组分解法十字相乘法
精心整理14.3因式分解1.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。
2．常用的因式分解方法：（1）提公因式法：对于ma mb mc++，叫做公因式，叫做提公因式法。
①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
②公因式的构成：系数：各项系数的；分解将多项式正确分解即可。
因式法例1分解因式：（3） （1（2例1分解下列因式：（1（412345620032004++++【训练1】把下列各式分解因式： （1）2161211m m +-（2）－49a 2＋112ab －64b 2（3）已知x=a-b ，求2222x ax b a --+．【题型三】十字相乘法例1因式分解(1)9102++x x ；(2)103--x x 【训练1】因式分解（1）=+-652x x ___________（2）=++652x x ____________（3）=--652x x ___________（4）=-+652x x ___________ 例2分解因式：（1）2273x x -+；（2）2675x x -- 【训练1】因式分解（1）2x 2＋7x ＋3（2）3x 2－5x ＋2 （3）2x 2＋5x －7（4）5x 2－3x －2 【题型四】分组分解法 例1四项1.将x 3-x 2y-xy 2+y 3分组分解，下列的分组方法不恰当的是 A ．（C ．（2.(3)41例2五项(1)x (3)a 例3六项(1)(3)a 1、a 54、327、22)2()2(y x y x +--8、（y 2＋3y ）－（2y ＋6）2 9、16a 2－9b 210、4x 2－12x ＋911、4x 3＋8x 2＋4x 12、3m(a －b)3－18n(b －a)313、20a 3x －45ay 2 14、(m ＋n)2－(m －n)215、(x 2＋1)2－4x 216、6x 2＋13x ＋517、4x 2－12x ＋518、9x 2－35x －4 19、2x 2＋x －120、2x 2-5x-321、5x 2-21x+1822、223x x --23、2257x x +-24、2321a a -- 25、23145b b +-26、4432-+a a 27、22715b b +-28、2224)3(x x --；29、9)2(22--x x ；30、2222)332()123(++-++x x x x ；31、60)(17)(222++-+x x x x ；32、8)2(7)2(222-+-+x x x x ； 【复习提高】1. 2x 4y 2－4x 3y 2＋10xy 42.5x n+1－15x n ＋60x n —13.()()124133---b a b a4.4222++--ab b a5. 123+--x x x6.()()422223612y y y y x y y x -++-+8.已知x 2+y 2-4x+6y+13=0,求x,y.9、已知x ＋y=4,xy=1.5,求x 3y ＋2x 2y 2＋xy 3的值。
因式分解 公式法 十字相乘法
知识点一、平方差、完全平方公式1计算下列各式，并根据左面的式子填空（1）=-+)3)(3(x x ， （1）=-92x（2）=-+)4)(4(y x y x ， （2）=-2216y x（3）=-+)23)(23(n m n m ，（3）=-2249n m思考：观察第二组式子的左边有什么共同特征，写成乘积后又有什么共同特征？2．公式法：平方差公式： ))((22b a b a b a -+=- 完全平方公式： 222)(2b a b ab a ±=+±3.小结：分解因式的一般步骤为：（1）若多项式各项有公因式，则先提取公因式。
（2）若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式。
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止。
知识点二、运用平方差公式分解因式例1下列多项式能否用平方差公式进行因式分解（1）x 2－9y 2； （2）16x 4－y 4； （3）12a 2x 2－27b 2y 2；例2（1）（x+2y ）2－（x －3y ）2； （2）xy xy 333-； （3）a ax ax ax -+-23练习1（1）2220951b a -； （2）164+-a ； （3）m 2（16x －y ）+n 2（y －16x ）．（4）2xy x -； （5）22)23()32(y x y x --+； （6）424255b m a m -练习2．（1）已知x+y=7，x －y=5，求代数式x 2－y 2－2y+2x 的值．（2）．已知x+y+z=0，化简x 2－y 2+xz －yz ．练习3．简便计算： （1） 22171429- （2） 244852451522⨯-⨯培优题： (1)222224)(b a b a -+ (2))(42s t s s -+-(3)1)3)(2)(1(++++x x x x知识点三、运用完全平方分解因式例1（1）229124b ab a +- （2）22816y x xy +-（3）2411x x ++ （4）xy y x 4422-+练习：把下列各式分解因式：（1）．1692+-t t （2）．412r r +- （3）．236121a a +- （4）．42242b b a a +-例2．把下列各式分解因式：（1）．122++n n m m （2）．222n m mn -- （3）．ax y ax y ax ++2232 （4）．22224)1(4)1(a a a a ++-+练习：把下列各式分解因式：（1）．n n m m y y x x42242510+- (2)．222y xy x -+- (3)21222+-x x(4)161)(21)(2+---y x y x (5)n n m m y y x x 2245105-+-例3．利用因式分解进行计算：（1）．419.36.7825.03.2541⨯-⨯+⨯ （2）．2298196202202+⨯+（3）．225.15315.1845.184+⨯+例4完全平方公式的应用（1）．已知212=-b a ，2=ab 求：42332444b a b a b a -+-的值．（2）．已知△ABC 的三边为a ,b ,c ,并且ca bc ab c b a ++=++222求证：此三角形为等边三角形．（3）．已知c b a ,,是△ABC 三边的长，且0)(22222=+-++c a b c b a 你能判断△ABC 的形状吗？请说明理由．（4）．求证：不论为x,y 何值，整式5422+-xy y x 总为正值．知识点四：十字相乘法分解因式1计算下列各式，并根据左面的式子填空（1）=++))((q x p x ， （6）()=+++pq x q p x 2 （2）=++))((q bx p ax ， （7）=+++pq x bp aq abx )(2思考：观察第二组式子的左边有什么共同特征，写成乘积后又有什么共同特征？（1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式．3．十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++= 它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．4经典例题例1 把下列各式分解因式：(1)1522--x x ； （2） （3）(4)2265y xy x +-． (5）120)8(22)8(222++++a a a a例2 把下列各式分解因式：(1)3522--x x ； (2)3832-+x x ．（3）32231212x x y xy -+例3 把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ； (2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； (3)120)8(22)8(222++++a a a a ．例4 （1）90)242)(32(22+-+-+x x x x （2）653856234++-+x x x x（3）655222-+-+-y x y xy x例5 （重点）已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +-(4) 261110y y -- (5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+ (7) 22712x xy y -+ (8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( )A ．22-+x xB ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、解答题14．把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ； (3)422416654y y x x +-；(4)633687b b a a --； (5)234456a a a --； (6)422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：(1)2224)3(xx -- (2)9)2(22--x x ； (3)2222)332()123(++-++x x x x (460)(17)(222++-+x x x x 8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．。
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例 5. 已知 a、b、c 分别是△ABC 的三边 求证：（a2+b2－c2）2－4a2b2<0
例 6.
例 7. 求证比四个连续自然数的积大 1 的数必是一个完全平方数。
误区警示
因式分解要分解到底.如 x y ( x y )(x y ) 就没有分解到底.
4 4 2 2 2 2
强化练习 （
2 2 2
9．下列各式不是完全平方式的是（ ） A．x +4x+1
2
B．x －2xy+y
2
2
C．x y +2xy+1
2 2
D．m －mn+
2
1 2 n 4
10．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ） A．m －mn+n
2 2
B．（a+b） －4ab
2 2
2
C．x －2x+
2
1 4
D．x +2x－1
例 1. 运用平方差公式分解因式
例 2. 用完全平方公式分解因式：
例 3. 用十字相乘法分解因式： (1)x -2x-15
2
（2）x -5xy+6y
2
2
(3)2x -5x-3
2
(4)3x +8x-3
2
(5)x -10x +9
4
2
(6)7(x+y) -5(x+y) -2(x+y)
3
2
例 4. △ABC 的三边 a、b、c 满足 a2+2b2+c2－2ab－2bc=0，试判定△ABC 的形状。
4. 因式分解的思路与解题步骤: (1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法; (3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 二、十字相乘法分解因式 利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 在多项式 x 3 x 2 分解时，也可以借助画十字交叉线来分解。 x 分解为 x x ，常数
2 2 2 2
B.3(x+y )(x+y)(x-y) D.3(x-y) (x+y)
2 2
5.若 k-12xy+9x 是一个完全平方式，那么 k 应为（ A.2
2
2
）
2
B.4
C.2y
2
D.4y
6.若 x +2(m-3)x+16, 是一个完全平方式，那么 m 应为（ A.-5 B.3 C.7
2 2
）
D.7 或-1 ）
2
11．若 a+b=4，则 a +2ab+b 的值是（ ） A．8 B．16 C．2 D．4
4 2
12.某同学粗心大意，分解因式时，把等式 x －■=（x +4）（x+2）（x－▲）•中的两个数 字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（ ）
A．8，1 二、填空题
B．16，2
C．24，3
D．64，8
2 2 2
a 2 2ab b 2 (a b) 2
3. 运用公式法: (1)平方差公式: ①应是二项式或视作二项式的多项式; ②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方; ③二项是异号. (2)完全平方公式: ①应是三项式; ②其中两项同号,且各为一整式的平方; ③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的 2 倍.
1．分解因式：a －4a=____
2 2
3
__．
2．已知 x －y =69，x+y=3，则 x－y=____ __． 3．把 a b+b －2ab 分解因式的结果是______． 4.（ ） +20pq+25q = （
2 2 2 2 2 3 2
） ;
2
5.分解因式 x -4y = 6.分解因式 ma +2ma+m= 7.分解因式 2x y+8x y +8xy
2
2
项 2 分解 2 1 ，把它们用交叉线来表示：
x
+2 +1
x
所以 x 2 3x 2 ( x 1)(x 2)
同样： x px q = x 2 (a b) x ab ( x a)(x b) 可以用交叉线来表示：
2
x x
+a +b
其中 q ab ， p a b
挑战一下自己吧~）
一、选择题 1，下列各式中不能用平方差公式分解的是（ A.-a +b
2 2
） D.16m -25n ）
2 2 2 2 4 2
B.-x -y
2
2
C.49x y -z
2 2
2
2.下列各式中能用完全平方公式分解的是（
2 2 2
①x -4x+4; ②6x +3x+1; ③ 4x -4x+1; ④ x +4xy+2y ; ⑤9x -20xy+16y A.①② B.①③
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
3．利用分解因式计算：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
4．先分解因式，再求值：
（1）
，其中
；
（2）
，其中
．
5．对于任意自然数
是否能被 24 整除？为什么？
6、已知：
，求 a、b 的值。
7、 已知：
的值为多少？
8、 化简求值：6x -(2x-1)(3x-2)+(x+2)(x-2)，其中 x=
3 2 2 3 2
; . 整除。
8.运用平方差公式可以可到：两个偶数的平方差一定能被
三、解答题： 1.分解多项式: （1）16x y z -9;
2 2 2
（2）81(a+b) -4(a-b)
2
2
（3）（x +4） －16x ．
2
2
2
2、试用简便方法计算：198 -396 202 +202
2
2
3、已知 x=40,y=50,试求 x -2x y +y 的值。
2
1 3
9、利用因式分解计算：
10、已知 a，b，c 为△ABC 的三条边长，且 b +2ab=c +2ac，试判断△ABC 的形状．
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
4
2 2
4
4、在边长为 179m 的正方形农田里，修建一个边长为 21m 的正方形建筑，问所剩农田为多少 平方米？
5、若 a+b=1，ab=－1，求 a +b 的值．
2
2
6、若 9m －12mn+8n －4np+2p －4p+4=0，求 m+n+p 的值．
2
2
2
7、求证：不论 n 取何值，代数式 n +(1-n) -(1-3n) 必为某一个完全平方数的 3 倍。
3
3
8、求证：
能被 45 整除。
【课后作业】
1．填空： （1）多项式 （2）多项式 3）如果 （4）（ 各项的公因式是___________； 各项的公因式是_________； 是一个完全平方式，那么 k 的值是__________； ） ．
2．把下列各式分解因式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
因式分解——公式法、十字相乘法
导入（
2
进入美妙的世界啦~）
2 2，
观察多项式 x -25、9x -y 它们有什么共同特征？尝试将它们分别写成两因式分解的乘 积，并与老师交流。
知识
典例（
注意咯，下面可是黄金部分！）
一、运用公式法 1. 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些公式把某些多项式 因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。 2. 主要公式: (1)平方差公式: a 2 b 2 (a b)(a b) (2)完全平方公式: a 2ab b (a b)
5
C.②③
2
D.①⑤
4 2 2 2
3.在多项式:①16x -x;②（x-1） -4（x-1）+4; ③(x+1) -4x(x+1) +4x ;④-4x -1+4x 中，分 解因式的结果中含有相同因式的是（ A.①②
2
） D.②③
B.③④
4
C.①④ ）
2
4.分解因式 3x -3x 的结果是（ A.3(x+y )(x-y ) C.3(x-y )
7.若 n 为正整数，（n+11） -n 的值总可以被 k 整除，则 k 等于（ A.11 B.22 C.11 或 22 ） B．x －y =（x+y）（x－y） D．x －y =（x－y）
2 2 2 2 2
D.11 的倍数.
8．下列因式分解正确的是（
2 2
A．x +y =（x+y）（x－y） C．x +y =（x+y）